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★ 不定積分の計算 / Ken [高校3年生]
「不定積分」について質問させて下さい。

【問題と自分の解答】
http://image32.bannch.com/bbs/3871/img/0115196907.pdf

上の問題の答えは，
−(1/2e^x)(sinx＋cosx)＋C

答えが合わなくて困っています。
どこが間違っているのか指摘してしていただけないでしょうか??
No.1608 - 2008/11/23(Sun) 23:51:18
☆ Re: 不定積分の計算 / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　Kenさん，こんばんは。

　部分積分を繰り返すという方針でやるのは正しいですが，計算ミスをされているようです。

　まずは，２行目から３行目の変形が間違っているようです。符号のミスはないか，確認してみましょう。
No.1610 - 2008/11/24(Mon) 00:29:27
☆ Re: 不定積分の計算 / Ken [高校3年生]
e^(-x) が微分されていませんね。
解決です。
ありがとうございました。
No.1611 - 2008/11/24(Mon) 13:14:19
☆ Re: 不定積分の計算 / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　解決したようでなによりです。
　ファイルの閲覧ができなくなっているようで，再確認できないのですが，部分積分をする際の後ろの項の符号に誤りがありました。たくさん出てきますから，慎重に確認してくださいね。

　もう１箇所，最後のところで２で割るのでなく２倍してあったように思いますが，これは単なる書き間違いでしょう。

　また何かありましたら質問してくださいね。
No.1612 - 2008/11/24(Mon) 18:07:15
★ 青チャート基本例題１８ / 右京 [関東] [高校2年生]
はじめまして！！不等式の証明についての質問です。
青チャート基本例題１８-（２）｜ａ｜−｜ｂ｜≦｜ａ＋ｂ｜
解答；（１）から｜ｘ＋ｙ｜≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜…?@　←（１）｜ａ＋ｂ｜≦｜ａ｜＋｜b｜の証明の利用。
?@においてｘ＝ａ＋ｂ、ｙ＝−ｂとおくと、｜ａ＋ｂ−ｂ｜≦｜ａ＋ｂ｜＋｜−ｂ｜
となって、あとは両辺に−｜ｂ｜して証明するのですが、解答の「ｘ＝ａ＋ｂ、ｙ＝−ｂとおく」のところがどうしたらこのようにおけるかわかりません。
No.1606 - 2008/11/22(Sat) 15:30:18
☆ Re: 青チャート基本例題１８ / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
右京さん，こんばんは。

> 解答；（１）から｜ｘ＋ｙ｜≦｜ｘ｜＋｜ｙ｜…?@　←（１）｜ａ＋ｂ｜≦｜ａ｜＋｜b｜の証明の利用。
> ?@においてｘ＝ａ＋ｂ、ｙ＝−ｂとおくと、｜ａ＋ｂ−ｂ｜≦｜ａ＋ｂ｜＋｜−ｂ｜
> となって、あとは両辺に−｜ｂ｜して証明するのですが、解答の「ｘ＝ａ＋ｂ、ｙ＝−ｂとおく」のところがどうしたらこのようにおけるかわかりません。

1番のa，bにはどんな数が入ってもかまいません。
「ｘ＝ａ＋ｂ、ｙ＝−ｂとおく」とすれば2番が簡単に証明できるからです。
No.1607 - 2008/11/22(Sat) 20:41:49
★ 数Aの問題 / TT ♂ [甲信越] [高校2年生]
はじめまして。
学校でのプリントの問題です。
円周上に異なる5点A,B,C,D,Eがあり、どの点についてもそれを両端とする線分がある。
線分５本選び、A,B,C,D,Eのどの点もちょうど２本の線分の端となるようにする。このように線分を５本選ぶ方法は何通りか？
答えは１２通りだそうですが、考え方が全く分かりません。
No.1548 - 2008/11/12(Wed) 22:24:59
☆ Re: 数Aの問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
TTさん，はじめまして。

とりあえず答えが１２通りとわかっているのですから，
その１２個の絵をすべて描き上げてみましょう。

その後，この問題を計算で求めるにはどうすればいいかを考えてみることにしましょう。
１２個すべて描けますか？
No.1560 - 2008/11/14(Fri) 18:29:43
☆ Re: 数Aの問題 / TT ♂ [甲信越] [高校2年生]
問題の意味がよく分かりません。　
具体的に教えてください。
お願いします。
No.1562 - 2008/11/14(Fri) 20:32:54
☆ Re: 数Aの問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

例えば，５つの線分を
AB,CD,BE,CE,AE
とでもしてみましょう。
これは，「A,B,C,D,Eのどの点もちょうど２本の線分の端となるようにする」という条件をみたしていますか？
No.1563 - 2008/11/14(Fri) 21:10:48
☆ Re: 数Aの問題 / TT ♂ [甲信越] [高校１年生]
BC間がないので満たしていないと思います。
No.1564 - 2008/11/14(Fri) 22:55:11
☆ Re: 数Aの問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
みたしていませんが，その理由が違います。

「どの点もちょうど２本の線分の端となる」をみたしていない点があるからです。
どの点でしょうか？
No.1565 - 2008/11/14(Fri) 23:43:26
☆ Re: 数Aの問題 / TT ♂ [甲信越] [高校2年生]
AB,CD,AEはBE,CEと違って、途中でほかの点を通過しないので違うと思います。
No.1570 - 2008/11/15(Sat) 07:40:16
☆ Re: 数Aの問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

質問の仕方を変えます。

点Ａはどの線分とどの線分の端になっていますか？
No.1572 - 2008/11/15(Sat) 23:45:58
☆ Re: 数Aの問題 / TT ♂ [甲信越] [高校2年生]
ABとAEの線分の端にあると思います。
No.1573 - 2008/11/16(Sun) 08:21:29
☆ Re: 数Aの問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。
もう少しで問題の意味が理解できそうです。

ということは，点Ａは線分ABと線分AEの端になっています。
つまり，点Ａはちょうど２本の線分の端になっていますね。

もういちど，「どの点もちょうど２本の線分の端となる」をみたしていない点を考えてみてください。
No.1574 - 2008/11/16(Sun) 14:01:49
☆ Re: 数Aの問題 / TT ♂ [甲信越] [高校１年生]
点Dだけ満たしていないと思います。
No.1576 - 2008/11/16(Sun) 19:36:13
☆ Re: 数Aの問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

