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★ 空間ベクトル / 麻美 ♀ [関東] [高校3年生]
　もう１問お願いします。

　１辺の長さが１の立方体ＯＡＤＢ−ＣＥＦＧにおいて，
vec{OA}=vec{a}，vec{OB}=vec{b}，vec{OC}=vec{c}とおく。

　また、線分ＢＥ上に点Ｈを、ＯＨ⊥ＢＥとなるようにとるとき

　（１）vec{OH}をvec{a}，vec{b}，vec{c}を用いて表せ。

　（２）直線ＯＨと平面ＢＧＦＤとの交点をＰとするとき，vec{OP}をvec{a}，vec{b}，　　　vec{c}を用いて表せ。

　＜考え方＞

　（１）vec{BE}=vec{a}-vec{b}+vec{c}

３点Ｂ，Ｈ，Ｅは一直線上にあるから，vec{BH}=k・vec{BE}

vec{OH}-vec{OB}=k・(vec{a}-vec{b}+vec{c})

vec{OH}=k・vec{a}+(1-k)・vec{b}+k・vec{c}

よって，vec{OH}・vec{BE}=0より，

　　　 解くと，k=1/3となり，　

vec{OH}=1/3・vec{a}+2/3・vec{b}+1/3・vec{c}となりました。

（２）３点Ｏ，Ｈ，Ｐが一直線上にあるから， vec{OP}=u・vec{OH}

vec{OP}=u・{1/3・vec{a}+2/3・vec{b}+1/3・vec{c}}

また，Ｐは平面ＢＧＦＤ上にあるから，

　　　 vec{OP}=vec{b}+ｓ・vec{a}+ｔ・vec{c}

として，係数比較をして求めればよいのでしょうか？
No.1035 - 2008/08/30(Sat) 19:39:35
☆ Re: 空間ベクトル / kinopy [近畿] [塾講師]
麻美さん，こんばんは。kinopyです。

私が見る限り正しいです。
No.1039 - 2008/08/31(Sun) 03:32:53
☆ Re: 空間ベクトル / 麻美 ♀ [関東] [高校3年生]
　kinopyさんありがとうございます。

　パソコンが壊れてしまったので遅くなってしまいました。

　すみませんでした。
No.1116 - 2008/09/15(Mon) 01:47:26
★ (No Subject) / たかし [高校3年生]
お願いします。

x,yを整数としてa=5x+4y,b=6x+5yとおくとき次を証明せよ。
(1)a,bの最大公約数とx,yの最大公約数とは相等しい。
(2)4/5<r<5/6を満たすどんな有理数rもx,yを適当に選べば、r=a/bと表せる。
No.1099 - 2008/09/13(Sat) 23:27:13
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
たかしさん、はじめまして。河童です。

どのようにたかしさんを導けばよいのか悩みましたが、
まずは、与えられた等式から分かることを私が列挙しますので、
それが分かるかどうかをお答えください。

ａ＝ ５ｘ＋４ｙ　より、ａは、ｘとｙの最大公約数を約数にもつ。

ｂ＝ ６ｘ＋５ｙ　より、ｂは、ｘとｙの最大公約数を約数にもつ。

よって、ｘとｙの最大公約数は、ａとｂの公約数である。


さあ、どうでしょうか。
No.1104 - 2008/09/14(Sun) 04:36:11
☆ Re: / たかし [高校3年生]
ここまではわかりました。

ありがとうございます。
No.1106 - 2008/09/14(Sun) 07:28:03
☆ Re: / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
たかしさん、こんにちは。

これが分かれば、証明すべき事柄を振り返ってみましょう。
ａとｂ、ｘとｙ　に関して対等な表現がしてありますね。
ですから、ｘとｙ についても同様な議論をしてみましょう。
そのためには何をすべきでしょうか。
No.1110 - 2008/09/14(Sun) 16:41:59
★ 導関数 / ALIVE [高校2年生]
こんにちは。また質問させていただきます。

問題.u,vはxの関数でy=uvとする。
このとき、y´=u´v+uv´が成り立つ事を証明せよ。

解答ではy=uvから?凉/?凅={(u+?冰)(v+?况)-uv}/?凅　・・・

となっていましたが、基本事項として導関数の部分に載っているような
y=kuのとき?凉/?凅={k(u+?冰)-ku}/?凅
という式からどうして成り立つのかが分かりません。
yが?凉/?凅となるのは「xの増加量分のyの増加量」と考えてなんとなく分かりましたが、右辺が理解できません。
きっとこれが理解できれば問題も理解できるのだと思うのですが…。

