 | こんばんは、参考書にあった内容で疑問がありましたので、教えてください。
出展は、「鉄則 数学B」（寺田文行著）のP.49の例題41です。
以下、そのページを示します。
問題
平面上に四角形ABCDがあって、どの頂点も、残りの頂点の作る三角形の外部にある。?傳CDの重心をP,?僂DAの重心をQ,?僖ABの重心をR,?僊BCの重心をSとする。
（1）線分AP,BQ,CR,DSは、一点Tを共有することを示せ。
（2）（1）において、点Tは、各線分をどのような比に分けるか。
解答
（1）
VEC｛OA｝＝VEC｛a｝,VEC｛OB｝＝VEC｛b｝,VEC｛OC｝＝VEC｛c｝,VEC｛OD｝＝VEC｛d｝,とすると、
VEC｛OP｝＝1/3（VEC｛ｂ｝＋VEC｛ｃ｝＋VEC｛ｄ｝）
ここで、APを3：1に内分する点をUとすると VEC｛OU｝＝3/4VEC｛OP｝＋1/4VEC｛a｝＝1/4（VEC｛a｝＋VEC｛b｝＋VEC｛c｝＋VEC｛d｝）
同様にBQ,CR,DSを3：1に内分する点をV,W,X,とすると、VEC｛OV｝,VEC｛OW｝,VEC｛OX｝も
同じ結果となり、４点U,V,W,Xは、一致する。よって、4つの線分は一点を共有する。
（2）
3：1に分ける。
ここで、疑問なのは、どうして3：1が出てきたかということです。僕にしてみれば、突然出てきたように思われ、論理的なつながりが分かりません。
図形的な推測で出てきたとすれば、どのように推測したのでしょうか？
ベクトルを使った解き方自体には、疑問はありません。
ご指導のほどを、宜しくお願いします。
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No.3427 - 2009/07/11(Sat) 22:24:34
| ☆ Re: / ka-o ♂ [教育関係者] | | |  | 浪人生けん太郎さん、こんばんは。
(1)の解答で、四点U,V,W,Xは一致することから証明をしていますね。
U,V,W,Xというのはそれぞれどういう点でしょう？
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No.3429 - 2009/07/12(Sun) 21:43:42 |
| ☆ Re: / 浪人生けん太郎 ♂ [近畿] [浪人生]  | | | | ka-o先生、こんばんは。、
「APを3：1に内分する点をU」「同様にBQ,CR,DSを3：1に内分する点をV,W,X,」ということから、四つの線分をそれぞれ3：1に内分する点が、U,V,W,X です。
ちなみに、出展の参考書では、それぞれAの1、Bの1、・・・というように記号がつけられていましたが、添え字が書けないので、U,V,W,Xというようにしました。
ただ、3：1に内分する点はいいのですが、なぜ「3：1」なのでしょうか？どんな図形的推察から「3：1」が言えるのでしょうか？
たまたま「3：1」にしたら、うまくいきましたでは、納得が出来ないのです。その点を、宜しくお願いします。
ところで、すみません。操作が不慣れなため、別の投稿という形で返事を書いてしまいました。別の投稿になってしまっている分は､削除していただけませんでしょうか？ご迷惑をおかけして申し訳ありません。
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No.3431 - 2009/07/12(Sun) 22:04:56 |
| ☆ Re: / ka-o ♂ [学校教員] | | | | 浪人生けん太郎さん、こんにちは
返信が遅くなり、すみません。
はじめ自分は、質問の意味を勘違いしていたようです。すみません。
さて、この問題では、四点U,V,W,Xが一致する（つまり四つの線分が共有店を持つ）ということを、ベクトルを使って、bec{OU}=bec{OV}=bec{OW}=bec{OX}となることによって示そうとしています。（こういったタイプの問題では非常によくつかわれる解法です。）
ただ3;1に線分を内分する点を、それぞれU,V,W,Xとしているわけですが、こんなのが見ただけで思い浮かぶはずがありません。
まず四点U,V,W,Xをどうとればbec{OU}=bec{OV}=‥‥を示せるか、考えるわけですが、分からなかったら、「まずは文字でおく」です。
つまり、線分APをa;1-aに内分する点をU,線分BQをb;1-bに内分する点をVとして考えてみましょう。
bec{OU}=bevOV}=‥となるとき、a,bはどうなりますか。
どうでしょう？
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No.3442 - 2009/07/16(Thu) 14:04:18 |
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