リュケイオン「高校数学質問掲示板」

★ 極限 / ALIVE [高校2年生]

お久しぶりです。質問させていただきます。

【問題】nは3以上の整数とする。
不等式(1+h)^n>1+nh+[{n(n-1)}/2]h^2 (h>0)を用いて次の問いに答えよ。
|x|<1のとき、lim[n→∞]nx^n=0である事を証明せよ。　[出典:3C青チャ・島根医大]
(ちなみに不等式中の[]の記号は表記上の都合で使わせていただきました。ガウス記号ではありません。)

解答ではx=0のときとx≠0のときで場合わけしていてx=0のときは理解できたのですがx≠0のときが理解できませんでした。
x≠0のとき、|x|=1/(1+h) (h>0)とおくと・・・
となっているのですが|x|=1/(1+h)がどこから導かれたのかが分かりません。
この部分の注意書きに、0<|x|<1のとき1/|x|>1から1/|x|=(1+h)とおける。とありますがこれもいまいち理解できません。
1+hは形からいって与えられた不等式となんかしら関係はありそうだとは分かるのですが…。

ご指導お願いします。

No.1523 - 2008/11/07(Fri) 12:01:12

☆ こんばんは / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

ALIVEさん、こんばんは。河童です。

ALIVEさんの疑問は、

＞ |x|=1/(1+h)がどこから導かれたのか

＞ 0<|x|<1のとき1/|x|>1から1/|x|=(1+h)とおける

この２点のようですが、誤解を恐れずに言えば、これらはさほど重要なことではありません。
いや、もちろん、この問題を解くという意味では重要なことなのですが、

『解答全体の流れ』

が理解できれば、自然と分かることです。
何を言っているのかよく分からないと思いますが、わたしの回答をすべてじっくり読んでいただければ、だんだん分かってくると思います。

さて、というわけで、ALIVEさん、青チャートの解答の流れが分かりますか？
難しい質問かも知れませんが、ちょっと考えてみてください。
解答は、何をしているのでしょう？
そして、何故、そんなことをしているのでしょう？
誤解しないでくださいね。
そんなことというのは、|x|=1/(1+h) (h>0)とおくといったことではありません。
そんな技巧に関する細かいことではなく、全体の流れのことですよ。
分かるかな？

No.1527 - 2008/11/08(Sat) 03:20:09

☆ Re: 極限 / ALIVE ♂ [高校2年生]

返信ありがとうございます。
(早朝勉強のために早く寝たらこんな時間に起きてしまいました笑)

よくよく考えてみると自分でもきちんと理解できていない気がします。
全体としてはlim[n→∞]nx^n=0であることを示せばよいので
x=0のとき→そのまま代入でOK。
x≠0のとき→|x|=1/(1+h)の両辺を上手く変形して不等式を使えるような形に持ち込む。→0<|nx^n|は保障されているから|nx^n|=n{1/(1+h)}^nから不等式を使って2/(n-1)k^2まで変形→lim[n→∞]2/(n-1)k^2=0だから0<|nx^n|<2/(n-1)k^2でハサミウチの原理から証明。

解答の流れから自分なりには上のように解釈しました。

河童先生の質問の趣旨に沿っているかは不安ですがよろしくお願いします。

No.1528 - 2008/11/08(Sat) 04:00:14

☆ Re: 極限 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

ALIVEさん、こんばんは。

朝早くから頑張ってますね。
って、今頃こんなこと言っても遅いですね＾＾

さて、細かいことはともかく、全体の流れは掴めていますね。

わたしがこの問題で大切だと思うのは、『数の大きさに対する感覚を養う』ことと、
『はさみうちの原理がなければ何もできないぞ』という、この２点です。
このような問題に二項定理が利用されるということは経験によって覚えていけばいいことですし（実際、今回経験しましたよね）、
|x|=1/(1+h) がどういう発想から出たものかは、例えば、

lim[n→∞]n(1/2)^n = 0 を証明せよ

という具体的な問題を解くことによって納得できるでしょう。

n(1/2)^n　は、分子が n 、分母が 2^n の分数ですが、
n の値が十分大きいとき、分母の 2^n の大きさに比べれば分子の n などゴミのように小さい。
だから、０に収束する。
じゃあ、それを証明するのに、不定形であるために極限値を求める公式が使えない。
ならば、はさみうちを使うしかないじゃないか。
そういう感覚を是非養っていただきたいと思います。

