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★ 二項定理 / あや ♀ [高校１年生]
こんにちは。高?@の彩です！
分からない問題があったので教えていただきたいです。
数学Ａの二項定理の問題です。
考え方も書いてあったので載せておきます！
=========================================================================
＜問題＞
次の等式が成り立つことを示せ。
(1)3^n＝nＣ0＋2×nC1＋2^2×nＣ2＋…＋2^n×nＣn
(2)　0＝nＣ0ーnＣ1＋nＣ2ー…＋(−1)^ｎ×nＣn

＜考え方＞
二項定理でa=1,b=Xとおくと,
(1+x)^n＝nＣ0＋nＣ1X＋nＣ2X^2＋…＋nＣrX^r＋…＋nＣnX^nが成り立つ。
この式の左辺がそれぞれになるようなの値を代入する。

＜解答＞
二項定理を用いて,(1+x)^nを展開すると
(1+x)^n＝nＣ0＋nＣ1X＋nＣ2X^2＋…＋nＣrX^r＋…＋nＣnX^n　・・・・?@

(1)?@に,x=2を代入すると
3^n＝nＣ0＋2×nC1＋2^2×nＣ2＋…＋2^n×nＣn

(2)?@に,x=-1を代入すると
0＝nＣ0ーnＣ1＋nＣ2ー…＋(−1)^ｎ×nＣn

========================================================================
どうしてa=1,b=Xとおくのかが、分かりません。
宜しくお願いします！
No.1688 - 2008/12/09(Tue) 20:20:20
☆ Re: 二項定理 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
あやさん，こんばんわ。

No.1274（この記事の近くにあげました）は解決されたのでしょうか？
No.1692 - 2008/12/09(Tue) 23:43:08
☆ すみません / あや ♀ [高校１年生]
おかげさまで、解決できました。
質問したっきりになってしまってごめんなさい。
本当にすいません。
No.1696 - 2008/12/10(Wed) 16:50:16
☆ Re: 二項定理 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

xなど持ち出さずに，直接 a=1,b=2 を代入すればいいのでは？
という疑問でしょうか？
であれば，それでいいです。
私も，どうしてxなんて持ち出してきたのか疑問に感じてます。
No.1697 - 2008/12/10(Wed) 18:48:43
☆ Re: 二項定理 / あや ♀ [高校１年生]
私も、xのせいで余計分からなくなってるなと思います。
それも疑問なのですが、
(1+x)^n＝nＣ0＋nＣ1X＋nＣ2X^2＋…＋nＣrX^r＋…＋nＣnX^n
に代入して求めるのはなぜなのか？が分かりません。
No.1700 - 2008/12/10(Wed) 19:59:09
☆ Re: 二項定理 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

？？
ですから，(1+x)^n=・・・　の式は無視して，
二項定理（普通は　(a+b)^n=…　の形で表していますよね。おそらくそのテキストもこの形で掲載されていると思います）に，直接 a=1 ,b=2 を代入してみましょう。
No.1703 - 2008/12/10(Wed) 23:58:02
★ 正弦定理の利用 / バムセ [高校１年生]
いつも大変御世話になっております。

青チャートの基本例題１１３（３）について質問させて下さい。

c=R, B=20°のとき　A

解答に

【注意】外接円の中心を O とすると、△OAB は正三角形で、角 C は弧 AB に対する円周角であることに着目してもよい。

とあるのですが、このことに着目した際、どの様に展開してゆくのかがわかりません。

問題は、正弦定理を用いて解くことが出来たので、この注意書きについて、教えて頂けると大変ありがたいです。
よろしくおねがいします。
No.1666 - 2008/12/05(Fri) 15:27:44
☆ Re: 正弦定理の利用 / ひとみ ♀ [中国] [大学生]
少しばかり記事を訂正させていただきました。

　　バムセさん、こんにちは。ひとみと申します。

　　Ｒは外接円の半径なので△ＯＡＢが正三角形になる･･･、ここまでは大丈夫ですか？
　　よければ【注意】にあるように『角Ｃは弧ＡＢに対する円周角であることに着目』してください。
　　そうすれば∠Ｃの角度がわかるはずです。
　　ここまできたら、後は△ＡＢＣを見直すだけですよ。

どのように解答を展開するのかということでしたので、手順を書かせていただきました。
おわかりいただけたでしょうか？
No.1671 - 2008/12/05(Fri) 16:52:51
☆ 七先生へ / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
回答者掲示板をご覧ください。

http://lykeion.info/kaitousya/yybbs.cgi?list=thread
No.1672 - 2008/12/05(Fri) 18:58:39
☆ Re: 正弦定理の利用 / バムセ [地球外] [高校１年生]
ひとみ先生、いろいろとお気使い頂き、ありがとうございました。
正三角形までは理解しており、先程から、しばらく弧 AB を眺めながらうんうん考えているのですが、ここから角 C の大きさを導くことが出来ずにおります。私が何らかの定理を見逃しているのかもしれません。
次のヒントを頂けるとありがたいです。
考えながら眠ると夢の中で思いついたりするそうなので、今夜は図を頭に焼きつけて眠ろうと思います。
おやすみなさいzzz...

