リュケイオン「高校数学質問掲示板」

★ 倍数って / まい

こんばんは！
質問っていう感じなんですけれど0ってn(自然数)の倍数ですか？

No.1771 - 2008/12/18(Thu) 21:45:37

☆ Re: 倍数って / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

まいさん、こんばんは。河童です。

まいさんは何年生でしょうか？
最近いらした方で、まいさんというお名前がお二人ありまして、どのまいさんか特定できませんので、
投稿フォームの下の欄で、学年を選択してください。

ご質問の件ですが、０はすべての自然数の倍数です。

No.1774 - 2008/12/19(Fri) 23:30:08

☆ Re: 倍数って / まい

すみません!携帯からなのでそういうフォームがないんです。でもルールなのにすみません。高3です。

0は倍数に入るんですね！問題解いてて0は入らないと思ってたもので間違えちゃって、やっぱりそこからﾀﾞﾒだったんですね。
ありがとうございますo(^-^)o

あともう一つ聞きたいんですが、y=～とかf(x)=～だとかg(x)=～とか解答でみるんですけど、あれってどういう意味なんですか？

中学レベルかもしれませんがy=x^2+5とかなんで左辺がyなんだろとか、こんどは問題中で0=x^2+5のとき、とか同じものなのにそれをf(x)とおく。って書いてあったり、特に意味はないんですか？たとえば二次方程式の一般式y=ax^2+bx+cにおけるa、b、cと変らないものなんでしょうか？またそしたらf(x)のようなものはfじゃなくf(x)とするのはなんでなんでしょう？
6年間くらいずっと気になってました。

No.1788 - 2008/12/22(Mon) 23:30:00

☆ Re: 倍数って / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

まいさん、こんばんは。

あっ、そっか。
携帯からだったんですね。
たしかに携帯からだとそうなっちゃいますよね。
わたしの早とちりでした。ごめんなさいね。

さて、ほんとは、ひとつのスレで質問はひとつなんですが、
今回はわたしの罪滅ぼしとして（笑）、ルールを破って答えちゃいましょう。
管理人の、新矢先生とkinopy先生には、わたしから言っておきますので、ご安心ください。

それにしても、

＞ 6年間くらいずっと気になってました

これは素晴らしいことですね。
是非、解決させていただきたいので、以下の話が分からなければ、また返信してくださいね。

まず、問題の中で　f(x) とおく　と出ている場合は、
問題の作者が、『この式をｘの関数と見なさい』と言っているんだと思ってください。
例えば、

f(x) = x^2 + 5

と書いてあれば、『この式はｘが変数で、ｘのひとつの値に対して、もうひとつの値が、x^2 + 5 として定まるんだ』と考えなさいということです。

そして、もうひとつ大事なことは、f(x) = x^2 + 5　の元の形は

f( ) = ( )^2 + 5

だということです。
ここで、f は、『機能』とか『働き』を意味する英語の function の頭文字です。
それがどんな働きをするかというと、上の場合では、( ) の中に入れた数を２乗して５を足す、というわけです。
この ( ) の中に入れる数の『代表者』として、ｘを選び、

f(x) = x^2 + 5

と書いているわけです。
ですから、

f(t) = t^2 + 5　も、f(a) = a^2 + 5 も、同じ関数を表します。
ですから、この場合は、全部、f を使っていますよね。
もし、同じ問題の中に、２乗して３を足すという関数が現れたら、今度は、

g(x) = x^2 + 3

のように、他の文字を使わなければいけませんね。
でも、( ) の中はなんでもいいんですよ。

ただ、習慣として、変数の場合はアルファベットの最後の方の文字を使うことが多いので、
( ) の中はふつうは　ｘ　を使います。
それに対して、計算結果（関数値ですね）には、代表者として、ｙを使うんですね。

それから、問題の中には f(x) が出てこないのに、解答の中に、f(x) = x^2 + 5 とする、と書く場合がありますね。
これは、ほとんどの場合、その方が楽になるからです。
というのも、

x = 5 のとき、x^2 + 5 の最大値は 30

といちいち書くよりも、

最大値 = f(5) = 30

の方がすっきりしますよね。

あれ？
書いているうちに、まいさんの疑問に答えているのかどうか不安になってきました。
ここまでは大丈夫ですか？

No.1790 - 2008/12/23(Tue) 00:38:57

☆ Re: 倍数って / まい

おはようございます！
河童さまハッピーめりーくりすます(。-∀-)
返信遅れてすみません！

なんだか知りたかったけどうまく伝えられなかっただろうことまで書いてあって納得できました。そういうxとして見ろというような意味まで含まれてたんですね！

最後にひとつ気になったんですが、functionならf以外はつかっちゃいけない気がするのですがg()はokですよね、よく見ますし。fとgの次に関数を表記したいときはa(x)だとj(x)だとかも使って平気なのでしょうか？

No.1793 - 2008/12/25(Thu) 12:33:34

☆ Re: 倍数って / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

まいさん、こんばんは。
めりぃめりぃ…………遅れてごめんなさいm(_ _)m

さて、もちろん a(x) でも j(x) でも構いませんが、まあ、普通は、f, g, h の順に使いますね。
関数がたくさん現れる場合は、数列の項を表すときのように、f の右下に小さく 1, 2, 3 …… と添え字を書く場合もあります。
要するに、あまり気にしないでいきましょうってことですね＾＾

No.1797 - 2008/12/26(Fri) 19:39:15

☆ Re: 倍数って / まい

河童さんどうもありがとうございました！分かりやすかったです。

No.1802 - 2008/12/28(Sun) 00:30:23

★ (No Subject) / 真理子 ♀ [関東] [高校3年生]

はじめてなのですが、よろしくお願いします。

友人が持ってきた問題で出題場所が分かりません。関数が苦手でどうしてよいのかわからないので、教えてください。
問題は

放物線ｙ＝ｘ＾2上に、直線ｙ＝ax＋1に関して対称な位置にある異なる２点ＰＱが存在するようなaの範囲を求めましょう。

です。よろしくお願いします。

No.1711 - 2008/12/12(Fri) 03:30:06

☆ Re: / kinopy [塾講師]

真理子さん，はじめまして。kinopyです。

さて，私の解法では地道に解くのですが，その前に真理子さんに確認いただきたい内容があります。

(1)　y=2x+1に関して(1,1)と対称な点の座標。
(2)　連立方程式　x+y=1，xy=-2　を解と係数の関係を使って解く。
の2点は大丈夫でしょうか？

大丈夫でなければ教科書などで確認してください。
上記がOKなら，本題に移ります。

P(p,p^2)，Q(q,q^2)とします。
PとQがy=ax+1に関して対称となる条件をp,q,aの式で表わしてください。
それができたら，そのようなp，qが存在する条件も考えてみてくださいね。

No.1719 - 2008/12/13(Sat) 05:07:21

☆ つまってしまいました。 / 真理子 ♀ [関東] [高校１年生]

問題と格闘しているのですが、上記の（１）（２）は大丈夫だったのですが、距離の公式に代入したり、グラフからできる三角形の合同で考えたりしているのですが、４乗がでてきたりで、方針が立ちません。解法を教えていただければうれしいです。

No.1759 - 2008/12/16(Tue) 14:56:43

☆ Re: / kinopy [塾講師]

