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★ (No Subject) / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
こんばんは＼(ﾟ◇ﾟ*)

[問題]
実数a,b,c,dがa2＋b2＝1、c2＋d2＝1、ac＋bd＝1を満たすとき、ad−bc、a2＋d2、b2＋c2の値を求めよ。('02　芝浦工　類)

ちなみにこの問題は過去にも、(1)無理矢理解く、(2)ベクトルで解く、の2通りを問題集で経験しました。

[自分の考え(答案ではありません)]
a＝sinα、b＝cosα、c＝sinβ、d＝cosβとおく。
ac＋bd＝sinαsinβ＋cosαcosβ＝cos(α−β)＝1
ad−bc＝sinαcosβ−cosαsinβ＝sin(α−β)
sin2(α−β)＋cos2(α−β)＝1より、ad−bc＝0

ところでこの結果から、α−β＝2nπであることが分かります(∵余弦1、正弦0)
よってα＝β＋2nπとおく。

a2＋d2＝sin2α＋cos2β
＝sin2(β＋2nπ)＋cos2β
＝(sinβcos2nπ＋cosβsin2nπ)2＋cos2β
＝sin2β＋cos2β
＝1

与式でaとb、そしてdとcを入れ替えても条件は全く同じなので、b2＋c2＝1

としましたが、これでもいいのでしょうか？もしあっているとすれば、個人的にはこれが一番簡単かなと思います。
No.2481 - 2009/03/16(Mon) 23:01:25
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
2nπのnは整数を表しています。
No.2483 - 2009/03/16(Mon) 23:04:34
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
ルイさん，こんにちは．一ノ谷です．

＞ これでもいいのでしょうか？
ＯＫです．３角関数の性質が正しく利用できています．

工夫を述べるなら，初めから
　0＜α≦2π，0＜β≦2π
としておけば
　-2π＜α-β＜2π
なので cos(α-β)＝1 から直ちに α＝β，つまり a＝c，b＝d とできますね．

＞ 個人的にはこれが一番簡単かなと

そうですね．ただ，私としては，複素数の範囲でも適用可能な
　a^2＝1-b^2，c^2＝1-d^2 を (ac)^2＝(1-bd)^2 に代入
がお勧めです．
No.2496 - 2009/03/18(Wed) 13:29:28
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
こんばんは、一ノ谷先生＼(ﾟ◇ﾟ*)

＞工夫を述べるなら
確かに最初から範囲を指定しておけば、a＝c、b＝dが求めやすいですね。

何か、いろんな角度から見ることのできる問題(というより、いろんな角度から見ること)は面白いですね。

ありがとうございました。
No.2502 - 2009/03/18(Wed) 22:52:40
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
追伸

先生の仰せられる様に，解きますと、

(1−b2)(1−d2)＝1−2bd＋b2d2
1−d2−b2＋b2d2＝1−2bd＋b2d2
−d2−b2＝−2bd
b2−2bd＋d2＝0
(b−d)2＝0
∴b＝d
ですかぁ。a＝c、b＝dが分かれば後は簡単ですね。


ちなみに、
技巧的な解き方として、
(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(ad−bc)2　…(★)
1×1＝12＋(ad−bc)2
∴ad−bc＝0
またこれより、
ad＝bc
a2d2＝b2c2
ところで条件より、b2＝1−a2、c2＝1−d2
これらを代入して、
a2d2＝(1−a2)(1−d2)
∴a2d2＝1−(a2＋d2)＋a2d2
∴a2＋d2＝1
同様にして、b2＋c2＝1

の解法が紹介されていますが、こういう変形は覚えておかなければならないものでしょうか？(特に(★)式)
No.2503 - 2009/03/19(Thu) 03:29:56
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
＞ (★)式
はコーシー・ラグランジュの等式として知られており
・シュワルツの不等式の証明
・ベクトルを利用して３角形の面積を求める
ときなどに現れますが，これらの場合は
　(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2
という形での出現なので，展開すればすぐに (ad-bc)^2 と判るでしょう．

一方，この等式は，任意の正の整数 n に対して
　( Σ_{k=1}^{n} (a_k)^2 )( Σ_{k=1}^{n} (x_k)^2 ) - ( Σ_{k=1}^{n} a_k x_k )^2
＝Σ_{k=1}^{n} Σ_{j=1}^{k} (a_k x_j - a_j x_k)^2
と一般化できますので，帰納法の練習として証明してみるのは無駄ではないと思います．
No.2504 - 2009/03/19(Thu) 14:16:37
★ (No Subject) / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
数?T範囲の問題「tanθ＝−３のとき、sinθとcosθの値を求めなさい 」
では、cosθ=−√10/10 sinθ=3√10/10　と難なく答えられたんですが、
数学?Uの三角関数を勉強していくうちにふと疑問がわいてきました。
cosθ=√10/10 sinθ=−3√10/10も間違いなくtanθ＝−３のときの
sinθとcosθであるはずなのに、回答集には載っていないんです。
これはなぜでしょう？
No.2474 - 2009/03/16(Mon) 18:56:49
☆ Re: / gaku [社会人]
こんばんは。
数?Tの範囲とは「三角比」で，ここでは三角形を扱います。
したがって，0°≦θ≦180°までしか扱わないのです。
単位円も半円までしか考えません。
それに対して，「三角関数」では，すべての角度(-30°や480°など)を扱います。

また，「三角比」のもんだいでは，「ただし，0≦θ≦180°とする」などと書いてあるのが一般的です。
三角関数のもんだいでは，「ただし，0≦θ<2πとする」となっていたりします。
No.2475 - 2009/03/16(Mon) 19:06:21
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
回答ありがとうございます。
指定された範囲が0≦θ<2πなら私の言う回答も含まれるのですね？
No.2482 - 2009/03/16(Mon) 23:03:10
☆ Re: / gaku [高校１年生]
その通りです。
No.2489 - 2009/03/17(Tue) 09:17:53
★ (No Subject) / メmeカ ♂ [北海道] [高校１年生]
こんにちは。また質問でました。積分はなかなか予習がすすみません。

ｋに１からｎ−１まで代入していますが、なぜこの数が選ばれたのですか。
１とｎ−１を選択する根拠を教えていただきたいです。
No.2460 - 2009/03/15(Sun) 17:39:17
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

添付された画像だけでは，質問の主旨が汲み取れません。
通常は k=1からn もしくは　k=0からn-1 なのに，何故この問題は k=1からn-1 なのか？
ということなのでしょうか？
No.2488 - 2009/03/17(Tue) 01:20:17
★ (No Subject) / aki ♂ [高校１年生]
こんばんは。

数Ａの問題で分からないものがあったので、質問させて頂きます。

A,A,A,B,B,C,Cの合わせて７個の文字がある。
この７個の文字を１列に並べてできる順列の総数は（１）個で、
これら（１）この順列のなかで、ABの順列でAとBが隣り合って並ぶものを
２個含む順列は（２）個あり、１個以上含む順列は（３）個ある。
したがって、ABをちょうど１個含む順列は（４）個ある。

（１）は解けるのですが、（２）からがわかりません。

よろしくお願いします。
No.2477 - 2009/03/16(Mon) 19:29:52
☆ Re: / gaku [社会人]
問題の意味を整理したいのですが。
例えば，ABABACCの場合，4個という意味ですね。
No.2478 - 2009/03/16(Mon) 20:10:18
☆ Re: / aki ♂ [高校１年生]
すみません、これについては自分もよくわかりません。。。
恐らくそうではないかと思います。
No.2479 - 2009/03/16(Mon) 20:29:29
☆ Re: / gaku [高校１年生]
「ABの順列で」というのはABの順序でという意味でしょうかね。
そうすると，ABABACCは2個ということでしょう。おそらく。
No.2484 - 2009/03/16(Mon) 23:37:45
☆ Re: / gaku [高校１年生]
ちょっと自信がありませんが。
(1)は7C2×5C2==210
(2)はAB，AB，A，C，Cの並べ替えと考えて，5C2×3C2=30
(3)は0個の場合を考えると99通り(自信なし)
よって，1個以上の場合は210-99=111
(2)，(3)より，(4)は111-30=81