よろしくお願いします。
No.1087 - 2008/09/09(Tue) 19:20:15
☆ Re: 導関数 / 与一 [大学生]
y=f(x)、u=g(x)、v=h(x)とする。

?凉
=f(x+?凅) - f(x)
=g(x+?凅) * h(x+?凅) - g(x) * h(x)
=(u+?冰)(v+?况) - uv
No.1089 - 2008/09/09(Tue) 22:29:57
☆ Re: 導関数 / ALIVE [高校2年生]
すみません。返信遅れてしまいました。

この式を良く考えてみたのですが?凉=f(x+?凅) - f(x)という部分から分かりません…。
何故yの増分をf(x+?凅) - f(x)と表せるのでしょうか？
No.1097 - 2008/09/13(Sat) 04:14:25
☆ Re: 導関数 / 与一 [大学生]
>何故yの増分をf(x+?凅) - f(x)と表せるのでしょうか？

?凉はｙの増加量です。
（ｙの増加量）は(増加後のｙ)-(増加前のｙ)で求めることができます。

よって、質問された式は以下を表していています。
（増加後のｙ）=f(x+?凅)
（増加前のｙ）=f(x)


〜以下、説明〜

今、点（x,y）から?凾?,?凾凾ｾけ増加したとすると、
点(x,y)から点(x+?凅,y+?凉)へ増加していることになります。

増加前のｙはｙです、つまりf(x)のことです。
増加後のｙは、x座標(x+?凅)より、f(x+?凅)だと分かります。y+?凉=f(x+?凅)ということもできますね。
No.1100 - 2008/09/14(Sun) 02:05:27
☆ Re: 導関数 / ALIVE [高校１年生]
そういうことだったのですか。
増加前がf(x)というのが何故か思い浮かびませんでした・・・。

これは確か数三の微分の公式ですよね？
早い段階で公式暗記を避ける事ができてよかったです。ありがとうございました。
No.1101 - 2008/09/14(Sun) 02:49:50
★ 御礼の件 / aonakayama ♂ [中国] [塾講師]
ＣＯＲＮＯさん、早速のご指導ありがとうございます。ご指摘の通り、原文は「いきなり
４連勝すれば・・・」のニュアンスがありそうな文章ですし、またそれ以外は１／８に
なりそうもありませんネ。生徒さんが持ってきた問題集での問題で、生徒さんには
「明日返事をします・・」と言ってたので、大変助かりました。改めて御礼申し上げます。
No.1096 - 2008/09/11(Thu) 22:23:47
★ 教えてください / aonakayama ♂ [中国] [塾講師]
数Ａの問題集の確率の問題で「野球の日本シリーズのように、先に４勝したチームが
優勝とする。ただし引き分けはなし。今ＡとＢの２チームがお互い勝つ確率が１／２
とした場合、◎どちらかが４連勝して優勝する確率を求めよ。」というのがありました。
?@４試合で４連勝　?A最初負け、次から４連勝する場合　?B第一試合と第二試合に負け
次から４連勝する場合　?C第一試合から第三試合まで負けそれから４連勝する場合
の４つの場合分けが出来、?@は（１／２）＾４　?Aは（１／２）＾５　
?Bは（１／２）＾６　?Cは（１／２）＾７　の確率になると思い、それらの和にＡ，Ｂの
２チームの意味で２を掛け　結局２×（１５／１２８）＝１５／６４が答だと思いますが
解答は１／８でした。どこが間違っているでしょう、または別の考え方を教えて
下さい。　
No.1094 - 2008/09/11(Thu) 17:11:00
☆ Re: 教えてください / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，最近楽しいことの少ない ＣＯＲＮＯ です．