こんばんは。

(1)はOKとのことですが，その際に距離の公式は使わなかったのではないでしょうか？

(1)と全く同じようにやればいいですよ^^
(1)について，どのように解かれましたか？

「こんな条件を式に直して連立した」の「こんな条件」を式ではなく言葉で書いていただければ結構ですので，お願いします。

No.1764 - 2008/12/17(Wed) 00:31:57

☆ Re: / 真理子 ♀ [関東] [高校１年生]

こんばんは。
(1)ですが（1,1）を通ってy=2x+1と垂直なy=-2x+3を求め、交点(1/2,2)と(1,1)までの距離が同じを利用して、(0,3)となりました。いかがでしょうか。

本題は全く分かりません。お願いします。

No.1778 - 2008/12/20(Sat) 04:00:43

☆ Re: / kinopy [塾講師]

こんばんは。

真理子さん，公式を確認してください。
傾きmの直線と傾きm'の直線が垂直なのはm×m'=-1のときです。

この場合ですとy=2x+1に垂直な直線の傾きは-1/2になりますから，直線の方程式は
y-1=-1/2(x-1)を整理してy=-1/2x+3/2です。
これと，y=2x+1の交点は(1/5,7/5)です。

この方法で進む場合は，点と直線の距離は使いません。
図を書いて確認してほしいのですが，A(1,1)，P(1/5,7/5)として，Aのy=2x+1に関する対称点をA'(a,b)とすると線分AA'の中点がPになっています。
従って，({1+a}/2,{1+b}/2)=(1/5,7/5)からA'(-3/5,9/5)が得られます。

私も自分でこの(1)を解く場合は上の方法をとりますが，本題の場合は交点を求めるのがめんどくさそうです。

教科書などでは
(i)線分AA'の中点がy=2x+1上
(ii)直線AA'がy=2x+1と垂直
という２つの条件を使っていると思います。　
本題を解くにはこっちの方がまだ計算が楽なように思います。

この解法についての具体的な計算方法は，教科書・参考書に載っていると思いますので参照してください。

その解法が理解できたら，本題に取り組んでください。
分かりにくい箇所があれば，再質問願います。

No.1781 - 2008/12/21(Sun) 01:07:04

★ ベクトルと正多角形 / ケイイチ ♂ [四国] [浪人生]

高校（補習科）の宿題です。

（１）１辺の長さ１の正五角形を用いて次の等式を証明せよ。
α＝７２°のとき

Σ(k=1→５）coskα＝Σ(k=1→５）sinkα＝０

（２）α＝（360°/ｍ）（ただしｍ＝3，4，5・・・）
のときΣ(k=1→ｍ）coskα＝Σ(k=1→ｍ）sinkα＝０を証明せよという問題です。

これをベクトルを使って解けという問題なのですが、座標軸上に（１）であれば
ひとつの頂点を（１，０）において、そこから他の頂点をαを使ってあらわすのかな
というところで、そこから考え方がわかりません。（２）は（１）の利用で出来るのだと思うのですが、（１）がさっぱりです。よろしくおねがいします。

No.1712 - 2008/12/12(Fri) 20:56:00

☆ Re: ベクトルと正多角形 / kinopy [塾講師]

ケイイチさん，こんにちは。回答が遅くなりましたm(__)m

さて，「ベクトルを用いて」というあたりが私にはよく分からないのですが…(^_^;)
まずは（１）が成り立つことを確認しますね。

> ひとつの頂点を（１，０）
発想はいいと思いますがこれは少々つらいですね。
おそらく正五角形の中心を原点に取ったのだと思いますが，1辺1の正5角形ですから中心から頂点までの長さは1ではありません。

そこで正五角形をABCDE，正五角形の中心を原点O，A(r,0)とし，残りの各頂点を反時計回りにBCDEとするとB，C，…の座標がどう表わされるか考えていただけますか？

ヒントは各頂点は原点中心，半径rの円周上にありますから…

図を書いて上記のことができれば(1)，(2)が成り立つことが確認できるかと思いますがいかがでしょうか？
この問題を見たときに私もケイイチさんと同じ発想で考えましたが，ただ，この方法ではベクトルは使わない（必要ない）んですよね～(^_^;)
それは後で考えるとして，まず各頂点の座標をかんがえてください。

No.1740 - 2008/12/14(Sun) 14:34:01

☆ Re: ベクトルと正多角形 / ケイイチ [高校１年生]

返答ありがとうございます。待っておりました。
早速、回答ですが、
α＝７２°よりB(rcos72°,rsin72°)　　C(rcos144°,rsin144°)

D(rcos216°,rsin216°) B(rcos72°,rsin72°)

E (rcos288°,rsin288°) ですか。

No.1742 - 2008/12/14(Sun) 19:29:45

☆ Re: ベクトルと正多角形 / kinopy [塾講師]

こんばんは。

OKです。

Σ(k=1→５）coskα＝Σ(k=1→５）sinkα＝０
となることは図形から確認できましたか？

No.1743 - 2008/12/14(Sun) 22:22:12

☆ Re: ベクトルと正多角形 / ケイイチ [高校１年生]

そこが、どう説明したら論理的なるのかがわかりません。
cos72°の値を求めないといけないのでしょうか？
そうとも思えませんが、Σ(k=1→５）coskα＝Σ(k=1→５）sinkα＝０
がうまく説明できません。教えてください。

No.1744 - 2008/12/14(Sun) 22:27:51

☆ ごめんなさい。仕切り直しさせてくださいm(__)m / kinopy [塾講師]

こんばんは。コピペのミス＋ミスリードでした。

まず，(1)の「図を書けば」というのは?敗in kα=0についてでした。
?把os kα=0については三角関数使いで行こうと思っていましたが，ふと(2)を考えるとこれではダメで…実は，(2)は旧課程の「複素数平面」という単元で頻出の問題で安易に考えていました。

申し訳ありませんm(__)m

(1)について仕切り直しさせてください。
前回のように図を取って，ベクトルの和でOA+OB+OC+OD+OE=0が示せればＯＫですが，それをcos72°などの値を求めた（この求め方は知っておくべきですが…）上でやっても(2)で使えません。

で…
図を取り直してくださいm(__)m
A(0,0)，B(1,0)とし以下C,D,Eを反時計回りに取ってください。

すると
vec{BC}=(cosα,sinα)
vec{CD}=(cos2α,sin2α)
vec{DE}=(cos3α,sin3α)
vec{EA}=(cos4α,sin4α)
vec{AB}=(cos5α,sin5α)
ですね。vec{BC}+vec{CD}+vec{DE}+vec{EA}+vec{AB}=vec{0}
ですから，成分計算と合わせて証明ができました。

これなら(2)も同様にできますね。

今回は無駄な時間を使わせてしまい，申し訳ありませんm(__)m

分かりにくい箇所があれば再質問してくださいね。

No.1757 - 2008/12/16(Tue) 03:04:55

☆ Re: ベクトルと正多角形 / ケイイチ ♂ [四国] [浪人生]

vec{CD}=(cos2α,sin2α)
vec{DE}=(cos3α,sin3α)
vec{EA}=(cos4α,sin4α)
vec{AB}=(cos5α,sin5α)
ってさらっと答案に書いても大丈夫なんでしょうか？
説明が必要ならば、どう書けばいいのでしょうか。

