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★ (No Subject) / ピー子 [高校2年生]
こんばんは。質問させてください。

【問題】平面状にｎ個の円があって、それらどの2つの円も互いに交わり、
3つ以上の円は同じ点では交わらない。これらの円は平面をいくつの部分に分けるか。

図に書いたりしてみてもごちゃごちゃになってしまいます…宜しくお願いします
No.935 - 2008/08/22(Fri) 19:43:05
☆ Re: (No Subject) / アリス
解答してます。
No.941 - 2008/08/23(Sat) 00:26:43
☆ Re: (No Subject) / アリス
今晩は。
アリスと申します


では参りましょう


ｎ=1,2,3のときの図を書いてみましょう。

求める個数をａ_ｎとするとａ_1はなんと表せますか？



ここまでやってみましょう
No.942 - 2008/08/23(Sat) 00:37:57
☆ Re: / ピー子 [高校2年生]
遅れてすみません。
a_1は2ということでいいのですか？
No.958 - 2008/08/25(Mon) 18:26:25
☆ Re: (No Subject) / アリス
はいそうです。

では
ａ_{ｎ＋1}はａ_ｎとｎを使うと


ａ_{ｎ＋1}=ａ_ｎ＋□と表せます
□に当てはまるのはなんでしょう？
No.960 - 2008/08/25(Mon) 18:43:10
★ (No Subject) / ALIVE [高校2年生]
また質問させてください。数?Uの漸化式のところで質問があります。

問題.次の漸化式で定められる数列{a_n}の一般項を求めよ。
a_1=1,a_(n+1)=4a_n+3n-3 (n=1,2,…)

解答中に、a_(n+1)-a_n=b_nとしたとき、b_1=4より
b_n=4^n-1　したがってn≧2のとき
a_n=1+?納k=1,n-1](4^k-1)=1+[4{4^(n+1)-1}]/(4-1)-(n-1)
となっているのですが等比数列の?伯v算の部分では初項は4なのにb_n=4^n-1にn=1を入れても4にならないのは何故でしょうか？
なるべく詳しく教えていただけるとうれしいです。

（質問の趣旨が分かりにくいと思いますがどうかお願いいたします）
No.938 - 2008/08/22(Fri) 23:40:25
☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　ALIVEさん，こんばんは。

　a_(n+1)-a_n=b_n としたとき，b_1=4 より，とありますが，解答にそのように書いてあるのでしょうか？

　b=1=a_2-a_1 ですが，一度ご自分で計算して確かめていただけませんでしょうか。
No.940 - 2008/08/23(Sat) 00:18:57
☆ Re: / ALIVE [高校2年生]
すみません…。b_1+1=4でした（汗

ですが数列{b_n+1}は確かに初項4なのですがb_n=4^n-1としてしまうと数列{b_n}の初項は3になってしまいますよね…？
そうすると?伯v算の部分の[4{4^(n+1)-1}]/(4-1)という計算では何故初項4になっているのでしょうか？
No.943 - 2008/08/23(Sat) 01:04:24
☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　b_n=4^n-1 となりますから（こうなることはちゃんと理解できていますか？　分からなければ別途ご質問ください），a_(n+1)-a_n=4^n-1 となります。
　したがって，n≧2 のとき，という計算は，階差数列の和の公式を用いているわけですが，そこを丁寧に書けば，

　a_n=a_1+?納k=1,n-1](4^k-1)=1+?納k=1,n-1](4^k)+?納k=1,n-1](-1)=1+[4{4^(n+1)-1}]/(4-1)-(n-1)

となります。つまり，4^k-1 を k が 1 から n-1 まで加えていく部分を，4^k を k が 1
から n-1 まで加えていくものと -1 を(n-1)回加える部分に分けているわけです。

　だとすれば，4^k で k=1 のときは 4 ですから，初項が４になっているのは当然のことになりますね。
No.944 - 2008/08/23(Sat) 01:49:34
☆ Re: / ALIVE [高校2年生]
分かりやすい解説ありがとうございます。

良く分かりました。今後も質問させていただくと思いますがよろしくお願いします。
No.945 - 2008/08/23(Sat) 01:58:20
☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　ご理解いただけたようでなによりです。

　また不明な点が出てきましたらお越しください。
No.946 - 2008/08/23(Sat) 02:17:22
★ (No Subject) / りり ♀ [中国] [高校3年生]
こんばんは。はじめまして、りりといいます。学校のセンターマーク問題集です。
2次関数の問題で分からないところがあります。

