 | 向かい合う目の和が７で立方体のサイコロが底面が１であるように机の上に置かれている。
この状態から初めて、次の試行を繰り返し行う。
「現在の底面と隣り合う４面のうち１つを新しい底面にする。」
ただし、これらの４面の数字がd_1,d_2,d_3,d_4のときそれぞれの面が新しい底面となる
確率の比はd_1:d_2:d_3:d_4とする。
この試行をｎ回繰り返した後、底面の数字がｍである確率をP_n(m) (n≧1)で表す。
（１）n≧1のときq_n=P_n(1)+P_n(6),r_n=P_n(2)+P_n(5),s_n=P_n(3)+P_n(4)を求めよ。
（２）P_n(m)(m=1,2,3,4,5,6)を求めよ。
与えられた確率の比を使うと思うのですが、どうやって解けば良いのか分かりませんでした。
どなたか教えて下さい。よろしくお願いします。
（出典は分かりません・・学校のプリントなもんで・・・。）
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No.1337 - 2008/10/11(Sat) 20:18:42
| ☆ Re: はじめまして。 / londontraffic ♂ [教育関係者] | | |  | はじめまして，kazukiさん．londontrafficと申します．
方針が見つからないときは，とにかく手を動かしてみることです．
まず初めに，q_1, r_1, s_1 の３つを求めてカキコしてください．
その続きができるならできたところまで，カキコしてください．
よろしくお願いしますm(_ _)m
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No.1341 - 2008/10/12(Sun) 08:15:34 |
| ☆ Re: はじめまして。 / kazuki ♂ [関東] [高校3年生] | | | | q_1=P_1(1)+P_1(6)=0
r_1=P_1(2)+P_1(5)=2/6+5/6=7/6
s_1=P_1(3)+P_1(4)=3/6+4/6=7/6
ですか？？
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No.1345 - 2008/10/12(Sun) 21:52:48 |
| ☆ Re: はじめまして。 / londontraffic ♂ [教育関係者] | | | | レスありがとうございます．
>q_1=P_1(1)+P_1(6)=0
これはokです．
>r_1=P_1(2)+P_1(5)=2/6+5/6=7/6
>s_1=P_1(3)+P_1(4)=3/6+4/6=7/6
これだと確率が１を超えてしまってますね．
もう一度問題文を確認して，正しい確率を出してみましょう．
>これらの４面の数字がd_1,d_2,d_3,d_4のときそれぞれの面が新しい底面となる確率の比はd_1:d_2:d_3:d_4とする。
ですので，最初の状態（底面１）だとd_1〜d_4は「2,3,4,5」のいずれかです．それぞれが底面になる確率は，
2:3:4:5の比から2/14,3/14,4/14,5/14になるので，
r_1=2/14+5/14=1/2 s_1=3/14+4/14=1/2
になります．
例えば1,6が底面にくることをA，2,5をB，3,4をCとすると，上で確認したことからn回目にAであるとき，n+1回目にB,Cになるのは共に1/2であることがわかると思います．同様に
n回目にBのときn+1回目にA,Cとなる確率は共に1/2，n回目にCのときn+1回目にA,Bとなる確率も共に1/2となります．
ここまでいかがですか？ご理解いただけなければ，その旨レスください．
またご理解いただいたならば，次は漸化式を作る作業です．
下の６個の( )にあてはまる数を求めてください．
q_{n+1}=( )r_n+( )s_n
r_{n+1}=( )s_n+( )q_n
s_{n+1}=( )q_n+( )r_n
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No.1348 - 2008/10/13(Mon) 07:53:07 |
| ☆ Re: はじめまして。 / kazuki ♂ [関東] [高校3年生] | | | | > 例えば1,6が底面にくることをA，2,5をB，3,4をCとすると，上で確認したことからn回目にAであるとき，n+1回目にB,Cになるのは共に1/2であることがわかると思います．同様に
> n回目にBのときn+1回目にA,Cとなる確率は共に1/2，n回目にCのときn+1回目にA,Bとなる確率も共に1/2となります．
ここまでは大丈夫です！！
でも漸化式が求められませんでした・・・。
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No.1350 - 2008/10/13(Mon) 10:14:00 |
| ☆ Re: はじめまして。 / londontraffic ♂ [教育関係者] | | | | では続きです．
上で出したA,B,Cを使って説明します．
n+1回目にA（q_{n+1}）となるのはn回目はB,C（r_n,s_n）でなくてはならず，それぞれからAとなるのは1/2の確率ですから，
