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★ (No Subject) / こん [高校１年生]
[x-3-4i]=√10 のとき[x]の最大値は？

お願いします。

[]は絶対値です
No.6767 - 2012/01/31(Tue) 22:47:49
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
http://www2.ezbbs.net/34/eijitkn/　に「ぽん」さんが投稿されてます。
マルチポストなら禁止です。
No.6772 - 2012/02/01(Wed) 19:18:32
★ (No Subject) / q ♂ [東北] [高校2年生]
青チャの数3ｃからの出展です。
この問題の考え方で折り返すとあるとこが理解できません。
私は折り返さず考えていました。なぜｘ軸をまたいだ部分を折り返さなくてはいけないのしょうか？
回答お願いします。
No.6757 - 2012/01/29(Sun) 17:26:00
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
qさん，こんばんは．
青チャですか．結構きついですけど，やりきるとかなり力がつきますよ．
頑張ってくださいね．

本問に行く前に，次の問題の答えをカキコしてください．

問題　4点(0,1),(0,-2),(1,-2),(1,1)で作られる長方形をx軸の周りに１回転した立体の体積を求めよ．

よろしくお願いいたしますm(_ _)m
No.6758 - 2012/01/29(Sun) 18:52:45
☆ Re: / q ♂ [東北] [高校2年生]
londonさん回答ありがとうございます。
これは∫0-1π1^2dx=π。
でしょうか？
No.6759 - 2012/01/30(Mon) 19:56:01
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
レスありがとうございます．
下の図を見ながらお願いします．

4点を順にA,B,C,Dとします．この長方形を回転させるのですが，180度回転したときに，2点B,CはそれぞれB',C'の位置にいます．
ということは，「長方形を回転させた立体」と「長方形のグレーの部分だけ回転させた立体」は同じものになり，この問題は底面積2^2π=4π，高さ1の円柱の体積となるので，4πが解になります．

ここまでどうですか．
No.6764 - 2012/01/31(Tue) 06:43:16
☆ Re: / q ♂ [東北] [高校１年生]
図式ありがとうございます。
なるほどー。ここまでは大丈夫です。
No.6765 - 2012/01/31(Tue) 18:11:07
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
では，次にいきますね．

このy軸の上にとったB',C'が，青チャの「折り返す」なのです．
でも，ぶっちゃけ上でも下でもどうでもよくて，
「y軸より遠い方がどちらか」
が大切なのです．
で，y軸より遠い方を確認するために「折り返す」作業を，青チャでは行っています．

お分かりいただけますか？
No.6766 - 2012/01/31(Tue) 18:34:44
☆ Re: / q ♂ [東北] [高校１年生]
わかりました。でもじゃあなんでわざわざ折り返すんですか？
見やすくするためとかでしょうか・・・
No.6768 - 2012/01/31(Tue) 23:57:07
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
あ，y軸じゃなくてx軸でした．ごめんなさいm(_ _)m

>見やすくするためとかでしょうか・・・
その通りですよ．
大切なのはx軸より遠い方が分かることですので，折り返すのはx軸の下でもok．
けれど，x軸より上の方が一般的によく使われますね．
No.6770 - 2012/02/01(Wed) 01:09:07
☆ Re: / q ♂ [東北] [高校１年生]
そういうことですか。
理解できました。ありがとうございます。
No.6771 - 2012/02/01(Wed) 18:14:59
★ (No Subject) / MW ♂ [高校１年生]

質問させていただきます。


aを実数とする。

xの関数f(x)=x|x-2a|の0≦x≦1における最大値をMとおく。

以下の問いに答えよ。

(1)Mをaを用いて表せ。
(2)aの値が全ての実数を変化するとき、
Mの最小値を求めよ。


分かりません、教えてください。
No.6747 - 2012/01/23(Mon) 21:29:56
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
MWさん，回答が遅くなってすいません．
londontrafficと申します．

早速ですが，aの値に気をつけて
f(x)=x|x-2a|
の絶対値をはずしてください．

よろしくお願いします<(_ _)>
No.6753 - 2012/01/28(Sat) 10:01:50
★ (No Subject) / riku ♂ [九州] [高校2年生]
こんにちは。
『学校からのプリント』ですがどこかの問題集からの抜粋です。
直方体ABCD-EFGHにおいて　AB＝AE＝3、AD=4とする。
1)四面体　ABFCの体積を求めよ。
2)cos∠ACF、sin∠ACFの値を求めよ。
3)?僊CFの面積を求めよ。
4)Bから平面ACFに下ろした垂線の長さを求めよ。
という問題です。見にくくて申し訳ないですが
添付した図形に分かった辺の長さを書き込みました。

1)の問題です　私は四面体の体積は公式1/3×底面積×高さを使って
求めようと思いました。ですが高さはどこを見たらいいのでしょうか。

2)の問題です　余弦定理からcos∠ACF=16/25と出ました。
そして三角比の相互関係の公式からsin∠ACFの値を出そうとすると
平方根を取り除いてもきれいな数字にならなかったので
どこか誤りがあるのかな、と思っています。
これら二問のご指摘お願いします。
また　2)の問題では　AC=5 FC=5　AF=3√2　の値を当てはめて使いました。

明日の授業で解答が配られるのですがこの問題に時間を使ったからには
どうしても今日中までに2)までは解きたくて仕方がありません。
回答者様へ日にちを指定するのはだめだと　まえおきにありましたが
一応このような状況でありますのでもしよければお願いします。
長文、失礼しました。
No.6735 - 2012/01/22(Sun) 16:53:25
☆ Re: / riku ♂ [九州] [高校2年生]
申し訳ありません。
プレビューをしてしまって図の挿入をし忘れました。
No.6736 - 2012/01/22(Sun) 16:54:48
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
riku さん　こんにちは、ITといいます。いっしょに考えましょう

> 2)の問題です　余弦定理からcos∠ACF=16/25と出ました。
> そして三角比の相互関係の公式からsin∠ACFの値を出そうとすると
> 平方根を取り除いてもきれいな数字にならなかったので
> どこか誤りがあるのかな、と思っています。
sin∠ACFの値は、どうやって計算してどうなりましたか？
必ずしも「きれいな数字」になるとは限りません。
No.6737 - 2012/01/22(Sun) 17:26:39
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 1)の問題です　私は四面体の体積は公式1/3×底面積×高さを使って
> 求めようと思いました。ですが高さはどこを見たらいいのでしょうか。

高さを算出するには、先に底面を決める必要があります。

四面体の底面と考え得る面はいくつありますか？　
どれどれの面でしょう？

そのうち面ACFについては、これに対する高さ（Bから平面ACFに下ろした垂線の長さ）を、最後に求めることになります。

平面ACF以外のどれかの面（どれでもOK）を底面と考えると、高さはどうなりますか？
（ABCD-EFGHが直方体であることを使います）
No.6738 - 2012/01/22(Sun) 17:33:50
☆ Re: / riku ♂ [九州] [高校１年生]
> > 1)の問題です　私は四面体の体積は公式1/3×底面積×高さを使って
> > 求めようと思いました。ですが高さはどこを見たらいいのでしょうか。
>
> 高さを算出するには、先に底面を決める必要があります。
>
> 四面体の底面と考え得る面はいくつありますか？　
> どれどれの面でしょう？
>
> そのうち面ACFについては、これに対する高さ（Bから平面ACFに下ろした垂線の長さ）を、最後に求めることになります。
>
> 平面ACF以外のどれかの面（どれでもOK）を底面と考えると、高さはどうなりますか？
> （ABCD-EFGHが直方体であることを使います）

