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初めまして。最近この掲示板を偶然発見いたしました。
このように素晴らしく良心的な掲示板に出遭えたことに深く感謝しております。
今後ともお世話になると思いますが、なにとぞ宜しくお願いいたします。
さっそく
解放の探求 確率 原則１０の練習問題１０番なのですが
ｎ枚のカードに１〜ｎの数字がひとつづつ記入されている。
ただしｎ≧４とする。このカードから無作為に四枚のカードを抜き取ったとき、二番目に大きい数をＸとする、Ｘの期待値を求めよ。
式を立てるまでは問題なかったのですが、公式を用いて条件式を展開していく
「ｋ＝３〜ｎ−１、?狽求Eｋ−１Ｃ２・（ｎ−ｋ）」
の過程がどうにも回答を参照しても理解することができません。
とても簡単なことに突っかかっている予感がするのですが・・・。
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No.2807 - 2009/04/25(Sat) 19:00:28
| ☆ Re: はじめまして / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師] | | |  | はじめまして。
励みになるお言葉をいただきありがとうございます。
整数に関する問題は，nやkに適当な数を代入して具体的に考えると，解法の方針が立てやすいです。
何でもいいのですが，n=10 ，k=7 とでもしましょうか。つまり，
1,2,3,4,・・・,10 の10枚のカードから４枚抜き出したとき，
2番目に大きい数が7となる確率はいくらになるでしょう？
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No.2815 - 2009/04/27(Mon) 15:03:14 |
| ☆ Re: はじめまして / チャゲ＆アスカのチャゲではない方 [地球外] [浪人生] | | | | 返信ありがとうございます。
二番目に大きい数が７である確率
⇔一番大きい数が８から１０、かつ３、４番目の数が１〜６にある確率
３Ｃ１ × ６Ｃ２ ÷ １０Ｃ４ でよろしいでしょうか？？
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No.2817 - 2009/04/27(Mon) 15:35:01 |
| ☆ Re: はじめまして / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師] | | | | こんにちは。
それでＯＫですね。
この考え方を一般に広げてみましょう。
1,2,3,4,・・・,n のn枚のカードから４枚抜き出したとき，
2番目に大きい数がkとなる確率はいくらになるか？ ということです。
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No.2819 - 2009/04/27(Mon) 16:06:39 |
| ☆ Re: はじめまして / チャゲ＆アスカのチャゲではない方 [地球外] [新高校１年生] | | | |
あ。すいません。わたくしの説明不足でちょっと新矢先生に疑問が伝わりきってなかったかもしれません。
ｋ−１Ｃ２ × （ｎ−ｋ） ÷ ｎＣ４ までおっけーで
ｎ−１
?煤@ｋ−１Ｃ２ × （ｎ−ｋ） ÷ ｎＣ４
ｋ＝３
の計算過程で、公式より・・・とｋを消去して展開していってるのですが
公式を参照してもちょっと展開が不明で・・・。
ｋ ｎＣｋ ＝ ｎ ｎ−１Ｃｋ−１
を利用しているのですが。
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No.2820 - 2009/04/27(Mon) 18:04:23 |
| ☆ Re: はじめまして / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師] | | | | こんばんわ。
質問内容を誤解していたようで，申し訳ありませんでした。
私なら，k-1C2=(1/2)(k-1)(k-2) とし，更に (n-k)={(n+1)-(k+1)} と変形していきますが，
その本は持ってませんので，
＞公式より・・・とｋを消去して展開していってる
というのがどういう方針なのかよくわかりません。
お手数ですが，その本の解答を数行書き込んでくださいますか？
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No.2822 - 2009/04/28(Tue) 01:56:05 |
| ☆ Re: はじめまして / チャゲ＆アスカのチャゲではない方 [地球外] [浪人生] | | | | 返信遅れてしまいました ごめんなさい！
ｎ−１
?煤@ｋ−１Ｃ２ × （ｎ−ｋ） ÷ ｎＣ４
ｋ＝３
ｋ・ｋ−１Ｃ２・（ｎ−ｋ）＝３・ｋＣ３・（ｎ−ｋ）
＝３{（ｎ＋１）ｋＣ３−（ｋ＋１）ｋＣ３}
＝３{（ｎ＋１）・ｋＣ３−４・ｋ＋１Ｃ４}
という感じで展開していって
最後にシグマを外しているようです。
数少ない休暇中質問に答えていただき有難うございます＾＾。
本当に頭が下がります。
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No.2840 - 2009/04/30(Thu) 21:18:21 |
| ☆ Re: はじめまして / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師] | | | | こんにちは。
おそらく私の解法と大筋において同じものかと思われます。
＞ｋ・ｋ−１Ｃ２・（ｎ−ｋ） ・・・(1)
＞＝３・ｋＣ３・（ｎ−ｋ） ・・・(2)
＞＝３{（ｎ＋１）ｋＣ３−（ｋ＋１）ｋＣ３}・・・(3)
＞＝３{（ｎ＋１）・ｋＣ３−４・ｋ＋１Ｃ４}・・・(4)
(1)→(2)の変形
k・k-1C2 =k・(1/2)(k-1)(k-2)=(1/2)k(k-1)(k-2)
ここで，kC3=k(k-1)(k-2)/3・2・1 より，k(k-1)(k-2)=6・kC3
これを代入して k・k-1C2 =(1/2)k(k-1)(k-2)=3・kC3 としています。
確かに，公式 n・n-1Ck-1=k・nCk のnにkを，kに3 を代入すればこの結果は得られるのですが，上記のように考えた方がわかりやすいかと思います。
(2)→(3)の変形
また，n-k はやはり n-k=(n+1)-(k+1) と無理やり変形しています。
kC3・(n-k)=kC3・{(n+1)-(k+1)}=(n+1)・kC3-(k+1)・kC3
(3)→(4) の変形は，(1)→(2)と同様です。
(k+1)・kC3=(k+1)・(1/6)k(k-1)(k-2)
ここで，k+1C4=(k+1)k(k-1)(k-2)/4・3・2・1 より (k+1)k(k-1)(k-2)=24・k+1C4
これを代入して
(k+1)・kC3=(k+1)・(1/6)k(k-1)(k-2)=(1/6)(k+1)k(k-1)(k-2)=4・k+1C4
となります。
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No.2843 - 2009/05/01(Fri) 15:09:51 |
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