 | こんばんは。
ここでは、∫(下限,上限)です。
関数f(x)が次の等式を満たすとき
f(x)＝x2−x∫[0,1]f(t)dt＋2∫[1,x]f'(t)dt
(1)f(x)は2次関数であることを示せ。
(2)f(1)＝1−aであることを示せ。
(3)f(x)を求めよ。
ですが、答えを教えて欲しいのではなく、すこし疑問に思うところがあるのです。
(1)で与式を
f(x)＝x2−x∫[0,1]f(t)dt＋2{f(x)−f(1)}
と変形すると、これを整理して、
f(x)＝−x2＋x∫[0,1]f(t)dt＋2f(1)
ここで、x∫[0,1]f(x)dt＋2f(1)が定数であることを考えると明らかに2次関数ですよね？
(2)に移って、
f(1)＝−12＋x∫[0,1]f(t)dt＋2f(1)
を整理して、
f(1)＝1−x∫[0,1]f(t)dt
となり、x∫[0,1]f(t)dtをaとおけば示されます。
本題はここからなのですが、
(1)で与式を、両辺をxで微分すると、
f'(x)＝2x−∫[0,1]f(t)dt＋2f'(x)
これを整理して、
f'(x)＝−2x＋∫[0,1]f(t)dt
両辺を積分して、
f(x)＋C1＝−x2＋C2＋x∫[0,1]f(t)dt＋C3
ここでC1〜3は積分定数ですがこれらを0としてf(1)を考えると、
f(1)＝−12＋∫[0,1]f(t)dt
となって、(2)が解けません。
後者の方法はどこがまずいのでしょうか・・・
※↓に示したとおり、訂正しておきました。
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No.1128 - 2008/09/15(Mon) 22:15:41
| ☆ Re: 定積分の問題 / ness ♂ [甲信越] [高校１年生] | | | | 恥ずかしながら、転記の際に誤りがありました。
与式は
f(x)＝x2−x∫[0,1]f(x)dt＋2∫[1,x]f'(t)dt
ではなく、
f(x)＝x2−x∫[0,1]f(t)dt＋2∫[1,x]f'(t)dt
です。また、ダッシュ記号が見えにくいですが、ご了承下さい。
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No.1129 - 2008/09/15(Mon) 22:17:39 |
| ☆ Re: 定積分の問題 / 与一 [大学生] | | | | 率直に答えを言うと、積分定数は０ではありません。（勿論、０になる場合もありますが）
積分定数は文字通り定数であり、そこには何か意味のある数が入っていて、その中身を自由を決めて良いものではありません。
f(x)＝−x2＋x∫[0,1]f(t)dt＋2f(1)
f(x)＋C1＝−x2＋C2＋x∫[0,1]f(t)dt＋C3
上の2式はnessさんが問題から求めた正しい式です。
この2つを見比べれば、積分定数がいくつになるか一目瞭然ですね。
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No.1143 - 2008/09/17(Wed) 08:07:56 |
| ☆ Re: 定積分の問題 / ness ♂ [甲信越] [高校１年生] | | | | 返信ありがとうございました。
C1＝0、C2＝0、C3＝2f(1)とおけば、同じ式になるのは分かりました。
こういう風に見比べないと積分定数が決定できないと言うことは、実質的には後者の方法だけでは解けないということでしょうか？
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No.1146 - 2008/09/17(Wed) 21:02:10 |
| ☆ Re: 定積分の問題 / 与一 [大学生] | | |  | そうですね。この方法では解答まではたどり着けません。
微分して、積分すると、定数項が隠れてしまうので、何か理由がない限りはこのような操作はするべきではないでしょう。
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No.1149 - 2008/09/18(Thu) 10:48:22 |
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