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★ 二次関数の問題 / りく ♀ [近畿] [高校１年生]

はじめまして　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学校のプリント問題です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直線Y=ー２X＋１上に頂点があり、２点（１,-1),(3,-5)を通る放物線の方程式を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　頂点（ｐ,-2p+1)として、放物線は　Y=ａ（ｘ−ｐ）2-2p+1
(1,-1)(3,-5)を代入するところまでわかるのですが、　　　　 　　　　　 -1=a(1-P)2-2P+1
　　-5=a(3-P)2-2P+1　　　　　　＊P)の後の２は、二乗です
ここからどう解けばいいかわかりません。青チャートにも類題載ってないし、何かいい参考書か問題集あれば教えてください。来週の期末テストの範囲なので、よろしくお願いします。
　　　　　　　　　　　　
No.3334 - 2009/06/23(Tue) 09:59:17
☆ Re: 二次関数の問題 / londontraffic ♂ [教育関係者]
りくさん，こんばんは．
今青チャートが手元に無いので，
>青チャートにも類題載ってないし、
については何とも言えません．ただ攻略できないわけではないですよ．

-1=a(1-p)^2-2p+1・・・（あ）
-5=a(3-p)^2-2p+1・・・（い）

（あ）を変形2p-2=a(1-p)^2・・・（あ）’
（い）を変形2p-6=a(3-p)^2・・・（い）’
として，
（あ）’÷（い）’
をするのです．やり方は，左辺は左辺同士，右辺は右辺同士で割り算すると

(2p-2)/(2p-6)={a(1-p)^2}/{a(3-p)^2}
となり，右辺をaで約分すると
(2p-2)/(2p-6)={(1-p)^2}/{(3-p)^2}
ついでに左辺も2で約分すれば
(p-1)/(p-3)={(1-p)^2}/{(3-p)^2}
となりaが消去されて，pだけの式になりました．

あとはこれを計算するのですが，この続きはできそうですか？
No.3337 - 2009/06/23(Tue) 19:46:10
☆ Re: 二次関数の問題 / りく ♀ [近畿] [高校１年生]
左辺は左辺同士、右辺は右辺同士で割るのですね。よくわかりました。　　　　　　　　　ありがとうございました。
No.3346 - 2009/06/25(Thu) 08:53:49
★ 初めまして / さくら ♀ [北陸] [高校3年生]
はじめましてこんばんは。
問題集をやっていて、解けない問題に出くわしましたので質問します。

問題：△ABCにおいて、AB=4、BC=2√10、CA=6とする。
2頂点B、Cから対辺に下ろした垂線と対辺との交点をそれぞれD、Eとし、
線分BDと線分CEの交点をHとする。

(1)cosA、AD
の答えはそれぞれ1/4、1と分かったのですが、
(2)ED、AH
(3)DH、EH、△HDEの面積

が分かりませんでした；
解法、解き方のヒントなど、何でもいいので宜しくお願いいたします。
No.3319 - 2009/06/20(Sat) 19:23:22
☆ Re: 初めまして / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
さくらさん、こんにちは。
すももと申します。よろしくお願いします。

まず確認ですが…さくらさんはこのような図形の問題を解くとき作図してから取り組んでいますか？
作図によってイメージをはっきりさせてから取り組むと考えやすいですよ。

では早速いきましょう。
(1)については解けたとのことですのでそれを利用して(2)を考えていきます。
求めたいEDを含む三角形を見つけて下さい。
いくつかある三角形のうち、(1)で求めたものを使えそうなものがありませんか？

AHに関してもまずはAHを含む三角形を見つけましょう。
ただ、これだけではこの問題は解けないのです。
見つかった三角形を（２つ見つかるはずです）つなげて考えてみるのがヒントです。
AHが何を表しているかが見えてきませんか？

(3)に関しては(2)が解ければ比較的スムーズに進むはずですのでまずは(2)を頑張ってみましょう。
No.3329 - 2009/06/22(Mon) 16:22:50
☆ Re: 初めまして / さくら ♀ [北陸] [高校3年生]
すももさん、ありがとうございました。
円周角が90度ということに気がついたので解けました。
ありがとうございました。
No.3343 - 2009/06/24(Wed) 19:30:43
★ 不等式の二乗について / カイト ♂ [関東] [高校１年生]
はじめましてカイトと申します。青チャート例題７２の(２)でどうしても納得のいかない部分があるので、お尋ねします。
解答の流れで、不等式を二乗しなくてはならない箇所があります。参考書の記述は次の通りです。
−４≦X≦２のとき、０≦｜X｜≦４
よって０≦X二乗≦１６
なぜ、−４≦X≦２のとき、０≦｜X｜≦４なのかがわかりません。ちなみに問題文は、
(２)ｘ、ｙの範囲を０≦ｘ≦２、０≦ｙ≦２としたとき、P＝ｘ二乗−４ｘｙ＋５ｙ二乗＋２ｙ＋２の最大値、最小値を求めよ。また、このときのｘ、ｙの値を求めよ。
です。それと、一般的に、不等式に絶対値をかける方法はあるのでしょうか？併せて教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。
No.3330 - 2009/06/22(Mon) 18:00:57
☆ Re: 不等式の二乗について / kinopy [塾講師]
カイトさん，はじめまして。kinopyです。

まず，本問と絶対値は直接関係ありません。
ただ，疑問の箇所は解決しておきべきと思いますので…

> −４≦X≦２のとき、０≦｜X｜≦４なのかがわかりません。
の点ですが，カイトさんはそもそも「絶対値とはどういうもの」と理解されていますか？
いきなり逆質問ですがよろしくお願いします。

> それと、一般的に、不等式に絶対値をかける方法はあるのでしょうか？

は a≦x≦bのとき，?≦|x|≦?? の「?には何が入るんだ？」って意味でしょうか？
そこも，先の逆質問の箇所が関わってきますので，カイトさんのレスを待つことにさせていただきます。

返信お待ちしています^^
No.3341 - 2009/06/24(Wed) 05:30:28
★ (No Subject) / アリス ♀ [関東] [大学生]
こんにちは。
いつも解説している側ですが、今回は質問させていただきます。
文字方程式のところで出てくっる
「すべての実数」「任意の実数」「すべての数」はすべて同じであると解釈していいのでしょうか？
生徒からの質問でしたが、国語的な解釈で・・・・・
どなたか、よろしくお願いいたします。
No.3314 - 2009/06/19(Fri) 22:53:20
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
お世話になっております。

国語的な解釈はわかりませんが，数学の問題では，「すべての実数」と「任意の実数」は同義ととらえて問題ないかと思います。
「すべての数」については，虚数の扱いをどうするのかがあやふやですので，入試問題においては，そのような誤解を招く言葉は使われません。虚数も考慮するのであれば，「すべての複素数で」という言葉になるかと思います。
No.3336 - 2009/06/23(Tue) 14:23:48
★ 極方程式の問題 / めい ♀ [東海] [浪人生]
極方程式

津田塾大学の問題なのですが
点(1/2,√3/2)を中心とする半径1の円を極座標を用いて表せ。
ただし、極座標は原点を極としてx軸を始線として考える。

答えは　　　r=2sin(Θ+π/6) (-π/6≦Θ≦5/6π)です。
(-π/6≦Θ≦5/6π)はどこからでてきたのでしょうか。
また例えば直交座標で円の一番下の(1/2,-1+√3/2)という点を
表すΘというものは答の中に入っているのでしょうか？なんか
質問のしかたがわかりにくくてすみません。お願いします。
No.3292 - 2009/06/16(Tue) 20:25:24
☆ Re: 極方程式の問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
めいさん，はじめまして。
返信が遅くなってしまい申し訳ありません。

逆に，極方程式 r=2sin(Θ+π/6) (-π/6≦Θ≦5/6π) で表された図形とは，$xy$平面でどのような図形なのか？　と考えるとめいさんの疑問が解決されるかもしれません。