間違っていたらごめん。
No.2485 - 2009/03/17(Tue) 00:01:58
★ はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
初めまして、春から高１になるrabbitと申します

高校から出された宿題で、「数学?Tの教科書の予習をしてこい」というのがあるのですが、わからないところが多々あります・・・

一気に質問してはいけないというルールがあるので、１つ１つちゃんと理解してから、わからないところを聞いていきたいと思います、よろしくお願いします


早速ですが、質問です

数研出版のP.５２の６番

１５％の食塩水と２０％の食塩水を混ぜて、１７％以上１８％以下の食塩水１０００ｇを作るには、１５％の食塩水を何ｇ以上何ｇ以下にすればよいか。

という問題です

正直、濃度の問題はあまりできません
さらに、不等式の文章問題なのでごちゃごちゃしてしまい、全くわかりません・・・

でも今回を機会にできるようになりたいと思っています
高校に入学する前に苦手を作りたくありません

式の作り方を教えてほしいです・・・
No.2447 - 2009/03/15(Sun) 14:15:43
☆ Re: はじめまして / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんにちは，ＣＯＲＮＯ です．

１５％の食塩水を ｘｇ，２０％の食塩水を ｙｇ 混ぜることにしましょう．
すると，この混合食塩水の中に食塩は何ｇあるか，まずこの式を立ててください．
No.2448 - 2009/03/15(Sun) 14:26:21
☆ Re: はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
こんにちは、よろしくお願いしますm(_ _)m

ｘ＋ｙの中に食塩は何ｇあるか・・・ですよね？

一応考えてみたんですが
(15)/(100)x＋(20)/(100)y

になりました

表記の仕方も間違ってたりして・・・
No.2449 - 2009/03/15(Sun) 15:03:15
☆ Re: はじめまして / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞表記の仕方も間違ってたりして・・・
　ま，細かいことにはこだわらずにいきましょう．

　で，混合食塩水の濃度は１７％以上ですから，この中の食塩の量は
　　　(１７)/(１００)×１０００ｇ 以上
　です．すると次の不等式ができあがります．
　　　(１７)/(１００)×１０００≦(１５)/(１００)ｘ＋(２０)/(１００)ｙ
　ところで， ｘ＋ｙ＝１０００ ですから，
　　　(１７)/(１００)×１０００≦(１５)/(１００)ｘ＋(２０)/(１００)×(１０００−ｘ)
　という１次不等式ができあがります．
　では，これを解いてください．
　その後で，「１８％以下」という条件でできる不等式を解いて，２つの答を合わせたものが最終的な答になります．
No.2450 - 2009/03/15(Sun) 15:27:52
☆ Re: はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
すみません、(17)/(100)になぜ１０００ｇをかけるのか教えていただいてもいいですか？
No.2451 - 2009/03/15(Sun) 16:34:32
☆ Re: はじめまして / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞一応考えてみたんですが
＞(15)/(100)x＋(20)/(100)y
　これとおなじことです．
　ｘ と ｙ はかけているんですよね？
No.2452 - 2009/03/15(Sun) 16:37:44
☆ Re: はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
はい、かけてます

１５％の食塩水がｘなので、その濃度である(15)/(100)にかければ食塩の量が出るかな、と思ったので、これを２０％の食塩水のyにも使って、(20)/(100)×ｙ

これらの２つを足せば混合食塩水の食塩の量が出るのかな〜と考えたんですが・・・

ちょっと意味不明な文になっちゃったんですけど・・・
No.2453 - 2009/03/15(Sun) 16:54:37
☆ Re: はじめまして / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [高校１年生]
だったら，１７％（以上）の混合食塩水が１０００ ｇ だから，かけるでしょ？
No.2454 - 2009/03/15(Sun) 17:01:30
☆ Re: はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
あ〜なるほど！
丁寧にありがとうございます

では「１８％以下」という条件でできる不等式は

(１５)/(１００)ｘ＋(２０)/(１００)×(１０００−ｘ)≦(18)/(100)×１０００

ですか？
No.2455 - 2009/03/15(Sun) 17:06:57
☆ Re: はじめまして / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [高校１年生]
はい，そうです．
No.2456 - 2009/03/15(Sun) 17:08:41
☆ Re: はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
計算しました

答えは４００g以上６００ｇ以下ですか？
No.2457 - 2009/03/15(Sun) 17:20:53
☆ Re: はじめまして / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
はい，その通りです．
No.2458 - 2009/03/15(Sun) 17:24:58
☆ Re: はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
やった〜！
ありがとうございます！

やっぱりこういう文章問題はいろんなパターンを覚えて慣れるのがいいんでしょうか？
No.2459 - 2009/03/15(Sun) 17:29:36
☆ Re: はじめまして / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [高校１年生]
「覚える」よりは「考える」方がいいと思います．
問題を数多く解けば，身についていくことだと思います．
No.2461 - 2009/03/15(Sun) 17:44:59
☆ Re: はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
「覚える」よりも「考える」ですか、わかりました

丁寧に教えていただき、ありがとうございました



他の問題について質問する時はこのスレを消すべきでしょうか？
No.2462 - 2009/03/15(Sun) 18:14:33
☆ Re: はじめまして / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞他の問題について質問する時はこのスレを消すべきでしょうか？
　いえ，それは許されません．
　そもそもは rabbit さんが立てたスレッドですが，
　回答した以上，私のスレッドでもあります．
　しかし，何よりも先に掲示板の運営者（新矢先生）に全権があります．
　勝手に断りもなく削除するのは，マナー違反だと思います．
No.2463 - 2009/03/15(Sun) 18:24:06
☆ Re: はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
あ、駄目なんですね(^^ゞ

では、他の問題について質問したい場合はどうすればいいのでしょうか？
No.2464 - 2009/03/15(Sun) 18:31:57
☆ Re: はじめまして / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
新しいスレッドを立ち上げてください．
No.2465 - 2009/03/15(Sun) 18:50:21
☆ Re: はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
では、解決してすぐにスレを建てるのは大丈夫ですか？


何度も質問してすみません(>_<)
No.2466 - 2009/03/15(Sun) 18:54:28
☆ Re: はじめまして / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [高校１年生]
解決すればＯＫです．
No.2467 - 2009/03/15(Sun) 18:56:35
☆ Re: はじめまして / rabbit ♂ [関東] [中学生]
わかりました、ありがとうございましたm(_ _)m
No.2468 - 2009/03/15(Sun) 19:26:48
★ (No Subject) / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
にんにちは。いつもお世話になっています。

スタンダード数学演習124番

さいころをn個同時に投げるとき、出た目の数の和がn＋3になる確率を求めよ。('06　京都)

(考え)
さいころn個をD1、D2、D3、…、Dnと名づけて区別する。全てのさいころにおいて1以上の数が出るから、和の最小値はnである。あとは残りの3をD1、D2、D3、…、Dnに分配する方法の総数を考える。

(1)n≧3において
1、1、1を異なる3つのさいころに分配する方法…nC3＝n(n−1)(n−2)/6通り
1、2を異なる2つのさいころに分配する方法…nP2＝n(n−1)通り
3を分配する方法…nC1＝n通り
よって求める方法の総数はn(n−1)(n−2)/6＋n(n−1)＋n＝n(n＋1)(n＋2)/6通り
根元事象は6n通り
よって求める確率はn(n＋1)(n＋2)/6n＋1

