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★ (No Subject) / みさき ♀ [四国] [高校１年生]
はじめまして。
○×ゲームについてなんですがお願いします。学校のプリントです。
問題１
どちらも引き分けになる場合は何通りあるか。
問題２
○とバツでは数学的にどちらが有利か。
問題３
どのようにルールを改良すれば、○×ゲームがより公平になるか。

考えてもかんがえてもわかりません。ご迷惑をおかけしますがよろしくお願いします。
No.3601 - 2009/08/12(Wed) 14:54:37
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
みさきさん、こんばんは。
お返事が遅くなってすみません。
すももが回答いたします。

と言いたいところなのですが…
この問題の記述だけで解を導くことは不可能です。
どうなると勝ちでどうなると負けなのでしょう？
書き落としがないか確認して下さい。
No.3615 - 2009/08/16(Sun) 22:45:49
☆ Re: / みさき ♀ [四国] [高校１年生]
あの〜すみません。。
なかなか返事が書き込まれなかったので
学校の先生に聞いて、ヒントをもらいました。
それで考えてみるとやっとわかりました。。。
すももさん、投稿してくださったのに本当にすいません！！！
ありがとうございました。
No.3619 - 2009/08/17(Mon) 15:30:41
★ (No Subject) / カイト ♂ [近畿] [高校3年生]
こんにちは、何度か質問させていただいています。
今回も宜しくお願いします。
クリア数学演習?V・Ｃ受験編からです。
関数ｆ(ｘ)＝√｛1＋ｘ｝の逆関数をｆ＾−1(ｘ)とするとき、
ｆ＾−1(ｘ)≧ｆ(ｘ)となるｘの値の範囲を求めよ。
なのですが、解答にはｘ≧０においてグラフから
ｘ＾2−1≧√｛1＋ｘ｝⇔ｘ＾2−1≧ｘであることを利用すると
しるしてあるのですが、これはなぜなのでしょうか。
どうぞお願いします。
No.3602 - 2009/08/12(Wed) 18:20:25
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [社会人]
こんばんは、カイトさん。
「ｆ（ｘ）のグラフとｆ-1（ｘ）のグラフはある直線について対称である。」
ということはご存知ですか？
ご存知ならその直線の方程式は？
No.3603 - 2009/08/12(Wed) 18:56:35
☆ Re: / カイト ♂ [近畿] [高校3年生]
y=ｘですよね。すみません、グラフを自分で書いてみたらわかりました。
情けないことに僕は基本事項が身に付いていないようです。ありがとうございました。
No.3604 - 2009/08/12(Wed) 20:48:05
★ 場合の数です / かりん ♀ [関東] [高校１年生]
はじめまして。お願いいたします。
問題　
A,B,C,Dの4人がそれぞれプレゼントを交換するとき、自分のプレゼントが当たらない確率を求めなさい。

全体の場合の数は、４×３×２×１＝２４通り
このあとの考え方がわかりません。

１−の考え方を使うのでしょうか。

お願いいたします。
No.3599 - 2009/08/11(Tue) 23:21:28
☆ Re: 場合の数です / 七 ♂ [近畿] [社会人]
かりんさん、はじめまして。

> 全体の場合の数は、４×３×２×１＝２４通り

このタイプの問題は全部で24通りというのが多いようです。
24通りぐらいなら全部書き出してみてもすぐ答えはわかりますよ。

さらに理解を深めたいなら「完全順列」というキーワードでネット上を検索することをお勧めします。
No.3600 - 2009/08/12(Wed) 08:04:32
★ (No Subject) / しん ♂ [九州] [高校2年生]
こんにちは。
塾のテキストの問題ですがお願いします。

a,b,c,d,を正の数とする。
不等式s(1-a)-tb>0と-sc+t(1-d)>0を同時に満たす正の数s,tがあるとき
２次方程式x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0は-1<x<1の範囲に異なる２つの実数解を持つことを示せ。

方針からわかりません。
よろしくお願いします。
No.3577 - 2009/08/08(Sat) 12:38:24
☆ Re: / しん ♂ [九州] [高校１年生]
ageます。
どなたかお願いします。
No.3595 - 2009/08/11(Tue) 17:26:54
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
しんさん、こんばんは。河童です。

この問題には、以前わたしが回答しております。
この板の３ページ目にありますので、参考にしてください。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=suugaku&page=3

もちろん、ご質問があればどうぞ。
No.3598 - 2009/08/11(Tue) 23:16:51
★ 一次不定方程式の一般解 / ヘボ太 [浪人生]
よろしくお願いします。
(1)の解答の流れは理解できたのですが、答えについて質問があります。

【問題】
(1)直線7x+9y=1のうえのx,yがともに整数であるような座標平面上の点(x,y)をすべて求めよ.
(2)(1)で求めた点のうち原点からの距離が50以内にあるものの個数を求めよ。

【解答】
7x+9y=1･･･?@
7(-5)+9･4=1･･･?A
?@-?Aより
7(x+5)+9(y-4)=0
∴x+5=-9/7(y-4)･･･?B
xは整数より、y-4=7k(kは整数)
このとき、?Bに代入してx+5=-9k
したがって、(x,y)=(-9k-5,7k+4)（kは整数）


以上ですが、?Aの式を7･4+9(-3)=1とすると、答えが
(x,y)=(9k+4,-7k-3)(kは整数)
となると思います。
多分どっちも正解なのだと思うのですが、前者の答えでk=0を代入すると(-5,4)となりますが、後者の答えだとx=-5となるkがないように思います。
だからどっちもなぜ正解なのか、わかりません。

よろしくお願いします。
No.3593 - 2009/08/10(Mon) 23:50:41
☆ Re: 一次不定方程式の一般解 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
おはようございます，ＣＯＲＮＯ です．
あっさりといきます．

