 | はじめまして。
[?@]〜[?B]の中に入る答えの導き方について知りたいのですが、どなたかご教授いただけないでしょうか。[?@]〜[?B]は選択式になっております。よろしくお願いいたします。
AB=1,AC=1,BC=√2である三角形ABCがある。2点P,Qは同時に点Aを出発して、点Pは辺AB上を毎秒1の速さでBまで移動し、点Qは辺AC上を毎秒2の速さで移動し1往復するものとする。出発してからt秒後(0＜t≦1)の線分PQの長さをdとする。
0＜t≦1/2のとき、d^2をtを用いて表すとd^2=[?@]、
1/2≦t≦1のとき、d^2をtを用いて表すとd^2=[?A]
であるから0<t≦1のときd^2の最大値は[?B]である。
[?@]
ア,3t^2 イ,4t^2 ウ,5t^2 エ,2t^{2}+t/2 オ,t^2+t
[?A]
ア,-t^{2}+t+1 イ,-5t^{2}+7t-1 ウ,7t^{2}-11t+5 エ,5t^{2}-7t+3 オ,5t^{2}-8t+4
[?B]
ア,3/4 イ,1 ウ,5/4 エ,3/2 オ,7/4
|
No.1913 - 2009/01/14(Wed) 00:27:09
| ☆ Re: / ka-o ♂ [東海] [学校教員] | | |  | tomoさん、はじめまして。ka-oです。
この三角形は、
AB^2+AC^2=BC^2
を満たすので、三平方(ピタゴラス)の定理の逆より、∠BAC=90°となります。
つまり、三角形APQは∠A=90°の直角三角形なので、
d^2(PQ^2)=AP^2+AQ^2
となるのですが、ここまではどうでしょう？
|
No.1914 - 2009/01/14(Wed) 01:15:21 |
| ☆ Re: / tomo [社会人] | | | | ka-oさん、ご返信ありがとうございます。
ピタゴラスの定理でd^2(PQ^2)=AP^2+AQ^2は理解できました。
ただ、APとAQはそれぞれ速度*時間で求められると思うのですが、0＜t≦1/2の場合どのように計算すればよいのでしょうか。
|
No.1917 - 2009/01/14(Wed) 14:40:58 |
| ☆ Re: / ka-o ♂ [東海] [学校教員] | | | | tomoさん、こんばんは
0≦t≦1/2のときに、P,Qがそれぞれどのように動いているか、考えてみます。
Pは、まだAからBに向かっている途中。
Qも、まだAからBに向かっている途中。
となるので、
Pは毎秒1の速さで進むことから、0.1秒では0.1だけ、0.5秒では0.5だけ、というように考え、AP=t。
同様にQは毎秒2の速さで進むことから、AQ=2t。
よって、d^2=(t)^2+(2t)^2=5t^2となります。
ここまではどうでしょう？
次は1/2≦t≦1の場合ですが、この場合AQの長さを求めるのに少し工夫が必要になります。この場合も上と同じように、まずはP,Qの動きから注目してみてください。
|
No.1920 - 2009/01/14(Wed) 21:14:05 |
| ☆ Re: / tomo [社会人] | | | | ka-oさん、解説ありがとうございます。
d^2=(t)^2+(2t)^2=5t^2は、時間の経過が距離を表すということですね。
1/2≦t≦1というのはPがAを出発してBに到着したと考えてよいのでしょうか。それとも、1秒経過はしているけど、AB間の距離は比でしか表されていないから正確な距離は分からず、1秒で到達するかどうかは分からないのでしょうか。
|
No.1924 - 2009/01/15(Thu) 00:46:18 |
| ☆ Re: / ka-o ♂ [東海] [学校教員] | | | | tomoさん、こんばんは
「時間の経過が距離を表す」という認識でいいと思います。
ただ、この問題では単位が与えられていないのでわかりにくいのですが、仮に単位をcmだと考えてみたときに、
＜毎秒1cm→1秒で1cm進む＞ということだから、t秒ではtcm進み、
＜毎秒2cm→1秒で2cm進む＞ということだから、t秒ではt×2=2tcm進む、というように
d^2=(t)^2+(2t)^2の、t,2tはあくまで距離をあらわしたもの、ということを意識しておいてください。
>>AB間の距離は比でしか表わされていない
これはあくまで、比を表しているのではなく、（単位が書かれていないだけで）長さそのものを表しているという認識でいいと思いますよ。
つまり、1/2≦t≦1では
PはAB間をまだ移動中(ただしt=1でBに到着)であり、
QはCから折り返して再びAに向かっている。