＞２×（１５／１２８）＝１５／６４が答だと思います
　正直言って，私も全く同じように考えました．
　で，「この問題の出典は何ですか？ 問題文を一言一句変えずに書き込んでみてください」といういつものパターンを書き込もうと思っていました．
　ですが，いきなり４連勝して終わる場合だと １/８ になることに気がつきました．
　つまり，
　　　　２×(１/２)^4＝１/８
　です．
　確率や場合の数の問題では，問題文の意味をとることがポイントになることがあります．
　これもそうかな，と思いました．どうでしょうか？
No.1095 - 2008/09/11(Thu) 20:46:32
★ 無理関数 / 高 [高校2年生]
数３を勉強していてちょっと疑問があったので教えてください。よろしくお願いします。
基本的な事かもしれませんが、「無理関数のグラフを書け」という問題が易しめの問題集によくありますが、なぜルートの中は０以上の数じゃないといけないのですか？
中学生までの範囲なら、まだ複素数を習っていないのでルートの中に負の数を入れることはできないと思いますが、複素数を習って、ルートの中が負の数であっても対応できるようになった高校の数学でなら、この無理関数のルートの中が負であってもいいのではないですか？
複素数がどういう問題に活用できて、どういう問題に使えないのか少し混乱してしまったので、教えてください。お願いします。
No.1076 - 2008/09/08(Mon) 23:36:13
☆ Re: 無理関数 / 高 [高校2年生]
返信ありがとうございます。
ということは単にルートの計算をする問題は複素数を使えるけど、グラフ問題でルートを扱う場合は複素数という概念は使えないという事でいいのでしょうか？
No.1078 - 2008/09/09(Tue) 00:57:32
☆ Re: 無理関数 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
高さん，こんにちは。
回答資格のないものが回答してしまい，混乱させてしまいましたことをお詫びします。

グラフというのは，横軸と縦軸と原点からなっていますが，縦軸も横軸も実数の数直線です。
虚数は実数ではありませんから，数直線上にとることはできません。
ですから，例えば　(x,y)=(2,3-i)　をグラフ上に点としてとることはできません。　

＞複素数がどういう問題に活用できて、

原則としては，２次・３次・４次方程式に関する問題は問題文中に断りがないかぎり虚数解まで考慮します。
数IIのそれ以外の単元（図形と式，三角指数対数，微積分）は虚数は関係ありません。
数Bのベクトルも関係ないです。数列については入試問題レベルでは虚数が登場するものもありますが，今は気にしなくていいかと思います。

実数と虚数をあわせて複素数といいます。
1+√2 は虚数ではありませんが，複素数です。言葉の意味をしっかりと押さえてください。
No.1085 - 2008/09/09(Tue) 14:42:21
☆ Re: 無理関数 / 高 [高校2年生]
複素数と虚数の定義も少し自分のなかで曖昧になってしまっていたみたいですね。
ありがとうございます！
数３や数Ｃでも基本的には虚数は出てこないんでしょうか？？
No.1088 - 2008/09/09(Tue) 20:53:17
☆ Re: 無理関数 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

数IIIや数Cにも，教科書レベルでは虚数は出てきません。

複素数平面を学習しなくなった現行課程では，いったい何のために虚数なんてものを考える必要があるのかがわからないですね。
理系ならば大学でのお楽しみということで。
No.1092 - 2008/09/09(Tue) 23:28:44
☆ Re: 無理関数 / 高 [高校2年生]
ありがとうございます！
とてもすっきりしました☆
No.1093 - 2008/09/10(Wed) 20:29:59
★ すいません、二問です・・・。 / krain ♂ [高校１年生]
どうも、こんばんは。
自分はここを使うのは二回目です。お願いします。


さっそくですが、わからない問題が二問ほどあります。
三日くらいかけたのですがあまり理解できないです・・・・。


問１
関数y=2(x²-3x)²-5(x²-3x)+3について次の問題に答えよ。
(1)x²-3x=tとする。「xは0以上、4以下」のとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)yをxで表し、「xは0以上、4以下」でのyの最大値と最小値、および、そのときのxの値をそれぞれ求めよ。



問２
一の位が２である２桁の自然数で、十の位と一の位の和を８倍しても、もとの数より小さいものを求めよ。






この二問です。お願いします・・・。
No.1074 - 2008/09/08(Mon) 23:19:21
☆ Re: すいません、二問です・・・。 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。
｢書き込まれる方へのお願い｣をご再読の上，ルールを守ってご質問ください。
No.1075 - 2008/09/08(Mon) 23:20:51
★ (No Subject) / AAA [高校１年生]
こんにちは。整数問題でわからないところがあるので、回答よろしくお願いします。

[問]整数a,b,c,dが等式a²＋ｂ²＋ｃ²＝ｄ²を満たすとする。ｄが２の倍数でも３の倍数で
　　ないならば、a,b,cのうち少なくとも１つは６の倍数であすことを示せ。

僕は次のように考えました。
　
ｄが２の倍数でないことと、３の倍数でないことでわけて考える
まず、ｄは２の倍数ではないので、ｄ≡１(mod2)、よってｄ²≡１（mod2)
?@よりa²＋ｂ²＋ｃ²≡１（mod2)…?@
?@）a,b,cのうち２の倍数がないとき
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡１²＋１²＋１²（mod2)　
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡１（mod2)
　　これは?@を満たすので適している

