 | 立て続けに質問させていただきます。どなたかよろしくお願いします。
比例式の値を求める問題です。
問：互いに異なる４数x,y,z,uに対して、次の式が成り立つ時、この式の値を求めよ。
x+y+z/x=y+z+u/y=z+u+x/z=u+x+y/u
です。
まず、定石通り「与比例式=k」とおく。（おいた式を＊とする）
＊⇔
x+y+z=kx…?@
かつy+z+u=ky…?A
かつz+u+x=kz…?B
かつu+x+y=ku…?C
(ただしx,y,z,u≠０)
とここまでは良いのですが、ここから?@〜?Cの和をとって
3(x+y+z+u)=k(x+y+z+u)…?D
⇔(x+y+z+u)=0またはk=3(ただしx+y+z+u≠0）
質問：解答ではここから場合分けして、答の適不適を確認しているのですが、どうして確認しないといけないのですか？・・・A
また確認するときに、x,y,z,uが互いに異なることを確認の焦点においているのですが、なぜそうなるのですか？・・・B
また確認の理由が?D式は単なる必要条件に過ぎないからだというのであれば（必要条件にすぎないというのもイマイチわかりません・・・C）、例えばx＞２の必要条件がx＞１、x＞０…というように無数にあることを考えれば、?Dで出た２つ必要条件の場合だけ調べればいいという理由は何ですか？・・・D
普通の連立方程式では、例えばx+y=1かつx+2y=1を求めるときに辺々引いてy=0と出てきた必要条件（←必要条件ですよね？…）が正しいかどうか確認しませんよね（確認といっても何を確認なのかわかりませんが・・・E）。でもこの問いは確認する…なぜ！？・・・F
一応質問に記号を振っておきましたので、利用ください。多くなりましたが互いに関連あることだとおもいますので、この手の疑問を解決する一貫した考えみたいなものがありましたらご教授ください。
|
No.3655 - 2009/08/21(Fri) 18:21:12
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | |  | ばるさん，こんばんは．一ノ谷です．
＞ この手の疑問を解決する一貫した考え
それは設問を本来の意味に戻して扱うことです．一般に
「C(x,y,z,u)のとき，f(x,y,z,u)の値（の範囲を表す条件）を求めよ」
という設問の本来の意味は
「C(x,y,z,u)かつf(x,y,z,u)=kを満たすx,y,z,uが存在するためのkの条件を求めよ」
ということです（関数の値域の定義）．よって，今回の設問は
「x,y,z,uは互いに異なる…Ｐ，かつ，(x+y+z)/x=(y+z+u)/y=(z+u+x)/z=(u+x+y)/u=k…Ｑ
を満たす複素数x,y,z,uが存在するための複素数kの条件を求めよ」
であり，Ｐ，Ｑを変形しx,y,z,uについて解く方針で進み，解が存在するようにkを定める，というのが本来の解法です．
ただ，安易な解法でも答えは出てしまうことも多く，上記のような難しげな？解法は浸透していないのが現状で，そうした安易な解法にロジックを求めるのは酷な話です．その意味で質問のうち「?@〜?Cの和をとって」なる解法に直結した部分への回答は保留します．
＞ E
同様にyを消去してx=1を得た後，(x=1かつy=0)⇒(x+y=1かつx+2y=1)の成立をみるのが十分性の確認であり，方程式を解くというのは同値変形ですから，当然，十分性の確認も入用です．ただ，いわゆる解答では
x+y=1かつx+2y=1ゆえにx=1かつy=0
としか書かないことも多く，その場合は
(x+y=1かつx+2y=1)⇔(x=1かつy=0)
と言いたいのだろうと解釈しなければなりません．
以上，判り難い点があればご遠慮なくどうぞ．
|
No.3657 - 2009/08/21(Fri) 23:02:20 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | ん〜…難しげな解法をしってないと数学的には正確に解けないのですか？…安易な解法で正解になる以上、安易な解法にも論理というか理屈がないと問題にならないと思いますが、安易な解法の立場に立った説明はどうしてもできないものですか？特に上の質問C、Dが知りたいのですが…
|
No.3661 - 2009/08/22(Sat) 00:59:52 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [高校１年生] | | | | ＞ C
(?@かつ?Aかつ?Bかつ?C)⇒?Dのみしか示されていないのであれば，?Dが(?@かつ?Aかつ?Bかつ?C)の必要条件であることしか示されていないということです．（必要条件の定義）
＞ D
?Dのみではなく，その解答でも
(?@かつ?Aかつ?Bかつ?C)⇒?Dだから
(?@かつ?Aかつ?Bかつ?C)⇔(?@かつ?Aかつ?Bかつ?Cかつ?D)
として論じるはずですが，…．
|
No.3662 - 2009/08/22(Sat) 01:37:47 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | いろいろ自分で考えていうのですが、Ｄについては、必要条件というものは無数に存在するが、その各必要条件におさまる範囲にしか解が存在しない。（存在するとも限らないが、その範囲外には必ず存在しない）ということだと理解しました。なので、?@〜?Cからテキトーに言える必要条件をひっぱり出してきて（この場合は定石に従ってすべての和をとって）適度に絞られた必要条件のうちから、解を探すのだ。（そのどれかが正解もしくは解なしなのだから）という考えでよろしいでしょうか？
この考えが正しくても疑問はあります。「必要条件というものは無数に存在するが、その各必要条件におさまる範囲にしか解が存在しない。」ことは感覚的にわかっただけでそうである証明はできていないので、これはどう証明するのか。ということです。
それと必要条件で出された解の候補が正しいかどうかの確認作業はどのようにするのですか？例えばこの問題で「互いに異なる４数x,y,z,uに対して、」という文がなかったら、?Dの２つの解の候補はどうやって解であるか調べるのでしょうか？
|