＞多分どっちも正解なのだと思うのですが、
　そのとおり，どちらも正解です．

＞後者の答えだとx=-5となるkがないように思います。
　いえ，ｋ＝−１ で，(−５，４) が得られます．
No.3594 - 2009/08/11(Tue) 05:39:46
☆ Re: 一次不定方程式の一般解 / ヘボ太 [高校１年生]
ありがとうございました。
No.3596 - 2009/08/11(Tue) 22:27:01
★ 二次関数 / 里美 ♀ [近畿] [高校１年生]
｛問題｝方程式ａx^2+（a+8)+2a-8=0の少なくとも1つの実数解が正であるように、定数aの値の範囲を定めよ。　　　黄チャート　１５１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x^2の定数がａなので、ａ>0とａ<0とa＝0の場合を考えた。まず、D≧0より、−8／7≦a≦8　　ａ>0だから　0<ａ≦８　　軸についてｘ＝-a-8/2aが負になってf(0)<0になるのは分かりますが、　　ａ<0の時　つまり　ー8/7≦ａ<0の場合　軸についてｘ＝-a-8/2aが正になっても実数解が２つとも正になるのが分かりません。だから、f(0)<0が導けません。　軸が正でも、実数解の1つが負でもう1つが正の場合も考えれるので・・・
どうか教えて下さい。
No.3579 - 2009/08/09(Sun) 13:26:45
☆ Re: 二次関数 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
里美さん、こんにちは。
>　ａ＞0とａ＜0とa＝0の場合を考えた。まず、D≧0より、…
の部分に不安を感じたので、ここから話を始めます。
f(x)=ａx^2+(a+8)x+2a-8 とおくと、判別式Dを考えることができるのは a≠0　のときだけです。
したがって、実際の答案はたとえば次のように進めたほうがいいと思います。

[1] a＝0　のとき　f(x)＝8ｘ-8　だから方程式　f(x)=0 は正の解を一つもつ。
[2] a≠0　のとき　D≧0　より、-8/7≦a＜0、0＜a≦8
(1) 0＜a≦8 のとき…
(2) -8/7≦a＜0 のとき…

さて、軸の位置がどうであろうと
a＞0 のときは f(0)＜0、a＜0 のときは f(0)＞0　であれば
方程式 f(x)=0 は正負2つの解をもつ。

ということはわかりますか？
No.3583 - 2009/08/09(Sun) 15:39:53
☆ Re: 二次関数 / 里美 ♀ [近畿] [高校１年生]

>>どうして[1] a＝0　のとき　[2] a≠0　のとき　に分けるのか良く分かりました。
(1)0＜a≦8 のときf(0)＜0で、a＜4だから　0＜a＜4
ここまでは分かります。
(2) -8/7≦a＜0 のとき…　　
チャートの解答にある　　　軸について　　ｘ＝−a-8/2a ＞0 また　f(0)=2a-8＜0
よって　ｘ軸の正の部分と共有点をもつ。
の部分が分かりません。a＜0 のときは f(0)＞0なのにどうして(0)=2a-8＜0になるのでしょうか？
No.3585 - 2009/08/09(Sun) 21:24:32
☆ Re: 二次関数 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
(1) がよくわかっていないようですね。
0＜a≦8 のときf(0)=0 つまり a=4 ならば　x=0 は f(x)=0 の解のひとつですがもうひとつの解はどうなるでしょう？
また、f(0)＞0 つまり 4＜a≦8 のときは2つの実数解はどうなりますか？
No.3587 - 2009/08/10(Mon) 06:58:13
☆ Re: 二次関数 / 里美 ♀ [近畿] [高校１年生]
返信ありがとうございます。
> 0＜a≦8 のときf(0)=0 つまり a=4 ならば　x=0 は f(x)=0 の解のひとつですがもうひとつの解はどうなるでしょう？　　　　ｘ＝−３　　
> また、f(0)＞0 つまり 4＜a≦8 のときは2つの実数解はどうなりますか？
　　　どちらも負になります。
No.3588 - 2009/08/10(Mon) 08:39:03
☆ Re: 二次関数 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
それがお分かりなら（2）は簡単でしょう？
No.3589 - 2009/08/10(Mon) 13:58:55
☆ Re: 二次関数 / 里美 ♀ [近畿] [高校１年生]
返信ありがとうございます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
それが私には簡単では　ないのです。
(2) -8/7≦a＜0 のとき…　　例えば　a=1の時　X＝2　とX＝５で　どちらも正になり
ｆ(0)＜0になります。　だから　（１）0＜a＜4　(2)-8/7≦a＜0 で　答えが
　-8/7≦a＜4　　　これでいいのでしょうか？
No.3590 - 2009/08/10(Mon) 19:55:58
☆ Re: 二次関数 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
a＜0　のときf(0)＞0であればf(0)=0は正の解と負の解を1つずつもちます。
f(0)＜0であれば、実数解をもつのであればそれは2つとも正であるか2つとも負になります。どちらであるのかを判定するのはこの問題では軸の位置です。

（1）でf(0)＞0 つまり 4＜a≦8 のときは2つの実数解がどちらも負になるのは
軸についてｘ＝-（a+8）/2aが負になっているからです。

> -8/7≦a＜4　　　これでいいのでしょうか？
[1][2]よりそうなりますね。
No.3591 - 2009/08/10(Mon) 20:19:30
☆ Re: 二次関数 / 里美 ♀ [近畿] [高校１年生]
やっと　理解しました。
よくわかりました。　ありがとうございました。
No.3592 - 2009/08/10(Mon) 21:49:56
★ ★ / Skitzoid ♂ [地球外] [高校2年生]
こんばんは。高２のSkitzoidです。出典は塾のテキストからです。
定積分と不等式についての問題の質問です。0∫1→0から1
｜0∫1　2xsinx/(1+x^2)dx｜≦1/2を証明せよ。

（途中経過）
｜0∫1　2xsinx/(1+x^2)dx｜≦0∫1　｜2xsinx/(1+x^2)｜dx・・・・?@
ここで{0.1}で2x/(1+x^2)^2≧0 ｜sinx｜≦1
より　?@の右辺≦0∫1 2x/(1+x^2) dx=1/2
よって与式は示された。　　■



ここで｜sinx｜の部分なのですが　｜sinx｜≦1でなく｜sinx｜＜1ではないのですか？
xが０から１の範囲なのでsinxは１未満になると思うのですが、それでは与式は示せません。　しかしこの１未満でなく１以下であることに納得いきません。　よろしくお願いします。
No.3576 - 2009/08/07(Fri) 23:10:59
☆ Re: ★ / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
Skitzoidさん、こんにちは。ウッちょんが回答いたします。

（以下8/10に修正）
【注意】ここには今まで４レスに渡る長文の回答がありましたが、一ノ谷先生のご指摘を受け、冗長かつ誤りを含んでいるということが分かりました。
よっていったんすべての回答を取り下げ、新たに回答をし直すことにいたしました。
既に読んでおられる場合には大変申し訳ないのですが、いったん忘れてください。
Skitzoidさん、読者の皆様、たいへん申し訳ございませんでした。
（なお、元の回答のログは保存してあるため、再掲せよとのご指示がありました場合は対応できます）