?｡七先生?｡
残念ながら、返信記事を拝見することは出来なかったのですが、ありごとうございました。
またの機会がありましたら、そのときは是非宜しくお願い致します。
No.1674 - 2008/12/06(Sat) 01:09:16
☆ Re: 正弦定理の利用 / ひとみ ♀ [中国] [大学生]
バムセさん、遅くなって申し訳ありません。∠Ｃを出すまでの過程、考えて思いついたでしょうか？
解法に気付いておられればそれでよいのですが、もしまだであれば以下の二点に着目してみてください。

　・正三角形とはどのような三角形でどんな性質をもっているか。
　
　・△ＡＢＣの外接『円』の『中心』がＯ→弧ＡＢに対する角がもう一つ･･･ありますよね。
No.1675 - 2008/12/06(Sat) 18:24:47
☆ Re: 正弦定理の利用 / バムセ [地球外] [高校１年生]
ひとみ先生、ありがとうございます。

> 　・正三角形とはどのような三角形でどんな性質をもっているか。

３辺の長さが等しく、３つの角の大きさが６０°で等しい。

> 　・△ＡＢＣの外接『円』の『中心』がＯ→弧ＡＢに対する角がもう一つ･･･ありますよね。

角C は弧AB の円周角で、２つ出来るのは図を見てわかるのですが、ここから角C の大きさをどうしたら導びけるのでしょうか？

よろしくおねがいします。
No.1676 - 2008/12/07(Sun) 00:14:31
☆ Re: 正弦定理の利用 / ひとみ ♀ [中国] [大学生]
返事が遅くなってしまって申し訳ありません。

　・正三角形とはどのような三角形でどんな性質をもっているか。
　　→３辺の長さが等しく、３つの角の大きさが６０°で等しい。･･･そうです、その通りです。

　・△ＡＢＣの外接『円』の『中心』がＯ→弧ＡＢに対する角がもう一つ･･･ありますよね。
　　→「角C は弧AB の円周角で、２つ出来るのは図を見てわかるのですが、」とのことでしたが、
　　　与えられた情報から図を書いても、その時点では円周角にあたる角は∠Ｃだけで二つはないと思います。
　　　こちらの書き方が少々わかりにくかったようですね、すみません。

では、二つ目の着眼点に気付くために、バムセさんが既におわかりの所までを整理してみましょう。
問題は△ＡＢＣの∠Ａを求める問題ですね。
これを「外接円の中心をＯとすると、△ＯＡＢ は正三角形で、∠Ｃは弧ＡＢに対する円周角である」という点から導こうとしています。
今、バムセさんは△ＯＡＢが正三角形になるところまではきちんとわかっておられますから、ここからアプローチしてみましょう。

まず、真っ白な用紙に正三角形ＯＡＢを書いてみてください。
この時、バムセさん自身が答えてくれた「３辺の長さが等しく、３つの角の大きさが６０°で等しい」という条件を、図に示しておきましょう。
気付いた定理は書き込んでおく方が忘れなくていいですよね。

しかし･･･このままでは、問題のメインである△ＡＢＣがないおかしな図ですよね？
ですから、ここから図中に△ＡＢＣを作ってみてください。
問題文中に∠Ｂが与えられていますから、△ＡＢＣのだいたいの形は想像できるはずです。
そのイメージをもとに書けば、すぐ書けるはずですよ。

これで、問題となっている△ＡＢＣ一つ目の着眼点である正三角形ＯＡＢが共に書かれた図が完成しましたね。
それでは、ここで難関だった二つ目の着眼点に進んでみましょう。

「△ＡＢＣの外接『円』の『中心』がＯ」です。これを先ほどの図に書き込んでみてください。

これで弧ＡＢに注目したら、円周角とは違う弧ＡＢに対する○○角が･･･見えてきませんか？
円と角です。しかもＯは『円』の『中心』ですよ。何か定理、ありましたよね？
これに気づければ∠Ｃに辿り着くことが出来ます。

さぁ、どうでしょうか？見えてきましたか？
No.1681 - 2008/12/09(Tue) 02:46:56
☆ Re: 正弦定理の利用 / バムセ [地球外] [高校１年生]
> これで弧ＡＢに注目したら、円周角とは違う弧ＡＢに対する○○角が･･･見えてきませんか？
> 円と角です。しかもＯは『円』の『中心』ですよ。何か定理、ありましたよね？
> これに気づければ∠Ｃに辿り着くことが出来ます。
>
> さぁ、どうでしょうか？見えてきましたか？

ほっ！すんばらすぃ〜〜〜♪♪♪

円周角は中心角の半分、そしてそして、円に内接する四角形の対角の和は１８０°

に気付けば良いのですネ?｡ありがとうございましたm(_ _)m
No.1683 - 2008/12/09(Tue) 12:39:24
☆ Re: 正弦定理の利用 / ひとみ ♀ [中国] [大学生]
そうですね、中心角にさえ気づけば答えにたどり着けますね。
ただ･･･