Ｄは線分CD1本の端にしかなってませんから，Ｄはみたしてませんね。
もう１点ありますよ。
No.1579 - 2008/11/16(Sun) 23:07:20
☆ Re: 数Aの問題 / TT ♂ [甲信越] [高校１年生]
点Cも線分CD１本の端にしかなっていないと思います。
No.1584 - 2008/11/17(Mon) 21:48:42
☆ Re: 数Aの問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
確認しますが，AB,CD,BE,CE,AE　の５本ですよ。
絵は描いてますよね？

点Ｃは線分CEと線分CDの2本の端になってますよ。
No.1585 - 2008/11/17(Mon) 23:55:08
☆ Re: 数Aの問題 / TT ♂ [甲信越] [高校１年生]
返信遅れてすいません。　
点Eは３本の端にあります。
No.1604 - 2008/11/19(Wed) 22:44:47
☆ Re: 数Aの問題 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

そうですね。ということで，問題をみたしていません。
それでは，答えは12個ありますが，そのうちの３個以上を書いてみてください。

AB,CD,BE,CE,AE　のように書き込んでください。
No.1605 - 2008/11/20(Thu) 14:06:23
★ ２次方程式の解と係数の大小 / バムセ [高校１年生]
青チャート1A　補充例題９６

a＜b＜c のとき、x に関する次の２次方程式は２つの実数解をもつことを示せ。また、その解をα、β（α＜β）とするとき、α、βと定数 a、b、c の大小関係を示せ。

(1) 2(x-b)(x-c)-(x-a)*2　(2) (x-a)(x-c)+(x-b)*2=0　（*2=２乗）

《指針》
実数解 ⇔ 共有点の x 座標　により、２次関数のグラフを利用。
【p＜q とすると、２次関数 f(x) に対し
f(p)f(q)＜0 → 放物線 y=f(x) は区間 p＜x＜q で x 軸とただ１点 α で交わる
→ p＜α＜q、f(α)=0】
(1)、(2)とも、左辺を f(x) として、f(a)、f(b)、f(c) の符号を調べる。
放物線 y=f(x) は下に凸であることに注意する。

先ずは《指針》を読んで糸口を掴みたいのですが、【】内の意味がわかりません。
f(p)f(q)＜0 というのは、f(p) と f(p) の値を掛け合わせると 0 以下になるということでしょうか？なぜでしょうか？
また、α は解なので、f(α)=0 というのはわかるのですが、どうして p＜α＜q になるのかがわかりません。

よろしくおねがいします。
No.1587 - 2008/11/18(Tue) 00:16:54
☆ Re: ２次方程式の解と係数の大小 / londontraffic [教育関係者]
バムセさん，こんばんは．
下に図を入れておいたので，それを見ながらでお願いします．

>f(p)f(q)＜0 というのは、f(p) と f(p) の値を掛け合わせると 0 以下になるということでしょうか？
そうですね．厳密に言うと，f(p)とf(q)の値を掛け合わせると0未満です．
図1,2のp,qを見ていただくと，ご理解いただけるのではと思います．

また図1のp'は，f(p)f(q)>0になる場合の一部です．
これ以外にもf(p)f(q)>0となる場合がありますが，ご自身で作図して確認してみてください．

いかがでしょうか？
No.1595 - 2008/11/18(Tue) 20:02:49
☆ Re: ２次方程式の解と係数の大小 / バムセ [高校１年生]
うわ〜い♪
londontraffic 先生、５つ★の問題で、すごく難しく考えていたのですが、この問題解けました！
図を添付して頂き、大変わかりやすかったです。
ありがとうございました。
No.1602 - 2008/11/19(Wed) 12:31:54
★ (No Subject) / hPa [高校2年生]
こんばんは。
空間図形の問題でどうしても分からないのがあるので教えて下さい。

立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AB,BF,FG,GH,HD,DAの中点をそれぞれL,M,N,P,Q,Rとするとき、六角形LMNPQRは正六角形であることを証明せよ。

[回答]
立方体の1辺の長さを2aとすると、
LM＝MN＝NP＝PQ＝QR＝RL＝(√2)a
また、辺BC,CDの中点をそれぞれS,TとするとRL//TS、更に平面ABCDと平面EFGHは平行であるからTS//PN
よってRL//PN
したがって、平行な2線分RL、PNは1つの平面を決定する。同様にRQ//MN、PQ//MLから、PQ,MN,RLは1つの平面を決定し、L,M,N,P,Q,Rは同じ平面上にある。よって六角形LMNPQRは正六角形である。

とあるのですが、どうしてこの証明でいいのでしょうか？まず、6点L〜Rを取った時点で、これらが1平面上にあるとは限りませんよね？まず、RLPNが同一平面(αとする)上にあることを証明していますよね？同様にして、LMPQも同一平面(βとする)上に、MNQRも同一平面(γとする)上にあることを証明しています。この場合、平面αとβはともに2点LPを通ることも可能ですよね(αとβの交わる部分が直線LPをなす時)？更に、このとき4点MNQRを含む平面γが存在します(正八面体のように)。

どうしてこの証明で6点が1平面上にあることがいえるのでしょうか？ご教授お願いします。
No.1580 - 2008/11/16(Sun) 23:30:36
☆ Re: / hPa [高校１年生]
少し、不足がありました。

平面は2点だけでは確定しないので、平面αとβが一致しなくても、2点L、Pを同時にとおることは可能です。更に、正八面体のように平面αとβが一致しなくても、残りの4点を同時に通る平面が存在するのですが…ということです。
No.1581 - 2008/11/16(Sun) 23:34:07
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
河童皿回し中
No.1586 - 2008/11/18(Tue) 00:14:25
☆ こんばんは / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
hPaさん、こんばんは。河童です。

どんな風に回答しようか迷ったのですが、
ここはひとつ、わたしが言うとおりに、紙の上に描きながら読んでいただけますか。
その前に、立方体の見取り図を描いておけば、なおいいですね。

さて、それではまず、横長の長方形を描いてください。
正確に描くには、横を縦の √3 倍に描くのですが、まあ適当に、横長の長方形を。
その長方形に、左上から反時計回りに、ＬＭＰＱ と命名しましょう。

立方体の中に、この長方形（平行四辺形）ＬＭＰＱ がとれるのはいいですね？

次に、対角線 ＱＭ を引いてください。

さて、次がちょっと難しいのですが（ほんとは簡単＾＾）、
先程の対角線 ＱＭ を対角線に持つ、長方形 ＲＭＮＱ を描きます。
ほんとは簡単＾＾と書いたのは、正六角形ができることが分かっているからなんですが、
ともかく、Ｒ と Ｎ の位置は、最初の長方形 ＬＭＰＱ の上下に位置しますね。
ここまでは描けましたか？

