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★ 三角関数の基本問題 / カズ [高校１年生]
始めまして、灘高校の１年です。

単位円に内接する正三角形ABCにおいて、動径OAの表す角をαとするとき、3点A,B,Cのｘ座標の平方の和は、αがどんな値をとっても、常に一定であることを示せ。　　　
　　　という問題です。　　三角関数の様々な派生式で計算を試みましたがうまくいきません。　　基本問題ゆえに恥ずかしいですが、お願いします。
No.1886 - 2009/01/09(Fri) 23:49:43
☆ Re: 三角関数の基本問題 / せら。 ♂ [関東] [社会人]
こんばんわ。早速参ります。

まずは、わかっていることをきちんと整理しましょう。
Ａ，Ｂ，Ｃのｘ座標をαで表してみてください。
No.1887 - 2009/01/10(Sat) 00:18:00
★ 三角関数を含む漸化式 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
こんばんは！

2学期最後に受けた校内実力試験の数学大問１をやり直していたのですが、どうにも解けません。どこから手をつければ良いでしょうか？


以下に挙げる漸化式(A)及び(B)を考える．但し，nは正の整数とし，角度はラジアンで表すものとする．
a[n＋1]＝πcosa[n]，a[1]＝π/3 ……(A)
b[n＋1]＝πsinb[n]，b[1]＝π/3 ……(B)
(1)a[5n]を求めよ．
(2)任意の正の整数nに対して，不等式b[n]＞0が成立することを示せ．

(2)は帰納法で攻めるべきでしょうか？
No.1844 - 2009/01/02(Fri) 19:18:37
☆ Re: 三角関数を含む漸化式 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
間違えました。高校2年生です。。。
No.1845 - 2009/01/02(Fri) 19:20:15
☆ Re: 三角関数を含む漸化式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．

＞(2)は帰納法で攻めるべきでしょうか？
　そう思います．
　ですが，ｂ[n]＞０ で攻めると駄目のようです．
　示すべき命題を「０＜ｂ[n]＜π」でやってみてください．
No.1846 - 2009/01/02(Fri) 19:40:38
☆ Re: 三角関数を含む漸化式 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
こんにちは。

えっと、

[1]n＝1のとき
b[1]＝π/3＞0

[2]π＞b[n＋1]＞0、つまりπ＞πsinb[n]＞0が成り立つと仮定する。
このとき、b[n＋2]＝πsinb[n]であり、π＞b[n＋1]＞0より、1＞sinb[n＋1]＞0
よって、π＞b[n＋2]＞0

[1][2]より任意の正の整数nに対してb[n]＞0が成り立つ…
でいいのでしょうか？

今まで、
[2]のところをb[n＋1]＞0とだけ仮定していたので、
π[rad]以上で負になってしまう場合も考えてしまってました…
よく考えたら、π以上にはなりませんね．


それでは、(1)はどうなりますか？
No.1847 - 2009/01/03(Sat) 15:36:47
☆ Re: 三角関数を含む漸化式 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
[2]の2行目
このとき、…のところは、

b[n＋2]＝πsinb[n＋1]であり…

です。
No.1848 - 2009/01/03(Sat) 15:38:12
☆ Re: 三角関数を含む漸化式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
常識的には，[２] は
　　ｎ＝ｋ のとき「０＜ｂ[n]＜π」が成り立つと仮定すると，０＜ｂ[k]＜π であるから…
とはじめるべきでしょう．

＞それでは、(1)はどうなりますか？
　(１) はまだできていなかったのですか？
　では，数列｛ａ[n]｝を書き並べていく，というのはどうでしょう？
No.1849 - 2009/01/03(Sat) 16:57:44
☆ Re: 三角関数を含む漸化式 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
返信遅くなって申し訳ありません。

数学的帰納法の記述方法を間違えました(汗

(1)については、
a[2]＝π/2
a[3]＝0
a[4]＝π
a[5]＝−π
a[6]＝−π
a[7]＝−π
…？？

だからa[5n]＝−π　　(n＝1，2，3…)
でしょうか？
n≧5の時、a[n]＝−π一定であることの証明なしでもOKですか？
帰納法で出来ると思いますが。
No.1862 - 2009/01/07(Wed) 17:17:05
☆ Re: 三角関数を含む漸化式 / ルイ ♀ [東北] [高校１年生]
どちらの解法も思いつきませんでしたが、どうすればこういった問題に対応できるようになりますか？問題集に無かったので・・・
No.1863 - 2009/01/07(Wed) 17:17:59
☆ Re: 三角関数を含む漸化式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞n≧5の時、a[n]＝−π一定であることの証明なしでもOKですか？
　ｎ という文字が入っているので，数学的帰納法で証明しておくのがよいと思います．