ありがとうございます。この場合そのまま辺BCが高さ・・・でよろしいのでしょうか?
今まで似たような図形の問題を見てきたのですが
ここまで簡単に高さの値はでませんよね・・・?
No.6739 - 2012/01/22(Sun) 21:38:31
☆ Re: / riku ♂ [九州] [高校2年生]
> riku さん　こんにちは、ITといいます。いっしょに考えましょう
>
> > 2)の問題です　余弦定理からcos∠ACF=16/25と出ました。
> > そして三角比の相互関係の公式からsin∠ACFの値を出そうとすると
> > 平方根を取り除いてもきれいな数字にならなかったので
> > どこか誤りがあるのかな、と思っています。
> sin∠ACFの値は、どうやって計算してどうなりましたか？
> 必ずしも「きれいな数字」になるとは限りません。

余弦定理よりcos∠ACF=5²＋5²-(3√2)²/2×5×5＝16/25となりました。
sin²θ＋cos²θ＝1よりsinθ＝√1-(16/25)²を計算すると上手く
計算が出来なくて困っています。この段階までで誤っていますでしょうか?
No.6740 - 2012/01/22(Sun) 21:43:27
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> ありがとうございます。この場合そのまま辺BCが高さ・・・でよろしいのでしょうか?
> 今まで似たような図形の問題を見てきたのですが
> ここまで簡単に高さの値はでませんよね・・・?

△???を底面と考えると、「辺BCが高さ」でOKです。
（どの面を底面と考えたか明記される必要があります。）

求めるのが難しい高さは、最後に求める△ACFを底面としたときの高さですね。
No.6741 - 2012/01/22(Sun) 21:54:59
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 余弦定理よりcos∠ACF=5²＋5²-(3√2)²/2×5×5＝16/25となりました。
> sin²θ＋cos²θ＝1よりsinθ＝√1-(16/25)²を計算すると上手く
> 計算が出来なくて困っています。この段階までで誤っていますでしょうか?

間違いないような気がしますので、計算を続けて見ましょう。
通分するとどうなりますか？
√（1-(16/25)²） ＝　
No.6742 - 2012/01/22(Sun) 21:59:51
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 余弦定理よりcos∠ACF=5²＋5²-(3√2)²/2×5×5＝16/25となりました。
{5²＋5²-(3√2)²} /（2×5×5）のことですよね。
No.6743 - 2012/01/22(Sun) 22:10:21
☆ Re: / riku ♂ [九州] [高校2年生]
> △???を底面と考えると、「辺BCが高さ」でOKです。
> （どの面を底面と考えたか明記される必要があります。）
>
> 求めるのが難しい高さは、最後に求める△ACFを底辺としたときの高さですね。

ご返答ありがとうございます。
?僊BFを底面と考えました。

今日解答をもらって改めて考えてみます。
早い対応本当にありがとうございました。
出来れば今日の夜、無理であれば明日までにお返事返させていただきます。
No.6745 - 2012/01/23(Mon) 05:51:14
★ Re: / きょう ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは。
東工大の行列の問題です。
以前yahoo知恵袋で質問をしたのですが、理解できなかったのでここで質問させていただきます。

p=cosθ(０＜θ＜π/2)とし、p,r,sを正数とする。また行列ＡをＡ＝{}
Ａ＝[p q]
ー-[r s] とする。
Ａで表される一次変換により、だ円Ｃ：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)上の点はＣ上の点にうつるとする。

行列Ａをθ、a,bを用いて表せ。

行列の表記が上手くいかないので、同じ問題が掲載されているＵＲＬをはります。
http://www.j3e.info/ojyuken/math/php.php?name=titech&v1=1&v2=1996&v3=1&v4=2&y=1996&n=2

自分が考えた解法としては、まずだ円上の点であるということから点がcosとsinであらわされ、この像がＣ上にあるということと、任意のcosで成り立つということから求めようとしましたが、上手くいきませんでした。
解説を読むと、任意のcosで成り立つということより、cosに具体的な値を入れて求めていました。
しかしこれだと必要条件が満たされないと思います。

また、楕円を円にして考えるという解法も身につけたいのですがその場合はｙ軸にa/b倍するとき、行列の式はどうやって変化させればいいのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.6730 - 2012/01/16(Mon) 19:37:28
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
きょうさん，おはようございます．
londontrafficと申します．
センターの結果はいかがでしたか？
これから２次対策頑張ってください．

>しかしこれだと必要条件が満たされないと思います。
特定の値に対して成り立つは「必要条件が満たされている」になるので，十分性を言うには，逆を確かめればokです．
数値代入法で恒等式の係数を決める方法と同様のイメージです．

あと，y軸方向にa/b倍ですが，リンク先の解答をご覧いただくとお分かりになると思います．
No.6731 - 2012/01/17(Tue) 07:09:24
☆ Re: / きょう ♂ [関東] [高校１年生]
返信遅れました；

センターはどうにか基準点の６００点は越えられました。
今は二次に専念しています。

逆を確かめる方法にも、定石のようなものがあるみたいですね。
例えば任意のcosで成り立つときは０、π/4,π/2を代入し、逆を言えれば大丈夫のような感じです。
ｙ軸の拡大変換の解法も考えてみたのですがやはり必要十分条件の方法でいこうと思います。
ありがとうございました！
No.6744 - 2012/01/22(Sun) 23:02:39
★ おねがいします。 / X ♂ [四国] [高校１年生]
実力テストの過去問で出た問題（？）です。

ある店で1個当たりの税込価格がそれぞれ200円、300円、400円のケーキを合わせて20個購入したところ、支払金額は6,200円であった。各ケーキの購入個数は異なり、最も多く購入したケーキの個数と最も少なく購入したケーキの個数との差は5個未満である。このとき、購入した300円のケーキの個数として正しいのはどれか。

1.　5個　　2.　6個　　3.　7個　　4.　8個　　5.　9個

この問題がわかりません。
問題の性質上、連立方程式をつかうのかなぁと思い、

200x + 300y + 400z = 6200 …?@
x + y + z =20…?A

とたてたのですが、3次式の場合、3連の連立方程式になったような気がするのですが、?Bつ目を立てることができず、ここで行き詰まっています。

どなたか、おしえてください。
No.6706 - 2011/12/28(Wed) 01:07:14
☆ Re: おねがいします。 / IT ♂ [中国] [社会人]
>3次式の場合
NEWさん　こんばんは　ＩＴです。
?@、?Aの方程式は、これで良いです。

３次式ではなく、未知数が３つの３元連立1次方程式ですよね。
確かに未知数が3つで方程式が2つなので不定のように思えますが

Ａ　x 、 y、 z　は異なる負でない整数
Ｂ　最も多く購入したケーキの個数と最も少なく購入したケーキの個数との差は5個未満
　の条件を使うと　絞られていくと思います。

いっしょに考えて見ましょう。最大と最小の個数の差　４、３、２の場合に分けて考えていきます。（今夜は遅いので続きは夕方。）
No.6707 - 2011/12/28(Wed) 01:59:33
☆ Re: おねがいします。 / IT ♂ [中国] [社会人]
※いろいろなアプローチがありますが、少し方針を変えました。