さてさて、ご質問の問題はおいておいて、まず一般論から整理したいと思います。
Skitzoidさんの混乱の原因は、「Ａ≦Ｂ」という式の定義をきちんと理解していないことであると思われます。
改めて確認しますが、「Ａ≦Ｂ」の定義は「Ａ＝ＢまたはＡ＜Ｂ」です。

「そんなこと、いわれなくても分かってる」とおっしゃるかもしれません。
少し確認してみましょう。

練習問題です。
次のうち、正しい式をすべて選んでください。
（あ）１＜２
（い）１≦２
（う）２≦２

さあ、どうでしょう？
No.3580 - 2009/08/09(Sun) 15:35:05
★ (No Subject) / ｻﾄｼ ♂ [近畿] [浪人生]
こんばんは。三角関数の問題について質問させてください。

出典は　大学への数学1対1対応の演習　数学?U三角関数例題13　です。

【問題】

x,yは0°≦x≦90°,0°≦y≦90°であり、cosx+coxy=1を満たしている。このとき、
1/2≦cos{(x+y)/2}≦1/√2を示せ。

【解答】

cosx+coxy=1により、2cos{(x+y)/2}cos{(x-y)/2}=1……?@

x-yの取り得る範囲は、-90°以上90°以下であるから、

-45°≦(x-y)/2≦45°　　∴1/√2≦cos{(x-y)/2}≦1

?@とから、1/2≦cos{(x+y)/2}≦1/√2……[?T]



とあるのですが、

0°≦x≦90°,0°≦y≦90°より0°≦x+y≦180°であるから

0°≦(x+y)/2≦90°　∴0≦cos{(x+y)/2}≦1……[?U]

として、「[?T]かつ[?U]」とする必要はないのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.3523 - 2009/07/30(Thu) 22:29:03
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [社会人]
こんにちは、ｻﾄｼさん。
本当に納得してもらえるか不安なのですが回答させていただきます。

> 0°≦x≦90°,0°≦y≦90°より0°≦x+y≦180°であるから
>
> 0°≦(x+y)/2≦90°　∴0≦cos{(x+y)/2}≦1……[?U]

の部分はまったく正しいのですがなぜ答案に必要だと感じられたのでしょうか？
もし私が採点する立場であったら、答案にこの部分があれば減点すると思います。
No.3527 - 2009/07/31(Fri) 17:23:02
☆ Re: / ｻﾄｼ ♂ [近畿] [浪人生]
回答ありがとうございます。

まず最初に

0°≦x≦90°,0°≦y≦90°の条件より　0≦cos{(x+y)/2}≦1　を導いてから

その後に　cosx+coxy=1　の条件を使って　1/2≦cos{(x+y)/2}≦1/√2　として

2つの不等式の共通部分と解答したのですが……

【解答】のようにした時点で、すでに与えられた3つの条件を使っているので

0≦cos{(x+y)/2}≦1の式は必要ないということでしょうか？
No.3528 - 2009/07/31(Fri) 18:02:36
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [社会人]
> まず最初に
>
> 0°≦x≦90°,0°≦y≦90°の条件より　0≦cos{(x+y)/2}≦1　を導いてから

なぜ最初に(x+y)/2についての余弦の範囲を考えるのかわかりません。
と言ったら言い過ぎでしょうね。最初に答案にこのことを書いてしまったとしても
和→積の公式を使って変形した後でcos{(x-y)/2}の範囲を考えればいいのだと気がついた時点で　0≦cos{(x+y)/2}≦1　の部分は消したほうがいいと思います。
No.3529 - 2009/07/31(Fri) 18:18:57
☆ Re: / ｻﾄｼ ♂ [近畿] [浪人生]

> なぜ最初に(x+y)/2についての余弦の範囲を考えるのかわかりません。

(x+y)/2についての余弦の範囲を求める問題だから考えたのですが……
No.3530 - 2009/07/31(Fri) 22:54:13
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [社会人]
>
> > なぜ最初に(x+y)/2についての余弦の範囲を考えるのかわかりません。
>
> (x+y)/2についての余弦の範囲を求める問題だから考えたのですが……

そうでしょうね。
No.3532 - 2009/08/01(Sat) 02:47:56
☆ Re: / ｻﾄｼ ♂ [近畿] [浪人生]
すみません、返信遅れました。

まだ若干納得しきれていない感じはあるのですが、自分もちょっと考えすぎかなとも思いましたので、この問題に関する質問はこの辺りで終了させてください。

長々とお付き合いいただきありがとうございました。
No.3563 - 2009/08/04(Tue) 22:44:01
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [社会人]
もうご覧になっていないかもしれませんが
私の前々回のレスについて１行目だけについての反応しかなかったので
続きを促したつもりだったのですが…

もう一度くらいはここをご覧になるかもしれませんので

> 0°≦x≦90°,0°≦y≦90°より0°≦x+y≦180°であるから

x+y が0°に近づいたり、180°に近づくことは
cosx+cosy=1 からあり得ないことです。
このことに気づけば

> 最初に答案にこのことを書いてしまったとしても…消したほうがいいと思います。
No.3564 - 2009/08/05(Wed) 10:34:05
☆ Re: / ｻﾄｼ ♂ [近畿] [浪人生]
> 私の前々回のレスについて１行目だけについての反応しかなかったので
> 続きを促したつもりだったのですが…

大変申し訳ないです。。

> x+y が0°に近づいたり、180°に近づくことは
> cosx+cosy=1 からあり得ないことです。

なるほど。少し納得できた感じがします。
No.3578 - 2009/08/08(Sat) 22:33:08
★ ベクトル / RYU ♂ [九州] [高校3年生]
こんばんわ。ベクトルについて質問します。
平面上に平行四角形があり、この平面上の点Ｐに対してvec{OP｝を
vec｛OP｝＝ｓvec｛OA｝＋ｔvec｛OB}で表す。ｓとtが5s＋2t＝3を満たしながら変わるときPは定直線上を動く。その直線と2辺OA、OBとの交点をそれぞれD、Eとするとき
vec{OD}＝（）vec{OA}
vec{OE}＝vec{OB}＋()vec{OA}　以上が問題です。
5s＋2t＝3の両辺を3で割って右辺を1にしてvec｛OP｝の式を変形しました。vec{OD}は求まりましたがvec{OE}の式の右辺vec{OA}の係数がどう求めてよいのか分かりません。図を描いて比を使って解こうとしましたがうまくいきません。宜しくお願いします。
No.3567 - 2009/08/05(Wed) 23:07:12
☆ Re: ベクトル / RYU ♂ [九州] [高校3年生]
問題文の追加訂正です。
平行四角形OACB
2辺のOBはBCです。
申し訳ありません。
No.3568 - 2009/08/05(Wed) 23:13:33
☆ Re: ベクトル / kinopy [塾講師]
こんばんは。kinopyです。

