[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ (No Subject) / 麻美 ♀ [関東] [高校3年生]
　数列で分からない問題があります。

　数列a_{n}がa_{1}=9，(a_{n+1}/a_{n})=3n^2/(n+1)^2 (n=1,2,3,……）を満たしているとき，次の問いに答えよ。

　（１）log_{3}a_{n}=b_{n}とおくとき，b_{n+1}-b_{n}をｎの式で表せ。

　（２）a_{n}をｎの式で表せ。

　（３）c_{n}=n^3a_{n}で表される数列C_{n}の初項から第ｎ項までの和を求めよ。

　＜考え方＞
　(n+1)^2・a_{n+1}=3n^2・a_{n}

両辺の対数をとって，
　log_{3}(n+1)^2・a_{n+1}=log_{3}3n^2・a_{n}

2log_{3}(n+1)・a_{n+1}=2log_{3}3n・a_{n}

log_{3}(n+1)・a_{n+1}=log_{3}3n・a_{n}

log_{3}(n+1)+log_{3}a_{n+1}=1+log_{3}n+log_{3}a_{n}

log_{3}a_{n}=b_{n}とおくと，

　b_{n+1}-b_{n}=1+log_{3}n-log_{3}n+1

b_{n+1}-b_{n}=1+log_{3}(n/n+1)

　となりましたがあっていますか？

　よろしくお願いします。
No.1030 - 2008/08/30(Sat) 16:01:42
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんにちは，ＣＯＲＮＯ がさっそくいきます．

たとえば，
　　log_{3}３ｎ^2・ａ_{n}
ですが，
　　log_{3}３ｎ^2・ａ_{n}＝log_{3}３＋log_{3}ｎ^2＋log_{3}ａ_{n}
　　　　　　　　　　　　　＝log_{3}３＋２log_{3}ｎ＋log_{3}ａ_{n}
　　　　　　　　　　　　　＝１＋２log_{3}ｎ＋ｂ_{n}
となります．
もう一度，最初からやってみてください．
No.1031 - 2008/08/30(Sat) 17:06:10
☆ Re: / 麻美 ♀ [関東] [高校3年生]
　ＣＯＲＮＯさんありがとうございます．

　やり直してみたのですが、こんな感じになりました。

　log_{3}(n+1)^2・a_{n+1}=log_{3}3n^2・a_{n}

　log_{3}(n+1)^2+log_{3}a_{n+1}=log_{3}３＋log_{3}ｎ^2＋log_{3}ａ_{n}

2log_{3}(n+1)+log_{3}a_{n+1}=1+2log_{3}n+log_{3}a_{n}

2log_{3}(n+1)+b_{n+1}=1+2log_{3}n+b_{n}

b_{n+1}-b_{n}=2log_{3}n-2log_{3}(n+1)+1

=log_{3}(n/n+1)^2+1

　であってますか？
No.1032 - 2008/08/30(Sat) 17:46:33
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
はい，今度はいいようです．
ただ，(２) のことを考えると，(１) の結果は，

＞b_{n+1}-b_{n}=2log_{3}n-2log_{3}(n+1)+1

で，止めておいた方がいいと思います．
No.1033 - 2008/08/30(Sat) 17:55:13
☆ Re: / 麻美 ♀ [関東] [高校3年生]
　ＣＯＲＮＯさんありがとうございます．

　無事に解けました！！
No.1034 - 2008/08/30(Sat) 19:14:48
★ 空間ベクトル / 里菜 ♀ [関東] [高校2年生]
　夏休みの宿題なのですが、途中まで考えたのですが分からないので教えてください。

　正四面体ＯＡＢＣにおいて，辺ＯＡを１：２に内分する点をＰ，辺ＯＢの中点をＱ，
辺ＢＣを２：３に内分する点をＲとする。平面ＰＱＲと辺ＡＣとの交点をＳとするとき，
ＡＳ：ＳＣを比で表せ。

　＜考え方＞

　vec{OA}=vec{a}，vec{OB}=vec{b}，vec{OC}=vec{c}とおくと

　vec{OP}=(1/3)vec{OA}，vec{OQ}=(1/2)vec{OB}，vec{OR}=(3/5)vec{OB}+(2/5)vec{OC}　
　３点Ａ，Ｓ，Ｃは同一直線上にあるから，

　vec{AC}=k・vec{AS}……?@

　３点Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面上の点Ｓは

　vec{OS}=vec{OP}+vec{PS}

vec{OS}=vec{OP}+s・vec{PQ}+t・vec{PR}……?A

　ここまで，おいたのですがこの続きをどうすればよいのでしょうか？


　vec{PS}=(s/3)vec{OA}+
No.986 - 2008/08/27(Wed) 16:02:04
☆ Re: 空間ベクトル / 与一 [大学生]
そこまで正解です。貴方の回答をそのまま使います。ただし、微妙に式番号のつけ方だけ変えてます。

　＜考え方＞

　vec{OA}=vec{a}，vec{OB}=vec{b}，vec{OC}=vec{c}とおくと

　vec{OP}=(1/3)vec{OA}，vec{OQ}=(1/2)vec{OB}，vec{OR}=(3/5)vec{OB}+(2/5)vec{OC}　……?@　
　３点Ａ，Ｓ，Ｃは同一直線上にあるから，

　vec{AC}=k・vec{AS}……?A

　３点Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面上の点Ｓは

　vec{OS}=vec{OP}+vec{PS}　

　vec{OS}=vec{OP}+s・vec{PQ}+t・vec{PR}



　この２式からvec{OS}を消去すると、

　vec{OP}+vec{PS} = vec{OP}+s･vec{PQ}+t･vec{PR}

　　　　　vec{PS} = 　　　　s･vec{PQ}+t･vec{PR}

?@・?Aより
　k･vec{c}-1/3vec{a} = s(1/2vec{b}-1/3vec{a}) + t(3/5vec{b}+2/5vec{c}-1/3vec{a})

両辺の係数を比較すると、
　-1/3 = s + t
　　0 = 1/2s + 3/5t
　　k = 2/5t

よって、
　s = -2 , t = 5/3 , k = 2/3

以上より、AS:SC=2:1
No.999 - 2008/08/27(Wed) 23:29:05
☆ Re: 空間ベクトル / 里菜 ♀ [関東] [高校2年生]
　与一さんありがとうございます。

