 | 一ノ谷さん、激しく同意します（笑）よろしくお願いします。
今年受験なもので…わからないと焦って余計頭が固まってしまします。別に関係ないですけど…丁寧に教えてくださること感謝します。
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No.3691 - 2009/08/25(Tue) 00:14:23
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | |  | では，まず問題の仕組みを理解するために次を解いてみて下さい．
問１ 実数a，bがa^2+b^2=a+bを満たすとき，a+bの値の範囲を求めよ．
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No.3692 - 2009/08/25(Tue) 00:26:26 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | 0以上です。
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No.3693 - 2009/08/25(Tue) 00:36:11 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | あ、考え方は…
a,b実数より、a^2≧0,b^2≧0よりa^2+b^2=a+b≧0
です。
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No.3694 - 2009/08/25(Tue) 00:39:15 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | | | それはいけません．例えば，a+b=5となることはありますか？
（今夜の返信は，ここまでとしますので，じっくり考えてみて下さい）
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No.3695 - 2009/08/25(Tue) 00:50:26 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校3年生] | | | | やばい…何を考えていいのかわかりません…はぁ…
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No.3696 - 2009/08/25(Tue) 01:05:45 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校3年生] | | | | a^2+b^2=a+b=k・・・?@
?@⇔a^2+b^2=a+b・・・?A、かつ、a+b=k・・・?B
⇔(a-1/2)^2+(b-1/2)^2=1/2・・・?Cかつ?B
⇔2a^2-2ak+k^2-k=0・・・?Dかつ?B（?Bを?Cに代入）
?Dを満たす実数aが存在する範囲は二次方程式?Dの判別式をD/4≧0⇔0≦k≦1
これかつ?B⇒0≦a+b≦1
ん〜わかってないのにできてるような気がして解いているだけです。。。僕が何もわかってない定で教えていただけると嬉しいです。特に最後は⇒でよいのか？・・・
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No.3699 - 2009/08/25(Tue) 02:14:29 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | | | そう先を急がず，まず
a+b=5となることはあるか？ a+b=1となることはあるか？
に理由を付して答えて下さい．実はこれこそ問題の仕組みであり，ここが理解できれば何をすれば解答になるのかが判り
＞ 最後は⇒でよいのか
や，最初の疑問の解決にも繋がります．
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No.3705 - 2009/08/25(Tue) 15:28:38 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校3年生] | | | | すいません。では・・・
a^2+b^2=a+b・・・?@ かつ a+b=5・・・?A
を満たす実数a,bの存在を調べる。
?A⇔b=-a+5
これを?@に代入してa^2-5a+10=0・・・?B
?@かつ?A⇔?Bかつ?A（代入の原理）
ここで少なくとも?Bを満たす実数aは存在しない（?Bの判別式＜0であるから）ので?@かつ?Aを満たす実数a,bは存在しない。よってa+b=5となることはない。
a+b=1・・・?Cも同様にしてa^2-a=0⇔a=0or1・・・?D（?@かつ?A⇔?Cかつ?D）
a=1のときb=0,a=0のときb=1
よってa+b=1となる実数a,bは存在する。
どうでしょうか？
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No.3708 - 2009/08/25(Tue) 19:50:29 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | | | ＞a^2+b^2=a+b・・・?@ かつ a+b=5・・・?A
＞を満たす実数a,bの存在を調べる。
完璧です．それこそが設問の意味であり，解答においてなすべきは
a^2+b^2=a+bかつa+b=kを満たす実数a，bが存在するような実数kの範囲を求める
ことです．
一般的に述べるなら
x，y，…が条件C(x，y，…)を満たすとき，関数f(x，y，…)の値の範囲を求めよ
