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★ はじめまして / there ♀ [関東] [高専3年生]
こんばんは。
平面ベクトルの問題なのですが、悩み続けても解答が出ないので質問させてください。
問題元は鳥取大学と明記されています。

台形ABCDにおいて、AB〃CDである。２つの対角線AC、BDは交点Eで直交している。
vec{AB}、vec{AD}を用いて次の問いに答えよ。

（１）vec{AE}をvec{AB}、vec{AD}を用いてあらわせ。
（２）三角形ABEと台形ABCDとの面積比をvec{AB}、vec{AD}を用いてあらわせ。


よく見る問題だと思い、BE：ED＝S:１−ｓ　　　とおいて直交条件を活用するために
内積０に持ち込んだのですが、
S＝−vec{AB}/vec{AD}−vec{AB}　　　となり、結果vec{AE}＝vec{０}となってしましました。

どこかで計算ミスはしていないと思いますが、自分で気づかないベクトル特有のやってはいけない式変形などをしているのかもしれません。
（答えがvec{０}なんていうのになってしまったので）
はたまた、解答の第１手を間違えてしまったのでしょうか？


（２）に関しても解答への扉が見えず、第１手も分からない状況です。
よろしくお願いします。
No.1343 - 2008/10/12(Sun) 19:47:18
☆ Re: はじめまして / londontraffic ♂ [教育関係者]
thereさん，おはようございます．
早速いきましょう．

>S＝−vec{AB}/vec{AD}−vec{AB}　　　となり
まずこの式の右辺ですが，ベクトルをベクトルで割ってますよね．
>どこかで計算ミスはしていないと思いますが、自分で気づかないベクトル特有のやってはいけない式変形などをしているのかもしれません。
そうですね．ベクトルをベクトルで割るということはありませんので，thereさんの言う「やってはいけないこと」をやっているようですね．

実際にvec{AB}=vec{b}，vec{AD}=vec{d}，BE:ED=s:(1-s)として計算してみると，s=frac{vec{b}･(vec{b}-vec(d)}{|vec{b}-vec{d}|^2}となりました．おそらくthereさんもこうなったと思います．
で，thereさんは分子・分母を「vec{b}-vec{d}」（ベクトル）で割ってしまったのですよね．

sはこれ以上計算できないので
vec{AE}=frac{vec{AD}･(vec{AB}-vec(AD)}{|vec{AB}-vec{AD}|^2}vec{AB}+frac{vec{AB}･(vec{AB}-vec(AD)}{|vec{AB}-vec{AD}|^2}vec{AD}
となります．

いかがでしょうか？
No.1349 - 2008/10/13(Mon) 08:41:25
☆ Re: はじめまして / there
こんにちは、パソコンが使えない状態なので携帯から失礼します。　
やはり私のとんでもない勘違いが原因でしたか…　
ベクトルの絶対値の意味を理解し直すことができて良かったです。有り難うございます。　
ところで、ふと疑問に思ったのですが(1)は正射影ベクトルなんかも使えそうな気がします(悩んでいますが解答までいきません)
この(1)は正射影ベクトルの活用も可能でしょうか？　



ここで本題の(2)なのですが、やはり(1)からの誘導と考え、解いていこうと思いましたが　ベクトルでの台形の面積はなにをしたらいいのかわかりません。　
小学校からの、あの公式しか手持ちがないもので…。すみませんがどう手を打てばいいですか？
No.1352 - 2008/10/13(Mon) 11:41:55
☆ Re: はじめまして / londontraffic ♂ [教育関係者]
>ベクトルの絶対値の意味を理解し直すことができて良かったです。有り難うございます。
ん〜，絶対値よりは「大きさ」が適切なんですけど，とりあえずご理解いただいたようでよかったです．

>この(1)は正射影ベクトルの活用も可能でしょうか？　
考えてみたのですけど，今のところ私には思いつかないですね．気が付いたことがあったら教えてください．

さて，(2)です．
辺の長さがまったくわかっていない状態ですが「面積比（面積ではない）」ですので，「ある程度の（長さの）情報」から求めることができます．
台形の面積の公式は「（上底＋下底）×高さ÷２」で，今回上底をABとすれば下底はCDです．
vec{DC}はvec{AB}の実数倍であることから，ABとCDの比を求めてみましょう．
No.1353 - 2008/10/13(Mon) 12:25:40
☆ Re: はじめまして / there
(2)ですが、△ABE∽△CDEからAB:CD＝1:〔vec{AD}(vec{AD}-vec{AB})〕／〔vec{AB}(vec{AB}-vec{AD})〕　
とわかりました。　

次に、高さ　　が気になるところなのです。三角形同士であれば高さが共通なら底辺の比が　ともっていきますが今回は台形が絡むのでなにを用いて解いていこうか悩んでいます。どうしたらいいですか？
No.1355 - 2008/10/13(Mon) 13:18:35
☆ Re: はじめまして / londontraffic ♂ [教育関係者]
AB：CDを相似比で出してきたのなら，高さも楽勝．
台形の高さをhとすると，△ABEの高さはs×hになります．
これから面積比も求められますよね？
No.1356 - 2008/10/13(Mon) 15:39:03
☆ Re: はじめまして / there
△ABEの面積と台形ABCDの面積を出して(AB:CDをそのまま底辺に用いました)
その結果、hを消したのが答えでしょうか？
No.1358 - 2008/10/13(Mon) 18:29:09
☆ Re: はじめまして / londontraffic ♂ [教育関係者]
そうなるハズですよ〜
No.1359 - 2008/10/13(Mon) 18:37:25
☆ Re: はじめまして / there
遅れてすいません。　
解決しました！本当に有り難うございました！
No.1377 - 2008/10/15(Wed) 18:53:42
★ はじめまして / aki
こんばんは(〃^ー^〃)
質問させてください！
http://j.upup.be/?GpwWaeLN57
の問題で私は
http://i.upup.be/?EFLe6MVRjj
ここまでといたのですが、OAとOPの内積とOBとOPの内積がどうだせばいいかわからずとまってしまいました。
Pが動くので角度が定められないと、困ってしまいました。