(2)n＝2において
1、2を分配する方法…2P2＝2通り
3を分配する方法…2C1＝2通り
根元事象は36通り
よって求める確率は1/9

(3)n＝1において
3を分配する方法…1C1＝1通り
根元事象は6通り
よって求める確率は1/6

ところで(2)(3)の場合を(1)の最終式に代入すると、それぞれ1/9、1/6が得られ(1)の最終の式は全てのnに対して成り立つものといえる。

以上から確率はn(n＋1)(n＋2)/6n＋1


＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
答えはあっていると思いますが、その導出過程に誤りはありませんか？
特にPやCの記号の使い方などで、間違いがあれば教えてください。
よろしくお願いします。
No.2436 - 2009/03/12(Thu) 15:30:41
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
追加で質問です。

(1)、(2)、(3)は明らかに環境が違いますが、(2)、(3)の場合を(1)に代入しても同じ結果が得られるのは偶然ですか？必然ですか？
No.2437 - 2009/03/12(Thu) 15:34:15
☆ Re: / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
こんばんは、ルイさん。
ごせいがでますね、というわけで早速まいりましょう。

> 答えはあっていると思いますが、その導出過程に誤りはありませんか？
> 特にPやCの記号の使い方などで、間違いがあれば教えてください。
大丈夫です。全く問題ありません。

> (1)、(2)、(3)は明らかに環境が違いますが、(2)、(3)の場合を(1)に代入しても同じ結果が得られるのは偶然ですか？必然ですか？
結論から言ってしまえば、「必然」です。じつは、nの値に関わらず１つの方法で答えを導くことが可能です。
ルイさんは、「重複組合せ」の考え方をご存知ですか？
No.2438 - 2009/03/12(Thu) 19:19:40
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
こんばんは！

＞「重複組合せ」の考え方をご存知ですか？

重複組み合わせと言うと、棒で区切る考え方のあれでしょうか？記号はHでしたよね…
この考え方が、この問題に使えるということでしょうか？
No.2439 - 2009/03/12(Thu) 21:03:18
☆ Re: / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
その通りです。
この問題であれば、“３個の「１」（区別できない）をn個のサイコロ（区別できる）に振り分ける”と解釈すれば、重複組合せの問題になります。つまり、↓のように３個の「１」と(n-1)個の「棒」を並べる問題に帰着するわけです。

　｜｜?@｜?@?@｜｜｜
　?@｜｜｜?@｜?@｜｜
　　　・
　　　・
　　　・

これにより、出た目の和がn+3になる目の出方の総数は3+(n-1)C3 = n(n+1)(n+2)/6と分かります。
いかがでしょう？
No.2440 - 2009/03/12(Thu) 21:19:57
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
こんにちは。

そーいえば、解説を聞いて、このたぐいの問題は解いたことがあるのを思い出しました(汗

確か、こういう問題です。

「区別できない6個の球を、袋A、B、Cにいれる方法は何通りか」

この場合は、「球を持ってきて入れる」のではなく、「袋を持っていって入れる」と考えるのでした。(区別できるほうを移動)

ということで、このさいころの問題の場合は、

3つある区別できない1のところへ重複を許して、さいころを持っていって1を加算する

操作と言うことですね？
(出目が4,1,1,1,1,1,1,1,…,1,1なら組み合わせはD1D1D1、出目が3,1,2,1,1,1,1,1,1,…,1,1なら組み合わせはD1D1D3)

よってnH3＝(n＋3−1)C3＝(n＋2)C3＝(n＋2)(n＋1)n/3・2・1＝(答)


しかし、この方法だとかなり早く答えが求まりますね
それにしても、重複組み合わせなどすっかり忘れてましたね(^◇^;)

復習も兼ねられて良かったです。ありがとうございました！！
No.2441 - 2009/03/13(Fri) 14:17:17
★ (No Subject) / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　こんばんは。
　学校で配られたプリントの数列の問題なのですがよろしくお願いします。
　
　b{1}=1,b{n+1}=3b{n}+2^n-1(n=1,2,3)
　によって定められる数列b{n}の一般項を求めよ。

　解説お願いします。
No.2277 - 2009/02/20(Fri) 00:50:01
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

｢書き込まれる方へのお願い｣にありますように，問題文のみの書き込みはご遠慮いただいております。
どこで詰まっているのかがわからないと，回答のしようがないのです。
No.2278 - 2009/02/20(Fri) 02:57:15
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　失礼しました。本当にすいませんでした。
　以後気を付けます。

　
　b{n+1}=3b{n}+2^n-1を2^n-1で割って
　b{n+1}/2^n-1=3b{n}/2^n-1+1
　にしてb{n+1}/2^n-1と3b{n}/2^n-1を文字に置き換えて
　解こうとしたのですがどうすればよいのかわかりません。

　解説お願い出来ますでしょうか
　
No.2284 - 2009/02/20(Fri) 23:56:59
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みずきさん，こんばんわ。

多くの漸化式は，いかにして等比数列を作るか？　がテーマになりますね。

3b{n}/2^n-1 を変形します。2^{n-1}=2・2^{n-2} ですから，
3b{n}/2^{n-1} =3b{n}/{2・2^{n-2}}=(3/2){b{n}/2^{n-2}}

そして，b{n}/2^{n-2}=c{n} とおきかえてみましょう。
No.2285 - 2009/02/21(Sat) 01:24:17
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　こんばんわ。
　解説ありがとうございます。
　
　c{n+1}=3/2c{n}+1

　でよろしいのでしょうか。
　もしよかったのでしたらなぜb{n+1}/2^n-1がc{n+1}なのでしょうか。

　解説お願いします。
No.2308 - 2009/02/22(Sun) 23:46:22
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みずきさん，こんにちは。

＞ c{n+1}=3/2c{n}+1
はい。これでＯＫですよ。

＞なぜb{n+1}/2^n-1がc{n+1}なのでしょうか。

f(x)=x^2+x+1 という関数があったとします。
f(1)=1^2+1+1=3 ですよね。
f(a)なら,xにaを代入して f(a)=a^2+a+1 です。
f(x+1) なら xにx+1 を代入して f(x+1)=(x+1)^2+(x+1)+1 となりますね。

数列a{n}もこれと似ています。
　一般項が　a{n}=n^2+n+1 であらわされる数列があるとします。
　a{1}=1^2+1+1=3 はＯＫかと思います。
　a{k}なら nにkを代入して　a{k}=k^2+k+1 です。
では，a{n+1} はどうなるでしょう？
No.2312 - 2009/02/23(Mon) 14:27:19
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　新矢さんこんばんわ。
　解説ありがとうございます。
　
　a{n+1}=(n+1)^2+n+1+1

　だと思うのですが、問題とどう照らし合わせていいのかよくわかりません。

　解説お願いします。
No.2319 - 2009/02/24(Tue) 01:00:00
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

＞ a{n+1}=(n+1)^2+n+1+1
ＯＫですよ。

では，c{n}=b{n}/2^{n-2} としたとき，c{n+1} はどうなりますか？
No.2323 - 2009/02/24(Tue) 02:20:57
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校１年生]

新矢さんこんばんわ。
　解説ありがとうございます。
　
　c{n}=b{n}/2^{n-2}のとき
　c{n+1}=b{n+1}/2^{n-1}
　
　でよいでしょうか
　自分なりにひらめいた気がするので、考えを書いてみます。
　間違いなどがありましたら解説をお願いします。
　
　b{n+1}=3b{n}+2^{n-1}
　2^n-1で両辺をわって
　b{n+1}/2^n-1=3b{n}/2^{n-1}+1
　b{n+1}/2^n-1=3/2×b{n}/2^{n-2}+1
c{n}=b{n}/2^{n-2}とおくと
　c{n+1}=3/2c{n}+1

　ここまでなのですが解説お願いします。
No.2329 - 2009/02/25(Wed) 00:07:39
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
はい，それでバッチシですよ。