＞どちらの解法も思いつきませんでしたが、どうすればこういった問題に対応できるようになりますか？
　こういうときは，具体的な値をいくつか代入して調べてみるのがよいと思います．
　駿台に研修に行ってきたのですが，そこでも
　「見たこともないような問題で，何をどうしていいかわからないときは，実験してみるという方法が有効」と言っていました．
　(２) はまさに ｎ＝１ から代入していけば傾向が見えます．
　(１) もいくつか代入してみると，「ｂ[n]＞０」でなく「０＜ｂ[n]＜π」が見えてくると思います．
No.1874 - 2009/01/08(Thu) 17:19:15
☆ Re: 三角関数を含む漸化式 / ルイ ♀ [東北] [高校2年生]
こんばんは。

実験ですか。それ聞いたことあります・・・
どうも今回は、ただの漸化式だと思って、普通の漸化式(三角関数を含まない)の場合の考え方しかしていなかったと思います。

それと(1)はやはり証明しておいたほうがいいのですね。

ありがとうございました。
No.1877 - 2009/01/09(Fri) 00:37:19
★ 数列 / Automa ♂ [地球外] [高校１年生]
塾の特別プリントからの問題で質問です。
Σ(k=1〜n)K(K+1)(K+3)
=Σ(k=1〜n)k(k+1)(k+3)+Σ(k=1〜n)k(k+1)
=n(n+1)(n+2)(n+3)/4+n(n+1)(n+2)/3
=n(n+1)(n+2)(3n+13)/12

この途中式変形がよく分かりません。
僕は普通にシグマの２乗　３乗　公式を使って解いたんですが、きになるので教えてください。
No.1859 - 2009/01/07(Wed) 14:32:16
☆ Re: 数列 / Automa ♂ [地球外] [高校１年生]
k=（1〜n)は１からn
までという意味です。
No.1867 - 2009/01/08(Thu) 01:28:14
☆ Re: 数列 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
Automaさん，こんにちは。
２行目は　=Σ(k=1〜n)k(k+1)(k+2)+Σ(k=1〜n)k(k+1)
のミスプリかと思います。

塾のプリントでしたら，掲示板で質問するよりも，Automaさんの学力を把握されている塾の先生に質問された方が，より適切なご指導がいただけると思いますが。
No.1873 - 2009/01/08(Thu) 17:16:42
★ (No Subject) / テツ [高校2年生]
limについての質問です。
例えば「数列の極限を調べ、極限のあるものは、その極限を求めよ。」という問題でlim( )の形で、問題と解いてはいけないのでしょうか。極限を持たないものに対して、limという記号は使えないのでしょうか。教えてください。
No.1868 - 2009/01/08(Thu) 14:29:27
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
テツさん，こんにちは。

具体的な問題を見ないと何ともいえませんので，該当の問題を１つ２つ挙げていただけますか？
No.1872 - 2009/01/08(Thu) 17:01:03
★ 微分（数?U） / 麻美 ♀ [関東] [高校2年生]
　a>0として、方程式y=x^2+1で表される曲線上の点Ｐ（a,a^2+1)における接線をℓとする。直線ℓがx軸と交わる点をＱとし、Ｒ（a,0）とする。以下の問いに答えよ。

　（１）直線ℓの方程式を求めよ。

　（２）点Ｑのx座標を求めよ。

　（３）線分ＱＲの長さをaの式で表し，それが最小となるaの値を求めよ。

　（１）と（２）は自分で答えを出しました。

　（１）y=2ax-a^2+1

　（２）x=(a^2-1)/2aとなりました。

　（３）で，線分ＱＲ＝(3a^2-1)/2aとなったのですが、ここからどうすればよいでしょうか？相加相乗は使えませんよね？

　お願いします。
No.1858 - 2009/01/07(Wed) 02:08:41
☆ Re: 微分（数?U） / londontraffic [教育関係者]
こんばんは，麻美さん．
早速いきましょう！

>（３）で，線分ＱＲ＝(3a^2-1)/2aとなったのですが、
ですが，どのように計算されましたか？
>相加相乗は使えませんよね？
とありますが，私は相加相乗平均を利用できる結果になりました．
もう一度確認をお願いいたします<(_ _)>
No.1864 - 2009/01/07(Wed) 19:08:08
☆ Re: 微分（数?U） / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
麻美さん，こんにちは。
だいぶ昔の話なのですが，9/15のNo1117 の質問は解決されたのでしょうか？
学年は高2,高3のどちらが正しいのでしょうか？
No.1870 - 2009/01/08(Thu) 16:46:00
★ 微分法について / みずき ♂ [関東] [高校2年生]
　　　　こんばんは　初めまして
学校の宿題でわからなかった問題があったので解法を教えてください。