この時点では、２つの長方形が、対角線 ＱＭ によってつながっている図ができているはずです。

hPaさんの考えでは、例えばこの図を切り抜いて、
２点 Ｍ、Ｑ を親指と人差し指で支え、点 Ｒ のあたりに息をふうっと吹きかければ、
長方形 ＲＭＮＱ が、ＭＱ を軸にしてクルクル回りそうだ、というわけですね。
さあ、果たしてそうでしょうか。

では、次に、今度は色を変えて、赤かなにかで、長方形 ＲＬＮＰ を作ってください。
そして、対角線 ＬＰ を引きましょう。
この長方形も、立方体の中にとれることは認めますね？

ただ、もしかしたら、hPaさんの考えのように、この赤い長方形は、
いま使っている紙の上にはなく、実際には、宙に浮いているかも知れません。
しかしながら、少なくとも対角線 ＬＰ は、同じ紙の上にありますよね。
だって、対角線 ＬＰ は、最初の長方形 ＬＭＰＱ の対角線でもあるのですから。

さあ、クライマックスです。

Ｒ と Ｎ に注目してください。
Ｒ も Ｎ も、直線 ＭＱ と同じ平面上にありますね。
Ｒ も Ｎ も、ＭＱ を対角線にもつ長方形の頂点なんですから。

同じく、Ｒ と Ｎ は、直線 ＬＰ と同じ平面上にありますね。
Ｒ も Ｎ も、ＬＰ を対角線にもつ長方形の頂点なんですから。

ということは、Ｒ も Ｎ も、直線 ＭＱ と 直線 ＬＰ の両方と同じ平面上に同居している。
つまり、Ｒ も Ｎ も、もっと言えば、６つの点すべてが、長方形 ＬＭＰＱ の作る平面、
すなわち、いまhPaさんが使っていらっしゃる紙の上に乗っている。
ということに他ならないですよね。


ふう〜っ、長かったあ＾＾
hPaさん、疲れましたね＾＾
どうです？
分かりましたか？

No.1589 - 2008/11/18(Tue) 01:04:05
☆ Re: / hPa [高校１年生]
こんばんは。回答ありがとうございます^^お忙しいなか付き合っていただいてありがとございます。

指示通り図を描いて考えてみましたが、どうしても
「・・・ということは、RもNも、直線MQと・・・同居している」
というのが理解できません。

2点R、Nは長方形MNQRにあるので、線分MQの平面にあること、
また同時に長方形LNPR上にあるので、線分LPの平面にあること
は分かりました。

長方形LMNQを高さ0mの地面として、
Nが地下に、Rが空中の位置関係にあるとしても、
このようなことはやはり起こりうると思うのですが…
また、指示通りに描いた図はやはり八面体にも見える気がします…
何か条件を取りこぼしているのでしょうか？
No.1594 - 2008/11/18(Tue) 19:33:19
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
hPa さん、こんばんは。

２つの線分 ＭＱ と ＬＰ は交わっていますので、ひとつの平面を決定します。
その平面というのが図を描いた紙そのものです。
それはいいですね？

他の言い方をすれば、この２つの線分は、

『 この平面以外の平面上にはない 』

ということですね。

ところが、その平面上に、２点 Ｒ、Ｎ はあるのです。

これで分かりますか？


下の画像をクリックしてみてください。
部屋の隅に立方体が置かれ、それを壁に立てかけた三角形が横切っている図です。
これを見れば、正六角形が出来る様子が分かると思います。
No.1597 - 2008/11/18(Tue) 23:06:46
★ 三辺比相等 / mpt [高校１年生]
はじめまして
数学の三角形相似条件の表現に関して質問があります（具体的な問題というわけではありませんが）。


私が中学生の時は三角形の相似条件は
?@三辺比相等
?A二辺比きょうかく相当（←きょうかくは変換できませんでしたすいません....）
?B二角相等
と習ったのですが、今の先生に聞いてみると、三辺比相等はおかしいといわれました。
なんでも相当は「それぞれ」等しいという意味でこの場合は不適切だといわれました。
私は自分なりに考えて三辺比相等というのはたとえば
辺AB：辺BC＝辺A´B´：辺B´C´
辺BC：辺CA＝辺B´C´：辺C´A´
辺CA：辺AB＝辺C´A´：辺A´B´
この三つのそれぞれが等しいという意味ではないのかと聞いてみたのですが、違うといわれてしまいました。
どうも納得がいかなくてネットで調べてみると入試ではどちらでも○になるという意見が大半でした。
ということは三辺比相等というのは正しいということだと思うのですが、どうすればその先生に三辺比相等が正しいということを証明できるのでしょうか？
その証明方法（証明というか説明というレベルでしょうか）を教えてください。
お願いします。
No.1591 - 2008/11/18(Tue) 16:28:50
☆ Re: 三辺比相等 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
mptさん、はじめまして。河童です。

相等というのは、『それぞれが等しい』という意味ではありません。

『相等しい』つまり、『互いに等しい』という意味です。

ですから、三辺の比が相等ということは、一方の三角形の３辺の比が例えば ３：４：５
ならば、他方の三角形の３辺の比も ３：４：５ であるという意味です。
No.1598 - 2008/11/18(Tue) 23:12:24
★ 関数によって生成される数列の極限 / dandelion ♂ [北海道] [高校2年生]
こんばんは。
数学標準問題精講?VＣの標問７について質問があります。

＝＝【標問７】 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

関数f(x)=√（2√2x+6）に対して、漸化式x_1=1, x_n+1=f(x_n) (n≧1)
によって数列{x_n}を定める。また、方程式 x=f(x)の解をαとする。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

この問題について、数列{x_n}の極限値はx=f(x)の解すなわちαである事は理解できるのですが、視覚的な理解（グラフを用いた理解）ができません。

例えば、ｘｙ平面上にy=f(x)のグラフとy=xのグラフがあるとします。
ｘを大きくしていくと（ｘ軸の左側から右側を見ていくと）段々とy=f(x)のグラフとy=xのグラフが近づき、ある点で交わるのがわかります。問題集ではその点のｘ座標が極限値であると説明しており、それは自分でも理解できました。

しかし、その後はどうなるのでしょう？？
グラフが交わった後、y=f(x)のグラフとy=xのグラフは先程に続き、ｘ軸の右側を目で追っていくと離れていきます。（まあ、当たり前ですが）
となると、{x_n}は発散してしまうのではないでしょうか？