　途中の式変形で分からないところがあるのですが……

　?@・?Aより
　k･vec{c}-1/3vec{a} = s(1/2vec{b}-1/3vec{a}) + t(3/5vec{b}+2/5vec{c}-1/3vec{a})

　vec{PS}=ves{OS}-vec{OP}で，vec{OS}=k・vec{c}となる理由が分かりません。

　よろしくお願いします。
No.1022 - 2008/08/29(Fri) 22:01:00
☆ Re: 空間ベクトル / 与一 [大学生]
すいません。私のミスです。
正しくは、
vec{PS}=vec{OS}-vec{OP}

AS:SC=k:(1-k)とすると、

vec{PS}=（vec{a}+k･vec{AC}）-1/3vec{a}
　　　　=(2/3-k)vec{a}+k･vec{c}


AS:SC=4:3になれば、正解です。
No.1026 - 2008/08/30(Sat) 05:09:16
★ はじめまして。 / サザラン ♂ [関東] [高校１年生]
はじめまして。
現在高１の公立高校に通う者です。
夏休み前までの数?Tの授業では二次関数の終わりあたりまで進みました。

理解出来ない問題は、数?Tの夏期講習に出てきた東北大の問題です。

定数a,b,c,p,qを整数とし。次のxとyの３つの多項式
　　　P=(x+a)^2-9c^2(y+b)^2
　　　Q=(x+11)^2+13(x+11)+36y^2
　　　R=x^2+(p+2q)xy+2pqy^2+4x+(11p-14q)y-77
を考える。
(１)多項式P、Q、Rを因数分解せよ。
(２)PとQ、QとR、RとPは、それぞれx,yの１次式を共通因数としてもっているものとする。このときの整数a,b,c,p,qを求めよ。


(１)は解けたのですが、(２)は題意から理解ができませんでした。
このように低いレベルの質問で申し訳ありませんが、どなたか、よろしくお願いいたしますm(_ _)m
No.1001 - 2008/08/28(Thu) 00:51:32
☆ Re: はじめまして。 / 与一 [大学生]
回答したいところなんですが、Ｑの式はyが一箇所抜けていませんか？

抜けていたなら、訂正お願いします。
抜けていないなら、回答者を辞退します。
No.1003 - 2008/08/28(Thu) 04:05:55
☆ Re: はじめまして。 / サザラン ♂ [関東] [高校１年生]
与一さん＞

仰るとおりです。
　Q=(x+11)^2+13(x+11)y+36y^2

です。
一応見直したのですが・・・

申し訳ありませんでしたm(_ _)m
No.1005 - 2008/08/28(Thu) 11:40:52
☆ Re: はじめまして。 / 与一 [大学生]
それでは気を取り直して、回答します。


(1)が解けたならば、Ｐ、Ｑ、Ｒが全て２つの因数に分解できているはずです。
しかも、それぞれの因数は全て
　x + αy + β　（αとβは整数）
の形になっているはずです。

Pの因数をp1,p2
Qの因数をq1,q2　とすると、
Rの因数をr1,r2

PとQについて言えば、p1=q1、p1=q2、p2=q1、p2=q2のどれか１つが成り立っているということです。
どれであるかを判別するためには、「a,b,c,p,qが整数である」という条件を使います。

判別する順序としては、
QとR → QとP → PとR
が楽です。



かなり、ややこしいので、分からないことがあれば、質問してください。
No.1006 - 2008/08/28(Thu) 13:24:35
☆ Re: はじめまして。 / サザラン ♂ [関東] [高校１年生]
なるほど！
与一さんの説明を見て、とりあえずQとRでやってみたら題意はたぶんわかりました。

q1=r2
が　整数　という条件で調べてみると唯一成り立ち、
(x+4y+11)＝(x+2qy+11)
4y＝2qy
q＝2
というものが得られました。


しかし、このやりかたでQとPもやってみたら、できませんでした。
どのようなとき方が好ましいのでしょうか？
No.1011 - 2008/08/28(Thu) 22:08:30
☆ Re: はじめまして。 / 与一 [大学生]
それぞれの因数の係数を表すのに、(α,β)という表示を使います。
例えば、x+6y+11ならば（6,11）とします。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

q1とq2が(4,11)と(9,11)になっていますね。
また、p1とp2は（3c,a+3bc）と（-3c,a-3bc）になっているはずです。

cは整数であることを考慮すれば、
組み合わせは（3c=9,a+3bc=11）または（-3c=9,a-3bc=11）であることが分かります。


最後に、RとPの比較を行います。
r1とr2は（p,-7）と(4,11)になっていると思います。
p1とp2は先程と同じで（3c,a+3bc）と（-3c,a-3bc）です。

cは整数なので、（3c=p,a+3bc=-7）または（-3c=p,a-3bc=-7）となることが分かります。


つまり、「Pと等しいRの因数」と「Qと等しいRの因数」は別々になるということです。
どっちがどっちと同じ因数を持つか、両方試して、a,bが整数になるほうが正解です。
No.1017 - 2008/08/29(Fri) 13:03:17
☆ Re: はじめまして。 / サザラン ♂ [関東] [高校１年生]
与一さんのやりかたでやってみたら、同じ答えになりました。

a=2,b=1,c=±3,p=-9,q=2


ここまでで質問がひとつあります。
・それぞれの因数の係数を表すのに、(α,β)という表示を使います。
とのことですが、とき方も記入する場合はこのことも断る必要はあるのでしょうか？


宜しければ、こちらの質問もお願い致しますm(_ _)m
No.1023 - 2008/08/29(Fri) 22:33:58
☆ Re: はじめまして。 / 与一 [大学生]
おめでとうございます。回答はそれで正解です。
ｃが3でも-3でも成り立つあたりが東北大らしい絶妙な難易度の問題だったかと思います。


>それぞれの因数の係数を表すのに、(α,β)という表示を使います。

この書き方は私の完全なオリジナルですので、一言断っておかないと減点、または０点です。
このようなオリジナルの省略は便利ですが、とても危険です。
受験のときには無理をせず、自分の説明が不十分だと思ったら、このような省略はやめたほうが良いでしょう。
No.1025 - 2008/08/30(Sat) 04:48:38
★ 不定積分 / pika ♂ [関東] [高校3年生]
はじめまして。
問題　∫(3/2x-4/x^3)dx　の解き方がわかりません。