そこで、ALIVEさん、練習のために、先程の問題、

lim[n→∞]n(1/2)^n = 0 を証明せよ

これをやってみませんか。
それにより、今回のALIVEさんの疑問は氷解するはずです。
それまでわたしがお付き合いしますよ。

そうそう、ちなみにこの問題では、( 1 + 1 )^n の二項展開を利用しますよ。

No.1529 - 2008/11/09(Sun) 01:30:08

☆ Re: 極限 / ALIVE ♂ [高校2年生]

おはようございます。

河童先生が挙げてくださった問題のように、xの値を具体値で置き換えて考えればなんとなく分かって来たかな？という感じです。
ちなみに自分なりに解いてみた結果以下のようになりました。ただこの場合自分でn≧3という条件をつけてよかったでしょうか？

>lim[n→∞]n(1/2)^n = 0 を証明せよ

[解答]
n≧3のとき二項定理より次の不等式が得られる

(1+1)^n>1+n+{n(n-1)/2}・・・A

このときn(1/2)^n>0は明らか。
またAの両辺にnを掛けて逆数をとると
n(1/2)^n<n[1/{1+n+(n(n-1))/2}
∴0<n(1/2)^n<n[1/{1+n+(n(n-1))/2}<1/[{n(n-1)}/2]=2/{n(n-1)}
ここでlim[n→∞]2/{n(n-1)}=0　より
ハサミウチの原理から
lim[n→∞]n(1/2)^n = 0　　　　□

こんな感じで良いのでしょうか…？
合っていればきっと理解できていると思います！

No.1530 - 2008/11/09(Sun) 05:29:43

☆ Re: 極限 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

ALIVEさん、こんばんは。

たいへんよく出来ましたね＾＾

＞ (1+1)^n>1+n+{n(n-1)/2}・・・A

ここのところは、

( 1 + 1 )^n ≧ 1 + n + {n(n-1)/2} ＞ n(n-1)/2

つまり、

2^n ＞ n(n-1)/2

としてから逆数をとった方がすっきりしますね。
そして、両辺に n （＞0）を掛けると、

0 ＜ n/2^n ＜ 2/(n-1) → 0 (n→∞)

となり、見た目もきれいですし、見通しも良くなります。
ただし、この場合は、n ≧ 2 という条件が付きます。
もっとも、n を無限大に飛ばすのですから、n ≧ 2 でも n ≧ 3 でも大差ありませんけども。

＞こんな感じで良いのでしょうか…？
＞合っていればきっと理解できていると思います！

そうですね。
これで、本問のような一般の場合についても理解できるものと思われます。
ALIVEさんはまだ２年生、公式を覚えたり、細かい技巧に拘ったりせず、
本問を通して学んだように、問題に対する『大局観』とでもいいますか、『数学に対する姿勢』を学んでいただきたいと思います。
『数学に対する姿勢』というのは、例えば、文字を消去するとか、未知のものは文字でおくとか、そのような基本姿勢のことです。
十個の公式を覚えるよりも、ひとつの基本姿勢を身に付けることの方が、はるかに大切なことです。

ALIVEさんは、最初この問題を見たときに、『なんでこんな発想が浮かぶのだろうか？』と思い、
『僕にはこんな発想は無理だ』
と、一瞬不安になりませんでしたか？
その不安が、払拭されたとしたら幸いです。