あとは c{1}の値を求めれば，いわゆる隣接２項漸化式の基本形ですから，大丈夫かと思います。最後までやってみましょう。
No.2330 - 2009/02/25(Wed) 00:10:52
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　新矢さんこんばんわ。
　ありがとうございます。

　c{n+1}=3/2c{n}+1
　c{n}=c{1}×(3/2)^n-1
c{n}=1/2^-1×(3/2)^n-1

だと思うのですが、すごく基本的なことで
　申し訳ないのですが1/2^-1はどう計算すればよいのでしょうか
　間違いなども含め解説お願いします。
　
No.2340 - 2009/02/26(Thu) 00:39:10
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

c{n}は等比数列ではありません。
c{n+1}=3/2c{n}　なら等比数列ですが，今は　c{n+1}=3/2c{n}+1 ですよ。

この問題をやっているということは，　a{n+1}=pa{n}+q （p,qは定数）のタイプの漸化式，具体的には　a{n+1}=2a{n}-1 のような形のものは学習済みのはずです。　

同じプリントか，前回渡されたプリントに収録されているはずです。
教科書や授業のノートを確認して，a{n+1}=pa{n}+q の形の漸化式を復習後，もう一度この問題を考えてみましょう。

復習時に疑問が生じた場合は，もちろん質問にお答えしますが，その際は別記事を立ててください。
No.2343 - 2009/02/26(Thu) 14:03:05
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　新矢さんこんばんわ。
　解説ありがとうございます。
　
　c{n+1}=3/2c{n}+1
　c{n}=c{1}+3/2(n-1)
c{n}=b{1}/2^-1+3/2n-3/2
c{n}=b{n}/2^n-2より
3/2n+1/2^-1-3/2=b{n}/2^n-2
b{n}=2^n-2(3/2n+1/2^-1-3/2)

　という形になったのですが解説お願いします。
　
　
No.2350 - 2009/02/26(Thu) 23:29:04
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みずきさん，こんにちは。

c{n}は等差数列でもありません。
昨日のレスに書きましたが，a{n+1}=pa{n}+q の形の漸化式は復習されましたか？
↓の34ページもご参考ください。

http://lykeion.info/suugaku/math_b/suuretu.pdf
No.2351 - 2009/02/27(Fri) 14:04:00
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]


　新矢さんこんばんわ。返事遅れてすいません。
　ありがとうございます。
　
　c{n+1}=3/2c{n}+1
　X=3/2cX+1　X=-2なので
　c{n+1}+2=3/2c{n+2}
{cn+2}は初項c{1}+2=1/2^-1+2
公比3/2なので
　c{n}=(1/2^-1+2)×(3/2)^n-1-2

という形になったのですが
　解説お願いします。
No.2374 - 2009/03/01(Sun) 23:28:14
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

数学II の指数関数のところで，a^{-1}=1/a ということを学習していますので，教科書を確認してみましょう。

(1/2)^{-1}=2 ですから，

初項 c{1}+2=1/2^-1+2=2+2=4 です。
No.2379 - 2009/03/03(Tue) 14:01:02
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　こんばんわ新矢さん
　返信遅れてすいません。ありがとうございます。
　
　c{n+1}+2=3/2c{n+2}
c{1}+2=1/2^-1+2=2+2=4,c{n+1}=b{n+1}=b{n+1}/2^n-1

　から解いてみたのですがどうしても答えが出ません。
　すいませんが解説お願いできますでしょうか。

No.2413 - 2009/03/08(Sun) 00:13:29
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。
3/1 のみずきさんのレスの

＞c{n+1}=3/2c{n}+1
　X=3/2cX+1　X=-2なので
　c{n+1}+2=(3/2){c{n}+2}

の変形は正しいのですよ。

数列 c{n}+2 が等比数列というところもOKです。
公比は 3/2 でいいのですが，初項を　c{1}+2=1/2^-1+2 とされていたので，これは更に計算でき，c{1}+2=2+2=4 になるということを前回のレスで申しあげたのです。
ですから，

c{n}=(1/2^-1+2)×(3/2)^n-1-2=4・(3/2)^{n-1}-2
となります。
No.2420 - 2009/03/09(Mon) 14:16:59
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　新矢さんこんにちわ。
　解説ありがとうございます。

　c{n}=4・(3/2)^{n-1}-2
　c{n}=b{n}/2^n-2より
　b{n}/2^n-2=4・(3/2)^{n-1}-2
　2^n-2を両辺にかけて
　b{n}=4・2^n-2・(3/2)^{n-1}-2・2^n-2
　b{n}=2^n・(3/2)^{n-1}-2^n-1

　と変形出来たのですがよろしいのでしょうか
　解説お願いします。
　
　
No.2421 - 2009/03/10(Tue) 11:02:46
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みずきさん，こんにちは。

そこまではOKです。
添付の画像のように，指数法則で計算すると更にすっきりするので，ここまで変形しておくべきです。ということで，答えは

　b{n}=2・3^{n-1}-2^{n-1}　です。

このように，数列の問題では指数計算が必要になるものが多いので，数IIの指数のところを復習しておきましょう。

もうひとつ。
みずきさんは，最初に　b{n+1}=3b{n}+2^n-1　の両辺を 2^{n-1} で割りましたが，2^{n} で割っても，2^{n+1} で割っても構いません。
2^{n+1} で割って解き直してみてください。もちろん答えは同じです。
指数の計算部分が少し楽だと感じるかもしれません。
No.2422 - 2009/03/10(Tue) 14:39:30
☆ Re: / みずき ♂ [関東] [高校2年生]

　新矢さんこんばんわ。
　解説ありがとうございます。

　最後のところも納得がいきました。
　わからないところばかりですいませんでした。
　でも基本的なところもしっかり教えていただいたので
　理解できました。
　ありがとうございました。

　
No.2424 - 2009/03/11(Wed) 00:05:22
★ 割り算の問題 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
こんにちは。

「スタンダード　数学演習 ?T・?U・A・B」の15番で質問があります。

Q(x)を2次式とする。整式P(x)はQ(x)で割り切れないが、{P(x)}2はQ(x)で割り切れるという。このとき、2次方程式Q(x)＝0は重解を持つことを示せ。('06　京都)

[自分の考え]
Q(x)は2次式より、2次方程式Q(x)＝0の解をα、βとすると、Q(x)＝a(x−α)(x−β)と表せる。
P(x)はQ(x)では割り切れないので、R(x)をxの整式、b、cを実数として、
P(x)＝a(x−α)(x−β)R(x)＋bx＋c　…(1)
と表される。
ここで、bとcは同時には0に等しくない実数である。
また、{P(x)}2はQ(x)で割り切れるので、S(x)をxの整式として、
{P(x)}2＝a(x−α)(x−β)S(x)　…(2)
と表される。

(1)より、
P(α)＝bα＋c　…(3)
P(β)＝bβ＋c　…(4)

(3)(4)の両辺を平方して、
{P(α)}2＝(bα＋c)2　…(5)
{P(β)}2＝(bβ＋c)2　…(6)

(2)より、
{P(α)}2＝0　…(7)
{P(β)}2＝0　…(8)

(5)(6)(7)(8)より、
(bα＋c)2＝0　…(9)
(bβ＋c)2＝0　…(10)

(9)(10)より、b≠0のとき
α＝−c/b　β＝−c/b
よってα＝β

またb＝0のとき、
c2＝0よりc＝0
これはbとcが同時に0に等しくないという条件に反する。

以上から、Q(x)が示された条件を満たすとき、Q(x)＝0は重解をもつ。

・・・
と考えたのですが、解答を見ると全然違います。
果たして、この考え方でいいのでしょうか。
No.2415 - 2009/03/08(Sun) 13:48:15
☆ Re: 割り算の問題 / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
こんにちは、ルイさん。がんばってますね。