∫(3/2x-4/x^3)dx
=3/2∫x^-1dt-4∫x^-3
この先の計算方法がわかりません。
計算方法を教えてください。お願いします。
No.954 - 2008/08/25(Mon) 00:10:10
☆ Re: 不定積分 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
pikaさん、こんばんは
確認ですが、学校(もしくは自分）で数３の微積分は学習されましたか？
すでに学習されたことを前提にして話を進めます。

まずは1/xの積分ですが、なにを微分したら1/xになるでしょう？
数３の微分の公式を思い出してみてください。
No.955 - 2008/08/25(Mon) 03:24:36
☆ Re: 不定積分 / pika ♂ [関東] [高校１年生]
わかりました。
log|x|を微分すればx/1になります。
なので、
∫(3/2x-4/x^3)dx
=3/2∫x^-1dt-4∫x^-3
=3/2log|x|-4×(-x^-2/2)
=3/2log|x|+2/x^2
であっていますか？
No.956 - 2008/08/25(Mon) 14:56:42
☆ Re: 不定積分 / ka-o ♂ [東海] [学校教員]
返信遅くなって申し訳ありません。
その通りです。

これから積分計算するときに、x^aの積分でも、a=-1のときにはlogがつくことを意識しておいてください。
No.1024 - 2008/08/30(Sat) 03:49:38
★ 2次関数について教えてください / ねこ ♀ [関東] [高校１年生]
はじめまして・・

宿題なんですが、この３問だけ、どうしてもわかりません。
夏休み中、何度か登校した際に数学の先生を探しましたがタイミングが合わず、聞けませんでした。

?@　ｘ＾２＋４ｘ＋ｍ＝０　（異なる２つの実数解をもつ）

?A　３ｘ＾２＋ｘ＋ｍ＝０　（実数解をもたない）

?B　２ｘ＾２＋ｘ−ｍ＋１＝０　（実数解を持つ）

解き方・公式を教えてください。おねがいします。
No.1013 - 2008/08/28(Thu) 23:36:37
☆ Re: / うーる ♂ [近畿] [大学生]
はじめまして。解答させていただきます。
まず、解き方・公式を教えてほしいとのことですが、ねこさんは２次方程式の判別式や解の公式というものをご存知でしょうか。
しらなくても教科書や参考書を探せば必ず載っていますのでまずはそちらを調べてみてください。
それでもわからなければ解説しますので。
No.1014 - 2008/08/29(Fri) 03:13:08
☆ Re: 2次関数について教えてください / ねこ ♀ [関東] [高校１年生]
すみません・・・
解の公式は習っていました。
問題がｍの範囲を求めなさいだったのですが、文字がアルファベットになっている場合に、数字で答えを表すことができませんでした。
授業でも１度やったかなというくらいで、教科書をさがしましたが、同じような問題はみつかりませんでした。
ゼミの解の本もしらべたんですが、やっぱりなくて、理解ができずに進んでしまったところなので、恥ずかしいですが、ほんとにわかりません。
No.1018 - 2008/08/29(Fri) 13:11:46
☆ Re: 2次関数について教えてください / うーる ♂ [近畿] [大学生]
大丈夫ですよ。まだ高校に入って半年ですしこれからがんばっていきましょう。

＞解の公式は習っていました。
＞文字がアルファベットになっている場合に、数字で答えを表すことができませんでした。
ということなのでまず次の問題を考えてみてください。

○x^2-x+1=0の実数解の個数を求めよ。

これができれば今回の質問の問題もすぐに解くことができますよ。
No.1019 - 2008/08/29(Fri) 16:00:45
☆ Re: 2次関数について教えてください / ねこ ♀ [関東] [高校１年生]
○x^2-x+1=0の実数解の個数を求めよ。

○をｙに置き換えさせてもらいます。

x^2y-x+1=0

x±√x^2-4y/2y

となるので実数解は0で、よかったでしょうか？　？？
No.1020 - 2008/08/29(Fri) 20:18:37
☆ Re: 2次関数について教えてください / うーる ♂ [近畿] [大学生]
すいません。ややこしい感じになってしまってました。
訂正します。(○には意味がありませんでした。。。)
なので正しくはx^2-x+1=0の実数解の個数を考えてほしかったのですが
もう一度それで考えていただけませんか。

ちなみに上の回答では公式のbにあたるところに-ｘを代入してしまっていますよ。
bはｘの係数なのでここでは-1を代入しなければなりませんね。

こちらのミスで戸惑わせてしまい申し訳ありませんでした。
No.1021 - 2008/08/29(Fri) 20:48:46
★ (No Subject) / シロ ♀ [関東] [高校１年生]
こんにちは。わからない問題があるので質問させてください。

問　　1/（5−2√6）＝（■+√2）＾2　である。

という問題で、■に当てはまる部分を答えろというものです。
■に当てはまる答えは√3です。

こういう形の問題はやったことがないのですが、何を使って計算するとこうなるのか、
やりかたを教えてください。よろしくおねがいします。
No.1008 - 2008/08/28(Thu) 17:38:53
☆ Re: / X ♂ [社会人]
シロさん、こんばんは。

右辺と似た形にするため、まず左辺の分母を有理化すると
1/(5-2√6)=(5+2√6)/{(5-2√6)(5+2√6)}
=(5+2√6)/(25-24)
=5+2√6
更にこれを
=3+2√6+2
=(√3)^2+2√2√3+(√2)^2
=(√3+√2)^2
と変形していきます。

或いは■をxとすれば問題の等式は
1/(5-2√6)=(x+√2)^2 (A)
というようにxの二次方程式になりますので、これを解いていくという方針もあります。

この問題だけでは何とも言えませんが、恐らく
(√a+√b)^2=a+b+2√(ab)　(a,bは正の有理数)
となることを使ってほしいと考えられますので、まずは最初の方針でできるようにしましょう。
No.1009 - 2008/08/28(Thu) 20:44:08
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [高校１年生]
あ！そういうことなんですね。
はじめ、分母を有理化してみたものの、そこから
（√a+√b)^2＝a+b+2√(ab)のかたちに考えがおよびませんでした。