>円周角は中心角の半分、そしてそして、円に内接する四角形の対角の和は１８０°に気づけば良いのですネ

とありますが、円に内接する四角形まで考えなくても、△ＡＢＣの角が二つわかったのだから、
三角形の内角の和が１８０°を使うだけでもＡは出ますよ♪

まぁ解き方はいろいろありますから、対角を使うのもいいと思いますよ。
何よりご自身で気付かれたのは良かったと思います。

これからも頑張ってくださいね、では･･･。
No.1687 - 2008/12/09(Tue) 17:18:11
☆ Re: 正弦定理の利用 / バムセ [地球外] [高校１年生]
ひとみ先生、ありがとうございました。
難しかったですが、三角形の外接円については数学Ａで詳しく学習するそうなので、教えて頂いた知識をより深めてゆきたいと思います。
No.1701 - 2008/12/10(Wed) 21:03:23
★ 宜しくお願いします！ / あや ♀ [東海] [高校１年生]
こんにちは！あやです。
どうしても分からない問題があって、質問しました。お願いします！

＜問題＞
0≦X≦ｋにおける関数y=X^2-8X＋9の最大値と最小値、およびそのときのXの値を求めよ。


＜解答＞
y=X^2-8X＋9を平方完成すると、y=(X-4)^2-7 …?@
0≦X≦ｋにおける関数?@のグラフはkの値によって次の4つの場合に分けられる。y=9となるxの値はx=0,8,またf(k)=K^2-8k+9である。
(1)0≦k＜4のとき
X=0で最大値9,　 X=kで最小値 k^2-8k+9
(2)4≦k＜8のとき
x=0で最大値9,　x=4で最小値-7
(3)k=8のとき
x=0,8で最大値9,　x=4で最小値-7
(4)8＜kのとき
x=kで最大値K^2-8k+9,　最小値-7

私なりに考えてみて、y=X^2-8X＋9を平方完成して
y=(X-4)^2-7にするまでは出来たのですが、その後が分かりませんでした。
なので解答を見たんですけど、平方完成した後の説明の意味が分からなくて、
0≦k＜4 と 4≦k＜8 と k=8 と 8＜k がどこから出てきたのかも分かりません。
長くなってすいませんでした！回答宜しくお願いします。
No.1274 - 2008/10/02(Thu) 19:10:45
☆ Re: 宜しくお願いします！ / 与一 [大学生]
あやさん、こんばんわ

あやさんがどこまで理解できているか分からないので、逆にひとつ質問します。

グラフは書いていますか？
２次関数のグラフを書くときは、
１．頂点
２．x軸との交点
３．y軸との交点
の座標を書き込んでください。

そうすると、
>0≦k＜4 と 4≦k＜8 と k=8 と 8＜k がどこから出てきたのかも分かりません。

この疑問の答えに近づけると思います。
No.1277 - 2008/10/02(Thu) 23:44:07
★ 三角形の辺と角の大小　青チャート I　P175 / バムセ [高校１年生]
いつも大変御世話になっております。

０°≦α≦１８０°、０°≦β≦１８０°のとき、α＜β⇔casα＞casβが成り立つことを利用して、a＜b⇔A＜Bを証明してみよう。他も同様。
［１］cosA-cosB=(b*2+c*2-a*2)/2bc-(c*2+a*2-b*2)/2ca=ab*2+ac*2-a*3-bc*2-a*2b+b*3=(b-c)(a+b+c)(a+b-c)/2abc
【1. a+b+c>0, a+b-c>0, 2abc>0】であるから
【2. b-a>0】⇔a<b⇔cosA-cosB>0⇔cosA>cosB⇔0°A<B<180°

【1】は理解出来るのですが、【2】をどの様にして導いたのかがわかりません。
よろしくおねがいしますm(_ _)m
No.1661 - 2008/12/04(Thu) 00:40:30
☆ Re: 三角形の辺と角の大小　青チャート I　P175 / londontraffic [教育関係者]
バムセさん，こんばんは．
早速いきましょう．

今青チャートが手元にないのですが，
>【2. b-a>0】⇔a<b⇔cosA-cosB>0⇔cosA>cosB⇔0°A<B<180°
の並びは
a<b⇔b-a>0 ⇔cosA-cosB>0⇔cosA>cosB⇔0°A<B<180°
ではないですか？

>【1. a+b+c>0, a+b-c>0, 2abc>0】であるから
から，cosA-cosB>0が成り立ちます．

>０°≦α≦１８０°、０°≦β≦１８０°のとき、α＜β⇔casα＞casβが成り立つことを利用して、
なので，
cosA-cosB>0⇔b-a>0
となるのですが，どうでしょう？
No.1664 - 2008/12/04(Thu) 19:11:51
☆ Re: 三角形の辺と角の大小　青チャート I　P175 / バムセ [高校１年生]
londontraffic 先生、いつもありがとうございます。