θにいろいろな値を代入してみて，それぞれ，xy平面でのどういう点になるのか考えてみましょう。

まず，θ=-π/6 を代入すると，r=2sin0=0 となり，θ=-π/6 に対応する点は(0,0) ですね。

θ=0 を代入してみると，r=2sinπ/6=1 となるので，(1,0) です。
θ=π/6 を代入すると，r=2sinπ/3=√3 となるので，原点から θ=π/6 の向きに√3だけ離れた点なので，(3/2,√3/2)　です。

ここまではＯＫですか？

ＯＫならば，π/3 , π/2，2/3π , 5/6π のときも同じようにやってみて，それぞれ，
「点(1/2,√3/2)を中心とする半径1の円」
のどの点に対応するのか調べてみましょう。
No.3327 - 2009/06/22(Mon) 14:47:39
☆ Re: 極方程式の問題 / めい ♀ [東海] [浪人生]
新矢先生どうもありがとうございました。
x＝rcosθ、y＝rsinθと代入計算だけではやっぱりだめなんですね。
図形的に考えるとΘにいろいろな値を入れると確かに円上の点になりました。
するとx軸の下側の円上の点を表すΘは-π/6＜Θ＜0の間にあると考えてよろしいので
しょうか？
No.3333 - 2009/06/23(Tue) 04:19:04
☆ Re: 極方程式の問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

＞x＝rcosθ、y＝rsinθと代入計算だけではやっぱりだめなんですね

いえ，それだけで充分ですよ。問題文が書き込み文どおりなら，答えは
r=2sin(Θ+π/6) だけでＯＫです。
-π/6≦Θ≦5/6π は r＞0 とする条件ですが，一般に極座標では
r'＞0として (-r',θ)=(r',θ+π) とみなしますので，必要ないと思います。

点(1/2,√3/2)を中心とする半径1の円のx軸の下の部分，というように，円の一部分であれば，
r=2sin(Θ+π/6) (-π/6≦θ≦0)　とせねばなりません。
No.3335 - 2009/06/23(Tue) 14:17:28
★ (No Subject) / みや ♀ [近畿] [高校3年生]
はじめまして。５月３日の駿台模試のやり直しをしててわからなかったので教えてください


四面体OABCにおいて各辺の長さがOA=OB=AB=4
CA=CB=√7、OC＝ｌ（ｌは√3＜ｌ＜√3を満たす定数）
AP↑＝ｓAB↑、OQ＝ｔOC↑をみたすようにPQをとるとき、
|PQ↑|＾2をｓ、ｔ、ｌで表し、Qを固定し、Pが辺AB上（両端を含む）を動くとき
|PQ↑|＾2が最小となるｓの値と、、|PQ↑|＾2の最小値mをｔ、ｌを用いて表せ
「P,Qがそれぞれ辺AB（両端を含む）上、辺OC上（両端を含む）を動くとき、
線分PQの長さの最小値を求めろ」

ｍを求めるところまではたどり着いたのですが、そこからの「」の部分がわかりません


0≦ｔ≦１だから0≦（ｌ＾2+9）/2ｌ＾2≦1となり9≦ｌ＾2
√3＜ｌ＜3√3とあわして３≦ｌ＜3√3
よって３≦ｌ＜3√3のとき…
そして√3＜ｌ≦３のとき…

回答を見るとこう場合わけしてるのですが、√3＜ｌ≦３のときとは、
どこから出てきたのでしょうか？
そしてそのあとのｌからｔにもどす作業？も、ｍの求め方もよくわかりません
回答も結構さらっと流していたので、すごく初歩的なんだろうと思うのですが
よろしくおねがいします＞＜
No.3280 - 2009/06/15(Mon) 07:38:41
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みやさん，こんにちは。
返信がたいへん遅くなってしまい申し訳ありません。

確認ですが，
「PQ↑|＾2が最小となるｓの値と、、|PQ↑|＾2の最小値mをｔ、ｌを用いて表せ」

の答えは s=1/2 のとき，m=l^2t^2-(l^2+9)t+12　となりましたか？

さて，この問題を離れ，基礎事項を確認させてください。

「xの２次関数　f(x)=x^2-2ax+1　(0≦x≦1) の最小値を求めよ」
という問題は，場合わけをしなければいけませんが，どういう場合わけが必要かはＯＫですか？
No.3326 - 2009/06/22(Mon) 14:17:03
★ 数?Vの定積分の証明問題で / タッツー ♂ [関東] [高校3年生]
はじめまして。初めての投稿です。　
数?Vの教科書で、偶関数・奇関数の定積分の証明問題があるのですが、
途中の式変形がいくら考えても分からないので、教えて頂きたいです。

(証明)int_{-a}^{a}f(x)dx = int_{-a}^{0}f(x)dx + int_{0}^{a}f(x)dx

右辺の第一項において、ｘ＝−ｔとおくと、　　　　ｘ　−a -> 0
ｘとｔの対応は右の表のようになる。　　　　　　　 t a -> 0
また、dx=(-1)dtであるから、

int_{-a}^{0}f(x)dt
=int_{a}^{0}f(-t)(-1)dt=int_{0}^{a}f(-t)dt=int_{0}^{a}f(-x)dx

最後の、int_{0}^{a}f(-t)dt=int_{0}^{a}f(-x)dx
がどうしても導けません。
ｘ＝−ｔとdx=(-1)dtを使っても、うまくいきませんでした。
参考書を見ても、途中式が載ってないので、どうやるのか分かりません。

ご回答のほうよろしくお願いします。
















　　　　　　　　　　　　　　　
No.3316 - 2009/06/20(Sat) 12:11:44
☆ Re: 数?Vの定積分の証明問題で / 七 ♂ [近畿] [社会人]
タッツーさん，こんにちは。
f(−x) の不定積分の一つを F(x) とおくと
int_{0}^{a}f(-x)dx＝F(a)−F(0) ですが
int_{0}^{a}f(-t)dt はどうなりますか？
No.3317 - 2009/06/20(Sat) 17:01:29
☆ Re: 数?Vの定積分の証明問題で / タッツー ♂ [関東] [高校3年生]
　
int_{0}^{a}f(-t)dx=F(a)-F(0)でいいんですか？

これが合っていたら、
確かにint_{0}^{a}f(-x)dx=int_{0}^{a}f(-t)dtが成り立ちますね
疑問が解けました。

分かりやすい回答をしてくださって、ありがとうございました。
No.3324 - 2009/06/21(Sun) 22:50:26
★ (No Subject) / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんわ。
２回目の投稿です。

塾の宿題プリントからなので答えがありませんが
とき方自体がわからないので教えて頂きたいです。

問題は
tanα＋tanβ＋tanγ＝tanαtanβtanγ
(　−π/2＜α＜π/2、−π-2＜β＜π/2、−π/2＜γ＜π/2　)のとき、
α＋β＋γの値をすべて求めよ。
です。

ヒントで加法定理を使うと言われたんですが
よくわかりません。
どなたかお願い致します。
No.3199 - 2009/06/02(Tue) 23:47:57
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんわ。
今回もよろしくお願いします。

この問題はヒントの通りtanの加法定理を使います。
tan(α＋β＋γ)を加法定理を用いて計算してみて下さい。
ただかっこ内がα＋βではなく、α＋β＋γになっているのが問題です。
これを(α＋β)＋γと考えて計算するのがヒントですよ。
No.3201 - 2009/06/03(Wed) 01:47:27
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
すももさん、こんばんわ。
前回はありがとうございました！
今日、授業で前回教えて頂いた内容が
出たんですが簡単に解く事ができました^^

tan(α＋β)＝Ａとおいて加法定理を使ってみると
{tan(α＋β)＋tanγ} / {1−tan(α＋β)×tanγ}
になりました。
ここからどうしたらいいのかわかりません＞＜
No.3203 - 2009/06/03(Wed) 22:05:29
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんわ。
力がついた実感があると嬉しいし、ヤル気もUPしますよね(^^v
この調子で今回の問題も得意問題に変えていきましょう。
早速いきましょう。