また（２）でもα＝（360°/ｍ）（ただしｍ＝3，4，5・・・）
のときΣ(k=1→ｍ）coskα＝Σ(k=1→ｍ）sinkα＝０の
証明で
A0(0,0)，A1(1,0)とし以下A2,A3,,,,A(m-1)を反時計回りに取って
vec{A0A1}=(cos2α,sin2α)
vec{A1A2}=(cos2α,sin2α)
vec{A2A3}=(cos3α,sin3α)
,,,,

vec{A(m-2)A(m-1)}=(cos(m-1)α,sin(m-1)α)
vec{A(m-1)A0}=(cosmα,sinmα)
としてもいいのでしょうか？
帰納法を使ってとか、何かvec{A(m-1)A0}=(cosmα,sinmα)
とはっきり説明できる方法って必要ないのでしょうか？

No.1761 - 2008/12/16(Tue) 22:05:54

☆ Re: ベクトルと正多角形 / ケイイチ ♂ [四国] [高校１年生]

すみません、

vec{A0A1}=(cos2α,sin2α)は

vec{A0A1}=(cosα,sinα)

の誤りです。申し訳ありません。

No.1762 - 2008/12/16(Tue) 22:07:52

☆ Re: ベクトルと正多角形 / kinopy [塾講師]

こんばんは。

> 答案に書いても大丈夫なんでしょうか？
大丈夫だと思います。
(2)の場合について解答例を下に書きます。

> A0(0,0)，A1(1,0)とし以下A2,A3,,,,A(m-1)を反時計回りに取って
> vec{A0A1}=(cosα,sinα)
ここはおかしいですね。vec{A0A1}=(cos0,sin0)となるはずですが…
これはケアレスミスでしょうね^^

解答の書き方としては，図を書いた上で「図のようにvec{A(k)A(k+1)}とvec{A(k+1)A(k+2)}のなす角はαだから」
で採点者には十分分かると思いますよ。

むしろケイイチさん自身が納得できていないのかな？確認のために丁寧に書いておきます。
vec{A0A1}とx軸のなす角は0ですね。
ですから，以降のベクトルがx軸となす角を考える際にはそのベクトルとvec{A0A1}とのなす角を考えてもいいことになります。

vec{A1A2}とvec{A0A1}のなす角はαです。
vec{A2A3}とvec{A1A2}のなす角はαですから，vec{A2A3}とvec{A0A1}のなす角はα+α=2αです。
vec{A3A4}とvec{A2A3}のなす角はαですから，
vec{A3A4}とvec{A1A2}のなす角はα+αです。
よって，vec{A3A4}とvec{A0A1}のなす角はα+α+α=3αです。
…
vec{AkA(k+1)}とvec{A0A1}のなす角はαをk回くわえたものですからｋαとなります。

以上でいかがでしょうか？
このような内容を解答に書いてもいいとは思いますが，ここまでやる必要もないように思います。

追加の質問はご遠慮なくどうぞ^^

No.1763 - 2008/12/17(Wed) 00:24:55

☆ Re: ベクトルと正多角形 / ケイイチ ♂ [四国] [高校１年生]

返信が大変遅れてしまって

申し訳ありませんでした。

大変わかりやすい説明で助かりました。

本当にありがとうございました。

No.1780 - 2008/12/20(Sat) 20:51:54

★ 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]

はじめまして。学生の頃苦手だった数学を独学し直している者です。
１人だと、理解に苦しむ問題がどうしても出てきてしまって困っているところに、このサイトを見つけて思い切って投稿してみました。
よろしくお願いします。早速ですが、問題は…

ｎを正の整数とする。ｎ枚の硬貨を同時に投げて表の出たものを取り去り、次に、硬貨が残っていればそれらを同時に投げて
表の出たものを取り去ることにする。
（１）全部なくなる確率を求めよ。

というものなんですが、うんうん唸って考えた挙句、どうしてもわからなかったので解答を見たのですが、
その考え方がいまいち理解できませんでした。
私は、具体的な数字じゃなく文字で出てくる問題がどうも苦手で、どこから手をつけたらよいかいつも悩みます。
で、お聞きしたいのは、この問題はどこに着眼点を置いて問題を解き始めていけばいいのかヒントをいただけないでしょうか。

No.1722 - 2008/12/13(Sat) 17:19:05

☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]

みゆうさん，こんばんは．
独学は辛いですよね．特に苦手だったというお話なので尚更です．
少しでもお手伝いできたらと思います．

さて，いきましょう．
>その考え方がいまいち理解できませんでした。
んー，残念ながらその「いまいち」が私には理解できないのですよ．
具体的に○○がと言ってくれると有り難いです．
>私は、具体的な数字じゃなく文字で出てくる問題がどうも苦手で、どこから手をつけたらよいかいつも悩みます。
これはみゆうさんに限ったことではなくて，私も含め，多くの人が苦手にしています．
ですから，そんなに凹むことはないですよ．

まあそんなことばかり言っていても始まらないので・・・・

最初はn=2で考えてみましょう．
初めに表が出るのは，
1)2枚　2)1枚　3)0枚
の場合です．
1)のとき，初めに２枚表となるのは(1/2)^2であり，もう残っていませんので，確率は1/4
2)のとき，初めに１枚表となるのは2C1(1/2)^1･(1/2)^1で1/2．次は残り１枚が表となるので，1/2
ゆえに，1/2･1/2=1/4となります．
3)のとき，初めは２枚とも裏なので(1/2)^2であり，次は２枚とも表で(1/2)^2
ゆえに(1/2)^2･(1/2)^2=1/16
1)～3)より1/4+1/4+1/16=9/16が解になります．

これと同様にn=3をやってみてください．できてもできなくてもレスください．待っています(^_^)

No.1723 - 2008/12/13(Sat) 18:14:22

☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]

はじめまして、londontraffic先生。早速のご返事ありがとうございます。

>>その考え方がいまいち理解できませんでした。
>んー，残念ながらその「いまいち」が私には理解できないのですよ．
具体的に○○がと言ってくれると有り難いです．

この掲示板を通じて自分に合った解法を見つけ出せたらなぁと思いまして、あえて載せませんでした。すいません(><)
えぇと、一応書いておくと…
「ｎ枚のコインを１,２,３，…，ｎと区別をつけ、１枚のコインを続けて２回投げることを１，２，…，ｎの順に行う，と考える。」
という考え方です。区別をつけるまではいいのですが、その後がどうも。。。

>これと同様にn=3をやってみてください．できてもできなくてもレスください．待っています(^_^)

はい！ここに式を書いてもいいですか？と言いつつ書いていますが(^^;
うえの通りにやってみました。

初めに表が出るのは、
1)3枚 2)2枚 3)1枚 4)0枚
1)のとき，(1/2)^3=1/8
2)のとき，3C2(1/2)^2(1/2)･1/2=3/16
3)のとき，3C1(1/2)(1/2)^2･(1/2)^2=3/32
4)のとき，(1/2)^3･(1/2)^3=1/64
1)～4)より，27/64　となりました！（説明を省いてしまいました。）

解いてみて、少し規則性が見えてきましたが、やはり次へのもっていきかたが分かりませんでした。
答えが、(3/4)^2と、(3/4)^3ということは分かったのですが、
n=2とn=3の場合を書いて、(3/4)^nが答えだ、と解答に書いたらダメですよね…？

No.1724 - 2008/12/13(Sat) 20:10:59

☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]

