 | こんばんは。随分前にも質問させてもらったものです。
以下の問題が解りません。とりあえず,問題を書きます。
問題
整数を係数とする2次多項式f(x)で2次の項の係数が正であるものが与えられている。
任意の実数xに対して,平面上の単位円Ｃ上の点Ｐを
P(x)=(cos2πf(x),sin2πf(x))と定める。
円周Cの弧Iで,長さがＬ(0＜L＜2π)であるものを固定する。
そのとき各自然数kに対して,区間[k,k+1]の部分集合
{x|k≦x≦k+1,P(x)∈I}
は互いに交わらない有限個の区間の和集合になっているので,
それらの区間の長さの和をT_kで表す。
lim[k→∞]T_k=L/2π を証明せよ。 (東京大学2001年後期3番)
私はとりあえず以下のように考えました。
?@聞かれているのはk→∞としたときなので,f(x)＞0,f´(x)＞0,f´´(x)＞0としてよい
?A弧度法より，2πf(x)が
2πθ+2πn≦2πf(x)≦2πθ+L+2πn (2πθはLの始まる角度,0＜θ＜1)
の範囲を満たせば，P(x)∈I となる。
2πで割って，
n+θ≦f(x)≦n+θ+L/2π
θ，Lは固定された数なので，n,xについて考えてみると
k≦x≦k+1を満たすxに対して，整数nが存在すればP(x)∈Iとなるわけだから，
nが存在するようなk≦x≦k+1の区間の和がT_kである。
?B?Aを纏めれば，
f(k)≦f(x)≦f(k+1)…A
n+θ≦f(x)≦n+θ+L/2π…B
を満たすようなxの長さを考えればいいことになる。
?CAの区間の幅はf(x)の課程より整数値，Bの区間の幅はL/2πで,
Lの定め方より0＜L/2π＜1 である。L/2πは等間隔に並んでいる。
?D
f(k)+θ≦f(x)≦f(k)+θ+L/2π から {f(k+1)-2}+θ≦f(x)≦{f(k+1)-2}+θ+L/2π
がAに必ず含まれる区間Bなので, その幅の和はL/2π*{f(k+1)-f(k)-1}
Aよりはみ出す可能性のある区間も考慮するときは,
{f(k)-1}+θ≦f(x)≦{f(x)-1}+θ+L/2π から {f(k+1)-1}+θ≦f(x)≦{f(k+1)-1}+θ+L/2π なので, 幅の和はL/2π*{f(k+1)-f(k)+1}
以上より
L/2π*{f(k+1)-f(k)-1}＜T_k＜L/2π*{f(k+1)-f(k)+1}
と挟めることがわかる。
…と、ここまでやったのですが、収束する気配がありません。
挟み込みが甘いからなんでしょうが…
ここからどう進めてよいかがわかりません。
回答宜しく御願い致します。
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No.6781 - 2012/02/02(Thu) 18:57:22
| ☆ Re: 極限 / IT ♂ [中国] [社会人] | | |  | arcさん はじめましてITです。いっしょに考えて行きましょう。
（答案として満点はとれないかも知れませんが、考え方だけでもやりましょう）
> 以上より
> L/2π*{f(k+1)-f(k)-1}＜T_k＜L/2π*{f(k+1)-f(k)+1}
> と挟めることがわかる。
arcさんの途中の考察の詳細は検証中ですが、少なくとも上記のところ（最後）は間違ってます。
ｙ＝f(x) として考えてみると
・T_k は x側 の幅ですが
・L/2π*{f(k+1)-f(k)-1}, L/2π*{f(k+1)-f(k)+1}は、ｙ側の幅です。
これらｙ側の幅に対応する x側 の幅を考える必要があります。
（xが十分大きいところで）
yの増分?凉と xの増分?凅 の比を考えるとどうなりますか。
f(x)を２次多項式として表現して計算してみてください。
ｙ＝f(x)のグラフを描いて考えてみてください。
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No.6783 - 2012/02/04(Sat) 06:51:20 |
| ☆ Re: 極限 / arc ♂ [中国] [高校3年生] | | | | 返信有り難う御座います。
＞
> 以上より
> L/2π*{f(k+1)-f(k)-1}＜T_k＜L/2π*{f(k+1)-f(k)+1}
> と挟めることがわかる。
arcさんの途中の考察の詳細は検証中ですが、少なくとも上記のところ（最後）は間違ってます。
ｙ＝f(x) として考えてみると
・T_k は x側 の幅ですが
・L/2π*{f(k+1)-f(k)-1},L/2π*{f(k+1)-f(k)+1}は、ｙ側の幅です。
確かにそうでした…
L/2π*{f(k+1)-f(k)-1}＜T_k＜L/2π*{f(k+1)-f(k)+1} ではりませんね…。