> 図を描いて比を使って解こうとしましたがうまくいきません。宜しくお願いします。
方針は正しいと思います。
線分の長さの比はどこまで分かりましたか？

OA:OD，OB:OEを求めていると思いますので，結果を書き込んでください。
よろしくお願いします。
No.3570 - 2009/08/06(Thu) 18:55:06
☆ Re: ベクトル / RYU ♂ [九州] [高校3年生]
こんばんは。0A：OD＝5：3　OBは比が1　OEに関しては分かりませんでした。
No.3571 - 2009/08/06(Thu) 21:32:04
☆ Re: ベクトル / kinopy [塾講師]
あら？

問題から離れて確認ですが，「ｓとtが5s＋2t＝3を満たしながら変わるときPは定直線上を動く。」
この直線はどんな直線か分かるのですよね？

OA:ODがOKのようですからいけてると思いますが…
No.3572 - 2009/08/06(Thu) 21:45:55
☆ Re: ベクトル / RYU ♂ [九州] [高校3年生]
OEの比も1だと思うのですがどうでしょうが？
No.3573 - 2009/08/06(Thu) 21:59:48
☆ Re: ベクトル / kinopy [塾講師]
確認しますが，5/3S+2/3t=1で
vec｛OP｝=5/3ｓ{3/5vec｛OA}}＋2/3ｔ{3/2vec｛OB}}
ですから，Pはvec{OA'}=3/5vec｛OA}，vec{OB'}=3/2vec｛OB}として
直線A'B'上を動くのですが，ここまでどうですか？

ここまでが分かりにくければ
http://www.lykeion.info/suugaku/jyuuyou/vector/vec1.pdf
を参照して分かりにくい箇所を質問してください。
No.3574 - 2009/08/06(Thu) 22:18:38
★ (No Subject) / あや ♀ [近畿] [高校3年生]
よろしくお願いいたします。

1階から昇りはじめたエレベーターに３人の乗客ABCが乗っている。
この後、エレベーターは２階、３階、４階に止まる。
次の場合につき、どの階でも２以上は降りない確率を求めましょう。

?@各人がどの階で降りるかを、他人と無関係に決める場合。
?A2,3,4階では各人が降りるか降りないかを確率1/2で選べることにし、５階に着いたら必ず降りる場合。

答えが出たのですが、?@は（全体の確率）ー（2人以上降りる確率）を樹形図で求め17/25となりました。もう少しスパッとできる方法はありますか？
?Aは全く歯が立ちません。助けていただきたいです。
No.3534 - 2009/08/01(Sat) 03:45:48
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
あやさん，こんにちは。暑いですね。

この問題の出展は何なのでしょうか？
というのも問題の設定があいまいすぎます。

もし(2)がなく，
｢1階から昇りはじめたエレベーターに３人の乗客ABCが乗っている。
この後、エレベーターは２階、３階、４階に止まる。
各人がどの階で降りるかを、他人と無関係に決める場合、どの階でも２人以上は降りない確率を求めよ｣
という問題をみたら，普通の感覚の人は『このエレベータは４階までだな。AもBもCも必ず2階か3階か4階で降りるのだな』と考えると思います。

それを実は５階もあると言われてもねぇ。そんなの反則です（笑）

このエレベータは何階まであるのでしょう？
(1)の｢どの階｣というのは何階のことでしょう？もし５階があって５階で2人降りても構わないのでしょうか？それもいけないのでしょうか？
これらの条件が与えられていないとこの問題は解けません。
No.3565 - 2009/08/05(Wed) 14:01:27
★ 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校2年生]
はじめましてまにあんと申します。以下の問題がわかりません。回答よろしくお願いします。なお１）は三角関数の定義から普通に解けました。２）〜４）までをおしえてください！（全然見当がつきません。）
問題
ＯＡ＝ＯＢ＝１、∠ＡＯＢ＝π/３である扇型ＯＡＢの孤ＡＢ上に点Ｐをとり、点Ｐから線分ＯＡ、ＯＢに下ろした垂線をそれぞれＰＱ，ＰＲとする。∠ＡＯＰ＝θ （０＜θ＜π/３）として、次の問いに答えよ。
１）線分ＯＱ、ＰＱを求めよ、またＰＱ＝√２/２となるときのθを求めよ。
２）θ＝π/4に対して線分ＰＲの長さを求めよ。
３）二つの三角形ＯＱＲ、ＰＱＲの面積をそれぞれＳ１、Ｓ２とする時それぞれをθを用いて表せ。またＳ１−Ｓ２を求めよ。
４）四角形ＯＱＲPの面積をSとする。３）のＳ１、Ｓ２に対して、Ｓ＝√３（Ｓ１−Ｓ２）となるときのθの値を求めよ。
No.3539 - 2009/08/01(Sat) 17:44:30
☆ Re: 三角関数 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
では，私がいきましょう．

でもその前に，(１) の解答を簡単に書き込んでください．
どの程度「普通に」解いたのかを知りたいのと，(２) 以降に必要な解法になりますから．

続けて，(２) もできたところまでを書き込んでください．
ただ，これも「普通に」解ける問題だと思うのですが…
No.3542 - 2009/08/01(Sat) 18:53:11
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
お願いします。
１）の回答は
sinθがＰＱ/OPより
ＰＱ＝ＯＰsinθとなりＯＰは円の半径であるから、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＰ＝１となり
ＰＱ＝sinθです。
同様にＯＱ＝ＯＰcosθとあらわされるので、
ＯＱ=cosθです。
また、〜以下は
sinθ＝ＰＱ/OP＝(√３/2)/1=√２/２となりました。
２）は三平方の定理を利用して、ＯＱ＝PQ=１/√２が導けて、
ＱＡ＝１−（１/√２）
ということがわかりましたが、それが使えるのかどうかもわかりません。
まったく問題を解くメドが立っていません・・・・。
このような状態です。
No.3543 - 2009/08/01(Sat) 19:07:49
☆ Re: 三角関数 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞sinθ＝ＰＱ/OP＝(√３/2)/1=√２/２となりました。
　あまり大した話ではないですが，「θを求めよ」ですよ．

