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★ 一橋大学過去問 / saki ♂ [高校１年生]
初めまして！

学校の宿題で出されたのですが
どうしても解けません。
一橋大学の過去問です。

１，２，３，４が１つずつ記された４枚のカードがある。
これらのカードから１枚を抜き出し元に戻すという試行をn回繰り返す。
抜き出したn個の数の和をXnとする。
このとき、Xｎ≦n+3となる確率をnで表せ。

ちなみにまだ高１ですので
数１Ａしか終わってないので、数１Ａの知識で解けるような
解法を教えていただければ幸いです。

自分では
Xn=nのとき、n回全てが１
Xn=n+1のとき、n-1回１で、１回だけ２
Xn=n+2のとき、n-1回１で１回だけ３か、n-2回１で２が２回
Xn=n+3のとき、n-1回１で１回だけ４か、n-2回１で２，３が１回ずつか、n-3回１で２が３回
これを式化すれば良いんじゃないのかなぁ。と思うのですが
上手くまとめることができません；；；

お願いします。
No.2358 - 2009/02/27(Fri) 23:21:01
☆ Re: 一橋大学過去問 / kinopy [塾講師]
sakiさん，はじめまして。kinopyです。

最近，一橋の問題を解いて検討する。という遊び(?)を仲間の先生方とやってまして，ちょうど自宅にこの問題を解いたノートがありました^^

>これを式化すれば良いんじゃないのかなぁ。と思うのですが
おおまかなところはsakiさんの考えと私と全く同じです。
X=nのとき，X=n+1のとき，…を一つ一つ出来るところまでで結構ですから式に直して書き込んでください。

もし，最後まで行けたならこれらは排反ですので全て加えればいいですね。
No.2362 - 2009/02/28(Sat) 06:05:35
☆ Re: 一橋大学過去問 / saki ♂ [高校１年生]
レスありがとうございます。

Xn=nのとき、（1/4）^n
Xn=n+1のとき、nC1×（1/4）^{n-1}×（1/4）
Xn=n+2のとき、nC1×（1/4）^{n-1}×（1/4）+nC2×（1/4）^{n-2}×（1/4）^2
Xn=n+3のとき、nC1×（1/4）^{n-1}×（1/4）+2×nC1×（1/4）^{n-2}×（1/4）+nC3×（1/4）^{n-3}×（1/4）

とりあえず自分の思うままに式を立ててみましたが
やはり混乱して上手く理解できません；；；
どうでしょうか？
No.2363 - 2009/02/28(Sat) 08:43:14
☆ Re: 一橋大学過去問 / kinopy [塾講師]
こんばんは。

そこまで正しいですよ^^

これらを全て加えればOKです。
(1/4)^nでくくって足し算してください。
No.2368 - 2009/03/01(Sun) 00:07:56
★ 関数 / あや ♀ [近畿] [浪人生]
こんにちわ！
入試問題なのですが、
お願いします！

関数f(x)=(3^x+3^-x)/2　について、次の問いに答えよ。
(1)常に、f(x)≧1が成り立つことを示せ。
これは相加相乗平均をつかってあらわしました。

(2)１以上の定数Kに対し、方程式f(x)=Kを解け。
これはx=log3{K+√(K^2-1)}　（K≧1）でいいのでしょうか？

(3)性の定数aに対し、方程式f(x)=2{f(a)}^2-1の正の解を求めよ。
これは全く手が出ませんでした。


よろしくお願いします。
No.2352 - 2009/02/27(Fri) 14:07:05
☆ Re: 関数 / あや ♀ [近畿] [高校１年生]
すみません!(3)性→正です；
No.2357 - 2009/02/27(Fri) 23:08:11
☆ Re: 関数 / kinopy [塾講師]
あやさん，こんばんは。久々の回答のkinopyです(^_^;)

まず，(1)はOKです。
(2)ですが，同時に3^{x}=K-√(K^2-1)という解が出てきたと思いますが，これは解にならないのでしょうか？

続けて(3)です。
(3)は，(2)のKの所が2{f(a)}^2-1に変わっただけですね。
logをいちいち書くのは面倒なので，(2)の解の式のややこしいところ，つまり√(K^2-1)のKに2{f(a)}^2-1を代入して結果を書き込んでいただけますでしょうか。

よろしくお願いします。
不明なところは再質問してくださいね。
No.2360 - 2009/02/28(Sat) 05:54:06
★ (No Subject) / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
こんにちわ。
二項定理についての素朴な質問です。
初歩的すぎて、書き込むことを躊躇ったのですが、気になって仕方がないので・・・。

（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）の場合、
aに着目することにより、a^3・b^2の係数は5C3で求められるのですけど、
なぜこの場合、bは無視されているのでしょう。

a a a 未定　　未定
　 ↑　　　↑　　　↑　　　↑　　　↑
（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）

となり5C3×5C2でもいいような気がするのですけど。。。
No.2344 - 2009/02/26(Thu) 20:37:55
☆ ズレ修正 / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
ずれ修正です
　　a　　　 a　　　 a　　 未定　　未定
　 ↑　　　↑　　　↑　　　↑　　　↑
（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）
No.2345 - 2009/02/26(Thu) 20:40:31
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ でございます．

＞なぜこの場合、bは無視されているのでしょう。
　それは，ａ を３つとったならばあと２つの ｂ は自動的に決まるので，無視してよいのです．
　冷えたミソスープさんの例の場合，ａ を最初の３つのかっこからとりました．
　もう，残りの ｂ は後ろのかっこからとるしかありません．
　つまり，２つの ｂ のとり方は１通りです．
　したがって，
＞となり5C3×5C2でもいいような気がするのですけど。。。
　ではありません．
　5Ｃ3×2Ｃ2 です．

　どんなもんでしょうか？
No.2347 - 2009/02/26(Thu) 20:55:06
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
素早いお返事ありがとうございます。
ピカーンと解りましたｗ
aを5項から3つ選コンビネーションは5C3

　　a　　　 a　　　 a　　
　 ↑　　　↑　　　↑　　
（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）

残りのbは残り2項から取る

　　b　　　 b　　　
　 ↑　　　↑　　　
（a＋b）（a＋b）

より、2C2で1通り。

ですね。

気がついたらなんでもない盲点ですけど、なかなか一人では気がつかないものですね。
ありがとうございました。
No.2348 - 2009/02/26(Thu) 21:52:59
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
ドモです．

＞ピカーンと解りましたｗ
　いいですね，この「ピカーン」という表現．
　こういう理解力を，担当している生徒たちに期待しているんですが…
No.2349 - 2009/02/26(Thu) 21:56:31
★ (No Subject) / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
数学検定準一級を目指す社会人（通信制大学在学）です。目標達成までにはまだまだ時間と努力が必要ですが、投げ出さずにこつこつ励んでいきたいと思っています。
今は数学?T・Ａの全体像を掴んだくらいの段階です。
今後も理解できないことがあれば、お力を貸ししていただくことになると思いますので、どうかよろしくお願いします。
このようなテキスト形式で数式を書くのは表記が難しく、誤解を招く恐れがあるので、お絵かきソフトで問題文と自分なりの解答を書いて載せました。
お願いします。
No.2201 - 2009/02/12(Thu) 23:42:49
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんばんは。河童です。

ユニークなお名前ですね＾＾
おっしゃるとおり、投げ出さずにこつこつ励めば、数学検定合格までの道のりも、
すぐに、スープの冷めない距離になると思います。
頑張ってください。

さて、判別式から導かれた?Aの式

p ( - 3 p + 4 ) ＜ 0

ですが、ここまではいいのですが、この式から、

0 ＜ p ＜ 4/3

と結論された部分が間違いなんですね。
おそらく冷えたミソスープさんは、不等号の向きで、結果を記憶されているのだと思います。
では、この?Aの不等式の左辺のカッコの中から、マイナスを外に出すとどうなりますか？
No.2204 - 2009/02/13(Fri) 01:19:13
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
?Aの不等式の左辺のカッコの中から、マイナスを外に出すと
-p（3p-4）＜0　・・・?A´

ｐ(-3p＋4)＜0　・・・?A

?A´の範囲は0＜ｐ＜4/3で?Aの範囲域とは矛盾します。
だとすれば、−4/3＜ｐ＜4/3でもいいように思うのですが、これはまだ正しい答えではありません。なぜ？

また、先生の仰る「不等号の向きで、結果を記憶されている」というのは具体的にどういうことでしょうか？（汗
No.2207 - 2009/02/13(Fri) 09:34:44
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんにちは。