No.3671 - 2009/08/22(Sat) 23:27:36 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | 上の最後の質問で、x,y,z,u≠０を確かめるとおっしゃられそうなので…単純にx+y=1かつx+2y=1から必要条件としてy＝０を導いてその解の候補が正しいかどうかはどうやって確かめるのでしょうか？
|
No.3672 - 2009/08/22(Sat) 23:51:25 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | | | ＞ 考えでよろしいでしょうか？
ＯＫです．
＞ 必要条件におさまる範囲にしか解が存在しない
証明）定数sは条件A(x)の解…（１），B(x)はA(x)の必要条件…（２）であるとき，（１）より命題A(s)は真，（２）より命題A(s)⇒B(s)は真なので，命題B(s)も真，つまり，命題(B(s)の否定)は偽，従って，sは条件(B(x)の否定)の解ではない．
＞ という文がなかったら
本来の設問の構造に従い
「x,y,z,uについて解く方針で進み，解が存在するようにkを定める」…（＊）
ことになります．お手元の解答にこうした指針が述べられていないのであれば，それは残念なことです．
＞ y＝０を導いてその解の候補が正しいかどうかはどうやって確かめるのでしょうか？
x+y=1,x+2y=1はx,yについての条件なので，その解は複素数の「対」です．従って，0は解ではありません．「y=0が必要条件である」ことから判るのは「解は(定数,0)の形である」ということのみです．
以上，逐条的に答えましたが，参考までに（＊）を実行してみます．
まず，一見して約分できるのでk-1=tとおく．すると
x,y,z,uは互いに異なる，
(y+z)/x=(z+u)/y=(u+x)/z=(x+y)/u=t
⇔
x,y,z,uは互いに異なり，どの1つも0でない，
y+z=tx，z+u=ty，u+x=tz，x+y=tu
⇔
x,y,z,uは互いに異なり，どの1つも0でない，
y=tx-z，u=tz-x，(1+2t)z=(1+t^2)x，(1+t^2)z=(1+2t)x
⇔
x,y,z,uは互いに異なり，どの1つも0でない，
y=tx-z，u=tz-x，z=((1+t^2)/(1+2t))x，((1+t^2)/(1+2t))^{2}=1
⇔
x,y,z,uは互いに異なり，どの1つも0でない，
y=(t+1)x，u=-(t+1)x，z=-x，(1+t^2)/(1+2t)=-1つまり(t+1=-iまたはt+1=i)
と同値変形でき，このような複素数x,y,z,uが存在するための複素数kの条件は
k=-iまたはk=i
となる．
今回のような多変数関数の値域に限らず，一般の写像の値域，軌跡，図形の通過範囲などを求める設問の本来の意味は
「条件C(x,y,…,s,t,…)を満たす変数x,y,…が存在するための変数s,t,…の条件を求めよ」であり，それに対する解法も（＊）が本質的です．
|
No.3674 - 2009/08/23(Sun) 01:25:28 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校3年生] | | | |
> 証明）定数sは条件A(x)の解…（１），B(x)はA(x)の必要条件…（２）であるとき，（１）より命題A(s)は真，（２）より命題A(s)⇒B(s)は真なので，命題B(s)も真，つまり，命題(B(s)の否定)は偽，従って，sは条件(B(x)の否定)の解ではない．
すみません。イマイチわからないです。必要条件はそれ以外に解はもたない、とそのまま言っているような気がします。。。
> x+y=1,x+2y=1はx,yについての条件なので，その解は複素数の「対」です．従って，0は解ではありません．「y=0が必要条件である」ことから判るのは「解は(定数,0)の形である」ということのみです．
「対」って何ですか？あと、解は（定数，０）の定数であることはどうやってわかるのでしょうか。。。すみませんわからずやで。
|
No.3681 - 2009/08/24(Mon) 00:25:50 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [高校１年生] | | | | ＞ 必要条件はそれ以外に解はもたない
とはいっていません．上で証明したのは「A(x)の解はB(x)の解である」ということ，即ち
＞ 各必要条件におさまる範囲にしか解が存在しない…（＊）
ということで，証明が自明に見えるなら（＊）も同様に…．
もし，A(x)の必要条件を沢山導くと，A(x)の解を探す範囲が広がるように感じているのであれば，それは錯覚であり，例えば，A(x)⇒B(x)，A(x)⇒C(x)が判れば，A(x)⇒(B(x)かつC(x))が得られます．
＞「対」
例えば，2数a，bの対とは(a，b)のことです．
＞ 定数であることはどうやってわかるのでしょうか
2変数の連立方程式の解は，定数の対だからです．
今回も逐条的に答えましたが，これまでの私のコメント，例えば
質問DについてのNo.3662の回答は理解されているのでしょうか？
|
No.3682 - 2009/08/24(Mon) 01:17:23 |
| ☆ Re: 計算、論理 / ばる ♂ [四国] [高校１年生] | | | | ＞質問DについてのNo.3662の回答
理解…してないです（汗
すみません
|
No.3689 - 2009/08/24(Mon) 22:54:59 |
| ☆ Re: 計算、論理 / 一ノ谷 [社会人] | | | | 判りました．私も（汗
では一度，問題点を整理してみます．私が見るところ，ばるさんの疑問は
（１）「答の適不適を確認」といった，この問題固有の部分
（２）必要条件などの論理についての部分
からなっています（他にあれば，或いは外れていれば言って下さい）．勿論この（１），（２）に関連性はあるのですが，まとめてお話するのは混乱の元であり，スレッドも長くなりましたので，改めて一方ずつ解説しようと思いますが，どうでしょう？（同意であれば，返信は新スレッドでお願いします）
|
No.3690 - 2009/08/24(Mon) 23:41:02 |
|