> 今青チャートが手元にないのですが，
> >【2. b-a>0】⇔a<b⇔cosA-cosB>0⇔cosA>cosB⇔0°A<B<180°
> の並びは
> a<b⇔b-a>0 ⇔cosA-cosB>0⇔cosA>cosB⇔0°A<B<180°
> ではないですか？

> >０°≦α≦１８０°、０°≦β≦１８０°のとき、α＜β⇔casα＞casβが成り立つことを利用して、
> なので，
> cosA-cosB>0⇔b-a>0
> となるのですが，どうでしょう？

並びは先に示した通りなのですが、先生の解説の様に、後ろから考えるとわかります。
おそらく、分子の因数分解後の値が (b-a)(a+b+c)(a+b-c)
となる為、b-a>0⇔a<b ... の様になっているのだと思います。
何故か一抹の不安がよぎるのですが、その正体が何なのかも不明なので、はっきりしたらまた質問させて下さい。ありがとうございましたm(_ _)m
No.1665 - 2008/12/05(Fri) 14:59:00
☆ Re: 三角形の辺と角の大小　青チャート I　P175 / バムセ [地球外] [高校１年生]
> ０°≦α≦１８０°、０°≦β≦１８０°のとき、α＜β⇔casα＞casβが成り立つことを利用して、a＜b⇔A＜Bを証明してみよう。他も同様。
> ［１］cosA-cosB=(b*2+c*2-a*2)/2bc-(c*2+a*2-b*2)/2ca=ab*2+ac*2-a*3-bc*2-a*2b+b*3=(b-a)(a+b+c)(a+b-c)/2abc
> 【1. a+b+c>0, a+b-c>0, 2abc>0】であるから
> 【2. b-a>0】⇔a<b⇔cosA-cosB>0⇔cosA>cosB⇔0°A<B<180°

londontraffic 先生、こんばんは。
解説の、
(b-c)(a+b+c)(a+b-c)/2abc は (b-a)(a+b+c)(a+b-c) の誤りです。m(_ _)m。
生徒目線で大変恐縮なのですが、b-a>0 ⇔ ... となる理由について、気がついたことを書き込ませて下さい。

cosA-cosB=(b-a)(a+b+c)(a+b-c)/2abc

ここで、三角形の成立条件から、a+b+c>0, a+b-c>0, 2abc>0 なので、
b-a>0 のとき、cosA-cosB>0 が成り立つ。

また、b-c<0 となる場合、cosA-cosB<0 となるので、
b-a<0 ⇔ b<a ⇔ cosA-cosB<0 ⇔ cosA<cosB ⇔ 0°<B<A<180°
となると考えましたm(_ _)m
No.1679 - 2008/12/08(Mon) 00:14:54
☆ Re: 三角形の辺と角の大小　青チャート I　P175 / londontraffic [教育関係者]
あー，私が先に
>(b-c)(a+b+c)(a+b-c)/2abc は (b-a)(a+b+c)(a+b-c) の誤りです。
に気が付くべきでした．途中の式は確認していなかったです，ゴメンナサイ<(_ _)>

>また、b-c<0 となる場合、cosA-cosB<0 となるので、
はb-a<0となる場合のタイプミスですね．
カキコしてくださったものでokですよ．
No.1680 - 2008/12/08(Mon) 07:12:54
★ 極限の基本問題 / まっぷ [高校１年生]
簡単な問題かと思うのですが、
n=1から∞で、Σ{(5/3^n)-(3/5^n)}
はどのようにして解けばよいのでしょうか。

手持ちの参考書で似ている問題を探したのですが意外と見つかりませんでしたので質問させていただきました。
よろしくお願いします。
No.1677 - 2008/12/07(Sun) 20:46:00
☆ Re: 極限の基本問題 / ka-o ♂ [学校教員]
まっぷさん、こんばんは

5/3^nを5/3×(1/3)^n-1と考えてみたらどうでしょう？
No.1678 - 2008/12/07(Sun) 21:25:33
★ 2変数関数 / まい
こんばんは。高3のまいといいます。よろしくお願いします。

文系数学のプラチカ1A2Bからの出典です!特にこの問題についてというわけじゃないのですが、疑問が浮かんだので教えてください。

問題はxy平面内の領域-1≦x≦1、-1≦y≦1において1-ax-by-axyの最小値が正となるような定数a,bを座標とする点(a、b)の範囲を図示せよ。


与式=-a(y+1)x-by+1

y+1≧0より
この式はaが0を栄に減少関数や増加関数になる。
だからa>0、a<0、a=0について場合分けしたのですが

解説をみたらa≧0、a<0の2通りの場合分けで済んでいました。

他の問題では3通りにせずに間違えたことがあり今回も3通りに分けたのですが、どんなときに2通りでも十分なのでしょうか？
No.1618 - 2008/11/27(Thu) 19:25:19
☆ Re: 2変数関数 / kinopy [塾講師]
まいさん，こんばんは。kinopyです。回答が遅くなりましたm(__)m