いい忘れていましたが{x_n}の極限値というのは
ｘ→∞のときの極限値です。

交点が∞にまで行かないとないというのもおかしいですし
混乱しています。

よろしくお願いします。






No.1588 - 2008/11/18(Tue) 00:55:50
☆ Re: 関数によって生成される数列の極限 / londontraffic [教育関係者]
dandelionさん， おはようございます．

極限について確認してみましょう．

例えばlim_{x→∞}1/x=0（+0）ですよね．
x→∞のとき，1/xは「０に近づく」わけですが，「０になる」わけではありませんよね．

>問題集ではその点のｘ座標が極限値
とあります．
>しかし、その後はどうなるのでしょう？？
>グラフが交わった後、・・・
交点のx座標は「極限値」であって，x_nは交点のx座標となることはありません．
あくまでも「限りなく近づく」だけなので，超えることはありませんから，考える必要も無いのです．

どうでしょう？
No.1590 - 2008/11/18(Tue) 07:04:36
☆ Re: 関数によって生成される数列の極限 / dandelion ♂ [北海道] [高校2年生]
londontraffic先生、はじめまして。
返信ありがとうございます。

> 交点のx座標は「極限値」であって，x_nは交点のx座標となることはありません．
> あくまでも「限りなく近づく」だけなので，超えることはありませんから，考える必要も無いのです．
>
> どうでしょう？

問題をよく見てみたら、{x_n}の極限値というのは
n→∞のときの極限値でした。すいません。

確かにn→∞ならば、ｎが増加していくたび
２つのグラフが近づく程度が限りなく０に近くなっていくので
ご指摘の通りになりますね。

理解できました。
お忙しいところどうもありがとうございました。
No.1592 - 2008/11/18(Tue) 17:28:55
★ 数と数式、剰余の定理について / Y・O ♂ [東北] [高校3年生]
はじめまして。現在高3の者です。わからないことがあるので教えてください。
出典は塾のテキストです。

xの整式P(x)をx+1で割ると5余り、(x−1)^2で割るとx−4余る。
(1)P(x)をx−1で割った余りを求めよ。
(2)P(x)をx^2−1で割った余りを求めよ。
(3)P(x)を(x+1)(x−1)^2で割った余りを求めよ。
(1)(2)はわかるのですが、(3)にわからないところがあります。

まず
P(x)=(x+1)(x−1)^2R(x)+ax^2+bx+cとおけて、
条件より、P(−1)=a−b+c=5となり、
また、(1)でP(1)=−3となることを確認しているので、
P(1)=a+b+c=−3となります。
しかし、2つの式では3つ未知数をもとめられません。そこで、
(x−1)^2Q(x)+x−4=(x+1)(x−1)^2R(x)+ax^2+bx+c
とおいて両辺をx−1で割って余りを求めるらしいのですが
このとき、左辺がx−4になって、右辺は(ax^2+bx+c)/(x−1)と
なるようなんです。
左辺は剰余の定理でx−4になるのはわかるんですが、右辺が(ax^2+bx+c)/(x−1)になるのがわかりません。
教えてください。お願いします。
No.1575 - 2008/11/16(Sun) 17:20:22
☆ Re: 数と数式、剰余の定理について / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
Y・Oさんこんばんは。
最後のところで誤解があるようです。
(x−1)^2Q(x)+x−4=(x+1)(x−1)^2R(x)+ax^2+bx+c
とおいて両辺を(x−1)^2で割った余りを考えると
左辺ではx−4 ，右辺は ax^2+bx+c を (x−1)^2 で割った余りと等しくなります。
したがって ax^2+bx+c＝a(x−1)^2＋x−4
とおくことが出来ます。
No.1577 - 2008/11/16(Sun) 20:51:13
☆ Re: 数と数式、剰余の定理について / Y・O ♂ [東北] [高校3年生]
すみません。書き間違えていました。
(x−1)^2で割るんでした。ごめんなさい。
左辺がx−4になるのは理解できるんですが、それが右辺のax^2+bx+c を (x−1)^2 で割った余りと等しくなるというところがよくわからないんです。
左辺は(x−1)^2Q(x)+x−4を(x−1)^2で割るとx−4になるのに
なぜ右辺は(x+1)(x−1)^2R(x)+ax^2+bx+cを(x−1)^2で割るとax^2+bx+cにならずに
ax^2+bx+c を (x−1)^2 で割った余りになるんでしょうか。
左辺がx−4になるのであれば右辺はax^2+bx+cになるのではないでしょうか。
また、右辺がax^2+bx+c を (x−1)^2 で割った余りになるのであれば左辺はx−4を (x−1)^2 で割った余りになるのではないでしょうか。
No.1578 - 2008/11/16(Sun) 21:23:27
☆ Re: 数と数式、剰余の定理について / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
(x−1)^2Q(x)+x−4=(x+1)(x−1)^2R(x)+ax^2+bx+c
の両辺ともP(x)ですからこれを(x−1)^2で割った余りは同じx−4です。
右辺の (x+1)(x−1)^2R(x)の部分を(x−1)^2 で割り切れ，商は(x＋1)R(x)になります。ax^2+bx+c を (x−1)^2 で割った商はaですから
右辺は (x+1)(x−1)^2R(x)+ax^2+bx+c＝(x−1)^2{(x＋1)R(x)＋a}＋x−4 になるはずです。
つまり Q(x)＝(x＋1)R(x)＋a になります。

x−4を (x−1)^2 で割った商は0，余りはx−4です。

ついでにa−b+c=5，a+b+c=−3 であれば ｂ＝-4、ｃ＝1-a ですから
これを利用する問題もありますがこの問題では使わないほうが無難です。
No.1582 - 2008/11/17(Mon) 06:33:56
☆ Re: 数と数式、剰余の定理について / Y・O ♂ [東北] [高校3年生]
理解できました、ありがとうございます！
とてもわかりやすかったです。
No.1583 - 2008/11/17(Mon) 08:58:16
★ 定数分離の手法について / dandelion ♂ [北海道] [高校2年生]
こんばんは。
数?UＢ標準問題精講の問題を復習していたところ
よくわからない所が出てきてしまったので質問させて頂きます。

【問】（標問１００ ｐ２１７）
次の方程式が相異なる３つの実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