200x + 300y + 400z = 6200
両辺を100で割って
2x + 3y + 4z = 62…?@
x + y + z =20　　…?A

?@、?Aからｙを消去すると
　　　　　・・・　　　…?B　　・・・は自分でやってみてください。

一方、x、y、z　のうち　最小値をｔ、２番目をｔ+ａ、最大値をｔ+ｂとすると
?Aより　ｔ+（ｔ+ａ）+（ｔ+ｂ）＝　20　…?C
Ｂより　1≦ａ＜ｂ ＜5　　　　　　　…?D
　（ｔ、ａ、ｂは負でない整数）　　　　

?Cを整理して　3ｔ　＝　・・・　…?E　　・・・は自分でやってみてください。
?Dより　3　≦　ａ+ｂ　≦　7　　…?F

ここまでは、わかりますか？　?B、?Eをやってみてください。
?Eと?Fから　ｔ、ａ、ｂが決まっていきます。
No.6709 - 2011/12/28(Wed) 19:36:29
☆ Re: おねがいします。 / X ♂ [四国] [高校１年生]
?@、?Aからyを消去すると、
−x + z = 2
z = 2 + x …?B

?Cを整理すると、3t = 20 – (a+b)…?E

と出ました。

?Fの式から、a+b=3〜7のそれぞれの場合を?Eに代入するんでしょうか。


質問なのですが、
（1）?@と?Aの計算のときに、yを消去したのはなぜですか。また、xやzではダメなのでしょうか。
（2）?Fはどのようにして出てきたのですか。

宜しくお願いします。
No.6710 - 2011/12/29(Thu) 00:00:57
☆ Re: おねがいします。 / IT ♂ [中国] [社会人]
夜遅くまでがんばってますね！　では、質問の回答をします。
※以下ｘ、ｙ、ｚ、ｔ、ａ、ｂが負でない整数であることは断りなしに使います

> ?@、?Aからyを消去すると、
> z = 2 + x …?B
> ?Cを整理すると、3t = 20 – (a+b)…?E
ＯＫです。

> ?Fの式から、a+b=3〜7のそれぞれの場合を?Eに代入するんでしょうか。
それでもＯＫですね。左辺が３の倍数であることを使って先に候補を絞ってもいいかも
ｔ、a+b　はどうなりますか？ 　さらに、a、b　候補もかなりしぼれるのでは。

> （1）?@と?Aの計算のときに、yを消去したのはなぜですか。また、xやzではダメなのでしょうか。
どれでもいいと思いますが、ｙを消すといちばんスッキリした式になり、扱いやすい感じがしたからです。（数学的カン？）

> （2）?Fはどのようにして出てきたのですか。
1≦ａ　＜　ｂ　＜5　→　1≦ａ≦3、2≦ｂ≦4
よって　　　　　　　　　3　≦　ａ+ｂ　≦　7　　…?F

はいいですか？ では、また明朝。
No.6711 - 2011/12/29(Thu) 00:37:38
☆ Re: おねがいします。 / IT ♂ [中国] [社会人]
（別解）こちらが分りやすいですか？
ｙ、ｚをｘで表す。
?@、?Aからｚを消去すると
....　＝　　.....
ｙ　＝　・・・
?Aより
ｚ　＝　・・・
よって （ｘ、ｙ、ｚ）＝（ｘ、・・・ 、・・・）

ｘとｙの差は1以上4以下なので
｜x - ｙ｜ = ｜・・・・・｜＝　1　or　2　or　3　or　4

・・・・　続きを考えてください。
No.6712 - 2011/12/29(Thu) 07:59:49
☆ Re: おねがいします。 / X ♂ [四国] [高校１年生]
こんにちは。

3の倍数ということを考えると、20以下では、3、6、9、12、15、18 だから、
a+b＝2、5、8、11、14、17
?Fより、a+b = 5　　よって、t＝5
a + b = 5より（a, b）の組み合わせは、（1、4）（2、3）（3、2）（4、1）
1≦a≦3, 2≦b≦4 より、（1、4）（2、3）（3、2）に絞られる。

でしょうか。

また、別解のほうですが、

(別解)
?@、?Aからzを消去すると、2x + y = 18
y = -2x + 18 …?B

?Aより、z = 20 – (x+y)
これに?Bを代入して、
z = 20 – (x – 2x + 18)
= x + 2　　

よって、(x, y, z) = ( x, -2x+18, x+2)

x と yの差は1以上4以下なので、
｜x – y｜＝1、2、3、4
1のとき、
｜x – (2x + 18)｜＝ 1
｜-x + 18 ｜＝1
−x + 18 = ±1
ｘ＞0より
ｘ＝17、19

2のとき
−x + 18 = ±2
ｘ＝16、20

3のとき
ｘ＝15、21

4のとき
ｘ＝14、22

でしょうか。
No.6713 - 2011/12/29(Thu) 14:29:47
☆ Re: おねがいします。 / IT ♂ [中国] [社会人]
> 3の倍数ということを考えると、20以下では、3、6、9、12、15、18 だから、
> ?Fより、a+b = 5　　よって、t＝5
ＯＫです。
> a + b = 5より（a, b）の組み合わせは、（1、4）（2、3）（3、2）（4、1）
> 1≦a≦3, 2≦b≦4 より、（1、4）（2、3）（3、2）に絞られる。
a < b なので　（1、4）（2、3）ですね

※先に?Fを満たすa+bについて順に考えたほうが少し早いかも。

> (別解)
> よって、(x, y, z) = ( x, -2x+18, x+2)
ここまではOKです。

> x と yの差は1以上4以下なので、
> ｜x – y｜＝1、2、3、4
> 1のとき、
> ｜x – (2x + 18)｜＝ 1
y = -2x + 18 なので、ここがまちがってます。（ケアレスミスですが、この先うまくいきません）
それと場合分けはもう少し後のほうが簡単に出来ます。
｜x –（ y　）｜＝1、2、3、4　で進めてみてください。
　　※（ y　）は、-2x + 18
No.6714 - 2011/12/29(Thu) 14:52:49
☆ Re: おねがいします。 / IT ♂ [中国] [社会人]
元の解法の続きです。空欄はＮＥＷさん埋めてください
（ｔ、ｔ+a、ｔ+ｂ）　＝　（5、6、9）　ｏｒ（ 　 、　、　）　　

?B　z = x　+　2 なので
ｘ　＝　　、ｚ　＝　　、ｙ＝　
これは題意を満たす。よって求める３００円のケーキの個数は（ｙ）個
No.6715 - 2011/12/29(Thu) 16:02:14
☆ Re: おねがいします。 / X ♂ [四国] [高校１年生]
続きをやったので、宜しくお願いします。

(t, t+a, t+b) = (5, 6, 9) or (5, 7, 8)
?B z = x + 2 なので、
差が2である組がは、(5, 7, 8) の5-7 の組み合わせ。
よって、x＝5　z = 7 となる。ゆえに、y = 8
これは題意を満たす。よって、300円の個数は 8個

(別解)
｜x – y｜＝｜x − (-2x + 18)｜= ｜3x−18｜
これが、1、2、3、4の場合を考える。
1の場合、
｜3x−18｜＝1
3x−18＝±1
3x＝18±1
x＝19/3，17/3
2の場合
x＝20/3，16/3
3の場合
x＝7，5
4の場合
x＝22/3，14/3

(3以外はすべて分数で整数ではないので)
「xは整数だから　x＝5、7」
?@ x＝5のとき、y＝8，z＝7
　これは題意に合う。
?A x＝7のとき、y＝4、z＝9
　これは題意に合わない。(最大と最小の差が5未満ではないため)