(２) は，△ＯＰＲ について，『三角比の定義』を使った方がいいでしょう．
No.3544 - 2009/08/01(Sat) 19:18:52
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
わかりました、参考にして解いてみます。！
No.3545 - 2009/08/01(Sat) 19:26:59
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
θと?凾nＰＲがうまくリンクしません。
何か公式とかを使うのですか？
三角比の定義がうまくあてはめられません。
No.3546 - 2009/08/01(Sat) 19:49:13
☆ Re: 三角関数 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
∠ＰＯＲ を θ で表すとどうなりますか？
No.3547 - 2009/08/01(Sat) 19:50:40
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
∠ＡＯＢがπ/3でθ=π/4なので
∠ＡＯＢ−θ＝π/１２となりました。
No.3548 - 2009/08/01(Sat) 19:55:54
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
あっ、ちょっとまってください。
できるかもしれません。
No.3549 - 2009/08/01(Sat) 19:56:42
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
加法定理を利用してsinθの値が（√６−√２）/４とでて
sinθ＝ＰＲ/PO
つまり
ＰＲ＝ＰＯｓｉｎπ/12
だから
ＰＲ＝（√６−√２）/４とでました。
ありがとうございます。
引き続き３）を考えます。
No.3550 - 2009/08/01(Sat) 20:06:53
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
３）よくわかりません
１日考えます。
No.3551 - 2009/08/01(Sat) 20:29:16
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
こんばんは、まにあんです。
とりあえず３）は解くことができました。ありがとうございます。
３）
Ｓ１＝ｓｉｎπ／３＊１／２＊ＲＯ＊ＯＱ
　　＝√３／４ｃｏｓθｃｏｓ（π／３−θ）
同様にして
Ｓ２＝√３／４ｓｉｎθｓｉｎ（π／３−θ）
だから
Ｓ１−Ｓ２＝√３／８と出ました。

上の計算は√３／４でくくって、かっこの中を三角関数の合成を用いて合成し、そうしたら√３／８になりました。
こんな、解答になりますか？

４）は少し考えましたがわかりません。

条件からＳ＝３／８となりました。
Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２だから計算すればいいんだなぁと思ったんですが、うまくひとつの関数にまとめることができませんでした、そこのところでなにかヒントをもらえませんか？
No.3552 - 2009/08/02(Sun) 20:26:25
☆ Re: 三角関数 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは．

３) ですが，確かにその通りなのですが，すべて θ の三角関数で表したものを答にした方がよいと思います．

では，４) ですが，

＞条件からＳ＝３／８となりました。

これは，Ｓ＝√３（Ｓ１−Ｓ２）からのものですね．
でも，Ｓ は「当然」もう一つの表し方があるはずです．
それを考えれば，立式できると思うのですが．
あまり難しく考えないでください，たいしたことではないですからすぐに気がつくと思います．

θ＝π/４，π/１２ となりました．
No.3553 - 2009/08/02(Sun) 20:46:49
☆ Re: 三角関数 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２だから計算すればいいんだなぁと思ったんですが、うまくひとつの関数にまとめることができませんでした、
　ごめんなさい，見落としていました．もう気づいていたのですね．
　では，本当のヒントです．
　「２倍角の公式」と「三角関数の合成」です．
No.3554 - 2009/08/02(Sun) 20:50:27
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
わかりました、参考にして解いてみます。
No.3556 - 2009/08/02(Sun) 22:09:56
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
こんばんは。
今日友人が、解けたらしく、回答をみせてくれました。
しかし、なんとなく個人的にですが、腑に落ちない気がするので、二人で考え中です。
答えがまとまるまでもう少しのところまで来ました。
No.3558 - 2009/08/03(Mon) 22:55:06
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
こんにちは、できました！！！！！
まず、ありがとうございます。

考え方は，３）のＳ１−Ｓ２のあたいを求めるときの計算をＳ１＋Ｓ２で計算しました。
すると、Ｓ＝√３ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θとなりました。
これを合成します。
すると、ｓｉｎ（２θ＋π／６）＝√３／２となりました。（計算省いてすみません。）
問題文のθの定義域を２θ＋π／６に適応させました。
あとはその範囲に従って三角方程式をといたら、θ＝π／４，π／１２となりました。
正しいでしょうか？
とりあえず先日の友人と相談した後互いに計算しなおし、答えが一致したのでおそらくＯＫだと思います。

数学の模試の問題でここまで考えて、助けを借りながら自分で答えを出せたのは、初めてです。
本当にありがとうございました。
No.3560 - 2009/08/04(Tue) 17:53:38
☆ Re: 三角関数 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
それでいいと思います．
よかったですね，また来てください．
No.3561 - 2009/08/04(Tue) 19:16:24
☆ Re: 三角関数 / まにあん ♂ [東海] [高校１年生]
今までありがとうございました！！
No.3562 - 2009/08/04(Tue) 19:29:04
★ 余りの決定 / フキ ♀ [浪人生]
こんばんは。
宜しくお願いします。

（問題）
nを2以上の整数とするとき、整式x＾n-1を(x-1)＾2で割ったときの余りをもとめよ

（解答）
x＾n-1を(x-1)＾2で割ったときの商をQ(x)とし、余りをax+bとすると、次の等式が成り立つ
x＾n-1=(x-1)＾2・Q(x)+ax+b
この等式の両辺にx=1を代入すると
0=a+b・・・☆　　
ゆえに　b=-a　
よって　x＾n-1=(x-1)＾2・Q(x)+ax-a
=(x-1){(x-1)・Q(x)+a}
x＾n-1=(x-1){x＾(n-1)+x＾(n-2)+・・・+1}であるから
x＾(n-1)+x＾(n-2)+・・・+1=(x-1)・Q(x)+a
この等式の両辺にx=1を代入すると
1+1+1+・・+1=a
したがって a=n　ゆえに、求める余りは　nx-n