レスありがとうございます．
まず
>「ｎ枚のコインを１,２,３，…，ｎと区別をつけ、１枚のコインを続けて２回投げることを１，２，…，ｎの順に行う，と考える。」
のことです．

これは「n枚のコインを投げる」ときに起こる事象と「１枚のコインをn回投げる」ときに起こる事象を同じように扱うことができるという説明です．
例えば，「３枚のコインを投げるときに２枚表が出る確率」と「１枚のコインを３回投げるときに２回表が出る確率」が同じになるということです．
私はこの事実を認めますのでどちらの確率も3C2(1/2)^2･(1/2)^1=3/8と計算しますが，みゆうさんはいかがですか？

では次です．
>1)～4)より，27/64　となりました！（説明を省いてしまいました。）
私もそうなりました(^_^)
>答えが、(3/4)^2と、(3/4)^3ということは分かったのですが、
>n=2とn=3の場合を書いて、(3/4)^nが答えだ、と解答に書いたらダメですよね…？
そうですね．２個だけ調べてそれを事実とするのは説得力が無いです．
数学的帰納法を使って証明すればokですが，残念ながら「できますね」と今私は即答できません．

さて，今回実際に手を動かしてn=2や3での確率を求めたり，推測してみたことがかなり重要になります．それは自分の出した結果（nでやってみたときの結果）が正しいかどうかを判定できるからです．
そしてもう一つ重要なこと．それは，n=3でみゆうさんが答えを出せたということは，みゆうさんはnのままで計算できる可能性があるということです．

では，nのままでやってみましょう．
最初にn枚のうち，m枚が表になる確率はnCm(1/2)^m･(1/2)^{n-m}=nCm(1/2)^nになります．表が出たm枚を除いて残ったn-m枚が次に全て表になる確率は(1/2)^{n-m}ですから，
最初にm枚表がでて，２回目に残りのn-m枚全て表がでるの確率は nCm(1/2)^n×(1/2)^{n-m}
これはm=0でもm=nでも成り立ちます．

ここまでどうですか？

No.1725 - 2008/12/13(Sat) 21:46:08

☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]

>これは「n枚のコインを投げる」ときに起こる事象と「１枚のコインをn回投げる」ときに起こる事象を同じように扱うことができるという説明です．
>例えば，「３枚のコインを投げるときに２枚表が出る確率」と「１枚のコインを３回投げるときに２回表が出る確率」が同じになるということです．
>私はこの事実を認めますのでどちらの確率も3C2(1/2)^2･(1/2)^1=3/8と計算しますが，みゆうさんはいかがですか？

なんとなく判るような気がするのですが、
『１枚のコインを３回投げる場合』を考えた時、１回目が「表」だったら、そこで試行が終わってしまうと私は考えてしまい、『１枚のコインを３回投げる時「２回表」が出る』事象が思いつきませんでした（; ;）

>では，nのままでやってみましょう．
>最初にn枚のうち，m枚が表になる確率はnCm(1/2)^m･(1/2)^{n-m}=nCm(1/2)^nになります．表が出たm枚を除いて残ったn-m枚が次に全て表になる確率は(1/2)^{n-m}ですから，
>最初にm枚表がでて，２回目に残りのn-m枚全て表がでるの確率は nCm(1/2)^n×(1/2)^{n-m}
>これはm=0でもm=nでも成り立ちます．

なるほど！表がn回出たら、(1/2)^nとなり、表が0回だったら、(1/2)^2nとなり、
さっき実際の数字を入れた式と同じになるのですね！
ここまで、分かりました♪ここから先、自分で色々考えてみたのですけど、
nCmをどのように処理すればいいのでしょうか…？分からないことばかりですみません。

No.1726 - 2008/12/13(Sat) 23:30:36

☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]

>なんとなく判るような気がするのですが、
私の言葉が足らなかったようです．
・同じ試行を繰り返す「反復試行」の確率nCr･p^{n-r}･(1-p)^rが，コインを○回投げるでも使えます
ということが書いてあるのですよ．

さて本題．ここからですが他の方法があるのかもしれません（お手元の解答が別のものであれば，次のレスでカキコをしていただきたいです）が，私が思いついたのは「二項定理」を利用する方法です．
みゆうさんは学生生活から間があるようなので，確認のために二項定理を書いておきますね．
二項定理 (a+b)^n=nC0a^n+nC1a^{n-1}b^1+nC2a^{n-2}b^2+・・・+nC{n-1}a^1b^{n-1}+nCnb^n
これをΣを用いて表すと，(a+b)^n=sum_{k=0}^n nCka^{n-k}b^k ・・・（あ）となります．

>最初にm枚表がでて，２回目に残りのn-m枚全て表がでるの確率は nCm(1/2)^n×(1/2)^{n-m}
これは全部のサイコロがなくなる場合の「全て」ではなくて，「最初にm個除かれる場合」の確率でしかありません．では全ての場合はどうすれば良いかというと，mに0,1,2,・・・,nを代入したものを加えてあげればよいのです（みゆうさんは，n=3のとき，1)3枚 2)2枚 3)1枚 4)0枚として加えましたよね）．
その和をpとすると，p=sum_{m=0}^n nCm(1/2)^n×(1/2)^{n-m}．nはmに無関係なので，
p=(1/2)^nsum_{m=0}^n nCm(1/2)^{n-m}
と変形できます．ここで二項定理の登場です．（あ）において，k=m，a=1，b=1/2としたものが，上の赤の部分と一致しますよね．ですから，代入すれば
p=(1/2)^n(1+(1/2))^n=(1/2)^n･(3/2)^n=(3/4)^n
となり，解が求められます．

長くなりましたが，いかがですか？

No.1728 - 2008/12/14(Sun) 07:46:03

☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]

返信がすっかり遅くなってすみません！今日はなかなかパソコンへ向かう時間がなかったもので（汗）

>同じ試行を繰り返す「反復試行」の確率nCr･p^{n-r}･(1-p)^rが，コインを○回投げるでも使えます
>ということが書いてあるのですよ．

そうだったのですか！「反復試行」だったんですね。
手元の解答が別のものなので、続きを書きます。

ｎ枚のコインを１，２，…，ｎとおき、１枚のコインを続けて２回投げることを１，２，…，ｎの順に行う、と考える。
１枚のコインを２回投げた時、そのコインがなくならない確率は　1/2･1/2=1/4 ……?@
また、１枚のコインがなくなるためには少なくとも１回表が出ればいいので、
１枚のコインを２回投げた時、そのコインがなくなる確率は?@より　1-1/4=3/4 ……?A
よって、２回投げた時に全てのコインがなくなるためには１，２，…，ｎのすべてについて?Aが起こればいいので　3/4･3/4･…･3/4=(3/4)^n

でした。「少なくとも１回表になる確率3/4」ということは「反復試行」だと知って分かったのですが、
その後、（表、裏）（裏、表）（裏、裏）の「裏」で残ったコインの処理はこの場合どうなっているのでしょうか…？

>長くなりましたが，いかがですか？

やっと、すっきり理解できましたぁ～!!!（●＾Ｕ＾●）
でも、この問題は私にはまだハードルが高かったように思います。
知らないことが多すぎました（＾＾；
しかし！londontraffic先生と一緒にこの問題を考えられて（結局、最後まで先生に解いてもらう格好になってしまいましたが…）
今まで、この問題のように、文字を数字のように考えて解く問題を分かった振りをして逃げていましたので、
今回長い時間をかけましたが、幾たびも頭がショートしてしまいながらも（笑）問題と真剣に向き合えた気がします。
これからも、このような問題を嫌がらずにいっぱい解いて自分のものにしたいです。