ということです。
ここまでで分からないこと、何か違和感を感じることがありましたらカキコして下さい。
よろしいようでしたら、次は1/2≦t≦1でのAP,AQの距離を表す方法を考えてみて下さい。
|
No.1931 - 2009/01/16(Fri) 00:30:15 |
| ☆ Re: / tomo [社会人] | | | | ka-oさん、ご解説ありがとうございます。
PはAB間をまだ移動中(ただしt=1でBに到着)であり、QはCから折り返して再びAに向かっているというところまで理解できました。
つまり、Qは0.5秒以降はCからAに戻るから1→0.8→0.6と減っていきそうですね。
これをどうやって式にすればよいかがまだ分からないので、再度アドバイスいただけないでしょうか。
|
No.1938 - 2009/01/16(Fri) 19:18:56 |
| ☆ Re: / ka-o ♂ [東海] [学校教員] | | | | tomoさん、こんばんは。
>>Qは0.5秒以降はCからAに戻るから1→0.8→0.6と減っていきそうですね。
ここまで抑えられれば、もうできたようなものですよ。
AQの距離を表すにはいろいろな考え方があるのですが、ここでは
AQ=AC-CQ
のようにして考えてみてください。
AC=1とわかっているので、CQの長さを求めることになるのですが、それでは2つ質問です。
Cを出発してからT秒後のCQの長さはTを使うとどう表せますか。
Tをtを使って表してみてください。
|
No.1939 - 2009/01/16(Fri) 20:10:05 |
| ☆ Re: / tomo [社会人] | | | | ka-oさん、ご解説ありがとうございます。
AQ=AC-CQですが、AQ=1-0.2tになると思いd^2=(t)^2+(1-0.2t)^2で計算したのですが、答えと一致しませんでした。
どこが間違っているか、アドバイスいただけないでしょうか。
|
No.1956 - 2009/01/17(Sat) 15:16:57 |
| ☆ Re: / ka-o ♂ [東海] [学校教員] | | | | tomoさん、こんばんは。
tomoさんはCQ=0.2tで表わされると考えたと思うのですが、AQの長さは、1→0.8→0.6というように、減っていく、つまり、CQの長さは0→0.2→0.4と増えていく、というようにとらえて、0.2を意識して0.2tと出したのでしょうか？
ただ0.2tでは、Qは1秒間に0.2づつ、つまり秒速0.2の速さで動いていることになってしまいますよ。あくまでCQの長さが0.2づつ減っていくのは0.1秒につきです。注意してください。
前回の回答の際に出した2つの質問をもういちどしっかり考えてみてください。
「秒速２」ということ以外にも、Tとtの違いにも注意してください。
的外れな推測の回答であったら誠にすみません。
|
No.1965 - 2009/01/17(Sat) 23:43:58 |
| ☆ Re: / tomo [社会人] | | | | ka-oさん、ご解説ありがとうございます。
いろいろ考えてみたのですが、AQ=1-2t以外どうしても思いつきません。
Tとtを使った考え方について、解答をいただけないでしょうか。
|
No.1979 - 2009/01/18(Sun) 16:16:34 |
| ☆ Re: / ka-o ♂ [東海] [学校教員] | | | | tomoさん、こんばんは
ここで念のための確認をしておきます。
TというのはCで折り返してからの経過時間であり、
tというのはAを出発してからの時間ですね。
QはAを出発し、Cで折り返し、再びAに戻るのだから、t>Tというのは明らかです。
まずはこの差について考えてみたいと思います。
t=(QがＡを出発してからCに達するまでの時間)+(Cで折り返してからの時間。)
で表わされ、tomoさんもお分かりのように、QがAを出発してからCに達するまでの時間は0.5(1/2)秒なので、
t=(1/2)+T
変形して、T=t-(1/2)……?@
となります。
今度はCQ間の距離ですが、例をとって確認してみたいと思います。
T=0(t=1/2)では、QはC上にあるのでCQ=0
T=0.1(t=1/2+0.1)では、QはCを出発して0.1秒たったのでCQ=0.2
このように考えていくと、CQ=2Tとあらわされます。
よって?@を代入してCQ=2(t-1/2)=2t-1
つまりAQ=1-(2t-1)=2-2t
となる。
どうでしょうか。
|
No.1984 - 2009/01/18(Sun) 22:10:35 |