よって、300円の商品は8個である。
No.6716 - 2011/12/29(Thu) 18:22:35
☆ Re: おねがいします。 / IT ♂ [中国] [社会人]
NEWさんお疲れ様でした。ｏｋです。
> よって、x＝5　z = 7 となる。ゆえに、y = 8
> これは題意を満たす。よって、300円の個数は 8個
あえて直すと　「ゆえに、y = 8」　→　「?Aより　y = 8」　

> (別解)
> ｜x – y｜＝｜x − (-2x + 18)｜= ｜3x−18｜
NEWさんの解答で満点です。
あえて直すと　(3以外はすべて分数で整数ではないので)　
「3以外は整数ではないので」が良いと思います。
（減点はされないと思いますが、　3/3　も分数ですから）

なお、
｜3x−18｜＝3｜x−6｜＝１、２、３、４　
３の倍数なので　3｜x−6｜＝　3
　x−6　＝　±1
とすると少し簡単です。

※数学の問題の解き方は1通りではないことが多いです。他にも解き方があると思います。
※エレガントな解答よりプリミティブ（素朴）な解答のほうが、確実性が高い場合があります。
※ひらめきも大切ですが、時間が限られた試験の場合、力ずくでも、とにかくしっかり場合分け等して解いていく腕力も必要です。
※それとケアレスミスに気をつけてください。せっかく考え方が合っていても正解にたどり着けなくなります。
特に、　符号：（　）を外すときや移項するとき、大小関係：　負の数の乗除や　割り算など　大小関係が逆になることがあります。

勉強がんばってください。ではまた。
No.6717 - 2011/12/29(Thu) 19:38:54
☆ Re: おねがいします。 / X ♂ [四国] [高校１年生]
なるほど。解決しました。

けっこう面倒な作業ですが、順序立てて解くことが大切なのですね。

数学的な考え方をもっとつけないといけませんね。

ありがとうございました。
No.6718 - 2011/12/29(Thu) 19:45:59
★ (No Subject) / バカ ♂ [東海] [高校１年生]
こんにちは
ここは何回か利用させていただいてます
前回は大変失礼なかたちで終わってしまったので申し訳ないです……

では、質問させていただきます

数学aの質問です
集合A B C の要素の個数はどれも10である
A∩B∩C=φであり、A∩B B∩C C∩A はφでなく、かつこれらの要素の個数は等しい。ただし、φは空集合である。このとき、A∪B∪Cの要素は多く とも(ア)であり、少なくとも(イ)である。

答えは(ア)は27 (イ)15

解説でわからない部分があるので質問します
n(A∪B∪C)=30-3x

(A∩B)∪(A∩C)⊂Aかつ(A∩B)∩(A∩C)=φであるから、
n(A∩B)+n(A∩C)≦n(A) すなわち、2x≦10 x ≦5
またA∩B=φでないから n(A∩B)x≧1

よって上記の答えになるんですが…
(A∩B)∪(A∩C)⊂Aかつ(A∩B)∩(A∩C)=φであるから、
n(A∩B)+n(A∩C)≦n(A) って部分がよくわかりません…
例えば、(A∩B)=6 だったら(A∩C)も6になりn(A)=10を超えてしまいませんか？…
あとなんで n(A∩B)+n(A∩C)という計算をするのですか⁇
この二つがわかりません…
どうか教えてください… 黄チャートの問題です
No.6689 - 2011/12/19(Mon) 14:02:10
☆ Re: / Zzzzz ♂ [東海] [高校１年生]
変えてきました‼
No.6691 - 2011/12/19(Mon) 20:43:22
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。寒いですね。

＞例えば、(A∩B)=6 だったら(A∩C)も6になりn(A)=10を超えてしまいませんか？…

ですから，10を超えない条件として，
　n(A∩B)+n(A∩C)≦n(A)=10
としています。

＞なんで n(A∩B)+n(A∩C)という計算をするのですか⁇

ベン図は書いてみましたか？
No.6703 - 2011/12/26(Mon) 15:21:06
★ (No Subject) / きょう ♂ [関東] [浪人生]
初めまして。
東京工業大学の問題で分からないところがあり、質問させていただきます。

二つの負でない整数ｍ、ｎに対して、和〔Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕＋ｎを考え、これをｆ(ｍ、ｎ)と書くことにする。ただし、ｆ(０、０)＝０とする。
(１)ｆ(ｍ、ｎ)≦５を満たす点(ｍ、ｎ)の位置を、座標平面上に図示せよ。

(２)ｆ(ｍ、ｎ)＝ｆ(ｍ´、ｎ´)ならば、(ｍ、ｎ)＝(ｍ´、ｎ´)であることを示せ。

(１)は数値を代入することで求めることが出来ましたが、２変数ということなので１文字を固定して関数としてどうにか解けないか考えました。

(２)は全く分かりませんでした。
赤本の解説を見ると、対偶をとっていましたが、その後の解説が全く理解できませんでした。
どうやってこの問題を解いていけばいいでしょうか？
よろしくお願いします。
No.6657 - 2011/12/05(Mon) 21:23:21
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
きょう　さん　おはようございます。
（２）について、一緒に考えて見ましょう。
まず、ｐ＝ｍ+ｎとおいて考えるとわかりやすいと思います。
この種の問題では、具体的な場合を少し計算して見通しを立てることも有効です
（ｐ、ｎ）について
　　（０、０）、
　　（１，０）、（１，１）、
　　（２、０）、（２，１）、（２，２）
　　（３，０）、（３，１）、（３，２）、（３，３）
のときの　f(m,n) ＝　Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕＋ｎ　＝　Σ(ｋ＝１→ｐ)ｋ〕＋ｎ
を計算して表にしてみてください。何か規則性が分りませんか？　
No.6658 - 2011/12/10(Sat) 08:39:06
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
きょうさん。　考え方を少し分りやすくするために、簡単な類題を考えて見てください。

２桁の10進数　ａｂ、ａ´ｂ´について
　ａｂ　＝　ａ´ｂ´　ならば　(ａ、ｂ)＝(ａ´、ｂ´)であることを示せ。
　※ａｂ ＝　１０ａ　+　ｂ　（ａ、ｂは、負でない１０未満の整数）です。
No.6660 - 2011/12/10(Sat) 21:31:26
☆ Re: / きょう ♂ [関東] [浪人生]
遅れました；

考えてみましたが、分かりませんでした。
方針としては
対偶が思いつきましたが、その後どのようにといていけばいいのか分からないです。
よろしくお願いします。
No.6667 - 2011/12/12(Mon) 20:43:42
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
まず　ｆ(ｍ、ｎ) - ｆ(ｍ´、ｎ´) 　を計算してください。どうなりますか？
No.6668 - 2011/12/12(Mon) 20:52:00
☆ Re: / きょう ♂ [関東] [浪人生]
ｆ(ｍ、ｎ) -ｆ(ｍ´、ｎ´) ＝１０(a-a´)＋(ｂ−ｂ´)＝０
になります。
０≦a-a´≦９
０≦b-b´≦９
すみませんまだ分からないです；
No.6669 - 2011/12/12(Mon) 21:08:51
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
ａｂ　＝　ａ´ｂ´　ならば　１０(ａ−ａ´) = - (ｂ−ｂ´) ですよね
このとき　ｂ−ｂ´≠　0　なら　ａ−ａ´≠　0
　　　　　ａ−ａ´≠　0　→　｜１０(ａ−ａ´）｜　≧　10
　一方　　｜　ｂ−ｂ´ ｜　＜　１０　　　はいいですか？
No.6670 - 2011/12/12(Mon) 21:40:08
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
類題が分ったら　元の問題　f(m,n) ＝　Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕＋ｎ　について
ｆ(ｍ、ｎ) - ｆ(ｍ´、ｎ´) を計算してください。