どうか教えていただけないでしょうか？
No.1319 - 2008/10/10(Fri) 20:08:01
☆ Re: はじめまして / あき
すみません出典を書き忘れました、志田晶のベクトル面白いほどわかる本p222です。
No.1323 - 2008/10/10(Fri) 22:29:13
☆ (No Subject) / 河童
河童皿回し中
No.1328 - 2008/10/11(Sat) 04:00:05
☆ Re: はじめまして / 河童
あきさん、はじめまして。河童です。

＞Pが動くので角度が定められないと、困ってしまいました。

実は逆なんです。
つまり、『最大、最小になるように角度を決める』のです。
どういうことかと言うと………
と言うよりも、何故それにあきさんが気付かなかったのか。
それは、あきさんの図が不正確だからなんですね。

∠AOB はそんな角度でしょうか？
よぉく考えてみましょう。

わたしの言いたいことが分かれば(以降ベクトル記号は省きます)

AP･BP = 1 - OP･(OA+OB) + OA･OB

としたときの、OA+OB と OA･OB が分かります。
つまり、右辺のベクトルのうち、未知のベクトルが OP だけになります。
しかも、OP の大きさも分かっている。
ということは、あとは角度だけが問題ですよね。

さあ、どうでしょうか？
No.1329 - 2008/10/11(Sat) 04:34:47
☆ Re: はじめまして / あき
河童さんご回答有り難いです('▽'*)
不正確でした90度です。
そうするとOA･OBは0ですがOA＋OBはどうなるんでしょうか？絶対値ついてないので長さにはならないしわからないです(>_<)
No.1335 - 2008/10/11(Sat) 11:57:03
☆ おはようございます / 河童
あきさん、おはようございます。

そうですね。90°ですね。
ですから、

AP･BP = 1 - OP･(OA+OB)

となりますから、OP･(OA+OB) が最大のときに AP･BP は最小になり、
逆に OP･(OA+OB) が最小のときに AP･BP は最大になりますよね。

そこで内積の定義に戻ってみましょう。
２つのベクトルの大きさが既に定まっていますので、内積の値は角度に左右されますよね。

お分かりでしょうか。
No.1340 - 2008/10/12(Sun) 05:28:26
☆ Re: はじめまして / あき
角度に左右されるというのはわかりますが、角度が今文字でも定められないので困った と一番最初の質問で申したのですが。そこがわからないのですが…
No.1342 - 2008/10/12(Sun) 08:38:56
☆ (No Subject) / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
あきさん、こんばんは。

＞ 角度が今文字でも定められないので困った と一番最初の質問で申したのですが

はい、知ってますよ＾＾
ですから、最初の回答に書いたんですね。
『最大、最小になるように角度を決める』って。

内積が最大になるのは、余弦が最大になるとき、
内積が最小になるのは、余弦が最小になるとき、そうですよね。
No.1346 - 2008/10/12(Sun) 22:09:44
☆ Re: はじめまして / あき
cosを考えようとしてわからなくて困ってるんですけど…なにがわかってないのかが伝わってないのかもしれません…
ここから先の式変形というかがわからないです。
No.1347 - 2008/10/13(Mon) 00:50:23
☆ こんばんは / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
あきさん、こんばんは。

＞ なにがわかってないのかが伝わってないのかもしれません…

大丈夫。伝わってますよ＾＾

AP･BP = 1 - OP･(OA+OB)

この式についてはよろしいですね？

では、OP･(OA+OB) について考えてみましょう。ベクトル記号は省略しますね。

まず、下の図を見てください。
クリックすれば拡大されます。
この図は、あきさんが描いた図を元にしたものです。
この図中の赤いベクトルが問題のベクトルです。
OA+OB は正方形の対角線ですので、2√2 の大きさを持ちます。
また、OP は問題の設定より、1 の大きさを持ちますね。
ですから、

OP･(OA+OB) = 2√2 cosθ

になるんですが、点Ｐは、図の円周上を自由に動き回ります。
問題は、『Ｐがどこにあるときに最小、最大になるか』と聞いているんですね。
もちろん θ は、０度から１８０度の範囲では、−１から１まで動きますね。
ですから、cosθ の最小値は −１、最大値は １ ですよね。
No.1366 - 2008/10/14(Tue) 00:33:17
★ こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
赤本で勉強していてわからない所があったので、教えてください。

出典は東北大　2008　前期　大問１です。

多項式f(x)について、次の条件(?@),(?A),(?B)を考える。
(?@)(x^4)f(1/x)=f(x)
(?A)f(1-x)=f(x)
(?B)f(1)=1
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)条件(?@)をみたす多項式f(x)の次数は４以下であることを示せ。
(2)条件(?@),(?A),(?B)をすべてみたす多項式f(x)を求めよ。

(1)は示せました。
(2)の解答の中で「条件(?A)は、y=f(x)のグラフがx=1/2に関して対称であることを示しており、」という記述が理解できませんでした。
どういうことなのでしょうか？？
No.1322 - 2008/10/10(Fri) 22:03:00
☆ Re: こんばんは＾＾ / ウルトラマン ♂ [近畿] [教育関係者]
亮さん，こんばんわ。

> (2)の解答の中で「条件(?A)は、y=f(x)のグラフがx=1/2に関して対称であることを示しており、」という記述が理解できませんでした。

上記の件ですが，まず確認です。
「y=f(x)が直線x=aに関して対称」⇔「任意の実数xに対してf(a+x)=f(a-x)が成立」
に関しては，OKでしょうか？
No.1325 - 2008/10/10(Fri) 23:42:44
☆ ども。。 / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
OKです！！
No.1336 - 2008/10/11(Sat) 16:22:46
☆ Re: こんばんは＾＾ / ウルトラマン ♂ [近畿] [教育関係者]
亮さんこんばんわ。
では次のステップです。

f(a+x)=f(a-x)……?@
において，a+x=tつまりx=t-aとおくと，
?@⇔f(t)=f(a-(t-a))
　⇔f(t)＝f(2a-t)
となりますね。