今回は問題の解法より，場合分けの話のようなので別の例で回答させていただきます。

例として，二次関数y=x^2-2ax+2aの0≦x≦2における最大値を求める問題について説明します。

(1)　最大値を求めよ。　の場合
y=(x-a)^2-a^2+2aですので

解答１
i) a<1のとき，最大値4-4a+2a
ii)a=1のとき，最大値2
iii)a>1のとき，最大値2a

解答２
i) a≦1のとき最大値4-4a+2a
ii)a>1のとき，最大値2a

これらはともに正しいです。
解答２の 4-4a+2aにa=1を代入すると，解答１と同じ最大値2が得られますからね。
もちろん，i)a<1，ii)a≧1と分けてもＯＫです。


ところが
(2) 最大値とそのときのxを求めよ。　の場合
解答１
i) a<1のとき，最大値4-4a+2a(x=2)
ii)a=1のとき，最大値2(x=0,2)
iii)a>1のとき，最大値2a(x=0)

解答２
i) a≦1のとき最大値4-4a+2a(x=2)
ii)a>1のとき，最大値2a(x=0)

では，解答２の方が間違いなのはいいですよね？

結局「≦」とは「<または=」ですから，「<」のときと特殊な場合の「=」のときを両方とも含めることができるなら「≦」でＯＫなんです。

もちろん，「≦」「>」の2通りで済むところを，「<」「=」「>」の3通りに分けても間違いではないですがくどいように感じます。

こんな感じで，まいさんの疑問に答えられたでしょうか？
No.1652 - 2008/12/01(Mon) 03:21:35
☆ Re: 2変数関数 / まい
kinopyさんありがとうございます( ∀ *)

解答2がなぜ間違いなのかよく分かりません;わたしなりに考えてみたところ

解答1と比べるとa=1のときは最大値をとるxは0と2なのに

解答2ではx=2の時しか入っていないから、たしかに解答2で言っていることは間違いではなぃけど、つまり解答のための十分条件であるけど必要条件ではないといぅことでしょうか？


そうだとするとまた質問が浮かびました。
<と=を含むことができるなら≦でokということですが、実際に問題を解く時にこの問題は≦でいけるだとか3通りに分けないと間違ってしまうと判断することはできるのでしょうか？それとも3通りに分けて結果を見てからくどいから2通りに表記しようということなんでしょうか？
No.1659 - 2008/12/02(Tue) 21:15:47
☆ Re: 2変数関数 / kinopy [塾講師]
こんばんは。

> 解答2ではx=2の時しか入っていないから、たしかに解答2で言っていることは間違いではなぃけど…

間違いとまではいきませんが「まいさんのおっしゃる点で問題の要件を満たしていない」ですね。当然減点対象です。

> それとも3通りに分けて結果を見てからくどいから2通りに表記しようということなんでしょうか？
実際に解答欄に３通り書くことはないですが，「＝」のような「特殊な場合」は慎重に考えることにしています。
ただし，問題の内容によっては瞬時に判断できるものもありますからケースバイケースですが…

まいさんが前に間違えた問題を上げていただければ，具体的にお答えできるかと思います。
No.1660 - 2008/12/03(Wed) 03:37:07
☆ Re: 2変数関数 / まい
kinopyさん返信遅れてすみません!本当さいきん予備校が忙しくて;

ええと前に間違えた問題はもうどれだか分からないですΣ(>Д・b)
でもとにかく「特殊な場合」は気をつけろ！ということですね。学校でも塾でも解法がメインでこういう考え方みたいなところをやらないので助かりました。

ありがとうございますo(^-^)o
No.1673 - 2008/12/05(Fri) 19:43:10
★ 微分 / RUI ♂ [東海] [高校2年生]
こんにちは
高２です。お願いします。

問題
関数f(x)＝a-cosx/a＋sinxが0<x<π/2の範囲で極大値をもつように、定数aの値の範囲を定めよ。また、その極大値が２となるときのaの値を求めよ。

という問題なんですが

aで場合分けするまでは理解できたんですが、a<-1のとき、
f´(x)の値はx=α（αは0<x<π/2ののただ１つの実数解）の前後で正から負に変わるといったところがわかりません。

ちなみに、数研出版の体系問題集?YのP47?Oです。
お願いします！！
No.1648 - 2008/11/30(Sun) 18:08:49
☆ Re: 微分 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
RUI さん，こんにちは。
回答がたいへん遅くなってしまい，申し訳ありません。

書き込み文からでは，RUIさんの疑問がどこにあるのか，今ひとつわからないのですが，
具体的に例えば a=√2 のときと，a=-√2 のときの増減表を書かれてみてはいかがでしょう？
No.1668 - 2008/12/05(Fri) 16:04:26
★ (No Subject) / 山田太郎 [高校１年生]
座標の問題を解いていて、疑問に思ったことがあったので、質問します。
「三角形ABCと交わるときの直線ｍの範囲を求めよ。」という問題で、直線ｍが頂点A,B,Cを通るときは、ｍの範囲にいれてよいのでしょうか。それとも直線ｍが頂点A,B,Cを通るときは「接する」という扱いになるので、範囲にいれてはだめなのでしょうか。
回答お願いします。
No.1662 - 2008/12/04(Thu) 13:15:34
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
山田さん，こんにちは。