☆についてですが、これは余り=0と考えても良いのでしょうか？
F(x)=x＾n-1とすると、F(x)=x＾n-1を(x-1)＾2で割ったときの余りはF(1)ですよね。
それなら F(1)=0=a+b なら、余りは0と考えられると思ったのですがどうでしょうか？
No.3490 - 2009/07/23(Thu) 23:59:53
☆ Re: 余りの決定 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
フキさん、こんばんは。河童です。


＞　☆についてですが、これは余り=0と考えても良いのでしょうか？

これはちょっと違います。
解答の２行目

x＾n-1=(x-1)＾2・Q(x)+ax+b　……(*)

この式で、x = 1 とおいた理由は、右辺の第一項

(x-1)＾2・Q(x)

この部分が０になってくれることを期待したからです。
(*) 式の左辺が、たまたま、x^n - 1 であるため、x = 1 とおくと、

1^n - 1 = ( 1 - 1 )^2・Q (x) + a×1 + b

となり、0 = a + b という☆式が出たわけです。
もし、問題の式が、x^n - 1 でなく、x^n を (x - 1)^2 で割った余りを求めよ、となっていれば、(*) 式は、

x＾n = (x-1)＾2・Q(x) + ax + b

となります。
この場合も、x = 1 とおくのですが、このときは、☆式に相当するのは、

1 = a + b

になりますね。

＞　F(x)=x＾n-1とすると、F(x)=x＾n-1を(x-1)＾2で割ったときの余りはF(1)ですよね。
＞　それなら F(1)=0=a+b なら、余りは0と考えられると思ったのですがどうでしょうか？

ここに、フキさんの思い違いの原因があります。
というのは、F(1) を計算すると、『x - 1 で割った余り』が出るのであって、(x-1)^2 で割った余りは出ないのです。

例えば、F(x) = x^3 + 2x -1 を、(x-1)^2 で実際に割り算してみてください。
余りはどうなりますか？
そして、F(1) はどうなりますか？

解答の☆以降の後半の解説は、フキさんのお返事を待ってからさせていただきます。
No.3493 - 2009/07/24(Fri) 02:46:08
☆ Re: 余りの決定 / フキ ♀ [浪人生]
河童さん、こんばんは。


> ＞　F(x)=x＾n-1とすると、F(x)=x＾n-1を(x-1)＾2で割ったときの余りはF(1)ですよね。
> ＞　それなら F(1)=0=a+b なら、余りは0と考えられると思ったのですがどうでしょうか？
>
> ここに、フキさんの思い違いの原因があります。
> というのは、F(1) を計算すると、『x - 1 で割った余り』が出るのであって、(x-1)^2 で割った余りは出ないのです。


指摘された、

> というのは、F(1) を計算すると、『x - 1 で割った余り』が出るのであって、(x-1)^2 で割った余りは出ないのです。

これに関しては、勘違いでした＞＜
ということは、
F(x)=x＾n-1=(x-1)＾2・Q(x)+ax+b としたとき、
F(1)=0=a+b
となるのは、F(x)を(x-1)で割ったときの余りは0になる、と考えても良いのでしょうか？


> 例えば、F(x) = x^3 + 2x -1 を、(x-1)^2 で実際に割り算してみてください。
> 余りはどうなりますか？

5x-3になりました。

> そして、F(1) はどうなりますか？

F(1)=2となりました。
No.3495 - 2009/07/25(Sat) 00:10:47
☆ Re: 余りの決定 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
フキさん、こんばんは。
なるほど、勘違いでしたか＾＾
それではわたしが出した宿題は必要なかったですね。

さて、

＞　F(1)=0=a+b
＞　となるのは、F(x)を(x-1)で割ったときの余りは0になる、と考えても良いのでしょうか？

ここですが、もちろんその通りです。
ただ、余りが０であることは、本問にとって本質的なことではありません。
この意味は、わたしが前回の回答で書いたように、

【問題】x^n を (x - 1)^2 で割った余りを求めよ

という問題をやってみてもらえば分かると思います（これが今回の宿題です＾＾）

重要なのは、(*) 式を、a と b だけの式にしたいという『動機』があって、F(1) を計算したのだということです。
公式や定理をいくらたくさん覚えても、それを使おうと思わなければ意味がありませんよね。

ところで、フキさんは、解答の後半については理解されていますか。
それがＯＫなら、わたしの出した問題も解けるはずなんですが。

あっ、そうそう、答えは簡単なんですよ。
x^n - 1 を (x-1)^2 で割ると余りが nx - n なんですから、
それより１だけ大きい x^n を (x-1)^2 で割ると、余りも１だけ大きい nx - n + 1 になるのは決まっていますね。
フキさんには、質問の問題の模範解答と同じように、わたしの出した問題も解いてもらいたいのです。
No.3496 - 2009/07/25(Sat) 01:40:00
☆ Re: 余りの決定 / フキ ♀ [浪人生]
河童さんからの宿題の解答です

> 【問題】x^n を (x - 1)^2 で割った余りを求めよ

x＾n=(x-1)＾2・Q(x)+ax+b
両辺にx=1を代入
1＾n=a+b
1=a+b
b=1-a
x＾n=(x-1)＾2・Q(x)+ax+1-a
=(x-1){(x-1)・Q(x)+a}+1
ここから先は分かりませんでした・・。

[nを2以上の整数とするとき、整式x＾n-1を(x-1)＾2で割ったときの余りをもとめよ]
この問題については、解説に次の恒等式を利用するとありましたので、利用することで答えを導けるけるということは分かりました。
a＾n-b＾n=(a-b){a＾(n-1)+a＾(n-2)・b+a＾(n-3)・b＾2+……+a・b＾(n-2)+b＾(n-1)}

しかし、河童さんが出題されたものは何を利用したらよいのか浮かびません・・。

> ところで、フキさんは、解答の後半については理解されていますか。
> それがＯＫなら、わたしの出した問題も解けるはずなんですが。

解答の後半、というのは恒等式を使う辺りのことをおっしゃっているのですよね。
恒等式の意味というのでしょうか、a＾n-b＾nが、なぜ
(a-b){a＾(n-1)+a＾(n-2)・b+a＾(n-3)・b＾2+……+a・b＾(n-2)+b＾(n-1)}
となるかは分かりました。
そして、（繰り返しになりますが）これを利用することで答えを導けることも解説を読んで納得できました。
ただ、河童さんの問題の場合は何を利用すればよいか分かりません・・。
No.3498 - 2009/07/25(Sat) 21:40:35
☆ Re: 余りの決定 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
フキさん、こんばんは。