考え方は
　ｍ+ｎ　＞　ｍ´+　ｎ´なら　ｎ´がｎよりどんなに大きくても
ｆ(ｍ、ｎ) 　＞　 ｆ(ｍ´、ｎ´) 　になる。ということを示していきます。

類題の２桁の十進数の例で言えば、
「十の位が小さければ、一の位がどんなに大きくても、全体の数として等しくはなれない」ということです。　
No.6672 - 2011/12/12(Mon) 23:56:21
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
元の問題の（２）の考え方は
　ｍ+ｎ　＞　ｍ´+　ｎ´　かつ　ｎ　＜　ｎ´のとき　
　　Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕　−　Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕が
　　ｎ´−　ｎ　より常に大きいので
　　ｆ(ｍ、ｎ) 　＞　 ｆ(ｍ´、ｎ´) 　になる。ということを示していきます。

まず　ｆ(ｍ、ｎ) - ｆ(ｍ´、ｎ´) を計算してみてください。
No.6674 - 2011/12/13(Tue) 07:40:52
☆ Re: / きょう ♂ [関東] [浪人生]
｜１０(a-a´)｜　≧　10
｜　ｂ−ｂ´ ｜　＜　10
は大丈夫です。
＞「十の位が小さければ、一の位がどんなに大きくても、全体の数として等しくはなれない」
類題が理解できました。
そういうことだったのですね。
ｆ(ｍ、ｎ) - ｆ(ｍ´、ｎ´)＝【(m+n)(m+n+1)/2+n】ー【(m´+n´)(m´+n´+1)/2+n´】となりました。
まだ分からないです；
No.6678 - 2011/12/13(Tue) 21:14:40
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
ｆ(m、n)　−　ｆ(m´、n´)
=【(m+n)(m+n+1)/2+n】ー【(m´+n´)(m´+n´+1)/2+n´】
=1/2〔【(m+n)(m+n)+(m+n)】-【(m´+n´)(m´+n´)+(m´+n´)】〕 + 　n - n´
=1/2〔【(m+n)^2 - (m´+n´)^2 + (m+n)-(m´+n´)】〕 + 　n - n´
因数分解して
=1/2〔【(m+n) + (m´+n´)】*【(m+n)-(m´+n´)】 + (m+n)-(m´+n´)〕 +　 n - n´
=1/2〔【(m+n) + (m´+n´)　+１】*【(m+n)-(m´+n´)】〕 +　n - n´
ここまでは、いいでしょうか？
No.6679 - 2011/12/13(Tue) 23:05:55
☆ Re: / きょう ♂ [関東] [浪人生]
そこまでは理解できました！
因数分解して1/2〔【(m+n) + (m´+n´)　+１】*【(m+n)-(m´+n´)】〕 +　n - n´までもってくるのですね。
No.6681 - 2011/12/13(Tue) 23:14:10
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
(m+n)　＞　(m´+n´)　の場合を考える。　※　(m+n)　＜　(m´+n´)　の場合も同様です。

(m+n)　＞　(m´+n´)　より　(m+n)　＞　n´、　また　(m´+n´)　≧　n´　であるから　
　　【(m+n) + (m´+n´)　+１】　＞ 2n´である
　また【(m+n)-(m´+n´)】　≧　1　である
　よって　1/2〔【(m+n) + (m´+n´)　+１】*【(m+n)-(m´+n´)】〕　＞　n´　である。
したがって
ｆ(m、n)　−　ｆ(m´+n´)
=1/2〔【(m+n) + (m´+n´)　+１】*【(m+n)-(m´+n´)】〕 +　n - n´　＞　　n´+　n - n´＝　n ≧ 0　　　
すなわち　ｆ(m、n)　−　ｆ(m´、n´)　＞　0

きょうさん　ご自分で全体の記述を再整理してみてください。
No.6685 - 2011/12/14(Wed) 01:25:04
☆ Re: / きょう ♂ [関東] [浪人生]
考えてみましたが、No.6682の部分からさっぱり理解できなくなりました。
印刷して考えてみるので少し時間をください。
No.6686 - 2011/12/17(Sat) 20:19:28
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
すみません。No.6682にはNo.6683でお断りしたとおり間違いがあり混乱させました。
(No.6682-6684削除しました。）

メインはNo.6685の部分です。
(m+n)　＞　(m´+n´)　ならば　ｆ(m、n)　−　ｆ(m´、n´)　＞　0
を証明しているのですが、途中の不等式が、それぞれ正しいことはいいでしょうか？
No.6687 - 2011/12/17(Sat) 22:35:47
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
きょう　さんへ、Σ計算や因数分解などをしたのでわかり難くしたかも知れませんね。
ｍ、ｎ、ｍ´、ｎ´は　負でない整数とします。・・・?@
（１）ｍ+ｎ　＞　ｍ´+　ｎ´・・・?A　ならば　ｆ（ｍ,ｎ） ＞ ｆ（ｍ´,　ｎ´）
　　　を示します。

まず、（Σを計算しなくても）
Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕−Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕 ≧ ｍ＋ｎ　は良いですか？

仮定?Aより Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕−Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕 ＞　ｍ´+　ｎ´
ｍ´は　負でないので Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕−Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕 ＞ ｎ´
移項して Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕 ＞ Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕 +　ｎ´
ｎは負でないので
Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕+ ｎ　≧　Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕＞　Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕 +　ｎ´
よって Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕+ ｎ　＞　Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕 +　ｎ´
即ち　 ｆ（ｍ,ｎ）　＞　ｆ（ｍ´,　ｎ´）

ここまでは、分りましたか？
No.6688 - 2011/12/18(Sun) 16:54:50
☆ Re: / きょう ♂ [関東] [浪人生]
Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕　−　Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕　≧　ｍ＋ｎ
が分かりません。　
その後の議論はとても分かりやすく、理解できました！
No.6693 - 2011/12/19(Mon) 21:39:56
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕　は１からｍ＋ｎまでの整数の合計
Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕は１からｍ´+　ｎ´までの整数の合計ですよね

ｍ＋ｎ > ｍ´+　ｎ´ならば
Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕＝１+・・・+（ｍ´+　ｎ´)+・・・+（ｍ+ｎ）
ですから
Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕＝Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕+・・・+（ｍ+ｎ）
移項して
Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕−　Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕＝　・・・　+（ｍ+ｎ）
Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕−　Σ(ｋ＝１→ｍ´+　ｎ´)ｋ〕≧　ｍ+ｎ

これでどうでしょうか？
No.6694 - 2011/12/19(Mon) 22:32:12
☆ Re: / きょう ♂ [関東] [高校１年生]
理解できました！
そういうことだったのですね。
Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕　は「１からｍ＋ｎまでの整数の合計であっています！
No.6696 - 2011/12/20(Tue) 21:06:30
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
お分かりいただけて幸いです。元の問題は
　ｍ+ｎ　＞　ｍ´+　ｎ´　ならば　ｆ（ｍ、ｎ） ＞ ｆ（ｍ´、　ｎ´）と同様に
　ｍ+ｎ　＜　ｍ´+　ｎ´　ならば　ｆ（ｍ、ｎ） ＜ ｆ（ｍ´、　ｎ´）ですから
　ｍ+ｎ　≠　ｍ´+　ｎ´　ならば　ｆ（ｍ、ｎ） ≠ ｆ（ｍ´、　ｎ´）
この対偶をとると
　ｆ（ｍ、ｎ） ＝ ｆ（ｍ´、ｎ´）　ならば　ｍ+ｎ　＝　ｍ´+　ｎ´　がいえる。
残りのｆ（ｍ、ｎ） ＝ ｆ（ｍ´、ｎ´）　ならば　ｎ　＝　ｎ´　かつ　ｍ　＝　ｍ´を証明してみてください。
ところで赤本はどんな方針で証明していますか？参考までに教えてください。
No.6697 - 2011/12/20(Tue) 21:19:40
☆ Re: / きょう ♂ [関東] [浪人生]
ｆ（ｍ＋ｎ） ＝ ｆ（ｍ´+　ｎ´）　ならば　ｍ+ｎ　＝　ｍ´+　ｎ´　まではしっかり理解できました。
ここからｎ　＝　ｎ´　かつ　ｍ　＝　ｍ´までの証明が分かりません。
赤本を見ると、ここはｆ（ｍ＋ｎ） ＝ ｆ（ｍ´+　ｎ´）の比較よりとしか書いていないです。