＞　「不等号の向きで、結果を記憶されている」というのは具体的にどういうことでしょうか？（汗

わたしの思い違いならお許しください。
不等式が『＜０』なら２数に挟まれ、『＞０』なら２数の両側、
というふうに単純に覚えてしまっている学生が多いものですから。


＞　?A´の範囲は0＜ｐ＜4/3で?Aの範囲域とは矛盾します。

- p ( 3 p - 4 ) ＜ 0　……?A’

?Aから?A’への変形はこれでいいのですが、?A’の解は、0 ＜ p ＜ 4/3　ではなく、

p ＜ 0　または　3/4 ＜ p

です。
試しに、p に 1 を代入してみてください。
すると左辺は 1 となり、?A’を満たしませんね。

冷えたミソスープさんがこれを確認していただいたら、後の回答で、このような問題の正しい考え方を解説させていただきます。
No.2210 - 2009/02/13(Fri) 14:04:58
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
>?A’の解は、0 ＜ p ＜ 4/3　ではなく、p ＜ 0　または　3/4 ＜ pです。

おお、よく考えたらこのグラフは上に凸の「∩」のグラフになるんですね。
だったら０未満を満たす実数ｘの範囲はp ＜ 0　または　3/4 ＜ p　ですね！
てことは、p ( - 3 p + 4 ) ＜ 0　・・・?Aも?A´と同じ範囲ということかぁ。
ポンミスでした、すみません。
でも、回答にはp ＜ 0の表記はありません・・・？？？
p ＜ 0が回答に含まれない理由は何なのでしょう。



蛇足ですが、不等号の問題は不可解な点が結構ありますね・・・。
−Ｘ二乗＋Ｘ＜０を
−Ｘ（Ｘ−１）＜０
にしてはならないと参考書に書かれていましたが、なぜそれが駄目なのか見当がつきません。
No.2212 - 2009/02/13(Fri) 20:02:59
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんばんは。

＞　p ＜ 0が回答に含まれない理由は何なのでしょう

だって、冷えたミソスープさんも書いてらっしゃるじゃないですか。

p ＞ 0　……?@

って＾＾

＞　−Ｘ（Ｘ−１）＜０
＞　にしてはならないと参考書に書かれていましたが、なぜそれが駄目なのか見当がつきません

これが、わたしが言った、『不等号の向きで結果を記憶している』ということですね。
ただ単に不等号の向きで記憶してしまうと、この解を 0 ＜ x ＜ 1 としてしまうから気を付けろってことでしょうね。
でも、きちんと考えればどうってことありませんから、この形でもいっこうに構いません。

ところで、よろしければもう少しお付き合いいただきたいのですが。

冷えたミソスープさんは、

＞　おお、よく考えたらこのグラフは上に凸の「∩」のグラフになるんですね

このように、グラフで考えましたね。
もちろんそれで構わないのですが、もっと本質的な考えを理解していただきたいのです。
というのは、例えば、不等式が次のようになっていたらどうしますか？

X ( X - 1 )( X - 2 )( X - 3 ) ＜ 0

この左辺は X の４次関数ですから、数?Tの範囲ではグラフが描けませんね。
ちょっと考えていただけますか？
No.2214 - 2009/02/13(Fri) 23:19:16
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
お返事が遅れました。すみません。

＞例えば、不等式が次のようになっていたらどうしますか？
　X ( X - 1 )( X - 2 )( X - 3 ) ＜ 0・・・?@

?@をｙ＝f（X）の関数とし、
　　ｆ（０）かつｆ（１）かつｆ（２）かつｆ（３）のとき０以下になればいい
　　しかしこれらでは０＜０で明らかにおかしい。このやり方で条件立ては不可・・・。

?@の変形式
（X二乗−３X）（X二乗−３X＋２）＜０・・・?@´
「X二乗−３X」をAとする
A（A＋２）＜０

何となくですが、
ここから先が先生の言う「本質を理解してほしい」という領域ですね？

思うにこのAがくせ者なんですよね。−２＜A＜０としてはならないのは、
直感的にわかります。Aはマイナスの場合もあるから。
だとしたらこの場合分けかな？

（?@）A≧０　すなわち　X≧０　X≦３で
この条件ならA（A＋２）＜０は符号変化なしで、−２＜A＜０

（?A）A＜０　すなわち　０＜X＜３で
この条件なら上に凸の「∩」のグラフになることに注意して、
A＜−２　　A＞０　　

ここまで合ってます？
No.2221 - 2009/02/14(Sat) 15:30:29
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
ん！？
（?A）は−２以下の数だと成立しないぞ！？
なぜに・・・。
No.2222 - 2009/02/14(Sat) 15:48:30
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
X≧０　X≦３の範囲なら「X二乗−３X＋２＜０」のグラフ
０＜X＜３の範囲で「X二乗−３X＋２＞０」のグラフ
無い知恵しぼって出した結果がこれです。
No.2223 - 2009/02/14(Sat) 16:27:14
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんばんは。

わたしは、『グラフが描けないから不等式が解けない』では困るという意味で言ったのですが……
言葉足らずでしたね。

ただ、冷えたミソスープさんは、少し考えすぎのようです＾＾

X ( X - 1 )( X - 2 )( X - 3 ) ＜ 0　……★

★の不等式の左辺はすでに因数分解してあります。
つまり、４数のかけ算の形ですから、その符号は、負の数の個数で決まります。

十分大きな数を考えてみてください。
正確に言えば ３ より大きな数なのですが、そんなぎりぎりの数でなく、
例えば X が１００ ならどうでしょう。
X も X - 1 も X - 2 も X - 3 もすべて正になります。火を見るより明らかですね。
ということは、X = 100 は、この不等式の解ではない。
だって、正の数を４つ掛けても正ですもの。
では、９９ならどうか？
９８なら？
９７なら？

ぐっと近づけて、3.1 ならどうでしょうか？
もっと近づけましょうか。
3.000001 ならどうですか？
そして、ここが重要なのですが、X - 3 という数が、正から負に変わる瞬間はいつなんでしょう？
そして、X - 3 が負に変わった瞬間、他の３数の符号はどうなんでしょう？
そして、全体の符号はどうなってしまうのでしょう？
No.2229 - 2009/02/15(Sun) 02:51:17
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
X＝3.1でやって見ようと思います
3.1×2.1×1.1×0.1＜0
で、これはおかしい。
X＝3.000001 でも
3.000001×2.000001×1.000001×0.000001＜0
不可です。
負に変わる瞬間はX＜3と踏んで、
仮にX＝２で
2×1×0×−1＜0だけど、0＜0になってるから不可。
X＝−２でも−1000000でも不可。
ここまではわかります。
No.2230 - 2009/02/15(Sun) 10:09:28
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんにちは。

わたしの言い方がまわりくどかったようですね。

3 ＜ X のときは、４数 X, X - 1, X - 2, X - 3　すべてが正ですので、全体の符号も正

2 ＜ X ＜ 3 のときは、４数のうち X - 3 だけが負になりますので、全体の符号は負

1 ＜ X ＜ 2 のときは、X - 3 にくわえ X - 2 も負になりますので、つまり負の数がひとつ増えますので、全体の符号は正

と、こんなふうに、全体の符号が、正、負、正、負というように変化していくんですね。
No.2240 - 2009/02/16(Mon) 13:51:43
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
2 ＜ X ＜ 3 と1 ＜ X ＜ 2 のときXを★に代入したら全体は0になると思ったけど、
1、2、3そのものを含まないから、たとえば２．２とかもOKってことだ！
もう少し考えます・・・
No.2263 - 2009/02/18(Wed) 17:51:16
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、頑張って　く(￣Д￣)ノガンバレーーー♪
No.2268 - 2009/02/18(Wed) 23:36:26
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
お返事遅れてすいません！！！

X ( X - 1 )( X - 2 )( X - 3 ) ＜ 0　……★
この問題なんですけど、グラフが蛇みたいに変化するんでつかみどころがないです。
これって数?T範囲で処理できる問題ですか？（汗
降参です、降参。ｗ

今日、数?Uの?伯v算に突入しました。
だいぶ忘れてますわ・・・。
No.2313 - 2009/02/23(Mon) 20:09:18
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
冷えたミソスープさん、こんばんは。
返事が遅れて申し訳ありません。