q_{n+1}=1/2r_n+1/2s_n・・・（あ）
となります．同様に，
r_{n+1}=1/2s_n+1/2q_n・・・（い）
s_{n+1}=1/2q_n+1/2r_n・・・（う）
が得られます．
ここまでどうですか？okなら
（あ）-（い），（い）−（う），（う）−（あ）
を作ってみてください．
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No.1351 - 2008/10/13(Mon) 11:40:59 |
| ☆ Re: はじめまして。 / kazuki ♂ [関東] [高校3年生] | | | | q_{n+1}=1/2r_n+1/2s_n・・・（あ）
r_{n+1}=1/2s_n+1/2q_n・・・（い）
s_{n+1}=1/2q_n+1/2r_n・・・（う）
（あ）-（い）=q_{n+1}-r_{n+1}=1/2r_n+1/2s_n-1/2s_n-1/2q_n=1/2r_n-1/2q_n
（い）-（う）=r_{n+1}-s_{n+1}=1/2s_n+1/2q_n-1/2q_n-1/2r_n=1/2s_n-1/2r_n
（う）-（あ）=s_{n+1}-q_{n+1}=1/2q_n+1/2r_n-1/2r_n-1/2s_n=1/2q_n-1/2s_n
と出ました！
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No.1354 - 2008/10/13(Mon) 12:51:01 |
| ☆ Re: はじめまして。 / londontraffic ♂ [教育関係者] | | | | okです．
（あ）-（い）より q_{n+1}-r_{n+1}=1/2r_n-1/2q_n=-1/2(q_n-r_n)
となるので，q_n-r_n=A_nとすれば，
・A_{n+1}=-1/2A_n から｛A_n｝は公比-1/2の等比数列
・A_1=q_1-r_1から，｛A_n｝は初項-1/2
ゆえに，q_n-r_n=(-1/2)･(-1/2)^{n-1}=(-1/2)^nとなります．
同様に（う）-（あ）から作られる s_{n+1}-q_{n+1}=1/2q_n-1/2s_n
より，s_n-q_nを求めてみてください．
よろしくお願いします．
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No.1357 - 2008/10/13(Mon) 15:50:43 |
| ☆ Re: はじめまして。 / kazuki ♂ [関東] [高校3年生] | | | | s_n-q_n=-(-1/2)^n となりました。。
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No.1360 - 2008/10/13(Mon) 19:29:29 |
| ☆ Re: はじめまして。 / londontraffic ♂ [教育関係者] | | | | はい．
(1)もいよいよ佳境です．
放っておいた（い）-（う）より r_n=s_n が出てきますが，残念ながら
q_n-r_n=(-1/2)^n s_n-q_n=-(-1/2)^n r_n=s_n
の３本からは答えが出てきません．
しかしながら，実はもう一本の式が存在します．それは q_n+r_n+s_n=1 です．
q_n-r_n=(-1/2)^n
s_n-q_n=-(-1/2)^n
r_n=s_n
q_n+r_n+s_n=1
の４本から，q_n，r_n，s_nの３つを出してください．
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No.1361 - 2008/10/13(Mon) 20:59:09 |
| ☆ Re: はじめまして。 / kazuki ♂ [関東] [高校3年生] | | | | q_n=1/3+2/3(-1/2)^n
r_n=s_n=1/3-1/3(-1/2)^n
と出ました！！
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No.1362 - 2008/10/13(Mon) 21:25:23 |
| ☆ Re: はじめまして。 / londontraffic ♂ [高校１年生] | | | | okですよ．
(2)は以下ようにすればできるハズ
例えばP_n(1)だと
n-1回目には1,6以外（先述のB,Cの状態）から，1/14の確率で底面
頑張ってみてください．
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No.1367 - 2008/10/14(Tue) 07:15:47 |
| ☆ 遅くなりました。 / kazuki ♂ [関東] [高校3年生] | | | | 遅くなってすいません。
（2）も解決しました！
londontraffic先生どうもありがとうございました。
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No.1390 - 2008/10/17(Fri) 21:27:50 |
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