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★ さっかーきさんの質問の続き / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
【問題】xの二次方程式2x²-3(2k+1)x+4k=0の二つの解がともに整数となるように定数ｋの値を定めよ。

【さっかーきさんの途中までの解答】
　２つの解をα，βとし，αβ=2k α+β=3k+3/2
この２式からkを消去して，
　3αβ-2α-2β+3=0　をみたす整数α，βを求めたい。

【新矢のだした練習問題】
　「 xy-x-2y+5=0 をみたす整数x,yを求めよ」
　　xy-x-2y+5=0 を (x-○)(y-△)=□　の形に変形してみてください

【それに対するさっかーきさんの答え】
　○=2, △=1 □=5

===================================================
さっかーきさん，こんばんわ。
　(x-2)(y-1)=5 でしょうか？　展開してみると，
　xy-x-2y+2=5 ,　5を移項すると，xy-x-2y-3=0 となってしまいますよ。
　(x-2)(y-1)=-3 が正解です。展開して元の方程式に戻ることを確認してみることが大切です。

さて，問題に戻って，3αβ-2α-2β+3=0 の変形ですが，
　(3α-2)(β-2/3)=-5/3と
(α-2/3)(3β‐2)=-5/3　の２つ出来ますね。
どちらも展開して右辺を移項すると，元の式に戻ります。

ですが，どちらの式にも両辺に３を掛けてみると・・・。


　
No.1968 - 2009/01/18(Sun) 00:18:50
☆ Re: さっかーきさんの質問の続き / さっかーき
こんばんは。
計算ミス多くてすみません。
これからはちゃんと確認しますね。

両辺に3をかけると結局は同じ??
ってことですか??
つまりどっちでもいいから
どっちか1つだけをつかって
αとβをだせるってことですか??
だけど分数だからよくわからなくなってしまいました。


何度も何度も本当にすみません。
No.1969 - 2009/01/18(Sun) 00:40:11
☆ Re: さっかーきさんの質問の続き / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。夜遅くまで頑張ってますね。あと少しですよ。

＞分数だからよくわからなくなってしまいました。

それもあって両辺に３を掛けるのです。
　(α-2/3)(3β‐2)=-5/3　の両辺に３を掛けると，右辺はもちろん-5になりますが，
左辺はどうなるでしょうか？
　3×(α-2/3)(3β‐2)＝｛3×(α-2/3)｝(3β‐2)
と考えてみましょう。

＞何度も何度も本当にすみません。

いえいえ，全く気になさることはないですよ。私達は「わかったつもりになっただけ」というのが，一番危険だと考えてますから，少しでも疑問が残れば，100%納得するまで何回も質問してくださった方がやりがいもあります。
No.1970 - 2009/01/18(Sun) 02:03:43
☆ Re: さっかーきさんの質問の続き / さっかーき
おはようございます。
あとちょっと頑張ります!!

問題なんですがちょっと解けたかも知れません!!!

(3α‐2)(3β‐2)=‐5
になって〇・△=‐5
だから(3α‐2)=‐5 (3β‐2)=1
α=‐1 β=1 か…

(3α‐2)=5 (3β‐2)=‐1
だけどこれは答えにならないから…答えはα=‐1 β=1 だけになってコレを始めに代入すればいける!!
って思ったんですけど
やり方あってますか??
No.1972 - 2009/01/18(Sun) 10:47:35
☆ Re: さっかーきさんの質問の続き / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
さっかーきさん，こんにちは。

＞答えはα=‐1 β=1 だけになってコレを始めに代入すればいける!!

その通りです！
αβ=2k に代入して，k=-1/2 ですね。　
No.1977 - 2009/01/18(Sun) 14:57:57
☆ Re: さっかーきさんの質問の続き / さっかーき
こんにちは。
やったやったぁ!!!
出来ました。
とても嬉しいです。ありがとうございました。
またお世話になるときはよろしくお願いします。
No.1978 - 2009/01/18(Sun) 15:24:41
★ 高次方程式 / さっかーき [高校１年生]
はじめまして。学校のプリントの問題で回答がまだもらえてないので解き方や使う定理を教えてください。

xの二次方程式2x²-3(2k+1)x+4k=0の二つの解がともに整数となるように定数ｋの値を定めよ。

私はとりあえず２つの解をαとβとおいて2(x-α)(x-β)という意味不明な因数分解をしてみました。たぶん違います。この後はもう手がつけられませんでした。解説おねがいします。
No.1933 - 2009/01/16(Fri) 16:29:25
☆ Re: 高次方程式 / さっかーき [高校１年生]
Genさん、はじめまして。
ｋ＝１ならx=1/2,4,ｋ＝０ならx=0,3/2というように定数ｋが１つに定まらないので
↑その通りですね・・・
具体例でなく、定数kの範囲を求めるのだと思います。
No.1937 - 2009/01/16(Fri) 18:55:27
☆ Re: 高次方程式 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
さっかーきさん，はじめまして。

回答権のないものが回答してしまい，混乱させてしまいました。申し訳ありません。Genさんのルール違反の書き込みはすべて忘れてください。
問題に，「二つの解がともに整数となるように」とありますから，x=1/2,4　などは，問題をみたしません。

さて，

＞私はとりあえず２つの解をαとβとおいて2(x-α)(x-β)という意味不明な因数分解をしてみました

これでいいのです。本質を突いてます。まずは，
　方程式　2(x-α)(x-β)=0　…(イ) と，
　2x^2-3(2k+1)x+4k=0　…(ロ) が，同じ方程式になるためのα,βがみたす条件を考えてみましょう。
　高2ということで，「解と係数の関係」はご存知ないでしょうから，
　(イ)を展開して，係数比較からα,βがみたす式を２つ立ててみてください。
No.1942 - 2009/01/16(Fri) 21:40:47
☆ Re: 高次方程式 / さっかーき [高校１年生]
新矢さん、こんにちは。
計算するとαβ=2k α+β=3k+3/2
になりました。
でもこっからαとβだせませんでした。
どうするんですか？？
No.1945 - 2009/01/16(Fri) 23:49:41
☆ Re: 高次方程式 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