頭が混乱していたようです…
本来は,f(k)≦f(x)≦f(k+1)に含まれる,範囲Bの長さをD_kとすると,
L/2π*{f(k+1)-f(k)-1}＜D_k＜L/2π*{f(k+1)-f(k)+1}
というような意味で書こうと思っていました。どちらにせよ,ここからわからないのですが…。
＞
（xが十分大きいところで）
yの増分?凉と xの増分?凅 の比を考えるとどうなりますか。
f(x)を２次多項式として表現して計算してみてください。
ｙ＝f(x)のグラフを描いて考えてみてください。
y=f(x)とおくと,問題文の仮定より
f(x)=ax^2+bx+c (a＞0)であるので
xにx+Δxを代入すると
f(x+Δx)=a(x+Δx)^2+b(x+Δx)+c
=ax^2+2axΔx+aΔx^2+bx+bΔx+c
なので
Δy=(2ax+b)(Δx)+a(Δx)^2
限りなくxが大きいと見れるときは,(Δx)^2≪(Δx)なので
Δy≒(2ax+b)Δx 従ってΔy/Δx≒2ax+b でよいでしょうか？
追記
L/2π*{f(k+1)-f(k)-1}＜D_k＜L/2π*{f(k+1)-f(k)+1}
と評価しましたが,D_kはもとめられることに気付きました。
f(k)+θ≦f(x)≦f(k)+θ+L/2π がはじめ
{f(k+1)-1}+θ≦f(x)≦{f(k+1)-1}+θ+L/2π がおわりの区間
f(k)+θは,f(k)よりもθ右側にあり
f(k+1)-1+θ+L/2π はf(k+1)よりもθ+L/2π大きい範囲までの長さがある
以上より,
「f(k)+θ≦f(x)≦f(k)+θ+L/2π から {f(k+1)-2}+θ≦f(x)≦{f(k+1)-2}+θ+L/2π
がAに必ず含まれる区間Bなので, その幅の和はL/2π*{f(k+1)-f(k)-1}」
としていたものに,
「Aよりはみ出す可能性のある区間も考慮するときは,
{f(k)-1}+θ≦f(x)≦{f(x)-1}+θ+L/2π から {f(k+1)-1}+θ≦f(x)≦{f(k+1)-1}+θ+L/2π なので, 幅の和はL/2π*{f(k+1)-f(k)+1}」
としたときの,はみ出ていない長さ(L/2π)を足して,
D_k=L/2π{f(k+1)-f(k)} となる。
とD_kは決定できました。また続きを考えます。
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No.6786 - 2012/02/04(Sat) 16:35:44 |
| ☆ Re: 極限 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | > 返信有り難う御座います。
arcさんこんにちは、細かい表現とｘ側、ｙ側の混同は別にして、最初に書いておられる進め方で良いと思います。
> （xが十分大きいところで）
> yの増分?凉と xの増分?凅 の比を考えるとどうなりますか。
> y=f(x)とおくと,問題文の仮定より
> f(x)=ax^2+bx+c (a＞0)であるので
> xにx+Δxを代入すると
> f(x+Δx)=a(x+Δx)^2+b(x+Δx)+c
> =ax^2+2axΔx+aΔx^2+bx+bΔx+c
> なので
> Δy=(2ax+b)(Δx)+a(Δx)^2
> 限りなくxが大きいと見れるときは,(Δx)^2≪(Δx)なので
> Δy≒(2ax+b)Δx 従ってΔy/Δx≒2ax+b でよいでしょうか？
「限りなくxが大きいと見れるときは,(Δx)^2≪(Δx)なので」は、いえません。
※ (Δx)^2≪(Δx)には、 ｘが出てきません
区間[k,k+1]における Δy/Δx を
≒の表現を使わず、例えば「平均値の定理」を使って、上下から挟んで評価すると良いと思います。どうなりますか？
（※「平均値の定理」を使わなくても直接評価できるかも知れませんが）
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No.6787 - 2012/02/04(Sat) 16:47:32 |
| ☆ Re: 極限 / arc ♂ [中国] [高校3年生] | | | | ああ、ごめんなさい。一般的な話でなく問題での話ですね… 早とちりでした。
上下から評価,というのは
f´(x)はf´´(x)＞0なので狭義単調増加,(∵xは十分大きい)
f´(k)＜f´(α)＜f´(k+1) がいえ(k＜α＜k+1),代入して
2ak+b＜f´(α)＜2ak+2a+b
ということでしょうか？
あと,前のレスに追記しましたので見ていただけるとありがたいです。