ここまで考えて思ったのですが、もし?@）が成り立ってしまうと、問題文の中にある、少なくとも１つが６の倍数になるというのを満たさなくなってしまいます。
どこか考え方の問題があるのでしょうか。教えてください。
No.975 - 2008/08/26(Tue) 23:40:38
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
そこまでは問題ないと思いますよ。
まだ、「ｄが３の倍数」という条件を考えてませんからね。そこできっと、不適になるのでしょう。
No.996 - 2008/08/27(Wed) 20:05:51
☆ Re: / AAA [高校１年生]
そこで、続きを考えてみました。

?A）a,b,cのうち２の倍数が１つであるとき
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡１²＋１²＋０²（mod2）
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡０
　　これは?@をみたさないので不適

?B）a,b,cのうち２の倍数が２つであるとき
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡１²＋０²＋０²（mod2）
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡１
　　これは?@をみたすので適する

?C）a,b,cのうちすべて２の倍数であるとき
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡０²＋０²＋０²（mod2）
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡０
　　これは?@をみたさないので不適


次にdは３の倍数でないのでd≡±１（mod3）,よってｄ²≡１（mod３)
したがってa²＋ｂ²＋ｃ²≡１（mod３)…?A
?X）a,b,cのうち３の倍数がないとき
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡（±１）²＋（±１）²＋（±１）²（mod３)
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡０（mod３)
　　これは?Aをみたさないので不適

?Y）a,b,cのうち３の倍数が１つであるとき
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡（±１）²＋（±１）²＋０²（mod３)
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡２（mod３)
　　これは?Aをみたさないので不適

?Z）a,b,cのうち３の倍数が２つであるとき
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡（±１）²＋０²＋０²（mod３)
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡１（mod３)
　　これは?Aをみたすので適する

?[）a,b,cのうちすべて3の倍数であるとき
a²＋ｂ²＋ｃ²≡０²＋０²＋０²（mod３)
　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡０（mod３)
　　これは?Aをみたさないので不適

以上より、２の倍数に関しては、?@）あるいは?B）のとき、３の倍数に関しては?Z）のときa²＋ｂ²＋ｃ²＝ｄ²を満たす
?@）と?Z）をみたすとき、a,b,cはすべて奇数で、３つのうち２つが３の倍数になる…?B
?B）と?Z）をみたすとき、a,b,cのうち２つが６の倍数で１つが奇数、もしくは、a,b,cのうち１つが６の倍数、１つが偶数、１つが３の倍数…?C


ここで、?Cのときは題意を満たしているのですが、?@のときは題意を満たしません。
考え方のどこが間違っているのでしょうか。
No.1028 - 2008/08/30(Sat) 12:38:43
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。
mod6 で考えた方が解きやすいような気もしますが，
考え方のどこが間違っているか？というご質問ですので，それについて回答します。

＞ｄは２の倍数ではないので、ｄ≡１(mod2)、よってｄ²≡１（mod2)
＞a²＋ｂ²＋ｃ²≡１（mod2)…?@
＞?@）a,b,cのうち２の倍数がないとき
＞　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡１²＋１²＋１²（mod2)　
＞　　a²＋ｂ²＋ｃ²≡１（mod2)
＞　　これは?@を満たすので適している

これは場合わけをしたに過ぎません。modを使わず日本語で書いてみると，

ｄは奇数なので，d^2 は奇数
よってa^2+b^2+c^2 は奇数
　(i) a,b,c がすべて奇数の場合

AAAさんの解答はここまでをmodで表しただけで，
肝心かなめの，じゃあその場合の　a^2+b^2+c^2=d^2 をみたすようなa,b,c の条件を全く考えていないのです。　
例えば，a=1,b=3,c=5 なら　a^2+b-2+c^2=35 となり，dは整数にすらなりませんね。
No.1073 - 2008/09/08(Mon) 16:36:52
★ (No Subject) / シロ ♀ [関東] [社会人]
こんばんわ。また、質問させてください。