（２） x^3ー3ax＋2a＋4＝0

三次関数の極値の積を使った解法は理解できるのですが
この問題集の「研究」という欄で紹介されている次の解法が理解できないのです。

（解答）
x^3＋4＝a(3x＋2)と変形し、g(x)＝x^3＋4とおく。
点（t,t^3＋4）における接線
y＝3t^2xー2t^3＋4

が点（ー2/3,0）を通るのは

0＝ー2t^2ー2t^3＋4
＝ー2(tー1)(t^2＋2t＋2)

より、ｔ＝１のときである。条件を満たすのは
傾き 3a>3・1^2 ∴ a>1


自分が今回質問したいのは上の解答に至ったプロセスです。
定数分離するところまではわかるのですが
それ以降何故解答のようになるのかがわかりません。

よろしくお願いします。
No.1555 - 2008/11/13(Thu) 22:47:50
☆ Re: 定数分離の手法について / kinopy [塾講師]
dandelionさん，こんばんは。kinopyです。

解法としては，y=x^3+4と直線y=a(2x+3)の交点の個数を考えているのはいいですよね？
では，直線y=a(3x＋2)がaに関わらず通る点Aがあるのですが，それはOKですか？

OKならば，ノートにy=x^3+4のグラフを書き，さらに点Aをとってください。
Aを通る直線の傾きをいろいろ変えてやると，交点の個数がどのように変わるか見えてこないですか？
No.1569 - 2008/11/15(Sat) 03:23:18
☆ Re: 定数分離の手法について / dandelion ♂ [北海道] [高校2年生]
kinopy先生の御回答を参考にして考えてみたところ、理解できました！

御忙しい所どうも有難うございました。
No.1571 - 2008/11/15(Sat) 11:34:47
★ 命題の真偽 / ララ [関東] [浪人生]
はじめまして。センター試験に向けて、再度数学を勉強し始めたものです。
一応?T?U?VABC既習の者です。
初歩的な、根本的な数学に引っ掛かりがあります。
どうぞよろしくお願いいたします。

数学?T・A　基礎問題精講「改訂版」

P.122
基礎問76 (3)

√2が無理数であることを背理法を用いて示せ。

解答
2つの自然数　m,nを用いて
√2=n/m
(ただし、m,nは互いに素)
両辺を平方すると、2m^2=n^2
左辺は偶数だから、n^2も偶数。すなわち、nも偶数。
このとき　n^2 は4の倍数だから、2m^2も4の倍数。
よって、m^2はは偶数となり、mも偶数。
∵　mとnが互いに素であることに矛盾する。
よって、√2は有理数ではない、すなわち、√2は無理数



と書いてあります。


両辺を平方した後、
2=n^2/m^2　（m^2を移行して）
2m^2=n^2　

としているようなのですが、どうもここで躓きます。
どうしてm^2を移行しようという発想が生まれるのかなと。

2=n^2/m^2　のままでは答えを導き出すことができないのでしょうか。

尚、解答5行目　左辺は…以降の文の意味は読んで理解できます。
No.1540 - 2008/11/11(Tue) 18:04:01
☆ Re: 命題の真偽 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ララさん、はじめまして。河童です。

今日はなんだか無理数が人気のようですね＾＾

さて、

＞ 2=n^2/m^2　のままでは答えを導き出すことができないのでしょうか

2=n^2/m^2 と 2m^2=n^2 とは同値ですから（なぜ同値なのか分かりますか？）、証明できそうですよ。

例えば、

2=n^2/m^2 の右辺の、分母と分子をそれぞれ素因数分解すると、どちらも偶数個の素数が現れる。
それらが約分されて、１個の素数２が残るのは明らかに不合理だ。

なんてのはどうでしょうか。
あっ、そうそう、この変形は移項ではなく、分母を払ったんですね。
なぜ分母を払うのか、それは条件反射みたいなものでしょうか。
数学の基本姿勢のひとつと言ってもいいかも知れません。
自分にはこういう発想は出ない、などと言ってはいけません。
分母は払うもの、トイレから出たら手を洗うもの。
常識だと思って受け入れてください。

ただ………
分母を払わない方がいい場合もあることはあります。
しかし、それは例外として、そんな場合と遭遇したときに覚えればいいことですね。
ララさんは、２次方程式を見たら、まず何をしますか？
因数分解できないかと考えませんか？
因数分解できれば簡単ですからね。
でも、それが無理だと分かれば解の公式を使う。
それと同じですね。
分母を払ってみてどうしても進展がなければ、元の形で考えてみる。
そんな感じでしょうか。
No.1543 - 2008/11/12(Wed) 01:44:29
☆ 補足 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ララさんは、こんな問題を見たことありませんか？

2^x + 2^{-x} = 4 を解きなさい

これって、どう解きます？
まず何をしますか？
考えてみてください。
No.1544 - 2008/11/12(Wed) 02:02:09
☆ Re: 命題の真偽 / ララ [関東] [浪人生]
迅速なご回答、ありがとうございます。

> 2=n^2/m^2 と 2m^2=n^2 とは同値ですから（なぜ同値なのか分かりますか？）、証明できそうですよ。
>

同値である事は分かります。

> 例えば、
>
> 2=n^2/m^2 の右辺の、分母と分子をそれぞれ素因数分解すると、どちらも偶数個の素数が現れる。
> それらが約分されて、１個の素数２が残るのは明らかに不合理だ。
>

なるほど、そのように考えることもできるのですね。



> あっ、そうそう、この変形は移項ではなく、分母を払ったんですね。

お恥ずかしい話ですが、移項と分母を払うを混同していました。
そうですね、移項じゃないですね。


> なぜ分母を払うのか、それは条件反射みたいなものでしょうか。
> 数学の基本姿勢のひとつと言ってもいいかも知れません。
> 自分にはこういう発想は出ない、などと言ってはいけません。
> 分母は払うもの、トイレから出たら手を洗うもの。
> 常識だと思って受け入れてください。

はい！分かりました。
>
> ただ………
> 分母を払わない方がいい場合もあることはあります。
> しかし、それは例外として、そんな場合と遭遇したときに覚えればいいことですね。
> ララさんは、２次方程式を見たら、まず何をしますか？
> 因数分解できないかと考えませんか？
> 因数分解できれば簡単ですからね。
> でも、それが無理だと分かれば解の公式を使う。
> それと同じですね。
> 分母を払ってみてどうしても進展がなければ、元の形で考えてみる。
> そんな感じでしょうか。