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No.6789 - 2012/02/04(Sat) 17:00:04 |
| ☆ Re: 極限 / arc ♂ [中国] [高校１年生] | | | | ＞「限りなくxが大きいと見れるときは,(Δx)^2≪(Δx)なので」は、いえません。
※ (Δx)^2≪(Δx)には、 ｘが出てきません
あ… そうですね。
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No.6790 - 2012/02/04(Sat) 17:03:49 |
| ☆ Re: 極限 / arc ♂ [中国] [高校3年生] | | | | f(k+1)-f(k)の評価でしたら,(分母にk+1-k)
平均値の定理より
f(k+1)-f(k)=f´(α) なので 先ほどのレスと合わせて
f´(k)＜f(k+1)-f(k)＜f´(k+1) となり
L/2π*f´(k)＜D_k＜L/2π*f´(k+1) と挟めますね。
ただ,ここからがわかりません…。
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No.6791 - 2012/02/04(Sat) 17:22:37 |
| ☆ Re: 極限 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | > 上下から評価,というのは
> f´(x)はf´´(x)＞0なので狭義単調増加,(∵xは十分大きい)
> f´(k)＜f´(α)＜f´(k+1) がいえ(k＜α＜k+1),代入して
> 2ak+b＜f´(α)＜2ak+2a+b
>
> ということでしょうか？
いいと思います。
考え方の概要を示します。（表現は省略したところがあります）
Δx/Δyではあいまいなので
ｙ側の区間 D_k(1)‥D_k(i)‥D_k(ｎ）これらの各区間に対応する
ｘ側の区間 T_k(1)‥T_k(i)‥T_k(ｎ）とします。
それぞれの区間に対して
D_k(i)／T_k(i) ＝ f´(αi) (k＜αi＜k+1)
T_k(i) ＝ D_k(i)／f´(αi)
※ここまでは良いですか。
T_k が D_k／f´(k+1)、D_k／f´(k) により両側から評価できると思いますがいかがでしょう？
D_k、f´(k)、f´(k+1)を、k,a,bを使って具体的な式で表して評価して下さい。
D_kは確定しなくても、元の範囲表現のままでも大丈夫だと思います。
（出入りの幅は、ｋ→∞のとき ｘ側では、いくらでも小さくなり無視できるので）
> あと,前のレスに追記しましたので見ていただけるとありがたいです。
確認します。しばらくお待ちください
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No.6792 - 2012/02/04(Sat) 17:28:50 |
| ☆ Re: 極限 / arc ♂ [中国] [高校１年生] | | | | D_k…区間Aに含まれる区間Bの長さ
T_k…区間Aに含まれる区間Bの値を取るようなxの長さ
で
k≦x≦k+1 の範囲の中で,
f(x)は狭義単調増加なので,あるf(x)に対し,対応するxはただ1つ存在する。
あるnに対する,範囲Bのうちの一つの区間に注目すると,その長さはL/2πで
対応するxの長さをMとする。(m_s≦x≦m_g)と範囲を設定しておく。m_g-m_s=M
この区間におけるf(x)の傾きは，
(m_s,f(m_s))における接線の傾きより大きく,(m_g,f(m_g))における接線の傾きより小さい。(ITさんの考えを使いました)
ここまで考えました。あと一息のような気がします。
夕飯なので,またその後考えます。
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No.6795 - 2012/02/04(Sat) 19:04:06 |
| ☆ Re: 極限 / arc ♂ [中国] [高校3年生] | | | | レスありがとうございます。
No.6795での私の書き込みは一旦無かった事にして,
ITさんの考えで進めてみます。
解答つづき
ｙ側の区間 D_k(1)‥D_k(i)‥D_k(ｎ）これらの各区間に対応する
ｘ側の区間 T_k(1)‥T_k(i)‥T_k(ｎ）とする。
それぞれの区間に対して
D_k(i)／T_k(i) ＝ f´(αi) (k＜αi＜k+1)
T_k(i) ＝ D_k(i)／f´(αi)
である。 (ここまでは6795で考えました。)
さて,これより
Σ[i=1,n]T_k(i)=Σ[i=1,n]D_k(i)／f´(αi)
がいえる。また先ほどの平均値の定理の発想より
