 | こんにちは。＼(ﾟ◇ﾟ*)
平均値の定理の証明が分かりません。
教科書の例題で、
a＞0の時 1/(a＋1)＜log(a＋1)−loga＜1/a を示せ。
解答例として、
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
関数f(x)＝logxは、x＞0で微分可能で、f'(x)＝1/x
よって、区間[a,a＋1]において、平均値の定理を用いると
{log(a＋1)−loga}/{(a＋1)−a}＝1/c a＜c＜a＋1
すなわち、
log(a＋1)−loga＝1/c a＜c＜a＋1
を満たす実数cが存在する。
a＞0とa＜c＜a＋1から
1/(a＋1)＜1/c＜1/a
したがって、1/(a＋1)＜log(a＋1)−loga＜1/a
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
と書かれていますが、納得できません。
というのも、平均値の定理に伴う条件「a＜c＜a＋1」なのです。
これがあるからこそ、1/(a＋1)＜1/c＜1/aが成り立つと思うのですが、違うのですか？
この場合、例えば、条件「a＜a＋1＜c」の下で必ず実数cが存在する、ということがあり得ないことは言わなくてもいいのでしょうか？
関数g(x)＝sinxなどであれば、平均値の定理から、a＜bの時、(g(a)−g(b))/(a−b)＝coscを満たす実数cがa＜c＜bがあるのは明らかですが、a＜b＜cとしても、(g(a)−g(b))/(a−b)＝coscを満たす実数cは存在しますよね(周期関数ですので)？
もし、教科書の例題のf(x)もこのように、a＜a＋1＜cの条件下でも、{log(a＋1)−loga}/{(a＋1)−a}＝1/cを満たす実数cが存在するとなれば、1/a＞1/(a＋1)＞1/cとなり、不等式「1/(a＋1)＞log(a＋1)−loga」が成り立つ、という結論になってはしまわないのですか？実際にf(x)のグラフを描いてみれば、a＜a＋1＜cでは全く成り立たないことは明らかに分かるのですが、教科書ではこのグラフの形状について全く触れられていません。どうして、そのことについて言及しないでも、証明できたことになるのですか？この部分について詳しく教えてください。よろしくお願いします。
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No.2939 - 2009/05/11(Mon) 17:46:12
| ☆ Re: 平均値の定理 / ルイ ♀ [東北] [高校3年生] | | | | ↑で言う「必ず存在する」というのは、「全てのaに対して、必ずa＜c＜a＋1の範囲内で、等式を満たす実数cが存在する」と言う意味です。
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No.2940 - 2009/05/11(Mon) 17:56:16 |
| ☆ Re: 平均値の定理 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | 最初の記事に「平均値の定理の証明が分かりません」と書いてありますが、これは間違いで、正しくは「平均値の定理を用いた不等式の証明が分かりません」でした。
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No.2945 - 2009/05/11(Mon) 21:17:52 |
| ☆ Re: 平均値の定理 / ルイ ♀ [東北] [高校3年生] | | | | k先生、返信ありがとうございます。
まず、解決した部分について書かせていただきます。
1/xはx＞0の範囲で減少関数であり、1/x＝1/cを満たす実数はcしかありませんので、区間a＜c＜a＋1にcが存在することが「平均値の定理」より明らかなので、この範囲以外に1/cと等しい1/dを満たすdは存在しませんね…(ということで教科書の例題のほうは無視してください)
では、本題のほうに…
>もちろん，区間(a,b)以外に {f(a)-f(b)}/(a-b)=f'(d)となるdは存在するかもしれません。
>でも，そのようなdが存在したとしても f'(d)=f'(c) ですよね？
とありますが、「f'(d)=f'(c)」となるのは分かります。どちらも{f(a)-f(b)}/(a-b)に等しいのですから。でも、a＜x＜bに存在するcと、(a＜)b＜xに存在するdとでは、関数の値は等しくても、その不等式(a,b,cまたはa,b,d大小関係)が変わるので、結果として得られる不等式も変わってくるのではないでしょうか？
