 | はじまして。
高校3年生です。数学は結構苦手なのでご迷惑をおかけするかもしれませんが、よろしくお願いします。
北海道大学03年(文・教・法・経)?@の問題に関して質問があります。
解答はわかっているので、内容の質問になります。
x1やx2との区別のため、Xの2乗はx^2と表現します。
問題文:
xy平面状の放物線 Ａ:y=x^2 …?@ Ｂ:y=-(x-a)^2+b …?A は
異なる2点 P(x1,y1) Q(x2,y2) (x1>x2)で交わるとする。
(1)x1-x2=2が成り立つときbをaで表せ。
(2)x1-x2=2を満たしながらa,bが変化するとき、直線ＰＱの通過する領域を求め図示せよ。
こういう問題ですが(1)は理解できました。
?@?Aからyを消去した式の2つの解がx1,x2となるので
解と係数の関係を使って x1+x2の式と条件の x1-x2の式から x1,x2を出して、
x1x2の式に代入したら
答え b=a^2/2+2
(2)の解答ですが、
直線PQの方程式は ?@+?Aの式 2y=2ax-a^2+b
これに(1)の答え代入し、aについて整理 a^2-4xa+4y-4=0
これに判別式、x^2-y^2+1≧0
答え y^2≦x+1
(2)は理解できません。
軌跡の問題の本質?を理解していないのかもしれません。
まず普通?@＋?Aなんて滅多にしませんよね?
こういう方程式を得るときは(1)のようにyを消去してきたと思うのですが、
どうして今回?@＋?Aをしているのでしょうか…、
またどうしてそれをaについて整理しているのか（このほかの軌跡の問題でも他の文字について整理することがよくあるのですがどういう理由でそうしているのかわかりません）
どうして判別式で問題の答えが得られるのか、
わかりません…。
わからないことだらけですみません。
他の軌跡の問題って 軌跡点P(x,y)と置いて、他問題文を式に表して…という手順で解いていっています。今回のはよくわかりません。
数学初心者丸出しで申し訳ありません（汗
どうかよろしくお願いします。
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No.3049 - 2009/05/21(Thu) 00:48:51
| ☆ Re: 質問です / ウルトラマン ♂ [近畿] [高校１年生] | | |  | omochikunさん，はじめまして。そして，こんばんわ。
質問の内容がかなり重厚ですので，理解するまで時間がかかるかと思いますが，重要な単元ですのでしっかり頑張りましょう。
> (2)は理解できません。
> 軌跡の問題の本質?を理解していないのかもしれません。
> まず普通?@＋?Aなんて滅多にしませんよね?
> こういう方程式を得るときは(1)のようにyを消去してきたと思うのですが、
> どうして今回?@＋?Aをしているのでしょうか…、
★まずは，この部分についての理解をめざしましょう。
まず，基本事項の確認です。
一般に，2つの曲線C_{1}：f(x,y)=0，C_{2}:g(x,y)=0が与えられたとき，m,nをともに0でない実数として，m×f(x,y)＋n×g(x,y)=0で与えられる曲線は，C_{1},C_{2}の共有点を通る曲線を表します。
この点については，OKでしょうか？
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No.3050 - 2009/05/21(Thu) 01:23:13 |
| ☆ Re: 質問です / omochikun ♂ [近畿] [高校3年生] | | | | 返信してくださってありがとうございます！
その基本事項については理解が曖昧でした…。
今まで例えば
y=2x
y=x^2
など2つの式を1つの式にして（ここではyを消去）、
そこから得た式の解がもとの2つの式の共有点のx座標であるというの流れは、
その基本事項に沿ったものだったということですよね？
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No.3051 - 2009/05/21(Thu) 01:46:08 |
| ☆ Re: 質問です / ウルトラマン ♂ [近畿] [教育関係者] | | | | omochikunさん，こんばんわ。
えぇ〜と，
> y=2x
> y=x^2
> など2つの式を1つの式にして（ここではyを消去）、
> そこから得た式の解がもとの2つの式の共有点のx座標であるというの流れは、
> その基本事項に沿ったものだったということですよね？
↑の件ですが，ちょっとポイントがずれている感じがします。
ゆっくり説明しますので，よぉ〜く聞いておいて下さい。
方程式
C_{1}：f(x,y)=0と，C_{2}：g(x,y)=0
で表される図形の共有点の座標を(α，β)とします。
すると，共有点であることの定義から，
f(α，β)=0，g(α，β)=0
が成立し，よって，
m×f(α，β)＋n×g(α，β)=0……※
が成立します。※の式は，まさしく
方程式：m×f(x,y)＋n×g(x,y)=0
で表される図形が点(α，β)を通ること，言い換えれば，
C_{1}：f(x,y)=0とC_{2}：g(x,y)=0の共有点を通ることを示していますよね？
ここまではＯＫでしょうか？
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No.3067 - 2009/05/22(Fri) 00:01:13 |
| ☆ Re: 質問です / omochikun ♂ [近畿] [高校3年生] | | | | ウルトラマンさん、こんばんは。
また返信して下さってありがとうございます。
OKだと思います！
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No.3068 - 2009/05/22(Fri) 00:07:44 |
| ☆ Re: 質問です / ウルトラマン ♂ [近畿] [教育関係者] | | | | では，この基本事項を使ってみましょう。
いま，与えられている図形の方程式は：
A：y=x^{2}…?@，B：y=-(x-a)^{2}+a^{2]/2+2…?A
つまり，
A：f(x,y)≡y-x^{2}=0，B：g(x,y)≡y+(x-a)^{2}-a^{2}/2-2=0
です。よって，m，nを0でない実数とすると，A，Bの共有点を通る図形の方程式は，
m×{y-x^{2}}＋n×{y+(x-a)^{2}+a^{2}/2+2}＝0…※
と表せます。この問題の場合は，実数の組(m,n)を適当に選んで，
「A，Bの共有点P，Qを通る直線の方程式」
を作ればよいわけです。
omochikunさん，ここで問題です。