問題
f(x)=x^3-ax^2+bx+cはx=1で極大値3,x=2で極小値をとる。
(1)定数a,b,cを求めよ。
(2)曲線y=f(x)上の点A(1/2,f(1/2))における接線Lを求めよ。
(3)(2)の接線Lは曲線Cと点A以外でx=?で交わる。


(1)のa=9/2,b=6,c=1/2と
(2)の接線L：y=9/4x+11/8までは解けたのですが
(3)でf(x)=9/4x+11/8という式から先どうすればよいのかわかりません

お願いします。
No.1803 - 2008/12/28(Sun) 01:22:56
☆ Re: 微分法について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みずきさん，はじめまして。

例えば，直線 y=2x-1 と直線 y=-x+3 の交点を求めるには，これら２つを連立方程式と考えますね。
速い話が「交点なら，y座標が等しいじゃないか」ということで，右辺どうしをくっつけて，
　2x-1=-x+3
これを解いて　交点のx座標は x=4/3 となりますね。

この考え方は他の図形でも使えます。
一般に，y=f(x) で表されている図形と，y=g(x) で表される図形の交点を求めるには，交点ではy座標が等しいので，右辺どうしくっつけて
　方程式 f(x)=g(x)　を作り，これを解けば，交点のx座標が求まります。

例えば，放物線 y=x^2+x と直線 y=2x+2 の交点を求めるに，右辺どうしをくっつけて，
　　x^2+x=2x+2 とし，方程式 x^2-x-2=0　を解くことで，交点のx座標が求まります。

今の問題もここまでの考え方は同じです。
3次曲線　y=x^3-(9/2)x^2+6x+(1/2) と直線 y=(9/4)x+(11/8) の交点を求めるのですから，右辺どうしくっつけて
　　x^3-(9/2)x^2+6x+(1/2)=(9/4)x+(11/8)
8倍して　8x^3-36x^2+48x+4=18x+11
移項してできる３次方程式　8x^3-36x^2+30x-7=0　…★
を解けば，交点のx座標が求まります。

ここまではよろしいですか？　OKならば，★を解いてみましょう。
No.1811 - 2008/12/29(Mon) 17:08:06
☆ Re: 微分法について / みずき ♂ [関東] [高校2年生]
　　　ありがとうございます。
　すいませんなんか勘違いして解いてたみたいですね。
　とてもわかりやすい解説ですぐに納得できました。
　ほんとにありがとうございました。　

　　
No.1824 - 2008/12/29(Mon) 21:44:04
☆ Re: 微分法について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みずきさん，まだ見てくださってます？

8x^3-36x^2+30x-7=0　の解法ですが，
最初に「xに何を代入すればいいかな？」って，x=1,-1,2,…　といろいろ代入して，０にする値を見つけて，組み立て除法で解かれました？
でしたら，この問題の3次方程式はその解き方ではないのです。
まだ見てらしたら返信お願いします。
No.1826 - 2008/12/29(Mon) 23:56:01
☆ Re: 微分法について / みずき ♂ [関東] [高校2年生]
　 お気遣いありがとうございます。
　
　一応組み立て除法では解かずに
　8x^3-36x^2+30x-7=0
(2x-7)(4x^2-4x+1)=0
x=7/2と解いたんですがよろしいでしょうか？
　
　ちなみになぜ組み立て除法で解いてはいけないのでしょうか？
　よろしくお願いします
No.1830 - 2008/12/30(Tue) 09:42:30
☆ Re: 微分法について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

実は8倍せずに
x^3-(9/2)x^2+6x+(1/2)=(9/4)x+(11/8) を
x^3-(9/2)x^2+(15/4)x-(7/8)=0 …☆
とします。
さて，この方程式は　C:y=x^3-(9/2)x^2+6x+(1/2) と直線 L:y=(9/4)x+(11/8) の交点を求めるために立てたのでした。
でも，交点の一つはわかってますよね？
そもそも直線　L:y=(9/4)x+(11/8) は，A(1/2,f(1/2))　におけるCの接線だったのですから，CとLは，点Aで接します。
ということは，方程式☆は x=1/2 を重解に持つはずです。

x^3-(9/2)x^2+(15/4)x-(7/8)=0 …☆
は　(x-1/2)^2 ×(○x+△)=0
の形に因数分解できるはずです。
最高次x^3 の係数の比較から，○=1
(x-1/2)^2 を展開したときの定数項は +1/4 ですから，1/4×△=-7/8 より，△=-7/2 と，クイズ的にわかりますから，
☆の左辺を因数分解すると，　(x-1/2)^2 (x-7/2)=0 となるはずです。