2次関数ｆ(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+2a+3(aは定数)

(1)y=f(x)のグラフがx軸の正の部分、負の部分とそれぞれ1点で交わるとき、aの値の範囲はアイ＜a＜ウ

(2)不等式x^2-x-2≦0を満たす全てのxについてf(x)≦0となるとき、aの値の範囲はエオ＜a＜カ　　　


まず、f(x)の頂点（a+1,-4)を求めました。

(2)は、
軸の方程式a+1≧0とa+1＜0で場合わけをする必要があるのかどうかわかりませんでした。

(3)はx^2-x-2≦0を解いて、-1≦x≦2になりました。
条件より、f(-1)≦0、f(2)≦0、このときに軸の方程式の場合分けは、しなくてもいいんでしょうか？


　
No.922 - 2008/08/20(Wed) 23:39:26
☆ Re: / X ♂ [社会人]
りりさん、こんにちは。

>>まず、f(x)の頂点（a+1,-4)を求めました。
間違っています。こちらの計算では
(a+1,2)
となりました。

(1)について
これは軸についての場合分けは不要です。
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線ですので、題意を満たすためには
y軸との交点のy座標、つまりf(0)が負になればよいので
f(0)<0
が条件になります。

(2)について
この場合も、場合分けは不要です。
No.932 - 2008/08/22(Fri) 12:44:22
☆ Re: / りり ♀ [中国] [高校１年生]
すみません！！ミスです。
頂点も計算しなおしました。

(1)も(2)も何とか解けました。ありがとうございました。
No.936 - 2008/08/22(Fri) 20:03:38
★ (No Subject) / ALIVE [高校2年生]
質問させてください。
【問題】
y=sin{(π/6)-2x}+cos2xとするとき次の各問いに答えよ。
(1)関数yの最大、最小値を求めよ。
(2)0≦x≦πのとき、y≧0となるxの値の範囲を求めよ。

(1)はsin{(π/6)-2x}の部分に加法定理を利用してからsinへ合成して、
y=√3sin{2x+(2/3π)}…?@としてmax:√3 min:-√3　と求まったのですが(2)は解答を見てもいまいち理解できませんでした。

解答では、0≦x≦πより、2/3π≦2x+2/3π≦8/3π
ココまではいいのですが次に、?@よりy≧0となるのは2/3π≦2x+2/3π≦πまたは2π≦2x+2/3π≦8/3π

となっているのですが?@より上の不等式がどうやって導かれたのかが分かりません。

ご教授よろしくお願いします。
No.906 - 2008/08/20(Wed) 01:48:39
☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　ALIVEさん，おはようございます。

　まずは，次の問題に答えてください。

　（１）　0≦x≦2πのとき，sinx≧0 となるxの値の範囲を求めよ。
　（２） 0≦x≦2πのとき，sin(x+(π/4))≧0 となるxの値の範囲を求めよ。
No.908 - 2008/08/20(Wed) 06:07:04
☆ Re: / ALIVE [高校2年生]
返信ありがとうございます。

(1)0≦x≦π
(2)π≦x≦2π
でしょうか…？

考え方としてはそれぞれ単位円で考えました。
No.909 - 2008/08/20(Wed) 11:27:01
☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　１つ目はほぼ正解です。
　最後に，１周しきったところで x=2π も解になりますから，正しい答えは，0≦x≦π, x=2π ですね。
　（多くの問題では x の動く範囲で 2π が入っていないので，ひっかけみたいになってしまいましたね。これは意図したことではありませんが，失礼いたしました。）

　２つ目の方は正解ではありません。
　１つめとの違いは，sin をかぶせているのが x であるか，x+(π/4) であるかという点です。
　いま，0≦x≦2π ですから， (π/4)≦x+(π/4)≦(9/4)π となります。
　x+(π/4) というのはややこしいですから，改めて X とし置き換えてみましょう。
　そうすると，２番目の問題は結局は

　(π/4)≦X≦(9/4)πのとき，sinX≧0 となるXの値の範囲を求めよ。

となります。

　この答えはどうなるでしょうか。大文字の X のままで範囲を答えてください。
　同じように単位円をかいて考えれば分かるはずです。
No.910 - 2008/08/20(Wed) 12:02:03
☆ Re: / ALIVE [高校2年生]
(1)は≦の記号を正確に読み取れていませんでしたね…（汗