> 果たして、この考え方でいいのでしょうか。

はい、問題ありません。
強いて挙げるとするならば、問題文には実数係数とは書いてないので、a、b、cは実数とは限らないという点くらいでしょう（とはいえ、複素数係数でも議論は同じですし、大学受験までなら複素数係数の整式は事実上扱ってないので、このままで良い気もします）。

> と考えたのですが、解答を見ると全然違います。

具体的に、どのような解答だったのでしょう？　その本が今手元にないもので…(^_^;
No.2416 - 2009/03/08(Sun) 17:36:43
☆ Re: 割り算の問題 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
返信ありがとうございます（＾◇＾）

この手の問題集には、模範解答がなく略解なのですが、それをそのまま写せば、

P(x)＝Q(x)f(x)＋ax＋bとおける。
ただし、(a，b)≠(0，0)
(P(x))2＝(Q(x)f(x))2＋2Q(x)f(x)(ax＋b)＋(ax＋b)2
(P(x))2はQ(x)で割り切れるから、
(ax＋b)2＝kQ(x)　(kは定数)
Q(x)は2次式で(a，b)≠(0，0)であるから、k≠0であり、a≠0となる。
したがって、Q(x)＝(x＋b/a)2a2/k

とだけ書いてあります。
No.2417 - 2009/03/08(Sun) 17:50:12
☆ Re: 割り算の問題 / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
ああ、なるほど。そういう解答でしたか。
解をα、βと置くかどうかの違いだけで、本質的なところ（「余り」の２乗とQ(x)とが同じ因数を持つ２次式であることを示す）はルイさんのと同じですね。むしろルイさんの解答の方がエレガントだと思います。
No.2418 - 2009/03/08(Sun) 18:07:05
☆ Re: 割り算の問題 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
考えがあっていて安心しました。(あとb，cは”定数”と言うことにしておきます)

ありがとうございました。
No.2419 - 2009/03/08(Sun) 18:36:44
★ 不等式の問題 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
先日、変な質問をしてしまったルイです(汗

n個(n≧3)の実数a1，a2，…，anがあり、各aiは他のn−1個の相加平均より大きくはないという。このようなa1，a2，…，anの組をすべて求めよ。('89　京都)

まずは、実験してみます。(下付け文字の面倒なのでa1,2,3→a,b,cと置き換えます)
n＝3として、
2a≦b＋c　…(1)
2b≦c＋a　…(2)
2c≦a＋b　…(3)
(1)より、b≧2a−c　よって2b≧4a−2c
(2)と合わせて、c＋a≧2b≧4a−2c　よってc＋a≧4a−2c　∴a≦c
(2)より、c≧2b−a　よって2c≧4b−2a
(3)と合わせて、a＋b≧2c≧4b−2a　よってa＋b≧4b−2a　∴b≦a
(3)より、a≧2c−b　よって2a≧4c−2b
(1)と合わせて、b＋c≧2a≧4c−2b　よってb＋c≧4c−2b　∴c≦b
以上から、((条件としては「かつ」なので))a≦c≦b≦a　∴a＝b＝c
置き換えを戻して、a1＝a2＝a3

方針があっているかどうかを別として、この実験だけを見たときに、特に論理的な問題はありませんでしょうか。
　
No.2376 - 2009/03/02(Mon) 20:05:30
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
[追記]
a,b,c,d
3a≦b+c+d
3b≦c+d+a
3c≦d+a+b
3d≦a+b+c
これらから、
0≧2a-c-d　(*)
0≧2b-d-a　(**)
0≧2c-a-b　(***)
0≧2d-b-c　(****)
(*)＋(**)＋(***)より2b-c-d≧0　(*****)
(****)＋(*****)よりb≧d
同様にしてa≧c≧b≧d≧a　よってa＝b＝c＝d　…？

ただ直接的に本番に進むと、

(n-1)a1≦a2+a3+a4+…+an　…(1)
(n-1)a2≦a3+a4+a5+…+an+a1　…(2)
(n-1)a3≦a4+a5+a6+…+an+a1+a2　…(3)
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　　　　　　・
(n-1)an-1≦an+a1+a2+…+an-2　…(n-1)
(n-1)an≦a1+a2+a3+…+an-1　…(n)

(1)より、a2≧(n-1)a1-a3-a4-…-an　よって、(n-1)a2≧(n-1)2a1-(n-1)a3-(n-1)a4-…-(n-1)an
(2)と合わせて、a3+a4+a5+…+an+a1≧(n-1)a2≧(n-1)2a1-(n-1)a3-(n-1)a4-…-(n-1)an
よって、a3+a4+a5+…+an+a1≧(n-1)2a1-(n-1)a3-(n-1)a4-…-(n-1)an
右辺の(n-1)の-1のかかる部分については左辺で全て消えるので、残るのは、
0≧n2a1-2na1-na3-na4-…-na

ここで式の対称性あるいはa1〜nは同じ条件なので、

0≧n2a2-2na2-na4-na5-…-na-na1
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
0≧n2an-2nan-na2-na3-…-nan-1

が求まりますが、n＝3，4の実験から、恐らくa1＝a2＝a3＝…＝anとの予測は付きます。
これらにどのような変形を施せば、推測される結論に持っていけるでしょうか？
No.2377 - 2009/03/02(Mon) 20:23:08
☆ Re: 不等式の問題 / 一ノ谷 ♂ [社会人]
ルイさん，こんにちは．一ノ谷です．

＞論理的な問題はありませんでしょうか。
大丈夫です．

ただ，一般の場合に進むための方針としては
＞ ∴a≦c
までの「１文字消去」を完全に行うべきでしょう．例えば
　c≦(a+b)/2
を (1)，(2) に適用して c を消去すると
　2a≦ b + (a+b)/2，2b≦ (a+b)/2 + a
つまり
　a≦b，b≦a　∴　a=b
で対称性より
　a=b=c
といった具合です．

同様に n=4 の場合は
　d≦(a+b+c)/3
を
　3a≦b+c+d，3b≦c+d+a，3c≦d+a+b
に適用して d を消去すると
　2a≦b+c，2b≦c+a，2c≦a+b
つまり n=3 の場合に帰着されて
　a=b=c
で対称性より
　a=b=c=d
のように，帰納法への道が開きます．

なお
＞[追記]
の(*)＋(**)＋(***)の計算は誤りですが，「不等式の辺々の和をとる」という方針は，別の簡潔な解法に繋がっていますので，上記の帰納法の証明を完成された後でお話したいと思います．
No.2391 - 2009/03/04(Wed) 11:34:39
☆ Re: 不等式の問題 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
上の証明はk＋1の場合の考え方がおかしいようなので考え直してみます。
No.2393 - 2009/03/04(Wed) 13:00:37
☆ Re: 不等式の問題 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
n＝4の時　…(★)
3a1≦a2+a3+a4
3a2≦a3+a4+a1
3a3≦a4+a1+a2
これらから
2a1≦a2+a3
2a2≦a3+a1
2a3≦a1+a2
よってa1＝a2＝a3

また、
(k-1)a1≦a2+a3+…+ak
(k-1)a2≦a3+a4+…+ak+a1
(k-1)a3≦a4+a5+…+ak+a1+a2
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　　　　　　・
(k-1)ak≦a1+a2+…+a(k-1)
上の2つの式から、
(k-2)a2≦a3+a4+…+a(k-1)+a1
同様にして
(k-2)a3≦a4+a5+…+a(k-1)+a1+a2
(k-2)a4≦a5+a6+…+a(k-1)+a1+a2+a3
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・
(k-2)a(k-1)≦a1+a2+…+a(k-2)

全然、数学的帰納法の形になってはいないのですが、
k=5を代入すると、k=4の場合になり、(★)よりa1=a2=a3　よってk=5でa1=a2=a3
k=6を代入すると、k=5の場合になり、上のことからa1=a2=a3
k=7を代入すると、…と順次a1=a2=a3となるのは示せているとは思います。
数学的帰納法で正しく記述するにはどうすればよいでしょうか。
No.2394 - 2009/03/04(Wed) 13:29:15
☆ Re: 不等式の問題 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
↑編集・追記ばかりですみません。