年末年始はNET出来ませんので，次回書き込みは1月4日になってしまいますので，ご了承ください。
No.1838 - 2008/12/31(Wed) 00:28:15
☆ Re: 微分法について / みずき ♂ [関東] [高専2年生]
こんばんわ
　
　解説ありがとうございます。
　細かく丁寧に教えていただき納得できました。
　ありがとうございました。
No.1855 - 2009/01/04(Sun) 21:33:11
★ 微分 / kame ♂ [高校2年生]
aを0でない定数とする。関数f(x)=ax^3-3x^2+axが常に単調に増加するとき、
aの値の範囲を求めよ。

と云う問題です。y=f'(x)のグラフが下に凸の放物線だから
3a>0 からa>0 というのが分かりません。

おねがいします
No.1850 - 2009/01/03(Sat) 17:03:01
☆ Re: 微分 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．

＞y=f'(x)のグラフが下に凸の放物線だから3a>0 からa>0 というのが分かりません。
　ええと，この質問ですが，
　　１．ｙ＝ｆ'(ｘ) のグラフが下に凸の放物線になる
　　２．下に凸の放物線だから ３ａ＞０ となる
　　３．３ａ＞０ から ａ＞０ になる
　と，３つのポイントがあると思います．
　どこまで理解して，どこからわからないのでしょうか？

　それから，次回の書き込みには，ｆ'(ｘ) も求めて書きこんでくでさいね．
No.1851 - 2009/01/03(Sat) 17:15:46
☆ Re: 微分 / kame ♂ [高校2年生]
返信ありがとうございます。
f'(x)=3ax^2-6x+a

2から分からなかったのですが、下に凸だからx^2が正でなくてはいけない、
ということですか？
No.1852 - 2009/01/04(Sun) 10:17:23
☆ Re: 微分 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
おはようございます．

＞下に凸だからx^2が正でなくてはいけない、
　下に凸だから ｘ^2 の係数が正でなくてはいけない，ということですね．
　したがって，
　　　(ｘ^2 の係数)＝３ａ＞０
　ということになります．
No.1853 - 2009/01/04(Sun) 11:26:13
★ 数列です、、 / アレン ♀ [中国] [大学生]
こんばんは！

数列で最後の問題が何度解いても、解説を見ても納得できないので、お答え
お願いします。ちなみに出典は「2008駿台センター試験実践問題集数学?UＢ」
です。

{an}=1・2^(n-1)の等比数列がある。
ここで{Cn}=an+2、{Cn}=an+1と定めるとき C1+C2+C3+・・・+C2n-1+C2nを
nを用いて表すと4^n+3n-1。

解説を見ながら4^nと-1の部分を求めるまでは理解しましたが、+3nの部分が
なぜそのようになるかわかりません。
よろしくおねがいします！
No.1814 - 2008/12/29(Mon) 19:02:05
☆ Re: 数列です、、 / アレン ♀ [中国] [大学生]
すみません！問題に不備がありました、訂正します。

{Cn}のnが奇数のとき: {Cn}=an+2
{Cn}のnが偶数のとき: {Cn}=an+1　でした。

すみませんが、よろしくお願いします。
No.1817 - 2008/12/29(Mon) 20:12:00
☆ Re: 数列です、、 / londontraffic [教育関係者]
アレンさん，おはようございます．
大学生とのことですので申し訳ありませんが，この問題を解かなくてはいけない理由を簡単で結構なので次のレスで教えてください．

さて，ヒントです．
下の□には，ある数または数式が入ります．
No.1828 - 2008/12/30(Tue) 06:49:44
☆ Re: 数列です、、 / アレン ♀ [中国] [大学生]
おはようございます。

たいした理由ではないのでお恥ずかしいのですが、高校のときうけた模試や問題集を
処分する前に解きなおそうと思い、時間が許す限り再チャレンジしています。
特に深い理由はないですが、よろしくおねがいします！
現役時に比べてスムーズに解けないのに驚いています＾−＾

ヒントありがとうございます。
試行錯誤しているのですが、混乱してしまってわからないです、、
nか2nが入ると思って解いていました。
すみませんが、よろしくおねがいします！
No.1833 - 2008/12/30(Tue) 11:41:48
☆ Re: 数列です、、 / londontraffic [教育関係者]
まずは，理由をお書きいただき，感謝申し上げます．
もしかしてバイトで高校生を教えていて・・・・とか思ったものですから．