つまり，
「y=f(x)がx=aに関して対称」
⇔「任煮の実数tに対してf(t)=f(2a-t)が成立」（★）
となります。

東北大の問題では，（★）の部分において
「2a=1つまりa=1/2」
となっただけの話です。

お分かりいただけましたでしょうか？
No.1339 - 2008/10/12(Sun) 01:59:42
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
分かりました！！
ウルトラマン先生ありがとうございました！！
No.1344 - 2008/10/12(Sun) 21:33:25
★ (No Subject) / むむっ ♂ [東海] [再受験生]
こんばんは。数学?T＋A＋?U＋B極選４３発展編の問４

　f(x)=ax＾4＋(b-a)x^3＋(1-2ab)x^2＋(ab-10)x＋2abがg(x)=x^2-4で割り切れるための

　条件をもとめよ。という問題の考え方で理解できない部分があったので教えてください

　。

　具体的には、十分条件の考え方です。一般に‘f(x)がg(x)でもh(x)でも割り切れる⇔

　f(x)がg(x)h(x)で割り切れる’が成り立つためにはg(x)とh(x)が互いに素（一次以上の

　共通因数をもたない）でなければならない。というところです。


　例えば、f(x)=24、g(x)=4、h(x)=6　のとき、上は成り立つと思うのですが、条件であ

　る互いに素に反してしまう・・・　そもそも理解の仕方が間違っているのでしょうか。

　この思考から抜け出せません。
　
No.1306 - 2008/10/08(Wed) 21:10:58
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
むむっさん，こんにちは。

＞一般に‘f(x)がg(x)でもh(x)でも割り切れる⇔　f(x)がg(x)h(x)で割り・・・

のところは，恐らくは，
例えば，　f(x)=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x+2)　は，x^2-1 でも x^3-1 でも割り切れるが，

だからといって　(x^2-1)(x^3-1) では割り切れないでしょ

ということを言いたいのだと思います。

ただ，この問題を解く上で，何故このようなことを持ち出すのか，その意図がよくわかりません。
No.1315 - 2008/10/10(Fri) 14:50:42
☆ Re: / むむっ ♂ [東海] [再受験生]
解答ありがとうございます。

g(x)とh(x)が互いに素であるときには成立するという根拠が理解できません。なぜ互いに

素であることが条件なのでしょうか？
No.1321 - 2008/10/10(Fri) 21:11:17
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

g(x)とh(x)は『互いに素である』か『互いに素ではない』かのどちらかですよね。
(何故こんな区分を持ち出してきたのかは私にはわかりません)
『互いに素ではない』ときを考えてみます。

極端な話
　　f(x)=(x-1)^10(x+1)^10(x-2)^15 なら
　g(x)=(x-1)^2(x+1)^3 で割り切れるし，h(x)=(x+1)^3(x-2)^2 でも割り切れますし，
　g(x)h(x)=(x-1)^2(x+1)^6(x-2)^2 でも割り切れます。
つまり，この場合には g(x)とh(x)は互いに素ではないけれど，
f(x)がg(x)でもh(x)でも割り切れる⇒f(x)がg(x)h(x)で割り切れる
は成り立ちます。

でも昨日のレスの例のように反例がひとつでもある以上，
命題
『g(x),h(x)が互いに素ではないとき，
　f(x)がg(x)でもh(x)でも割り切れる⇒f(x)がg(x)h(x)で割り切れる』
は偽ということになります。

昨日のレスにも書きましたが，その本の筆者の意図がわからないので，私は見当はずれのことを言っているかもしれませんことをご容赦ください。
No.1326 - 2008/10/11(Sat) 00:53:41
☆ Re: / むむっ ♂ [東海] [再受験生]
あぁー！！！どこを考え違えていたのかわかりました。割り切れるすべての場合を網羅する必要はないんだ。スッキリしました。
No.1334 - 2008/10/11(Sat) 11:32:34
★ 図形と方程式 / Genius ♀ [高校3年生]
｢2009 センター対策 重要問題演習数学標準編｣の数?Uの範囲で授業を聞いてもわからないところがあったので質問させて下さい。
問)xy平面上に２点A(-9,-2),B(3，2)がある。線分ABを3：1に内分する点をC,3：1に外分する点をDとする
(1)点Cの座標は(ア,イ),点Dの座標は(ウ,エ)であり,2点C,Dからの距離の比が1：2である点の軌跡をKとすると,Kは中心がE(オカ,キ),半径がク√(ケコ)の円である。
(2)(1)のとき,円K上に動点Pをとる。
直線PDが円Kの接線となるとき,?儕BDの面積はサシ√スである。
また,点Rを?僂DPの重心とするとき,点Rは円x^2+y^2-セx-(ソタ)y/チ+ツ/テ=0上にある。

(1)は内分外分の公式からC(0,1),D(9,4)
K(X,Y)とおき条件より式を立てKの方程式から求めるとE(-3,0)となり半径2√10となりました。
(2)は直線PDの方程式をy=m(x-9)+4としやろうとしたのですが計算がややこしい式になってしまいストップしてしまいました。
この先の説明をぜひお願いします。
No.1297 - 2008/10/05(Sun) 20:16:15
☆ Re: 図形と方程式 / X [社会人]
Geniusさん、こんばんは。

これは点Pの座標を先に求める方針で行きましょう。
(後半でも使いますので)
P(a,b)と置くと
まずPは円K上の点ですので
(a+3)^2+b^2=(2√10)^2 (A)
次に
DE^2=(9+3)^2+4^2=160 (B)
BP^2=(円kの半径)^2=40 (C)
で△PDEについて三平方の定理により
DE^2=BP^2+PD^2 (D)
(B)(C)(D)より
160=40+{(a-9)^2+(b-4)^2} (E)
(A)(B)を連立して解くと
(a,b)=…