No.1533 - 2008/11/10(Mon) 03:48:46

☆ Re: 極限 / ALIVE ♂ [高校2年生]

河童先生こんばんは。

ありがとうございます。
自分では必死で見栄えまで気を配ることができませんでした。また勉強させていただきました。

>本問を通して学んだように、問題に対する『大局観』とでもいいますか、『数学に対する姿勢』を学んでいただきたいと思います。

自分は高校数学でもまだ未習の部分がありますのでこれからもそのような姿勢を持って頑張っていきたいです。

>ALIVEさんは、最初この問題を見たときに、『なんでこんな発想が浮かぶのだろうか？』と思い、
『僕にはこんな発想は無理だ』
と、一瞬不安になりませんでしたか？

はい。解答を見た瞬間は思いました。
しかしもう一度質問させていただいた問題を解いてみるとスムーズに解けて何が聞きたいのかもきちんと理解しながら解き進められました。
本当に今回の問題に対する疑問点は氷解しました。本当ありがとうございます。

そしてこれからもお願いしますf^_^;

No.1537 - 2008/11/11(Tue) 03:27:30

★ 河合塾模試の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]

お久しぶりです。
疑問ができましたので先生方、ご解答のほどお願いします。

河合塾2008年度第2回全統高1模試（2008年8月受験）の大問３の2次関数(2)についてです。
少々内容が長いのでいくつかのレスで区切りそれを質問とさせていただきます。

問題文です。

----------
2次関数
y=x^2-4x+7
について、次の問に答えよ。

(1)0≦x≦3におけるyの最大値、最小値をそれぞれ求めよ。
(2)aを正の定数とし、0≦x≦aにおけるyの最小値をmとする。
　(i) aの値で場合分けをして、mを求めよ。
　(ii)a≦y≦2aにおけるyの最大値をMとするとき、M=2mとなるaの値を求めよ。
----------

(1),(2)の解答はこのようになっていました。

----------
(1)
y=x^2-4x+7より、y=(x-2)^2+3 ・・・(＊)
0≦x≦3における(＊)のグラフは図の実線部分である。（省略します）

グラフより、yは、
x=0のとき、最大値7・・・（答）
x=2のとき、最小値3・・・（答）
をとる。
----------
(2) (i)
0≦x≦aにおけるyの最小値mを、次の2つの場合に分けて求める。
(ア)0<a<2のとき　(イ)2≦aのとき

(ア)0<a<2のとき、yはx=aにおいて最小となり、m=a^2-4a+7
(イ)2≦aのとき、yはx=2において最小となり、m=3

(ア)、(イ)より、
m= a^2-4a+7 (0<a<2のとき) , 3 (2≦aのとき)・・・（答）

No.1500 - 2008/10/31(Fri) 19:21:29

☆ Re: 河合塾模試の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]

(2) (ii)
a≦x≦2aにおけるyの最大値Mについて、区間a≦x≦2aの中央x=a+(1/2)a、すなわちx=3/2aと(＊)のグラフの軸x=2との位置関係により、次の2つの場合に分けて、Mを求める。