No.1745 - 2008/12/14(Sun) 23:57:28

☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]

お手元の解答の方が簡単でいいですね．勉強になりました（涙）
まあ，とりあえず理解していただいてよかったです(*^_^*)

>その後、（表、裏）（裏、表）（裏、裏）の「裏」で残ったコインの処理はこの場合どうなっているのでしょうか…？
おそらくみゆうさん，勘違いされているのでしょう．
（表、表）（表、裏）・・・最初に表がでるので，１回目で取り除かれる
（裏、表）・・・初めて表がでるのが２回目なので，２回目に取り除かれる
（裏、裏）・・・取り除かれない
になっています．どうでしょう？

No.1750 - 2008/12/15(Mon) 07:19:30

☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]

>お手元の解答の方が簡単でいいですね．勉強になりました（涙）
>まあ，とりあえず理解していただいてよかったです(*^_^*)

いえいえ。こういう発想が出てこない時はどうしても地道にやっていくしかないので、
別の解答も知ることができて良かったです。あいまいだった二項定理の記憶もだいぶ固まってきました。

>（表、表）（表、裏）・・・最初に表がでるので，１回目で取り除かれる
>（裏、表）・・・初めて表がでるのが２回目なので，２回目に取り除かれる
>（裏、裏）・・・取り除かれない
>になっています．どうでしょう？

（表、裏）も一回目で取り除かれるのかぁ…（＠0＠）！
だから、コインがなくなるのは四通り中三通りあるんですね。
でも、やっぱりどうしても一回目に表が出たのに、なぜ二回目に裏が出ることを考えなきゃいけないか
スッキリとしないこの私の頭は、固すぎますよね（；；）考えたのですけど…
「コインがなくなるためには、1)一回目に表が出る確率が、1/2
2)一回目に裏が出て、二回目に表が出る確率が、1/2･1/2=1/4
２つを足して、3/4」でも、同じことですか？

No.1751 - 2008/12/15(Mon) 17:04:27

☆ Re: 確率 / londontraffic [教育関係者]

>でも、やっぱりどうしても一回目に表が出たのに、なぜ二回目に裏が出ることを考えなきゃいけないか
（表、表）は気にならないですか？

>「コインがなくなるためには、1)一回目に表が出る確率が、1/2
>2)一回目に裏が出て、二回目に表が出る確率が、1/2･1/2=1/4
>２つを足して、3/4」でも、同じことですか？
はい．同じ事なのでokです．この発想が出てくるので，みゆうさんは頭が固いのではないですよ．おそらく経験が足りないのです．

みゆうさんは，１回目に表が出たとき２回目を考えていないですよね．
２回目を考慮すると１回目に表が出るのは（表、表）、（表、裏）の場合で1/4+1/4=1/2になり，みゆうさんが出した２回目を考えないものと同じになります．

納得できますか？

No.1753 - 2008/12/15(Mon) 18:56:03

☆ Re: 確率 / みゆう ♀ [近畿] [その他]

こんにちは。

>（表、表）は気にならないですか？

そうでした。こちらも気になっていました。

>納得できますか？

おぉーー！はい！納得できますっ（o’□’o)!!
私の考える「表1/2」には、結果的に２回目の表1/4、裏1/4が含まれている、というか、
その２つをあわして「表1/2」という数字があるのですね！

ここまで、本当にありがとうございましたm(_ _)m m(_ _)m
学生の頃からなんやかんやと細かいことまで疑問を抱き、
自分で「こうだから、こうなんだ」と無理やり解釈したり、暗記しているところがありましたが、
こんなに最後まで、とことん疑問を聞いてくれたのは初めてかもしれません。
これからもお世話になると思いますが、どうぞよろしくお願いします。

No.1760 - 2008/12/16(Tue) 17:09:24

★ (No Subject) / まい

こんばんは！高3のまいです。よろしくお願いします。

センターで度々この種の問題を間違えるので一緒に考えてくださいm(u_u)m

a+b=0…Ａは
(a+b)x+a^3+b^3=0…Ｂ
の何条件かという問題で

Ｂを整理して
(a+b)(x+a^2-ab+b^2)=0だから
ＡのときＢは成立するのはわかるんですが

Ｂのときつまりa+b=0またはx+a^2-ab+b^2=0
のときにＡが成立するかって言われたら、a+b=0のときは成立するけど、x+a^2-ab+b^2=0のときは成立しないわけですよね。

こういうふうに成立しないときがあるのに、ＡはＢの必要十分条件となっているのですがいいのですか？(ノ_・。)

No.1708 - 2008/12/11(Thu) 20:36:52

☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]

まいさんこんばんわ。

このような場合は二次試験にも出ることがあり、悩みどころなのですが

結果としてこれは必要条件も成立します。私も悩んだなぁ。

でも簡単なことなんです。

例えばお母さんにこう言われたとしましょう。
「まいちゃん、りんごかみかん持ってきて～。」

そういうとき、まいさんは何をお持ちになりますか？
そしてお母さんは何を持っていったとき、「ありがとう」
といってくれるでしょう？？

国語の問題になるのかなとも思いますが、どうですか？ちょっとお遊び的ですが。

No.1709 - 2008/12/11(Thu) 22:45:11

☆ Re: / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

まいさん，こんにちは。

問題を確認していただきたいのですが，

条件Bは，(a+b)x+a^3+b^3=0 がｘの恒等式である
ではありませんか？

No.1710 - 2008/12/12(Fri) 01:59:15

☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]

先生すみません。
私も気づくべきでした。

一般的な話に拘泥してしまいまして、申し訳ありませんm(__)m

No.1714 - 2008/12/12(Fri) 23:18:27

☆ Re: (No Subject) / まい

たろさん新也さんお騒がせしてすみません!!
そうです！

f(x)をg(x)で割りきれる⇔f(x)=q(x)*Ａ+ＢのＢが常に0

なのですが、単純にＢ=0としたための間違いです(>_<)

本文ではＡＢＱＲと4つ文字があり4次式や2次式だったため、ごちゃごちゃするし、この問に関してはそこを割愛しても問題はないと思ったのですが間違えちゃいました;

ええと、それでもたろさんがおっしゃっるように、もしわたしの書いた問だったとしても必要十分条件なんですよね？

No.1715 - 2008/12/13(Sat) 02:34:39

☆ Re: (No Subject) / まい

新矢さん！いまびっくりしたのですが、NO1713のまいさんはまいじゃないです。(((゜д゜;)
質問は1回に1個までって書いてあったから誤解されたらどうしよー;

No.1716 - 2008/12/13(Sat) 02:40:00

☆ Re: (No Subject) / まい

No.1717 - 2008/12/13(Sat) 02:40:13

☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]

まいさん

大変申し訳ありませんでした。

私の認識は誤りでした。教える側として混乱を招いてしまい、申し訳ございません。正直に謝罪いたします。

新矢先生のご指摘どおりであるとするならば、
xの恒等式になると言うことなので
B=0が恒に成立すると言うことはa+b=0

よって、B⇒Aも成立する

ということになると思います。
したがって必要十分条件になります。

一般的にまいさんの認識でOKです。
新矢先生のご教授してくださった例では

(x-1)(x-2)=0ならばx=1である
は真か偽か。

私からは次の問題を挙げておきますのであわせて２題分について真偽を考えてみてください。

[a,bはともに整数である]または[a,bはともに整数ではない]ならば[a+bは整数である]