直線が三角形の頂点を通るときは，「接する」とはいいません。
「接する」の詳しい定義は数IIIで学習することになります。
1年生の今は，放物線と直線，円と直線のように，滑らかな曲線と直線
あるいは，放物線と放物線，円と円のように，滑らかな曲線と滑らかな曲線
に対して使う言葉と理解してください。

どのような問題なのかわかりませんが，mの範囲には，頂点を通るときも入れないといけません。
No.1667 - 2008/12/05(Fri) 15:47:38
★ 数?V(極限/基本) / 蛙 ♂ [近畿] [高校2年生]
こんにちは。数学?V・極限の基本的なことなのですが。
何か自分の中で引っかかっていてあまり解けません。
学校の先生が分母の最大次で割れと言われましたが,よく分りません。
それは何故でしょうか?
√の場合,基本は有利化をするといわれました。
例えばこの問題は解答は有利化をしていますが,このやり方でも答えは同じになります。
これではいけないのでしょうか?
lim　｛n分の√(２n+1)-√(3n+1)｝{n→∞｝を分母の最大次のnで割り,
分母1
分子lim√(n分の2+n^2分の1)ー√(ｎ分の3＋n^2分の1)=0
どうでしょうか?有利化した場合も答えが0となります。
また,この方法が可能なら,
√(n^2+3n)-√(n^2-n)も有利化以外の場合で解けないでしょうか?
分母は1だからやはり無理なのでしょうか?
No.1635 - 2008/11/29(Sat) 14:04:20
☆ Re: 数?V(極限/基本) / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
蛙さん，こんにちは。
返信が遅くなってしまい申しわけありません。

私も　lim{n→∞｝{√(２n+1)-√(3n+1)}/n　は，蛙さんと同じく分母分子をnで割ります。
√が入っていても，∞/∞ の不定形は分母の最高次で割るのが優先です。

lim{n→∞｝{√(２n+1)+√(3n+1)}/n
なら，有理化してもうまくいきませんからね。

√(n^2+3n)-√(n^2-n) は，∞/∞ の形ではありませんから，有理化ということになります。有理化以外の方法はちょっと思いつきません。
No.1656 - 2008/12/02(Tue) 15:18:33
☆ Re: 数?V(極限/基本) / 蛙 ♂ [近畿] [高校2年生]
これで引っかかることになく,問題に挑めます!!

ありがとうございました!
No.1658 - 2008/12/02(Tue) 18:05:24
★ 数学?V・極限 / cherry ♀ [北陸] [高校2年生]
こんばんは。よくわからない問題があるので教えてください。

x→∞のとき(f⒳+2x^3)/x^2→-5、x→1/2のときf⒳/(2x-1)→-7/4を満たす整関数f⒳を求めよ。

x→∞のとき(f⒳+2x^3)/x^2→-5からf⒳+2x^3の最高次の項は-5x^4ではないかと考えたのですが、このあとどうすればよいのかわかりません。
答えはf⒳=-2x^3-5x^2+3xとのことですが、答えしか持っていないので考え方を知りたいです。
お願いします！
No.1628 - 2008/11/29(Sat) 02:20:08
☆ Re: 数学?V・極限 / ka-o ♂ [高校１年生]
cherryさん、こんにちは
早速いきましょう。

最高次の項が-5x^4→-5x^2の間違いでしょうか。
そうだと思って回答します。

最高次の項が-5x^2ということはf(x)+2x^3は２次の関数ですね。
つまり、
f(x)+2x^3=-5x^2+ax+b
と表され、
f(x)=-2x^3-5x^2+ax+b
となります。

これを２つ目の式に代入すれば‥

さて、どうでしょう？
No.1632 - 2008/11/29(Sat) 13:06:03
☆ Re: 数学?V・極限 / ka-o ♂ [学校教員]
すみません。高校１年生→学校教員です。
No.1633 - 2008/11/29(Sat) 13:12:24
☆ Re: 数学?V・極限 / cherry ♀ [高校2年生]
回答ありがとうございます！
f(x)=-2x^3-5x^2+ax+bを二つ目の式に代入すると、あとは以前にやったことのある問題と同じパターンだったので、答えにたどりつくことができました。
しかし、初めのf⒳+2x^3の最高次の項を導き出す作業がまだよくわかりません。
極限値が-5なので、最高次の係数が-5だということはわかるのですが、次数はどのようにして決定すればよいのでしょうか？
No.1637 - 2008/11/29(Sat) 14:30:09
☆ Re: 数学?V・極限 / ka-o ♂ [学校教員]
おはようございます。