文字が３つで式が２つですから，これを連立方程式とみても，それぞれの値は求まりませんよね。
ここで，それぞれの文字がどういう数か考えてみると，αとβは整数ですが，kは整数かどうかはわかりません。だいたいそれを求めるのですから。
こういうときは，整数とわかっている文字は残し，整数かどうかよくわからない文字は消すのがセオリーです。
そこで，
αβ=2k α+β=3k+3/2
の２式から，kを消去して，αとβのみたす関係式を作ってみてください。
No.1948 - 2009/01/17(Sat) 02:38:00
☆ Re: 高次方程式 / さっかーき [高校１年生]

> ここで，それぞれの文字がどういう数か考えてみると，αとβは整数ですが，kは整数かどうかはわかりません。だいたいそれを求めるのですから。
> こういうときは，整数とわかっている文字は残し，整数かどうかよくわからない文字は消すのがセオリーです。
> そこで，
> αβ=2k α+β=3k+3/2
> の２式から，kを消去して，αとβのみたす関係式を作ってみてください。

k=αβ/2にして　　α+β=3k+3/2
に代入してやるということですか？？
”αとβのみたす関係式”てどうするとわかるのでしょうか。
関係式がわかったら答えに近づくのでしょうか。
αとβがでたら最初の式にあてはめて答えでますよね。
今は、がんばってαとβの値を出そうとしているのでしょうか？？
それともその関係式を利用して解くのですか？
No.1952 - 2009/01/17(Sat) 12:59:31
☆ Re: 高次方程式 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

＞k=αβ/2にして　　α+β=3k+3/2　に代入してやるということですか？？

そうです。関係式というより方程式という言葉を使った方が良かったですね。
最終的にはkの値を求めるのですが，その前に「α，βが整数」という条件を使って，αとβの値を求めようとしています。
No.1953 - 2009/01/17(Sat) 14:06:54
☆ Re: 高次方程式 / さっかーき [高校１年生]
こんにちは。

> 最終的にはkの値を求めるのですが，その前に「α，βが整数」という条件を使って，αとβの値を求めようとしています。

がわかりません。何度も申し訳あありませんがαとβの出し方教えてください。
No.1954 - 2009/01/17(Sat) 14:13:08
☆ Re: 高次方程式 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
k=αβ/2にして　　α+β=3k+3/2　に代入し，整理すると，どんな式が得られましたか？
No.1955 - 2009/01/17(Sat) 15:01:48
☆ Re: 高次方程式 / さっかーき [高校１年生]
> k=αβ/2にして　　α+β=3k+3/2　に代入し，整理すると，どんな式が得られましたか？

α+β=3/2αβ+3/2とか
2(α+β)=3αβ+3
といった感じですか？
No.1957 - 2009/01/17(Sat) 16:07:43
☆ Re: 高次方程式 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

それでOKです。説明のために，
　3αβ-2α-2β+3=0 とさせてください。
これをみたすような整数α，βがいくつかを求めることになります。
このようなものを不定方程式といいます。
不定方程式の解き方を簡単な例で説明しますね。

(x-1)(y-2)=3 をみたす整数x,yを求めよ

という問題を考えてみます。
これは，x-1 と y-2 を掛けたら3になるという意味ですよね。
x,yは整数なのだから，x-1 も y-2 も整数です。
掛けて3になる整数の組み合わせは，1と3，-1と-3 しかないので，
(1)　x-1=1 , y-2=3
(2) x-1=3 , y-2=1
(3)　x-1=-1 , y-2=-3
(4) x-1=-3 , y-2=-1
の４つの場合しか考えられません。
(1)～(4) それぞれを解くと
　(x,y)=(2,5),(4,3),(0,-1),(-2,1)
となります。

今，(x-1)(y-2)=3 を解いたわけですが，左辺を展開して右辺の3を移項すると，
　　xy-2x-y-1=0 になりますね。ですから，
「xy-2x-y-1=0 をみたす整数x,yを求めよ」という問題を解いたことにもなります。

また別の問題で練習してみましょう。
「 xy-x-2y+5=0 をみたす整数x,yを求めよ」
最初に，xy-x-2y+5=0 を (x-○)(y-△)=□　の形に変形することを考えます。
この形に変形できたら，掛けて□になる整数の組み合わせを考えて，
x-○がいくつで y-△がいくつの場合と，x-○がいくつで y-△がいくつの場合と・・・
というように，先の例と同じように解けるはずです。

xy-x-2y+5=0 を (x-○)(y-△)=□　の形に変形したいのですが，○，△，□にあてはまる整数はいくつでしょう？
クイズ感覚で考えてみてください。



No.1959 - 2009/01/17(Sat) 18:37:34
☆ Re: 高次方程式 / さっかーき [高校１年生]
こんばんは
> xy-x-2y+5=0 を (x-○)(y-△)=□　の形に変形したいのですが，○，△，□にあてはまる整数はいくつでしょう？
> クイズ感覚で考えてみてください。

○=2, △=1 □=5ですね。

でもいまの場合
(3α-2)(β-2/3)=-5/3と
(α-2/3)(3β‐2)=5/3と二つできませんか？？
No.1966 - 2009/01/17(Sat) 23:45:02
☆ Re: 高次方程式 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
記事が長くなったので，新しく作ります。
No.1968です。
No.1967 - 2009/01/18(Sun) 00:05:15
★ 直線の方程式です / みく
はじめまして。