この問題を解くのに一番簡単な方法は書き並べるという原始的な方法です．
c_1+c_2+c_3+・・・+c_{2n-1}+c_{2n}=(a_1+2)+(a_2+1)+(a_3+2)+・・・+(a_{2n-1}+2)+(a_{2n})
=(a_1+a_2+a_3+・・・+a_{2n})+(2+2+・・・+2)+(1+1+・・・+1)
ここで，(2+2+・・・+2)や(1+1+・・・+1)はそれぞれn個ずつの和になっているので，この２つの部分でn×2+n×1=3n
また，a_1+a_2+a_3+・・・+a_{2n}はアレンさんもご存じのようにsum_{k=1}^{2n}a_k=frac{1･(2^{2n}-1)}{2-1}=2^{2n}-1=4^n-1となります．

意地悪だったかもしれませんが，ヒントの□に当てはまる数や数式はありません．奇策やテクニックが必要な問題もあります．また偶数項，奇数項が異なる問題ではどうしても偶・奇の別処理が必要ですが，nを含む式が偶数項・奇数項共に同じである本問は書き並べで撃沈できます．アレンさんは書き並べてみたでしょうか・・・．
嫌な思いをされたなら申し訳ありません．私が空気読めてないということです．ただし，この掲示板は健全で素晴らしいものです．運営されている方々や私以外の回答者（回答される先生方）は素晴らしい方達です．

これからもこの掲示板をよろしくお願いいたします．また，疑問点がありましたら遠慮なくカキコしてくださいm(_ _)m
No.1834 - 2008/12/30(Tue) 17:46:44
☆ Re: 数列です、、 / アレン ♀ [中国] [大学生]
こんばんは、お答えありがとうございます！

本当にたいした理由ではないのでかえって申し訳ないです、、
高校数学は使わない環境になりましたが、現役時にはできなかった、
時間に縛られずじっくりいろいろな解方を見つけながら解くのが好きなので、
これからもお世話になると思います＾−＾

実は私も最初londontrafficさんのように書き並べていました。それで上手くできなかったので付属の解説を読んでかえって混乱してしまい、この掲示板に駆け込んだのです、、
そして今わかりやすい解説をいただき、+3nの謎が解けました！！
ありがとうございます！！

確認なのですが、
>ここで,(2+2+・・・+2)や(1+1+・・・+1)はそれぞれn個ずつの和になっているので・・
とありますよね、この問題は{Cn}の初項から偶数番目（K=1〜2n）だから
n×2+n×1=3nとできますが、もし初項から奇数番目の場合（K=1〜2n-1）、具体的に
どのように処理するのでしょうか？？よろしければお答えお願いします！

全然そのようなことはありません！！この掲示板も運営されている方々や回答者方、
そして私の初歩的な質問にも丁寧にお答えしてくださったlondontrafficさんにも
とても感謝しています。高校のときと違って、授業に数学がないので、このように
問題を解いていてわからないところがあっても、すぐに質問できる先生がいなくて
困っていましたが、こちらの掲示板は頼りになります！
むしろ試験に向けて追い込みをかけている受験生のみなさんに対して
私が空気読めていないですm(_ _)m

長くなってしまいましたが、よろしくおねがいします！
No.1835 - 2008/12/30(Tue) 20:49:48
☆ Re: 数列です、、 / londontraffic [教育関係者]
ありがとうございます．ホッとしました(^_^)

>もし初項から奇数番目の場合（K=1〜2n-1）、具体的にどのように処理するのでしょうか？？よろしければお答えお願いします！
初項から第2n項までの和が出せるなら，第2n項を和から引くのがいいと思います．
No.1837 - 2008/12/30(Tue) 21:46:50
☆ Re: 数列です、、 / アレン ♀ [中国] [大学生]
こんばんは。

そうですよね！そちらの方が効率よく求められますね＾−＾
てっきり偶数と奇数の項数が違うので別処理が必要だと思い、質問してしまいました。
長い間解けずに考えていた問題なので、解決したときはとてもうれしかったです！
本当に最後まで丁寧にご指導いただき、ありがとうございました。

それでは良いお年を！
No.1843 - 2008/12/31(Wed) 20:59:09
★ 二項定理 / たい ♂ [関東] [高校１年生]
　
初めまして、高校1年生です。