というのは
C(x，y，…)かつf(x，y，…)=kを満たすx，y，…が存在するようなkの範囲を求めよ
ということになります．
ここまではどうでしょう？
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No.3709 - 2009/08/25(Tue) 20:48:25 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | まぁ…それ以上の説明はないのでしょうし、前よりは理解してる感じが出てきたので、まぁOkということで・・・（あいまいですみません。
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No.3710 - 2009/08/25(Tue) 21:26:13 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | | | ＞ まぁOkということで・・・
ちょっと危なげですが，ＯＫであれば，最初の
＞互いに異なる４数x,y,z,uに対して、次の式が成り立つ時、この式の値を求めよ。
＞(x+y+z)/x=(y+z+u)/y=(z+u+x)/z=(u+x+y)/u
をNo.3709のスタイルにまず書き直し，出来るところまで解いてみて下さい．
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No.3711 - 2009/08/25(Tue) 21:45:34 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校3年生] | | | | No.3699の問題で、題意は
2a^2-2ak+k^2-k=0・・・?Dかつ?B
を満たす実数a,bの存在する条件を求める。ことと同値ですが、僕の解答では?Dを満たす実数aが存在する条件しか調べてないのですが…?Dかつ?Bを満たす実数a,bの存在条件を述べないとダメなのにこれは間違っているような、というかモヤモヤ感があるのですが・・・
最初の問題は、(x+y+z)/x=(y+z+u)/y=(z+u+x)/z=(u+x+y)/u・・・Ａ
かつ (u+x+y)/u=k・・・Ｂ
を満たす、異なる複素数x,y,z,uの存在条件を求める。ということと同義で、さらに、異なる複素数x,y,z,uの存在条件とは、x,y,z,uが異なるための条件と読みかえられて
「ＡかつＢかつx,y,z,uが異なる」⇔・・・ＡかつＢをどういじるかの方針が立ちません。（どう同値変形すればよいかがわからないということです）
やっとわかってきたのですが、やはり、ここで「ＡかつＢ」から必要条件で言えることが、「ＡかつＢ」を満たしており、さらにx,y,z,uが異なることを確かめる。という方針がわかりやすいかと。。。
だいぶ進歩したと思うのですがどうでしょう？
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No.3727 - 2009/08/27(Thu) 15:59:24 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | | | ＞ モヤモヤ感
?B⇔b=k-aなので「aが実数⇔a,bが実数」です．
＞どう同値変形すればよいか
x,y,z,uについて解く向きに進みましょう．例えば，No.3708の前者は，bを消去してaの方程式を作り，本来はそれをa=，b=まで変形すべきところを，解の公式を既知として判別式の利用に留めているに過ぎず，後者は簡単に解けるので直接確かめているわけです．何れにせよ「確かめる」には，まず「それぞれの変数について解く（性質が見極められる形に同値変形する）」ことです．
＞ ここで「ＡかつＢ」から必要条件で言えることが、「ＡかつＢ」を満たしており、
そのような条件が見付かればそれはもはや必要十分条件ですから話は簡単ですが，そのような条件は見付かるでしょうか？先のスレッドから察するに，もしかすると，ばるさんは
ＡかつＢ⇒x+y+z+u=0またはk=3
を得た後，逆に
x+y+z+u=0またはk=3⇒ＡかつＢ
を示そうと思われたのかも知れませんが，この後者は成り立ちません．一般に
Ｐ⇒Ｑ
が成り立つとき
Ｐ⇒（ＱかつＰ）
も成り立つので，これと常に成り立つ（ＱかつＰ）⇒Ｐとを合わせた
Ｐ⇔（ＱかつＰ）
という同値変形が得られます．ばるさんのNo.3655の例なら
x+y=1,x+2y=1⇒y=0
ゆえに
x+y=1,x+2y=1⇔y=0,x+y=1,x+2y=1
ということです．
＞さらにx,y,z,uが異なることを確かめる
今回の問題ではＯＫですが，一般には変形の過程でx-yで割りたいケースもありますから，x,y,z,uが異なるという条件を後回しにするかは状況によります．
以上，とくにＰ⇒ＱからＰ⇔（ＱかつＰ）が得られるという部分が重要で，これなしに(x+y+z+u)(k-3)=0を用いる解答は作れません．計算は略し，同値性に重きを置いて途中まで書きますので，確認してみて下さい．
ＡかつＢ
⇔x+y+z=kx，y+z+u=ky，z+u+x=kz，u+x+y=ku，x,y,z,u≠0
⇒(x+y+z+u)(k-3)=0
ゆえに
ＡかつＢ
⇔(x+y+z+u)(k-3)=0，x+y+z=kx，y+z+u=ky，z+u+x=kz，u+x+y=ku，x,y,z,u≠0
⇔(x+y+z+u)(k-3)=0，x+y+z=kx，y+z+u=ky，z+u+x=kz，x,y,z,u≠0
⇔x+y+z+u=0，x+y+z=kx，y+z+u=ky，z+u+x=kz，x,y,z,u≠0…（１）
またはk=3，x+y+z=kx，y+z+u=ky，z+u+x=kz，x,y,z,u≠0…（２）