このことと３点B,D,Eが同一直線上にある(確かめて下さい)ことから
△BDEと△PBDの面積を比較することを考えてみましょう。
No.1298 - 2008/10/05(Sun) 20:39:55
☆ Re: 図形と方程式 / Genius [高校１年生]
(A)(B)を連立しては(A)(E)の間違いですか？
(A)(E)を連立しましたがうまく計算ができませんでした
No.1299 - 2008/10/05(Sun) 20:58:27
☆ Re: 図形と方程式 / X [社会人]
ごめんなさい。(A)(E)のタイプミスです。
では(A)(E)を連立して解く方針を書きます。

(A)(E)より
(a+3)^2+b^2=40 (A)'
(a-9)^2+(b-4)^2=120 (E)'
まずa^2,b^2を消去してa,bの一次方程式を導きます。(A)'-(E)'より
24a-72+8b-16=-80
3a-9+b-2=-10
∴b=-3a+1 (F)
後は(F)を(A)'又は(E)'に代入してbを消去しましょう。
No.1301 - 2008/10/06(Mon) 11:51:36
☆ Re: 図形と方程式 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
Genius さん，こんにちは。

＞(2)は直線PDの方程式をy=m(x-9)+4としやろうとしたのですが計算がややこしい式になってしまい

円の接線問題で接点の座標を問われることはあまりありません。
実際にこの問題も，点Pの座標は問われてませんよね。
円の接線問題では，接点の座標を求めずにいかに解決するかということを試験で聞いているのです。

ですから，直線の方程式を　y＝〜　に変形して円の方程式に代入するなどということは入試では殆どしないのです。
計算が煩雑になり，特にセンターはタイムレースですから，この問題なら10分程度で解かなければならず，実戦的でありませんよね。

接点の座標が必要になることもないとは言い切れませんが，その場合は接線の方程式を求めてから円の方程式に代入することなく簡単に求める方法がありますが，今は質問内容からそれますので割愛します。

本問に戻ります。
もちろん絵は書かれていると思いますが，平面座標の問題で絵を描くときの注意としては目分量で構いませんから，目盛りをだいたい守って描くと，これは二等辺三角形じゃないか？とか，この点はこの線分の中点になっているのではないか？　など，問題を解く際のヒントがわかったりします。
この問題を制限時間内で解くには，点BがＥＤの中点になっていることに気付くかどうかにかかっています。

三角形PBDの面積は直角三角形PEDの面積の半分ですね。
No.1302 - 2008/10/06(Mon) 16:09:20
☆ Re: 図形と方程式 / X [社会人]
>>新矢先生へ
こちらの問題文の読み込み不足でフォローをして頂きありがとうございました。

>>Geniusさんへ
返答が遅れてごめんなさい。
又、こちらの問題文の読み込み不足で失礼しました。(2)の後半は前半の結果を
使いません。
従って、直接点Pの座標を求める必要のない新矢先生の解法がベストだと思います。
No.1333 - 2008/10/11(Sat) 10:49:22
★ (No Subject) / チワワ ♀ [四国] [高校3年生]
はじめまして、少しわからない問題があったので質問させてください。数?Vのもんだいなのですが、
nを自然数とするとき
（１）不等式2^n≧1＋ｎ＋｛n（n−2）｝/2が成り立つことを示せ。
（２）（１）の不等式を用いて、極限lim[n→∞]n/2^nを求めよ。
数学的帰納法を使ってとくのだと思うのですが、等号成立などがわかりません
No.1307 - 2008/10/08(Wed) 22:18:16
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
チワワさん，はじめまして。

問題を確認して欲しいのですが，
2^n≧1＋ｎ＋｛n（n−1）｝/2
ではありませんか？
No.1308 - 2008/10/09(Thu) 14:57:40
☆ Re: / チワワ ♀ [四国] [高校3年生]
すみませんでした。そのとおりです。2^n≧1＋ｎ＋｛n（n−1）｝/2でした。
改めて宜しくお願いします。
No.1311 - 2008/10/09(Thu) 17:46:21
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
チワワさん，こんにちは。
でしたら，これは「lim[n→∞]n/2^n　の求め方」の典型問題で，入試でもよく出題されます。

数学的帰納法より簡単な証明法があるのですが，まずは帰納法でやってみましょう。
チワワさんの疑問がどこにあるのかがわかりませんので，最初からやってみますね。

「2^n≧1＋ｎ＋｛n（n−1）｝/2　・・・(A) を示せ」
【I】n=1 のとき
　左辺=2 , 右辺=2 となり，(A)は成立
【II】n=k のとき，
　　2^k≧1+k+{k(k-1)}/2　・・・(1)
が成り立つと仮定する。

ここまではＯＫでしょうか？　ならばこの先を書き込んでみてください。

No.1316 - 2008/10/10(Fri) 16:16:31
☆ Re: / チワワ ♀ [四国] [高校3年生]
ありがとうございます。何とかヒントをもらって解くことが出来ました。（２）もできました。答えを全て教えていただくよりもよかったです。
No.1318 - 2008/10/10(Fri) 18:32:52
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

(1) は二項定理を利用すると，簡単に証明できます。
よろしければ，それでもやってみませんか？
お付き合いいただけるなら，
二項定理ってどんなのでしたっけ？
それを書き込んでみてください。
No.1320 - 2008/10/10(Fri) 20:53:24
★ (No Subject) / ABC [高校１年生]
こんにちは。わからない問題があったので、教えてください。

[問] s²＋ｔ²＝１のとき、ｓ＋ｔのとりうる範囲を求めよ。

解答よろしくお願いします。
No.1276 - 2008/10/02(Thu) 22:53:43
☆ Re: / ABC [高校１年生]
すいませんでした。では改めて質問させていただきます。

[問] s²＋ｔ²＝１のとき、ｓ＋ｔのとりうる範囲を求めよ。（ただし、s,tは０以上の実数）

この問題を考えるとき、次のように考えてみました。

まず、第１象限に、単位円をかく。この単位円において、点をとっていくと、(0,1)と(1,0)の点では、ｓ＋ｔ＝１となるが、点を動かしていくと、それよりも長くなる。（s,t,1を三辺とする直角三角形ができるから。)　すると（√2/2,√2/2)のとき最大になる（長さ１の辺からそれに対する頂点までの距離がこのとき、一番長くなるから）。よって最大値は√2,最小値が１。したがって1≦ｓ＋ｔ≦√2