どうも、最初から最後まで、グラフに拘ってらっしゃるようですね。
実は、2/16 の回答で、わたしは答えを書いているんですよ。

確かにグラフ自体は数?Tの範囲ではありませんが、数検となるとどうでしょうか……

数?UのΣに入られたとのことですが、もう少し進んで微分法をされるときに『増減表』を書く機会があると思います。
そこで、この問題に直面されるはずです。
それまでこの問題はお預けにしておきましょうか。
No.2337 - 2009/02/25(Wed) 22:56:47
☆ Re: / 冷えたミソスープ ♂ [中国] [社会人]
そうですね。その機会のときにまたお願いしますね！
勉強を始めてまだ一か月しかたってません。
目標達成まで一年でも二年でも、根気よくやっていくつもりです。

ありがとうございました。
No.2339 - 2009/02/25(Wed) 23:42:20
★ (No Subject) / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
あと、質問させていただきたいのは極限の2問だけになりました。
まずはその1つ目です。用意した図の上のような問題が、4STEPという問題集にありました。それは解けたのですけれど、そこで下の図のように限りなく敷き詰めていけば充填率はどうなるのか？という疑問が沸きました。

直感としては100%になりそうなんですが、円の面積の総和では、半径の比が実数比で表されるならπが残ってしまいますが、三角形の面積にはπは登場しませんから、充填率100％にはならないことに気づきました。

そこで実際に計算してみました。

中央の内接円の半径をrとします。その面積はπr2
次の小さい円の半径はr/3、その次はr/9というように公比1/3です。
n番目に大きい円の半径はr/3n−1で、その面積はπ(r/3n−1)＝πr2(1/9n−1)です。
またn番目に大きい円は図より、3n−1個あるのは明らかです。
よってn番目に大きい円までの面積の総和は、
1×πr2×1/1＋3×πr2×1/9＋9×πr2×1/81＋…＋3n−1×πr2×(1/9n−1)となると考えました。
3n−1と(1/9n−1)を計算して、公比が1/3であることが分かります。

n番目に大きい円だけの面積の総和Sn＝πr2(1/3n−1)

これを限りなく行うと、その全ての円の総和は、公比1/3、初項πr2の無限等比級数ですから、その和は公式により、S＝πr2/(1−1/3)＝3πr2/2

となりました。今度は正三角形の面積を求めます。高さ3r、底辺(2√3)rだから、その面積は(3√3)r2です。

よって充填率は、100π/2√3(％)です。π≒3.14、√3≒1.73とすれば、約88.2％となるのですけれども、こんなに低いものなのでしょうか？予想では100％近くだと思っていたのですが…どこか間違ってませんでしょうか？
No.2260 - 2009/02/18(Wed) 17:38:42
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
図です。
No.2261 - 2009/02/18(Wed) 17:39:23
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
そもそも9個の黄色の円が合同ではないのでしょうか？
No.2262 - 2009/02/18(Wed) 17:43:34
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
ルイさん，こんにちは．一ノ谷です．

問題を発展させる姿勢は非常に大切ですが，設定を少し変えただけで格段に難しくなることが数学ではよくあります．

＞ そもそも9個の黄色の円が合同ではないのでしょうか？

その通りです．赤色の円の半径を s とおき，赤色，青色の両方と接する黄色の円の半径を t とおくと
　1/√{t} ＝ 1/√{r} ＋ 1/√{s}
となることが3平方定理から判りますから，これに s=r/3 を代入すれば t≠r/9 が確かめられます．

また，次のステップの27個の円のうち6個は，それぞれ3個の円に外接しますが，そのような円の半径を x，外接する3円の半径を a，b，c とおくと
　1/x ＝ 1/a ＋ 1/b ＋ 1/c ＋ 2√{ 1/(ab) ＋ 1/(bc) ＋1/(ca) }
となることも初等的に示せます．ただし，ステップが進むと外接する3円の組合せが複雑になることは明らかでしょう．

さらに，根本的な点を申し上げるなら，一般に
「ＡがＢの部分集合で，それらが同じ面積を持つとしても，Ａ＝Ｂとは限りません」
ので，たとえ円の面積の総和が3角形の面積と一致しても，埋め尽くしていることの証明にはならないわけです．

以上，否定的な面ばかり書きましたが，反復して図形を詰めて（または取り去って）いった極限は，学問としての数学においても研究の対象とされるもので，時間があれば「フラクタル図形」などのキーワードで検索してみるのもよいかと思います．
No.2274 - 2009/02/19(Thu) 15:43:32
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
こんばんは。根本的に間違っていたようですね(汗

しかし1つ疑問があります。
＞ＡがＢの部分集合で，それらが同じ面積を持つとしても，Ａ＝Ｂとは限りません
とのことですが、全ての円は、この操作の上で三角形からはみ出ることもなく、互いに重なることもないのにどうして円の面積の総和と三角形の面積が一致しても埋め尽くしている証明にはならないのでしょうか？
No.2293 - 2009/02/21(Sat) 20:29:56
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
＞ＡがＢの部分集合で，それらが同じ面積を持つとしても，Ａ＝Ｂとは限りません

このような例は，ｘｙ平面上の
　Ａ：０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜１　Ｂ：０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１
など幾らでもありますね.
No.2295 - 2009/02/21(Sat) 22:51:08
☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
わけに分からない質問に付き合ってくださり、ありがとうございました。

＞　Ａ：０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜１　Ｂ：０≦ｘ≦１，０≦ｙ≦１　は確かにそうですね・・・
No.2333 - 2009/02/25(Wed) 20:59:36
★ 確率 / みゆう ♀ [近畿] [再受験生]
こんにちは。
ニューアクションの確率の問題です。二つの問題の違いについて教えてください。

【問１】１から６までの目からなる３つのさいころを同時に投げ、出た目の数をa,b,cとするとき、xの２次方程式ax^2+bx+c=0が重解をもつ確率を求めよ。

という問題では、判別式を使って、b^2=4acを満たすa,b,cの組み合わせを考え、
(a,b,c)=(1,2,1)(1,4,4)(4,4,1)(2,4,2)(3,6,3)の５通りを出し、
5/216と答えを出しましたが、

【問２】さいころを３回振り、出た目の数をa,b,cとする。a,b,cが二等辺三角形の３辺の長さとなり得る確率を求めよ。

という問題では、まず、1≦a≦b≦c≦6とおき、a,b,cが三角形の３辺の長さであることから、c＜a+b…?@と条件を作る。これが二等辺三角形となるには、a=bまたは、b=cの場合である。そして、一つ目の場合分けの計算のところで、
（ア）a=bかつb≠cのとき
?@はc＜2aとなり、これを満たすa,b,cの組み合わせは、
(a,b,c)=(2,2,3)(3,3,4)(3,3,5)(4,4,5)(5,5,6)と６通り出ます。
そして、この次なのですが、なぜ、

目の出方の場合の数は、3!/2!×6=18通り

となるのですか？せっかく、a,b,cの組み合わせを出したのに、なんでまた(2,2,3)などの並び方を考えなくてはならないのかなぁと疑問に思っています。
【問１】のように、６通りのまま、計算を進めると答えが合いませんでした。

説明が分かりづらいかもしれませんが、教えてくださいm(_ _)m
No.2287 - 2009/02/21(Sat) 16:35:37
☆ Re: 確率 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．

　はじめにに
＞まず、1≦a≦b≦c≦6とおき、
　ですが，これは考えやすくするために仮に定めたもので，
　実際には，ｃ＜ｂ＝ａ などということがあるかもしれません．
　必ずしも ｃ が一番大きいということを断定はできません．
　この点はいいでしょうか．

　次に，みゆうさんは次のフレーズを聞いたことはありますか．
　　「『確率』では，個々のものを区別して考える」

　この２つでまだよくわからなければ，また書き込んでください．
　もし，何か考えついたことがあれば，それも書き込んでください．
No.2292 - 2009/02/21(Sat) 20:26:11
☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [再受験生]
ＣＯＲＮＯ先生、こんばんは。

ということは、1≦a≦b≦c≦6は、あくまで私が勝手に決めた条件であるのに対して、
【問１】のax^2+bx+c=0は、aはx^2の係数、bはxの係数、cは定数と固定されているから、
組み合わせを出した後に、並び替えてはいけない、ということでしょうか…？

＞次に，みゆうさんは次のフレーズを聞いたことはありますか．
　「『確率』では，個々のものを区別して考える」

聞いたことないような気がします…。
具体例を出して教えていただけますか？
No.2299 - 2009/02/22(Sun) 19:02:11
☆ Re: 確率 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [高校１年生]
＞【問１】のax^2+bx+c=0は、aはx^2の係数、bはxの係数、cは定数と固定されているから、
＞組み合わせを出した後に、並び替えてはいけない、ということでしょうか…？
　いえ，逆です．
　３個のさいころを投げて，１，２，３ が出たとします．
　でもこれは
　　　ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝３
　なのか
　　　ａ＝１，ｂ＝３，ｃ＝２
　なのか，はたまた
　　　ａ＝３，ｂ＝２，ｃ＝１
　なのかはわかりませんよね？