問　２xy−x−２y＋１を因数分解すると[エ]となる。したがって、
　　
　　２xy−x−２y＋１＝６を満たす自然数　x、y　の値の組(x,y)について

　　x＋yのとり得るすべてを求めると、　x＋y＝[オ]である。

という問題です。

[エ]は、普通に因数分解をして(x−１)(２y−１)となり、正しい答えになりました。

[オ]のほうは、　(x−１)(２y−１)＝６　から、
　　　　　　　　かけて６になる組み合わせ　２×３、６×１を考えて、
　　　　　　　　()内が２,３,６,１になるxとyの組み合わせをつくった結果、
　　　　　　　　(３,２)　(７,１)となり、x＋y＝５と８　と正解でしたが、
　　　　　　　　順番に当てはめていく過程は少し時間がかかると思いました。
　　　　　　　　
　　　　　　　　考え方としてはこのようなやりかたで正しいのですか？
　　　　　　　　それとも、もっと早く計算する方法があるのでしょうか？
　　　　　　　　
　　　　　　　　教えてください。宜しくお願いします。
　　　　　　　　
No.1064 - 2008/09/04(Thu) 18:34:07
☆ Re: / 与一 [大学生]
方針としては、その方法しかありません。
ということで、計算量を軽減する方法をここに書きます。

積が６になる整数の組み合わせは全部で８通りあります。
±(1,6)、±(6,1)、±(2,3)、±(3,2)です。この中から、x､yが自然数になるものを見つけます。


まず、2y-1は奇数ですね。これで4通りになりました。
さらに、x-1はxが自然数なので、０以上でなければなりません。

このようにすれば、正解の2通りまで簡単に絞り込むことができます。
No.1066 - 2008/09/05(Fri) 14:33:44
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [社会人]
…そうか、そこに着目すれば計算量を減らせるのですね！
とても参考になりました。どうもありがとうございました！
No.1068 - 2008/09/05(Fri) 21:57:25
★ 場合分けの等号 / mie [高校１年生]
今１対１をやっているのですが、例えば、
「２次関数y=f(x)=x^2-2ax+bの-1≦x≦1における最大値Mを求めよ」
というような問題の場合、１対１の解答では、

この２次関数のグラフは下に凸で軸はx=aで、区間-1≦x≦1の中点はx=0であることから、
(ア)a≧0のとき、M=f(-1)＝1+2a+b
(イ)a≦0のとき、M=f(1)＝1-2a+b

というような感じ（の場合分け）になっています。絶対値を外すときなどの場合分けも同様にかかれていることが多いです。

でも普通は、

(ア)a＞0のとき、M=f(-1)＝1+2a+b
(イ)a=0のとき、M=f(1)=f(-1)=1+b
(ウ)a＜0のとき、M=f(1)＝1-2a+b

と書くと自分は思っていたのですが、どちらでも解答としては問題ないのでしょうか？

学校では、場合分けの基本は、「もれなく、重複なく」だと教わったので、
「a≧0、a≦0」というようなa=0が重複しているような場合分けには減点されないのだろうかというような不安があるのですが、どうなのでしょうか？

解答を作る時は「a≧0、a≦0」などと書く方が簡単でわかりやすいので、もしOKならばこのような書き方を使おうと思うのですが・・・。
No.1060 - 2008/09/04(Thu) 01:45:32
☆ Re: (No Subject) / 河童
mieさん、初めまして。河童です。

mieさんは、減点されることに対して不安を持ってらっしゃるようですので、最初にひとこと言っておきます。

答案の書き方というのは基本的に個人の自由で、決まった書き方というのはありません。
ただ、はっきりしていることは、

『正しいことが書いてあれば○、間違っていれば×』

『本人が分かって書いていれば○、分からないのに丸覚えして書いていれば×』

ということです。
採点する側は、大抵の場合、mieさんよりも数学の実力は上だと思いますので、
mieさんが分かって書いているのかどうか、簡単に見破ってしまうでしょう。
ですから、mieさんは、答案を読む人に自分の考えをしっかり伝える、まずはそれだけを考えて、答案を作りましょう。
もちろん、そのためには、小学生のときに作文の練習をしたときのように、しっかりした模範解答を真似ることから始めなければなりませんね。

と、前置きが長くなりましたが、mieさんは最後のところで、

＞ 「a≧0、a≦0」などと書く方が簡単でわかりやすいので
と書かれてますね。
まさに、この場合分けを採用する理由としては申し分ないですよね。
そうでしょ？

『漏れなく、重複なく』

というのは確かに場合分けの基本で、そのことは例えば場合の数を数えるときに経験済みですね。
ただ、今回の場合は、『都合の悪い』重複ではありませんね。

mieさんとしては、どんなときに重複していいのか、重複してはいけないのか、そこのところを知りたいのだと思います。
しかし、それは、これからのmieさんの経験を通して学ぶべきことのような気がします。
もし、今後、まずい場合分けをしてしまって、それが何故まずいのか分からない、そのような経験をされたときは、またこちらで質問してみてください。