赤チャートでわからない問題があったので指導おねがいします。

[問題]
(a+b)5乗(a+b+2)4乗の展開式におけるa4乗b3乗の係数を求めよ。

[質問]
多項定理を使って解きたいのですが、
(a+b+2)4乗の部分は多項定理を利用できますよね？

けど(a+b)5乗の部分はどうやって計算すればいいのでしょうか。
No.1840 - 2008/12/31(Wed) 13:36:59
☆ Re: 二項定理 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．

まずうかがいますが，赤チャートは手元にあるのでしょうか？
ないから，うまく解けないということなのでしょうか？
手元にあるのであれば，チャートの解法通りに
(ａ＋ｂ)^5 の部分は二項定理を使うのが常識的だと思います．

まずはここまでの話でやってみてください．
No.1841 - 2008/12/31(Wed) 17:19:28
☆ Re: 二項定理 / たい ♂ [関東] [高校１年生]

こんばんは、CORONさん。

赤チャートは手元にあります。

言われてみれば二項定理→多項定理で
簡単に解けますね。

あやふやなまま多項定理に進んでしまったので
二項定理の事を忘れていました。

つまらないミスでしたが
指摘本当にありがとうございました。
No.1842 - 2008/12/31(Wed) 18:23:46
★ 良いお年を / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
本年も多くの方に当掲示板をご利用いただきありがとうございました。
お忙しい中，回答してくださった先生方，本当にありがとうございました。
来年も当掲示板をよろしくお願いいたします。
皆様，良いお年をお迎えください。
No.1839 - 2008/12/31(Wed) 03:10:27
★ 反復試行 / TAKA ♂ [北陸] [高校１年生]
こんばんわ。
早速質問させていただきます。＜出典＞フォーカスゴールド
【問題】
1個のさいころを13回続けて投げるとき、6の目がｋ回出る確率をＰｋとする。
このとき次の問に答えなさい。ただし、0≦ｋ≦13とする。
（１）Ｐｋ、Ｐｋ+１をｋの式で示せ。
（２）Ｐｋが最大であるｋの値を求めよ。

【質問】
（１）でＰｋ＝13Ｃk(1/6)k乗(5/6)13-k乗
　　　　Ｐｋ+１＝13Ｃk+1(1/6)k+1乗(5/6)12-k乗
を求めたのですが、
（２）でいきなりＰk+1÷Ｐkをしているのですが、
なぜ割るのかが分かりません。

お忙しいとはおもいますが宜しくお願いします。
No.1813 - 2008/12/29(Mon) 18:29:47
☆ Re: 反復試行 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
TAKAさん，こんばんは。
2数の大小を比較するのに
引き算をし，その差の正負で判断するのが一般的ですが
A＞0，B＞0 のとき
A/B＞1 ⇔ A＞B
A/B＝1 ⇔ A＝B
A/B＜1 ⇔ A＜B
を利用するときがあります。
No.1815 - 2008/12/29(Mon) 19:59:46
☆ Re: 反復試行 / TAKA ♂ [北陸] [高校１年生]
七さん、どうもありがとうございます！納得しました！
ちなみにＰk÷Ｐk+1でもよろしいのでしょうか？
No.1827 - 2008/12/30(Tue) 00:14:00
☆ Re: 反復試行 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
> 七さん、どうもありがとうございます！納得しました！
> ちなみにＰk÷Ｐk+1でもよろしいのでしょうか？

もちろん，かまいません。
No.1829 - 2008/12/30(Tue) 06:52:26
☆ Re: 反復試行 / TAKA ♂ [北陸] [高校１年生]
ありがとうございます。
また、機会がありましたらよろしくお願いします。
No.1832 - 2008/12/30(Tue) 10:58:37
★ 因数分解 / ひかる ♂ [関東] [高校3年生]
初めまして(^<^)一般試験に向けて数学Ｉの勉強を１からやっています！
わからない問題があるので解き方を教えてくださいm(__)m

次の式を因数分解せよ。
?@a^2(b-c)^2-(c-b)^2
答え(a+1)(a-b)(b-c)^2

こんな問題も解けなくて恥ずかしいですが
よろしくお願いします(>_<)
No.1812 - 2008/12/29(Mon) 17:30:12
☆ Re: 因数分解 / londontraffic [教育関係者]
ひかるさん，こんばんは．

・因数分解の公式A^2-B^2=(A+B)(A-B)
・指数法則(AB)^m=A^m×B^m
はお分かりですよね．
指数法則の方を使うと
a^2(b-c)^2-(c-b)^2={a(b-c)}^2-(c-b)^2
とできます．あとは因数分解の方を使うとできますよ(^_^)
No.1816 - 2008/12/29(Mon) 20:00:56
☆ Re: 因数分解 / ひかる ♂ [関東] [高校１年生]
ありがとうございます（*^_^*）解いてみます！