＞　x＾n=(x-1)＾2・Q(x)+ax+1-a
＞　=(x-1){(x-1)・Q(x)+a}+1
＞　ここから先は分かりませんでした・・。

フキさん、式をよ〜く見てください。
No.3508 - 2009/07/28(Tue) 01:38:11
☆ Re: 余りの決定 / フキ
スミマセン。
ちょっと時間を下さい(*_*)
No.3513 - 2009/07/28(Tue) 23:15:39
☆ Re: 余りの決定 / フキ ♀ [浪人生]
大変お待たせしました。

回答の続きです。

x＾n=(x-1)＾2・Q(x)+ax+b
両辺にx=1を代入
1＾n=a+b
1=a+b
b=1-a
x＾n=(x-1)＾2・Q(x)+ax+1-a
=(x-1){(x-1)・Q(x)+a}+1
x＾n-1=(x-1){(x-1)・Q(x)+a}
=(x-1){x＾(n-1)+x＾(n-2)+・・・+1}
x＾(n-1)+x＾(n-2)+・・・+1=(x-1)・Q(x)+a
両辺にx=1を代入
1+1+…+1=a
a=n
よってx＾nを(x-1)＾2で割った余りはnx=n+1

いかがでしょうか？？
No.3524 - 2009/07/30(Thu) 22:46:33
☆ Re: 余りの決定 / フキ ♀ [浪人生]
> よってx＾nを(x-1)＾2で割った余りはnx=n+1

正しくは
→よってx＾nを(x-1)＾2で割った余りはnx-n+1
No.3531 - 2009/08/01(Sat) 02:02:47
☆ Re: 余りの決定 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
フキさん、こんばんは。
そうですね、その通りです。

ごめんなさい、朝が早いので、今日は失礼します。
次の回答は日曜になってしまうかも知れませんが、どうぞご了承ください。

そうそう、この問題については、微分を使う方法がもっとも早い方法です。
参考書で探してみてください。
No.3533 - 2009/08/01(Sat) 03:23:25
☆ Re: 余りの決定 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
フキさん、こんばんは。

フキさんの最初の質問にある☆の部分、0=a+b・・・☆　
この式が、両辺が x - 1 で割り切れるための必要十分条件であることを理解してください。
つまり、☆を元の式に代入すると、両辺が x - 1 で割り切れることが保証されているわけですね。

わたしの出した問題では☆に当たる部分が　1 = a + b になっています。
これは、両辺を x - 1 で割ると 1 余るための必要十分条件です。
言い換えると、両辺から 1 を引いた式が割り切れるための必要十分条件です。
ですから、 x - 1 でくくって因数分解出来ることは保証されているのです。

解説には、恒等式　

a＾n-b＾n=(a-b){a＾(n-1)+a＾(n-2)・b+a＾(n-3)・b＾2+……+a・b＾(n-2)+b＾(n-1)}

を利用すると書いてあったそうですが、この恒等式を知っているから問題が解けるのではなく、
問題を解こうとすると自然にこの恒等式に行き当たる、ということを実感してください。
なお、この恒等式は非常に大事な式ですから、この機会に覚えてしまいましょう。
非常にきれいな式ですから、覚えやすいと思います。
実際、x^2 - y^2　や　x^3 - y^3　を因数分解するときに、意識せずとも使っていますよね。
ちなみに、b = 1 のとき、つまり、

a^n - 1 = ( a - 1 ) ( a^{n-1} + a^{n-2} + a^{n-3} + …… + a + 1 )

の右辺の右のカッコ内の順序を変えて

a^n - 1 = ( a - 1 ) ( 1 + a + …… + a^{n-3} + a^{n-2} + a^{n-1} )

として、さらに両辺を a - 1 で割ると、
初項が 1 で公比が a の等比数列の和の公式が得られることも覚えておきましょう。
No.3555 - 2009/08/02(Sun) 21:10:46
☆ Re: 余りの決定 / フキ ♀ [浪人生]

> フキさんの最初の質問にある☆の部分、0=a+b・・・☆　
> この式が、両辺が x - 1 で割り切れるための必要十分条件であることを理解してください。
> つまり、☆を元の式に代入すると、両辺が x - 1 で割り切れることが保証されているわけですね。
>
> わたしの出した問題では☆に当たる部分が　1 = a + b になっています。
> これは、両辺を x - 1 で割ると 1 余るための必要十分条件です。

はい。この辺は、前回までの河童さんとのやり取りで頭に入りました。


> 解説には、恒等式　
>
> a＾n-b＾n=(a-b){a＾(n-1)+a＾(n-2)・b+a＾(n-3)・b＾2+……+a・b＾(n-2)+b＾(n-1)}
>
> を利用すると書いてあったそうですが、この恒等式を知っているから問題が解けるのではなく、
> 問題を解こうとすると自然にこの恒等式に行き当たる、ということを実感してください。
> なお、この恒等式は非常に大事な式ですから、この機会に覚えてしまいましょう。
> 非常にきれいな式ですから、覚えやすいと思います。

おっしゃる通り、この機会に覚えたいと思います。
恥ずかしながら、解説を読んで初めて知った（思い出した？）と言う感じでした・・。


> ちなみに、b = 1 のとき、つまり、
>
> a^n - 1 = ( a - 1 ) ( a^{n-1} + a^{n-2} + a^{n-3} + …… + a + 1 )
>
> の右辺の右のカッコ内の順序を変えて
>
> a^n - 1 = ( a - 1 ) ( 1 + a + …… + a^{n-3} + a^{n-2} + a^{n-1} )
>
> として、さらに両辺を a - 1 で割ると、
> 初項が 1 で公比が a の等比数列の和の公式が得られることも覚えておきましょう。

はい。


河童さん、大変長い間お付き合い下さりありがとうございます。
もう一度、一人で解いて頭に叩き込みたいと思います。
No.3559 - 2009/08/04(Tue) 00:36:31
★ 図形の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校2年生]
こんばんは。
今日は図形分野での質問です。