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No.2964 - 2009/05/13(Wed) 18:16:52 |
| ☆ Re: 平均値の定理 / ルイ ♀ [東北] [高校3年生] | | | | あっ、ペンギンさんのアイコンだったので、やはりkinopy先生でしたか。
こんばんは。
本当に混乱しているようです…
関数f(x)の導関数f′(x)が単調増加や、単調減少関数の場合は、どんな値も高々1つのxでしかとれませんので、そもそも1/c＝1/dなどのような式を満たすc≠dでのdは存在しないことも分かりますし、先生の仰る背理法での証明も理解できます。というわけで教科書の問題のほうは理解できました。
>結局，不等式に矛盾が起こるようなdは存在しない。ということなのですがいかがでしょうか？
について…
教科書の例題のほうでは、先生の背理法により矛盾が生じるdが存在しないことが示されました。矛盾が生じないとは、開区間(a，a＋1)にあること、という理解で良いですよね？
また、ところで、
>A＜{f(a)-f(b)}/(a-b)＜B を証明しようとして上記のcを使って A＜f'(c)＜B が示せたとします。
とありましたが、ここで先生の仰る関数f(x)とは、例題どおりのf(x)＝logxを指すのか、それとも一般の関数を指すのか、どちらなのでしょうか？前者なら理解できました。(0＜)a＜bの時、A＝1/b、B＝1/aとおけば、絶対不等式となります。また、矛盾を生じるようなdもこの関数の場合は存在しません。
けれども、f(x)が一般の関数を指すのだとすると、やはり理解できません…
先に述べたように、f(x)が全体で微分可能な、ある周期関数として、この場合、「平均値の定理」を使わずに、「{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(d)、(但しa＜b＜d)を満たすdがある」と持っていけますよね(周期関数なら、平均値の定理でのcより少なくとも整数周期分ずらせば、必ず同じ傾きが現れますので。)？
同様にしてe＜a＜bの範囲内でもやはりeは存在します。平均値の定理によりa＜c＜bの範囲内で更にcも存在するので、等式のほうは全く同じでも、不等式は結局、順序が入れ替わったものが3種類出来てしまいます。異なった条件を使えば、不等式の場合、その結果も変わると思いますが、どうなのでしょうか。
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No.2973 - 2009/05/14(Thu) 01:01:12 |
| ☆ Re: 平均値の定理 / ルイ ♀ [東北] [高校3年生] | | | | ↑c，d，eと文字を3種類も出しましたが、次のことが言いたいので、全部cに統一させていただきます。
「a＜b＜cでもa＜c＜bでもc＜a＜bのどの範囲にも不等式{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(c)を満たすcが少なくとも1つはある」ような関数の場合、どの不等式を用いるかで、得られる不等式が変わるというのは町がないのでしょうアk？
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No.2974 - 2009/05/14(Thu) 01:05:12 |
| ☆ Re: 平均値の定理 / ルイ ♀ [東北] [高校3年生] | | | | 返信ありがとうございます＼(ﾟ◇ﾟ*) ＼(ﾟ◇ﾟ*)
え〜と…
> 不等式は結局、順序が入れ替わったものが3種類出来てしまいます。
についてですが、ここでは不等式を証明すること、ではなく、絶対不等式を作る、という観点(本質的に同じなので)で書かせていただきます。
平均値の定理を用いれば、
{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(c) a＜c＜b
が得られ、この2つを使って、不等式が作れます。
例えば、
f(x)＝logxについては、(真数条件よりx＞0)
平均値の定理より、
(logb−logb)/(a−b)＝1/c …(甲) (0＜)a＜c＜b …(乙)
不等式の逆数を取って、1/a＞1/c＞1/b
よって、不等式1/a＞(logb−logb)/(a−b)＞1/b …(丙)
が得られます。導関数f'(x)＝1/x(x＞0)は単調減少なので、開区間(a，b)の外には(甲)を満たすcはありませんが、仮にあるとします。すると、
(logb−logb)/(a−b)＝1/c …(甲) (0＜)a＜b＜c …(乙')