もえさんの考え方で合ってますよ。
今度はtan(α＋β)の所にさらに加法定理を使ってみましょう。
分数式になるので多少計算は面倒かも知れませんが整理できるところまで整理して見て下さい。
そうすると問題文中の条件“tanα＋tanβ＋tanγ＝tanαtanβtanγ”のようなものが見えてきませんか？
No.3206 - 2009/06/03(Wed) 23:16:35
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
tan(α＋β)も加法定理を使って
その後に分母と分子に1−tanαtanβをかけてみたのですが
{tanα＋tan2β−tanα(β)^2 } / (1−tanαtanβ−tanαtanγ−tanβtanγ)
という意味のわからない式になってしまいました。
すももさんのおっしゃるような“tanα＋tanβ＋tanγ＝tanαtanβtanγ”のようなものが
見えませんでした・・・
間違っていますよね？＞＜

すみませんが明日から４日間は試合があるため
パソコンを開く事が出来ないと思いますので返事が遅れます。
No.3215 - 2009/06/05(Fri) 21:57:51
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんわ。
明日から試合ですか？！
高体連でしょうか。
悔いのないよう頑張ってきて下さいね。

さて、加法定理の計算ですが分母についてはきちんと計算できているようです。
分子だけで構わないので計算の過程を示してくれませんか？
それを見てお返事したいと思います。
No.3216 - 2009/06/05(Fri) 23:31:23
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
すももさんお久しぶりです。
遅くなってしまってすみません＞＜
来週で試合も終わるので、引退したらもっと
勉強の方に時間が使えそうです^^

もう一度はじめから計算しなおしたら
(tanα＋tanβ＋tanγ) / (1−tanαtanβ−tanαtanγ−tanβtanγ)
という式が出てきました！

問題に、tanα＋tanβ＋tanγ＝tanαtanβtanγ
と書いてあるので分子をtanαtanβtanγに書き直して約分すると
1/(1−tanα−tanβ−tanγ)
となりました。

この問題は何を出すのがゴールなのかイマイチわかりません。
No.3230 - 2009/06/10(Wed) 23:35:33
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんは。
事前にお返事が遅れることをご連絡いただいていたのでお気になさらずに。

計算の件ですがやはり分子に計算ミスがあるようです。
そのため何を求めるのかがはっきりしないのだと思います。
分子の計算過程を示していただけますか？
No.3231 - 2009/06/11(Thu) 00:32:02
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
分子の計算は加法定理を使って
(tanα＋tanβ)/(1−tanαtanβ)＋tanγ
分母と分子に1−tanαtanβをかけて、分子は
tanα＋tanβ＋tanγとなりました。

よろしくお願い致します。
No.3238 - 2009/06/11(Thu) 23:40:03
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんは。

＞分子の計算は加法定理を使って
＞(tanα＋tanβ)/(1−tanαtanβ)＋tanγ
＞分母と分子に1−tanαtanβをかけて、

ここまでは正解です。
(tanα＋tanβ)/(1−tanαtanβ)の部分に1−tanαtanβをかけるとtanα＋tanβになります。
ではtanγに1−tanαtanβをかけるとどうなるでしょう？
分子に1−tanαtanβをかけたものの正体は
tanα＋tanβ＋tanγ−tanαtanβtanγとなりますね。

この中に元々の条件“tanα＋tanβ＋tanγ＝tanαtanβtanγ”がかくれています。
どうでしょう？
tan(α＋β＋γ)の値が見えましたか？

その後はそれぞれの角の範囲に注意してα＋β＋γを求めていきます。
もえさんのお返事をお待ちして次の段階に進みたいと思います。
No.3239 - 2009/06/12(Fri) 00:26:58
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
分子はtanα＋tanβ＋tanγ−tanαtanβtanγになりました！

その後なんですが分子のtanα＋tanβ＋tanγの部分を
tanαtanβtanγに変えるんでしょうか・・・？
そして０？
どうなると答えなのかがよくわかりません。
理解できなくてすみません＞＜
No.3251 - 2009/06/12(Fri) 23:28:03
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんは。

その通りです！
分子は0となります。
つまりtan(α＋β＋γ)＝0　となることが求められた訳です。
今回の問題はα＋β＋γを求めることでしたよね？
でも与えられている条件がtanについてのものしかなかったのでtanの加法定理を使ってtan(α＋β＋γ)を求めたわけです。
この問題の最終的な答えはα＋β＋γを求めることですからこのtanの値に基づいてα＋β＋γを求める必要があります。

ではここでもえさんに質問です。
“tanθ＝0（0≦θ＜2π）を満たすθを求めよ。”
という問題があったとすればもえさんはどう解きますか？
No.3255 - 2009/06/13(Sat) 01:12:17
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
問題の意味が、やっとはっきりわかりました。
ありがとうございます！

“tanθ＝0（0≦θ＜2π）を満たすθを求めよ。”
θ＝−1でしょうか・・・？
No.3263 - 2009/06/13(Sat) 23:00:44
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんは。

まずtanθ＝0となるθを0≦θ＜2πの範囲で考えてみましょう。
θはx軸の正の向きと比例式y＝axがなす角を表しているので、tanθ＝aとなります。
tanθ＝0ということは傾き0、つまりy＝0となるような直線とx軸とのなす角を求めればよいわけです。
これはθ＝0，πとなります。
まずここまでは大丈夫でしょうか？
No.3266 - 2009/06/14(Sun) 00:56:55
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
tanθ＝0ということは傾き0ですね！
θ＝0、πですね。
わかりました^^
No.3274 - 2009/06/14(Sun) 18:31:07
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんは。

ここまで理解できたら答えまではあと一息です。
このθをα＋β＋γで置き換えてみましょう。
“tan(α＋β＋γ)＝0となるα＋β＋γを求めよ。”となり、今回の問題になりますね？
ただ、ここでもう１つ考えなければならないことがあります。
私が出した問題はθの範囲が0≦θ＜2πとわかっていました。
傾き0を表す直線とx軸の正の向きとがなす角はこの範囲が示されていなければ2πでも−πでも問題ないわけです。
範囲が示されているから答えがθ＝0,πとなったことをしっかり覚えておいて下さい。
（もし範囲がなければ一般角で答える必要があります。今回の例題ではθ＝0＋nπとなります。nは整数です。）
では、もともとの問題であるα＋β＋γの範囲はどうなるでしょうか？
与えられている条件“−π/2＜α＜π/2、−π-2＜β＜π/2、−π/2＜γ＜π/2”をもとに考えてみて下さい。
No.3277 - 2009/06/15(Mon) 00:04:02
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
すももさん、こんばんは。

すももさんが説明して下さった
範囲指定がない時は2πでも−πでも問題ない
という説明ですが、なぜ−πでもいいんでしょうか？
−πは傾き−1ではないんですか・・・？
頭悪くてすいません・・・。

−π/2＜α＜π/2、−π-2＜β＜π/2、−π/2＜γ＜π/2のとき
−3/2π＜α＋β＋γ＜3/2πでしょうか？？
No.3286 - 2009/06/15(Mon) 22:45:16
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんは。

では、なぜtanθ＝0のときθ＝−πでも大丈夫になるかを考えてみましょう。
文章での説明になるのでもえさんご自身で単位円を書いて考えてくださいね。

まず傾き0の直線とはy＝0，つまりx軸を表しています。
この位置と重なるようにx軸の正の部分を回していきます。
反時計まわりを正の方向、時計回りを負の方向とすることは大丈夫ですか？
正の方向にπだけ回転させるとx軸の負の部分と重なりますね。
では負の方向にπだけ回転させてみて下さい。
先ほどと同じ部分に重なりませんか？
これがθが−πでもよい理由なのです。（定義域内に入ってさえいれば、ですが。）
こうしてみるといくらでもtanθ＝0を満たすθがありますよね。
θ＝3πでも15πでも定義域内であればすべて解としなければならないのです。
定義域があるからこそθが限定できる事を忘れないで下さいね。
（三角関数に限らず、高校数学は定義域が鍵を握る問題が多くあります）

＞−π/2＜α＜π/2、−π-2＜β＜π/2、−π/2＜γ＜π/2のとき
＞−3/2π＜α＋β＋γ＜3/2πでしょうか？？

α＋β＋γの範囲は大正解です。
この範囲内でtanが0となるものを考えて下さい。
それが問題の解答ですよ。
No.3287 - 2009/06/15(Mon) 23:10:09
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんは！