(ウ)0<3/2a≦2のとき　（エ）2<3/2aのとき

(ウ)0<3/2a≦2 すなわち 0<a≦4/3のとき、
yはx=aにおいて最大となり、M=a^2-4a+7

(エ)2<3/2a、すなわち4/3<aのとき、
yはx=2aにおいて最大となり、
M=(2a)^2-4･2a+7
=4a^2-8a+7

(i)の(ア)、（イ）と（ウ）、（エ）をまとめると次のようになる。

(a) 0<a≦4/3のとき、
M=m=a^2-4a+7

(b)4/3<a<2のとき、
m=a^2-4a+7、M=4a^2-8a+7

(c)2≦aのとき、
m=3、M=4a^2-8a+7

これら(a),(b),(c)それぞれの場合にうついて、M=2mとなるaの値を求める

(a)0<a≦4/3のとき、M=m≠0であるから、M=2mを満たさない。

(b)4/3<a<2のとき、M=2mより、4a^2-8a+7=2(a^2-4a+7)
よって、2a^2=7
4/3<a<2より、
a=√14/2

(c)2≦aのとき、
M=2mより、4a^2-8a+7=2･3
よって、4a~2-8a+1=0
したがって、a=(2±√3)/2
これらは2≦aを満たさない。

以上(a)、(b)、(c)より、M=2mを満たすaの値は、
a=√14/2・・・（答）

No.1501 - 2008/10/31(Fri) 19:23:07

☆ Re: 河合塾模試の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]

ここで2点質問があります。

1.僕のこの解答はあっておりますでしょうか？
(1)については河合塾解答と同じなので省略させていただきます。

----------
(1)(i)
（ア）0≦a<2のとき、m:a^2-4a+7 (x=a)
（イ）2≦aのとき、m:3 (x=2)
----------
(2)(ii)
（ア）(a+2a)/2<2　すなわち a<4/3のとき、
M:a^2-4a+7 (x=a)
(i)より、a<4/3のときのmの値はa^2-4a+7
a^2-4a+7=2(a^2-4a+7)　これは不合理。

（イ）(a+2a)/2=2　すなわち　a=4/3のとき、
M:31/9 (x=4/3,8/3)
(i)より、a=4/3のときのmの値はa^2-4a+7
31/9=2(a^2-4a+7) ∴a^2-4a+7=0
判別式をDとして、D=(-4)^2-4･7=16-28=-12 <0
これは不合理。

（ウ）2<(a+2a)/2　すなわち a>4/3のとき、
M:4a^2-8a+7 (x=2a)
(i)より、a>4/3のときのmの値はa^2-4a+7
4a^2-8a+7=2(a^2-4a+7)
4a^2-8a+7=2a^2-8a+14
2a^2=7　∴a＝±√14/2
a>4/3より、a=√14/2

以上より、a=√14/2
----------

（イ）で何故∴a^2-4a+7=0になったのか、今日の自分が昨日これを解いた自分に尋問しています（＾＾；）

そして2つ目の質問です
2.なぜ河合塾解答では(a+2a)/2=2とみなさないのか？
河合塾解答では0<(a+2a)/2≦2となっています。
何故<2と=2を区別せず、≦2にしているのでしょうか？

少々長くなり申し訳ないですが、ご説明のほどお願いいたしますm(_ _)m

No.1503 - 2008/10/31(Fri) 19:42:43

☆ Re: 河合塾模試の問題 / kinopy [塾講師]

氷わさびさん，こんばんは。

長文お疲れ様でした。
次回からもう少し略してもらってもいいですよ(^_^;)

もちろん，全文書いていただいた方が分かりやすいのですが…

今回のケースなら
「河合塾の解答とこの点が違うのだがどうだろう？」程度で大体分かります。
詳しく聞きたい場合は回答者の先生がその都度「もう少し詳しく書いてください」とレスしますので^^

(i)ですが，河合の解答
>m= a^2-4a+7 (0<a<2のとき) , 3 (2≦aのとき)・・・（答）
と，氷わさびさんの解答の
>（ア）0≦a<2のとき、m:a^2-4a+7 (x=a)
>（イ）2≦aのとき、m:3 (x=2)

の違いを感じる点はどこですか？
私には，氷わさびさんが問題文の「aを正の定数とする」を読み飛ばしたくらいしか違いが見えません。

(ii)ですが，そもそも「最大値」を考える場合にa<4/3とa=4/3を分ける意味はありません。
a=4/3のときの
> M:31/9 (x=4/3,8/3)
という値は
0<a<4/3の
> M:a^2-4a+7
にa=4/3を代入したものと同じですね。