具体的に疑問なのは、n=kの時、○○が成り立つと仮定する　と書きますが、一体何を仮定すればいいのかが分からないと言うことです。

もし、そこでn=kの場合で、akの消去をすると、n=k-1の場合に一致することを示しておけば、n=10はn=9に、n=9はn=8に、n=8はn=7にとなり、最終n=3になりa1=a2=a3(∴=a4=a5=…)という結論には持っていませんでしょうか？
No.2395 - 2009/03/04(Wed) 13:59:13
☆ Re: 不等式の問題 / 一ノ谷 ♂ [社会人]
こんばんは．さて，ご承知の通り，帰納法の要は
　kステップ目での成立を(k-1)ステップ目での成立に帰着させること　…（☆）
にあり，これが可能なら，あとは自動的に最初のステップまで繰り下がってくれる（←数学の内部の働きなので，ルイさんが列挙する必要はありません）ので，（☆）および，最初のステップでの成立を確かめておけば，任意のステップでの成立の証明になります．

従って，ルイさんは既に最初のステップ n=3 での成立を示し（☆）も書き込まれているので，証明は完成しているわけです．

なお
＞ ○○が成り立つと仮定
の○○は
「n個の数のどれもが他のn−1個の相加平均より大きくないならば，そのn個の数は相等しい」
とすればよいでしょう．

以上，判り難い点があればご遠慮なくどうぞ．
No.2399 - 2009/03/04(Wed) 21:10:23
☆ Re: 不等式の問題 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
こんばんは。

テストで、

n=3のとき
2a1≦a2+a3
2a2≦a3+a1
2a3≦a1+a2
これらからa1=a2=a3

n=kのとき
(k-1)a1≦a2+a3+…+ak
(k-1)a2≦a3+a4+…+ak+a1
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　　　　　　・
(k-1)ak≦a1+a2+…+a(k-1)
上の2つの式からakを消去すると、
(k-2)a2≦a3+a4+…+a(k-1)+a1
(k-2)a3≦a4+a5+…+a(k-1)+a1+a2
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・
(k-2)a(k-1)≦a1+a2+…+a(k-2)

これはkをk-1と置き換えたものに一致する。

以上のことから、任意の自然数nに対してa1=a2=a3

式の対称性からa1=a2=a3=…=an

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

とかけば点数はもらえますか？
No.2400 - 2009/03/04(Wed) 22:14:25
☆ Re: 不等式の問題 / 一ノ谷 ♂ [社会人]
＞ 以上のことから、任意の自然数nに対してa1=a2=a3
＞ 式の対称性からa1=a2=a3=…=an

そのように述べるのであれば，先の
＞ ○○が成り立つと仮定
の○○は
「n個の数のどれもが他のn−1個の相加平均より大きくないならば，そのn個のうちのどの3個も相等しい」
とすべきでしょう．この理解のうえであれば何の不備もありません．

次回は明晩となりますこと，ご了承ください．
No.2401 - 2009/03/04(Wed) 23:48:40
☆ Re: 不等式の問題 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
そう考えて、書きました。
※n=3の場合の結論までの過程が乱暴でしたが、実際にはきちんと書きます。
内容的にもシンプルで、直感でも分かる問題なのに、記述しにくいですね…
No.2402 - 2009/03/05(Thu) 00:18:42
☆ Re: 不等式の問題 / 一ノ谷 ♂ [社会人]
確かに上記の帰納法による証明は「変数の個数を減らす」という自然な着想に従うもので，必ずしも最短の道ではありません．実際，予告したように「不等式の辺々の和をとる」ことによる簡潔な証明があります．

例えば，ルイさんの最初の書き込みの（１）（２）（３）の辺々の和をとると
　2(a+b+c)≦2(a+b+c)
を得ますが，これは等式であり「＜」にはなりません．従って（１）（２）（３）のどの1つも「＜」にはならず
　2a=b+c，2b=c+a，2c=a+b
あとはそれぞれの辺々に a，b，c を加えれば
　3a=3b=3c=a+b+c
となります．

或いは，条件の対称性より a≦b≦c 従って
　a≦c　…（４）
　b≦c　…（５）
としてよく，（４）（５）の辺々の和，および，（３）より
　2c≦a+b≦2c
これは等式ですから（４）（５）も等式であることが判りますね．
No.2405 - 2009/03/05(Thu) 19:49:05
☆ Re: 不等式の問題 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
解き方によって時間差のつく問題でしたね。
ありがとうございました！
No.2414 - 2009/03/08(Sun) 13:36:40
★ ４次方程式 / みなみ ♂ [東海] [再受験生]
　こんにちは。どうしても分からないのでどなたか宜しくお願いします。４次方程式が３つの異なる解を持つ」ための条件設定はどうしたらいいのでしょうか。どなたかお分かりの方がみえましたらご指導願えれば幸いです。
No.2406 - 2009/03/05(Thu) 20:46:07
☆ Re: ４次方程式 / みなみ ♂ [東海] [再受験生]
　追伸、
　ｘ’２＝ｔ　とおいて二次方程式にして判別式で設定できるかと思いましたが３個という中途半端な数なので行き詰りました。
No.2407 - 2009/03/05(Thu) 20:58:40
☆ Re: ４次方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんみ．ＣＯＲＮＯ です．

＞４次方程式が３つの異なる解を持つ」ための条件設定はどうしたらいいのでしょうか。
　これでは答えようがありません．
　具体的に，今悩んでいる問題を書き込んでください．
　その上で，どこまではできて，どこでどうわからないのかを，できるだけ詳しく書き込んでください．

　一応言っておくと，「１点で接し，２点で交わる」場合ですが，これでわかりますか？
No.2408 - 2009/03/05(Thu) 21:42:41
☆ Re: ４次方程式 / みなみ ♂ [東海] [再受験生]
　すみません。x'4-aX'2-a+1=0　が３つの実数解を持つ条件を考えていました。X'2=t　とおいて二次方程式にして考える問題と思うのですが、判別式と解と係数の関係で２つとも正なら４つの解。異符号なら２実数解と２虚数解。でも、３つと言われると行き詰まりました。
No.2409 - 2009/03/05(Thu) 21:52:22
☆ Re: ４次方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞X'2=t　とおいて二次方程式にして考える問題と思うのですが、
　そうすると，
　　　ｔ^2−ａｔ−(ａ−１)＝０
　となり，
　　　ｔ＝｛ａ±√(ａ^2＋４ａ−４)｝/２
　ですから，これから ｔ を考えるのはちょっと大変でしょう．

　で，数学３を履修していますか？
　していなければ，
　　　ｆ(ｘ)＝ｘ^4−ａｘ^2−ａ＋１
　とおいて，ｆ(ｘ) の増減表（とグラフ）をかいて考える方がベターと思います．
　ただし，ａ についての場合分けが必要のようです．
No.2410 - 2009/03/05(Thu) 22:33:30
☆ Re: ４次方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
あっ，と

＞　ｔ＝｛ａ±√(ａ^2＋４ａ−４)｝/２
＞ですから，これから ｔ を考えるのはちょっと大変でしょう．

と書いてしまいましたが，
この解が異なる２つの負でない実数解であり，一方が０であれば条件を満たしますね．

ところで，答えは ａ＝１ でいいんですよね？
No.2411 - 2009/03/05(Thu) 22:39:51
★ (No Subject) / nakata ♂ [東海] [社会人]
はじめまして　独学で問題を解いていて理解できずに困っています中田と申します。

問題は標準問題精講１Aの票問５４　部屋割の問題です。

　男子5人と女子4人がいる。この9人が、次のように3人づつA、B、Cの3部屋に入る方法は何通りあるか？
１）３部屋のうち1部屋には女子だけが入る。
２）各部屋に女子が少なくとも一人入る。
３）女子が2人づつ2部屋に別れて入る。　