＞＞まず、1≦a≦b≦c≦6とおき、
＞　ですが，これは考えやすくするために仮に定めたもので，
　ですから，３つの数の組を考えた後で，並べてみなければいけません．

　たとえば，(ａ，ｂ，ｃ)＝(２，２，３) が答えの中の一つにありますが，
　　　　(ａ，ｂ，ｃ)＝(２，３，２)
　　　　(ａ，ｂ，ｃ)＝(３，２，２)
　の場合も含んでいるのです．
　これで，３!/２!＝３ 通りとなるわけです．
No.2302 - 2009/02/22(Sun) 20:03:09
☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [再受験生]
こんばんは。

＞組み合わせを出した後に、並び替えてはいけない、ということでしょうか…？

あっ、私が言いたかったのは、b^2=4acを満たすように組み合わせをまず(a,b,c)=(1,2,1)(1,4,4)(4,4,1)(2,4,2)(3,6,3)の５通りと出した後に、
３！/２！×５通りにしてはいけないですよね？、ということだったんです。
「組み合わせを出した後に、（１，２，１）（１，１，２）（２，１，１）を考える必要はない。せっかく（固定された？）条件に合うように、組み合わせを出したから」というのが自分なりの思考なのですが…間違っているでしょうか（＞◇＜；）？

＞たとえば，(ａ，ｂ，ｃ)＝(２，２，３) が答えの中の一つにありますが，
　　　　(ａ，ｂ，ｃ)＝(２，３，２)
　　　　(ａ，ｂ，ｃ)＝(３，２，２)
　の場合も含んでいるのです．
　これで，３!/２!＝３ 通りとなるわけです．

1≦a≦b≦c≦6とおいたのは、過不足なく出すためで、さいころを三回振って、
２，２，３と出たら、それは二等辺三角形になりますよって、ことですよね？
さらに、さいころを３回振った目の出方が、a,b,cと区別されたものと考えているから、
(ａ，ｂ，ｃ)＝(２，３，２)(ａ，ｂ，ｃ)＝(３，２，２)の場合も考えないといけない、という過程であっていますか…？？
No.2314 - 2009/02/23(Mon) 20:33:34
☆ Re: 確率 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞あっ、私が言いたかったのは、b^2=4acを満たすように組み合わせをまず(a,b,c)=(1,2,1)(1,4,4)(4,4,1)(2,4,2)(3,6,3)の５通りと出した後に、
＞３！/２！×５通りにしてはいけないですよね？、ということだったんです。
　すいません，読み誤りました．

　ところで，この５つの中に，(１，４，４)と(４，４，１)がありますね．
　つまり，同じ数の組であっても，ａ，ｂ，ｃ が対等ではないので，すでに順序も考慮していますよね．（つまり，ａ，ｂ，ｃ を区別しています）

　それに対して，二等辺三角形の方は
＞(a,b,c)=(2,2,3)(3,3,4)(3,3,5)(4,4,5)(5,5,6)と６通り出ます。
　と，同じ数の組はありません．
　ですから，
＞1≦a≦b≦c≦6とおいたのは、過不足なく出すためで、さいころを三回振って、
＞２，２，３と出たら、それは二等辺三角形になりますよって、ことですよね？
＞さらに、さいころを３回振った目の出方が、a,b,cと区別されたものと考えているから、
＞(ａ，ｂ，ｃ)＝(２，３，２)(ａ，ｂ，ｃ)＝(３，２，２)の場合も考えないといけない、という過程であっていますか…？？
　であっています．
No.2326 - 2009/02/24(Tue) 20:54:49
☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [再受験生]
ＣＯＲＮＯ先生、こんにちは。

ようやく曖昧なところが無くなりました！ありがとうございます！

これから、文字が出てきたら、それはどのいった文字なのか注意して解くよう心がけるようにします。

これからもどうぞ宜しくお願いします。
No.2332 - 2009/02/25(Wed) 17:17:07
★ (No Subject) / ある ♂ [関東] [高校2年生]
高校2年生です。

青チャート数?Uの例題の質問です。
重要例題６９
2点０，０，１　２，２，５を直径の両端とする球面をｓ１、2点ー１，０，３
３，４，１を直径の両端とする球面をｓ２とし、、ｓ１、ｓ２の交わりの円ｃの
中心ｃの座標と半径を求めよ。
分からない所は、円ｃの半径をｒ、co1＝ｘ、co2＝ｙとしたとき、どうして
ｙ±ｘとおけるかです。
よろしくお願いします。
No.2307 - 2009/02/22(Sun) 22:30:56
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

今手元に青チャートがないので確認できないのですが，o1，o2はそれぞれの球の中心を表すということでいいですか？

添付の図のように（汚くて申し訳ない），x+y=o1o2 のときと，y-x=o1o2 のときの２つの場合わけをしなければいけないということを言っているのだと思います。
No.2325 - 2009/02/24(Tue) 17:57:13
☆ Re: / ある ♂ [関東] [高校2年生]
そうです。その図のおかげで理解できました。ありがとうございます。どうも立体は
苦手な物で
No.2328 - 2009/02/24(Tue) 22:59:27
★ (No Subject) / みく
cos(2Θ+π/4)＜-√3/2

を0≦Θ＜2πのとき
とけ


という問題で答えがあいません
No.2311 - 2009/02/23(Mon) 11:06:09
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

みくさんがどこで間違ったのかを一緒に考えていきましょう。
手間がかかるでしょうが，みくさんの解答を書き込んでいただけますか？
No.2324 - 2009/02/24(Tue) 17:01:42
★ (No Subject) / チキン ♂ [高校2年生]
こんばんは。面倒臭い質問かもしれませんが、よろしくお願いします。
「1対1対応の演習」の数2の153ページ、積分の単元の問題です。

「xy平面上に2つの曲線C1:y=x^2,C2:y=2x^2-4x+3がある。C1上の点P1におけるC1の接線の傾きと,C2上の点P2におけるC2の接線の傾きが一致するものとし、2点P1,P2を通る直線を引く。ただし、P1,P2のx座標は異なるものとする。
(1)このようにして得られたすべての直線は定点を通ることを示せ。
(2)(1)の定点を通り、C1,C2と2点ずつで交わる直線lを引き、C1とlの囲む部分の面積をS1,C2とlの囲む部分の面積をS2とする。lの傾きによらず、S1:S2は定比であることを示せ。（横国）」

質問したいのは(1)で、載っている解答は、まずP1,P2のx座標をp1,p2とし、直線P1P2の式を求めて、その式にx=2を代入するとy=2という結果が得られるので、「定点(2,2)」を通ることがわかる。という感じです。
（ここまでの理屈はわかりました。）

定点が(2,2)だと予想できる理由は、「C1:C2は2:1であることと、頂点に着目して、相似の中心が(2,2)であることから。」と注があります。
（この問題のタイトルは「放物線の形は一種」で、2次関数のグラフはすべて相似で、その相似比は2次の係数の逆比になるというのは、知識として知りましたが、この文章の意味がイマイチわかりません。）

また、「本文で、定点を予想しないで議論しようとすると、かなり厳しいことになる。」という注もあります。

質問させていただきたいのは、
１、なぜ定点が(2,2)と予想できたのか、解説を読んでもイマイチわからない。
２、他に解き方はないのか。
３、1対1は、「幅広い応用が利く汎用問題」を精選のポイントとしていると前書きにあえりますが、この問題で何を学んで欲しいのかいまいち汲み取れない。

以上の3点です。よろしくお願いします。
No.2250 - 2009/02/17(Tue) 18:14:54
☆ Re: / 河童 [塾講師]
河童皿回し中
No.2264 - 2009/02/18(Wed) 19:00:43
☆ Re: / 河童 [塾講師]
チキンさん、こんにちは。河童です。

この本をわたしは持っていないため、書店で探してから回答しようと思ったのですが、売り切れていました(+_+)
当該本の解説通りにはいかないかも知れませんが、ご了承ください。

さて、直線が定点を通るということは、この直線を P_1 または P_2 を用いて表現したときに、
その式が、P_1 または P_2 の恒等式になるということですね。
そこで、その式を、Pについて整理し、係数がすべて０になるように x と y を決めてやればいいわけです。
しかし、この式は、P の３次式になるようなので、たいへんですね。
そこで、まず、恒等式になるための必要条件を考えます。