最大値を与えるxまで要求されている場合は，氷わさびさんのようにa<4/3とa=4/3を分けるべきですが，この場合は「分けても分けなくても同じ」ですから河合塾の解答では分けていないのです。
（氷わさびさんのように分けても間違いではないです）

なお，氷わさびさんの
> （イ）(a+2a)/2=2　すなわち　a=4/3のとき、
>M:31/9 (x=4/3,8/3)
>(i)より、a=4/3のときのmの値はa^2-4a+7
>31/9=2(a^2-4a+7) ∴a^2-4a+7=0
>判別式をDとして、D=(-4)^2-4･7=16-28=-12 <0
>これは不合理。

については
a=4/3のとき，M=31/9,m=(4/3)^2-4(4/3)+7=-23/9だからM=2mとはならない。
でＯＫですよ。

今回の回答で疑問点に答えられていなければ，その旨書き込みくださいね。

No.1505 - 2008/11/02(Sun) 05:45:40

☆ Re: 河合塾模試の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]

こんにちは、kinopy先生
今回自分の解答と河合塾の解答の意味があっているかどうかを確認したかったので長文になってしまいました
以降簡略しすぎない程度に書いていきます。

本来ならば0≦a<2は質問の対象ではなかったのですが先生の指摘で0≦a<2は0<a<2としたほうがよいということがわかりました。ありがとうございます。
確かに正の定数なのに0になることはないですよね。

そして2つ目の質問について、大体理解することができましたが『最大値を与えるx』というのはどのようなことでしょうか？
あとこの問題で『最大値を与えるx』というのは要求されていないのでしょうか？
教えていただきたいですm(_ _)m

No.1506 - 2008/11/02(Sun) 13:21:52

☆ Re: 河合塾模試の問題 / kinopy [塾講師]

こんにちは。

ちょっと問題を書き換えますね。

１．2次関数y=x^2-4x+7のa≦x≦2aにおける最大値を求めよ。
と
２．2次関数y=x^2-4x+7のa≦x≦2aにおける最大値とそのときのxを求めよ。

この２つの問題が要求していることの違いは分かりますよね？
１では最大値だけが問題になっていますので場合分けはa≦4/3とa>4/3でＯＫです。
でも
２では，
i) a<4/3のとき最大値 a^2-4a+7　(x=a)
ii)a=4/3のとき最大値 (4/3)^2-2(4/3)+7　(x=4/3,8/3)
iii)a>4/3のとき最大値4a^2-8a+7　(x=2a)
とii）では最大値を与えるxが2つありますのでi)とii)を合わせることができません。

いかがでしょう。

No.1507 - 2008/11/02(Sun) 14:50:07

☆ Re: 河合塾模試の問題 / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]

最近多忙だったため返信できませんでした。送れて申し訳ないですm(_ _)m

=と<のときでxの値は変わりますが今回の問題ではそれを求めろと言われていないので=のときと<のときを分けなくていいということですね。

これで疑問点解決しました！
kinpoy先生、わかりやすいご指導ありがとうございました。m(_ _)m
またの機会によろしくお願いします。

No.1531 - 2008/11/09(Sun) 16:03:50

★ (No Subject) / りょうか ♂ [東北] [その他]

こんにちは。私は高校の普通課程、理系コースの卒業生で今年で二十歳のりょうかと申します。病気にかかるなどして現在、就労移行支援の下で就労しながら療養しつつ、大学受験のための勉強をしています。
過去にもここへ、最小公倍数と最大公約数について、わからないところを投稿したことがあったのですがその時の名前を忘れてしまったので、今回新たにHNを作って投稿しております。

数学Iの問題で、ニューアクションβ 例題44と練習44、問題44について疑問があるので質問させてください。
例題44「不等式ax+a-1＞0の解がx＜-2であるとき、定数aの値を求めよ。」
練習44「不等式ax+3＜2x+aの解がx＞2であるとき、定数aの値を求めよ。」
問題44「不等式ax+1＜x+a^{2}の解がx＞-1であるとき、定数aの値を求めよ。」