わからない問題あったらまたレス立てるんですかですか(~_~)？
それともこのレスにまた書けばいいんですか？
No.1819 - 2008/12/29(Mon) 20:32:10
☆ Re: 因数分解 / londontraffic [教育関係者]
１つの問題に１つのスレが原則です．
この問題が解決していないのなら，解決するまでこのスレでやりとりします．

解決したなら，解決したとこのスレにカキコします．
別の質問は，新たにスレ立てしてくださいね♪
No.1822 - 2008/12/29(Mon) 20:59:11
☆ Re: 因数分解 / ひかる ♂ [関東] [高校3年生]
無事解けました！

そうですか^m^丁寧に説明ありがとうございます♪
No.1825 - 2008/12/29(Mon) 22:03:46
★ 積分の場合分けの必要性 / てつ ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは！浪人生のてつですお久しぶりです。

今日は青学の過去問を解いていたのですが
添付ファイルの問題で（１）において
０〜ｘまでの範囲を微分するときにaの値も定まってないから

０≦ｘ≦a
a≦x≦2a
2a≦xのように場合わけしないといけないかな、いや平気かな、、みたいに自信がもてませんでした。

でも結局は３x^２を積分しろといわれたらx^3＋Ｃと特に範囲に関係なくするのでそのままやったのですが

面積かなにかの問題で図を描いたときにｘ軸をまたぐ場合とまたがない場合のように場合わけした記憶があるのですが今回はなんでそのままでよかったのでしょうか？
No.1794 - 2008/12/25(Thu) 17:35:32
☆ Re: 積分の場合分けの必要性 / londontraffic [教育関係者]
てつさん，こんばんは．

>面積かなにかの問題で図を描いたときにｘ軸をまたぐ場合とまたがない場合のように場合わけした記憶があるのですが
そうですね．例えば
・y=(x-a)(x-1)とx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ
・int_0^2|(x-1)(x-a)|dxを求めよ
など，面積や絶対値の問題に定数がある場合は，場合分けをすることが多いですね．

定数があるときに
>場合わけしないといけないかな、いや平気かな、、
みたいに警戒するのは必要です．
上の赤い部分で示したように，面積や絶対値がくる場合は　超警戒　です．
また，面積や絶対値でなくとも　int_0^a (x-1) dx （ただしa>0）　なんていうのも場合分けが必要です．

しかし今回は場合分けは要らないです．ではどうやったら場合分け「する」・「しない」を判断できるか．
それはてつさんが書いた
>ｘ軸をまたぐ場合とまたがない場合
が鍵になっているのです．
「面積」・・・上から下を引く原則（「２つの関数の差f(x)-g(x)の正負」＝「f(x)-g(x)<0ならg(x)-f(x)にして積分」）により場合分け
「絶対値」・・・常に正にするため（常にx軸上もしくはそれより上）に場合分け
「積分区間」・・・区間によってはx軸の下になっているものを上にするために場合分け

今回は上のどの場合にも当てはまりません．というか
d/dx(int_0^xf(t)dt)=f(x)
は何人たりとも認めざるを得ない事実です．

いかがでしょう？
No.1798 - 2008/12/26(Fri) 19:52:35
☆ Re: 積分の場合分けの必要性 / てつ ♂ [関東] [高校１年生]
londontrafficさんこんばんは。よろしくお願いします。
なんとなく分かりますし、授業でもやったるのですが
今回は積分区間ではないのですか??０からＸまで積分するんですよね？

なんだか積分区間と、そして積分区間と面積の違いがこんがらがってきました。
積分区間というのは今回のようにある区間からある区間までとにかくそのまま計算する。
面積というのは上と下が変わるときなどはその点を境に複数回積分する。だから今回のもんだいでももし面積を求めろという問題だたとしたら、場合わけが必要になってくる。

ここまででなにかおかしいことはありますか？
No.1820 - 2008/12/29(Mon) 20:54:02
☆ Re: 積分の場合分けの必要性 / てつ ♂ [関東] [浪人生]
すみません。間違えて投稿するを押してしまったため中途半端なものが投稿されてしまいました；

londontrafficさんこんばんは。よろしくお願いします。
なんとなく分かりますし、授業でもやったのですが、このなんとなくということがまさに当てはまるかのように確信がもててないです。

今回は積分区間ではないのですか??０からＸまで積分するんですよね？

なんだか積分区間と、そして積分区間と面積の違いがこんがらがってきました。
積分区間というのは今回のようにある区間からある区間までとにかくそのまま計算する。
面積というのは上と下が変わるときなどはその点を境に複数回積分する。だから今回のもんだいでももし面積を求めろという問題だたとしたら、場合わけが必要になってくる。