ここで（１），（２）それぞれを連立方程式として解くと
（１）
⇔u=-(x+y+z)，(1-k)x+y+z=0，x=-ky，y=-kz，x,y,z,u≠0
⇔u=-(x+y+z)，(k^{2}+1)(k-1)z=0，x=k^{2}z，y=-kz，x,y,z,u≠0
⇔k=-i，u=-iz，x=-z，y=iz，x,y,z,u≠0…（３）
またはk=i，u=iz，x=-z，y=-iz，x,y,z,u≠0…（４）
またはk=1，u=-z，x=z，y=-z，x,y,z,u≠0…（５），
（２）
⇔k=3，y+z=2x，z+u=2y，u+x=2z，x,y,z,u≠0
⇔k=3，x=y=z=u，x,y,z,u≠0…（６）
となるので
（（３）または（４）または（５）または（６））かつx,y,z,uは相異なる
を満たすx,y,z,uが存在するためのkの条件は…．
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No.3729 - 2009/08/27(Thu) 20:22:27 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | ちょっとまた疑問がでてきたので、一つずつ疑問を整理させてください。
まず１つめ。。。
a^2+b^2=a+b・・・?A、かつ、a+b=k・・・?Bを満たす実数a,bが「存在する条件」を求める。
?Aかつ?B
⇔
2a^2-2ak+k^2-k=0・・・?Dかつ?B
より、題意は?Dかつ?Bを満たす実数a,bが存在する条件に言い換えられたことになる。
ここで、その、存在する条件を考える。
?B⇔b=k-aより、これを満たす実数bが存在する条件はkが実数でかつaが実数であること。・・・P
?Dを満たす実数aが存在する条件は、?Dの判別式≧０であること。即ち、1≦k≦2であること。・・・Q
よって題意はPかつQであること、に言い換えられて、Q⇒Pは真なので、Q⇔PかつQであるから、求める条件はQ、即ち1≦k≦2。
ということでしょうか？
また戻りますが、最初の「存在する条件」という言い換えは感覚的な理解があるように思えるのですが、それはそれでしっくりくるまで覚えておくぐらいの気でいればよいのでしょうか？
何回考えても何か、感覚的感が残りますが、それでよいのでしょうか？つまり、この言い換えを仲介する説明はないのでしょうか？
あと、?BをPで言い換える時、bについてしか述べてなく、?Bかつ?Dを満たす実数a,bが存在する条件だから、aについては述べてなくて・・・なんかその辺とかすっきりしないんです。
さらに、これに関していろいろ参考書をちょっと見てみたのですが、x=aかつf(x)=0が成り立つための条件（xの存在条件）は、f(a)=0である。と書いてありました。
まず、これは、何というか・・・式的な同値ではないですよね？f(a)=0からx=aは導けませんし、意味でとれば、x=aであるしかなくそのx=aでf(x)=0が成立すればよいから、f(a)=0が必要十分条件なんだ。と解釈しています。
そして、この問題では、?B⇔b=k-aから、実数bが存在するためには、kが実数かつaが実数かつb=k-aの形であるしかなく、その実数bに関して?Aが成立すればよいから、この問題の題意の必要十分条件は?Dが成立すること、即ちaが実数であること、となるので、aが実数である条件を言えばこの問題は解けたことになるのでしょうか？
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No.3733 - 2009/08/28(Fri) 15:30:56 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | 上の最後の文・・・
この問題の必要十分条件は?Dかつ「kが実数」も付け加えるべきでしょうか・・・
というか、こんなにいろいろ考えないとダメなのでしょうか・・・(疲
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No.3734 - 2009/08/28(Fri) 15:38:12 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | 何度も失礼します。もうひとつ例題に関係した疑問で、例えば、これは大学への数学の論理に関する参考書からの引用ですが、
2次方程式x^2+ax+b=0が異なる2解をもち（実数とはかぎらない）、しかもその2解がp,ap+bの形で表されるような実数a,bの全体を考えるとき、aはどのような範囲にあるか
という問題で、同じように存在条件について触れていて、解と係数の関係より、
(a+1)p+b=-a・・・?@、ap^2+bp=b・・・?Aが成り立つことが、とりあえず2解がp,ap+bであることと同値、とし、?@かつ?Aが成り立つことの言い換えとして、?@かつ?Aを満たすpが存在する。と書いてあります。
疑問はどの文字を選ぶか。即ち、pが存在する条件を求める問題に言い換えるのか、aが存在する条件を求める問題に言い換えるのか、あるいはbなのか。どうやって判断すればよいのでしょうか？
だいたい以上のことが、一ノ谷さんが挙げてくれた例題に関する疑問の数々です。
長い質問大変失礼します。
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No.3735 - 2009/08/28(Fri) 18:35:21 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | | | じっくり行きましょう．
＞ まず１つめ。。。
一般に
(S(x)かつT(x))を満たすxが存在する
が成り立つならば
