 | こんばんは(おはようございます？）。質問させてください。
問題.座標平面上に2点O(0,0),A(2,4)と円x^2+y^2=64がある。また、Pをこの円周上とし、2点P,Aを通る弦をPQとする。
点Pが円周上を動くとき、弦PQの中点をMとして、動点Mの軌跡の方程式を求めよ。
解答ではまず弦PQがAを通ることから、a(x-2)+b(y-4)=0…?@とおける。
またOMはbx-ay=0…?Aとおける。
・・・・・・
として議論が続いているのですがまず?@?Aがどこから出てきたのかが分かりません。
a,bとはなんなのでしょうか？？
他の分野・単元は多少疑問点があっても演習量を重ねていく内につぶれていくのですが軌跡はどうも納得いかない点が多いです。
この問題にも関連しているのですが、交点の軌跡を求めるときなどに?@条件式がtを含む式であれば、tが存在するようなx,yの条件を求める。
?Axまたはy=0のときを調べる。?Bxまたはy≠0のときを調べる。
というような一連の流れを暗記しようとはしていないのですが覚えてしまっているようです。でも実際なんで?Aの操作をするのか？などを問われると答えられません。
最後の方がごちゃごちゃしてわかりにくい文になってしまいましたがよろしくお願いします。
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No.1197 - 2008/09/23(Tue) 03:59:36
| ☆ Re: / londontraffic ♂ [教育関係者] | | |  | ALIVEさん，おはようございます．
２年生ということですが，ベクトルの学習は終わっていますか？
ベクトルの学習が終わっているならば別の説明ができますが，とりあえず数IIでの説明をします．
まず
>a(x-2)+b(y-4)=0
からです．
点(2,4)を通り傾き-b/aである直線の方程式が，y-4=-b/a(x-2)であることはわかりますよね．
これを整理すると上の式になります．
ただ，何故傾きをmとしてy-4=m(x-2)としていないかというと，x=pの形すなわちx軸に垂直の直線がy-4=m(x-2)の形で表すことができないからです．
次に
>bx-ay=0
です．
直線OMは直線PQに垂直ですから，その傾きをnとすると -b/a×n=-1すなわちn=a/bとなります．
OMは原点を通りますから，y-0=a/b(x-0) これを整理するとbx-ay=0が得られます．
ここまでいかがですか？
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No.1198 - 2008/09/23(Tue) 07:42:25 |
| ☆ Re: / ALIVE [高校2年生] | | | | 返信ありがとうございます。
ベクトルは一応空間まで一通りやりました。
二つの式については理解しました。
その2式を導くためにそんな過程が必要だったのですね…(汗
解答では、いきなり二つの式が登場していたのでてっきり一発で出るものだと思っていました。
ただ一つ疑問なのがx軸に垂直である事も考慮しなければいけないという事がどこから読み取れるのでしょうか？PQは円上を動くからx軸に垂直になる事もあるという事でしょうか？
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No.1199 - 2008/09/23(Tue) 10:27:26 |
| ☆ Re: / londontraffic ♂ [教育関係者] | | | | とりあえず理解できてもらってよかったです．
>ただ一つ疑問なのがx軸に垂直である事も考慮しなければいけないという事がどこから読み取れるのでしょうか？PQは円上を動くからx軸に垂直になる事もあるという事でしょうか？
受験する大学のレベル（求められる解答のレベル）が高いと思われるならば，常に直線の形はy=mx+nとx=mのタイプを頭に入れておいた方がよいでしょう．
仰るとおり，作図すればx軸に垂直なタイプを考慮した方よいと思います．
>その2式を導くためにそんな過程が必要だったのですね…(汗
>解答では、いきなり二つの式が登場していたのでてっきり一発で出るものだと思っていました。
本当は一発で出ますよ．
>ベクトルは一応空間まで一通りやりました。
とのことなので，直線のベクトル方程式を利用してみましょう．
直線のベクトル方程式にはいくつかのタイプがありますが，法線ベクトルを利用したタイプ