ごめんなさい。
授業が始まってしまいますので、続きは帰宅後に改めて回答します。
中途半端をお許しください。
No.2265 - 2009/02/18(Wed) 19:16:00
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
改めまして、チキンさん、こんばんは。河童です。

実は、先日行われたセンター後のチャット大会において、
放物線が相似であることをどのように生徒に教えるかという話題が出ました。
そういうこともあって、この問題に興味があったのですが、
生憎、一対一が手元にないため、天下の一対一以上の説明が出来るような数学的才能もないわたしが回答するのも憚られ、
他の先生が回答されるだろうからいいか、と思っていました。
ところが授業の合間の休憩時間に携帯で訪問したところ、まだ回答がなかったため、
清水の舞台から飛び降りるつもりで回答させていただく次第です（大袈裟だなあ＾＾）

さて、前の回答の続きですが、『分母を払った』直線の方程式が、任意の Ｐ について成り立つためには、
x と y がどんな値でなければならないでしょうか？
任意の Ｐ に対して成り立つためには、ある特別な Ｐ に対しても成り立つべきなのですが………

あっ、ここで Ｐ というのは、点Ｐ_1 または点Ｐ_2 のｘ座標の意味です。
No.2267 - 2009/02/18(Wed) 23:31:09
☆ Re: / チキン ♂ [高校2年生]
ありがとうございます。馬鹿な質問で回答付かないかもと思っていました。
わざわざ書店でお探しいただき、感謝感激しています。

質問のx,yの値ですが、ちょっとよく意味がわかりませんが、「ある特別なP」というのは、放物線ですから、頂点のことではないでしょうか。。
あ、頂点同士ならば、頂点における接線の傾きは0ですから、「接線の傾きが一致する」という問題文の条件にも合いますね。
具体的にはC1の頂点は(0,0)、C2の頂点は(1,1)なので、この2点を通る直線:y=x上に求める定点は存在するというのに気付きました！
確かに答えの(2,2)はy=x上に存在しますね･･･。

つまり質問の、
＞＞任意の Ｐ について成り立つためには、x と y がどんな値でなければならないでしょうか？
の答えとしては、「y=x上の点、すなわちy=xというのを満たす値」ではないかと思います！
No.2270 - 2009/02/19(Thu) 02:09:07
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
チキンさん、こんばんは。

＞　馬鹿な質問で回答付かないかもと思っていました

とんでもない。
至極もっともな疑問だと思いますよ。

＞　この2点を通る直線:y=x上に求める定点は存在するというのに気付きました！

そうですね。
素晴らしい！！

ただ、わたしの言ってるのは、図形的に考えてのことではなく、純粋に式だけで考えてのことなんです。
わたしは極度のめんどくさがりで、ろくに式も立てず、スレを読みながら回答するものですから、誤解を与えてしまうんですね。
ほんとにごめんなさい。

一対一の解説に、直線Ｐ_1 Ｐ_2 の式があると思うのですが、それは分母が払ってありますか？
もし、分母が払っていなければ、まず、分母を払ってみてください。
おそらく、分母があるとすれば、それは 2 - P とか、P - 2 のような形だと思います。
そこで、分母を払うと、出来上がった式は、P の３次式になっているはずです。
ここで、慌てて展開してはいけませんよ。

さて、問題では、この直線の式が、『特定の x, y について常に成り立つ』と言っているんですね。
言い換えれば、

x, y がある特定の値のとき、P がどのような値をとろうと成り立つ

と言ってるんですね。
つまり、この直線の式が P の恒等式となるように、x, y の値を決めろ、と言ってるんです。

さて、この式は P の恒等式なのですから、ある特定の P に対しても成り立つはずです。
つまり、先程分母を払った式で、P = 2 としても成り立つはずです。
そうすると、x の値が出てきませんか？

ところで、問題には、

＞　ただし、P1,P2のx座標は異なるものとする

とありますね。
ところが、P = 2 のとき、ｘ座標が同じになってしまいます。
どちらの放物線も、ｘ座標が２のときの傾きが４になりますね。
それなら、P = 2 を代入するのはまずいんじゃないかと思われるかも知れません。
しかし、元々の分母を払う前の式が恒等式ならば、分母を払った式も恒等式になるはずです（だから分母を払ったんですね）。
ですから、分母を払った式では、P = 2 としても問題ないんですね。
No.2271 - 2009/02/19(Thu) 03:18:23
☆ Re: / チキン ♂ [高校2年生]
「Pの式」というのは「p1,p2がごっちゃになってる式」という理解でいいのでしょうか？
ちょっと「P」の意味がわかってないかもしれません。
（尚、３次式でなくて２次式ではないでしょうか？）

それと、「P=2のとき」というのは、「p1=p2=2のとき」ということですよね？
１対１の直線の式は分母を払っていないので、払った後代入して計算してみると、x=2と出てきました。

はじめ、問題文に「ただし、P1,P2のx座標は異なるものとする」とあるのだからおっしゃるとおりp1とp2に同じ値を代入するのはいけないのではと思いましたが、「P1,P2のx座標をp1,p2とすると、接線の傾きが等しいことから、2(p1)=4(p2)-4　∴p1=2(p2)-2」
より、p1を消去してp2だけの式にしてからp2=2と代入するなら違和感がないなぁ・・・。
それにP=2とすると分母を払う前の直線の式の分母が0になってしまうのにいいのかな・・・。
河童先生の最後の２行の意味がわかりません。
うーむなんか誤解をしているのかもしれません。すみません。
No.2275 - 2009/02/19(Thu) 16:26:24
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
チキンさん、こんばんは。

P の式というのは、チキンさんが持っていらっしゃる一対一の解説中の直線の方程式のことです。
P_1 あるいは P_2 だけの式になっているかと思いますが、それを P の式と表現しました。
紛らわしかったですね。ごめんなさい。

＞　それにP=2とすると分母を払う前の直線の式の分母が0になってしまうのにいいのかな・・・

分母を払う前の式で P = 2 とするのでなく、分母を払った式で P = 2 とするんです。
分母を払った式で P = 2 とすると、その式が P の恒等式となるための必要条件が得られます。
それが X = 2 ですね。
つまり、

分母を払った式が P の恒等式であるためには、x = 2 でなければならない

ということですね。
ただし、これはあくまで必要条件でしかありませんので、十分性を確かめなければなりません。
そこで、この式に x = 2 を代入してみると、P の値に無関係に y = 2 が得られます。
つまり、x = 2 が必要十分であったわけですね。
これが、チキンさんの質問 1 の、何故定点 ( 2, 2 ) が予想できたか、の回答です。
もちろん、一対一とは異なるアプローチですが。
表題が「放物線の形は一種」ということですので、一対一では、相似を応用した方法を前面に出すために図形的なアプローチをとったのでしょう。

ところで、このように、分母を払った式が（x = 2 の下で）P の恒等式なのですから、
その両辺を P - 2 で割った式は、P ≠ 2 なるすべての P について恒等的に成り立ちます。
つまり、分母を払う前の直線の式は、x = 2 のとき、P = 2 を除くすべての P に対して成り立つわけです。
ですから、チキンさんが心配してらっしゃる、

＞　それにP=2とすると分母を払う前の直線の式の分母が0になってしまうのにいいのかな・・・

というのは杞憂なんですね。
だって、わたしは、分母を払う前の式で P = 2 とはしていませんよね。

チキンさんは、こんな問題を見たことがありませんか？


x の恒等式　( x^2 - x + 6 ) / ( x^3 - x^2 - x + 1 ) = a / ( x + 1 ) + b / ( x - 1 ) + c / ( x - 1 )^2
が成立するとき、定数 a, b, c の値を求めよ。

こんな問題を、チキンさんはどう解きますか？


さて、一対一の図形的アプローチについてですが、こういう感じでしょうか。
放物線の相似比が、C_1 ： C_2 = 2 ： 1 ですので、
C_1 と C_2 の対応する部分、例えば、頂点 Q_1, Q_2 を直線で結んだとき、
Q_1 R ： Q _2 R = 2 ： 1 であるような、点 R が相似の中心になります。
ところで、ひとつの放物線上には、接線の傾きが同じであるような異なる２点は存在しませんね。
ですから、例えば、C_1 上の、接線の傾きが 1 であるような点 P_1 と、
同じく、C_2 上の、接線の傾きが 1 であるような点 P_2 は、それぞれひとつずつ存在します。
相似な放物線上の対応する点での接線の傾きは等しいはずですので、P_1 と P_2 は対応する点ですね。
ですから、頂点のときと同様に、この２点を直線で結べば、相似の中心を通るはずですね。
その中心とは、上で述べた R に違いありません。
その R が、( 2, 2 ) なんですね。
No.2279 - 2009/02/20(Fri) 04:23:32
☆ ありがとうございました。 / チキン ♂ [高校2年生]
ネットが不調で返信遅くなりました。