不等式の逆数を取って、1/a＞1/b＞1/c
よって、不等式1/a＞1/b＞(logb−logb)/(a−b) …(丙')
が得られます。ここで(乙)と(乙')ではa,b,cの大小関係が異なっていることにより、それを用いて得られる不等式(丙)、(丙')も大小が入れ替わっています。
上の関数では、そこでも述べたとおり、(甲)かつ(乙)を満たすcはあっても、(甲)かつ(乙')を満たすcはありません(これは先生の背理法による証明から明らかです)。したがって、不等式(丙')は成り立ちえません。しかし、こと、周期関数においては、(甲)かつ(乙)、(甲)かつ(乙')、どちらをとってもそれを満たすcは存在しますよね？
そこで、周期関数f(x)に対しては、
・{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(c) …(等式P) a＜c＜b(不等式X)
・{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(c) …(等式P) c＜a＜b(不等式Y)
・{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(c) …(等式P) a＜b＜c(不等式Z)
のどれをとっても、これを満たすcは必ず存在しますよね？ということは、(等式P)と(不等式X)から導かれる不等式S、(等式P)と(不等式Y)からみちびかれる不等式T、(等式P)と(不等式Z)から導かれる不等式Uについて、不等式S、T、Uは互いに異なるはずです。このことにより、3種類の結果が得られるのではないか(それも互いに矛盾していて同時には成り立ち得ない)？と思うわけです。
※このことと、先生の仰る
>もちろん，区間(a,b)以外に {f(a)-f(b)}/(a-b)=f'(d)となるdは存在するかもしれません。
>でも，そのようなdが存在したとしても f'(d)=f'(c) ですよね？
>f'(c)を使って不等式が成り立つことが分かったのですから，それと等しいf'(d)について考える必要はありません。
とが、相反するような気がしてなりません。確かにf'(c)＝f'(d)ですが、不等式Xのようなa＜c＜bと不等式Zのようなa＜b＜dでは、得られる不等式S、Uは異なるのではないか？それなのに、「考える必要はありません」というのが引っかかります。
> 不等式は結局、順序が入れ替わったものが3種類出来てしまいます。
とは、つまり、区間(a，b)から見て、{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(c)を満たすcが、左側にあるのか(この場合をeと書いただけ)、区間内にあるのか(この場合をcと書いただけ)、右側にあるのか(この場合dと書いただけ)、ということです。上の例で言えば、不等式(X)(Y)(Z)の3種類が出来るのではないか、こういうことです。
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No.2976 - 2009/05/14(Thu) 03:43:27 |
| ☆ Re: 平均値の定理 / ルイ ♀ [東北] [高校3年生] | | | | まず、私の記事に書いた
>・{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(c) …(等式P) a＜c＜b(不等式X)
>・{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(c) …(等式P) c＜a＜b(不等式Y)
>・{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(c) …(等式P) a＜b＜c(不等式Z)
は、そもそも、不等式X、Y、Zで何周期分かずらせば全てa＜c＜bに同じなので、この分け方には意味がないことに気づきました。よって、解決ということに…。こちらの勘違いで、迷惑を掛けてすみません(汗
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
理解としては次のような感じでいいのでしょうか…？自信がありませんが
『平均値の定理により「{f(a)−f(b)}/(a−b)＝f'(c) a＜c＜b」を満たす実数cが少なくとも1つは存在する。ここで、開区間(a,b)外にcが存在するかどうかは調べないと分からない。もし存在するとしても、ゆるい条件しか与えられないため(先生の例で、−1≦cosd≦1のように、coscよりゆるい条件しか与えられない)、結局、「平均値の定理」によって得られるcが一番きつい条件であり、またf'(c)＝f'(d)であることから、共通範囲をとれば、明らかにf'(c)の範囲に含まれてしまう。(★)もし、開区間(a,b)外に存在しないなら、当然、f'(c)の範囲は、平均値の定理によって求められるもの、それしか存在せず、結果としてそれが得られる不等式となる(★)』