二直線x+y=0、7x-y-4=0
のなす角を二等分する直線の方程式を求めよ



というもんだいで、
点と直線の距離の関係から求めようとしたものの、
途中でわからなくなってしまいました

よろしくお願い致します
No.1943 - 2009/01/16(Fri) 21:45:37
☆ Re: 直線の方程式です / 雪見 ♂ [関東] [大学生]
みくさんはじめまして。
学年を書いていただけますか？使えるものがいろいろと変わってきますので。
No.1947 - 2009/01/17(Sat) 01:26:18
☆ Re: 直線の方程式です / みく
今は高校一年生で、
数１の発展学習をしていて三角関数までおわりました。
No.1950 - 2009/01/17(Sat) 07:47:04
☆ Re: 直線の方程式です / 雪見 ♂ [関東] [大学生]
了解です。
点と直線の距離の関係を使うという着目点は正解です。
求める直線上の点を(p,q)と置くと、(p,q)から二直線への距離はそれぞれ、
|p+q|/√(1^2+1^2)
|7p-q-4|/√(7^2+1^2)
となります。二等分線ということはこの2つが等しいので=で結んでやります。すると
|p+q|/√2＝|7p-q-4|/5√2
5|p+q|=|7p-q-4|
となります。
絶対値がついているのでややこしいですが、ようするにこれは、
5(p+q)=±(7p-q-4)
のことなので、整理して、
2p-6q-4=0
12p+4q-4=0
の2式を得ます。あとはpをx、qをyで置き換えてやれば、
x-3y-2=0
3x+y-1=0
となります。
ちなみに絶対値の入った方程式の時は、
5|p+q|=|7p-q-4|
ここから両辺を2乗してやって、
25(p+q)^2=(7p-q-4)^2
移項して、
25(p+q)^2-(7p-q-4)^2=0
ここでX^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)の公式を使って
(5p+5q+7p-q-4)(5p+5q-7p+q+4)=0
(12p+4q-4)(-2p+6q+4)=0
12p+4q-4=0, -2p+6q+4=0
とやるとすっきりとします。結局は同じことをやっているのですけどね。
No.1951 - 2009/01/17(Sat) 12:27:12
☆ Re: 直線の方程式です / みく


わかりました！
ありがとうございました。
No.1961 - 2009/01/17(Sat) 21:03:30
★ 二次関数について / ベン [社会人]
はじめまして。
二次関数の最大値、最小値の問題をしているのですが、すごく初歩的な質問をさせてください。
例えば、０≦Ｘ≦Ａにおける関数Ｙ＝－Ｘ＾２＋４Ｘ＋１の最小値を求めよ。
という問題で、参考書では場合わけを
１．０＜Ａ＜４のとき
２．Ａ＝４のとき
３．４＜Ａのとき

としています。
また、この最大値を求める場合は
１．０＜Ａ＜２のとき
２．２≦Ａのとき

としています。

インターネット等をみていると、５つに場合わけをしているものもありますが、
必ずしもこの分け方でしなければいけないのでしょうか？

よろしくお願いいたします。
No.1932 - 2009/01/16(Fri) 01:09:18
☆ Re: 二次関数について / londontraffic [教育関係者]
ベンさん，こんばんは．

>必ずしもこの分け方でしなければいけないのでしょうか？
私にとって，この文から考えられるものが２通りあります．以下の２つのうちどちらでしょうか．
１．A=2と4ではないところで，場合分けをする
２．A=2と4が場合分けの切れ目になるが，３個と２個や５個ではなくて
　　　0 < A ≦ 2, 2 ≦ A ≦ 4,4 ≦ A の ３個（など）で場合分けをする
レスお願いいたします<(_ _)>
No.1934 - 2009/01/16(Fri) 18:07:28
☆ (No Subject) / ベン [社会人]
頂点が２になるので、４で考えるというのはわかるのですが、
2番の場合わけの条件が理解できません・・。

よろしくお願いします。
No.1936 - 2009/01/16(Fri) 18:46:08
☆ Re: 二次関数について / londontraffic [教育関係者]
レスありがとうございます．
>頂点が２になるので、４で考えるというのはわかるのですが、
では，２も場合分けの切れ目になるということを考えてみます．
下の図をご覧になりながらでお願いします．

まず，放物線y=-x^2+4x+1はベンさんの仰るとおり，点(2,5)を頂点とする上に凸の放物線です（図１）．
A<2のとき定義域に頂点は含まず，x=Aで最大値-A^2+2A+1をとります（図２）・・・（あ）
また2<Aのとき，定義域内に頂点を含みます．ゆえに，頂点のところで関数は最大となるので，x=2で最大値5をとります（図３）・・・（い）
（あ）と（い）で最大値をとるxの値がそれぞれAと２です．その境目はA=2でありこの２で場合分けをすれば，最大値を求めることができます．

いかがですか？
No.1941 - 2009/01/16(Fri) 21:21:07
☆ ありがとうございます / ベン [社会人]
ちょっと細かいことを聞いてもよろしいですか！？

この問題は、場合わけをするとき、１に、０＜Ａ＜４となっています。

同じような問題で、
０≦Ｘ≦Ａにおける関数Ｙ＝Ｘ＾２－４Ｘ＋５の最大値を求めよ。とあります。

これの答えは、
０≦Ａ＜４のとき
Ａ＝４のとき
４＜Ａのとき
となっています。
一番目の０≦Ａ＜４は、なぜ０≦Ａなのでしょうか？０＜Ａではおかしいのでしょうか？

すみませんが、教えていただけると助かります。
No.1944 - 2009/01/16(Fri) 22:39:28
☆ Re: 二次関数について / londontraffic [教育関係者]
２問ともA < 0では０≦Ｘ≦Ａが成り立たなくなるので，通常は問題文に「A > 0とする」と書いてあるハズです．
そのような記述があれば，A=0を含めません．