＞＞x の恒等式　( x^2 - x + 6 ) / ( x^3 - x^2 - x + 1 ) = a / ( x + 1 ) + b / ( x - 1 ) + c / ( x - 1 )^2
が成立するとき、定数 a, b, c の値を求めよ。こんな問題を、チキンさんはどう解きますか？

類題を問題集で探し、その解答を読んだらP=２と代入してもよいと理解できました。

最後に、１対１のように図形的なアプローチの別解として河童先生が示してくれた数式的なアプローチの発想の流れをまとめると次のようになると理解してよろしいですか？

１、とりあえず直線の式を求める。（そして、接線の傾きが等しいという条件からp1かp2のどちらかを消去して１文字にする。）
２、分母を払ってみる。
３、(2-p)y=〜〜という形になるので、p=2とするとyが消え、xが求まることに気付く。そしてこの答え、x=2というのは、Pについての恒等式となる必要条件である。
４、試しにx=2を代入してみると、確かにyも定数になった。

これで合っていますか？
ところで、この年度に受験した横国生の人たちはどちらの考えで解いた人が多いと思われますか？私は河童さんの示してくれた方がスッキリしていると思うのですが、この１対１の図形的なアプローチって普通、思いつくものでしょうか？
No.2288 - 2009/02/21(Sat) 16:36:38
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
チキンさん、こんばんは。
返事がたいへん遅くなり、申し訳ありません。

チキンさんの理解でおおよそいいのですが、ひとつだけ、３について言及させていただきます。

チキンさんの表現では、P = 2 とすると、『たまたま』 x が求まるというふうに読めるのですが（単に言葉のあやかも知れませんが）、ちょっと違うんですね。
というのも、実は、x が求まることは最初から分かっていたんです。
また、P は別に２でなくても良かったんです。
それをこれから説明しますね。

まず、後者の方から。
わたしたちがこの方法を採った動機は、『Pの恒等式だから』でしたね。
そして、まず、必要条件を導きました。
実際には、必要条件は『緩い条件』ですから、この方法は失敗するケースが多いのですが、
本問の場合は、必ず恒等式になる、ｘとｙが定数である、ということが分かっていますので、
この方法で条件が絞れることが確信できるわけです。
ですから、P に異なる２数を代入してやれば、ｘとｙとの連立方程式が得られ、
それを解くことによって、ｘとｙが求まるわけですね。
チキンさんは、適当な２数を代入し、それを確かめてください。

ところで、上のように、ｘとｙの連立方程式を解くという意味をよく考えてみてください。
これは、２直線の交点を求めたことに他ならないですね。
つまり、問題では、直線 P_1 P_2 が定点を通る、と言っているのですから、
そのうちの適当な２直線を考え、『素直に』その交点を求めたに過ぎないのです。
ですから、この方法は、奇を衒ったように見えますが、実際には非常に素直な方法なんですね。

次に前者の方ですが、P = 2 のとき、最初の直線の傾きの分母が０になりましたね。
ですから、分母を払う前の直線の方程式では、傾きが存在しない直線、つまり、
x = □　というタイプの直線に限り表現できないわけです。
それが、分母を払った時点で表現できるようになったんですね。
その直線の方程式が、P = 2 のときの、x = 2 なんですね。
つまり、見方を変えれば、P = 2 としたために x = 2 と求まったのではなく、
P = 2 としたために x = 2 という直線が得られたわけです。

どうでしょうか。
わたしたちの採った方法が、『予想する』という方法でなく、『求める』という積極的な方法に思えてきませんか？

さて、チキンさんの最後の質問に関することですが、実際に受験した人たちは、ほとんどこの方法で解いたと思います。
ただ、この問題の作成者は、もちろん、放物線の相似性を利用してこの問題を作ったはずです。
ですから、何故こんな問題が作れたのだろうと考える余裕があれば、図形的なアプローチに気付いたかも知れませんね。

チキンさん、わたしの冗長な回答のため、非常にスレが長くなりました。
申し訳ありません。
もしわたしの回答に対して質問があれば、新しくスレを作り、スレタイを『河童へ』とでもしていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
No.2320 - 2009/02/24(Tue) 01:55:02
☆ ちなみに / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
わたしは、一対一の方法を、つい、図形的アプローチと表現しましたが、
実際には、放物線の相似性に対する深い理解に基づいて、この問題の意味を理解した上で、
『答えを予想し』
『回答とまったく同じ方法で』
解いているんですね。
No.2321 - 2009/02/24(Tue) 02:07:45
★ 数学的帰納法 / マス ♂ [高校2年生]
こんばんは
＜問題＞

Ａ1Ａ2・・・・Ａn＝１であるｎ個（ｎ≧2）の0以上の数Ａ1,Ａ2,・・・・,Ａnを
並べ替えてＢ1,Ｂ2,・・・・,Ｂn（Ｂ1≦Ｂ2≦・・・・≦Ｂn）とする。

（１）では0≦Ｂ1≦1,1≦Ｂn,Ｂ1＋Ｂn≧Ｂ1Ｂｎ＋1であることを証明する問題でこれはできたのですが、

（２）Ａ1Ａ2・・・・Ａn≧ｎであることを証明せよ。

という問題がわかりません。Ｂ1＋Ｂn≧Ｂ1Ｂｎ＋1を利用するのはわかったんですが、
そこから仮定をどのように利用するのかわかりません。

お願いします。
No.2291 - 2009/02/21(Sat) 19:14:04
☆ Re: 数学的帰納法 / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
マスさん、こんにちは。よろしくお願いします。

まずはじめに確認したいのですが、

＞　Ａ1Ａ2・・・・Ａn＝１

という設定なので、

＞　（２）Ａ1Ａ2・・・・Ａn≧ｎであることを証明せよ。

は問題文がおかしいですね。

（２）Ａ1+Ａ2+・・・・+Ａn≧ｎであることを証明せよ。

の誤りでしょうか。
とりあえず、そうだという風に仮定して、話を進めたいと思います。

タイトルにもありますように、この証明は数学的帰納法を用います。
数学的帰納法での仮定と結論は次のようになるでしょう。

《仮定》
k個（kは2以上の整数）の正の数の組A1,A2,・・・・,Akについて
　A1A2・・・・Ak=1　　　…(i)
が成り立つならば、
　A1+A2+・・・・+Ak≧k　　　…(ii)
である。

《結論》
(k+1)個の正の数の組A1,A2,・・・・,Ak+1について
　A1A2・・・・Ak+1=1　　　…(iii)
が成り立つならば、
　A1+A2+・・・・+Ak+1≧k+1　　　…(iv)
である。

ここで注目すべきは《仮定》のなかの(i)式です。
(ii)式を利用するためには、何はなくとも積が1となるk個の正の数が必要となるのです。

これで手がかりはつかめましたでしょうか？
No.2297 - 2009/02/22(Sun) 15:22:31
☆ Re: 数学的帰納法 / マス ♂ [高校2年生]
問題間違っていて、すみません。

Ａ1＋Ａ2＋・・・・＋Ａn≧nと仮定して
Ａ1＋Ａ2＋・・・・＋Ａn＋Ａn+1＝Ｂ1+Ｂ2+・・・・+Ｂn+Ｂn+1
　　　　　　　　　　　　　　　≧Ｂ2+Ｂ3+・・・・+Ｂn+Ｂ1Ｂn+1
となったんですが・・・・。
良いのでしょうか？
後、この先がわかりません。
No.2300 - 2009/02/22(Sun) 19:48:03
☆ Re: 数学的帰納法 / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
マスさん、
前進したようですね。いい感じです。

> Ａ1＋Ａ2＋・・・・＋Ａn＋Ａn+1＝Ｂ1+Ｂ2+・・・・+Ｂn+Ｂn+1
ここは上手いです。(1)の結果を利用できる形になっていますね。

> ≧Ｂ2+Ｂ3+・・・・+Ｂn+Ｂ1Ｂn+1
ここは(1)の結果を利用した変形をしようとしたのですね。それならば、正しくは

　≧Ｂ2+Ｂ3+・・・・+Ｂn+Ｂ1Ｂn+1+1　　　…(v)

となります。

さて、ここから先ですが、(v)式に登場したＢ2，Ｂ3，・・・・，Ｂn，(Ｂ1Ｂn+1)という、n個の数に着目します。
このn個の数の積は1ですね。ということは……？