要するに事あるごとに考えてほしいということなのです。

別のまいさんのご投稿では
はじめまして
と書かれておりますし、管理者である新矢先生も別の方と了解くださっているので大丈夫ですよ。
紛らわしく感じたらH･Nをご変更くださった後で、その旨も一緒に書き込んでくださればOKです。

今回は大変申し訳ございません。

No.1721 - 2008/12/13(Sat) 10:08:23

☆ Re: (No Subject) / まい

返信おくれました！すみません。

(x-1)(x-2)=0ならばx=1
これはまさに今回の問題と同じですね。

x=1または2ならばx=1
またはなので片方あってればいいので真でしょうか？いや偽な気もします;これ詳しく教えてもらえますか？

a、bはともに整数またはa、bはともに整数じゃないならばa+bは整数である

a、bがともに整数ならばa+bは整数である。
しかし
a、bがともに整数じゃないならばa+bは整数じゃない。反例a=√2、b=√3

ｩｯﾋｮ(。-∀-)また同じだ。一方は正しくて他方は違う、その一方と他方の関係はまたは。その時は真なのか偽なのかわかりません;

No.1739 - 2008/12/14(Sun) 14:30:17

☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]

まいさん。
本当に申し訳ありません。
逆にこれを機会にしっかり覚えていただければなんて正当化するつもりはありませんが、さきの返信に、まいさんの認識どおりで結構ですと書き込ませていただきましたように、
一般に

AまたはBならばAである

は真ではありません。

というわけで、出した例題はいずれも偽ということになります。
私の事実誤認もあり、混乱させてしまい申し訳ございませんでした。

では、元の初めの例題についてはどうかというと
B＝0である（Bは恒等式であるという大事な条件を元に）ということは
a+b=0が成り立つということになりますので、B→Aも成立します。
よって必要十分条件になる
というカラクリです。

新矢先生が
「恒等式という条件が抜けていないかい？」

と仰ったのもちゃんとB→Aが成立する理由があるはずだと、見抜いておられたからです。

私の知識の誤りでした。

この一つ前の私の投稿と併せてもう一度御覧になっていただけますでしょうか。
申し訳ないです。

No.1746 - 2008/12/15(Mon) 00:20:37

☆ Re: (No Subject) / まい

いいえー教えてくれてありがとうございますo(^-^)o

先生だって機械じゃないんだから間違えてもいいんです!

このわたしが質問した問題についてはしっかり文をよめば結局a+b=0ならばa+b=0であるはなにか。という問題で必要十分条件なのは分かりました！

でもたろさんが一番最初にひっぱってきた
まいちゃんりんごかみかんもってきてと言われた場合どっか片方でokというのにすごく納得したのにこれは偽ということになるんですよね？なんか納得いきません;そういうもんだと思うしかありませんか？

No.1747 - 2008/12/15(Mon) 01:42:21

☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]

いえいえ
却って申し訳ない気持ちでたくさんです。
ここでコメントする以上、まいさんのような懸命な学生さんを誤った方向に導かないという責任も私たちに生じているのです。
新矢先生kinoppy先生が開設してくださっているこの掲示板の先生方はそういう先生の熱い気持ちに賛同して、責任を持って指導にあたっていらっしゃる素晴らしい先生方です。

そういった中で私は非常に配慮に欠けていました。
まいさんはオンリーワンですからね。一期一会なのですから、私もそれくらいの覚悟で回答すべきなのでした。

優しいお言葉を受けて、しっかり精進したいと思います。

という私の決意はここまでにしまして

実は私の解説が不適当というのはこの問題のまいさんの説明に対してのもので（事実誤認もありましたが）、

「または」

ということの説明に関しては誤りではない（と新矢先生やせら先生にご指摘いただいております）です。

今回の問題では
AまたはBならばAと言っているので

りんごかみかんならば、りんごである！りんごしかダメだ！

と言っていることになります。

違いますよね？りんごかみかんなので、じゃあみかんは？ということになりますね。

こうならば正しいです。

りんごならばりんごかみかんである。

まいちゃんとお母さんの例では

お母さんがりんごかみかんと言っているのに対し、まいちゃんがりんごを持ってくることに相当します。
まいちゃんがりんご！と差し出したとき、りんごかみかんなのでお母さんはOKとするでしょう。
＞まいちゃんりんごかみかんもってきてと言われた場合どっか片方でok
なのです。
しかし、このOKということは何をOKとするかで全然違ってきます。
OKというのはりんごという物体を指しているからOKなのではないですね。
お母さんがOKするという意味ですね。
この例では
AまたはBならばAであるの説明になっていないのです。（しかも間違っている）

AまたはBと言う条件＝お母さんがどちらか持ってきてと言う
という点が誤りなんです。

私の説明では
まいちゃんがりんごまたはみかんを持ってくるならばお母さんは嬉しい
という説明になってしまっていたのです。

りんごまたはみかんならばりんごである

は誤りなので

今回のまいさんの疑問解消にはなってなかったのですね。難しいところです。

つまり
真偽を述べる「話題」が違っているとでも言いましょうか･･･。

だから間違いではないのですね。ただ、今回の設問は全く別の所にポイントがあり、更に間違った事実を伝えていたと言うことになっていたのです。

この辺は定義の理解も絡んでくるので混乱しやすいとこなんです。
日本語で必要とか十分とか考えると混乱を招きやすいので、ベン図を用いたり、教科書の定義に忠実に考えるのが良いです。

長々とスミマセンでした。
追加質問いつでもお待ちしています。

No.1748 - 2008/12/15(Mon) 02:59:17

☆ Re: (No Subject) / まい

たろさんは先生なのでしょうか。それとも数学が好きな先生じゃない人なんでしょうか。どちらにしても、今まで会ってきた先生と比べると真摯な姿が素敵です。謝られたことなんかありませんよ。先生に分からないこと聞くといつも怒られちゃいます(>_<)自分でやれって言われちゃいます。

進学校以外の学校が体裁を保つだけになっちゃってて、予備校にやる気のある先生があつまってるのが悲しいです。

うちは貧乏だから予備校は単科で英語だけしか行けなくて;学校で勉強したいのに。でも頑張ります(・ω・)＼

この分野教科書がうまく理解できなかったんですよね。先生に聞いても、昆虫と生物で喩えてくれたんですがなんだか;

(x-1)(x-2)=0
⇔x=1または2
∪
x=1

よって(x-1)(x-2)=0はx=1の必要条件であるが十分ではない。

ベン図を書くと分かりやすいかもしれません^^

長時間相手させてしまってすみません。本当にありがとうございました(゜∀≦*)

No.1749 - 2008/12/15(Mon) 03:56:29

☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]

そうですね。
一番分かりやすい考え方で自分の手元にひきつけるということも大切だと思います。

ベン図では分かりにくい例もありますので、その都度悩んでわかり、また一つ成長していくものだと思います。それをじっくり待ち、たまに方向を示すのが指導者と思います。

私はご察しの通り、新矢先生をはじめとしたキャリアも豊富な先生方とは異なりまして正業は別にさせていただいております。

私もまいさんと同じく制約された環境で、ひたすら怒られ続け、悔しくて独学で勉強しました。
指導経験も大学院までの八年間塾や個別指導にあたったくらいで数学以外の時間が長かったように思います。
ただ、私の時代は新矢先生のように現状を憂いて、それを打破せんとする素敵な先生が周りにおらず、せめてまいさんのような懸命な学生さんに頑張って欲しいという思いで、微力ながら参加させていただいております。ですから指導の責任は仕事ではなくとも同質と考えています。