赤本は、対偶をとって証明しています。まさにＩＴさんの解法と同じです。
今になって理解することが出来てきました。
No.6698 - 2011/12/21(Wed) 21:40:29
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
ｆ（ｍ＋ｎ） ＝ ｆ（ｍ´+　ｎ´）　ならば　ｍ+ｎ　＝　ｍ´+　ｎ´は　
ｆ（ｍ,ｎ） ＝ ｆ（ｍ´,　ｎ´）　ならば　ｍ+ｎ　＝　ｍ´+　ｎ´・・・?@　の間違いでした。記載ミスです。（元の投稿も訂正しました）
「対偶をとる。」というのが解法のポイントではなく、ｍ+ｎとｎの関数として考えるのがポイントです。
さて、ｍ　＝　ｍ´かつｎ　＝　ｎ´までの証明ですが
ｆ（ｍ,ｎ） ＝ ｆ（ｍ´,　ｎ´）　ならば
ｆの定義より　〔Σ(ｋ＝１→ｍ+ｎ）ｋ〕＋ｎ ＝〔Σ(ｋ＝１→ｍ'＋ｎ')ｋ〕＋ｎ'
また、このとき　?@より　・・・　＝　・・・ なので
　　　　　　　　　　　　　・・・　＝　・・・
　　　　　　　　　よって　・・・　＝　・・・
　　　　　　　　　これと　・・・　＝　・・・　から
　　　　　　　　　　　　　・・・　＝　・・・
　　　　　　　　　・・・（　ご自分でやってみてください）・・・
以上で　ｆ（ｍ,ｎ） ＝ ｆ（ｍ´,　ｎ´）　ならば　ｍ　＝　ｍ´かつｎ　＝　ｎ´がいえた。
No.6699 - 2011/12/21(Wed) 23:30:29
☆ Re: / きょう ♂ [関東] [浪人生]
ｆ（ｍ,ｎ） ＝ ｆ（ｍ´,　ｎ´）　ならば
ｆの定義より　〔Σ(ｋ＝１→ｍ+ｎ）ｋ〕＋ｎ ＝〔Σ(ｋ＝１→ｍ'＋ｎ')ｋ〕＋ｎ'
　
また、このとき　ｆ（ｍ,ｎ） ＝ ｆ（ｍ´,　ｎ´）　ならば　ｍ+ｎ　＝　ｍ´+　ｎ´
(ｍ＋ｎ)(ｍ＋ｎ＋１)/2＋ｎ＝(m´+n´)(m´+n´+1)/2＋ｎ´
よってｎ＝ｎ´
ゆえにｍ＝ｍ´
出来ました！
とてもよく理解することが出来ました。
ありがとうございます！
No.6701 - 2011/12/23(Fri) 20:33:28
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
少し遠回りしてすみませんでしたが、理解できてよかったです。

　〔Σ(ｋ＝１→ｍ+ｎ）ｋ〕＋ｎ ＝〔Σ(ｋ＝１→ｍ'＋ｎ')ｋ〕＋ｎ'
　　ｍ+ｎ　＝　ｍ´+　ｎ´　なので
　〔Σ(ｋ＝１→ｍ+ｎ）ｋ〕＋ｎ ＝〔Σ(ｋ＝１→ｍ＋ｎ)ｋ〕＋ｎ'　
　　よってｎ ＝ｎ'。
　　これとｍ+ｎ　＝　ｍ´+　ｎ´であることから　ｍ＝ｍ´
としておくと、少しくどいですが万全です。　では、また。　　　　　　　　　　　
No.6702 - 2011/12/23(Fri) 22:02:47
★ (No Subject) / みなみの ♂ [関東] [高校１年生]
特性方程式を使わず階差でときたいのですが、答えがあいません、宜しくお願いします。
No.6661 - 2011/12/12(Mon) 07:08:14
☆ Re: / みなみの ♂ [関東] [高校１年生]
> 特性方程式を使わず階差でときたいのですが、答えがあいません、宜しくお願いします。
No.6662 - 2011/12/12(Mon) 07:11:01
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
みなみのさん，こんにちは。農場長と申します。よろしくお願いします。

まず，この問題の出典はどこからでしょうか？素朴な疑問です。
（本掲示板を利用する際は，出典を明記するルールがあります）

さて，答えが「3-2^(n-1)」とのことですが…
n=1を代入するとa_1=3となりますよ〜。
何かがおかしいですね。問題文も含めて，どこかに間違いがないかどうか確認してください。
No.6663 - 2011/12/12(Mon) 12:17:29
☆ Re: / みなみの ♂ [関東] [高校１年生]
すみません、出展も書かずに、あと、、答え間違っておりました、宜しくお願いします。
No.6665 - 2011/12/12(Mon) 13:49:21
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
(1)については，まず最初に「2a_(n+1)=3a_(n)+2」と書いていることから，OKだと思います。

(2)ですが，階差数列{b_n}=(-1/4)･{(3/2)}^(n-1)を求める所までOKです。
ちなみに，a_nは，Σを残したままでは答えにならないので，計算しないといけません。
Σの範囲に気を付けて計算したら，答えになりませんか？
上手くいかなかったら，計算の途中過程を書き込んでください。
No.6666 - 2011/12/12(Mon) 17:24:24
☆ Re: / みなみの ♂ [関東] [高校１年生]

> ちなみに，a_nは，Σを残したままでは答えにならないので，計算しないといけません。
言われた通り、丁寧にシグマの計算をしたら答えになりました、よかったらシグマの計算過程をみて、指摘して下さい。
No.6673 - 2011/12/13(Tue) 05:55:28
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
OKですよ！
以前の解答では，Σの範囲が１からｎまでだったので，そこが気になっていたのですが，無事解決したようで何よりです。
お疲れ様でした！！
No.6675 - 2011/12/13(Tue) 08:09:38
☆ Re: / みなみの ♂ [関東] [高校１年生]
ありがとうございました。無事解決です。
No.6676 - 2011/12/13(Tue) 10:26:13
★ (No Subject) / みなみの ♂ [関東] [高校１年生]
答えが間違っておりました、問題文を添付します。宜しくお願いします。
No.6664 - 2011/12/12(Mon) 13:46:47
★ 体積問題 / ろる ♂ [関東] [浪人生]
初めまして
東京大学の1987年度の問題です
xyz空間において、点Pはyz平面上の放物線z=1-y^2上にあるとする。点A(1,0,1)とPを結ぶ直線をx軸のまわりに回転して得られる局面と二平面x=0,x=1とによって囲まれる部分の体積をVとする。VをPのy座標で表せ。またVの最小値を求めよ