わたしの最初のレスにある《仮定》も参考になさってください。
No.2304 - 2009/02/22(Sun) 20:49:49
☆ Re: 数学的帰納法 / マス ♂ [高校2年生]
≧Ｂ2+Ｂ3+・・・・+Ｂn+Ｂ1Ｂn+1+1
≧ｎ＋１
ってことですよね？　
No.2316 - 2009/02/23(Mon) 22:12:37
☆ Re: 数学的帰納法 / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
> ≧Ｂ2+Ｂ3+・・・・+Ｂn+Ｂ1Ｂn+1+1
> ≧ｎ＋１
> ってことですよね？　

そのとおりです。ここで《仮定》を利用したことになります。
これで、nについて題意の命題が成り立つと仮定すると、(n+1)についても題意の命題は成り立つことが示されました。

ところで、ほとんどすべての教科書・参考書では、数学的帰納法を利用する際に

「n=kのときに目的の命題が成り立つと仮定して、n=k+1のときにも命題が成り立つことを示す」

という形で、新たな文字kを導入しています。
これには理由があります。簡単に述べるなら、問題文の中のnは「（2以上の）すべての自然数」を指す文字であるのに対し、帰納法の証明で用いるkは、「（2以上の）自然数の中の、あるひとつ」を指すものでしかありません。いいかえると、これら２つの文字は厳密には「別のもの」を指す文字なんですね。
これらを混同しないために標準的な解答ではnとkという２つの文字を使っているわけです。

もちろん、ここでkを使わずnにこだわる路線も「絶対だめ」ではないんですが、やはり採点者にとって「分かりにくい」答案になってしまいますし、答案の中で筋の通った書き方をするのが難しくなります。証明問題の採点では「いかに筋の通った説明をするか」が重視されますから、少し説明がおかしかったりするだけで減点対象になることもしばしばです。かりにマスさんの中で筋の通った証明になっていても、それが採点者に伝わらずに減点されるようなことになってしまっては勿体無いですよね。

そういうわけですので、数学的帰納法の証明は教科書等の標準的な書き方にのっとり、文字kを使われることをお勧めします。
No.2318 - 2009/02/23(Mon) 23:38:00
★ 【数学?V】 実数解の個数 / (>_<) [高校3年生]
【問題】

方程式 sinx − xcosx − 1 ＝ 0 (0＜x＜π) はただ１つ実数解をもつことを示し，
その解を求めよ。


【自分の解答】

f(x) ＝ sinx − xcosx − 1 とおくと，

f'(x) ＝ cosx − ( cosx − xsinx ) ＝ xsinx

f'(x) ＝ 0 とすると， x ＝ 0，π

( 増減表 )

増減表より， 0＜x＜πで
f(x) は単調に増加する。

f(0) ＝ −1 ＜ 0
f(π) ＝ π − 1 ＞ 0
であるから，

y＝f(x) のグラフは x軸 とただ１つの共有点をもつ。
つまり，
f(x)＝0 はただ１つの実数解をもつ。　　【終】


示し方は合っているでしょうか。
問題は，その f(x)＝0 の解を求めるのですが，
どうやって求めればよいのかわかりません。

お願いします。
No.2283 - 2009/02/20(Fri) 21:00:32
☆ Re: 【数学?V】 実数解の個数 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
(>_<) さん，おはようございます。
f(x)＝0が 0＜x＜πでただ一つの解をもつことの示し方は
OKだと思います。
ただ，増減表まで書く必要はありません。
f(0)＜0，f(π)＞0 と0＜x＜πで常にf'(x)＞0を示せば十分です。
実数解はこのような方程式で求めさせるとすれば
特殊な値です。
π/6，π/4，π/3，π/2，… の中に解があります。
No.2286 - 2009/02/21(Sat) 06:18:49
☆ Re: 【数学?V】 実数解の個数 / (>_<) [高校3年生]
よくわからないのですが…。
No.2289 - 2009/02/21(Sat) 18:12:40
☆ Re: 【数学?V】 実数解の個数 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
> よくわからないのですが…。

どの部分ですか？
No.2290 - 2009/02/21(Sat) 19:13:42
☆ Re: 【数学?V】 実数解の個数 / (>_<) [高校3年生]
>実数解はこのような方程式で求めさせるとすれば
>特殊な値です。
>π/6，π/4，π/3，π/2，… の中に解があります。

どうやって求めればよいかということです。
No.2294 - 2009/02/21(Sat) 22:26:05
☆ Re: 【数学?V】 実数解の個数 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
代入してみればいいだけです。
f(π/2)＝0 でしょう？
No.2296 - 2009/02/22(Sun) 06:16:57
☆ Re: 【数学?V】 実数解の個数 / (>_<) [高校3年生]
例えば，
x^2 ＋ 3x − 4 ＝ 0 の解は??

左辺に x ＝ 1 を代入して 0 になったから，
解は x ＝ 1 だ!!

としては間違いでしょう。

因数分解して，
(x − 1)(x ＋ 4) ＝ 0　より， x ＝ 1，−4

とするのが普通だと思います。


本題は，

sinx − xcosx − 1 ＝ 0 の解を求めよ。

sinx ＝ 1 ＋ cosx であるから，

(sinx)^2 ＋ (cosx)^2 ＝ 1 に代入して，整理すると，

(x^2 ＋ 1)(cosx)^2 ＋ 2xcosx ＝ 0

cosx・{ (x^2 ＋ 1)cosx ＋ 2x } ＝ 0

cosx ＝ 0，0＜x＜π　より， x ＝ π/2

(x^2 ＋ 1)cosx ＋ 2x ＝ 0 より，
これを満たす x はない

よって， x ＝ π/2


こうするのがよいと思うのですが，
どうでしょうか??

すっかり，
(sinx)^2 ＋ (cosx)^2 ＝ 1 の関係を忘れていました。
No.2298 - 2009/02/22(Sun) 17:56:08
☆ Re: 【数学?V】 実数解の個数 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
おはようございます。
0＜x＜πの範囲にf(x)＝0の解はただ一つしかない。
ということを示したのが全く無駄になります。
No.2309 - 2009/02/23(Mon) 05:24:08
☆ Re: 【数学?V】 実数解の個数 / (>_<) [高校3年生]
なるほど。
解はただ 1 つしかないことを示したことは意味があったんですね。

ただ，代入して，f(x) ＝ 0 となる x は x＝ π/2

としても，問題はないのですか??
(なんか解答に説得力がないような気もするのですが…)
No.2315 - 2009/02/23(Mon) 22:06:27
☆ Re: 【数学?V】 実数解の個数 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
> 代入して，f(x) ＝ 0 となる x は x＝ π/2

こういうまどろっこしい書き方は不要です。
もちろん前後は必要ですが
f(π/2)＝0
で十分な説得力があります。
説得力とは論理に破綻がないことです。
余計なことを書くことでかえって説得力は削がれます。
僕が採点するなら No.2298 で書かれたようなことが答案にあったら
たぶん減点するでしょう。
No.2317 - 2009/02/23(Mon) 23:14:25
★ (No Subject) / みく


高校一年生です。

三角関数の問題で、
0≦Θ＜2πのときの
sinΘ＜tanΘを解けという問題で、
sin＝cos×tanで
cos＜1 となったのですが
答えがあわなくて困ってます
No.2301 - 2009/02/22(Sun) 19:49:26
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
みくさん，こんばんは．
早速いきましょう．

>cos＜1 となったのですが
ここですが
cosθtanθ < tanθ
の両辺をtanθで割ったのではないですか？

不等式で両辺に正の数を掛ける（もしくは両辺を正の数で割る）ならば不等号の向きは変わりませんが，負の数であれば，不等号の向きは逆になります．
よって，tanθが正（0 < θ < π/2, π < θ < 3π/2）ならokですが，今回の範囲からすれば，π/2< θ <π, 3π/2< θ <2πではマズいですよね．

いかがですか？
No.2303 - 2009/02/22(Sun) 20:38:40
☆ Re: (No Subject) / みく


ですね！だとしたら
tanが正になるときの値をだせばよいのでしょうか？
No.2305 - 2009/02/22(Sun) 20:49:53
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
いや，それだけでは不十分です．
正の場合と負の場合で場合分けが必要です．
チャレンジしてみてくださいな．
No.2306 - 2009/02/22(Sun) 21:41:05
☆ Re: (No Subject) / みく
できました
ありがとうございました
No.2310 - 2009/02/23(Mon) 07:48:04
★ 極限 / 蛙 [高校2年生]
こんばんは
数3の教科書の問題でふと思ったことなんですが、気がかりで質問させて頂きたいです。
本当に基礎的な事だと思いますが、すみません。
lim x^2-4x/x-1(x→1)は
ｘで割って、lim x-4/1-1/x　(ｘ→1）

だから,答えは0でしょうか?