これだと、最大になるときの理由があやふやであるように思えてなりません。他に良い考え方はないでしょうか。解答よろしくお願いします。
No.1292 - 2008/10/04(Sat) 14:44:42
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
ＡＢＣさん、こんばんは。河童です。
投稿基準を満たされたようですので、改めて回答させていただきます。

座標を利用するというのは、非常に優れた考え方です。
せっかく s²＋ｔ²＝１ という条件を単位円として座標平面上に表現したのですから、
ｓ＋ｔ も同じように座標平面上で表現できないものでしょうか。

そこで、以下では、見やすくするために、ｓを ｘ、ｔを ｙ と書き換えて表すことにします。

ｘ＋ｙ を座標平面上に表したいのですが、それには『述語』がありません。
ｘ2＋ｙ2＝１ の方は、『主語』と『述語』が等号で結ばれていますから、単位円の方程式として表現できたわけです。

そこで、無理やり、ｘ＋ｙ＝ｚ と、述語を作ってやりましょう。
なんとなく作為的に感じるかも知れませんが、中学生のときからしばしばやっていることなんですね。

『分からない文字があれば、つべこべ言わずに文字でおけ』

これは、数学の重要な『基本姿勢』ですね。

さて、ｘ＋ｙ＝ｚ としてやることにより、
求めるべき最小値、最大値が、ある直線の方程式の定数として座標平面上に現れました。
ＡＢＣさん、この ｚ の値は、座標平面上では何を表しているのでしょうか。
そして、この直線と、単位円とは、どんな位置関係にあるのでしょうか。


○新矢先生

横レスのような形でわたしが回答してしまいましたが、よろしかったでしょうか。
No.1300 - 2008/10/06(Mon) 01:00:11
☆ Re: / ABC [高校１年生]
ｘ＋ｙ＝ｚよりｙ＝ーｘ＋ｚとなり、ｚは傾きー１の直線の切片となる。このとき、変数ｘ,ｙはｘ²＋ｙ²＝１と満たしている必要があるので、単位円上をうごくことになる。したがって、ｙ＝ーｘ＋ｚは単位円上にとった点を通る直線となる。よって、切片は（0,√2)から(0,1)をとるので,０≦ｚ≦√2、よって、1≦ｓ＋ｔ≦√2になる。

以上のような回答でよろしいでしょうか。
No.1305 - 2008/10/07(Tue) 22:23:20
☆ Re: / ABC [高校１年生]
ありがとうございました。よくわかりました。
No.1313 - 2008/10/09(Thu) 23:31:17
☆ (No Subject) / 河童
あっ、ごめんなさい。
件名がおかしかったため、回答をいったん削除してしまいました。

No.1314 - 2008/10/09(Thu) 23:35:41
★ 複素数と方程式 / いちご ♀ [関東] [高校3年生]
こんにちは、高３のいちごです。
｢2009 センター対策 重要問題演習数学標準編｣の数?Uの範囲で授業を聞いてもわからないところがあったので質問させて下さい。

問い
3次方程式 2x^3+11x^2+2(a-3)x-a=0・・・?@がある。ただし、aは実数の定数とする。
(1)
方程式?@はaの値に関係なく実数解x=ア/イを持つ。
(2)
方程式?@が重解を持つ時、a=ウまたはa=エオカ/キである。


(1)はaについて整理をしていって
(2x-1)(x^2+6x+a)=0となりx=1/2の解を持つ
という解答は理解出来たのですが、

(2)で解答集に
(?@)x^2+6x+a=0が重解を持つとき　　と　　(?A)x=1/2がx^2+6x+aの解である時
のふたつに場合分けしていたのですがその意味が分かりません。
(?@)の時はx=1/2とx^2+6x+aの答えと２つの解が出て来て重解にならないのではと思ってるんですが・・・

長くなりましたが解答よろしくお願いします!!
No.1238 - 2008/09/28(Sun) 19:41:25
☆ Re: 複素数と方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ がお相手いたします．

まず，基本的なところからいきましょう．
３次方程式の解の種類は，
　　(Ａ) ｘ＝ａ，ｂ，ｃ　　　← 重解をもたない
　　(Ｂ) ｘ＝ａ(重解)，ｂ　　← ２重解をもつ
　　(Ｃ) ｘ＝ａ(重解)　　　　← ３重解をもつ
の３つの場合があることはいいですか？
今，この問題では (Ｂ) または (Ｃ) になるようにしなさい，と言っています．
ここまでの話でまだ疑問があれば，そのむね書き込んでください．次に進みます．
No.1239 - 2008/09/28(Sun) 20:18:04
☆ Re: 複素数と方程式 / いちご ♀ [関東] [高校3年生]
こんばんは☆
CORNOさん、よろしくお願いします!!!


なんとなくわかるような気がするんですが…
(B)(C)はそれぞれX軸との交点が２個と１個ってことですよね?
No.1250 - 2008/09/29(Mon) 23:04:13
☆ Re: 複素数と方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞(B)(C)はそれぞれX軸との交点が２個と１個ってことですよね?
　この問題は「方程式」の解の問題ですよね．
　確かに，「方程式」の問題を「関数」や「グラフ」の問題にすり替えて考えることはありますが，
　やみくもに「グラフ」にもっていくことはやめましょう．
　今は，「方程式」のままで解決しましょう．