「※が直線の方程式を表すようにするためには，(m,n)にどのような実数を当てはめてやればよいでしょうか？」
ちょっと考えて見てください。
（これが分かれば「?@＋?A」により，直線PQの方程式が得られる理由が分かるはずです。）
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No.3069 - 2009/05/22(Fri) 00:23:45 |
| ☆ Re: 質問です / omochikun ♂ [近畿] [高校3年生] | | | | 直線を得たい ⇒ x^{2}を消したいから
m=1,n=1を代入する…つまり?@＋?Aになるということでしょうか
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No.3070 - 2009/05/22(Fri) 00:34:54 |
| ☆ Re: 質問です / ウルトラマン ♂ [近畿] [教育関係者] | | | | omochikunさん，こんばんわ。
> 直線を得たい ⇒ x^{2}を消したいから
> m=1,n=1を代入する…つまり?@＋?Aになるということでしょうか
その通りです。よくできました。では，次のステップに移りましょう。
以上で，直線PQの方程式は，
2y=2ax-a^2+b
つまり，
4ax-4y-a^{2}+4=0……※
と表せることがわかったので，あとは，aが任意の実数を動くとき，※で表される直線の通過範囲を求めればよいわけです。そこで，直線に限らず図形の通過範囲を求める問題の考え方を説明する前に，まずは騙されたと思って次の問題を解いてみて下さい。
(1)直線※は点(2,1)を通ることが出来るか否かを理由をつけて答えなさい。
(2)直線※は点(3,-4)を通ることが出来るか否かを理由をつけて答えなさい。
さぁ〜どうでしょう？ ちょっと考えてみて頂けますか？
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No.3082 - 2009/05/22(Fri) 23:52:42 |
| ☆ Re: 質問です / omochikun ♂ [近畿] [高校3年生] | | | | (1)はx=2,y=1を※に代入して
a^{2}-8a=0
判別式D=16>0より、aが異なる２つの実数解を持つので成り立つ
から点(2,1)を通る
(2)もx=3,y=-4を代入して
a^{2}-12a-20=0
判別式D=56>0より、aが異なる２つの実数解を持つので成り立つ
から点(3,-4)を通る
意味不明なことを書いていたらごめんなさい。
aが任意の実数を動くとあるから代入した※が実数解aを持てばいいと思って↑のようにしました。
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No.3084 - 2009/05/23(Sat) 00:58:28 |
| ☆ Re: 質問です / ウルトラマン ♂ [近畿] [教育関係者] | | | | omochikunさん，こんばんわ。
> (1)はx=2,y=1を※に代入して
> a^{2}-8a=0
> 判別式D=16>0より、aが異なる２つの実数解を持つので成り立つ
> から点(2,1)を通る
>
> (2)もx=3,y=-4を代入して
> a^{2}-12a-20=0
> 判別式D=56>0より、aが異なる２つの実数解を持つので成り立つ
> から点(3,-4)を通る
ＯＫです。考え方と答え両方正解です。
では，最後の質問です。
4ax-4y-a^{2}+4=0……※
「直線※が点(X,Y)を通るための必要十分条件を求めなさい。」
さぁ〜どうでしょう？ いままでと同じように考えてみていただけますか？
これが正解できたら，本問については殆ど理解できたも同然です。
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No.3098 - 2009/05/24(Sun) 00:07:24 |
| ☆ Re: 質問です / omochikun ♂ [近畿] [高校3年生] | | | | (X,Y)を代入して
4aX-4Y-a^{2}+4=0
a^{2}-4Xa+4Y-4=0
判別式D/4=4X^{2}-4Y+4≧0
4Y≦4X^{2}+4
Y≦x^{2}+1
ですね!
これで気づいたのですが質問の解答間違ってました。
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No.3106 - 2009/05/24(Sun) 11:14:09 |
| ☆ Re: 質問です / ウルトラマン ♂ [近畿] [教育関係者] | | | | omochikunさん，こんばんわ。
> (X,Y)を代入して
> 4aX-4Y-a^{2}+4=0
> a^{2}-4Xa+4Y-4=0
> 判別式D/4=4X^{2}-4Y+4≧0
> 4Y≦4X^{2}+4
> Y≦x^{2}+1
>
OKです。よく頑張りましたねぇ〜。
上記のことは，直線4ax-4y-a^{2}+4=0……※が通過する領域をWとすると，
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「点(X,Y)がWに属する」
⇔「4aX-4Y-a^{2}+4=0を満たす実数aが存在する」
⇔「a^{2}-4Xa+(4Y-4)=0をaについての方程式と見たとき，この方程式が実数解をもつ」
⇔判別式D/4=4X^{2}-(4Y-4)≧0
⇔Y≦X^{2}+1
-----------------------------------------------------------
となることを意味しています。従って，直線※が通過する範囲を求めるためには，※をaについての方程式をみたとき，その方程式が実数解を持つような点(x,y)の存在範囲を求めればよいわけです。
長い道のりでしたが，やっと正解までたどり着きましたね。
これで解答の意味は理解できましたでしょうか？
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No.3120 - 2009/05/25(Mon) 01:11:59 |
| ☆ Re: 質問です / omochikun ♂ [近畿] [高校3年生] | | | | 理解できました！
ウルトラマンさん、
長い間お付き合い頂きありがとうございました…、本当に感謝致します。
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No.3122 - 2009/05/25(Mon) 13:32:30 |
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