出典：高校への数学['98-8]
「図形の演習」

演習題4(2)
「右の図IIにおいて、角DPQの大きさを求めなさい。ただし、AP=BP、PQ//AC、AD⊥BCとします。」

解答には「AP=BPのときBP=PDだから」とありますが何故こうなるのかわかりません。
まとめページに載っている二等辺三角形の性質などを見たり相似条件がないだろうかと考えたのですがこうなる理由を見つけられませんでした。
ちなみに図は添付しましたのでそちらをご覧ください。見づらいかと思われますが、角PBQは33度、角ACDは67度です。


この問題は中学内容ではあるのですが、自分は平面図形分野の習得のためにこの問題集を解いておりこの問題はこの分野の習得に通ずるものと勝手ながらも考えており質問させていただきました。（規約に違反していたら申し訳ないです。）


ご回答のほどよろしくお願いします。
No.3512 - 2009/07/28(Tue) 22:51:23
☆ Re: 図形の問題 / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
氷わさびさん、こんばんは。ウッちょんが回答いたします。

> この問題は中学内容ではあるのですが、自分は平面図形分野の習得のためにこの問題集を解いておりこの問題はこの分野の習得に通ずるものと勝手ながらも考えており質問させていただきました。（規約に違反していたら申し訳ないです。）
了解いたしました。
私もこの部分は高校範囲の平面図形を理解するのに大事であると思いますので、僭越ながら問題ないと判断して、回答をさせて頂きます。

さて、ご質問の件ですが、ここでは△ABDが直角三角形であることを利用します。
一般に、直角三角形の外心（外接円の中心）はどこにあるか、氷わさびさんはわかりますか？
No.3515 - 2009/07/28(Tue) 23:28:21
☆ Re: 図形の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校2年生]
角ADBが90度なのでABが直径となり点Pが外接円の中心だと思います。
となると、これって外接円の半径を利用した考えだったんですね・・・。
No.3518 - 2009/07/29(Wed) 09:37:48
☆ Re: 図形の問題 / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
はい、正解ですね。
一般に「直角三角形の外心は斜辺の中点である」という事実は覚えておくべきかと思います。
No.3520 - 2009/07/29(Wed) 23:21:21
☆ Re: 図形の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校2年生]
ありがとうございます。
先生がおっしゃった「直角三角形の外心は斜辺の中点である」というのが成り立つなら、「斜辺の中点から直角に引かれた線分の長さはその二等分された線分の長さに等しい」ということもすべての直角三角形において成り立ちますよね？
No.3525 - 2009/07/31(Fri) 11:51:12
☆ Re: 図形の問題 / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
もちろんそうです。
なぜならそれらの線分はすべて外接円の半径ですからね。
No.3526 - 2009/07/31(Fri) 15:42:50
☆ Re: 図形の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校2年生]
無事すべて解決しました。先生、ありがとうございました。
またの機会にお願いしますm(_ _)m
No.3557 - 2009/08/03(Mon) 11:04:10
★ 点と直線との距離 / 高２ ♂ [九州] [高校2年生]
＜問題＞
直線2x+3y=5と点(3,1)との距離(d)が2/r13である。
点（3,-1）からの距離が(d)2/r13で点(1,1)を通る直線の方程式を求めよ

※ rは√（ﾙｰﾄ）です。 又、2/r13は√13分の2です。
No.3536 - 2009/08/01(Sat) 15:24:03
☆ Re: 点と直線との距離 / 高２ ♂ [九州] [高校１年生]
追記・・
答えは　3x+2y-5=0 2x+3y-5=0
になるはずですが、解法をお願いします

できるだけ早めにお願いします
No.3537 - 2009/08/01(Sat) 15:25:38
☆ Re: 点と直線との距離 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

＜書き込まれる方へのお願い＞をご一読の上，ルールを守って質問してください。
No.3538 - 2009/08/01(Sat) 15:40:35
★ 積分計算(?U) / なつ ♀ [甲信越] [高校2年生]
はじめまして

学校の夏休みの宿題の、定積分の計算のところでどうしても式変形が理解できなかったので質問させていただきます。
高校2年で、理系ですが、数学はあまり得意ではありません。

問題　次の定積分を求めよ
　 2　
∫ ｌx^2-4x＋3ｌdx
　 -1


解答　
　　　　 1 2
(与式)=∫ (x^2-4x＋3)dx＋∫ (-x^2+4x-3)dx
-1 1

　　　　 1 2
=2∫ (x^2+3)dx+∫ (-x^2+4x-3)dx
0 1

という変形において、場合分けで2つの式に分かれるということは理解できるんですが、前のほうのカッコ内の式ではなぜ-4xがなくなっているかについてがわかりません。
絶対値で同じ数字の定積分は、0からその数字の範囲の2倍になるみたいなことは授業で習いましたが、曖昧です。
基本的なことですいません。
No.3511 - 2009/07/28(Tue) 21:11:39
☆ Re: 積分計算(?U) / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
なつさん、こんばんは。ウッちょんが回答いたします。

> 基本的なことですいません。
いえいえ、基本的なことをそれと自覚し、なお思い切って質問できることは賞賛に値します。
加えて、なつさんは自分の疑問点をきわめて的確に文章に表すことができています。
これは大変素晴らしい資質であると思いますよ。

さてさて、ご質問の件ですが、なつさんは「偶関数」「奇関数」ということばをご存知でしょうか。
お答えに応じて説明をしたいと思います。
No.3514 - 2009/07/28(Tue) 23:17:51
☆ Re: 積分計算(?U) / なつ ♀ [甲信越] [高校2年生]
遅れてしまってすいません。
偶関数、奇関数はわかります。
No.3521 - 2009/07/30(Thu) 08:12:16
☆ Re: 積分計算(?U) / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
なつさん、こんばんは。

> 偶関数、奇関数はわかります。
わかりました。それならば、以下の事実も習っている筈ですね。

(1) f(x) が偶関数ならば、int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 int_{0}^{a} f(x) dx
(2) f(x) が奇関数ならば、int_{-a}^{a} f(x) dx = 0
　※積分の表記法はページ上部リンクの「数式の表記法その２」に基づきます

少し、練習してみましょう。上の事実を利用して、以下の定積分を計算してみてください。

(い) int_{-3}^{3} x dx
(ろ) int_{-1}^{1} x^2 dx
(は) int_{-4}^{4} dx

また、次の積分はどうなるでしょう。

(に) int_{-2}^{2} (x^2+2x+3) dx

時間がかかっても構いませんので、よく考えてやってみてください。
No.3522 - 2009/07/30(Thu) 20:09:55
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