もし
・Aの条件の記述がない
のであれば厳密にやると
1) A < 0のときは，０≦Ｘ≦Ａが成り立たなくなるので不適
2)０≦Ａ＜４のとき・・・・・もしくは，2)A=0のとき・・・・・
としなくてはなりません．
・「A ≧ 0とする」と記述されている
のであれば，上の2)からスタートとなります．

ただしA=0であるとき，定義域は「x=0」であり，最大値・最小値は一致します．
余程シビアな状況でない限り，出題者は「A=0を含める・含めない」などという些末なことを問うているのではなく，場合分けの切れ目が理解できていて，しっかりと計算出来ているかを見たいのです．

いかがですか．
No.1949 - 2009/01/17(Sat) 06:15:33
☆ (No Subject) / ベン [社会人]
わかりやすい説明でずっと悩んでいたことが解決しました！！
ありがとうございます。

入試でもそんな厳密に採点はされないってことですよね。

1歩進めることができてうれしいです。ありがとうございました。
No.1960 - 2009/01/17(Sat) 18:37:45
★ ２次関数のグラフの平行移動(２)　青チャートＩ / バムセ [地球外] [高校１年生]
いつも大変お世話になっております。

基本例題５６
（２）ｘ軸方向に１、ｙ軸方向にー２だけ平行移動すると、放物線Ｃ1：ｙ＝２ｘ*2＋８ｘ＋９に移されるような放物線Ｃの方程式はｙ＝２ｘ*2＋□ｘ＋□である。

解答
【Ｃ1の方程式を変形して　ｙ＝２(ｘ＋２)*2＋１】
よって、頂点は　点(ー２、１)
この点をｘ軸方向にー１、ｙ軸方向に２だけ平行移動すると、点(ー３、３)に移るから、放物線Ｃの方程式は
ｙ＝２(ｘ＋３)*2＋３　すなわち　ｙ＝２ｘ*2＋１２ｘ＋２１


検討に、
Ｃ：ｙ＝２ｘ*2＋ｂｘ＋ｃとして、放物線の方程式を求め、ｂ、ｃの値を決定する方法もあるが、文字の処理が面倒。
とあり、一応取り組んでみたのですが、どの様にして値を決定するのでしょうか？
ｙー(ー２)＝２(ｘー１)*2＋ｂ(ｘー１)＋ｃ
の後がわかりません。

また、【】の平方完成した２次関数を、青チャートでは“基本形”と言っているのですが、基本形は　ｙ＝ａｘ*2　のことで、ｙ＝ａ(ｘーｐ)＋ｑの形は“標準形”だと思っていたのですが、どちらが正しいのでしょうか？

よろしくおねがいします。
No.1925 - 2009/01/15(Thu) 01:24:25
☆ Re: ２次関数のグラフの平行移動(２)　青チャートＩ / 七 ♂ [近畿] [社会人]
バムセさん，こんにちは。
早速ですが
y－(－2)＝2(x－1)2＋b(x－1)＋c
変形して
y＝2x2＋(－4＋b)x－b＋c
これが
y＝2x2＋8x＋9
と一致すればいいのですから
－4＋b＝8，－b＋c＝9
であればいいですね。

また、y＝a(x－p)2＋q
の形を2次関数の“基本形”または“標準形”といいます。
y＝ax2＋bx＋c の形を“一般形”といいます。
y＝ax2を平行移動すれば得られますから，これが“基本”であるということは出来ますね。
No.1926 - 2009/01/15(Thu) 11:47:34
☆ Re: ２次関数のグラフの平行移動(２)　青チャートＩ / バムセ [地球外] [高校１年生]
七先生、ありがとうございます。

ｂとｃが出てきて、何と連立すればいいのかわからなかったのですが、よく考えてみたらわかりました(^ ^；)
基本形も標準形も使えるのですネ・・・参考になりました！
No.1930 - 2009/01/16(Fri) 00:08:53
★ (No Subject) / tomo [社会人]
いつもお世話になっております。
aの範囲をD=(b)^2-4ac＞0⇔-3(a)^2+12>0からa<2と導くと思うのですが、[?@]～[?B]の問題にどう取り組めばよいかご教授いただけないでしょうか。
[?@]～[?B]は選択式になっております。
よろしくお願いいたします。

aを定数とするxについての2次方程式　(x)^2-ax+(a)^2-3=0・・・?@

(1)?@の解が異なる２つの整数となるようなaの値に対して、これら２つの整数の解の差の絶対値は[?@]である。
(2)?@が正の解と負の解をもつようなaの値の範囲は[?A]である。
(3)?@が少なくとも1つの正の解をもつようなaの値の範囲は[?B]である。

[?@]
ア、1 イ、2 ウ、3 エ、4 オ、5
[?A]
ア、-√3≦a≦√3 イ、-√3＜a＜√3 ウ、a＜-√3,√3＜a エ、a≦-√3,√3≦a
オ、-2＜a＜2
[?B]
ア、-√3<a≦2 イ、√3<a≦2 ウ、0<a<√3 エ、a＜-√3,√3≦a オ、-2≦a≦2
No.1927 - 2009/01/15(Thu) 12:45:36
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
tomoさん，こんばんは．
No.1913で質問された問題は解決されましたか？この掲示板のルールはご存じでしょうか？
ご存じでなければ，上の【書きこまれる方へのお願い】をご覧ください．

No.1913での疑問が解決したら，その旨を下の記事に書き込みしてください．
その後に，私か新矢先生が回答します．
No.1928 - 2009/01/15(Thu) 17:37:03
☆ Re: / tomo [社会人]
londontrafficさん、こんばんは。
改めて読み直したら書き込みできないですね。
No.1913が解決してから再度質問したいと思います。
ご迷惑おかけしました。
No.1929 - 2009/01/15(Thu) 21:42:08
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
tomoさん，こんばんは．
No.1913で質問された問題は解決されましたか？この掲示板のルールはご存じでしょうか？
ご存じでなければ，上の【書きこまれる方へのお願い】をご覧ください．

