 | こんばんは。今度は整数問題で質問させていただきます。
連続する2つの自然数α,β(α＜β)と、全ての自然数の組(m,n)に対して、γ＝mα＋nβのとりうる値を考える。またγのとり得ない整数値のうち最大のものをδとする。但し、以下の設問(1)〜(3)については、順序を入れ替えて解いてはならない。
(1)αとβの間に成り立つ関係を求めよ。
(2)γ＝α2−α−1を満たす自然数の組(m,n)は存在しないことを示せ。
(3)δ＝α2−α−1であることを示せ。
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No.1880 - 2009/01/09(Fri) 21:31:51
| ☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | (1)
β＝α＋1
(2)
γ＝α2−α−1を満たす自然数m,nが存在すると仮定すると、
(右辺)−(左辺)
＝α2−α−1−mα−nβ
＝−αm＋α2−α−1−nα−n＝0
ここで両辺をα(≠0)で割ると、
∴m＝α−1−1/α−n−n/α＝α−(1＋1/α)(1＋n)
ここで、1＋1/αはα＝1以外では自然数とはならないから、mは自然数でない。
一方でα＝1の時、m＝1−2−2n＜0
いずれにしてもmが自然数であることに反する。
よって、これを満たす自然数の組(m,n)は存在しない。
(3)は(2)を使うのでしょうか？
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No.1881 - 2009/01/09(Fri) 21:41:51 |
| ☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | 変なところに∴を使ってしまいました…
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No.1882 - 2009/01/09(Fri) 21:43:16 |
| ☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師] | | |  | ルイさん，こんにちは。
返信が遅くなり申し訳ありません。
(3)は問題がおかしいのではないでしょうか？
例えば，α=3,β=4 なら，γ=3m+4n となり，
α^2-α-1=3^2-3-1=5 となり，確かに 3m+4n=5 をみたす自然数m,nは存在しませんが，
3m+4n=12 をみたす自然数も存在しません。
ですから，γのとり得ない整数値のうち最大のものは5ではありませんよね。
問題の再確認をお願いします。
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No.1907 - 2009/01/13(Tue) 14:38:22 |
| ☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | しばらくパソコンが使えない状況で、大変変身が遅くなってしまい申し訳ありません。
自然数ではなくて、0以上の整数でした…
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No.2030 - 2009/01/23(Fri) 18:53:34 |
| ☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | とすると、(2)の証明もα≠0としているところに間違いがありますね。
γ＝α²−α−1を満たす自然数m,nが存在すると仮定すると、
(右辺)−(左辺)
＝α²−α−1−mα−nβ
＝−αm＋α2−α−1−nα−n＝0
α＝0の時、
−1−n＝0
で、これを満たすnはn＝−1でこれは条件より不適
α≠0の時、…(後は以前に書いたとおり)
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No.2031 - 2009/01/23(Fri) 18:56:26 |
| ☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | 何か変な子としてしまってます。
えっと、上の2つのレスは取り消します。
「m，nは0以上の整数」ということです。
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No.2032 - 2009/01/23(Fri) 18:59:44 |
| ☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師] | | | | こんにちは。
やはり問題が間違っていましたね。
方針としては，まず γ=α^2-α とするような m,nを1組求め，
次に，γはα^2-α 以上のすべての整数がとれることを証明するという流れになるかと思います。
整数問題は，具体的な数を代入し，規則性を見つけることも有効です。
何でもいいですが，α=4,β=5 のときを考えてみましょう
γ=4m+5n ですね。
このときδ=α^2-α-1=16-4-1=11
4m+5n=11 とするm,nは確かにありません。が，題意より12以上の整数はすべて取れるということですね。実際にm,nを求めてみましょう。
γ=4m+5n=12 とする m,n は？ γ=4m+5n=13 となる m,nは？