どうも、ありがとうございました!
No.1010 - 2008/08/28(Thu) 21:24:07
★ (No Subject) / suge ♂ [東海] [高校2年生]
はじめまして
塾のテキストの問題なんですが、どうしてもわからないので教えてください

x+y+z=2,x-y-5z=0をみたすx,y,zの任意の値に対して常に
a(2-x)^2+b(2-y)^2+c(2-z)^2=35
となるように定数a,b,cの値を求めよ。

という問題です。お願いします。
No.977 - 2008/08/27(Wed) 00:06:50
☆ Re: / X ♂ [社会人]
sugeさん、こんにちは。

x+y+z=2 (A)
x-y-5z=0 (B)
a(2-x)^2+b(2-y)^2+c(2-z)^2=35 (C)
とします。
条件式が二つあるので二文字消去しましょうか。
(A)(B)をx,yの連立方程式と見て解くと
(x,y)=(2z+1,1-3z)
これを(C)に代入すると
a(2z-1)^2+b(3z+1)^2+c(2-z)^2=35
後はこれを展開してzの二次式と見て整理し、両辺の係数を比較すれば
a,b,cについての連立方程式を導くことができます。
No.984 - 2008/08/27(Wed) 14:07:49
☆ Re: / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
sugeさん，こんにちは。

複数の文字の等式があれば，文字を消去するのが原則です。
x+y+z=2,x-y-5z=0
より，どれか１文字で，他の２文字を表してみましょう。
例えば，x,yをそれぞれzで表すとどうなりますか？
No.985 - 2008/08/27(Wed) 14:08:51
☆ Re: / suge ♂ [東海] [高校１年生]
解答ありがとうございます

おかげさまで答えを出すことができました

ありがとうございました
No.1007 - 2008/08/28(Thu) 13:42:10
★ 質問 / R ♂ [関東] [高校3年生]
こんにちは。受験研究舎リュケイオンが発行している「速攻　数学?V　微積分計算」の問題についての質問です。

114ページ《例題》1
∫X＾3/｛(X＾2+1)＾1/2｝dx＝1/3(X^2+1)(X＾2+1)＾1/2-(X^2+1)^1/2+C(Cは積分定数)

という問題なのですが、何度やってみても左辺が右辺のようになりません。
試しに右辺を微分してみましたが、左辺の形になりませんでした。

自分ではこの問題の答えは
(左辺)＝1/5(X^2+1)^2{(X^2+1)^1/2}-2/3(X^2+1){(X^2+1)^1/2}+(X^2+1)^1/2+C(Cは積分定数)

だと思うのですが、どうでしょうか？
よろしくお願いします。
No.974 - 2008/08/26(Tue) 22:52:57
☆ Re: 質問 / 新矢 ♂ [近畿] [塾講師]
Ｒさん，こんにちは。
速攻，ご購入ありがとうございました。

積分計算は同じ問題でも，計算の仕方が複数あるものもあり，特に三角関数などでは，その結果は一見違うものに見える場合もあります。

なので，ひょっとしたら私の答えとＲさんの答えも一見違うように見えるが実は同じものなのかな？　と計算してみたのですが，どうも一致しません。

私は t=x^2+1 と置換したのですが，Ｒさんは何をtとされました？
同じ t=x^2+1 と置換されたのなら，お手数ですが，途中式を書き込み願えますでしょうか？
No.976 - 2008/08/26(Tue) 23:46:18
☆ Re: 質問 / R ♂ [関東] [高校3年生]
回答ありがとうございます。
･･･そうですね、私もt=x^2+1と置換することでｘを消去し、

1/2∫{t^2-2t+1}/t^1/2dt
=1/2∫{t^3/2-2t^1/2+t^(-1/2)}dt
した上で積分すると、上のような計算結果になるのですが、いかかでしょうか？

お忙しいところすみませんが、よろしくお願いします。
No.987 - 2008/08/27(Wed) 16:34:01
☆ Re: 質問 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

t=x^2+1 の両辺を xで微分すると，dt/dx=2x
これから dx=dt/(2x)　となります。
もしかしたらＲさんはこれを　dx=(x/2)dt としてしまったのではないでしょうか？
No.991 - 2008/08/27(Wed) 18:35:41
☆ Re: 質問 / R ♂ [関東] [高校3年生]
dx=dt/(2x)としてみましたが･･･少し長いですが、途中式を全て書いてみます。

t=x^2+1とおくと
dt/dx=2x
∴dx=dt/(2x)

　与式
=∫{x^3/t^(1/2)}dt/2x
=1/2∫{(t-1)^2}/t^(1/2)×dt
=1/2∫{(t^2-2t+1)/t^(1/2)}dt
=1/2∫{t^(3/2)-2t^(1/2)+t^(-1/2)}dt
=1/2{2/5t^(5/2)-2*2/3t^(3/2)+2t^(1/2)}+C (Cは積分定数)
=1/5t^(5/2)-2/3t^(3/2)+t^(1/2)+C
=1/5(X^2+1)^2{(X^2+1)^1/2}-2/3(X^2+1){(X^2+1)^1/2}+(X^2+1)^1/2+C

となりますが、どうでしょう？長々と本当にすみません！よろしくお願いします。
No.995 - 2008/08/27(Wed) 19:55:08
☆ Re: 質問 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんは。

与式
=∫{x^3/t^(1/2)}dt/2x
ここでｘを約分すると
=1/2∫{x^2/t^{1/2}}dt
t=x^2+1 より x^2=t-1 を代入して
=1/2∫{(t-1)/t^{1/2}}dt
=1/2∫{t^{1/2}-t^{-1/2}}dt
となりますよ。
No.1000 - 2008/08/28(Thu) 00:13:27
☆ Re: 質問 / R ♂ [関東] [高校3年生]
おはようございます。

あ！自分のミスに気づきました！！！
x^2=t-1とするところを、x=t-1としていました！！！
ありがとうございました、解決です！

ご丁寧にありがとうございました。またよろしくおねがいします。
No.1004 - 2008/08/28(Thu) 08:25:31
★ 図形と方程式 / ALIVE [高校2年生]
また質問させていただきます。
図形と方程式の分野を復習していたところ良く分からない部分がありました。