　与えられた3次方程式が
　　　(２ｘ−１)(ｘ^2＋６ｘ＋ａ)＝０
　と因数分解され，これから
　　　ｘ＝１/２ または ｘ^2＋６ｘ＋ａ＝０ …(*)
　となりました．すると，
　　　(ア) ２次方程式(*) が，ｘ＝１/２ と ｘ＝１/２ 以外の解をもつ　　←２重解の場合
　　　(イ) ２次方程式(*) が，ｘ＝１/２ の重解をもつ　　←３重解の場合
　の２つの場合が考えられます．
　ここまではいいでしょうか？もし，ここまでの話で解けそうだったらやってみてください．
No.1259 - 2008/09/30(Tue) 21:12:54
☆ Re: 複素数と方程式 / いちご ♀ [関東] [高校3年生]
いつもグラフで考えちゃったから複雑になってたんですねΣ(°△°;;
わかりました!!3次方程式の解の種類をもう一度確認しておきます

(ア)x^2+6x+a=0に解を持つ時
判別式をD/4とおいてD/4=0
9-a=0よってa=9

(イ)x^2+6x+a=0がx=1/2を持つ時
1/4+3+a=0
a=-13/4

でいいんですよね?
No.1260 - 2008/09/30(Tue) 21:34:37
☆ Re: 複素数と方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [高校１年生]
答はいいんですが，私の (ア)，(イ) とは逆ですね…
No.1261 - 2008/09/30(Tue) 21:50:07
☆ Re: 複素数と方程式 / いちご
逆でしたか……?

でもあたしの(ア)も二重解を求めていませんか?
No.1262 - 2008/09/30(Tue) 22:35:27
☆ Re: 複素数と方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [高校１年生]
＞　　(ア) ２次方程式(*) が，ｘ＝１/２ と ｘ＝１/２ 以外の解をもつ　　←２重解の場合
＞　　(イ) ２次方程式(*) が，ｘ＝１/２ の重解をもつ　　←３重解の場合
＞の２つの場合が考えられます．
　失礼しました．訂正します．

　　(ア) ２次方程式(*) が，ｘ＝１/２ と ｘ＝１/２ 以外の解をもつ　　←２重解の場合
　　(イ) ２次方程式(*) が，重解をもつ　　←２重解または３重解の場合
　の２つの場合が考えられます．

で，確かに今３重解をもつことは起こりません．
No.1263 - 2008/10/01(Wed) 05:38:31
☆ Re: 複素数と方程式 / いちご
どうして3重解が起こらないのですか?
No.1264 - 2008/10/01(Wed) 08:48:19
☆ Re: 複素数と方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞(ア)x^2+6x+a=0に解を持つ時
＞判別式をD/4とおいてD/4=0
＞9-a=0よってa=9
　このとき，方程式の解を求めると，ｘ＝１/２ の他に，
　　　ｘ^2＋６ｘ＋９＝０　← ａ＝９ より
　から，
　　　(ｘ＋３)^2＝０
　よって，
　　　ｘ＝−３
　となるからです．
No.1266 - 2008/10/01(Wed) 20:41:48
☆ Re: 複素数と方程式 / いちご
なるほど!!わかりました☆

あと質問が多くてごめんなさい
(イ)ゎ3重解ですか?
No.1267 - 2008/10/01(Wed) 23:29:03
☆ Re: 複素数と方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞(イ)x^2+6x+a=0がx=1/2を持つ時
＞1/4+3+a=0
＞a=-13/4
　実際に ａ＝−１３/４ を代入して，どうなるかを確かめるとよいでしょう．
No.1268 - 2008/10/02(Thu) 05:34:17
☆ Re: 複素数と方程式 / いちご
Ｘ＝−５と２
がでてきました｡

でもＸ＝1/2を代入したのに､
どうしてＸ＝１/２は出てこないんですか?
No.1275 - 2008/10/02(Thu) 20:54:08
☆ Re: 複素数と方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞でもＸ＝1/2を代入したのに､
　ａ に １/２ を代入するのですよ．
No.1281 - 2008/10/03(Fri) 18:45:30
☆ Re: 複素数と方程式 / いちご ♀ [関東] [高校3年生]
x^2+6x+a=0
x^2+6x+1/2=0
x=-3±√(9-1/2)
x=-3±√(34)/2

ですか???
1/2ってxの値じゃないんですか?
No.1283 - 2008/10/03(Fri) 20:25:39
☆ Re: 複素数と方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
失礼しました，また書き込みミスをしてしまいました．
ａ に −１３/４ を代入するのです．

＞Ｘ＝−５と２
＞がでてきました｡
　これはどのようにして出てきたのでしょう？
No.1288 - 2008/10/04(Sat) 05:26:17
☆ Re: 複素数と方程式 / いちご ♀ [関東] [高校3年生]
大丈夫です!

x^2+6x-13/4=0
x=-3±√(9+13/4)
x=-3±√(36+13)/2
x=-3±7/2
x=-5、2

というふうに出しました。
No.1293 - 2008/10/04(Sat) 22:15:20
☆ Re: 複素数と方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞x^2+6x-13/4=0
＞x=-3±√(9+13/4)
＞x=-3±√(36+13)/2
＞x=-3±7/2
＞x=-5、2　　　←←←←←←
　最後が違っています．
　４行目は
　　　ｘ＝−３±(７/２)
　ですから，
　　　ｘ＝(−６±７)/２
　　　　＝１/２，−１３/２
　です．
No.1294 - 2008/10/04(Sat) 23:59:45
☆ Re: 複素数と方程式 / いちご
そんな単純な所でミスしてますね(ﾟ□゜)


1/2ちゃんと出てくるんですね!