ここまででなにかおかしいことはありますか？またそもそも積分ってなんのためにあるんでしょうか？面積を求められるのは画期的だとおもいますが、積分区間で計算した場合なんか利点はあるのでしょうか？
No.1821 - 2008/12/29(Mon) 20:58:10
☆ Re: 積分の場合分けの必要性 / londontraffic [教育関係者]
んー，私の表現の仕方が良くなかったようですね．
私が「積分区間」としたのは，積分区間に定数が入っているものです．

例えば int_{-1}^1 (-x)dx を計算すると0になりますよね．
下に図を入れましたが，関数 y=-x（-1≦x≦1）と直線x=-1，x=1，y軸で囲まれる部分の面積を求めるなら
int_{-1}^1 (-x)dx ではなくて，int_{-1}^1｜-x｜dx を計算しますよね．

今回はx軸の上下は関係ありません．定数aを含んでいますが，上で挙げたint_{-1}^1 (-x)dxと同じように上下関係なく積分すればいいのです．
No.1823 - 2008/12/29(Mon) 21:37:25
★ (No Subject) / 二酸化炭素 ♂ [近畿] [高校2年生]
こんばんわ。下記の問題、わからないので教えてください。

ある立体の底面半径aの円であり、底面に垂直で一定方向の平面で切った切り口はすべて正方形であるという、この立体の体積をもとめよ。

直方体の上に四角錐をのっけた図形でしょうか・・・
でもきり方をかえるとハウス型になるし・・
ありえへん・・

どなたか教えてください。
よろしくお願いします。
No.1791 - 2008/12/24(Wed) 23:46:20
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
二酸化炭素さん，おはようございます．

おそらく下のような立体なのでしょう．絵心がないので汚くて申し訳ありません．
No.1792 - 2008/12/25(Thu) 07:22:53
☆ Re: / 二酸化炭素 ♂ [近畿] [高校2年生]
どの部分が半径aの円かわからないです・・
No.1806 - 2008/12/28(Sun) 22:51:57
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
下の図において，赤の部分が円
四角い青が切ったときに一番面積が大きくなる正方形
緑がその正方形に垂直な線（円の直径）
グレーの四角が青い正方形と平行

申し訳ありませんが，これ以上図のクオリティを上げることができません．
もしこれでイメージできなかったら，その旨お書き込みください．
No.1810 - 2008/12/29(Mon) 05:56:49
☆ Re: / 二酸化炭素 ♂ [近畿] [高校2年生]
わかりました！
ありがとうございます！！
No.1818 - 2008/12/29(Mon) 20:30:45
★ (No Subject) / いろは [再受験生]
駿台のセンター試験プレテストで出てきた問題です。

【問題】　次の不等式を考える。

　X^2-2X-2<0・・・?@
　
　｜X-2｜<1・・・?A

?@、?Aをともに満たすＸの範囲は【ア】＜Ｘ＜【イ】＋√【ウ】であり、
?@、?Aの少なくとも一方を満たすＸの範囲は【エ】-√【オ】＜Ｘ＜【カ】である。

さらに、X^2+(a+1)X+a≧０・・・?Bとする。
次の【コ】【セ】には、下の0〜?Cからあてはまるものを選べ。

すべての実数が?Bを満たすのはa=【キ】の時である。

すべての自然数Xが?Bを満たすようなaの値の範囲はb=【クケ】として、【コ】の時である。
?@、?A、?Bをすべて満たすＸが存在しないようなaの値の範囲は、
b=【サシ】-√【ス】として、【セ】の時である。

0、a＞b　?@a≧b　?Aa＜b　?Ba≦b　?Ca＝b


【カ】までは理解できたんですけど、さらにの後はさっぱり分かりません。
　
解説には、?B：(X+1)(X+a)≧０
　　　　　a＞1のときX≦-a、-1≦X
a=1のとき、Xは任意の実数
a＜1のときX≦-1、-a≦X

と書いてあって、真ん中のa=1のとき、Xは任意の実数は、a=1のとき、(X+1)^2≧0となるので理解できたんですが、後の２文は、どうやって考えたらいいのかも分かりません。。。

宜しくお願いします。
No.1796 - 2008/12/26(Fri) 17:51:19
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
いろはさん，こんにちは．

再受験生とのことなので，確認させてください．
(x-1)(x+4)>0や(x+1)(x+3)≦0などの因数分解できる，２次不等式は解けますか？

レスお願いします<(_ _)>
No.1804 - 2008/12/28(Sun) 12:30:30
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