本当にためになりました。
数学アレルギーを何とか克服していこうと思います。
今後ともよろしくお願いいたします。
どうもありがとうございました。
No.1547 - 2008/11/12(Wed) 21:08:45
☆ Re: 命題の真偽 / ララ [関東] [浪人生]
補足への返答が遅くなりましたが、よろしくお願いいたします。

> ララさんは、こんな問題を見たことありませんか？
>
> 2^x + 2^{-x} = 4 を解きなさい
>
> これって、どう解きます？
> まず何をしますか？
> 考えてみてください。

まず、両辺に(2^x)をかけ、 2^{-x}を打ち消します。

両辺に2^xをかけると
　(2^x)^2+1=4*(2^x)

ここで2^x=tとおくと、
⇔t^2+1=4t
⇔t^2-4t+1=0
tについて因数分解できないので、解の公式を利用してtについて解くと、
t=-(-2)±√{(-2)^2-1*1}
=2±√3

t＞0より
∴t=2±√3
⇔2^x=2±√3

しかし、2^x=2±√3
これはどうやって解くのか分かりません。
(関数電卓を使えば解けるのでしょうか。)




※一方で、この問題を、以下のように底2で統一した方程式と捉えてしまいました。


2^x + 2^{-x} = 2^2
　x+(-x)=2
⇔0=2
したがって、xを満たす実数解は存在しない

こちらはまずい解き方でしょうか。
また、上記の解き方と違いはあるのでしょうか。
No.1559 - 2008/11/14(Fri) 15:39:55
☆ こんばんは / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ララさん、こんばんは。

あっ、ごめんなさい。
問題がよろしくなかったですね。

ララさんの解答は完璧ですよ。
答えは、底が２の対数を使って、

log_(2±√3)　（見にくいので底の２は省略しました）

とでもするしかありませんね。

ただ、わたしが言いたかったのは、ララさんが最初にやってらっしゃる、

＞ まず、両辺に(2^x)をかけ、 2^{-x}を打ち消します

この部分なんです。
これって、分母を払ってません？
でしょ？

このての問題では、確かに、2^x をかけるのが定石なんですが、
それは、なにも、特別なテクニックでもなんでもなく、
分母を払うという、『数学の基本姿勢』だったわけですね。
分かっていただけましたか？

ちなみに、最後の、

＞ 2^x + 2^{-x} = 2^2
＞ 　x+(-x)=2
＞ ⇔0=2

これはマズイですね。

2^2 + 2^3 = 2^5

つまり、

4 + 8 = 32

と言ってるようなものですよね。
No.1567 - 2008/11/15(Sat) 03:04:23
★ 積分法の応用 / すぷり ♂ [地球外] [浪人生]
こんばんは。昨年度も何度かこちらにお世話になっておりましたすぷりです。
さっそくですがよろしくお願いします。

連続関数f(x)が条件f(0)=0、f(x)>0(x>0)を満たす。曲線y=f(x)(x≧0)と直線x=h(h>0)およびx軸により囲まれた図形をx軸の回りに一回転してできる立体の体積をVとする。
(1)Vをf(x)とhを用いた定積分の式で表せ。

V=π∫[0→h]{f(x)}^2dx

(2)hは時刻tの関数でdh/dt=1/√t (t>0)、h(1)=2を満たし、Vは、dV/dt=C (t>0)を満たす。ただしCは正の定数である。
ここからがいまいち不安です。手直し等お願いします。
(i)h(t)を求めよ。
dh/dt=1/√t(t>0)より両辺をtで積分するとh(t)=∫1/√t dt
=2√t+c(cは積分定数)
h(1)=2より
2+c=2
c=0
よってh(t)=2√t

(ii)f(x)を求めよ。
ここは答えすらも出しきれませんでした
dV/dhを出したら(1)で求めたVの式をhで積分した式ができてf(x)を含む式が取り出せるのではないかとと思ったのですがうまくいきませんでした。

dt=√tdh
dV/dt=Cより
dV/dh=√tC
(1)よりV=π∫[0→h]{f(x)}^2dxなので
π{f(h)}^2=C/2*h(t)
関数が二つも出てきてしまいどうしたら良いかわからなくなってしまいました。

どのように解けば良いのでしょうか？
また解答の書き方に不備があると思うので手直しもよろしくお願いいたします。
No.1545 - 2008/11/12(Wed) 02:05:21
☆ Re: 積分法の応用 / kinopy [塾講師]
すぷりさん，こんばんは。kinopyです。

(2) (i)については，私が見る限り解答の書き方も特に問題はありません。

(ii)ですが，ほとんど答えまでたどり着いているのですが，混乱してしまったようですね。
少し私と着眼点が違うので，私の方法を書いてみますね。
・条件にdV/dtが与えられている。
・d/dx∫[a→x]g(t)dt=g(x) だから，π∫[0→h]{f(x)}^2dxをhで微分すれば{f(h)}^2が出てくる。

という感じで始めました。

　V=π∫[0→h]{f(x)}^2dx
の両辺をtで微分して
　dV/dt=d/dtπ∫[0→h]{f(x)}^2dx
　　　 =dh/dt・d/dhπ∫[0→h]{f(x)}^2dx
　　　 =dh/dt・π{f(h)}^2
ここで，dV/dt=C，dh/dt=1/√tを代入して
　C=1/√t・π{f(h)}^2
(i)より，√t=h/2だから
　C=2/h・π{f(h)}^2
これより，{f(h)}^2=(Ch)/2　…(*)
f(h)>0なので，f(h)=√{(Ch)/2}
　　　∴　f(x)=√{(Cx)/2}

すぷりさんの
>　π{f(h)}^2=C/2*h(t)
も上の(*)と同じ結果です^^
ただ
> (1)よりV=π∫[0→h]{f(x)}^2dxなので
> π{f(h)}^2=C/2*h(t)
の上の行から下の行に行く際には「両辺hで微分して」は書いてほしいです。

追加質問がありましたら，その旨書き込みください。
No.1556 - 2008/11/13(Thu) 22:55:35
☆ Re: 積分法の応用 / すぷり ♂ [地球外] [浪人生]
レスポンスありがとうございます。

混乱したのはf(h)とh(t)の二つの関数が出てきたためだったのですが、
>(i)より，√t=h/2だから
とh(t)をhに戻してもいいのでしょうか？
それから
>C=2/h・π{f(h)}^2
>これより，{f(h)}^2=(Ch)/2　…(*)
ここの式変形でπが消えてしまっているのですがこれは良いのでしょうか？