こういう問題を見るたびに、ある平面で切って積分すれば解ける。とは思うのですが、なかなか解けるようになりません。最初から立体の図が与えられていてイメージのしやすい問題は解けます。(例えば、円柱を斜めに切った立体の体積など)
しかし、この問題の立体は直接描けないですし、この手の問題だけすこぶる解けません。
どうにか克服したいです。よろしくお願いいたします
No.6646 - 2011/12/01(Thu) 23:02:12
☆ Re: 体積問題 / londontraffic [教育関係者]
ろるさん，こんにちは．
londontrafficと申します．
センターまであと40日くらいですね．
センターの準備はいかがですか．

さて，本題です．まず，
>ある平面で切って積分すれば解ける。とは思う
ですが，そうでない方が良いものがあるけれど，大抵はこれでok．で，
「その切り方による断面が，すべて相似」であれば一番良いですね．
今回の問題は，
>x軸のまわりに回転
ですから，x軸に垂直な平面で切れば，断面は円．
円の面積は半径によりますから，半径がいくつになるかが分かれば断面積は出せます．

次に，
>直接描けない
ですが，今回は，「放物線z=1-y^2」や「点A(1,0,1)とPを結ぶ直線」は，くらいは書けますよね．
この程度の作図と，上記「半径」を意識すると，アプローチの仕方が見えてくると思うのですが．

いかがでしょう．
No.6650 - 2011/12/03(Sat) 10:57:56
☆ Re: 体積問題 / ろる ♂ [関東] [浪人生]
londontrfficさん、返信どうもありがとうございます。センター試験対策頑張っています。
本題ですが、確かに放物線とPを結ぶ直線は描けます。その直線の求め方なんですが解答では、Pのy座標をtとしてAP→=(-1,t,-t^2)ここまではわかるのですが、uを媒介変数として、x=1-u y=ut z=1-ut^2となっているのですが、これは何か公式みたいなものがあるんでしょうか？一応フォーカスゴールドという参考書ででそれっぽいところを読んでみたのですが、いまいちよくわからなかったです。
それ以外は返信の内容を見てとてもよくわかりました。x軸に垂直な平面で切ると断面が円でその円方程式がy^2+z^2=r^2ってことですよね？面積はπr^2ですからπ(y^2+z^2)で体積はそれを0~1まで積分すればよいということですね
No.6654 - 2011/12/04(Sun) 14:39:24
☆ Re: 体積問題 / londontraffic [教育関係者]
返事おくれてすいません．

>x=1-u y=ut z=1-ut^2となっているのですが
これは直線のベクトル方程式ですね．
vec{OA}+u･vec{AP}
から出来ています．
私は，線分PAと平面x=k（0≦k≦1）との交点をQとして，
vec{OQ}=k･vec{OA}+(1-k)vec{OP}
としました（上のuが1-kになっています）．

どうですか．
No.6655 - 2011/12/05(Mon) 06:57:59
☆ Re: 体積問題 / ろる ♂ [関東] [浪人生]
ありがとうございました！やっと理解できました。ありがとうございました。
No.6656 - 2011/12/05(Mon) 20:21:07
★ 食塩水の問題 / haru ♂ [近畿] [高校１年生]
こんばんは。食塩水の問題です。

「5％の食塩水が 3kg ある。この食塩水を煮詰めて水分を蒸発させて、濃度を6％以上にしたい。水分を何g以上蒸発させればよいか。」

食塩水の問題は、変化しない食塩の量を使うのが基本ですので、

５％の食塩水に含まれる食塩の量は、 3000（g）× 5/100 ＝ 150（g）

蒸発後は、蒸発させる水分を xg とすると、

（3000−x）× 6/100 ＝ 180−6/100x （g）

ですが、ここからがわかりません。
「何ｇ以上」となっているので、不等式かなぁという気はするのですが、どういう立て方をすればよいかがわかりません。

よろしくおねがいします。
No.6648 - 2011/12/02(Fri) 23:30:05
☆ Re: 食塩水の問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
haruさん，こんにちは。農場長と申します。よろしくお願いします。

さて，食塩の量を150gと求めていること，ｘgの水が蒸発したと考えていることはOKです。
改めて確認したいところが１つあります。「濃度を求める式は，どんな式？」ということです。

言葉の式でも構いません。左辺もしくは右辺が濃度となる式を作り，それが６％以上となるように考えると，出口が見えてきますよ。がんばってください！
No.6649 - 2011/12/03(Sat) 08:35:27
☆ Re: 食塩水の問題 / haru ♂ [近畿] [高校１年生]
蒸発前と蒸発後の食塩の量は変わらないので、どちらも
3000（g）×5/100 ＝ 150（g）
蒸発後の濃度は6％以上にしたいので、
蒸発量をx（g）とすると、
食塩の量／食塩水全体の量 ×100 ＝ 濃度（％）だから、
150/（3000−x）×100 ＞＝ 6（％）
15000 ＞＝ 18000−6x
　 6x ＞＝ 3000
　　x ＞＝ 500

A：よって、500g以上蒸発させればよい。

あっていますか。


P.S.
ちなみに、参考の欄に、3000×0.05＞＝0.06（3000-x）
という式があったのですが、これは、両辺とも食塩の量ですよね。
食塩の量は変化しないので、不等式でたてるとおかしいような気がするのですか…
No.6651 - 2011/12/03(Sat) 12:51:04
☆ Re: 食塩水の問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
ＯＫです。細かいことを言うと・・・

> 150/（3000−x）×100 ＞＝ 6（％）

は，正しくは　{150/（3000−x）}×100≧6　でしょうか。

さらに，分母の(3000-x)をはらった後の処理ですが，
150×100≧6×(3000-x)
この状態で両辺を6で割ると良いと思います。
25×100≧3000-x　より，x≧500


> P.S.
> ちなみに、参考の欄に、3000×0.05＞＝0.06（3000-x）
> という式があったのですが、これは、両辺とも食塩の量ですよね。
> 食塩の量は変化しないので、不等式でたてるとおかしいような気がするのですか…

私も，「だからナニ？」という感じがします。何の意味があるのでしょうか・・・
スッキリと返答できずにすみません。
No.6652 - 2011/12/03(Sat) 15:32:28
☆ Re: 食塩水の問題 / haru ♂ [近畿] [高校１年生]
農場長 様、ありがとうございます。
理解できました。

（やはり、参考欄の式は“意味不明”なのですね。この式にまどわされていたように感じます）
No.6653 - 2011/12/03(Sat) 17:38:20
★ Re: / ＴＳ ♂ [東海] [高校１年生]
こんにちは。数学?V、置換積分法について教えてください。


∫Ｆ（Ｔ） ｄＸ
＝∫Ｆ（Ｔ） ｄＴ・（ｄＸ/ｄＴ）

となりますよね？

この場合、現れた関数Ｘの微分係数（ｄＸ/ｄＴ）はどこにかければよいのでしょうか？

積分前のＦ（Ｔ）にかければよいのでしょうか？
先にＦ（Ｔ）を積分して、あとから ∫Ｆ（Ｔ） にかければよいのでしょうか？
それとも、いつどこにかけても同じなのでしょうか？

理由も含めて教えていただけると幸いです。
よろしくお願いいたします。
No.6637 - 2011/11/27(Sun) 16:08:34
☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
TSさん，こんにちは。