もう一度、確認させていただきたいのですが、上の(★)で囲まれた部分について、
教科書の例題で、(logb−loga)/(b−a)＝1/c (a＜c＜b)
を満たす実数cの存在が、平均値の定理より示されます。
ここから、不等式1/b＜(logb−loga)/(b−a)＜1/a
が導かれるのは、開区間(a,b)外にcが存在しないからですか(これは先生の背理法によって証明済み)？それとも、存在の有無に関わらず成り立つのでしょうか？
>もちろん，区間(a,b)以外に {f(a)-f(b)}/(a-b)=f'(d)となるdは存在するかもしれません。
>でも，そのようなdが存在したとしても f'(d)=f'(c) ですよね？
とありましたが、証明をしない段階では、開区間(a,b)外にdが存在する可能性は消えません。でも先生の仰るように、f'(c)＝f'(d)であるという理由で、dについては考えなくてもいい理由がどうしても分かりません(汗
背理法での証明前には、
(logb−loga)/(b−a)＝1/d (a＜b＜d)
が成り立つかもしれません。
もし、存在すれば、不等式の逆数を取って、1/a＞1/b＞1/d
よって、1/b＞(logb−loga)/(b−a)
になるとしか思えません。
でも、教科書にしてもやはり、cが開区間(a,b)内にしかないことに全く触れていません…これは、(A)そのことを証明しなくても、つまり、開区間(a,b)外にdが存在しても全く影響がないから。(B)証明するまでもなく存在しないことは明らかだから。
(A)(B)どちらの理由により、証明がないのかすら分からない状況です。
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No.2979 - 2009/05/14(Thu) 17:27:11 |
| ☆ Re: 平均値の定理 / ルイ ♀ [東北] [高校3年生] | | | | こんばんは〜
>この時点で(a,b)以外に(logb−loga)/(b−a)=1/dとなるdの存在は可能性としては残っています。
>しかし，仮に存在したとしても1/c=1/d…(**)なのですから，
>dの範囲からでなく(*)と(**)よりただちに1/b＜1/d＜1/aが導かれます。
よく分かりました。
c、dなどの位置関係がどうであれ、f'(c)、f'(d)に与えられる範囲(不等式)は結局、同じなのですね。
不等式a＜c＜bだけ見せられると、a＜b＜dでもdが存在するのでは…？と思ってしまってましたが、f'(c)つまり1/cを含む形である、1/a＜1/c＜1/bで見せられると、dが存在しても、1/cは1/dに等しいので、当然1/a、1/bに挟まれますね。非常に分かりやすかったです。(まぁ…この場合は関数が関数なだけにc＝dは自明なのですが、導関数が2次式以上になってくると、(c、dの大小関係とf'(c)とf'(d)の大小関係は関係なく)、c、dはa、bから見て相対的な位置は異なりますが、あくまでf'(c)、f'(d)は同じ値である、というのが重要なのですね？
f(x)＝x3 f'(x)＝3x2
例えば、開区間(−3,0)でc＝−√3が存在する。つまりa(＝−3)＜c＜b(＝0)で存在。
またb＜c＜a＜0より、3a2＞3c2＞3b2
ここで、区間外にどんなd(実際に区間(−3,0)外の範囲にd＝√3が存在する)が存在しようとも、f'(c)＝f'(d)より、3c2＝3d2であり、3a2＞3d2＞3b2
というように、結局同じ不等式となる、ということですか。
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No.2987 - 2009/05/15(Fri) 00:52:12 |
| ☆ Re: 平均値の定理 / ルイ ♀ [東北] [高校3年生] | | | | 疑問が解決してスッキリしました。
私の変な思い込みや勘違いなども多々ありましたが(汗、お付き合いくださってありがとうございました＼(ﾟ◇ﾟ*)
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No.2989 - 2009/05/15(Fri) 01:57:13 |
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