長くなりましたね。
満足できない回答かも知れませんが、こんなところでいかがでしょうか。
No.1062 - 2008/09/04(Thu) 03:24:11
☆ Re: 場合分けの等号 / mie [高校１年生]
回答ありがとうございます。

>>mieさんは、答案を読む人に自分の考えをしっかり伝える、まずはそれだけを考えて、答案を作りましょう。

確かにそうですね。今まで形式を覚えることだけを考えていた気がします。

>>mieさんとしては、どんなときに重複していいのか、重複してはいけないのか、そこのところを知りたいのだと思います。
しかし、それは、これからのmieさんの経験を通して学ぶべきことのような気がします。

難しいですね。
正直まだ納得できないのですが、自分なりに問題ないかどうかを考えてみるようにします。
No.1063 - 2008/09/04(Thu) 16:10:52
☆ Re: 場合分けの等号 / 河童
mieさん、こんばんは。

やはり納得できませんか。
『重複なく』の部分に拘ってらっしゃるんですね。
『重複なく』というのは、場合分けをする上での、言わば指針であって、解答が必ずしも重複してはいけないという訳ではありません。
いや、それどころか、本問の場合は、『現象自体が重複している』のですから、解答が重複して当たり前だと思うんですね。

いくら言葉を尽くしても、前の回答で言ったように、『正しければ○』、『不都合な重複でなければよい』、これ以上の真実はないような気がします。

ところで、１対１の解答も、mieさんがいつもされている解答も、実はまったく同じことを言っているんですよ。
だって、どちらも、

最大値が f(-1)＝1+2a+b となるのは a≧0 のとき

最大値が f(1)＝1-2a+b となるのは a≦0 のとき

そう言ってるじゃありませんか。
No.1065 - 2008/09/05(Fri) 00:20:01
☆ Re: 場合分けの等号 / mie [高校１年生]
河童さん再び回答ありがとうございます。

>>『重複なく』というのは、場合分けをする上での、言わば指針であって、解答が必ずし>>も重複してはいけないという訳ではありません。

そうなんですね。
今までこういうのを見たことがなかったので抵抗があったのですが、河童さんのおかげで少し頭がほぐれた気がします。

最初の回答でおっしゃってくれたようにまた別個で納得できない場合分けがあればここで質問させていただこうと思います。
No.1067 - 2008/09/05(Fri) 16:20:41
★ (No Subject) / ふっこ ♂ [中国] [高校１年生]
こんにちは。ふっこと申します。学校の課題プリント（教諭の手作り）からですが、以下の問題の違いがわかりません。
問１．８人をA、B、Cの３部屋に入れる方法は何通りか？ただし、誰も入らない部屋があってもいいものとする。
問２．８個のりんごをA、B、Cの３部屋に置く方法は何通りあるか？ただし、１つも置かれていない部屋があってもいいものとする。

私はどちらも○○○○○○○○とｌｌの順列と考え、１０！／８！・２！＝４５（通り）だと思いました。しかし、問１の解答は３＾8＝６５６１（通り）でした。（問２は正解していました。）８人を区別する、という表記がないミスとも思いましたが、どうなのでしょうか？ご意見お願いします。
No.1053 - 2008/09/03(Wed) 13:15:04
☆ Re: / 与一 [大学生]
(1)は8人それぞれが好きな部屋に入っていいという条件です。つまり3択問題を8回と同じですね。問題それぞれについて、3通りの答えがあり、問題は区別するので、3^8通りです。

どうしても理解が難しいようなら、樹形図を描いても解けます。
枝が3本でて、そこからまた枝が3本でて･･･、を8回繰り返すので全部書くスペースはないでしょうが、続きは簡単に予想できると思います。
No.1054 - 2008/09/03(Wed) 13:40:16
☆ Re: / ふっこ ♂ [中国] [高校１年生]
与一さん、ありがとうございます。問１に関しては理解できました。
しかし、それでは問２も同じ考え方でも解けるのでは？と感じ始めてしまいました。
どうして問２は1つのりんごが入り得る部屋が３通りから、３＾8としてはいけないのでしょうか？
No.1055 - 2008/09/03(Wed) 14:17:26
☆ Re: / 与一 [大学生]
部屋に入れるものに１から９まで番号をつけるとして、