γ=14 とするm,nは? γ=15? 16?・・・・と何か規則性が見えてくるまで続けてみましょう。
（申し訳ありませんが，私用のため，次回のレスは月曜日以降になりますことを，ご了承ください）
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No.2035 - 2009/01/24(Sat) 16:08:52 |
| ☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | こんばんは〜
先生の仰るように、α＝4，β＝5を考えると、
γ：(m，n)
12：(3，0) 444
13：(2，1) 445
14：(1，2) 455
15：(0，3) 555
16：(4，0) 4444
17：(3，5) 4445
18：(2，2) 4455
19：(1，3) 4555
20：(0，4) 5555 (44444では規則性を見出す上で支障をきたします)
21：(4，1) 44445
・： ・
・： ・
・： ・
となりました。
気づいたことなどを書きます。
まず、1増やすには操作Ｆ『4を1つ減らして5を1つ増やす』を行うこと。
これは全てのα、βに対して成り立つ操作です(∵−α＋β＝1)
ここで規則性がこの操作Ｆが行えない箇所があります。
全ての数が5となった時です。ここでどうすれば1増やせるかです。
まず考えられる操作は5をp個とって4をq個加えることしかありません。
−5p＋4q＝1
これを満たすp、qは(3，4)，(7，9)…などがありました。
更に、
−6p＋5q＝1
これを満たすp、qは(4，5)，(9，10)…などがありました。
−7p＋6q＝1
これを満たすp、qは(5，6)，…
として考えてみると、明らかな規則性が見えてきました。
αとqが等しいのでどうやらq＝αと考えられそうです。
βとpもその差を常に2に保っていると見て取れるのでどうやらp＝β−2
ここで一般的に考えると、
−β(β−2)＋α²＝−(α＋1)(α−1)＋α²＝1
(何か、この結果を見てすごく嬉しくなりました)
ここから、βをβ−2個とってαをα個加えればよい。
ということがいえます。
この操作があれば1増やせるのにどうして作れない数字があるのか？
555の次は4444、5555の次は44445、55555の次はこの規則性から444455ですが、
55の次がありません。これは5を3個とることが不可能だからですよね？
こう考えてみると、55は作れますが55の次が作れません。
つまりβがβ−3個(以下)しかない時、この操作が行えず手詰まりです。
β(β−3)＋1は作れません。γ＝β²−3β＋1＝α²−α−1
が出てきます。
問題となるのはγ＝(α²−α−1)＋1
つまりα²−αをとりうるかということですが、
α(α−1)よりm＝α−1ならば出来ます。ここでn＝0なのは明らか。
そうするとこの後は操作Fによって1ずつ増加し、最終的にβがα−1個になりますが、
α＝β−1を代入して、βがβ−2個あることになります。
そうすればそこからβをβ−2個取り去ってαをα個入れれば更に1増やせます。
この後もこの方法でどこまでも続けられる。
というところまで求めました。
が、最後の部分「この方法でどこまでも続けられる」と言うのがあいまいな表現なのでこの部分をきちんと証明したいのですが、どのように書けばいいでしょうか？
というかその前に、ここまでの考え方でおかしなところがあったら教えて欲しいです。
宜しくお願いします！
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No.2037 - 2009/01/24(Sat) 22:09:33 |
| ☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師] | | | | ルイさん，こんばんわ。
そこまで自分で考えたとは素晴らしい。
私もいくつか方法を考えてみたのですが，ルイさんの考え方が一番すっきりするかなという結論に達しました。
要点をまとめてみましょう。
γ=mα+nβ
のおいて，m=α-1,n=0のとき γ=α(α-1)=α^2-α をとる。
操作F：『m≠0 のとき，mを1つ減らして，nを1つ増やす』
をすることにより，(m-1)α+(n+1)β=mα+nβ+β-α=mα+nβ+1
となり，γの値を1づつ増やす事ができる。
(m,n)=(α-1,0),(α-2,1),(α-3,2),・・・(0,α-1) とすることによって，
γは α^2-α から α^2-1 のすべての自然数をとることができる。…(A)
次に m=0 のとき γ=mα+nβ=nβ に対し
操作G:『m=0 のときは，mの値をαとし，nの値をβ-2=α-1 減らす』
を行うと，
α・α+{n-(α-1)}β=α^2+nβ-(α-1)β=α^2+nβ-(α-1)(α+1)=nβ+1
となり，γの値を1増やすことができる。
(m,n)=(0,α-1) に対し，操作G を行うと，
γ=α^2 となる。・・・(B)
以下操作Fを行う，つまり，(m,n)=(α-1,1),(α-2,2),・・・(0,α)を順に代入することで， γは α^2+1 から，α^2+α の間の全ての自然数をとる。・・・(C)
(A)(B)(C) からわかるように，以後 m≠0 のときは操作F,m=0のときは操作Gを行うことで，γはすべての自然数をとることができる。
私は，この解答で良いと思います。