No.1913での疑問が解決したら，その旨を下の記事に書き込みしてください．
その後に，私か新矢先生が回答します．
No.1928 - 2009/01/15(Thu) 17:37:03
☆ Re: / tomo [社会人]
londontrafficさん、こんばんは。
改めて読み直したら書き込みできないですね。
No.1913が解決してから再度質問したいと思います。
ご迷惑おかけしました。
No.1929 - 2009/01/15(Thu) 21:42:08
★ (No Subject) / tomo [社会人]
いつもお世話になっております。
aの範囲をD=(b)^2-4ac＞0⇔-3(a)^2+12>0からa<2と導くと思うのですが、[?@]～[?B]の問題にどう取り組めばよいかご教授いただけないでしょうか。
[?@]～[?B]は選択式になっております。
よろしくお願いいたします。

aを定数とするxについての2次方程式　(x)^2-ax+(a)^2-3=0・・・?@

(1)?@の解が異なる２つの整数となるようなaの値に対して、これら２つの整数の解の差の絶対値は[?@]である。
(2)?@が正の解と負の解をもつようなaの値の範囲は[?A]である。
(3)?@が少なくとも1つの正の解をもつようなaの値の範囲は[?B]である。

[?@]
ア、1 イ、2 ウ、3 エ、4 オ、5
[?A]
ア、-√3≦a≦√3 イ、-√3＜a＜√3 ウ、a＜-√3,√3＜a エ、a≦-√3,√3≦a
オ、-2＜a＜2
[?B]
ア、-√3<a≦2 イ、√3<a≦2 ウ、0<a<√3 エ、a＜-√3,√3≦a オ、-2≦a≦2
No.1927 - 2009/01/15(Thu) 12:45:36
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
tomoさん，こんばんは．
No.1913で質問された問題は解決されましたか？この掲示板のルールはご存じでしょうか？
ご存じでなければ，上の【書きこまれる方へのお願い】をご覧ください．

No.1913での疑問が解決したら，その旨を下の記事に書き込みしてください．
その後に，私か新矢先生が回答します．
No.1928 - 2009/01/15(Thu) 17:37:03
☆ Re: / tomo [社会人]
londontrafficさん、こんばんは。
改めて読み直したら書き込みできないですね。
No.1913が解決してから再度質問したいと思います。
ご迷惑おかけしました。
No.1929 - 2009/01/15(Thu) 21:42:08
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
tomoさん，こんばんは．
No.1913で質問された問題は解決されましたか？この掲示板のルールはご存じでしょうか？
ご存じでなければ，上の【書きこまれる方へのお願い】をご覧ください．

No.1913での疑問が解決したら，その旨を下の記事に書き込みしてください．
その後に，私か新矢先生が回答します．
No.1928 - 2009/01/15(Thu) 17:37:03
☆ Re: / tomo [社会人]
londontrafficさん、こんばんは。
改めて読み直したら書き込みできないですね。
No.1913が解決してから再度質問したいと思います。
ご迷惑おかけしました。
No.1929 - 2009/01/15(Thu) 21:42:08
★ 質問 / ショウ [高校１年生]

始めまして。高校１年です。


(2x-y-3z)6乗を展開して整理すると
項の数は全部でいくつになるか？

という質問なんですが、解説を見てもまったくわかりません。

一応解答では

p+q+r=5 p≧0 q≧0 r≧0だから
整数p,q,rを区別しない３つの値の組は
(0,0,6) (0,1,5) (0,2,4) (0,3,3) (1,1,4) (1,2,3) (2,2,2)
3×3+3!×3+1=28となっています。

解説お願いいたします。
No.1899 - 2009/01/11(Sun) 19:05:09
☆ Re: 質問 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ショウさん、こんにちは。河童です。

質問に答える前にこちらから質問して恐縮ですが、ショウさんは２項定理は勉強されていますか？
No.1910 - 2009/01/13(Tue) 15:57:48
☆ Re: 質問 / ショウ [高校１年生]

河童さん、返信ありがとうございます。

ちょうど二項定理を勉強していて出てきた問題ですので
二項定理は勉強しました。
No.1912 - 2009/01/13(Tue) 18:24:04
☆ Re: 質問 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ショウさん、こんばんは。

二項定理を教わったときのことを思い出しながら、二項定理の成り立ちを振り返ってみましょう。

例えば、

( a + b )^5　　ここで、『^5』の部分は５乗の意味です

を展開すると、いくつの項が現れたでしょうか。
No.1923 - 2009/01/15(Thu) 00:38:31
★ ニューアクションβ 1A 「練習178」について / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
新年あけましておめでとうございます。
今年も何卒よろしくお願いいたします。

これが新年初の質問です。
ニューアクションβ 1A 練習178についてです。

～～～～～
右図は、台形と2つの扇形を組み合わせた図形である。この図形を直線Lを軸として回転してできる立体の体積と表面積を求めよ。

(模範解答)
図の台形を回転してできる立体は、上面の半径3cm、下面の半径6cm、高さ3chの円錐台であるから、その体積V1と側面積S1は

『V1=(1/3)π×6^2×6×{1-(1/8)}=63π(cm^3)』
『S1=π×(6√2)^2×(1/√2)×{1-(1/4)}=27√2π(cm^2)』
～～～～～

『』のところがわかりません。
(1/3)π×6^2×6は体積を表しているのだと思いますが、その後の{1-(1/8)}が何を表しているのかがわかりません。
S1についても{1-(1/4)}について同様です。