13/2があるからこれは2重解では無くなるんですね
No.1296 - 2008/10/05(Sun) 12:11:59
★ (No Subject) / ふっこ ♂ [中国] [高校１年生]
Xさん、ありがとうございます。自信になりました。

今、授業では三角比を習っています。そこで出てくるsin（90°−θ）＝cosθというものがいくつかありますが、こうする意図がわかりません。何のための変形ですか？ただ同じものと考えることができるよ、ということでしょうか？
また90°−θのときは三角形を使ってイメージできるのですが、90°＋θや180°−θのときのイメージがわきません。
No.1272 - 2008/10/02(Thu) 13:46:17
☆ Re: / X [社会人]
ふっこさん、こんにちは。では、早速行ってみましょう。

＞＞こうする意図がわかりません。何のための変形ですか？
例えば30°,60°,90°の直角三角形を見た場合
sin30°=cos60°=1/2
が成り立っていますよね？。
これの理屈付け程度の理解で構いません。
No.1290 - 2008/10/04(Sat) 11:36:12
☆ Re: / X [社会人]
＞＞、90°＋θや180°−θのときのイメージがわきません。
恐らく鈍角の三角比の定義でつまづいていると思いますが、まず鈍角の三角比を
直角三角形に直接関連付けるという考えを捨てて下さい。
名前は「三角比」になっていますが、鈍角に拡張した時点で
これは歴史的な出発点が直角三角形であるためにそう呼ばれているだけだ、
というように捉えたほうがいいと思います。
(無論、鋭角の場合は直角三角形で考えた三角比と矛盾しないように、という前提で
理屈が組み立てられていますが。)

慣れないうちは、下のような図(教科書にも描かれていると思います)を実際に手で描いて
鈍角の三角比の値を求める癖をつけましょう。
やりたいことは飽くまで鈍角の三角比の値を鋭角での値に変換することですので。
No.1291 - 2008/10/04(Sat) 12:35:12
☆ Re: / ふっこ ♂ [中国] [高校１年生]
Xさん、遅れてすみません。本当にありがとうございます。

文章では少し難しく感じたのですが、単位円を用いることで解決しました。鈍角になれば第2象限で考えるのですね。とても助かりました。
No.1295 - 2008/10/05(Sun) 09:54:02
★ (No Subject) / ALIVE [高校2年生]
お久しぶりです。またよろしくお願いします。

【問題】2次式F(x,y)=(3y-x+1)^2+x^2-4x+6について次の問いに答えよ。
(1) x,yがすべての実数を取るときF(x,y)の最小値と、それらを与えるx,yの値を求めよ。
(2) x,yが3≦x≦5,0≦y≦1をみたすとき、F(x,y)の最大値および最小値を求めよ。

(1)(2)ともに無事解けたことは解けたのですが自分なりにやり方を変えて解いてみると上手くいかなかったので質問させていただきました。
(2)について、解答(はじめといたときは自分も)ではxを固定してyについての関数とみなして解いています。しかし2変数関数という事はyを固定してxの関数とみなして解いても当然解けるだろうと思いやってみたところ答えが変わってしまいました…。
以下自分なりに作成した解答を載せますので間違っているところをご指摘ください。
[解答]
F(x,y)=(3y-x+1)^2+x^2-4x+6について、yをこていしてxに関しての関数と見ると
F(x,y)={x-(6y+1)/2}^2+(12y+3)/4
ここで軸(6y+1)/2は0≦y≦1より、1/2≦(6y+1)/2≦7/2を動くので
(?@)1/2≦(6y+1)/2≦3のとき
x=3でminより、F(3,y)=9y^2-12y+6=9(y-2/3)^2+2なので
y=2/3でmin、したがって、min:F(3,2/3)=2

3≦(6y+1)/2≦7/2の場合を確かめる以前にすでにこの時点で最小値が3のはずなのに2になってしまっています。

だらだらと長文になってしまいましたがよろしくお願いします。
No.1279 - 2008/10/03(Fri) 02:03:40
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
こんばんわ。
久々に登場します。

yの固定の方ですが、
変形すると、2{x-3(1+y)/2}^2 + 9/2(y^2) -3y + 5/2
となりましたよ。

後はALIVEさんのやり方で、
x=3のとき再び整理して（というか平方完成前の式に代入して）

F(3,y) = 9y^2 -12y + 7

= 9(y-2/3)^2 + 3

よって、この範囲ではALIVEさんの求めた答が候補の一つとして残りますね。
No.1282 - 2008/10/03(Fri) 19:18:17
☆ Re: / ALIVE [高校2年生]
返信ありがとうございます。

また計算ミスやってしまいました・・・。
もう一回自分でもはじめから計算しなおして見ます。

ありがとうございました。
No.1289 - 2008/10/04(Sat) 11:01:55
★ 答がおかしいと思いますの件 / aonakayama ♂ [中国] [塾講師]
aonakayamaです。「１から７までの番号を１つずつ書いた７枚のカードがある。男子
５人、女子２人、合わせて７人がカードの中から、１枚ずつもとに戻さず引いていき、
引いた番号の順番に並ぶとき、両端に女子がくる確率を求めよ」という問題で、
解答は１／２１となっていますが、この解答は「７人の並び方は７！。両端が女子に
なる並び方は２！。残りの５つに男子が並ぶ並び方は５！。これで確率を求めると
（２！×５！）／７！＝１／２１で計算されたものであり、『女子が１と７を引く
場合の数が考慮されていない』と思いますが、どなたか、ご指導をよろしく
お願いいたします。
No.1280 - 2008/10/03(Fri) 17:50:57
☆ (No Subject) / kinopy [塾講師]
aonakayamaさん，こんばんは。

> 両端が女子になる並べ方は2!
はOKですね？
「両端に女子になる」とは「女子が１と７を引く」ことに他なりません。
No.1285 - 2008/10/04(Sat) 03:48:23
☆ Re: 答がおかしいと思いますの件 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
失礼かもしれませんが，aonakayamaさんは大学生でアルバイトで塾講師をされているのでしょうか？
その場合は職業選択欄では「大学生」を選択してくださるようお願いいたします。
No.1287 - 2008/10/04(Sat) 04:02:21
★ (No Subject) / ふっこ ♂ [中国] [高校１年生]
こんにちは。以前質問をさせていただきました、ふっこです。
わからない問題というか確認に近いのですが、学校のプリントでこのような問いがありました。
問，A、B、C、Dの4人を5つのいすがある円卓に座らせる。このとき4人の座り方の総数を求めよ。
僕は4人と「空席」の5つの円順列と考えて（5−1）！としたのですが、この方針は正しいですか？
No.1269 - 2008/10/02(Thu) 12:42:22
☆ Re: / X [社会人]
ふっこさん、こんにちは。