(S(x)を満たすxが存在する)かつ(T(x)を満たすxが存在する)
も成り立ちますが，逆は不可なので，「(?Dかつ?B)を満たす実数a,bが存在する」を「PかつQ」と言い換えるのは早計です．
言い換え（つまり，同値変形）は「〜が存在する」を作用させる前に
a^2+b^2=a+bかつa+b=k
⇔2a^2-2ak+k^2-k=0かつb=k-a
⇔(a=(k+√(2k-k^2))/2，b=k-(k+√(2k-k^2))/2)または(a=(k-√(2k-k^2))/2，b=k-(k-√(2k-k^2))/2)…（＊）
のように済ませておき，そのあとで
（＊）を満たす実数a，bが存在する
⇔k，√(2k-k^2)が実数
⇔kが実数，2k-k^2≧0
⇔0≦k≦2
とするのがロジカル（≠実践的）な解答です．
＞ x=aかつf(x)=0が成り立つための条件（xの存在条件）は、f(a)=0である
＞ これは、何というか・・・式的な同値ではないですよね？
丁寧に書くなら
(x=aかつf(x)=0)を満たすxが存在するための条件はf(a)=0である
つまり
(x=aかつf(x)=0)を満たすxが存在する ⇔ f(a)=0
です．ここで注意したいのは，fを固定すると
x=aかつf(x)=0はx,aについての条件，f(a)=0はaについての条件
なので当然
x=aかつf(x)=0 ⇔ f(a)=0
は成り立ちませんが，「を満たすxが存在する」を付ける（これを特称量化と言います）と，例えば
(x=aかつx^2-1=0)を満たすxが存在する ⇔ a^2-1=0
のように同値になります．
こうした議論では，扱っているのがどの変数についての条件なのかを常に意識することが大切であり，例えば（＊）までの各条件は「a,b,kについての条件」ですが「（＊）を満たす実数a，bが存在する」以降の各条件は「kについての条件」で，もちろん設問が求めている範囲も「kについての条件」で表されます．
＞ この言い換えを仲介する説明はないのでしょうか？
言い換えではなく，こちらが定義なのです．ばるさんはかなり勉強されているようなので，例えば「tが区間p≦t≦q上を動くとき，直線L(x,y,t)=0の通過範囲Sを求めよ」といった形で経験済みではないかと思いますが如何でしょう？
＞ こんなにいろいろ考えないとダメなのでしょうか・・・(疲
それはばるさんがどのレベルを望まれているかによります．数学教育の現場では，ある概念を教えるにあたり，数学での定義ではなく，何か直観に訴える別のものとして伝えることがあります．例えば，関数f(x)の値域とは何か？を話す際にはグラフを書いて説明するのが普通ですが，値域の定義は
k∈(集合Dを定義域とする関数fの値域) ⇔ x∈Dかつf(x)=kを満たすxが存在する
なのです．1変数の実数値関数ならグラフの絵による理解でも困ることは少ないでしょうが，最初の問のような多変数の関数を理詰めで扱おうとすればやはり定義を踏まえた上でなければ…．
＞どの文字を選ぶか
答で要求された変数以外の全てです．例えば
「a^2+b^2=1かつa,bは実数のとき，aの範囲を求めよ」なら求める条件は
「a^2+b^2=1を満たす実数bが存在するためのaの条件」，
「a^2+b^2=a+b=kかつa,bは実数のとき，kの範囲を求めよ」なら求める条件は
「a^2+b^2=a+b=kを満たす実数a,bが存在するためのkの条件」，
「a^2-4b≠0かつ(a+1)p+b=-aかつp(ap+b)=bかつa,bは実数かつpは複素数のとき，aの範囲を求めよ」なら求める条件は
「a^2-4b≠0かつ(a+1)p+b=-aかつp(ap+b)=bを満たす実数b，複素数pが存在するためのaの条件」です．
|
No.3737 - 2009/08/28(Fri) 21:54:10 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | ＞(S(x)かつT(x))を満たすxが存在する
が成り立つならば
(S(x)を満たすxが存在する)かつ(T(x)を満たすxが存在する)
も成り立ちますが，逆は不可
あ、そうなんですか。。。それを実感する何か簡単な反例の思いつく例をあげてもらえませんでしょうか？
＞とするのがロジカル（≠実践的）な解答です．
実践的な解答には納得のいくロジカルな解答はないのでしょうか？確かに、このように、解答を書けば疑問の余地はないですね。しかし、実際判別式をとると思います。しかし、実践的な解答は僕が詰まったように、何かすっきりしない部分がでてしまう、ということになるのでしょうか？・・・
＞例えば「tが区間p≦t≦q上を動くとき，直線L(x,y,t)=0の通過範囲Sを求めよ」といった形で経験済みではないかと思いますが如何でしょう？
う〜ん、存在条件を意識しますかね・・・通過範囲⇔存在範囲って感じですか？・・・すみません、僕はそんなに勉強してないみたいです。（焦
＞それはばるさんがどのレベルを望まれているかによります
一応京大理系志望なのですが、将来数学との関わりは、特に論理に関しては全くないと思います。
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No.3738 - 2009/08/28(Fri) 23:33:43 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | | | ＞反例
S(x)をx=0，T(x)をx=1など．
＞部分がでてしまう
可能性があるということです．
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No.3740 - 2009/08/29(Sat) 01:00:04 |
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