また,この式で,(ｘ→0）の場合、分母が無限大になるから0でしょうか?
(/は分数を表してるつもりです。)
よろしくお願いします。
No.2248 - 2009/02/17(Tue) 00:37:05
☆ Re: 極限 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
蛙さん，こんにちは。
もう解決されたかも知れませんが

> lim x^2-4x/x-1(x→1)は
> ｘで割って、lim x-4/1-1/x　(ｘ→1）
>
> だから,答えは0でしょうか?

このように考えられたのはどうしてでしょうか？
分母･分子をxで割った理由。
および
「だから」の部分
を少し詳しく書いてください。

> また,この式で,(ｘ→0）の場合、分母が無限大になるから0でしょうか?

ｘ→0のときは，もとの式に x＝0を代入すればいいのです。もちろん同じく
0になります。
No.2249 - 2009/02/17(Tue) 10:38:56
☆ Re: 極限 / 蛙 ♂ [近畿] [高校１年生]
返事ありがとうございます!

すみません。まだ極限の問題の解き方がいまいちわからなくて,
ｘを無限大にする場合,∞/∞はできないということで,
ｘで割るという事は習った気がします。

分からないので、有利化とか,方法ありますが、分母の最大次のxで割りました。
が、今考えたのですが,ｘ−1で割るのはどうでしょうか?
とりあえず、分母がゼロになることを避けたいと考えていいのでしょうか?

lim x^2-4x/x-1(x→1)＝lim　x^2/x-1 -4x/x-1

ん〜何も変わらないような…↓

ｘ→0の時は分母が,0とかにならないから,普通に代入するだけでいいのでしょうか?
No.2253 - 2009/02/17(Tue) 21:48:23
☆ Re: 極限 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
> ｘを無限大にする場合,∞/∞はできないということで,
> ｘで割るという事は習った気がします。

lim x^2-4x/x-1(x→∞)
ならば,∞/∞になりますから分母の最高次のxで割って
lim x-4/1-1/x　(ｘ→∞）＝(∞−4)/1＝∞/1＝∞ となります。

> ｘ−1で割るのはどうでしょうか?

これは 0/0 になるときに用いる方法です。
この問題では 0 になるのは分母だけですから
x→1＋0の場合とx→1−0 で違いがあるかどうかを調べます。
このことを考えてください。
>> 「だから」の部分を少し詳しく書いてください。
と書いたことにも関係があります。

> ｘ→0の時は分母が,0とかにならないから,普通に代入するだけでいいのでしょうか?

そうです。
No.2256 - 2009/02/18(Wed) 06:26:03
☆ Re: 極限 / 蛙 ♂ [近畿] [高校１年生]
通常分子が定数で正なら、右極限が∞左極限が-∞ですよね？

lim x^2-4x/x-1(x→∞)
=lim x^2 -4/x-1-4
=lim (x+2)(x-2)/x-1-4

・・・分かりません↓
勉強不足です。すみません。
No.2269 - 2009/02/18(Wed) 23:50:15
☆ Re: 極限 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
> 通常分子が定数で正なら、右極限が∞左極限が-∞ですよね？

そうですね。
この式の場合，分子は負の値−3に収束しますから
右極限は−∞，左極限は∞ となり，一致しませんから
極限は存在しません。


> lim x^2-4x/x-1(x→∞)
> =lim x^2 -4/x-1-4
> =lim (x+2)(x-2)/x-1-4

この部分は意味が分かりません。
No.2272 - 2009/02/19(Thu) 12:19:53
☆ Re: 極限 / 蛙 ♂ [近畿] [高校１年生]
変形とか考えなく、
そのまま、分数関数として代入するのですね。
分子が負だから、右極限が−∞なんですね。

分子だけに,ｘ→1を代入するのですか?
分子に,xの２次があったので、分母のｘで割った形だから、
迷ってしまって,何か分子のxを消す方法を使いましたが、
> > lim x^2-4x/x-1(x→∞)はミスです↓　

ｘ→１のつもりで、
> > =lim x^2 -4/x-1-4
> > =lim (x+2)(x-2)/x-1-4
そう考えても、ｘの２次は分からなく、書いてしまいました↓
消さなくていいのですね?

lim x^2-4x/x-1(x→１)を解くとき、
lim x^2-4x/x-1(x→１＋０)、(ｘ→１−０）にわけ、

lim x^2-4x/x-1(x→１＋０)＝・・・
書き方が分かりません↓
そのまま分子はー３なので、右極限は-∞とかいていいのですか?

それとも、lim x^2-4x/x-1(x→１＋０)＝lim -3/x-１とか
＝で、式を進めますか?

あほですみません↓(泣)
No.2276 - 2009/02/19(Thu) 23:09:55
☆ Re: 極限 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
分子 x^2−4x は
x→1＋0のときもx→1−0のときもx^2−4x →−3ですから
x→1のとき x^2−4x →−3です。

分母 x−1 は
1) x→1＋0のときは正の値をとりながら0に限りなく近づきますから
lim x^2-4x/x-1(x→1＋0)＝−∞

2) x→1−0のときは負の値をとりながら0に限りなく近づきますから
lim x^2-4x/x-1(x→1＋0)＝∞

となり，左側極限と右側極限が一致しませんから
lim x^2-4x/x-1(x→1) は存在しません。
No.2280 - 2009/02/20(Fri) 06:36:57
☆ Re: 極限 / 蛙 ♂ [近畿] [高校１年生]
なるほど・・・分子が2次式、分母が1次式とか混乱して考えてました!

だいぶ基礎は分かってきました!
ありがとうございます!
1週間後の後期期末考査に向けてがんばります!
ありがとうございました!
No.2282 - 2009/02/20(Fri) 20:29:34
★ (No Subject) / ＵＵ ♂ [東海] [高校１年生]
こんにちは。質問よろしくお願いいたします。
一橋大学の問題です。　a>Oで　a×絶対値x＋　絶対値y　≦a
で、y-　(x＋1)二乗の最大、最小を求めよという問題なんですが、
これをＫと置いてグラフ的に考えるのはわかったんですが、何故どこを通るとき最大、最小とわかるのでしょうか
ご教授お願いいたします。
No.2273 - 2009/02/19(Thu) 14:01:26
☆ Re: / ウッちょん ♂ [関東] [大学院生]
ＵＵさん、皆さん、初めまして。ウッちょんと申します。よろしくお願い致します。

さて、グラフ的に考えるということですから、じっさいに曲線y-(x+1)^2=Kと、領域a|x|+|y|≦aを図示してみてください。これらが描ければ、自ずから道は見えてくると思いますよ。
No.2281 - 2009/02/20(Fri) 13:03:22
★ (No Subject) / しゅん ♂ [関東] [浪人生]
青チャート?Uの121を教えて頂けると幸いです

問題は
θの方程式sin^{2}θ＋cosθ−2a−1＝0を満たすθがあるような定数a
の値の範囲を求めよ
です。

解答をファイルではりつけました
解答の[2]でどうして判別式を使うかがわかりません
同じく[2]で{f（−1）≧0またはf(1)≧0}がなぜa≧−1/3ではなくて、
a≧−1になるのでしょうか

また[3]ではどうしてa＞2なのにa≧−1/3が含まれずに
これを満たすaの値はない。となるのでしょうか
No.2245 - 2009/02/16(Mon) 19:25:22
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
しゅんさん，こんにちは。

[２]　は，条件を判別式を考えずに　{f（−1）≧0またはf(1)≧0}　のみにしてしまうと，添付の図のような状態も含んでしまい，このときは実数解をもたないからです。　

a≧-1/3 または a≧-1
ですので，数直線を描いたとき，線が１本でも走っている区間ですから，a≧-1 になります。

｢３｣は，{f（−1）≧0 かつ f(1)≦0}
すなわち　a≧-1/3 かつ a≦-1 をみたす aはないということです。
No.2258 - 2009/02/18(Wed) 16:38:42
☆ Re: / しゅん ♂ [関東] [浪人生]
こんばんわ
挨拶遅れてすいません
よくわかりました
ありがとうございます
かつ、またはの勉強やり直してみます

レスあがってたらすいません＞＜
No.2266 - 2009/02/18(Wed) 23:30:07
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