正の方向、負の方向はわかります。
同じ部分に重なるけど正の方向で回転した時はπで
負の方向で回転した時は−πになるんですね！
指定範囲がないという事は回転する方向も自由なんでしょうか？
いくらでも満たすθありますね・・・。

問題の範囲でtan＝θになるのは、πですか？？
−3/2π＜α＋β＋γ＜3/2πというのは単位円で考えたら
縦の線から左側の事でしょうか？？
No.3295 - 2009/06/16(Tue) 23:45:59
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんは。

ちょっと単位円における定義域を考えてみましょうか。
次のような問題があったとします。
解いてみていただけますか？

“tanθ＝1となるθを次の場合について求めよ。”
?@　0≦θ≦2πのとき
?A　−π≦θ≦πのとき

三角関数を解く際には定義域をしっかりとらえることがとても大切になります。
ここはがんばってみましょう。
No.3296 - 2009/06/17(Wed) 00:19:51
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
すももさん、こんばんは。

“tanθ＝1となるθを次の場合について求めよ。”
?@　0≦θ≦2πのとき
π/4、5/4π

?A　−π≦θ≦πのとき
π/4、5/4π・・・？？
わかりません。。
範囲の始まる所が−πですが?@と同じようところへ
ずらして考えましたが・・・違いますよね＞＜
No.3304 - 2009/06/18(Thu) 00:17:40
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんにちは。

?@については正解です。
問題は?Aですね。

まずイメージを確認します。
tanθ＝1ということは傾き1の直線だからy＝xですね。
この直線が動径となるようなθを求めればよいので?@ではθ＝π/4，5π/4となったわけです。
こう考えてみて下さい。
この直線へ正の向きで1周だけ回転させれば確かにθ＝π/4，5π/4となりますが、もし2周回転させて直線にたどり着かせたらどうなるでしょう？
θ＝π/(4)＋2π＝9π/4，5π/(4)＋2π＝13π/4　となりませんか？
(3周回転ならば　θ＝17π/4，21π/4となります。)
円の性質上同じ直線にたどり着く“たどり着き方”はそれこそ無限に存在します。
定義域を設定することはその範囲内でどうやってたどり着くかを聞かれていると考えて下さい。
もちろん負の方向に回転させても問題ありません。
y＝xにたどり着くためにはx軸の正の向きをどれだけ回転させればよいでしょう？
−3π/4でもたどり着きますし、−7π/4でもたどり着きますよね。
もちろんもう1周負の方向に回転させて−11π/4，−15π/4でもいいわけです。
これら無限大にあるたどり着き方のなかから定義域の中に収まるものを解とすればよいわけです。

これらを考えた上でもう一度?Aを考えてみて下さい。
?Aと同じ要領で考えればもとの問題も解けると思いますよ。
No.3308 - 2009/06/18(Thu) 12:22:12
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんは！

解説、とてもよくわかりました^^
?Aの答えは−3π/4、π/4でしょうか？？

もとの問題の答えは−π、0、πでしょうか・・・？！
No.3309 - 2009/06/18(Thu) 18:12:47
☆ Re: / すもも ♀ [北海道] [教育関係者]
もえさん、こんばんは。

両方とも大正解です！！
定義域の捉え方が理解できれば三角関数はだいぶ考えやすくなります。
この調子で頑張ってくださいね。
No.3311 - 2009/06/18(Thu) 21:29:38
☆ Re: / もえ ♀ [近畿] [高校3年生]
すももさんの説明で、本当によくわかりました！
長い間教えて頂き、ありがとうございました。

また、何かあればよろしくお願い致します。
No.3312 - 2009/06/18(Thu) 23:38:01
★ (No Subject) / ルイ ♀ [東北] [高校3年生]
こんばんは(*^^)v

オリスタ?VCの77番について

数列{an}の初項a1から第n項までの和をSnと表す。
a1＝1
lim[n→∞]Sn＝1
n(n−2)an＋1＝Sn
を満たす時、一般項を求めよ。

3番目の式から、Sn−Sn−1　(n≧2)を考えると、
nan＋1＝(n−2)an
を得ましたが、これとa1＝1とから一般項を導くことは出来ないのでしょうか？予想では、置き換えが大変なだけで、導くことは出来るのだとは思いますが、その方法を教えて下さい。
No.3248 - 2009/06/12(Fri) 20:18:40
☆ Re: / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
こんばんは、ルイさん。お久しぶりです。

ご質問の件ですが、結論から言ってしまうと、これらの条件だけでは一般項を導くことは出来ません。
２式目『lim[n→∞]Sn＝1』がどうしても必要です。
その理由はぜひ自分で考えて頂きたいのですが、せっかく漸化式をたててくださったので、それに従う形で考えてみることにしましょう。

まずは次の質問に答えてみてください。

Q. 『ルイさんの求めた漸化式
　　　 nan+1=(n-2)an
　　ですが、この式は本当にn≧2で成り立ちますか？』
No.3254 - 2009/06/13(Sat) 00:07:15
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校3年生]
こんにちは(*^^)v　ウッちょん先生、よろしくお願いします。

予想に反して、本当はこれだけでは導けないのですか〜

すみません。この式を導く途中で、両辺をn−2で割っているので、実際にはn≧3でした。
(n−2){nan＋1−(n−2)an}＝0
が実際に導かれた式でした。Sn−1を使っているので、n＝1は駄目として、この式の形でn≧2でした。

Qへの答え
n＝2の時だけ成り立たない…ということでしょうか？
No.3260 - 2009/06/13(Sat) 14:49:27
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校3年生]
ついでに、初項a1と漸化式が揃っていれば、数列は決定されますが、この場合は、漸化式はn≧3のものであり、この漸化式にとっての初項はa3であり、それが不明なので、この漸化式は解けない、という理解で良いでしょうか？
No.3261 - 2009/06/13(Sat) 15:05:21
☆ Re: / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
こんばんは、ルイさん。

> ついでに、初項a1と漸化式が揃っていれば、数列は決定されますが、この場合は、漸化式はn≧3のものであり、この漸化式にとっての初項はa3であり、それが不明なので、この漸化式は解けない、という理解で良いでしょうか？
はい、大正解です。
結局のところ、問題文の第１式と第３式だけでは、どんなにがんばってもa3を決定することができないんですね。
a3が決定すれば漸化式から一般項を決定できます。
このa3を決定するための条件として、第２式を用いれば良い、ということですね。
No.3262 - 2009/06/13(Sat) 21:47:38
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校3年生]
こんばんは(*^^)v

ここで、またも問題が…
仮に第3項が分かったとしても、
nan＋1＝(n−2)anが解けません。
基本は等比数列に持ち込むことですから、
f(n＋1)an＋1＝kf(n)an　(kは実定数)
に変形できると仮定して、やってみましたが、f(n)が見つからず、駄目でした。
もし、このように変形できれば、f(n)an＝bnと置けて、
bn＋1＝kbn　またb3＝f(3)a3
なので、bn＝f(3)a3kn−3　(n≧3)
an＝bn/f(n)＝f(3)a3kn−3/f(n)
かと思いましたが…
No.3268 - 2009/06/14(Sun) 03:37:23
☆ Re: / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
こんにちはルイさん。
夜遅くまでご苦労様です。
でも過度の夜更かしは体にも毒ですから、ほどほどにしましょうね。

さてさて、この漸化式ですが、やってみてお分かりの通り、等比数列に持ち込むのはうまくないようです。
少し視点を変えてみましょう。

番号を１下げて
　　an
　 = {(n-3)/(n-1)}an-1 (n≧4)
としましょう。
n≧5ならば、続けて
　　an
　 = {(n-3)/(n-1)}an-1
　 = {(n-3)/(n-1)}{(n-4)/(n-2)}an-2
とできます。
この操作をどんどん続けていくと、どうなるでしょう？
No.3271 - 2009/06/14(Sun) 17:24:58
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校3年生]
こんにちは(*^^)v

an＋1＝((n−2)/n)an
an＝((n−3)/(n−1))an−1
an−1＝((n−4)/(n−2))an−2
以下、この繰り返しで、

>n≧5ならば、続けて
>　　an
>　 = {(n-3)/(n-1)}an-1
>　 = {(n-3)/(n-1)}{(n-4)/(n-2)}an-2

n≧kならば、続けて
an
＝((n−3)/(n−1))an−1
＝((n−3)/(n−1))((n−4)/(n−2))an−2
＝((n−3)/(n−1))((n−4)/(n−2))((n−5)/(n−3))an−3
＝((n−3)/(n−1))((n−4)/(n−2))…((n−(k−1))/(n−(k−3)))an−(k−3)
＝{(n−3)(n−4)(n−5)…(n−(k−1))/(n−1)(n−2)(n−3)…(n−(k−3))}an−(k−3)
＝{(n−3)！(n−k＋2)！/(n−1)！(n−k)！}an−(k−3)
＝{(n−k＋2)(n−k＋1)/(n−1)(n−2)}an−(k−3)