＞＞4人と「空席」の5つ
と考える方針はスマートですね。
その方針で問題ありませんよ。
No.1271 - 2008/10/02(Thu) 12:49:35
☆ Re: / ふっこ ♂ [中国] [高校１年生]
Xさん、ありがとうございます。
間違えて新しいものを作ってしまいました。すみません。
No.1273 - 2008/10/02(Thu) 13:48:03
★ 2次関数の最大と最小（文章題） / シャイア ♀ [近畿] [高校１年生]
こんにちは、初めまして。　シャイアです。

高一の数学の問題で、式がいくら考えても考えても出来ません。
明日数学のテストなので、勉強していたのですが、これだけ全く解き方が分かりません。


問題：周囲の長さが20cmである長方形について、次の問いに答えよ。
(1)　この長方形の面積の最大値を求めよ。また、このとき、長方形はどのような形か。

(2)　この長方形の対角線を１辺とする正方形の面積の最小値を求めよ。


(1)では、縦(y)はx−10ｃｍ、横（x）はy−10ｃｍと出たのですが、合ってないみたいで答えがおかしくなりました。

どなたかお願いしますm(_　_)m
No.1235 - 2008/09/28(Sun) 14:24:27
☆ Re: 2次関数の最大と最小（文章題） / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
シャイアさん，はじめまして
> (1)では、縦(y)はx−10ｃｍ、横（x）はy−10ｃｍ
このこと自体は間違いではありませんが
何をxとしたのかを明らかにし，xだけの式で面積を表しましょう。
No.1236 - 2008/09/28(Sun) 15:06:17
☆ Re: 2次関数の最大と最小（文章題） / シャイア ♀ [近畿] [高校１年生]
はじめまして。　ありがとうございます！

そうなんですか。　ちなみにxを横の長さとしました。

xだけの式で面積を表すとすると、

x(x-10）cm^2ということですか？？
No.1237 - 2008/09/28(Sun) 15:30:39
☆ Re: 2次関数の最大と最小（文章題） / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
遅くなりました。

> x(x-10）cm^2ということですか？？

x(10−x) ですね。
その最大値を求めるのですから
平方完成しましょう。
(2)も式が解れば
平方完成です。
No.1254 - 2008/09/30(Tue) 11:16:28
☆ Re: 2次関数の最大と最小（文章題） / シャイア ♀ [近畿] [高校１年生]
いえいえ＾＾

ありがとうございました！！
解けました！　

また質問させてもらうこともあるかもしれませんが、よろしくお願いします！
No.1265 - 2008/10/01(Wed) 18:24:28
★ (No Subject) / まい ♀ [関東] [高校１年生]
はじめまして。高１のまいです。

秋休みの宿題でわからない問題がありました。


問題：２つの等式a-b=√{3} , ab=1 を満たす正の数a,bがある

(1)a^2+b^2 の値と、a+b の値をそれぞれ求めよ。

(2)x=a^2-√{7}b , y=b^2-√{7}aのとき、x+yの値とx-yの値をそれぞれ求めよ。


わかる方、回答お願いします。
No.1255 - 2008/09/30(Tue) 17:59:59
☆ Re: / X [社会人]
まいさん、こんばんは。

(1)
この問題に似ている次の例題を考えてみます。
例題)
a+b=2,ab=3のときa^2+b^2の値を求めよ。
解)
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2^2-2・3=-2

上の例題と同様に
a^2+b^2
をa-b,abを含む式に変形してみましょう。
又a+bについてですが、直接求めるのではなくてまず
(a+b)^2
の値を求めましょう。これだったら例題の解法と同様の計算ができます。

(2)
(1)の結果からa+b,a^2+b^2の値は分かっていますので
(1)の過程と同様に
x+y
x-y
をa-b,a+b,a^2+b^2で表してみましょう。
No.1258 - 2008/09/30(Tue) 20:47:40
★ (No Subject) / 高３理系生 ♂ [関東] [高校3年生]
[問]tがすべての実数値をとって変化するとき、曲線y=log(x+t)-tの通過する範囲を図示せよ。
答：直線y=x-1上とその下部分
No.1245 - 2008/09/29(Mon) 22:19:23
☆ Re: / 高３理系生 ♂ [関東] [高校3年生]
↑
どう解けば良いかわかりません。どなたかお願いします。
No.1246 - 2008/09/29(Mon) 22:20:44
☆ Re: / X [社会人]
高３理系生さん、こんばんは。

任意の実数tに対し
y=log(x+t)-t (A)
が成立する
⇒tの方程式(A)は実数解を持つ (P)
ですので
f(t)=log(x+t)-t-y (B)
と置いてf(t)の増減を考え、
横軸にt、縦軸にf(t)を取った(B)のグラフ
がt軸と交わる条件(これを(R)とします)
を求めましょう。

但し、一般に命題(P)の逆は必ずしも成立しませんので最後に
「(B)のグラフをt軸と交わるよう動かすと、t軸との交点は任意に取れるので
命題(P)の逆も成立する。」
という意味の文言を必ず付け加えましょう。
No.1247 - 2008/09/29(Mon) 22:51:14
☆ Re: / 高３理系生 ♂ [関東] [高校3年生]
返信ありがとうございます！！

わからないところがあって…
f(t)=log(x+t)-t-y(A)　のy(A)ってなんですか？？

おねがいします！
No.1248 - 2008/09/29(Mon) 22:59:54
☆ Re: / X [社会人]
ごめんなさい、単なるタイプミスです。
No.1247を修正しましたので再度ご覧下さい。
No.1251 - 2008/09/29(Mon) 23:05:08
☆ Re: / 高３理系生 ♂ [関東] [高校3年生]
方針はわかりました！！
では・・・
f(t)=log(x+t)-t-y
を微分して増減をしらべれば良いんですか？
No.1252 - 2008/09/29(Mon) 23:17:36
☆ Re: / X [社会人]
その通りです。
No.1253 - 2008/09/30(Tue) 08:08:11
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