ルイさんの「この方法でどこまでも続けられる」というのがあいまいな表現
というところを，数式で解決できないかと
m+n=k のグループと m+n=k+1 のグループにわけてみたら？
とか，いろいろ考えてみたのですが，いまひとつすっきりした答案にすることは出来ませんでした。もう少し考えてみて，簡潔な表現があれば，ご報告します。
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No.2068 - 2009/01/27(Tue) 00:38:07 |
| ☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | お忙しいところ、すみませんでした
ありがとございます。
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No.2105 - 2009/01/30(Fri) 16:54:39 |
| ☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師] | | | | ルイさん，こんにちは。
（3）にばかり気がとられて，見落としていましたが，回答者掲示板で，(2)の証明が間違っているとのご指摘をいただきました。
＞m＝α−1−1/α−n−n/α＝α−(1＋1/α)(1＋n)
ここで、1＋1/αはα＝1以外では自然数とはならないから、mは自然数でない。
(3/2)×6のように，分数×整数＝整数 になる場合もありますから，mは自然数でないとはいえませんね。
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No.2159 - 2009/02/06(Fri) 19:16:46 |
| ☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | あぁ、そうでした(汗…
証明しなおします。
γ＝α²−α−1を満たす自然数m,nが存在すると仮定すると、
(右辺)−(左辺)
＝α²−α−1−mα−nβ
＝−αm＋α²−α−1−nα−n＝0
ここで両辺をα(≠0)で割ると、
m＝α−1−1/α−n−n/α＝α−(1＋n)−(1＋n)/α
(1＋n)/αが自然数となるならば、αは1＋nの正の約数でなければならない。
このことから、α≦1＋n
よってα−(1＋n)≦0
−(1＋n)/α＜0
全体として、m＝α−(1＋n)−(1＋n)/α＜0
∴m≧0の範囲では整数となることはない。
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No.2167 - 2009/02/07(Sat) 18:29:19 |
| ☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師] | | | | こんにちは。
それでいいですよ。
これは学校のプリントなのかな？ 結構頭を使う問題でしたね。
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No.2173 - 2009/02/09(Mon) 14:50:23 |
| ☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | ありがとうございます。
＞これは学校のプリントなのかな？
はい、学校のプリントで、毎週整数問題のプリントが配られます。「授業ではおおきく取り上げないから普段からやっておけ」ということだそうです。
|
No.2175 - 2009/02/09(Mon) 17:33:26 |
| ☆ Re: / ルイ ♀ [東北] [高校１年生] | | | | ちなみに、この問題には興味があったので、先生の仰られたように実際に色々書き出してみて、連続3数の場合や連続4数の場合についても独自に検証してみました。どうやら、連続3数以上では場合わけが必要なことが分かりました(ガウス記号など特殊な記号を用いるとまとめられるかもしれませんが)。
連続4数は，γ＝pα＋qβ＋rε＋sζ 不可最大数δ
1 2 3 4が唯一規則性から外れて、以下
最大数で飽和状態の場合の、1の増やし方と、;[作れない最大数]
4 5 6 7で7→4 4;[3]
7 8 9 10で10 10→7 7 7;[13]
10 11 12 13で13 13 13→10 10 10 10;[29]
★α＝3n−2で表されるとき、δ＝(n−1)(3n−2)−1＝3n²−5n＋1
3 4 5 6で6→3 4;[2]
6 7 8 9で9 9→6 6 7;[11]
9 10 11 12で12 12 12→9 9 9 10;[26]
★α＝3nで表されるとき、δ＝n(3n)−1＝3n²−1
2 3 4 5で5→2 4;[1]
5 6 7 8で8 8→5 5 7;[9]
8 9 10 11で11 11 11→8 8 8 10;[23]
★α＝3n−1で表されるとき、δ＝n(3n−1)−1＝3n²−n−1
最小数αを3で割った際の余りが関係しているようです。
わかって色々やってみると面白いですね。
ありがとうございました。
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No.2176 - 2009/02/09(Mon) 17:51:21 |
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