| ☆ Re: / tomo [高校１年生] | | | | ka-oさん、ご解説ありがとうございます。
やっとTとtの意味が理解できました。
[?A]の解答は(2-2t)^2+1^2=5(t)^2-8t+4になりそうですね。
[?B]ですが、0<t≦1のときd^2の最大値から、1/2秒のときに最大になりそうなので、AQ=2-2tに1/2を代入してAQ=1とAB=1/2をピタゴラスの定理に当てはめd^2=5/4になると思うのですが、この考え方で合っているでしょうか。
|
No.1989 - 2009/01/19(Mon) 02:29:04 |
| ☆ Re: / ka-o ♂ [東海] [学校教員] | | | | 回答が遅くなって申し訳ありません。
答えは合っています。
ただ「0≦t≦1のときd^2の最大値から、1/2秒のときに最大になりそうなので」
の部分を、具体的にどのように考えたのか、説明おねがいします。
なお、tが分かった後は、ピタゴラスの定理を使わなくとも、いきなり0≦t≦1/2のときの
d^2=5t^2にt=1/2をいれてしまった方が早いですよ。
|
No.2007 - 2009/01/20(Tue) 22:54:32 |
| ☆ Re: / tomo [社会人] | | | | ご返信ありがとうございます。
d^2が最大になるにはQがCに近いときとPがBに近いときだから、1/2秒のときだとQはCに、PはBに最も近づくと考えました。
|
No.2019 - 2009/01/22(Thu) 02:01:45 |
| ☆ Re: / ka-o ♂ [東海] [学校教員] | | | | tomoさん、こんばんは。
1/2秒のときには、確かにQはC上にあり、ACの長さが最も長くなりますが、Pは毎秒1で動くので、APの長さが最大になるのはt=1秒のときですよ。
AP,AQの長さがそれぞれ最大のときの、d^2の長さを出すのが理想なのですが、AP,AQが共に1となる瞬間は存在しないため、実際にはそうはできない。。
(つまり、APの長さの最大は１、AQの長さの最大は1だから、d^2=1^2+1^2とするのが理想だが、そうはできない。）
そのため正確に最大値をだすには、
0≦t≦1/2のときd^2=5t^2
1/2≦t≦1のときd^2=5t^2-8t+4
という情報から、二次関数の最大値をだす問題として考えることになります。
|
No.2025 - 2009/01/23(Fri) 00:49:42 |
| ☆ Re: / tomo [社会人] | | | | ご返信ありがとうございます。
最大値を求めるとすると、f(t)=5t^2-8t+4を平方完成してd^2={5(t-4/5)^2}+4/5になるから、tに0と1を代入するのでしょうか。
最大値で思いつくのはこれしかないのですが、アドバイスいただけないでしょうか。
|
No.2029 - 2009/01/23(Fri) 14:55:32 |
| ☆ Re: / ka-o ♂ [東海] [学校教員] | | | | tomoさん、こんばんは
>>平方完成してd^2={5(t-4/5)^2}+4/5になるから、tに0と1を代入するのでしょうか。
最大・最小を求める問題では、まっさきにグラフを描いてみましょう。
式だけ見ていても分からないものが、グラフを描くことによって見えてきますよ。
この問題ではtの範囲による関数の違い(0≦t≦1/2→d^2=y=5t^2、1/2≦t≦1→y=5t^2-8t+4)に注意するようにしてください。
|
No.2034 - 2009/01/23(Fri) 22:57:33 |
| ☆ Re: / tomo [社会人] | | | | ご返信ありがとうございます。
グラフを書いてみて0≦t≦1/2→d^2=y=5t^2ではtが1/2のとき最大値が5/4、1/2≦t≦1→y=5t^2-8t+4ではtが1/2のとき最大値が5/4になりました。
このような計算方法で良いでしょうか。
|
No.2036 - 2009/01/24(Sat) 21:24:15 |
| ☆ Re: / ka-o ♂ [東海] [学校教員] | | | | その通りですよ。
従って最大値はt=1/2のときの5/4となります。
|
No.2039 - 2009/01/24(Sat) 23:20:10 |
| ☆ Re: / tomo [社会人] | | | | ka-oさん、長い間ありがとうございました。
おかげさまで解決することができました。
また何かありましたらよろしくお願いします。
|
No.2057 - 2009/01/26(Mon) 01:18:05 |
|