申し訳ないですが，TSさんの疑問点がよくわかりません。
具体的な問題でご質問いただけるでしょうか？
No.6647 - 2011/12/02(Fri) 13:30:02
★ (No Subject) / WM ♂ [東海] [高校１年生]
すいません、遅くなりました。

また、よろしくお願いします。

(ア)k≦-1のとき m=3k+2
-1≦k≦1のとき m=-k^2+k+1
k≧1のとき m=-k+2
(イ)k>0のとき M=-k+2
k=0のとき M=2
k<0のとき M=3k+2

となりました。
No.6612 - 2011/11/14(Mon) 07:24:13
☆ Re: / WM ♂ [東海] [高校１年生]
すいません、操作間違えました。

No.6602の問題についてです。
No.6613 - 2011/11/14(Mon) 07:26:09
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
では、こちらで進めます。

(ｱ)については，私もまったく同じ答えになりました。
頂点の座標が(k,-k^2+k+1)ですよね。

(ｲ)についてですが，下に凸のグラフをかき，-1≦x≦1の区間を左から右にずらしていってはいかがですか？

例えば，1<kのときは，x=-1のときに最大になりますよね。
だから，このときのM=(-1)^2+2k+k+1で，M=3k+2になると思います。
-1≦x≦1の区間を右にずらしていくと，x=-1ではないときに最大となる瞬間がきます。
そんな感じで分類していくと，答えが見えてくると思いますよ！
No.6614 - 2011/11/14(Mon) 11:02:53
☆ Re: / WM ♂ [東海] [高校１年生]

k>0のとき M=f(-1)
k<0のとき M=f(1)

であってますか？
No.6615 - 2011/11/14(Mon) 20:46:11
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
そうですね。それでＯＫです。
ちなみに，k=0のときはM=f(-1)=f(1)なので，
どちらかに等号をいれておけば良いと思います。

では，いよいよ(ｳ)に入りましょう。
(ｱ)と(ｲ)では，変域が違うので，頑張って場合分けしてみてください。
No.6617 - 2011/11/15(Tue) 15:38:58
☆ Re: / WM ♂ [東海] [高校１年生]

(ア)と(イ)の変域が違うとはどういうことですか？
No.6619 - 2011/11/15(Tue) 23:36:34
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
ごめんなさい，不適切な表現でした・・・。失礼しました。

(ｱ)では，
「k≦-1のとき」，「-1≦k≦1のとき」，「1≦kのとき」の３パターンでした。

(ｲ)では，
「k<0のとき」と「0≦kのとき」の２パターンですので，

(ｳ)では，どちらにも含まれる場合分けをしなければなりません。
４パターンになると思いますが，わかりますか？
No.6620 - 2011/11/16(Wed) 10:28:19
☆ Re: / WM ♂ [東海] [高校１年生]


k≦-1、-1≦k<0、0≦k≦1、1≦k

になると思います。
No.6621 - 2011/11/16(Wed) 20:23:16
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
その通りです。
それぞれの場合についてf(k)を求めて，グラフをかきましょう。
No.6622 - 2011/11/17(Thu) 01:30:17
☆ Re: / WM ♂ [東海] [高校１年生]
すいません、遅くなりました。

テストがあったので…、

y=x^2-2kx+k+1の式にk=-1.k=0.k=1を入れて、

グラフを描いたんですが、この考え方は間違ってますか？
No.6641 - 2011/11/28(Mon) 22:34:39
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
試験お疲れ様でした。大変でしたね。

さて，代入したやり方では，うまくいかないと思います。
k=-1　→　y=x^2+2x
k=0 →　y=x^2+1
k=1 →　y=x^2-2x+2
になったと思いますが，それではk=-2やk=5といった範囲の数について触れていませんよね。

振り返りますが，最小値mについて
「k≦-1のとき　m=3k+2」，「-1≦k≦1のとき　m=-k^2+k+1」，「1≦kのとき　m=-k+2」です。
また，最大値Mについて
「k<0のとき　M=-k+2」，「0≦kのとき　M=3k+2」でした。

ここで，k<-1、-1≦k<0、0≦k≦1、1<kのそれぞれの場合についてf(k)を求めましょう。

(1)　k<-1のとき　f(k)=M-m=(-k+2)-(3k+2)=…　といった具合です。
(2)〜(4)のとき，f(k)はどうなりますか？
No.6643 - 2011/11/29(Tue) 09:58:17
☆ Re: / WM ♂ [東海] [高校１年生]

(1)-4k
(2)k^2-2k+1
(3)k^2+2k+1
(4)4k

になりました。
No.6644 - 2011/11/29(Tue) 23:10:57
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
バッチリです！最後の仕上げのグラフをかきましょう。
No.6645 - 2011/11/29(Tue) 23:25:24
★ (No Subject) / ds ♂ [関東] [高校2年生]
こんばんは。青チャートの?Bの積分についてです
これの(1)で2xcos2x・(2x)´になる理由がわかりません。
私はこうではなく2xcosxと考えました。なのでなぜ(2x)´なのかがわかりません
解説お願いします。
No.6635 - 2011/11/25(Fri) 22:36:34
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
dsさん、こんばんは。河童です。

積分区間が定数からxまでの場合、これをxで微分すると
被積分関数にxを代入したものが出てきますね。
dsさんは、これに倣って、2xを代入されたものだと思いますが、
実はそれが間違いということですね。
その理由を説明する前に、
わたしが冒頭で書いたようにxを代入していい理由がわかりますか？
それが分かれば疑問は簡単に解決しますよ。
No.6636 - 2011/11/27(Sun) 00:14:49
☆ Re: / ds ♂ [関東] [高校１年生]
河童さんこんばんは。回答ありがとうございます
代入理由はわからないです。
No.6638 - 2011/11/28(Mon) 00:45:35
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
dsさん、こんばんは。

そうですか。わかりませんか。
教科書は読みましたか？

一応高校数学の範囲で証明を試みながら、ご質問に答えてみます。恐らく教科書にもこんなふうに書いてあると思います。
確認してくださいね。

定積分を計算するとき、大カッコを書いて、その横に積分区間、例えば下にaを、上にbを書きますね。
これは、被積分関数 f(t) の原始関数のひとつを F(t) とすると、

F(b) - F(a)

を計算するという意味ですね。
本問においては、積分区間が 0から2x で、f(t) = t cost　ですね。
あっ、f(t)ではなく、g(t)ですか。
ということは、原始関数を G(t) とすると、

G(2x) - G(0)

という計算が、問題の定積分の計算になりますね。この結果が f(x) ですね。
本問は、これを x で微分せよと言っているんですね。
ということは、

G'(2x) - G'(0)

ということです。
ところで、G'(x) がまさに g(x) なんですが、この場合 ( ) の中が 2x ですから、
合成関数の微分法によって、(2x)' がかかりますね。
つまり、

G'(2x) = g(2x)*(2x)'

ですね。
お分かりでしょうか？
No.6639 - 2011/11/28(Mon) 02:56:14
☆ Re: / ds ♂ [関東] [高校１年生]
教科書というか青チャートの基本事項を読んでました。
わかりました。最後のG'(2x) = g(2x)*(2x)がわからなかったのですが、これはたぶん自分自身が合成関数の微分がわかってないときずき合成関数の微分の証明をみて理解できました。あと＊は掛けるって意味ですか？
No.6640 - 2011/11/28(Mon) 14:42:55
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
dsさん、こんばんは。

理解できてよかったですね＾＾
* は、おっしゃるとおり掛けるの意味です。

これからも勉強頑張ってくださいね。
No.6642 - 2011/11/29(Tue) 00:31:01
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