１の答えには
Aに入る3人の女子の決め方が4Ｃ3通り、残り6人からＢに入る3人の決め方は6Ｃ3通り
3人の女子がＢＣに入る場合も同じであるので、これが3通り
よって３×4Ｃ3×6Ｃ3＝２４０（通り）　とあります。

解らないのは「3人の女子がＢＣに入る場合も同じであるので、これが3通り」の1文で、
この場合分けられているのは人なので、残りの2組も区別できるものとして考えて、３！通りにならないのかということです。3通りであると、女子が3人入っていない他の2組は、区別できないものとして考えられてしまうのでしょうか？正直混乱してしまっています。

つたない文章で申し訳ございませんが、宜しくお願い致します。
No.2380 - 2009/03/03(Tue) 16:24:42
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
中田さん，こんばんは．独学で頑張っていらっしゃって頭が下がる思いです．
一助となれればと思います．

さて中田さんは，
（あ）６人を３人ずつの組A,Bに分ける
（い）６人を３人ずつの２組に分ける
の違いをお分かりでしょうか？
これが分かると，疑問点も解決できます．
レスよろしくお願いいたします<(_ _)>
No.2381 - 2009/03/03(Tue) 18:09:58
☆ Re: / nakata ♂ [東海] [高校１年生]
londontraffic様　返信ありがとうございます。

（あ）６人を３人ずつの組A,Bに分ける
（い）６人を３人ずつの２組に分ける

（あ）に関しましては、ＡＢとラベル付けされているので、区別されていると考え、
6Ｃ3×3Ｃ3＝20通り
（い）に関しましては2組に区別がないので、20を２！で割って10通りでしょうか

上の問題の場合は（１）女子のみが入る組（２）女子が少なくとも一人入る組（３）女子が2人づつ2部屋に別れて入る組　を区別ができる組として捉えなさいという題意なのでしょうか？

早合点していたらすみません。
No.2383 - 2009/03/03(Tue) 18:54:04
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
>（あ）に関しましては、ＡＢとラベル付けされているので、区別されていると考え、
>6Ｃ3×3Ｃ3＝20通り

はい．バッチリですね！
これを踏まえると
>Aに入る3人の女子の決め方が4Ｃ3通り、残り6人からＢに入る3人の決め方は6Ｃ3通り
この時点でA【女子３人】，BとCは区別して4Ｃ3×6Ｃ3通り
になります．あとは「A【女子３人】」とBやCで考えて（【女子３人】の部屋の選び方は）３通りなので
>よって３×4Ｃ3×6Ｃ3＝２４０（通り）　とあります。
になるのですが．

どうですか？
No.2384 - 2009/03/03(Tue) 19:57:51
☆ Re: / nakata ♂ [東海] [社会人]
すみません、まだ混乱中です
（い）に関しては考え方は大丈夫だったでしょうか？すべてが区別のある組と考えた場合、Cで考え、区別できないもの（同数のものからなる組等）の階乗で割って何通りかを算出するというものと理解していたのですが･･･

そもそも私の解釈の方向が違っているのかもしれないと思い始めました。
No.2387 - 2009/03/03(Tue) 22:57:51
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
言葉足らずで申し訳ありませんでした．
（い）も勿論okです．

>すべてが区別のある組と考えた場合、Cで考え、区別できないもの（同数のものからなる組等）の階乗で割って何通りかを算出するというものと理解していたのですが･･･
その通りなのですよ．だから4Ｃ3×6Ｃ3で（2!でわらないから）区別になります．

どうでしょう？
No.2396 - 2009/03/04(Wed) 18:25:03
☆ Re: / nakata ♂ [東海] [社会人]
毎回お返事ありがとうございます

元の問題の場合３つのグループに分けられるので、階乗で割る必要はないということでしょうか？

今混乱中の事柄を整理すると
１）区別付く場合はＣの積のみで何通りかを算出できる。全て区別付くのならＡＢＣの場合は３！になってしまうのではないか？という事ですね。ＡＢＣ　ＡＣＢ　ＢＡＣ　ＢＣＡ
ＣＡＢ　ＣＢＡという具合ですね。
　３通りの場合女子がＡの時、他はＢでもＣでも構わないっていう所が理解しきれていないのだと思いますが？
No.2398 - 2009/03/04(Wed) 20:22:18
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
>１）区別付く場合はＣの積のみで何通りかを算出できる。
そうですね．今回はA,B,Cという名前が付いていますので区別しなくてはならないし，その方針です．

>３通りの場合女子がＡの時、他はＢでもＣでも構わないっていう所が理解しきれていないのだと思いますが？
私の読解力不足で，この部分で中田さんがどの様なことを私に伝えたかったのか良くわからないのですが，
一番最初のカキコの
>解らないのは「3人の女子がＢＣに入る場合も同じであるので、これが3通り」の1文で、
だと思って続けます．

例えばa,b,cの３人をA,B,Cの３室に１人づつ入れる方法は，3!=6通りです．これを組み合わせを利用してやってみます．
まず，aがAに入るとします．次にbが入る部屋の選び方は2C1でcは残りの部屋に入ります．
これで 1×2×1=2通りです．aが入る部屋の選び方はAとは限らず，B,Cの場合もあるので全部で３通り．ゆえに2×3=6通り

これと同じように考えてもらえたらいいのですが，どうでしょう？
No.2404 - 2009/03/05(Thu) 07:03:39
★ 軌跡の問題です。 / 隼人 ♂ [九州] [高校１年生]
こんにちは。
放物線y=x^2と直線y=m(x−1)は異なるP,Qで
交わっている。

(1)定数mの値の範囲を求めよ
(2)mの値が変化するとき、線分PQの中点Mの軌跡を求めよ

(1)は自力で解けました。
分からないのが、(2)です。

まず自分は、P,Qのx座標をそれぞれα、βとおいて、
中点の座標を(X,Y）とおいて
X＝(α＋β)/2　Y=m(X−1)で解と係数の関係で

X=m/2 Y=m^2−m までは分かったんですが、
ここからどうすればいいのか分かりません。
教えてください。
No.2378 - 2009/03/03(Tue) 12:52:41
☆ Re: 軌跡の問題です。 / 隼人 ♂ [九州] [高校１年生]
誰か解説お願いします。
No.2389 - 2009/03/04(Wed) 03:43:16
☆ Re: 軌跡の問題です。 / londontraffic [教育関係者]
隼人さんこんばんは．レス遅くなってすいません．
まず

>X=m/2 Y=m^2−m までは分かったんですが、
ここですが，私が計算したらX=m/2 Y=(m^2)/2−mとなりました．
私のミスかもしれないので，確認お願いします．

次に媒介変数（この言葉，授業で習っていませんか？）であるmはXとYを繋ぐ大切な役割を果たしています．ただ，残念ながら軌跡を求める時にこのmを残してはいけないのです．
つまり，関係式からmを消す作業をすればいいのです．

例えば連立方程式
・y=2x
・3x+y=5
を解くとき，加減法でもできますが代入法でも解けますよね．
今回は代入法を利用すると，mを消すことができます．

どうですか？
No.2397 - 2009/03/04(Wed) 18:48:58
★ 数学的帰納法による推定一般項が正しいことの証明 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
こんばんは！！！題名の通りのことで、質問があります。

とても簡単な例題を自分で拵えたので、それを使って質問させていただきます。

【自作例題】
a[1]＝2、漸化式a[n＋1]＝2a[n]とで定められる数列{a[n]}の一般項はa[n]＝2nであることを数学的帰納法を用いて証明せよ。

ここで質問さえていただきたいのは、論理の面です。

まず、

ステップ1
n＝1とすると、a[1]＝21＝2となりこれは条件より成立する。

ステップ2
n＝kの時、a[k]＝2k　…(1)が成立すると仮定する。
すると、kをk＋1に置き換えて、a[k＋1]＝2k＋1　…(2)も成立する。
(1)と(2)の関係は、与えられた漸化式の関係、つまりa[k＋1]＝2a[k]を満たす。