Σ[i=1,n]D_k(i)/f´(k+1)＜Σ[i=1,n]T_k(i)＜Σ[i=1,n]D_k(i)/f´(k)
がいえ,
Σ[i=1,n]D_k(i)=D_k=L/2π*{f(k+1)-f(k)}←はさみうちを考えるので，確かに確定する必要はなかったですね。
なので
L/2π*{f(k+1)-f(k)}/f´(k+1)＜T_k＜L/2π*{f(k+1)-f(k)}/f´(k)
となり
{f(k+1)-f(k)}/f´(k+1)=2ak+a+b/2ak+2a+b
{f(k+1)-f(k)}/f´(k)=2ak+a+b/2ak+b
なのでk→∞とすればどちらも1に収束する。
従って，はさみうちの原理により
T_k→L/2π へ収束する。
でよいでしょうか？
…しかし，難しいです。長い時間をかけて解いたのでなんとか理解できますが。。
|
No.6797 - 2012/02/04(Sat) 21:02:25 |
| ☆ Re: 極限 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | > No.6795での私の書き込みは一旦無かった事にして,
> ITさんの考えで進めてみます。
>
> 従って，はさみうちの原理により
> T_k→L/2π へ収束する。
> でよいでしょうか？
考え方は、いいと思います。(細かい表現などでは、再確認すべきところがあると思いますが)
> …しかし，難しいです。長い時間をかけて解いたのでなんとか理解できますが。
私も直ぐには問題の意味が分りませんでした。
グラフを描いてみて、証明すべき命題の意味がわかり、正しそうだと思いました。
ｘ→∞ではy＝f(x)は、傾きがいくらでも大きくなり、直線に近づく。
またｙ側のD_kとｘ側でのT_kとの関係が見えて来ました。
まず大雑把に近似的に傾きをΔy/Δxとして考えましたが、正確な証明では平均値の定理を使ってf´で評価しました。
さて、追記のところは、少し表現不足や表記ミスがあるのではないでしょうか？
例えば
>f(k+1)-1+θ+L/2π はf(k+1)よりもθ+L/2π大きい範囲までの長さがある は、
-1+θ+L/2π > 0 ならば
f(k+1)-1+θ+L/2π はf(k+1)よりも -1+θ+L/2π大きい範囲までの長さがある
の間違いでは？
示したいことは、領域より小さいほうから最初の区間に入る部分と最後の区間からはみ出す部分が同じ長さで±0ということで正しいと思いますが、・・・
|
No.6798 - 2012/02/04(Sat) 21:36:43 |
| ☆ Re: 極限 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | 平均値の定理を使わなくても同じことが言えますね
0≦α＜β≦1 について
f(k+β)-f(k+α)＝a(k+β)^2 + b(k+β) + c - {a(k+α)^2 + b(k+α) + c}
展開して整理 ＝2ak(β-α) + a(β^2-α^2) + b(β-α)
＝{2ak + a(β+α) + b}(β-α)
β-α ＝{ f(k+β)-f(k+α)}/{2ak + a(β+α) + b}
{ f(k+β)-f(k+α)}/{2ak + 2a + b} ＜ β-α ＜ { f(k+β)-f(k+α)}/{2ak + b}
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No.6799 - 2012/02/04(Sat) 22:32:22 |
| ☆ Re: 極限 / arc ♂ [中国] [高校１年生] | | | | レスありがとうございます。
>>6798
そうですね，とりあえず解くことを先決にしたかったのでちょっと曖昧だったと思います。とりあえず，今までの事を纏めて解答にしたいと思うので，見てもらえると有り難いです。
>>6799
なるほど…、参考になります。
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No.6800 - 2012/02/05(Sun) 01:43:01 |
| ☆ Re: 極限 / IT ♂ [中国] [社会人] | | | | > とりあえず，今までの事を纏めて解答にしたいと思うので，見てもらえると有り難いです。
了解しました。お待ちしてます。では、今日はおやすみなさい。
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No.6801 - 2012/02/05(Sun) 02:00:03 |
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