問題.△ABCの各頂点から、それぞれ対辺またはその延長に引いた三つの垂線は一点で交わる事を証明せよ。

解答では、A(0,a) B(b,0) C(c,0)と置いてb≠0かつc≠0のとき、
直線CA,ABの傾きはそれぞれ-a/c,-a/bだから、直線BMの方程式はy=(c/a)(x-b)・・・・・

となっているのですがこの傾きというのは(0-a)(x-0)-(c-0)(y-0)=0⇔y=-(a/c)x
という事なのでしょうか？
だとするとこの後で、直線BMの方程式はy=(c/a)(x-b)となる理由も分かりません。

他にも具体値を代入してみると矛盾だと感じる部分がこの分野は多いです…。

ご教授お願いいたします。
No.979 - 2008/08/27(Wed) 02:55:28
☆ Re: 図形と方程式 / 与一 [大学生]
点Aからの垂線は、グラフからx=0(･･･?@)だと分かります。

点Bからの垂線は、直線ACに垂直になるはずです。
垂直な２つの直線の傾きの積が-1になるので、
直線ACの傾き-a/cから求める垂線の傾きはc/aになります。
よって点Bを通り、傾きc/aの直線を求めれば、
y=(c/a)(x-b)+0
=(c/a)x-bc/a ･･･ ?A

--------- ｷ ---- ﾘ ---- ﾄ ---- ﾘ ----------------
上の計算ですが、
点(p,q)を通る傾きaの直線は
y=a(x-p)+q
になるという、二次関数のときのような公式じみたものを使っています。

自分としては単純に、
y=(c/a)x＋αと置いて、(b､0)を代入して、αを求めたほうが分かりやすいと思っています。
--------- ｷ ---- ﾘ ---- ﾄ ---- ﾘ ----------------

点Cの場合も、点Bとほとんど同じです。垂線を求めると、
y=(b/a)x-bc/a ･･･ ?B


よって、?@と?Aの交点、?@と?Bの交点を求めると、共に(0,-bc/a)となり、３つの垂線が一点で交わっていることが証明できます。
No.980 - 2008/08/27(Wed) 06:07:59
☆ Re: 図形と方程式 / ALIVE [高校１年生]
返信ありがとうございます。

分かりやすかったです。しっかりと理解できました。解答では「垂直な２つの直線の傾きの積が-1になるので…」などの表記が無かったのでますます分からなくなっていました。

あとこういうたぐいの問題全てに疑問があるのですが、
例えば今回の問題のACの傾きを求める際に、はじめに自分が質問で書き込んだ
(0-a)(x-0)-(c-0)(y-0)=0⇔y=-(a/c)x
というやり方では確かに傾きは-(a/c)になるのですがその後で「傾きは(yの増加量)/(xの増加量)で求められるんだから(a-0)/(c-0)=a/cでもいいんじゃ…？」と思いました。
この傾きの求め方だと何がいけないのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.982 - 2008/08/27(Wed) 10:50:25
☆ Re: 図形と方程式 / 与一 [大学生]
元をたどっていけば、全く同じ原理です。
数学における定理は道具のようなものなので、どの道具を使うかは本人が決めればいいと思います。

自分も[傾き]=(yの増加量)/(xの増加量)という中学生の頃に教えてもらった方法を使っています。こっちのほうが根本的で分かり易いですよね。
No.997 - 2008/08/27(Wed) 23:00:46
☆ Re: 図形と方程式 / ALIVE [高校１年生]
その方法でも平気だったんですね。安心しました。

ありがとうございました。
No.1002 - 2008/08/28(Thu) 02:35:20
★ (No Subject) / シロ ♀ [関東] [高校１年生]
こんにちは。また、質問させてください。

問　△ABCにおいてＡＢ＝１、∠ABC＝60°、∠ACB＝45°とする。この三角形の外接円をＫとし、円弧ＡＣの中点をＤとする。

１）辺ＡＣの長さはＡＣ＝[ア]であり、外接円Ｋの半径をＲとすると、Ｒ＝[イ]である。

という問題です。

[ア]については、

ＡＣ/sin60°＝１/sin45°

を使って求め、正しい答えの√6/2になりましたが、

[イ]のほうは、

２Ｒ＝ＡＣ/sin60
を使って計算しましたが、正しい答えである1/√2になりません。

この式ではＲは求まらないのですか？

教えてください。よろしくおねがいします。
No.989 - 2008/08/27(Wed) 18:03:14
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．

＞２Ｒ＝ＡＣ/sin60
＞を使って計算しましたが、正しい答えである1/√2になりません。
＞この式ではＲは求まらないのですか？
　いえ，正しいです．計算ミスでしょう．
　もう一度落ち着いて計算してみてください．
　それでもうまくいかなければ，シロさんの計算過程を書き込んでください．
No.990 - 2008/08/27(Wed) 18:14:14
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [高校１年生]
計算過程を書きます。↓

２Ｒ＝（√6/2）/（√3/2)

２Ｒ＝√6/√3

２Ｒ＝√18/3

Ｒ＝(3√2)/3×1/2

Ｒ＝√2/2

…になってしまいます、おかしいところを教えてください。
No.992 - 2008/08/27(Wed) 18:39:28
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
１/√２ の分母を有理化すると
　　１/√２＝(１/√２)×(√２/√２)＝√２/２
となります．
ですから，

＞Ｒ＝√2/2
　で正解です．
No.993 - 2008/08/27(Wed) 18:52:28
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [高校１年生]
…あ! そうだ。

そこにまったく気がつきませんでした…。

どうもありがとうございました！
No.994 - 2008/08/27(Wed) 19:29:33
★ 学校の課題なんですけど… / にゃん ♀ [近畿] [高校１年生]
はじめまして。学校の課題なのですが、どう頑張ってみてもよく分からないので質問させていただきました。教えてくださると嬉しいです。