この操作を続けるということはk→∞とすれば良いのでしょうか？
No.3290 - 2009/06/16(Tue) 17:53:53
☆ Re: / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
こんばんは。
ああ、質問の仕方が悪かったかもしれません。
「この操作をどんどん続けていく」というのは、n≧5のときに限定した話です。
「n≧k」は必要ありません。

n≧5のとき、
　　an
　 = {(n-3)/(n-1)}an-1
　 = {(n-3)/(n-1)}{(n-4)/(n-2)}an-2
　 = …
と続けていきます。
すると、そのうち式にa3が現れて、そこでこれ以上先へは進めなくなりますね。
このとき、
　an = (a3とnの式)
になっているわけですから、これは漸化式を解いたことになります（a3を既知として、ですが）。
ルイさんには、この式を求めてほしいというわけです。

それなら、「n≧5ならば」とあえて断らなくても、n≧4で計算できるではないか、と思われるかもしれません。
もしこうした疑問をお持ちだとしても、まずは上記の計算を最後までやってみてください。
「n≧5」と断った理由は、そのあとで自ずと分かるでしょう。
No.3294 - 2009/06/16(Tue) 23:37:20
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校3年生]
ウッちょん先生、こんにちは(*^^)v

漸化式の数字を1個下げたためにn≧4であるのに、
n≧4ならこうなる　n≧5ならこうなる　この続きは？
と読み間違えていました。すみません。

n≧5として、
an
＝((n−3)/(n−1))an−1
＝((n−3)/(n−1))((n−4)/(n−2))an−2
＝((n−3)/(n−1))((n−4)/(n−2))((n−5)/(n−3))an−3
＝……
＝((n−3)/(n−1))((n−4)/(n−2))((n−5)/(n−3))……(3/5)(2/4)(1/3)　a3
＝((n−3)！2！/(n−1)！)a3
＝(2/(n−1)(n−2))a3

分母を見ると、部分分数分解で級数の和を求めるのでしょうか？
No.3299 - 2009/06/17(Wed) 17:39:09
☆ Re: / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
お見事、正解です。

n=4を分けた理由もお分かりですね。
n=4では
　a4 = {(4-3)/(4-1)}a3
となって、ここで計算はストップしてしまいます。
上での結果
　an = {2/(n-1)(n-2)}a3
は、計算に因数{(n-4)/(n-2)}が出てくるのが前提ですから、ここにn=4をはじめから含めるのは不味いわけです。

> 分母を見ると、部分分数分解で級数の和を求めるのでしょうか？
その通りです。
実際にやってみましょうか。
No.3302 - 2009/06/17(Wed) 20:42:06
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校3年生]
こんばんは(*^^)v

an＝2a3/(n−1)(n−2)＝2a3(1/(n−2)−1/(n−1))
n→∞を考えるのでn≧3としてよく、またa2＝−1、更にa3、a4についても、a3＝2a3/(3−1)(3−2)、a4＝2a3/(4−1)(4−2)を満たしているので、
Sn＝1＋(−1)＋2a3(1/1−1/(n−1))＝2a3(1/1−1/(n−1))

Sn→2a3＝1(n→∞)
∴a3＝1/2

よって、a1＝1、a2＝−1、an＝2(1/2)/(n−1)(n−2)＝1/(n−1)(n−2)

これでよいでしょうか。
No.3305 - 2009/06/18(Thu) 01:06:55
☆ Re: / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
はい、ＯＫです。
特につけ加えることもないでしょう。

この問題のようなタイプの漸化式は、頻繁とは言わないまでも時折出題されますので覚えておくと吉ですよ。
No.3310 - 2009/06/18(Thu) 19:16:08
★ (No Subject) / なお ♀ [甲信越] [高校１年生]
こんばんは
初めての投稿です。

数学Ｉ＋A
ニューアクションBに載ってあった問題ですけど
解説読んでもよくわからなくて、
ぜひ教えて頂きたいです。

７３ページの
例題41の問題
ですけど

?@Xの平方＋２x＋３−K＝0

どなたかお願いします。
No.3275 - 2009/06/14(Sun) 19:04:11
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
なおさん、はじめまして。河童です。

＞　x^2 + 2 x + 3 - k = 0

問題は、これをどうしろというのでしょう？
問題文を引用してもらえますか？

ちなみに、x^2　は x の平方の意味で、記号 『 ^ 』は、キーボードの０のふたつ右にあります。ひらがなの、へ のキーです。
No.3282 - 2009/06/15(Mon) 13:28:17
☆ Re: / なお ♀ [甲信越] [高校１年生]
えっと

kを定数とするとき、次の二次方程式の実数解の個数を調べよ。
です。


あ
ありがとうございます。
No.3284 - 2009/06/15(Mon) 19:39:27
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
なおさん、こんばんは。

なるほど。分かりました。
それでは、なおさん、少し質問攻めしますが、ひとつひとつ、じっくり考えて、答えてくださいね。
なおさんがどの程度理解されているかを知るためですから、我慢してくださいね。

【質問】

１：　問題の意味は分かりますか？

２：　『実数解の個数』とありますが、実数解以外にどんな種類の解があるのでしょう？

３：　２次方程式を解の公式で解いたとき、実数解と、上の質問２で現れたもうひと種類の解とでは、どんな違いが現れるのでしょうか？

４：　判別式は知っていますか？　判別式とは、何を判別するのでしょうか？
No.3288 - 2009/06/15(Mon) 23:33:05
☆ Re: / なお ♀ [甲信越] [高校１年生]


?@問題の意味よくわかりません

?A重解

?Bわかりません

?CD＝b＾2−4ａc　　0より大きいか小さいかそれと0と一緒なのかを判別することだと思います。


　　
No.3291 - 2009/06/16(Tue) 20:04:31
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
なおさん、こんばんは。

まず、質問３を見てください。

２次方程式の解の公式の分子を思い出してください。解の公式は分かりますね。
その分子の中に、ルートが現れますね。
ところで、なおさんが今まで出会った数を総称して、『実数』と呼びます。
円周率のπも実数です。√２も実数です。
他にも２年生になると新しい実数を習いますが、とりあえず、実数とは、『数直線上にある数』と考えてください。
√２も実数だと言いましたが、このルートの中身は、中学で学んだように正の数ですよね。
そうなんですね。もし√がある数が実数なら、√の中身は必ず正の数なんです。
例えば、

( 3 + √2 ) / 2

これは実数です。

( -2 - 3√3 ) / 2

これも実数です。
でも、

( -1 + 2√-1 ) / 2

これは実数ではありません。見たことないでしょ？
この数については２年生で学びますが、今は「ヘンな数だなあ」くらいに考えておいてください。
もしも解の公式で解いたときに、ルートの中、つまり、なおさんが?Cで書いてらっしゃる

Ｄ＝ b^2 - 4ac

が負の数になってしまうと、こんなヘンな数になってしまいますよね。
質問３でたずねた、『どんな違い？』というのは、このことなんですね。
ですから、質問２に出てくる『実数解以外の解』というのは、こんなヘンな解のことなんです。
でも、まだヘンな解については習っていらっしゃらないでしょうから、質問２と質問３は、あまり気にしないでください。

さて、質問４についてですが、この判別式の値がもしも０ならばどうなるでしょうか？
解の公式の√の中身が０になってしまいますよね。
ですから、解が（もちろん実数解ですよ）１個だけになりませんか？
そして、もしも判別式の値が正ならば、解は２個になりませんか？

どうでしょう？
ここまでは分かりましたか？
No.3297 - 2009/06/17(Wed) 01:55:22
☆ Re: / なお ♀ [甲信越] [高校１年生]
こんばんは。


実数についてはだいたい理解しました。
今まで習ったすべての数?が実数という
ことですよね?