１２３　４５６　７８９
１２４　３５６　７８９

上の二つは
人間だった場合は違う部屋割りとなりますが、
りんごの場合は両方とも部屋に３個ずつりんごがあるだけなので同じ組み合わせとなります。

つまり、『人間は区別するが、りんごは区別しない』ということですね。


肝心の解法ですが、
００９
０９０　で3通り
９００

０１８
１０８
･･･　　 で6通り
８０１
８１０

０２７　で6通り

･･････

と、地道にやっていくのも良いかと思いますが、ふっこさんの解答のように区切ったほうが早そうですね。
No.1056 - 2008/09/03(Wed) 14:46:11
☆ Re: / ふっこ ♂ [中国] [高校１年生]
なるほど、ありがとうございます。
ということは、人間→区別する
　　　　　　　無生物→区別しない
上記のことは問題文に特別な指示がなくても暗黙の了解としていいのですね？
No.1057 - 2008/09/03(Wed) 15:00:40
☆ Re: / 与一 [大学生]
その質問に答えられるほどは私は数学に対して、百戦錬磨ではないので、なんとも言えません。

ちなみにこの問題における「部屋」は区別されています。

このような一種曖昧な点が確率が受験生に敬遠される理由でしょうか。
この感覚は慣れなので、確率に関する基本問題をいくつか解けば慣れると思います。
No.1058 - 2008/09/03(Wed) 15:21:06
☆ Re: / ふっこ ♂ [中国] [高校１年生]
確かに慣れが必要なのかなと思う単元です。　
本当にありがとうございました。
すごく参考になりました。
No.1059 - 2008/09/03(Wed) 15:27:18
★ (No Subject) / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
おはよう御座います．ドラゴンです．夏休み明けテストで出た問題なのですが，

n≧4の時，さいころをn回振って偶数目が(n−4)回現れる確率をP(n)とする．
(1)P(n＋1)をP(n)で表せ．
(2)P(n)を求めよ．

なのですが，(1)からして分かりません．ヒントを頂けないでしょうか．よろしくお願いします．
No.1040 - 2008/08/31(Sun) 08:01:53
☆ Re: (No Subject) / 河童
ドラゴンさん、こんにちは。河童です。

ドラゴンさんの口振りでは、問題の意味がハッキリしないというふうに感じますが、いかがですか。
そんなときは、ｎに具体的な数値を入れてみましょう。

ｎ≧４ に注意して、例えば４を入れて読み直してみると、

さいころを４回振って偶数目が(4−4)回現れる確率をP(4)とする

となりますね。
これなら具体的に求まりそうですね。
ドラゴンさんは練習のために、ｎ＝４,５,６ の３つの場合について具体的に求めてみてください。
出来れば、どのようにして求めたのか、書いていただければ幸いです。
詳しい説明はそれからにしましょう。
No.1043 - 2008/09/01(Mon) 14:25:12
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
河童先生，こんばんは！

n＝4の時…全て奇数目なので(1/2)4＝1/16
n＝5の時…偶数目1回，奇数目4回なので(5!/4!)(1/2)5＝5/32
n＝6の時…偶数目2回，奇数目4回なので(6!/2!4!)(1/2)6＝15/64
ですか？気づいたことは奇数目が4回出るということです．
No.1044 - 2008/09/01(Mon) 20:17:00
☆ Re: (No Subject) / 河童
ドラゴンさん、こんばんは。

＞ 気づいたことは奇数目が4回出るということです．

その通りですね。
そこに気付けば、ドラゴンさんが具体的な数値を用いて作った式を、n を用いて書き直してやれば終わりですね。

あら？
(2) が出来ちゃいました^^
問題を解決するための誘導であるはずの(1)をすっとばして、目的が達成されちゃいました。

さあ、そこで(1)なんですが、もう一度確認させてください。
ドラゴンさんは、(1)の意味が分からないのでしょうか？
それとも、意味は分かっているけれど出来ないのでしょうか？
なぜこんなことを尋ねるのかというと、実は私、『この問題、おかしいんじゃないの？』なんて思っているからなんですが。
詳しいことは、ドラゴンさんのお返事を待ってお話ししましょう。
No.1047 - 2008/09/02(Tue) 03:22:07
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
正直(1)は意味はわかるけれど，解けない

といった感じでしょうか…

P(n＋1)はn＋1回振って偶数目がn−3回(⇔奇数目が4回)
P(n)はn回振って偶数目がn−4回(⇔奇数目が4回)

出る確率ですよね．単独では計算できるのですが，2つの結び付け方がわからないという状況です．よろしくお願いします．
No.1048 - 2008/09/02(Tue) 06:43:48
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校2年生]
(2)は(n!/(n−4)!4!)(1/2)nですか？
No.1049 - 2008/09/02(Tue) 06:45:16
☆ Re: (No Subject) / 河童
ドラゴンさん、こんばんは。