あと、模範解答の左に補足として『もとの円錐と切り取った円錐の相似比は2:1』とありますが相似の理由を教えていただきたいです。

お願いいたします。


（前もって言わせていただきます、この質問が解決した後にもう1つ別の質問があります）
No.1856 - 2009/01/05(Mon) 17:43:06
☆ Re: ニューアクションβ 1A 「練習178」について / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
>>あと、模範解答の左に補足として『もとの円錐と切り取った円錐の相似比は2:1』とありますが相似の理由を教えていただきたいです。

すいません、この疑問は解決しました。
よくよく考えてみれば(1/4)の扇形は半径が同じですよね。


{1-(1/8)}、{1-(1/4)}について、もう一度考えてみたのですがやはりわかりません。
これについて少しも解答を出すことが出来ませんでした（＾＾；）
No.1869 - 2009/01/08(Thu) 15:34:56
☆ Re: ニューアクションβ 1A 「練習178」について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

図がないと問題がわかりませんので，回答できません。
図のUPの仕方は，まず写メかデジカメで撮ったものをPCの適当なフォルダに取り込みます。書き込みフォームの下の「ファイル」の『参照』で該当フォルダから図を選べば，記事に貼り付けることができます。
次回からよろしくお願いします。

＞『もとの円錐と切り取った円錐の相似比は2:1』
から，もとの円錐と切り取った円錐の体積比がわかりますね。
No.1876 - 2009/01/08(Thu) 19:39:15
☆ Re: ニューアクションβ 1A 「練習178」について / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
お返事送れてしまって申し訳ありません。
写真の件、次回から気をつけますm(_ _)m。

今回の図は先生がUPしていただいたその図です。
僕、もう一度考えて見ました。
そこでβのP.250 [6]のまとめ部分を見て思ったのですが、これはもしかして相似比をいかして2:1⇔2^3:1^3⇔8:1
よって{1-(1/8)}をかけているのでしょうか？
そして表面積に関してもそれぞれ2乗して・・・という方法なのでしょうか？
No.1909 - 2009/01/13(Tue) 15:12:17
☆ Re: ニューアクションβ 1A 「練習178」について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
氷わさびさん，こんにちは。
そういうことです。
No.1911 - 2009/01/13(Tue) 16:48:29
☆ Re: ニューアクションβ 1A 「練習178」について / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
解決しました、ありがとうございました。
今後もよろしくお願いします。m(_ _)m
No.1919 - 2009/01/14(Wed) 17:43:19
★ 図形と方程式の問題 / PandaＭＡＴＨ ♂ [中国] [高校2年生]
よろしくお願いします。学校のプリントで『円Ｃ１：Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝４と
円Ｃ２：（Ｘ－４）＾２＋（Ｙ－３）＾２＝９において、直線Ｙ＝ｍＸ（ｍは定数）と
円Ｃ１との交点をＡ，Ｂとする。さらに、このｍの内、最小値をｍ０としたときの
Ｙ＝ｍ０Ｘと円Ｃ１との交点をＤ，Ｅとする。点Ｐが円Ｃ２上を動くとき、
ＤＰ＾２＋ＥＰ＾２の最大値と、そのときの点Ｐの座標を求めよ。』という
問題があります。このときｍ０の考え方がわからず、結局、この問題が解けません。
１）ｍ０はいくらでしょうか。　また本題の
２）ＤＰ＾２＋ＥＰ＾２の最大値と、そのときの点Ｐの座標　の求め方を教えてください
No.1916 - 2009/01/14(Wed) 11:34:01
☆ Re: 図形と方程式の問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
PandaＭＡＴＨ さん，こんにちは。

問題がおかしいですよね。
y=mx は必ず x^2+y^2=4 と異なる２点で交わりますから，mに最小値なんてありませんものね。
「直線Ｙ＝ｍＸ（ｍは定数）と円Ｃ１との交点をＡ，Ｂとする」のところが，「直線Ｙ＝ｍＸ（ｍは定数）は，円Ｃ２と共有点を持つとする」なのではないかな？　と思うのですが，学校の先生に聞いてみてください。
No.1918 - 2009/01/14(Wed) 17:17:07
★ ベクトルの問題 / ナオユキ [高校2年生]
初めまして。

1辺の長さが1の正三角形ABCの外接円をKとし,AB→=b→,AC→=c→とおく。
また,円K上を動く点Pに対し,AP→=p→とおく。

(1)p→=ｘb→+yc→とおくとき,xとyが満たす方程式を求めよ。

(2)x,yが(1)で求めた方程式を満たしながら動く時,u=x+y/2,v=(√3/2)yで与えられる点(u,v)の軌跡を求めよ。

千葉大06年の問題です。
外接円がでているので正弦定理かなと思ったのですが使い方がわかりません。
解説お願いします。
No.1900 - 2009/01/12(Mon) 11:33:55
☆ Re: ベクトルの問題 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
ナオユキさん、こんばんは
早速いきましょう。

外接円とベクトルをからめた問題は結構多いのですが、そういう問題ではまず、外接円の
中心をＯとしたとき、AO→をほかのベクトルで表せるか、というのがポイントになってきます。

この問題でもまず、AO→をb→,c→で表してみてください。

ヒントはAO=BO,AO=COです。
No.1915 - 2009/01/14(Wed) 01:46:08
★ No.1831の続き / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
【問題】
関数f(x) = (x− a)(x − b)+ (x −b)(x − c) + (x− c)(x − a) について，次の問に答
えよ。ここでa, b, c はa < b < cを満たす実数とする。
(1) f(a) の値は正か負か0 か答えよ。
(2) f(x) = 0 の解をα, β (α < β) とするとき，a, b, c, α, β の大小関係を調べよ。
(3) b − a とc − b の小さくない方の値をM とする。a, b, c がa < b < cなる条件を
満たすとき，
Ｍ分のβ－αの最大値を求めよ。
=====================================
ヒロさん，こんにちは。
前回までを整理しておきます。
(3)で b-a≧c-b のときをまず考え，このとき，
　a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca の最大値を求めようということでしたね。
　cのとりうる値の範囲は　b＜c≦b＜ｃ≦－a+2b　でした。