以上より、一般項a[n]＝2n

★論理の面で問題はないでしょうか？
No.2334 - 2009/02/25(Wed) 21:09:13
☆ Re: 数学的帰納法による推定一般項が正しいことの証明 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
kは自然数です。
No.2335 - 2009/02/25(Wed) 21:12:22
☆ Re: 数学的帰納法による推定一般項が正しいことの証明 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
ルイさん，こんにちは

> すると、kをk＋1に置き換えて、ak＋1＝2k＋1　…(2)も成立する。

この部分がおかしいです，
仮定したのは ak＝2k だけですので
k＋1のとき成立するとはいえません

ak＋1＝2k＋1 が成立することを証明するために
漸化式を用いなければなりません。
No.2341 - 2009/02/26(Thu) 11:07:48
☆ Re: 数学的帰納法による推定一般項が正しいことの証明 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
なんか、明らかにおかしなことを質問してしまいましたね…
おかしいのは当たり前でした
すみませんでした。
No.2375 - 2009/03/02(Mon) 19:25:39
★ 高次方程式の問題です / 隼人 ♂ [九州] [高校１年生]
こんにちは。
高校一年生の隼人といいます。
今数?Uの工事j方程式をやっているんですが、
分からない問題があるのでお願いします。

三次方程式x^3−2x^2＋x＋3＝0の三つの会を
α、β、γとするとき、次の式の値を求めよ。
(1) α＋β＋γ　αβ＋βγ＋γα、αβγ
(2)α^2＋β^2＋γ^2
(3)α^3＋β^3＋β^3
(4)(α＋β)(β＋γ)(γ＋α)

(1) (2) (3)のすぐに解けたんですが、
(4)が分かりません。
解答では、与式＝(x−α)(x−β)(x−γ)に
x＝2を代入していました。

分かりません。教えてください。
（ちなみに与式＝(x−α)(x−β)(x−γ)は分かります)
No.2371 - 2009/03/01(Sun) 15:59:38
☆ Re: 高次方程式の問題です / ウルトラマン [教育関係者]
隼人さん，こんばんわ。

(1)〜(3)は解けたとの旨ですので，3次方程式の解と係数の関係は理解できているものとしてご説明させていただきます。
-----------------------------
与式＝(x−α)(x−β)(x−γ)
にx＝2を代入して，・・・・
-----------------------------
の部分が理解できないということですが，これはこういう意味です。

解と係数の関係より，
α＋β＋γ＝2
だから，
α＋β＝2−γ，
β＋γ＝2−α，
γ＋α＝2−β
となります。よって，
（与式）＝(2−γ)(2−α)(2−β）……(☆)
＝……
となることについてはOKでしょうか？

(☆)の式は，まさしく(x-α)(x−β)(x−γ)にx＝2を代入した結果となっていますね？
あとは，(☆)の式を展開して計算すればよいかと思います。

以下，ちょっとやっていただけますでしょうか？
No.2372 - 2009/03/01(Sun) 16:14:52
☆ Re: 高次方程式の問題です / 隼人 ♂ [九州] [高校１年生]
解けました！
丁寧な回答ありがとうございました。
また機会があったら、よろしくお願いしますm(_ _)m。
No.2373 - 2009/03/01(Sun) 21:54:37
★ (No Subject) / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
お世話になります。
スレッド乱立気味のミソスープです。
近くに数学に長けている人がいないので、この場所がとてもありがたいです。

12人を4にんずつ3組に分ける場合の数の問題で
これは単純に
12C4×8C4×4C4
で、組の区別がないので3!で割るのですが、例えば
１組　（A君B君C君D君）
２組　（A君B君C君D君）
３組　（A君B君C君D君）
といったようなパターンでそれぞれが重複しているので、
単純に３で割ってもいいように思うのですけど、
それではなぜだめなのでしょう？
No.2353 - 2009/02/27(Fri) 21:07:33
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
こんばんわ。
教える側も勉強になることが多いです。お互い精進していきましょう。

さて、ここでおそらくポイントになるであろうことをいきなり確認します。
なぜ、３！で割るんでしょうか。
そもそも、３！ってなんなんでしょうか。
これを考えれば解決しそうですね。

３！ってどんなときに使いますか？
No.2354 - 2009/02/27(Fri) 21:10:10
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
3!は順番の総数です。123、ABCなどのの並び方の総数を数える時に必要です。
123なら123,132,213,231,312,321の6通りあり、総数は3!と同じです。
ただ、
１組　（A君B君C君D君）
２組　（A君B君C君D君）
３組　（A君B君C君D君）
の組の区別を無くすなら何となくですが、やはり3！で割らないといけないような気がします。だけど、なんとなくって言うだけで説明できないし、3がなぜダメなのかも説明できないんです。。。
No.2364 - 2009/02/28(Sat) 12:34:32
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
よいですね。

では、「組の区別をなくす」ために、言い換えると「重複しているものをまとめて１つとして数え直す」ために、３！で割る理由、そして３で割ってはいけない理由を考えましょう。

お考えの
【Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ】
の４人がいる組を考えましょう。
これが１組、２組、３組にいる、と考えれば３通りありそうです。
でも、今回は全部で１２人いることになっていますね。
残りの８人についても考えてあげないと不公平です。その点をどう考えますか？
No.2365 - 2009/02/28(Sat) 14:51:09
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
第1組が【Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ】の場合
1組（A君B君C君D君）2組（E君F君G君H君）3組（I君J君K君L君）
後ろの2組、3組の入れ替えが可能です

第2組が【Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ】の場合
1組（E君F君G君H君）2組（A君B君C君D君）3組（I君J君K君L君）
最初と最後の組の入れ替えが可能です

第3組が【Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ】の場合
1組（I君J君K君L君）2組（E君F君G君H君）3組（A君B君C君D君）
最初と次の組の入れ替えが可能です

盲点でした。。。
つまり、僕は（A君B君C君D君）の組ばかりに注目して、
（A君B君C君D君）（E君F君G君H君）（I君J君K君L君）の組み合わせの数を思い浮かばなかったんですね・・・。
（A君B君C君D君）（E君F君G君H君）（I君J君K君L君）たちが
1組に入る組の数は3通り、2組に入る組の数は2通り、1組に・・・
ということで3!なんすね。

それにしても、順列組み合わせは鬼門だなぁ・・・。
この分野は特に考え方が、頭の使い方が数学1とは違って苦手です。
結構つまらないことでつまずいてますけど、
逐一気にしても埒が明かないから、無視してどんどん反復練習するべきですか？
No.2367 - 2009/02/28(Sat) 22:31:56
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
そうですね。
言い換えると「分けた３組の並べ替え」が３！通りあるのですね。
大事なことは先にも示しましたが
「全部公平に考えてあげないといけない」
ということです。これはこの問題に限らず必要、あとで確率に発展させても必要な考え方なので意識しておいてください。

＞それにしても、順列組み合わせは鬼門だなぁ・・・。
＞この分野は特に考え方が、頭の使い方が数学1とは違って苦手です。
＞結構つまらないことでつまずいてますけど、
＞逐一気にしても埒が明かないから、無視してどんどん反復練習するべきですか？

確率の問題は問題ごとに設定が明確なだけに、演習によっていろいろな経験を積んでおくことも大切ですが、反面「一般化」を意識しておかないと「やったことないことはできない」という悪い方向にも行きがちです。
演習で引っかかることはしっかり復習して「考え方」の芯の部分をつかむことも忘れないようにしてくださいね。
No.2369 - 2009/03/01(Sun) 02:38:29
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
ありがとうございました。
No.2370 - 2009/03/01(Sun) 14:10:02
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