---------------------------------------------------
ニューアクションβの手引きによるとこうなっています
【不等式の係数決定は、方程式と解の関係を用いよ」

解法の手順
1、xの係数の符号を決定する。
2、方程式の解の関係にいいかえる。
3、文字の値を決定し1の条件を確認する。
--------------------------------------------------

例題44の模範解答の一部
不等式 ax+a-1＞0 の解が x＜-2 であるから a＜0 であり、方程式 ax+a-1＝0 の解がx＝-2である。・・・・・・・・～～～～～～省略

どうして ax+a-1＞0 の解が x＜-2であるとa＜0となるのでしょうか。
自分なりにその疑問に答えを出そうと思い、このように考えてみました。

例題44の模範解答に対する疑問への考え
ax+a-1=a(x+1)-1＞0、 a(x+1)-1＞0かつx＜-2のときは(x+1)＜-1となる。
よって（負と負の積は正となる性質を利用して）a(x+1)-1＜0 におけるa(x+1)を1より大きな実数にするにはa＜0となることが条件である。
ゆえにa＜0

練習44の模範解答の一部
ax+3＜2x+a より (a-2)x＜a-3 この不等式の解が x＞2 であるから a-2＜0 すなわち a＜2･･・・・・・・～～～～～～～～～省略

どうして x＞2 であると a-2＜0 すなわち a＜2 となるのでしょうか。
練習44の模範解答に対する疑問への考え
ax+3＜2x+a 変形すると (a-2)x＜a-3。 x＞2 のときxは正なので、
(a-2)を負とするために (a-2)＜0 とおく。

このように考えてしまうと、なぜそもそも(a-2)を負としなければならなくなるのかが、わからなくなってしまいます。
（右辺は必ずしも正負の符号が決まっているとは限らないので）

問題44の模範解答の一部
ax+1＜x+a^{2} より (a-1)x＜a^{2}-1 この不等式の解が x＞-1 であるから a-1＜0 すなわち a＜１・・・・・・～～～～省略

問題44に至っては xの値が負から0または正の数の範囲の変数であり、(a-1)も正の値になる場合も考えなければならないように「見える」にも関わらず、
機械的にxの係数を0より小さい値にしているように見えるため、疑問というか不自然さを感じます。
なぜ a-1＜0 なのでしょうか。

もしかして、ax+1＜x+a^{2} より (a-1)x＜a^{2}-1 この式を例にとれば、x自体が正負または0の値を取り得る変数であり、またそれと同時にそれを満たさない式はここにおいては定義し得ないという前提で、xにどんな値が入っても式が成立するように、係数を負に固定してしまうという理屈なのでしょうか。

自分で書いていても良くわからないのですか、どうやら解法の手順、「1、xの係数の符号を決定する」理屈が理解できていないようです。
どなたかご教示お願いいたします。

No.1493 - 2008/10/30(Thu) 22:35:26

☆ Re: / りょうか ♂ [東北] [その他]

＞もしかして、ax+1＜x+a^{2} より (a-1)x＜a^{2}-1 この式を例にとれば、x自体が正負または0の値を取り得る変数であり、またそれと同時にそれを満たさない式はこれにおいては定義し得ないという前提で、x にどんな値が入っても式が成立するように、xの係数を負に固定してしまうという理屈なのでしょうか。

若しかしたらこれであっているかもしれません。わかりにくい長文を書いてしまって申し訳ありませんでした。

もしこの考えに問題がありましたらご指摘、指導をお願いいたします。

No.1494 - 2008/10/30(Thu) 22:53:17

☆ Re: / londontraffic ♂ [教育関係者]

りょうかさん，おはようございます．
決して楽ではない環境での受験は大変だと思います．頑張ってください．
ではいきましょう．

例えば
i)2x>4 を解くと x>2
ii)-2x>4 を解くと x<-2
となりますよね．不等式に正の数を掛ける（で割る）ときは，符号はそのまま
負の数を掛ける（で割る）ときは符号を反対向きにします．