平方完成すると，a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca ={c-(a+b)/2}^2+(3a^2-6ab+3b^2)/4
となりましたね。
もう一度お聞きします。
軸（頂点のx座標）(a+b)/2 は bより大きいでしょうか？小さいでしょうか？
No.1906 - 2009/01/12(Mon) 20:48:29
★ 二次関数について / ヒロ ♂ [東北] [高校１年生]
こんにちは。初めまして。高校一年です。


関数f(x) = (x− a)(x − b)+ (x −b)(x − c) + (x− c)(x − a) について，次の問に答
えよ。ここでa, b, c はa < b < cを満たす実数とする。
(1) f(a) の値は正か負か0 か答えよ。
(2) f(x) = 0 の解をα, β (α < β) とするとき，a, b, c, α, β の大小関係を調べよ。
(3) b − a とc − b の小さくない方の値をM とする。a, b, c がa < b < cなる条件を
満たすとき，
Ｍ分のβ－α
の最大値を求めよ。
(防衛大)

f(a) = (a − b)(a − c) であり，a < b < c より
a − b < 0, a− c < 0
であるから，
f(a) = (a − b)(a − c) >0

という風に1は解けましたが２，３と分かりません。
どうやれば良いのでしょうか。
No.1831 - 2008/12/30(Tue) 10:38:59
☆ Re: 二次関数について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
あけましておめでとうございます。

回答が遅くなってしまい申し訳ありません。
さて，(1)で f(a)＞0 であることがわかったわけですが，f(b)とf(c)も調べてみましょう。
その結果から，y=f(x) のグラフとx軸との位置関係を考えてみれば，自ずと(2)の答えはわかるかと思います。
No.1857 - 2009/01/06(Tue) 13:47:49
☆ Re: 二次関数について / ヒロ ♂ [東北] [高校１年生]
こんにちわ。

ありがとうございます！a < α < b < β < c
で良いですよね？

（３）は今もまだ考えているのですが糸口すら分かりません。。
No.1860 - 2009/01/07(Wed) 15:52:42
☆ Re: 二次関数について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

a＜α＜b ＜β＜c　でOKですよ。
(3)は，まずは β-α を求めることからはじめましょう。

f(x) = (x− a)(x − b)+ (x −b)(x − c) + (x− c)(x − a)
の右辺を展開して，xの降べきの順に整理しましょう。
解と係数の関係をご存知なら，それを使って (β-α)^2 を求めてみてください。
ご存知でなければ，解の公式からα，βをそれぞれ求めて，(β-α)^2 を計算してみてください。
No.1861 - 2009/01/07(Wed) 16:23:23
☆ Re: 二次関数について / ヒロ ♂ [東北] [高校１年生]
こんばんわ。ありがとうございます！


(β − α)2 = (α + β)2 − 4αβ

3(α + β) = 2(a + b + c), 3αβ = ab + bc + caより、これを↑に代入で求まりました。
M = b − a (b − a≧ c − b)
c − b (b − a ≦c − b)

という所で分かりません。。
No.1865 - 2009/01/07(Wed) 21:46:17
☆ Re: 二次関数について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

では，b-a≧c-b　のときを考ることにしましょう。
√をかくのが面倒なので，２乗した　(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)/(b-a)^2 (=A とする)の最大値を求めることにしましょう。
少し楽ができる方法もあるのですが，１年生ということで，基本に忠実にいくことにします。
数Iで「最大最小を求めよ」と言われたら，まず，「２次関数が出来ないか？」 と考えることが原則です。

A＝(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)/(b-a)^2
は，a,bが分母にあるので，aやbの２次関数とは見れませんが，cについては２次関数と見ることができます。
そこで，これもいちいち分母の(b-a)^2 を書くのが面倒なので，
　(b-a)^2A=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca とし，
右辺の　a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca をcの２次関数と見て，これの最大値を求めてみましょう。
No.1871 - 2009/01/08(Thu) 16:56:42
☆ Re: 二次関数について / ヒロ ♂ [東北] [高校１年生]
こんにちは。


結果的に３分の２ルート３になりましたが
どうでしょうか？
No.1878 - 2009/01/09(Fri) 19:17:48
☆ Re: 二次関数について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

いえ，違います。
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca を平方完成した結果および，cがいくつのときに最大になるのかを書き込んでください。
No.1879 - 2009/01/09(Fri) 20:50:09
☆ Re: 二次関数について / ヒロ ♂ [東北] [高校１年生]
こんばんわ。

＝(ｃ－２分のｂ＋a)^2+4分の3b^2-a^2-ab+4c^2


ｃ＝２分のb+aの時、4分の３b^2-a^2-ab+4c^2

となりました。
No.1883 - 2009/01/09(Fri) 22:55:14
☆ Re: 二次関数について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

２重３重のミスをしているようです。
ゆっくりいきましょう。

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca

を降べきの順に整理したらどうなりますか？
No.1884 - 2009/01/09(Fri) 23:11:04
☆ Re: 二次関数について / ヒロ ♂ [東北] [高校１年生]
こんばんわ。

ｃ^2-(b+a)c+b^2+c^2-ab

ｃの関数とみるのですよね？
No.1885 - 2009/01/09(Fri) 23:22:26
☆ Re: 二次関数について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
打ち間違いなのかな？
ｃ^2-(b+a)c+b^2+ a^2-ab
ですよ。
これを平方完成してみてください。
No.1888 - 2009/01/10(Sat) 01:15:01
☆ Re: 二次関数について / ヒロ ♂ [東北] [高校１年生]
こんばんわ。