解答の補足もありがとうございました。
予備校に通ってるのですが、予備校の授業はどうしても解法重視？のようで解答はさらさらーっと省略してかかれるので(というか解答の書き方なんて現役のうちに身に付けとけということかもしれませんが)しょっちゅう解答の書き方に不安を覚えます。丁寧な解答を見れたことも大変参考になりました。
No.1557 - 2008/11/14(Fri) 01:17:25
☆ Re: 積分法の応用 / kinopy [塾講師]
こんばんは。

> h(t)をhに戻してもいいのでしょうか？
問題文に
> hは時刻tの関数でdh/dt=1/√t (t>0)、h(1)=2
とあります。これは「tの関数hをh(t)と書く」という意味ですね。

>>これより，{f(h)}^2=(Ch)/2　…(*)
> ここの式変形でπが消えてしまっているのですがこれは良いのでしょうか？
ごめんなさい。私のタイプミスです(^_^;)

解答の書き方については，また掲示板で聞いてくだされば他の先生方もチェックしてくださるでしょう^^
入試まで余り時間がありませんが最後まで頑張ってください！！
No.1558 - 2008/11/14(Fri) 02:01:00
☆ Re: 積分法の応用 / すぷり ♂ [地球外] [高校１年生]
ありがとうございました。スッキリしました。

予備校の講師室はいつも人で埋め尽くされていて中々詳しい説明など聞けない状態なのでこれからもここでお世話になると思いますが、よろしくお願いします。
No.1566 - 2008/11/15(Sat) 00:22:16
★ お願いします。 / ゆめ [高校１年生]
このとき方を教えてください。

７桁の整数A15B43Cは504で割り切れる。ABCの値を求めなさい。
No.1549 - 2008/11/12(Wed) 22:43:47
☆ Re: お願いします。 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

答えは 5157432 だと思うのですが，これは電卓を使って求めました。
出展は何なのでしょうか？
No.1561 - 2008/11/14(Fri) 19:54:59
★ 背理法 / じゅんや ♂ [近畿] [高校2年生]
初めまして。
青チャート　数学?TＡ　Ｐ３１１
例題(１)
a、bが有理数のとき、a＋b√2＝0ならばa＝b＝0であることを証明せよ。ただし√2は無理数である。

という問題です。解答では、b≠0と仮定して、両辺をbで割って√2＝−a/b(有理数)として矛盾を導き、仮定が誤っているからb＝0、このとき、a＋b√2＝0より、a＝0である。　
として解いています。

私も背理法で解こうとしたのですが、方針として、
a＝b＝0の否定はa≠0またはb≠0だから、b≠0と仮定するときは、模範解答のように解くとして、a≠0と仮定するときは、どのように矛盾を導けばいいのかわかりません。教えてください。お願いします。
No.1535 - 2008/11/10(Mon) 22:00:00
☆ Re: 背理法 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
じゅんやさん、こんばんは。河童です。

a ≠ 0 のとき、b はどうなんでしょう？
0 ですか？
No.1541 - 2008/11/12(Wed) 01:04:47
☆ Re: 背理法 / じゅんや ♂ [近畿] [高校2年生]
河童先生、ご返信ありがとうございます。
「bはどうなんでしょう？」というのは、
a≠0と仮定して、b≠0の時とb＝0で場合分けをすればよいということでしょうか？

b≠0のときは、a＋b√2＝0から、√2＝−a/bとなり矛盾。
b＝0のときは、a＋b√2＝0から、a＝0となるから矛盾。

というような感じですかね？
No.1546 - 2008/11/12(Wed) 12:33:17
☆ Re: 背理法 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
じゅんやさん、こんばんは。

そうですね。そういうことです。

ただ、わたしが言いたかったのは、a≠0 と仮定しても b≠0 と仮定しても同じことだということです。

＞ b＝0のときは、a＋b√2＝0から、a＝0となるから矛盾

そうですね。
この問題の主眼は背理法ですから、このようになるのでしょうが、
普通は自明のこととしてサラッと流してもいいかも知れませんね。
すなわち、

a≠0 のとき、明らかに b≠0
よって、√2 = -a/b　…………

という感じで構わないでしょう。
それでも気になるときは、

a≠0 のとき、b = -a/√2 ≠0

とすれば、背理法でなくとも出来ますよね。
わたしの個人的趣味で言えば、背理法というのは強力であるが故に逆に多用すると重たい感じがしますね。
矛盾する、矛盾する、の連続では疲れちゃって＾＾


ともあれ、背理法というのが強力な証明法だということが分かって頂ければいいかと思います。
No.1550 - 2008/11/12(Wed) 23:32:09
☆ Re: 背理法 / じゅんや ♂ [近畿] [高校１年生]
河童先生、ご丁寧に解説していただいてありがとうございました。

ちなみに確認したいのですが、
b＝−a/√2≠0　
のところで、「−a/√2が無理数である」とするのは、無理ですよね？うまく言えませんが、それだったらそもそも「a＋b√2＝0」でaとbが0になるのを証明する必要ないことになりますよね。
No.1551 - 2008/11/13(Thu) 00:42:46
☆ Re: 背理法 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
＞ うまく言えませんが、それだったらそもそも………

大丈夫。
じゅんやさんの言いたいことは分かりますよ＾＾

もし、−a/√2 が有理数ならば、

a＋b√2＝0　⇒　a = b = 0　または　b = −a/√2

つまり、−a/√2 を b として選べば成り立ってしまうわけですね。
本問は、それがダメなことを証明しろと言っているわけですから、本末転倒ですよね。
そもそも、与えられた条件は、√2 が無理数であるという事実だけですので、やはりマズイですよね。
No.1552 - 2008/11/13(Thu) 02:19:57
☆ Re: 背理法 / じゅんや ♂ [近畿] [高校2年生]
河童先生、ご丁寧にご指導いただき、本当にありがとうございました。これからも数学の学習をがんばっていきます。また機会がございましたら、ぜひご指導お願いします。
No.1553 - 2008/11/13(Thu) 07:49:30
★ 区分求積 / なおみ [高校１年生]
原点Oを中心とする半径aの円周上に二定点、
A(a，0)、C(0,a)をとり、AからCに向かって
反時計回りに弧ACをn等分する点を順に
X1、X2、X3、…、Xn-1とする。
x軸上の正の部分に定点B(b,0)をとり、
BXk=lk (k=1、2、3、…、n-1)、BC=lnとするとき、

n→∞ lim (1/n)×Σ[k=1、n](lk)^2
を求めよ


区分求積らしいですが、よくわかりません
よろしくお願いします
No.1534 - 2008/11/10(Mon) 21:09:40
☆ Re: 区分求積 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
なおみさん，こんにちは。
高校１年生ということでよろしいのでしょうか？