例題44 ですが，ax+a-1>0 を変形して ax>1-a とします．ここで，a>0であるとすると x>(1-a)/aとなり，解が x<-2 になることはありません．またa=0ならば，0>1となり不等式の解は存在しません．
a<0 ならば， x<(1-a)/a となり，x<-2となる解が存在します（する可能性があります）．

いかがでしょうか？

No.1496 - 2008/10/31(Fri) 06:39:25

☆ Re: / りょうか ♂ [東北] [その他]

londontrafficさん、おはようございます。宜しくお願いします。

>i)2x>4 を解くと x>2
>ii)-2x>4 を解くと x<-2
>となりますよね．不等式に正の数を掛ける（で割る）ときは，符号はそのまま
>負の数を掛ける（で割る）ときは符号を反対向きにします．

>例題44 ですが，ax+a-1>0 を変形して ax>1-a とします．ここで，a>0であるとすると >x>(1-a)/aとなり，解が x<-2 になることはありません．またa=0ならば，0>1となり不等式の解は存在しません．
>a<0 ならば， x<(1-a)/a となり，x<-2となる解が存在します（する可能性があります）．

良くわかりました。
正負、0の場合に分けて考えればよいのですね。
実際その方法で練習44を紙面で解いてみたところ、うまく答えることが出来ました。
問題44もうまく解けました。(場合分けを記述しないと考えが纏まりませんでしたが)
ニューアクションβ本編ではそこの理論・考え方が省略されていたので、自分にとって理解が難しくなっていました。
londontrafficさん、どうもありがとうございました。

No.1497 - 2008/10/31(Fri) 08:52:47

★ 質問させてください / 濱田　晃 ♂ [近畿] [浪人生]

こんにちは。浪人生の濱田晃といいます。よろしくお願いします。
国立文系志望で、一浪中です。予備校のテキストを予習中なのですが、どうしても解き方が分からない問題にぶつかりました。教えていただければ幸いです。
問題
　２次方程式　X^2-4X＋1＝0　のふたつの実数解のうち多きものをα、小さいものをβとする。
　N＝1、2、3、・・・に対し、S｛N｝＝α＾N＋β＾N　とおく。
（１）
　　S｛1｝、S｛2｝、S｛3｝、を求めよ。また、N≧3に対し、S｛N｝をS｛N-1｝とS｛N-2｝で
　　表せ。
（2）
　　S｛N｝は正の整数であることを示し、S｛2004｝の1の位の数を求めよ。
（3）
　　α＾2004以下の最大の整数の１の位の数を求めよ。

以上が問題ですが、最初の二次方程式が、数列S｛N｝の特性方程式であることが分かり、したがって、それを利用して、（1）がS｛N｝＝4S｛N-1｝ーS｛N-2｝と分かりました。また、数値を代入することで、S｛1｝＝4、S｛2｝＝14、S｛3｝＝52、が分かりました。
　（2）は、二次方程式を解くことで、αとβを具体的に求め、どちらも正の数であることから、S｛N｝＝α＾N＋β＾N　は正の数となるとし、解と係数の関係から、α＋β＝4、αβ＝1であり、また、S｛N｝＝α＾N＋β＾N　は、αとβの対称式であるから、基本対称式で表せ、したがって整数で表せるから、S｛N｝＝α＾N＋β＾N　は整数である、としました。
　全く分からないのは（3）で、手も足も出ません。（1）や（2）との関係すらわかりません。
どうか御教示をお願いします。

No.1397 - 2008/10/18(Sat) 15:16:31

☆ Re: 質問させてください / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]

こんにちは。

申し訳ありませんが，運営上の理由により回答はしばらく保留させていただきたく存じます。
理由は後日書き込ませていただきます。

No.1419 - 2008/10/22(Wed) 15:00:04