あのー
判別式ってなんのためにあるんですか?
判別式って何を判別するんですか?


判別式の値が正ならば解が二個のところは
あんまりわかりません。
なんで二個なんですか?


なんかいろいろとすみません。
No.3300 - 2009/06/17(Wed) 19:30:51
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
なおさん、こんばんは。

そうでしたね。判別式の意味をお話ししておくべきでした。ごめんなさいね。

なおさんが、前回のレスで、

＞　?C　D＝b＾2−4ａc　　0より大きいか小さいかそれと0と一緒なのかを判別することだと思います。

こう書かれました。
この、b＾2−4ａc　の部分は、解の公式の√の中身そのものですね。分かりますか？
判別式というのは、√の中身が、０になるかどうか、を判別する式なんです。

もし、判別式が０になれば、２次方程式の解は、

x = ( -b ± √0 ) / 2a

という解を持つことになりますね。
√0 は、もちろん０ですから、結局、この２次方程式は、

x = -b / 2a

という実数解をひとつだけ持ちます。

それに対して、もし、判別式が正ならば、√の中身が b^2 - 4ac　という正の数ですから、

x = ( -b ± √D ) / 2a

という実数解を２つ持つことになりますよね。ここで、√の中は D と書きましたが、b^2 - 4ac のことです。
あ、そうそう、実数解を２つというのは、

x = ( -b ＋ √D ) / 2a　と、 x = ( -b − √D ) / 2a　のふたつですね。

ここまでがお分かりになれば、もう一度参考書の解説を読んでみてください。
そして、分からないことがあれば、何でも聞いてくださいね。
No.3306 - 2009/06/18(Thu) 02:14:21
★ (No Subject) / りん ♀ [九州] [大学生]
こんばんは。
工業高校で数学を詳しくしていないため、現在、大学で苦戦しながら勉強中です。下記の問題が分からなくて困っています。解法を教えてください。よろしくお願いします。


（１）値f(1)、f(27^(-1))、f(512)を求めよ

（２）関数f(x)をx^a（aは有理数）の形で表示せよ

（３）関数f(x)の導関数と不定積分をそれぞれ求めよ

（４）変数xの多項式関数（値が恒等的に０である関数を除く）のうちで、xの値が限りなく１に近づくとき、関数f(x)-f(1)と同程度の速さで０に収束するものと、関数f(x)-f(1)よりも十分速く０に収束するものを、それぞれひとつずつ求めよ。
No.3279 - 2009/06/15(Mon) 01:20:42
☆ Re: / londontraffic ♂ [教育関係者]
りんさん，こんばんは．
なかなかレスが付かなかったのには，ワケがあります．
この問題の関数f(x)がどんな関数なのか，わからないからです．
f(x)を書き込みしていただけますか？
No.3301 - 2009/06/17(Wed) 20:34:24
★ (No Subject) / イチタ ♂ [関東] [浪人生]
はじめまして。
本質の研究?TＡの例題の解答でわからないところがあるので教えて頂きたいです。




x,yに関する連立方程式

kx-6y=k+2...?@
2x+(k-7)y=3...?A

において
(１)解が存在しないのは、kの値がいくらのときか
(２)解が無数にあるのは、kの値がいくらのときか
(３)ただ１組の解をもつとき、その解を求めよ

解答

?@×(k-7)＋?A×6をつくると、yが消去されて

{k(k-7)+12}x=(k+2)(k-7)+18
∴(k-3)(k-4)x=(k-1)(k-4)...?B

が得られる。逆に、?B−?@×(k-7)を６で割れ
ば、?Aが得られるので、

?@かつ?A⇔?@かつ?B




解答のこの部分が何を言っているのか全くわかりません。「?@かつ?A」や「?@かつ?B」は、「?@×(k-7)＋?A×6」や「?B−?@×(k-7)」のことを言っているのでしょうか？「?@かつ?A」は連立方程式?@と?Aの解を表すと思うのですが・・・
また、?@かつ?A⇔?@かつ?Bとなる理由もわかりません。

問題の解き方自体は理解できたので、この問題を解く上では無視してもいいことなのかもしれませんが、どうしても気になってしまったのでご教授よろしくお願いします。
No.3227 - 2009/06/10(Wed) 15:40:54
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
イタチさん、こんばんは。河童です。

長岡先生の本ですね。
わたしも生徒にこの参考書を薦めています＾＾
ただ、あいにくこの本は手元にありませんが、長岡先生なら、その問題以前に説明されているはずです。
ちょっと探してみてください。

簡単に言えば、?@かつ?Aという連立方程式を解く代わりに、?@かつ?Bという連立方程式を解けばよい、という意味です。

実は、何故そうなるかは、わたしが５月７日に、『pattunさんへ』という題名で回答しております。
現在は、３〜４ページに移動していますので、よろしければ参考になさってください。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=suugaku&page=3

分かりにくければ改めて回答いたします。
遠慮なくおっしゃってください。
No.3232 - 2009/06/11(Thu) 02:24:44
☆ Re: / イチタ ♂ [関東] [浪人生]
こんにちは。河童さん、返信ありがとうございます！
早速リンクのページを拝見しました。

「?@ かつ ?A　→　?B　が成り立つとき　?@ かつ ?A　→　?@ かつ ?B　も成り立つ」ということがよくわかりました！
同様に「?@ かつ ?B　→　?A　が成り立つとき　?@ かつ ?B　→　?@ かつ ?A　も成り立つ」ということもわかったので、

?@ かつ ?A　→　?B　が成り立つとき　?@ かつ ?A　→　?@ かつ ?B　も成り立つ
?@ かつ ?B　→　?A　が成り立つとき　?@ かつ ?B　→　?@ かつ ?A　も成り立つ
よって、?@かつ?A　⇔　?@かつ?B

となることもわかりました。

ところで、河童さんが仰ったように、質問した例題が載っているページより前に、この例題に関係する解説がなされていないか本質の研究を読み直し探してみたところ、「加減法の基本原理」が該当箇所ではないかと思いました。

加減法の基本原理
F(x,y)=0かつG(x,y)=0　→　aF(x,y)+bG(x,y)=0

と、書かれていたので、これとリンクのページに載っていたことを踏まえれば、確かに質問した例題で、

?@かつ?A　→　?@×(k-7)＋?A×6＝?Bが（加減法の基本原理より）成り立つので、
?@かつ?A　→　?@かつ?B
となる。また、
?@かつ?B　→　{?B−?@×(k-7)}×1／6＝?Aが（加減法の基本原理より）成り立つので、
?@かつ?B　→　?@かつ?A
よって、?@かつ?A　⇔　?@かつ?B

となると考えたのですが、この考えは間違っていませんよね？

そして、この考えが間違っていないと仮定した上で新たに質問があります。この考えでは加減法の基本原理が成り立つことを前提としたのですが、加減法の基本原理はなぜ成り立つのですか？加減法の基本原理とは、つまり「F(x,y)=0とG(x,y)=0の共通解がaF(x,y)+bG(x,y)=0の解の中に含まれる」ということを言っているんですよね？なぜこんなことが言えるのでしょうか？よろしくお願いします。
No.3236 - 2009/06/11(Thu) 11:57:46
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
イタチさん、こんばんは。
そうですね。それでよろしいかと思います。

＞　加減法の基本原理とは、つまり
＞　「F(x,y)=0とG(x,y)=0の共通解がaF(x,y)+bG(x,y)=0の解の中に含まれる」
＞　ということを言っているんですよね？

そういうことですね。

F(x,y) = 0　と　G(x,y) = 0　の共通解は、F(x,y) = 0　も　G(x,y) = 0　も満たしますね。
当然ですね？
従って、aF(x, y) = 0　も　bG(x,y) = 0　も満たしますね。
これも当然ですね？
ですから、aF(x,y) + bG(x,y) = 0　も満たしますよね。
よろしいですか？