どう考えて，どこまで出来て，どこで手が止まっているのかを書き込んでいただかないと回答のしようがありません。
疑問点を明確に質問してくださるようお願いします。
No.1539 - 2008/11/11(Tue) 15:47:38
★ 定義域によって式が異なる関数 / バムセ [高校１年生]
初めまして。

青チャート1A　重要例題７０

（２）関数f(x)(0≦x≦4)を以下のように定義するとき、（ア）（イ）の関数のグラフをかけ。


f(x)=2x(0≦x＜2)、f(x)=8-2x(2≦x≦4)


（ア）y=f(x)　　　（イ）y=f(f(x))


（イ）f(f(x))=2f(x)(0≦f(x)＜2)、f(f(x))=8-2f(x)(2≦f(x)≦4)


0≦x＜1のとき　f(f(x))=2・2x=4x
1≦x≦2のとき　f(f(x))=8-2・2x=8-4x
2＜x≦3のとき　f(f(x))=8-2(8-2x)=4x-8
3＜x≦4のとき　f(f(x))=2(8-2x)=16-4x

（ア）のグラフはかけるのですが、（イ）の、区域が 1≦x≦2 のとき、何故区域が 0≦x＜1 のときと同じ f(f(x))=2・2x=4x とならないのでしょうか？と申しますのも、例題の条件に
f(x)=2x(0≦x＜2)
とあるので、区域が 0≦x＜2 までは、f(f(x))=2・2x=4x の様になると考えたからです。
始めでつまずいてしまったので後に続けないのですが、ここだけでも理解出来たら先に進めそうな気がするので、ヒントを頂けるとありがたいです。
グラフを示せないことをお詫び申し上げます。
宜しくお願い致しますm(_ _)m
No.1524 - 2008/11/07(Fri) 19:31:15
☆ Re: 定義域によって式が異なる関数 / たろ ♂ [北海道] [社会人]
こんばんわ。
質問が明確でよいですね。

この問題は非常に質問の多い問題です。

合成関数は通常では数?Vですが、その考えとして学んでおくことは重要だと思います。?T･A で出てくる理由は分かりませんが今悩むのも悪くは無いでしょう。

まず、

（イ）f(f(x))=2f(x)(0≦f(x)＜2)、f(f(x))=8-2f(x)(2≦f(x)≦4)

これの意味を考えてみることからはじめると良いと思います。

このままでは分かりにくいので

f(☆) = 2☆　（0≦☆＜2）　、f(☆) =8-2☆　（2≦☆≦4）

そうすると、☆の大きさで関数が変わると言うことですね。
もっと言えば、xの値ではなくf(x)の値で変わるということなんですね。

これでもう一度考えてみてください。
分からなければその旨お伝えください。
No.1525 - 2008/11/08(Sat) 00:48:46
☆ Re: 定義域によって式が異なる関数 / バムセ [高校１年生]
たろ先生、ありがとうございます。
>>質問が明確でよいですね。
入力を頑張った甲斐がありました☆

以下にこうかな？と考えた解法と、疑問点を示します。

f(x)=2x(0≦x＜2)、f(x)=8-2x(2≦x≦4)

ここで、区域の範囲に従って、x の値を代入すると、
x=0 のとき、f(x)=2・0=0
x=1 のとき、f(x)=2・1=2
x=2 のとき、f(x)=8-2・2=4
x=3 のとき、f(x)=8-2・3=2
x=4 のとき、f(x)=8-2・4=0

f(f(x))=2f(x)(0≦f(x)＜2)、f(f(x))=8-2f(x)(2≦f(x)≦4)
x の値を代入して出た解を上の区域の範囲に当てはめて、
x=0 のとき、解が f(x)=0 なので、f(f(x))=2・2x=4
同じ要領で、
x=1 のとき、f(f(x))=8-2・2x=8-4x
x=2 のとき、f(f(x))=8-2(8-2x)=4x-8
x=3 のとき、f(f(x))=8-2(8-2x)=4x-8
x=4 のとき、f(f(x))=2(8-2x)=16-4x

0≦x＜1のとき　f(f(x))=2・2x=4x
1≦x＜2のとき　f(f(x))=8-2・2x=8-4x
2≦x≦3のとき　f(f(x))=8-2(8-2x)=4x-8
3＜x≦4のとき　f(f(x))=2(8-2x)=16-4x

疑問点・・・何故正解の範囲は
1≦x≦2
2＜x≦3
としているのでしょうか？

誤っているところの訂正をして頂けるとありがたいです。
宜しくお願い致します。
No.1532 - 2008/11/09(Sun) 17:56:19
☆ Re: 定義域によって式が異なる関数 / たろ ♂ [北海道] [高校１年生]
バムセさんこんばんわ。

たくさんお書きになって、大変だったと思います。
理解に関してはOKですね。何が範囲の主役になるのかということは、とても大事ですので、常に注意してください。特に文字などで置換した場合はクセのように範囲を調べておくようにしてください。

さて、改めて出てきた疑問点ですが、バムセさんの仰るとおりで、少々厳密な解答としてはエラーがあります。実は私の青チャートが若干古く、調べられなかったのですが、先輩先生にお尋ねしたところやはりバムセさんの解答の通りがより厳密です。

ですから、その解答で自信持ってください。

厳密にはと濁しているのは、今回に限っては、チャートの解答でも許容されるとも言えるのです。

f(x)のグラフを御覧になると途切れずに繋がりますよね？
２年生で学習しますが、このような状態を、その点について「連続である」といいます。
今は繋がっているからというご理解で構いません。

今回はx=2で「連続である」ので、x=2の場合をf(x)=2xに代入してもf(x)=8-2xに代入しても同じ値となりますね。ですから、チャートも大きくミスをしているとまでは言えないのです。

ただ、0≦x＜2と定義しておいて、この解答は雑な印象を受けます。

ですから、バムセさんの解答がベストです。
No.1536 - 2008/11/11(Tue) 00:51:00
☆ Re: 定義域によって式が異なる関数 / バムセ [高校１年生]
たろ先生、ありがとうございました。
解答が自分で出したものと異なっていた為、少々自身が無かったのですが、一安心です。
これからも宜しくお願いします。
No.1538 - 2008/11/11(Tue) 12:52:35
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