問題一、三角形ABCの重心をPとし、点Pから各辺々に下ろした垂線の足をそれぞれD、E、Fとする。このとき、点Pは三角形DEFの何かを求め、証明せよ。(三角形ABCが鋭角三角形のとき、鈍角三角形のときについて求める)
問題二、三角形ABCの重心をPとする。∠BPCの大きさを求めよ。(三角形ABCが鋭角三角形、∠A＞90°、∠B＞90°のときについて求める)
No.929 - 2008/08/21(Thu) 14:12:51
☆ Re: 学校の課題なんですけど… / にゃん ♀ [近畿] [高校１年生]
すみません、問題二は、∠ABCをａとしたときです；
No.933 - 2008/08/22(Fri) 14:23:14
☆ Re: 学校の課題なんですけど… / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。
返信がたいへん遅くなってしまい申し訳ありません。

問題が間違っているように思います。
「問題一も問題二も，点Ｐは三角形ABCの重心ではなく，内心ではないですか？」と学校の先生に確認してみてください。
No.983 - 2008/08/27(Wed) 14:00:34
★ 積分 / pika ♂ [関東] [高校3年生]
こんばんは。元気が出る数学?V・Cの88ページ(２)の問題です。
(1/5(log e)^5)-(1/5(log 1)^5)
=(1/5)・(1^5)
=1/5
この問題のlog eは何故1になるのですか？
No.978 - 2008/08/27(Wed) 00:14:23
☆ Re: 積分 / 与一 [大学生]
log_{a}bという記号は、「真数(b)は底(a)の何乗になるか」を表す値なので、
log_{e}eに関して言えば、ｅはｅの１乗なので、１になります。
No.981 - 2008/08/27(Wed) 06:17:57
★ (No Subject) / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
おはようございます。新こだわって！　国公立二次対策問題集　数列の問題です。

各項が整数の等差数列がある。この数列の初項から第n項までの和をSnとするとき、Snはn=10において最大値500をとるという。この数列の初項と交差を求めよ。(群馬大)

この等差数列を{an}とし、初項をa,交差をdとおくと、
Sn=1/2n{2a+(n-1)d}=1/2dn^2+1/2(2a-d)n となる。
n=10においてSnは最大値500をとるから・・・

と考えたのですが、・・・以降がどのように考えればよいのかがわかりませんでした。
よろしくお願いします。
No.876 - 2008/08/16(Sat) 08:51:53
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
k-700 さん，おはようございます。
等差数列において，初項から第n項までの和をSn とするとき
Snがn＝10において最大になるのは
初項＞0，公差d＜0，n≧11 のとき an＜0 がいえるはずですね。
No.877 - 2008/08/16(Sat) 09:53:14
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
こんばんは。返信が遅れてしまい申し訳ありません。
確かにそうですね。
Sn=1/2dn^2+1/2(2a-d)n =1/2d(n+2a-d/2d)^2-(2a-d)^2/8d であることから、七さんがおっしゃった条件を使って解くのだとは思うのですが、
最大値のほうは、Sn=1/2n{2a+(n-1)d}にn=10を代入して、
　5(2a+9d)=500 よって、 2a+9d=100 と立式できたのですが、軸の考え方がよくわかりません。単純にn=10 すなわち、-(2a-d/2d)=10かなと思ったのですが、これでは答えが合いませんでした。どのように考えればよいのでしょうか。
No.921 - 2008/08/20(Wed) 19:43:45
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
おはようございます。
nを実数とするy＝Sn の n についての2次関数のグラフを考えるとき，
この数列での(n，Sn)はこのグラフ上のnが自然数である点だけを考えなければなりませんから
このグラフの頂点が(10，S10)である必要はありません。ただし頂点にはこの点が最も近くなければなりませんから
頂点のn座標は9.5より大きく，10.5より小さくなる必要があります。
No.925 - 2008/08/21(Thu) 07:32:55
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
パスワードを忘れたので新しく書き込みますが
軸の式が違っているように思います。
No.926 - 2008/08/21(Thu) 08:05:00
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
たびたびすみません。
軸の式はあっていました。
2a+9d=100 と
-(2a-d)/2d=10
を連立すると
たまたまですが
a＝95，d＝−10 を得ます。
No.928 - 2008/08/21(Thu) 13:34:48
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
こんばんは。では、
2a+9d=100…?@
19/2≦-(2a-d/2d)≦21/2…?Aとおくと、?Aより両辺を2d倍して
19d≦-(2a-d)≦21d -19d≧2a-d≧-21d -18d≧2a≧-20d となり、条件から交差d<0であるので、よって、-18d≦2a≦-20d となる。?@より、2a=100-9d　より、この値を左記の不等式に代入して、　-18d≦100-9d≦-20d 　よって、-100/9≦d≦-100/11 となり、
d=-11、-10となるが、aも整数であることから、?@より、dは偶数でなければならないので、よってd=-10 このときの初項aの値は　a=95　この値は、aが整数であることを満たしている。　よって、a=95,d=-10　こんな感じでどうでしょうか？

そうなんですか。たまたま問題の答えの値が出てくるというのは、よくあるのですか？
No.937 - 2008/08/22(Fri) 23:06:57
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
おはようございます。
第2式に2d を掛けるときにdは負の整数だから
不等号の向きを変えなければなりません。
あとで変えるのはよくないように思います。

> そうなんですか。たまたま問題の答えの値が出てくるというのは、よくあるのですか？
a1＋a10＝100 で
a1−a10＝−9d が9の倍数でなければならないことなどから
a1＝95，a10＝5
であることが先に分かったので
d＝−10も分かりました。
ならば a11＝−5 となります。

等差数列で S10 が最大(最小)になり
a10と a11の絶対値が等しいとき
(10，S10 ) が y＝Sn の頂点になります。

この問題ではたまたまそうなっていますから
「2a＋9d＝100 と (軸)＝10 で求められなかった」という内容のレスをみて
(軸) の式が間違っているのではないかと早合点したのです。

ですから，答案としては
2a＋9d＝100 と (軸)＝10 で正しい答えが出ても
それだけでは減点されます。
No.947 - 2008/08/23(Sat) 06:59:24
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
こんばんは。またまた遅くなってしまい申し訳ありません。
確かに七さんのおっしゃる通り、不等式の向きは先に変えたほうがいいように思います。今となっては、何でこのようにしたのか、不思議です。あとの部分はOKですか。