わかりやすくするためにf(x)+2x^3=g(x)と置きます。

x→∞で、g(x)/x^2→-5

例えばこの問題の場合、次数が3以上や1以下の場合、
x^3/x^2→∞
x/x^2→0
となり、どう考えても-5に収束しなくなりますね。

そこから最高次の次数が2と決定できるわけです。
こういう問題に出会ったときは、まず最初に次数を決定することからはじめます。
この問題では、x→∞のとき、この次数だとどうなるのだろう？と考えてみればすぐに
みつかると思います。

どうでしょうか？
No.1644 - 2008/11/30(Sun) 09:08:55
☆ Re: 数学?V・極限 / cherry ♀ [高校2年生]
こんにちは。
No.1645の返信は私ではありません。
不愉快なので削除しようとしましたが、パスワードが合わずできませんでした。
ありがとうございます。

質問に関してはよくわかりました。
本当にありがとうございました。
またお世話になると思いますが、どうかよろしくお願いします。
No.1647 - 2008/11/30(Sun) 17:53:47
☆ Re: 数学?V・極限 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
私用のため，本日はNET出来なかったのですが，
cherryさんの名を語り，ka-o先生にたいへんご無礼な書き込みをした愚か者がいたようで，お二人には不愉快な思いをさせてしまい申し訳ありませんでした。
該当記事はkinopy先生が削除してくださいました。

投稿者はアクセス禁止制限をしました。
7年間運営してきましたが，今回のようなことは初めてで，平気でこんなことが出来る人がいることに驚いています。NET社会の進展に法が追いついていませんね。
No.1650 - 2008/12/01(Mon) 01:25:36
☆ Re: 数学?V・極限 / cherry ♀ [高校2年生]
新矢先生、kinopy先生、ありがとうございました。
私も自分がこのようなことに巻き込まれるのは初めてだったので驚きました。
ネットの匿名性は便利ですが、やはりマナーを守った上で利用しなければいけないと思います。
日常生活では当然許されないことはネット上でもやってはいけないという認識がない人もいるのでしょうね。
ではこれで。。。
No.1657 - 2008/12/02(Tue) 16:17:47
★ 数学の勉強について / ヒロ ♂ [東海] [高校2年生]
こんにちは。はじめまして。
商業高校2年生のヒロと申します。

場違いかも知れませんが、センター試験の数学について質問があります。

現在、偏差値52といわれる商業高校に通っております。
私の卒業後の進路は、国立大学への進学を目指しております。

このように思い立ったのはつい最近のことです。
いざ勉強を始めてみようと学校の教職員に相談したところ
「現段階では数学と英語に力を入れるべき」とご教授いただき
「青チャートI・A」と「2009年センター試験過去問数学」の2冊を購入し
勉強を始めております。

商業高校から国立へ進学するとなると、今の現状では非常に厳しいことは承知しております。

ですから、今の勉強方法ではまだまだ不十分だと思い、みなさんに
"センター試験数学の対策として具体的に何から始めればよいか"を質問するために書き込ませていただきました。

現状としては、学校側で数学Iと?Uのみは履修済み。
学校の授業としては非常に易しく、センター試験対策はほとんど講じておりません。

今からでも勉強する熱意はあります。
どんな些細なアドバイスでも結構ですので、お返事いただけると幸いです。

よろしくお願いいたします。
No.1646 - 2008/11/30(Sun) 16:21:39
☆ Re: 数学の勉強について / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
ヒロさん，はじめまして。
板違いですので，学習相談掲示板の方にに記事を移しました。

http://lykeion.info/yybbs/yybbs.cgi?list=thread
No.1653 - 2008/12/01(Mon) 15:55:10
★ 数学Ｂ / みずき ♀ [近畿] [高校2年生]
こんばんは。初めて質問させていただきます。

点Ａ(２，−１，０)でxy平面と接する、半径が３の球面
この球面の方程式の出し方が分かりません。

答えは　(x-2)^2＋(y＋1)^2＋(z-3)^2＝９，
　　　　(x-2)^2＋(y＋1)^2＋(z＋3)^2=９

でしたが、なんでこうなるのか分かりません。
基本的なことですが、すみません。
よろしくお願いします。
No.1639 - 2008/11/29(Sat) 21:13:41
☆ Re: 数学Ｂ / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
みずきさん，こんばんは。

点Ａ(２，−１，０)と2点(2，−1，3)，(2，−1，−3)との位置関係は分かりますか？
No.1649 - 2008/11/30(Sun) 18:43:51
★ (No Subject) / ふっこ ♂ [中国] [高校１年生]
お久しぶりです。以前質問をさせていただいたふっこです。
今学校では等式や｜不等式の証明をしています。
そこででてきた絶対値に関する性質について質問があります。

｜x｜＋｜y｜≧｜x＋y｜は理解できました。これの積のバージョンってあるのですか？
｜x｜・｜y｜≧｜xy｜のような感じです。
No.1630 - 2008/11/29(Sat) 11:45:04
☆ Re: / せら。 ♂ [甲信越] [社会人]
こんにちは。
早速まいりましょうか。