まいさんもこの先色々な困難があると思いますが、頑張ってください。
こちらの先生たちは様々なお悩みにも真摯に応えてくださいます☆

このたびは大変申し訳ありませんでした。

No.1752 - 2008/12/15(Mon) 18:19:25

★ ブラーマグプタ / あんかじ [高校１年生]

はじめまして。

「ブラーマグプタの公式」について教えてください。

円に内接する四角形ABCDにおいてAB=5,BC=8,CD=3,B=60°のとき、四角形ABCDの面積Sを求めよ。

という問題なのですが、高校の先生は、「ブラーマグプタを使えば簡単です」と言って公式の説明をしてくださったのですが、チャート式や他の僕が持っている教材には全く書かれていませんでした。

そこで、ウィキペディアで調べてみたところ、「ブラーマグプタ自身は円に内接するという条件を明示していないため、不正確な公式」となっているのですが、実際に大学受験で使用してもよろしいのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.1727 - 2008/12/14(Sun) 00:06:11

☆ Re: ブラーマグプタ / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]

　あんかじさん，こんにちは。

　人によっていろいろと考えがあるでしょうが，私個人の考えでいうと，公式には

　１：教科書などに出ているもので，試験などでもそのまま利用してよいもの
　２：教科書レベルの公式ではないが，高校数学の範囲で証明できるもの
　３：高校数学の範囲を超える公式で，利用すべきでないもの

の３つがあるように思います。もっと細かく分けてもいいですが，大雑把にはこんなものです。

　ご質問の「ブラーマグプタの公式」についていえば，上の３つのうちの２番にあたります。円に内接するという条件つきではありますが，三角形に対する「ヘロンの公式」（はご存じでしょうか）と同じような形の定理で，証明も高校数学の範囲でできるものです。
　「不正確な・・・」というのは，ブラーマグプタ自身はそのような認識しかもっていなかった，ということだけであって，その後，円に内接する四角形であれば必ず成り立つ，という点ではなんら問題ありません。・・・授業で公式の説明もあったわけですよね。

　ただ，ではこれを無条件に使用していいかというと，個人的には好ましくないのでは，と思います。
　２番で挙げた「教科書レベルではない公式」というのは，（少々ぼやけた言い方になりますが）そのまま利用していいものと，そうでないものとにさらに分けられるように思います。ブラーマグプタの公式に関していえば，個人的な意見では後者に該当すると思います。
　結論だけ言ってしまえば，ブラーマグプタの公式は，入試においては「その公式を利用してもかまわないが，そのことの証明をつけた方が無難」と言えるものだと思います。

　どうでしょう，この問題を解く際に，まずこの公式が使える段階まで計算をして，それから公式を利用する。上記の「掟」にしたがうとすれば，さらにブラーマグプタの公式の証明をつける必要がある・・・ばかばかしく思えてきませんか？

　実のところ，この問題を解く際にその公式を利用しようという発想が，個人的には少々どころではなく不思議ですが・・・。

　そもそも，あんかじさんはこの問題を解くときにどのような手順をとるでしょうか？
　ブラーマグプタの公式を利用するということでもかまいませんが，お書きいただけますでしょうか？

No.1735 - 2008/12/14(Sun) 12:25:02

★ 余弦定理　青チャート１ P175 / バムセ [地球外] [高校１年生]

いつも大変御世話になっております。

図のように、座標軸をとると、△ABC の頂点の座標は　A(0, 0), B(c, 0), C(bcosA, bsinA)
頂点C から辺AB に垂線CH を下ろし、直角三角形BCH で三平方の定理から　BC*2=BH*2+CH*2
ゆえに　a*2=|c-bcosA|*2+(bsinA)*2=c*2-2bccosA+b*2(cos*2A+sin*2A)
すなわち　a*2=b*2+b*2-2bccosA・・・A が直角・鈍角のときも成立。

直角・鈍角の場合も調べてみたのですが、
a*2=(c-bcosA)*2+(bsinA)*2
で、大丈夫でした。
絶対値となるのはなぜでしょうか？？？

よろしくおねがいします。
尚、図を示せないことを御詫び申し上げますm(_ _)m

No.1684 - 2008/12/09(Tue) 12:52:49

☆ Re: 余弦定理　青チャート１ P175 / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]

　バムセさん，こんばんは。
　一つ前の質問は解決したということでよろしいでしょうか。

　さて，ご質問のことですが，∠Ａが鋭角の場合の図がかいてあります。
　確かに，その図の場合は，絶対値を取る必要はありませんね。
　ですが，∠Ａが鋭角の場合に，２点Ｂ，Ｃは「いつでも」図に示してあるような
位置にあるでしょうか。
　説明で絶対値をとっているということは，具体的には

　　Ｂのｘ座標がＣのｘ座標よりも大きいことがある

ということを意味します。つまり，そのような位置にあるような３点Ａ，Ｂ，Ｃを
頂点とする△ＡＢＣを描くことができる，というわけです。

　一度，簡単な図でいいですから実際に描いてみてはどうでしょう？

No.1699 - 2008/12/10(Wed) 19:44:00

☆ Re: 余弦定理　青チャート１ P175 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

バムセさん，こんにちは。
留数先生，ご無沙汰しております。

申し訳ありませんが，青チャートをお持ちでない方にも，質問内容がわかるように。問題文を書き込んでいただけるでしょうか。

No.1702 - 2008/12/10(Wed) 23:53:56

☆ Re: 余弦定理　青チャート１ P175 / バムセ [地球外] [高校１年生]

> 　バムセさん，こんばんは。

留数先生、初めまして。
とめかずせんせいとお読みするのでしょうか？

> 　一つ前の質問は解決したということでよろしいでしょうか。

はい。ひとみ先生からの返信を待ってから書き込むべきでした。

> 　ですが，∠Ａが鋭角の場合に，２点Ｂ，Ｃは「いつでも」図に示してあるような
> 位置にあるでしょうか。
> 　説明で絶対値をとっているということは，具体的には
>
> 　　Ｂのｘ座標がＣのｘ座標よりも大きいことがある

Ａが鋭角のとき、Ｂのｘ座標がＣのｘ座標よりも小さいときに、絶対値を使う必要があると考えました。
また、Ａが鈍角のとき、ＢとＣが第２象限にあるときに、絶対値になると考えました。

一言、アドバイスを頂くだけで、視野がずいぶん広くなります。
ありがとうございました?｡

No.1705 - 2008/12/11(Thu) 12:04:54

☆ Re: 余弦定理　青チャート１ P175 / バムセ [地球外] [高校１年生]

> バムセさん，こんにちは。
> 留数先生，ご無沙汰しております。
>
> 申し訳ありませんが，青チャートをお持ちでない方にも，質問内容がわかるように。問題文を書き込んでいただけるでしょうか。