すいません。打ち間違えました。。

(c-２分のb+a)^2+4分の-a^2+3b^2+4c^2-4ab

です。
No.1890 - 2009/01/10(Sat) 21:06:06
☆ Re: 二次関数について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんんばんわ。

(c-２分のb+a)^2+4分の-a^2+3b^2+4c^2-4ab

すいませんが，赤のc^2 がどのようにして出てきたのかちょっとわかりません。
途中式を書き込んでくださいますか？
No.1892 - 2009/01/10(Sat) 23:06:29
☆ Re: 二次関数について / ヒロ ♂ [東北] [高校１年生]
おはようございます。


すいません。aとｃを打ち間違えたようデス。

ですから、(c-２分のb+a)^2+4分の3a^2+3b^2-4ab

となります。すいません。
No.1894 - 2009/01/11(Sun) 08:16:25
☆ Re: 二次関数について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
おはようございます。

文字が多い時は，暗算でやるよりも，5,6行かけて計算した方が確実ですよ。
私もこの平方完成は４行かけました。

{c-(a+b)/2}^2+(3a^2-6ab+3b^2)/4
となるはずです。もう一度やり直してみてください。

さて，この式の最大値を求めようとしているのでしたね。
下に凸の放物線ですから，頂点は最大には関わってきませんよ。

ここで，よく考えなければならないのは，定義域，つまり cのとりうる値の範囲です。
(2)や今考えている“場合わけ”から，cのとりうる値の範囲を考えてみましょう。
No.1895 - 2009/01/11(Sun) 14:46:28
☆ Re: 二次関数について / ヒロ ♂ [東北] [高校１年生]
こんにちわ。

確実にやって行きます。すいません。
そうですね。。
勘違いをしていました。

ｃのとりうる範囲は・・・ｃ≦－a+2b

でおわりではないですよね...?
No.1896 - 2009/01/11(Sun) 15:58:37
☆ Re: 二次関数について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。
それでいいですよ。条件a＜b＜c　も使って
b＜ｃ≦－a+2b
としておきましょう。

さてさて，２次関数の最大最小では，軸と定義域の位置関係が重要になりますが，
この問題では，軸　(a+b)/2 は定義域　b＜ｃ≦－a+2b　に入っているのでしょうか？
それとも左あるいは右にそれているのでしょうか？
(2)の　a＜α＜b ＜β＜c　から考えてみましょう。
No.1897 - 2009/01/11(Sun) 18:09:49
☆ Re: 二次関数について / ヒロ ♂ [東北] [高校１年生]
こんばんわ。

具体的に数字を代入して考えてみたら

-a+2bで最大となりました。
ちゃんとしたやり方はどうするのでしょうか?
No.1898 - 2009/01/11(Sun) 18:50:42
☆ Re: 二次関数について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
記事が長くなりましたので，新たに作成します。
No.1905 - 2009/01/12(Mon) 20:41:20
★ (No Subject) / 譯應ｺ� [譚ｱ豬ｷ] [鬮俶｡�ｼ大ｹｴ逕歉
縺ｯ縺倥ａ縺ｾ縺励※縲?
鬮俶?｡?ｼ大ｹｴ縺ｮ蝠城｡後〒縺吶ｈ繧阪＠縺上♀鬘倥＞縺励∪縺?

x=竏?3+竏?5竊蝉ｺ碁?肴?ｹ蜿ｷ縺ｧ縺?
y=竏?3-竏?5竊舌％繧後ｂ莠碁?肴?ｹ蜿ｷ縺ｧ縺?
縺ｮ縺ｨ縺郊y,x+y,x莠御ｹ?+y莠御ｹ励?ｮ蛟､繧呈蕗縺医※縺?縺溘□縺代↑縺?縺ｧ縺励ｇ縺?縺九??

閾ｪ蛻?縺ｪ繧翫↓縺ｯ閠?縺医※縺ｿ縺溘?ｮ縺ｧ縺吶′,蜈ｨ縺冗ｭ斐∴繧?閠?縺域婿縺後ｏ縺九ｊ縺ｾ縺帙ｓ縲?
譏ｯ髱樊蕗縺医※縺?縺溘□縺代↑縺?縺ｧ縺励ｇ縺?縺九♀鬘倥＞縺励∪縺吶?
No.1902 - 2009/01/12(Mon) 17:31:58
☆ Re: / namae [その他]
shiftJISで見ると盛大に化け見えますが、utf-8エンコーディングで

> �� (No Subject) NEW / 桜井 [東海] [高校１年生]
> はじめまして。
> 高校１年の問題ですよろしくお願いします
>
> x=√3+√5←二重根号です
> y=√3-√5←これも二重根号です
> のときxy,x+y,x二乗+y二乗の値を教えていただけないでしょうか。
>
> 自分なりには考えてみたのですが,全く答えや考え方がわかりません。
> 是非教えていただけないでしょうかお願いします。

と書かれているようです。
No.1903 - 2009/01/12(Mon) 19:29:41
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
桜井さん，こんにちは。

私の機種ではご質問の記事No.1902 が文字化けして表示されているのですが，桜井さんは，私のこの記事(No.1904)がちゃんと判読できますか？

＞namaeさん，ご指摘ありがとうございました。
No.1904 - 2009/01/12(Mon) 20:38:08
★ (No Subject) / アキ ♀ [関東] [高校１年生]
aを定数とする。
２次関数 y=3x二乗-6(a+1)x+6a+5 (1≦x≦3)

の解き方を教えてください。
No.1891 - 2009/01/10(Sat) 21:14:00
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

『書き込まれる方へのお願い』をご再読の上，ご質問ください。
No.1893 - 2009/01/10(Sat) 23:08:40
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