わたしたちは中学の頃から、例えば、

x + y = 5　　…(1)
2x + y = 7 　…(2)

のような連立方程式を解くときに、(2) - (1)　をつくり

x = 2　…(3)

とやってきましたね。
これは、a として -1 を、b として 1 を採用したことに相当しますが、わたしたちは知ってか知らずか、この本で言う基本原理を使っていたわけです。
そして、ここが重要なのですが、この基本原理は、『元に戻れる』からこそありがたいわけです。
質問の文中の、

＞　逆に、?B−?@×(k-7)を６で割れば、?Aが得られるので、

という部分がそれですね。
だからこそ、わたしたちは、上の x = 2　…(3) を、(1), (2)　のどちらにも代入できたわけです。
中学のとき、数学の先生は、「出てきた数を、簡単な方に代入しなさい」と教えてくれましたね。
それにはこういう深い事情があったわけです。
お分かりになりましたか？
あっ、そうそう、代入法はこういうわけにはいきませんよ。

ところで、イタチさん、この解答中では、出てきた?Bと、?@を組んで、

?@かつ?A⇔?@かつ?B

という同値関係を導いていますが、何故、出てきた?Bと、?Aを組んで、

?@かつ?A⇔?Aかつ?B

としなかったのでしょうか？
これが分かれば、この問題は卒業していいと思います。
No.3242 - 2009/06/12(Fri) 03:01:50
☆ Re: / イチタ ♂ [関東] [浪人生]
河童さん、こんばんは。


> F(x,y) = 0　と　G(x,y) = 0　の共通解は、F(x,y) = 0　も　G(x,y) = 0　も満たしますね。
> 当然ですね？
> 従って、aF(x, y) = 0　も　bG(x,y) = 0　も満たしますね。
> これも当然ですね？
> ですから、aF(x,y) + bG(x,y) = 0　も満たしますよね。
> よろしいですか？

あー・・・、言われてみれば至極当然のことでしたね・・・。
ありがとうございます！理解できました！

> ところで、イタチさん、この解答中では、出てきた?Bと、?@を組んで、
>
> ?@かつ?A⇔?@かつ?B
>
> という同値関係を導いていますが、何故、出てきた?Bと、?Aを組んで、
>
> ?@かつ?A⇔?Aかつ?B
>
> としなかったのでしょうか？
> これが分かれば、この問題は卒業していいと思います。

まず、?@かつ?A⇔?Aかつ?Bの証明ですが、

?@かつ?A　→　?@×(k-7)＋?A×6＝?Bが成り立つので、
?@かつ?A　→　?Aかつ?B・・・（?@）
となる。また、
?Aかつ?B　→　?B×1/(k-7）- ?A×6 /(k-7)　かつ　k≠7が成り立ち、
{?B×1/（k-7）- ?A×6 /(k-7)　かつ　k≠7}⇔?@
だから、
?Aかつ?B　→　?@が成り立つ。
ゆえに、
?Aかつ?B　→　?@かつ?A・・・（?A）
よって、（?@）、（?A）より、
?@かつ?A⇔?Aかつ?B
ただし、k≠7

となると思うのですが、あっていますか？
この証明があっているとすると、?@かつ?A⇔?@かつ?Bとした時には現れなかった「k≠7」という条件が、?@かつ?A⇔?Aかつ?Bとしなかった理由に何か関係しているのでしょうか？？k≠7という条件があっても、この例題の（１）、（２）、（３）を解く上で不都合はない気がするのですが・・・。すみません、わかりません・・・。解説よろしくお願いします。
No.3249 - 2009/06/12(Fri) 20:52:21
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
イタチさん、こんばんは。


＞　?@かつ?A　→　?@×(k-7)＋?A×6＝?Bが成り立つので、
＞　?@かつ?A　→　?Aかつ?B・・・（?@）


冒頭のこの部分は、いちいち考える必要はありません。
というのは、加減法の原理

F(x,y)=0かつG(x,y)=0　→　aF(x,y)+bG(x,y)=0

は、a, b がどのような数でも成り立つからです。お分かりですね？
ですから、加減法によって ?B を導いた以上、

?@かつ?A ⇒ ?@かつ?B
?@かつ?A ⇒ ?Aかつ?B

は、どちらも成り立つのです。
問題は、『逆戻りが出来るかどうか』この一点にかかっているのです。
そこで、こう考えます。

?Bと、?@、?Aのどちらを組めば他方が出るだろうか

本書の解説では、?Bと?@を組んで、他方、つまり?Aが出ることを、

＞　逆に、?B−?@×(k-7)を６で割れば、?Aが得られるので、

と表現したのです。
ですから、元の連立方程式は、?@かつ?Bと同値なんですね。

＞　?Aかつ?B　→　?B×1/(k-7）- ?A×6 /(k-7)　かつ　k≠7が成り立ち、

イタチさんが書かれたこの部分、まさにこの部分が問題なんですね。
元の連立方程式で、 k≠7 は保証されていませんよね。
元々?Bというのは、

?@×(k-7)＋?A×6 = ?B

から得られましたので、もし、出てきた?Bと、元の?Aを組み、他方の?@を出そうと思ったら、

( ?B - ?A×6 ) ÷ ( k - 7 )

としなければいけません。
つまり、k - 7 で割らなければ、?@が得られないわけです。
ですから、k - 7 が０になるかどうかの余計な議論が必要になってしまいます。
そのような煩わしさを避けるために、この解答では、?Aではなく?@と組んだわけですね。

イタチさんが最後に書かれた

＞k≠7という条件があっても、この例題の（１）、（２）、（３）を解く上で不都合はない気がするのですが・・・。

これは不都合がないどころか、逆にありがたいのですが、残念ながら、k≠7 が保証されていないんですね。
No.3252 - 2009/06/12(Fri) 23:39:52
☆ Re: / イチタ ♂ [関東] [浪人生]
河童さん、おようございます。

なるほど！与えられた連立方程式の中のkは、k=7にもk≠7にもなり得るから、

?Aかつ?B　→　?B×1/(k-7）- ?A×6 /(k-7)　かつ　k≠7

と言えるためには、k≠7という保証が必要だということですか！
だから、k-7が０になるかどうかの議論が必要になってしまうんですね。

そこで、k≠7となる保証がないか、k=7と仮定して背理法を使って考えてみたのですが、矛盾が導き出せませんでした。どうやら、与えれた連立方程式は本当にk=7にもk≠7にもなり得るようなので、最初にk≠7とk=7で場合分けして、

（?@）k=7のとき
与えられた連立方程式は、
7x-6y=9かつ2x=3
となる。
よって、x=3/2かつy=1/4
（?A）k≠7のとき
?@×(k-7)＋?A×6＝?B
が得られ、
?B×1/(k-7）- ?A×6 /(k-7)＝?@
が得られるから、
?@かつ?A⇔?Aかつ?B

とすれば、問題ないですよね？
No.3256 - 2009/06/13(Sat) 09:15:33
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
イチタさん、こんばんは。

まずは、ごめんなさい。
ウッちょん先生より、「イタチさんではなく、イチタさんだよ」と指摘を受けました。
ずっと、イタチさんだと思っていました。
本当にごめんなさい。

さて、確かにイチタさんが書かれたように、（?@）（?A）の場合分けをした結果、
k ≠ 7 の下で、?@かつ?A ⇔ ?Aかつ?B　が得られましたね。
でも、考えてみると、この結果は、?@かつ?A ⇔ ?Aかつ?B ⇔ ?@かつ?B　を示したに過ぎず、
苦労した割りには何の情報も得られていないことになりますね。
お分かりでしょうか？
もちろん、普段の勉強では、このようなことを考えるのは良いことですよ。
No.3264 - 2009/06/14(Sun) 00:03:34
☆ Re: / イチタ ♂ [関東] [浪人生]
河童さん、こんばんは。

> まずは、ごめんなさい。
> ウッちょん先生より、「イタチさんではなく、イチタさんだよ」と指摘を受けました。
> ずっと、イタチさんだと思っていました。
> 本当にごめんなさい。