新矢先生、初めまして。この様な掲示板を運営して頂き、大変感謝しております。
ありがとうございます。

スレッドの件ですが、これは問題ではなく、件名として示させて頂いた様に、余弦定理の解説です。
画像入力の仕方がわからないので、座標から図を作成して頂けると大変ありがたいですm(_ _)m

No.1706 - 2008/12/11(Thu) 12:12:45

★ Σと最小値 / まい

おはようございます！高3のまいです。また納得いかない問題がでてきたので助けてください。

f(x)=Σ(k=1→100)|kx-1|とおくときのf(x)が最小値をとるときのxを求めよ。

という問題なのですが、昔解いた問題を思い出し
g(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|の場合

　　　　　　xの係数
-3≧x　　　　-3
-3≦x≦-2　　-1
-2≦x≦-1　　1
-1≦x　　　　+3

の4通りになるが全て1次式で直線を表し連続な関数であるため減少関数から増加関数に変る点が最小値を取る点である。よってg(x)=-2で最小値を取る。

これを今回の場合にもあてはめられると思って
1≦x
1≧x≧1/2
：
：
：
：
：
1/99≧x≧1/100というふうにやりx=50で最小値を取るとしたのですが、答えは1/71となってました。どこで間違っているのでしょうか？

No.1682 - 2008/12/09(Tue) 10:57:20

☆ Re: Σと最小値 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

まいさん、こんにちは。河童です。

いいところに目を付けましたね。
昔解いた問題を参考にするあたり、素晴らしいですね。

さて、まいさんは、x = 50 で最小値をとるとされていますが、これはおかしいですね。
何故なら、f(x) は、どのように絶対値が外れたにせよ、x の１次式、つまり、直線になりますからね。
その直線の折れ曲がるところが、絶対値の中身が０になる瞬間なんですよね。
実際、まいさんが例として挙げられた g(x) のグラフは、x = -3, -2, -1 のところで折れ曲がっていますね。
ですから、最小値をとる x の値は、解答のように、1/○ のような分数になるはずですね。
あっ、それとも、まいさんは、k = 50 のつもりで書かれたのかな？

ところで、非常に唐突ですが、１から１００までの整数の和はいくらになります？

No.1686 - 2008/12/09(Tue) 16:08:42

☆ Re: Σと最小値 / まい

河童さんこんばんは！
いいえx=1/50としようとしたのですが書き忘れてました。ごめんなさい!

f(x)はすでにkの値が1から100までの絶対値内の和なわけですから、k=50とかk=●という回答は今回ありえないですよね？

1から100の総和は
(1+100)/2×100=10100/2=5050でしょうか？

あと今気になっていたことを思い出したのでよろしかったら教えてください。1から100の個数を数えるときなどにいわゆる植木算というもので100-1+1というように+1をしないと間違えると最近習ったのですが、これを習ってから数を数えるのに自信がなくなりました。今は毎回サンプルを書き実験し、それを使えるように倍にさせたりしてて時間がかかってます。どんなときに+1するのでしょうか？またなんでそんな必要がでてくるのでしょうか？;

No.1689 - 2008/12/09(Tue) 20:47:07

☆ Re: Σと最小値 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

まいさん、こんばんは。

＞ f(x)はすでにkの値が1から100までの絶対値内の和なわけですから、
＞ k=50とかk=●という回答は今回ありえないですよね？

おっしゃる通りです。
ただ、まいさんが結論された x = 1/50 は、後に述べる理由で、k = 50 と似ているんですね。
言い換えれば、解答の x = 1/71 というのは、

k = 71 のときに何かが起こる

と言ってるんですね。
さて、何が起こるのでしょうか。

そこで、まいさんに計算していただいた 5050 の登場です。
この 5050 というのは、x が十分大きいとき、正確には、x が 1/100 以上のときの x の係数を表します。
x が 1/100 以上だと、１００個の絶対値の中身はすべて０以上になるため、絶対値がそのまま取れますから。
逆に、x が十分小さいときは（正確には………）、x の係数は -5050 ですよね。

さて、いま、いちばん左の絶対値、つまり、k = 1 のときの絶対値の中身だけが正になったらどうなるでしょうか。
x の係数は、

1 - ( 2 + 3 + ……… + 100 ) = 1 - 5049 ＜ 0

となりますね。
もし、左の２つだけが正になれば、

1 + 2 - ( 3 + 4 + ……… + 100 ) = 3 - 5047 ＜ 0

ですね。
さあ、この辺で、何をすべきか見えてきませんか？
もし分からなければ、解答の 71 という数を拝借して、

1 + 2 + 3 + ……… + 70 - ( 71 + 72 + 73 + ……… + 100 )

と、

1 + 2 + 3 + ……… + 70 + 71- ( 72 + 73 + ……… + 100 )

を計算してみましょう。

ところで、後半の質問ですが、わたしならこう考えます。

例えば、10 から 100 までの整数の個数を考えるとき、
全部で 1 から 100 までの１００個の数のうち、10 の手前の 9 までは数えないから、

100 - ( 10 - 1 ) = 100 - 9

これは、結局、まいさんが書かれたように最後に +1 をするのと同じなのですが、
わたしの個人的な趣味で言えば、最後に思い出したように１を足すよりも、
上に書いた考え方の方がわたしは好きですね。

ほんとのことを言うと、わたしは、+1 を公式のように覚えることには反対です。
わたしは生徒を教える立場として、まいさんのように、

＞今は毎回サンプルを書き実験し、それを使えるように………

このように考える生徒の方を可愛がります。
えこひいきというやつですね（笑）

No.1693 - 2008/12/09(Tue) 23:54:06

☆ Re: Σと最小値 / まい

おおっもう返事がきてる♪ありがとうございます(。-∀-)

xが1/100以上でxの係数が5050
xが1以下でxの係数が-5050

とおっしゃってますが、
xが1以上でxの係数が5050
xが1/100以下でxの係数が-5050ですよね？あれ違うのかな;

1+2…m-(m+1…100)
=2(1+2…m)-5050
mは自然数

これはxの係数だからこれが0なるときを調べる
2(1+2…m)=5050
m(m+1)=5050
4970≦5050≦5112
70*71≦5050≦71*72
よってm=70や71あたりで何かが起こる!!

5050は4970より5112に近いからm=71のときに最小値をとる。

なんだか間違ってからゎたしの数字の世界が根本から覆されちゃった感じで、1から100までの自然数は100個というのすらあってるか怖くなっちゃいました。でもその考え方の方が分かりやすいですね。数えたいところまで行って、邪魔なやつを消すと。ためになります！

No.1694 - 2008/12/10(Wed) 00:37:53

☆ Re: Σと最小値 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

あっ！！！
ほんとだ！！！

いやはや、面目ない (￣ー￣; ヒヤリ

左右が逆に並んでいるとは気が付かなかった………
やっぱり頭の中だけでやるのは危険ですね。
紙に書いてやらなきゃ。
ごめんなさいね。

要するに、5050 の半分の 2525 になるのはどの辺りかということですよね。

No.1695 - 2008/12/10(Wed) 01:33:15

☆ Re: Σと最小値 / まい

意外とわたしの方針も間違ってはなかったのですね♪
間違えちゃったのは

x-1
2x-1
：
：
：
100x-1
のとこで
123…100となってるから真中の50としてしまったからで

本当は
1+2+3-(4+5…100)=0の時を考えなければならない。

ということですね、本当にありがとうございます！

またお願いします^^

No.1704 - 2008/12/11(Thu) 05:05:47