＞ (n!/(n−4)!4!)(1/2)nですか？

そうですね。
nＣ4 ･ (1/2)^n とすると、見た目はきれいですね。

さて、(1)なんですが、さあ困りましたね。
本来ならば、n回目の試行から n + 1 回目の試行に移る際、

(ａ) n回の試行で n - 4 回偶数が出て、さらに n + 1 回目に偶数を出す

(ｂ) n回の試行ですでに n - 3 回偶数が出てしまい(言い方を変えれば、３回しか奇数が出ず)、 n + 1 回目に奇数を出す

と、２通りの排反事象を考えるのでしょうが、これでは駒不足。
(ｂ) を表す数列がありませんね。
苦肉の策で、

nＣ3 ･ (1/2)^n ･ (1/2)

と、(ｂ) を表現することも出来るでしょうが、これでは本末転倒ですよね。

目標である(2)よりも、誘導であるべき(1)の方が難しく、よしんば漸化式が作れたとしても、その解が(2)の式になるような漸化式を私は見たことがありません。
というより、解く自信がない。

というわけで、私の勘違いでない限り、問題の間違いか、ドラゴンさんの記憶違いだと思われるのですが、いかがでしょうか。
No.1052 - 2008/09/03(Wed) 02:30:22
★ 質問です / 質問マン ♀ [九州] [高校１年生]
高校１年の問題なのですが…

問題))底角がθの等脚台形があり、
上底の長さが３、
下底の長さが５、
cosθ=１/３(３分の１)とする、
この等脚台形の面積を求めよ。

なるべく早めに助けて下さい；；
No.1050 - 2008/09/02(Tue) 20:14:12
☆ Re: 質問です / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。
｢書き込まれる方へのお願い｣をお読みの上，ルールを守ってご質問ください。
No.1051 - 2008/09/02(Tue) 20:53:35
★ 運営者より回答してくださる方へのお願い / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
回答してくださる皆様，たいへんお世話になっております。運営者の新矢です。

今月は夏期講習で，NETできる時間が殆どとれず，皆様のお世話になりっぱなしで本当にありがたく感じております。

夏休みもあと２，３日で終わりますので，質問も増える時期かとは思いますが，質問者が自力で解決に至れるように，特に最初の回答ではヒント程度に留め，解答のほぼすべてを書かれることはなるべく避けていただきたく存じます。

｢学習指導の場｣であるという当掲示板の趣旨を再確認させていただきたく，あえて書き込ませていただきました。失礼いたしました。

今後とも末永く当掲示板をよろしくお願いいたします。
No.1016 - 2008/08/29(Fri) 04:48:59
★ 漸化式 / ALIVE [高校2年生]
こんにちは。質問させていただきます。

問題.a_1=0,a_(n+1)=2a_n+(-4)^(n+1) (n=1,2,…)
の漸化式で定められる数列{a_n}の一般項a_nをもとめよ。

解答では、両辺を2^(n+1)で割り、a_n/2^n=b_nとすると・・・
という具合で話が進んでいるのですが、2^(n+1)で割ったのはどうなる事を想定(目標）として行ったのでしょうか？

それと、最初自分で解いたときは普通の階差数列かと思ってしまい2a_nを左辺に移項して解いてしまったのですが、右辺がn,n+1と項数が揃ってない(移項しても右辺がn項目の数になっていない)という理由から階差数列でないと判断していいのでしょうか？

お願いします。
No.1027 - 2008/08/30(Sat) 10:47:51
☆ Re: 漸化式 / 与一 [大学生]
この漸化式を見たとき、自分には解けない形だけど、階差数列の漸化式に似ているな、感じることは非常に大切なことです。

階差数列の漸化式は以下の形になっています。
a_(n+1) - a_n = (nの式)
ある項とその次の項の差が右辺（ある数列の一般項）になっているという意味で、まさしく階差数列のことをいっていますね。

しかし、この問題ではa_nに係数の２がついているので、どうにかして２を取り除かなければなりません。それで2^(n+1)で両辺割るわけです。（この発想は初見ではでてきません。ある程度、類似問題を解くことが必要だと思います。）
No.1029 - 2008/08/30(Sat) 15:15:30
☆ Re: 漸化式 / ALIVE [高校１年生]
返信ありがとうございます。

係数２を消す事が目的だったんですね^^;

分かりやすい解答ありがとうございました。
No.1036 - 2008/08/30(Sat) 22:01:18
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