そういうことだったんですね。単なる計算ミスで混乱させてしまい申し訳ありません。もやもやしていた部分がすっきりしたので、よかったです。解答のみならず、詳しい解説ありがとうございます。
No.973 - 2008/08/26(Tue) 21:22:08
★ (No Subject) / シロ ♀ [関東] [社会人]
こんにちは。はじめて掲示板を利用します。

問　X＝−3のとき、Xの式　｜X−1｜＋｜6−X｜　の値は　[ア]　である。

という問題です。

[ア]に該当する答えは、13　なのですが、私が計算すると　5　になってしまいます。

単にXの部分に　−3をあてはめるだけではだめなのですか？

計算の仕方を教えてください。よろしくおねがいします。
No.949 - 2008/08/24(Sun) 21:29:07
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
こんばんわ。
さっそくですが、当てはめた式を書いてみていただけますか？
どこでミスをしているのか、きちんと見てみたいと思いますので。
No.950 - 2008/08/24(Sun) 21:46:54
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [社会人]
　はい、わかりました。

−3−1＋6−(−3)

−4＋6＋3

2＋3

＝5　　？

・・・というふうにまちがえています。正しいやりかたを教えてください。
No.952 - 2008/08/24(Sun) 22:37:01
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
最大の間違いは、いきなり絶対値が外れていることだと思います。
段階を追って確認しましょう。
１）｜X−1｜＋｜6−X｜が「絶対値を含む式」であることはわかりますか？
２）「絶対値」とはどういうものでしたか？
３）正しく、上記の式にX＝−３を当てはめるとどう処理できますか？
ひとつづつ確認してみて、手が止まったらそこで手を止めてください。
そして、どこで止まったか教えてください。
止まらずに最後までいけたなら、その過程をすべて書いてみてください。
＃アウトプットして再認識することはとても重要です。
No.953 - 2008/08/24(Sun) 23:32:45
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [社会人]
1)はい。絶対値を含む式だということはわかるのですが・・

2）絶対値の理解がかなりいい加減だと思われます。はずす時にマイナスをつけたりする理屈をわからずにだましだましやっていたので、応用になった途端にこのような間違い方をしてしまいます。

ですので、できましたら初歩の初歩からの説明をお願いいたします。
No.957 - 2008/08/25(Mon) 18:18:24
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
「初歩の初歩」の説明は、こういった掲示板でやるには不適当なものです。
対面で講義でやるか、本に頼られた方がいいと思いますので、ぜひ、やさしい参考書を１冊ご用意の上（やさしいものが何冊も本屋さんにあります）、このあとの例題にお答えください。

（問題）次の数を、絶対値を使わずに書きなさい。
（１）｜２｜　（２）｜０｜　（３）｜−４｜　（４）｜１−√３｜
できれば、「なぜそう答えたか」も含めお書きいただければと思います。
No.959 - 2008/08/25(Mon) 18:40:23
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [社会人]
1）｜2｜＝2　　2）｜0｜＝0　　3）｜−4｜＝4　　4）｜1−√3｜＝・・？

今、手元の参考書の絶対値の説明のところをもう一度見ながらやりました。
1）2）3）は、数直線上でのゼロ（原点）からの距離　という説明をもとに解きました。

そして、4）のところにきてつまずいています。
No.961 - 2008/08/25(Mon) 19:10:53
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
んー、「目盛り」がないとできない、というのはかなり厳しいですぞ。
１−√３　が、数直線上のどこになるか、わかりますか？
＃まぁ、最初の問題ができるようになるためには（３）まででいいのですが・・・
No.962 - 2008/08/25(Mon) 19:26:14
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [社会人]
正直よくわかりません・・・。

√3ていうのは・・、1.73〜なんとかですよね。

1は普通に1のところなのでしょうか・・。このマイナスっていうのはー・・
No.963 - 2008/08/25(Mon) 19:55:04
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [高校１年生]
いや、そこでつまづいちゃいけませんよ。
引き算の初歩からやらないといけないのですか？
No.964 - 2008/08/25(Mon) 20:03:25
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [社会人]
０と−１のあいだ（−0.73〜）のところということですか？
No.965 - 2008/08/25(Mon) 20:25:02
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
ですね。
では、「長さ」はどうなりますか？

さて、それが出来たら元に戻って、もう一度問題を考えてみてください。
No.966 - 2008/08/25(Mon) 21:41:52
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [社会人]
長さは、√3（1.73〜）。

4）｜1−√3｜＝√3　ということですか？

問題ももう一度やり直しました。↓

｜−3−1｜＋｜6−（−3）｜

＝｜−4｜＋｜9｜

＝4+9

＝13
No.967 - 2008/08/25(Mon) 22:14:57
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
元の問題の方は解決しましたね。

さて、（４）ですが・・・
あれ？１−√３（＝０．７３・・・）のほうが、−１よりも原点（０）に近いところにあるのに、なんで「長さ」が１（＝｜−１｜）以上になってるのでしょう？
１より近い、なら「長さ」は１（＝｜−１｜）より小さくないと、おかしくないですか？
No.968 - 2008/08/25(Mon) 22:55:31
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [社会人]
…あれ、そうか。そうですよね？

長さは0.73〜で、｜1−√3｜＝　−1＋√3　

ということでいいのですか？
No.969 - 2008/08/25(Mon) 23:31:36
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [高校１年生]
そういうことですね。
絶対値の「中身」が正であれば、そのままの値が「長さ」となります。
絶対値の「中身」が負であれば、逆向きに「折り返す」と「長さ」になります。言い換えると、負だったらもう一回「−１倍」して正に直せばいい、ということですね。
No.971 - 2008/08/26(Tue) 19:01:02
☆ Re: / シロ ♀ [関東] [社会人]
絶対値をはずす時に−をつけるつけないの区別の理由がやっと理解できました。
似たような問題を解いて復習してみます。
とてもわかりやすい説明をありがとうございましたー！
これから度々この場を利用させていただくと思いますので、その時はまたよろしくお願いします。
No.972 - 2008/08/26(Tue) 20:02:56
★ (No Subject) / 仮面浪人形 ♂ [地球外] [浪人生]
こんにちは。
掲示板がリニューアルされて最初の質問です。