「vec{n}に垂直で，点A(x_1,y_1)を通る直線上に点Pがあるとき，vec{n}･vec{AP}=0が成り立つ」
を使うと瞬殺です．
vec{n}=(a,b)，P(x,y)とすれば，vec{n}･vec{AP}=0 ⇔ a(x-x_1)+b(y-y_1)=0
となり，a(x-2)+b(y-4)=0をすぐに導くことができます．
【つまりa,bはベクトル(a,b)と考えると，法線ベクトルとなっています】
また，いくつかの教科書には以下のような記述があります．
「２直線 a_1x+b_1y+c_1=0 a_2x+b_2y+c_2=0 がある．この２直線が
平行であるための必要十分条件はa_1b_2-a_2b_1=0
垂直であるための必要十分条件はa_1b_1+a_2b_2=0」
ALIVEさんのお持ちの教科書には載っていますかね．
これを利用すれば，(a,b)に垂直なベクトルの１つは(b,-a)であることから bx-ay=0 もすぐに出てくるでしょう．
２つのタイプの直線を考えるのが面倒であれば，ax+by+c=0（a(x-x_1)+b(y-y_1)=0）として処理することも良い選択肢だと思います．
ただ，未知数が１つ増えるというデメリットもありますが・・・
ここまでよろしければ，次回は最後の話をしましょう．
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No.1201 - 2008/09/23(Tue) 16:48:19 |
| ☆ Re: / ALIVE [高校2年生] | | | | 詳しい解説ありがとうございます。
あげてくださった公式は全て触れていたものなのに瞬時に出てこなかったとは恥ずかしい限りです…（汗
もっともっと演習量を積んで色々な解法を身につけていかなくてはと痛感させられました。
上の色々な方法で実践してみたところ解説していただいた部分については疑問点はなくなりました。
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No.1205 - 2008/09/23(Tue) 18:46:00 |
| ☆ Re: / londontraffic ♂ [教育関係者] | | | | はい．ではラストのところです．
>一連の流れを暗記しようとはしていないのですが覚えてしまっているようです。でも実際なんで?Aの操作をするのか？などを問われると答えられません。
例えばx=2t,y=3tであるときALIVEさんは?@〜?Bを気にしますか？
何も根拠なしに議論することは無駄であることをALIVEさんはわかっているし，そうしないだろうと思います．
おそらくALIVEさんが経験してきたのは，「あてはまらないことがある」＝「場合分けせざるを得ない」経験が多かったからではないでしょうか．
今回の問題で ・y=m(x-2)+4 ・x=n
と場合分けした場合，解答例の様にy=m(x-2)+4と垂直な直線を考えるならば，mキ0とm=0で（さらに）場合分けをせねばなりません．
ただそれは答案を作っていく際に気がつくことであり，「事前に予測できる」ようになるのは受験生になったときだと思います．
・・・未だに気が付かずに過ごしている社会人もいますが（汗）・・・
>他の分野・単元は多少疑問点があっても演習量を重ねていく内につぶれていくのですが
今回のALIVEさんとのやりとりで，暫くすれば軌跡もそうなると私は感じましたよ．
心配ないと思いますけどね(^^)
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No.1207 - 2008/09/23(Tue) 21:00:18 |
| ☆ Re: / ALIVE [高校2年生] | | | | なるほど！?@〜?Bの操作をやっていた理由が今はじめて分かりました(^^;
今まで解いてきた場合わけの必要な交点の軌跡に関する問題をもう一度解きなおしてみたところ根本から理解できました。やはり何のヒントも見ずに解けるのは気持ちがいいですね。長い間疑問に思っていたことが今回自分の持っている知識と結びついたような気がします。
本当に勉強になりました。ありがとうございます。
そしてこれからもよろしくお願いします(^^;
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No.1209 - 2008/09/23(Tue) 23:53:13 |
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