着眼点は非常にいいところで、あとあといろんな場面でも出てきます。
結果をお知らせするのは簡単なのですが、せっかくなので作ってみませんか？
ｘとｙの正負、４通りについて調べてみればいいだけなので、左辺の
｜ｘ｜｜ｙ｜
を変形してみてください。
No.1631 - 2008/11/29(Sat) 12:57:10
☆ Re: / ふっこ ♂ [中国] [高校１年生]
こんにちは。
せらさん、回答してくださりありがとうございます。

変形とは絶対値記号を外すということでしょうか？そうならば、左辺は、xy（xとyが同符号）と−xy（xとyが異符号）をとると思います。
No.1638 - 2008/11/29(Sat) 14:59:41
☆ Re: / せら。 ♂ [甲信越] [高校１年生]
んーと、今の目的は
｜ｘ｜｜ｙ｜と｜ｘｙ｜の差を考えたい
ということではなかったですか？「同符号か異符号か」だけではそれはわかりにくいですね。
改めて、関係を探るために
１）ｘ、ｙそれぞれの正負を考えて（０の時はどっちでもいいですから、わかりやすいように「正」にまとめてしまいましょう）、４通りについて
｜ｘ｜｜ｙ｜
がどうなるかを考えてください。
２）それぞれの結果と
｜ｘｙ｜
との違いを考えてください。
No.1640 - 2008/11/29(Sat) 21:58:39
★ (No Subject) / クリタソ ♂ [関東] [高校3年生]
こんにちは。

nは、正の整数とする。x＾（n＋1）をx＾2−xー１で割ったあまりをanx＋bとおく。

数列an、bn、n＝１，２，３、・・・は

an＋1＝an＋bn

bn＋1＝an

をみたすことを示せ。　　　　　東京大学　2002年

自分はn＝１，２，３，４、と代入して、an、bnがでて答えが出せると思ったけど、できませんでした。
回答を教えてください。
No.1616 - 2008/11/26(Wed) 19:18:58
☆ Re: / ウルトラマン ♂ [近畿] [教育関係者]
クリタソさん，こんばんわ。

漸化式を導き出すときのポイントは，
「n番目の結果を下にしてn+1番目の結果を作り出すこと」
です。

では，いきましょう。
「x^{n+1}をx^{2}-x-1で割ったときの余りをa_{n}x+b_{n}とおく。」
という部分からまず，どんな恒等式を作ることができか書いて見てください。
No.1620 - 2008/11/28(Fri) 14:15:06
★ 最大・最小と実数条件 / バムセ [高校１年生]
数学 I 重要例題９４

実数 x、y が x*2+y*2=4 を満たしながら変化するとき、2x+y のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。

解答
2x+y=t とおくと　y=t-2x
これを x*2+y*2=4 に代入すると　x*2+(t-2x)*2=4
整理すると　5x*2-4tx+t*2-4=0 ・・・★
この x についての２次方程式★が実数解をもつ条件から
D/4=(-2t)*2-5(t*2-4)=-(t*2-20)≧0
ゆえに　t*2-20≦0　よって　-2√5≦t≦2√5
t=±2√5 のとき D=0 で、★は重解【x=-(-4t)/2・5 = 2t/5】をもつ。

先生方、いつも御世話になっております。
ここまでで質問があります。
重解は解が１つのことだと思っていたのですが、t=±2√5 を【】内の t に代入すると、解が２つになってしまいます。良いのでしょうか？

よろしくおねがいします。
No.1613 - 2008/11/25(Tue) 22:45:08
☆ Re: 最大・最小と実数条件 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
パムセさん、こんにちは。河童です。

パムセさんは、ちょっと勘違いされていますね。


＞ t=±2√5 のとき D=0 で、★は重解【x=-(-4t)/2・5 = 2t/5】をもつ

まずは、この部分の後半、【x=-(-4t)/2・5 = 2t/5】の意味は分かりますか？

２次方程式を解の公式を用いて解いた場合、重解のときは根号の中身が０、
つまり判別式が０になりますから、

重解＝ - b / 2 a

となりますね。
この事実を

＞ 5x*2-4tx+t*2-4=0 ・・・★

この式に用いたものが、【x=-(-4t)/2・5 = 2t/5】の部分ですね。

ところで、この前半部分で、

＞ t=±2√5 のとき D=0 で

とあります。
これは要するに、重解をもつ場合が２通りあり、それが、

t = 2√5　 のとき、または、t = - 2√5 のとき

だと言ってるんですね。
ですから、パムセさんが、

＞ t=±2√5 を【】内の t に代入すると、解が２つになってしまいます

とおっしゃっている部分、この部分が勘違いなんですね。
これは、t の中に、『同時に』代入しているのではなく、
それぞれを別々に代入して、二通りの２次方程式の、それぞれの重解が出てくるわけです。
No.1614 - 2008/11/26(Wed) 12:09:35
☆ Re: 最大・最小と実数条件 / バムセ [高校１年生]
河童先生、ありがとうございました。
難しくて頭が混線してしまい、「または」を「かつ」と考えてしまいました。
これからもよろしくおねがいします。
No.1615 - 2008/11/26(Wed) 16:45:55
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