いえいえ、なんとなく思いつきで付けた名前ですし、僕は全然気にしていなかったので、河童さんも気にしないでください＾＾

> さて、確かにイチタさんが書かれたように、（?@）（?A）の場合分けをした結果、
> k ≠ 7 の下で、?@かつ?A ⇔ ?Aかつ?B　が得られましたね。
> でも、考えてみると、この結果は、?@かつ?A ⇔ ?Aかつ?B ⇔ ?@かつ?B　を示したに過ぎず、
> 苦労した割りには何の情報も得られていないことになりますね。
> お分かりでしょうか？
> もちろん、普段の勉強では、このようなことを考えるのは良いことですよ。

よくわかりました！わかりやすい説明を本当にありがとうございました。独学で勉強している身で、一人ではこうもうまく勉強が進まないので、いろいろ勉強できて本当に助かりました。
お忙しい中、長々とお付き合いいただきありがとうございました。また何かわからないところが出てきた時にはよろしくお願いします。
No.3273 - 2009/06/14(Sun) 17:50:52
★ 三角関数 / 浪人生 [高校１年生]
f(x)=cosx+cos{√(2)x}
任意のxに対して
|f(x+6726π)-f(x)|＜0.002
を示せ。必要なら√2を小数第8位まで少数表記したものが1.41421356であること(第9位以下は不明)を使ってよい。

f(x+6726π)=cos(x+6726π)+cos{√(2)(x+6726π)}
=cosx+cos{√2(x+6726π)}
よって|f(x+6726π)-f(x)|=|cos{√(2)(x+6726π)}-cos{√(2)x}|
　　　　　 =|-2sin{√(2)(x+3363π)}sin3363√(2)π|
ここで-1≦sin{√(2)(x+3363π)}≦1より
|-2sin3363√(2)π|＜0.002を示せばよい。

ここまでは考えたのですがこの先がよくわからないです

どのように示すか教えてください
No.3214 - 2009/06/05(Fri) 14:44:23
☆ Re: 三角関数 / londontraffic ♂ [教育関係者]
こんにちは，londontrafficと申します．
まずはHNの再考をお願いします．
そして，次回のレスから学年の選択も正しいものでお願いいたします．

さて本題です．
私が思いついたのは数学IIIで学ぶ「近似式」を用いた解答ですが，履修されましたか？
履修されたのであれば，関数f(θ)=sinθの近似式をカキコしてください．
お願いしますm(_ _)m
No.3217 - 2009/06/06(Sat) 09:48:12
☆ Re: 三角関数 / oxy [浪人生]
ＰＣの故障で返信できませんでした。すいません

名前も変更しました

近似式はf(θ)=sinθ=sin0+(cos0)θ=θですか？
No.3267 - 2009/06/14(Sun) 01:01:37
☆ Re: 三角関数 / londontraffic ♂ [教育関係者]
oxyさん，お久しぶりです．
HNの件，ありがとうございます．
近似式もそれでokです．

では，次です．
3363sqrt{2}π
が分からないと計算できないので，
3363sqrt{2}
を計算してみましょう．手計算は結構辛いと思いますが・・・
No.3269 - 2009/06/14(Sun) 08:21:40
☆ Re: 三角関数 / oxy [浪人生]
3363√2=4756.00020228ですね

sin3363√(2)π=sin(4756.00020228)πだから

sin3363√(2)π=sin(0.00020228)πですか？
No.3270 - 2009/06/14(Sun) 16:55:41
☆ Re: 三角関数 / londontraffic ♂ [教育関係者]
はい．その通りですよ．
後は
0.00020228×π
が十分に小さいことから，近似式を使って処理すればokです．
No.3272 - 2009/06/14(Sun) 17:49:51
★ 食塩水の問題 / ヒデノリ ♂ [近畿] [高校3年生]
今晩は、ヒデノリと言います。初めて利用させていただきます。よろしくお願いします！
数学の問題集で解らない問題があるのですが、　

問　容器Ａには１０％の食塩水１００ｇ，容器Ｂには２２％の食塩水が３００ｇ入ってい　　る。今，容器ＡとＢから同時に食塩水を１：３の割合で汲み出して空の容器Ｃに入れ　　た。次に容器Ｃに水を７５０ｇ加えたところ，容器Ｃの濃度は４％となった。最初　　　に容器Ｂから汲み出した食塩水は何ｇか。

この問題がよく解らなかったので解説を読んだのですがこの解説もよく解らないのですが、解説では

解説　濃度の差が１２％で食塩水の重さが１：３なので濃度は３：１になったことにな　　　　る。１０＋１２÷４×３＝１９％。容器Ｃは水と１９％の食塩水で４％となったの　　　で，先と同様に考える。・・・

最初から詰まってしまったのですが、まず最初の一文から解らないのですが、「食塩水の重さが１：３なので濃度は３：１になったことになる」とあるのですが、これがよく解らないのですが、これは濃度の法則か何かで決まっているのでしょうか？そして容器Ｃの濃度が１９％に至るまでの過程の式もよく解りません。数学が大の苦手なので申し訳ありませんが、どうぞ宜しくお願いします。
No.3241 - 2009/06/12(Fri) 02:01:35
☆ Re: 食塩水の問題 / kinopy [塾講師]
ヒデノリさん，はじめまして。kinopyです。
久々の回答だなぁ…(^_^;)

さて，実は私にもお持ちの解答が何を言ってるのやらさっぱり分かりません。
というか
> 食塩水の重さが１：３なので濃度は３：１になったことになる
は日本語としておかしいです。ヒデノリさんが分からないのは無理もない話です。
重さが１：３なのはＡからとＢからの食塩水ですが，濃度はそれぞれ１０％と２２％のままですからね。

何やらテクニックのようなものを使っているようですが，私は知らないので普通にいきましょう(笑)

聞かれてるのはBからの食塩水の量ですが，あえてＡからの食塩水の量をxgとしましょう。すると，Bからの食塩水は3xgですね。
（BからをxとするとAからが1/3xとなって計算が面倒です）

この時点で，Cには全体の量が(x+3x)gで，食塩の量が(10/100×x+22/100×3x) gの溶液ができています。
ここまではいいですか？

ＯＫなら，この後750gの水をくわえた食塩水の濃度をxで表わして，それが4%に等しいことで方程式ができます。

いかがでしょうか。
No.3246 - 2009/06/12(Fri) 05:19:08
☆ Re: 食塩水の問題 / ヒデノリ ♂ [近畿] [高校3年生]
kinopy先生,こんにちは！返信遅くなって申し訳ありません。　

おかげ様で,Ｃには全体の量が（x＋3x)gで,食塩の量が(10/100×22/100×3x)gの溶液ができているまでは理解できました。（ありがとうございます！）

このあとの容器Ｃの濃度19%の導き方とそれに水750gを加えて4%になり,それによる最初のＢの容器から汲み出した食塩水の量が解る一連の流れが理解できずに苦しんでいます。（勉強不足ですみません）

お忙しい中申し訳ありませんが,どうぞ宜しくお願い致します！
No.3257 - 2009/06/13(Sat) 11:25:08
☆ Re: 食塩水の問題 / kinopy [塾講師]
こんばんは。

回答の前に確認させてください。
次の例題は大丈夫でしょうか？

例題．全体の量が125g，食塩の量が25gの食塩水の濃度は何%か？

答え．20%

もし，この例題ができれば，
> 容器Ｃの濃度19%の導き方
は同様にできるはずですので，もう一息頑張ってください。
（ただ，問題を解く上で19%は必要ないです(^_^;)）

> それに水750gを加えて4%になり
これもできるようには思いますが…いかがでしょうか？
No.3265 - 2009/06/14(Sun) 00:21:37
★ (No Subject) / rumi ♀ [関東] [高校１年生]
こんにちは
　
どうして−1×−1＝1になるのですか
No.3258 - 2009/06/13(Sat) 13:24:13
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
はじめまして。

当掲示板は高校内容の質問専用とさせていただいております。
申し訳ありませんが，ご質問は中学内容ですので，当掲示板の守備範囲外です。
中１のときの教科書をもう一度読まれてみてはいかがでしょう。
No.3259 - 2009/06/13(Sat) 13:56:08
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