わからない問題は
Ｚ会-高２発展数学-10月号予習編<ベクトル２>の練習問題【6】-(2)です。

問題
※ことわりのない限りアルファベットはベクトルとさせてください。
平面上に３角形ＯＡＢと動点Ｐがある。OA=a, OB=b, OP=p とするとき、次の条件を満たす点Ｐの軌跡を求めよ。ただし、x・yはベクトルx,yの内積を表す。
(2)│p−a│＝３│p−b│

解答
│p−a│＝３│p−b│　より
ＡＰ＝３ＢＰ　（ＡＰ，ＢＰには→ついてません）
よって、点Ｐの軌跡は、線分ＡＢを3:1に内分および、外分する点を直径の両端とする円（アポロニウスの円）になる。(答)

質問
ＡＰ＝３ＢＰを満たすように図を描いて見たところ、
『点Ｐは、線分ＡＢを3:1に内分および、外分する』･･･
ようになったのですが、
私は図を描かなければわかりませんでした。(解答に図はありませんでした。)
大学受験レベルではＡＰ＝３ＢＰと見た瞬間、
･･･線分ＡＢを3:1に内分および、外分！！
と気づけるべきなのでしょうか。

また、
　ＡＰ＝３ＢＰ
⇔ＯＰ−ＯＡ＝３(ＯＰ−ＯＢ)　と分解したところ、
マイナスに分解してもプラスに分解しても
外分の方しか出てきませんでした。
この分解は無意味なのでしょうか。

よろしくお願いします。
No.919 - 2008/08/20(Wed) 18:04:10
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
早速参りましょう。

ひとつめ。
ちょっと勘違いしてます。回答をよく読みましょう。
線分ＡＢを3:1に内分および、外分する点を直径の両端とする円
であって、内分点と外分点のみを考えているわけではありません。
ただし、線分の長さの比がわかるので「３点が１直線上にある場合」である内分点と外分点が押さえやすいのは間違いないところですけどね。
それはおいておきますが、この回答はさすがにちょっと略しすぎな気がします。
「アポロニウスの円」については、ベクトルのところではなく「図形と方程式」の「軌跡」のところを確認してみてください。どこかに必ず載っているはずです。
そういったベクトル以外の知識をきちんと定着させていればこの回答でもいいですが、学習途中の高校生にはわからなくても当然です。
「受験前日には気づけるようになっていてほしいが、今からそれを意識する必要はない。たくさん演習しているうちに自然と覚えてくるんじゃないでしょうか」
というお答えになるかと思います。

ふたつめ。
これも少々勘違いしてますね。
> ＡＰ＝３ＢＰ　（ＡＰ，ＢＰには→ついてません）
この記述が正しいならば、これらはベクトルではなく線分の長さを表しているに過ぎませんから
> ＯＰ−ＯＡ＝３(ＯＰ−ＯＢ)
この分解は無意味、というか、やってはいけないことです。
No.931 - 2008/08/21(Thu) 22:49:31
☆ Re: / 仮面浪人形 ♂ [地球外] [浪人生]
せら先生よろしくおねがいします。

> ちょっと勘違いしてます。回答をよく読みましょう。
> 線分ＡＢを3:1に内分および、外分する点を直径の両端とする円
> であって、内分点と外分点のみを考えているわけではありません。

これは節目?としてわかりやすいと思ったので、
『点Ｐは、線分ＡＢを3:1に内分および、外分する』･･･点を直径の両端とする円
を省略して書いてしまいました。

> そういったベクトル以外の知識をきちんと定着させていればこの回答でもいいですが、学習途中の高校生にはわからなくても当然です。
高校生ではないですが、そう言われてホッとしました。
ふつうわかるだろ！って思われたらどうしようかと思いました(-o-;

> 「受験前日には気づけるようになっていてほしいが、今からそれを意識する必要はない。たくさん演習しているうちに自然と覚えてくるんじゃないでしょうか」
演習量が足りてませんでしたo( _ _ )o

> これも少々勘違いしてますね。
> > ＡＰ＝３ＢＰ　（ＡＰ，ＢＰには→ついてません）
> この記述が正しいならば、これらはベクトルではなく線分の長さを表しているに過ぎませんから
> > ＯＰ−ＯＡ＝３(ＯＰ−ＯＢ)
> この分解は無意味、というか、やってはいけないことです。

そうでした。自分のノート見て、「うわっ、無意識のうちに；」
って恥ずかしくなりました。

今まで、アポロニウスの円なんて知りませんでした。
今調べても受験勉強と違う方向行きそうなので、もうちょっとベクトルの演習をしてから、軌跡を集中的にやるときに出会うことを期待します。
で、いいでしょうか(^-^;？
No.934 - 2008/08/22(Fri) 18:39:36
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
> そういったベクトル以外の知識をきちんと定着させていればこの回答でもいいですが、学習途中の高校生にはわからなくても当然です。
これは、高２教材という性質に対しての愚痴みたいなもんですから、あまりおきになさらないよう（^^；

アポロニウスの円は、入試でもそこそこ出てくるものです。
名前は知らなくても、「円になる」軌跡の問題は（現役時でも）一回ぐらいやったのではないかな？
個人的には、疑問点は疑問に思った段階である程度解決しておいてほしいですし、入試演習というのは「単元ごとにつぶしていく」ものではないと思います。
今回の「ベクトル＋軌跡」みたいに、分野を横断していてアタリマエ、ですからね。
＃だからこそ、Ｚ会でも今回のレベルまでやらせたいのでしょう。
ですから、「各分野をやりきったから終わり」ではなく、その先がずっと長くある、ということを意識した上で学習計画を考えておきましょう。
No.948 - 2008/08/23(Sat) 12:25:56
☆ Re: / 仮面浪人形 ♂ [地球外] [浪人生]
せら。先生

遅くなってすみません。

アポロニウスの円は教科書にものってました。
例題をやってから問題をやれば解けました。
軌跡のイメージはまだしっくり来ない部分もあります。

ありがとうございました。
返事は大丈夫です。
No.970 - 2008/08/26(Tue) 18:14:37
全1160件 [ ページ : << 1 ... 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 ... 78 >> ]