(2)は反時計回りに45°〜405°まで、つまり一周だから…
π/4≦X≦π,2π≦X≦(9/4)π　でしょうか…？
No.923 - 2008/08/20(Wed) 23:59:11
☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　それで正解です。

　元の問題の解を求めるには，置き換えた X を元の x+(π/4) に戻して，

　π/4≦x+(π/4)≦π,2π≦x+(π/4)≦(9/4)π　より，0≦x≦(3/4)π, (7/4)π≦x≦2π

となります。

　もうお気づきかもしれませんが，何がポイントなのかというと，sin の中身が何であろうと，その中身をまるごと X などの文字に置き換えたとすれば，この問題のようにsin が０以上になるのは，単位円をかいたときの上側（ｘ軸上も入る）だということです。

　ご質問では

> 解答では、0≦x≦πより、2/3π≦2x+2/3π≦8/3π
> y≧0となるのは2/3π≦2x+2/3π≦πまたは2π≦2x+2/3π≦8/3π

とありましたが，いまのように，2x+2/3πをまるごと X と置き換えれば，2/3π≦X≦8/3π の範囲で y≧0 となるのはどういうときか，というわけで，
（√３は正の数ですからこれで割ったと考えれば）先ほどの問題のように，単位円で上側に来ている部分を答える，ということになります。後は，置き換えたものを元に戻して，という手順をたどればけっこうです。

　慣れてくれば，その解答のように置き換えしなくてもそのままで処理していくことができますが，最初のうちは，置き換えて考えた方が分かりやすいと思います。

　分からない点がありましたら遠慮なく書き込んでくださいね。
No.924 - 2008/08/21(Thu) 01:05:05
☆ Re: / ALIVE [高校2年生]
もう一度問題をはじめから解きなおしてみたら完璧に解けました。

分かりやすい説明本当にありがとうございました！
No.927 - 2008/08/21(Thu) 10:11:35
★ (No Subject) / 翠　 [高校１年生]
こんにちは。質問があります。

２次方程式x^2-(p+1)x+2-p=0の二つの解がともに２より小さくなるように、定数pの範囲を求めよ。

解答には、条件として、?@軸＜2　?A判別式D≧0　?Bf(2)＞0　とあり、これは理解できます。
わからないのは、次のことです。
この方程式の二つの解をα、β（α≧β）と考えると、α、つまり解の公式の二つのうちの、
ルートの前の符号がプラスのほうが２より小さければいい、と考えました。
そして、それは判別式D≧0が含まれていると考えたのですけど、なぜいけないのでしょうか？
解が、２より小さいということは、解が実数だということだと思ったのです。
どう間違っているのでしょうか？
　
よろしくお願いします。
No.912 - 2008/08/20(Wed) 13:32:19
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんにちは．
こういう回答でいいでしょうか．

「(√ｘ)＜２ を解け」という問題があったとき，
両辺を２乗して，
　　ｘ＜４
を答にしてはまずいですよね．
なぜならば，４ より小さい −１ などは，もともとの不等式を満たしません．
つまり，２乗するより何をするより先にまず考えないといけないことは，『根号の中は負であってはいけない』ということです．
すると，答案としては，
　　根号の中は非負であるから，　　　　　ｘ≧０
　　与えられた不等式の両辺を２乗して，　ｘ＜４
　　したがって，不等式の解は，　　　０≦ｘ＜４
という具合になります．

なお，翠さんの問題の場合，もうひとつ考えないといけないことがあるのですが，その話は上記のことを理解した後にしたいと思います．
No.913 - 2008/08/20(Wed) 14:51:22
☆ Re: / 翠　 [高校１年生]
つまり、この問題の場合、

(p+1)+√(p^2+6p-7)＞4
√(p^2+6p-7)＞-p+3
ここから、次の
p^2+6p-7＞p^2-6p+9
とした時に、考えが足りなかった、ということですね。

つまり、中がマイナスの時の、i√-(p^2+6p-7)を二乗して、
　　-1 ×　-(p^2+6p-7) = p^2+6p-7　、も
含まれてしまっているということであっているのでしょうか？
No.914 - 2008/08/20(Wed) 16:22:08
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
> つまり、この問題の場合、
> (p+1)+√(p^2+6p-7)＞4
> √(p^2+6p-7)＞-p+3
> ここから、次の
> p^2+6p-7＞p^2-6p+9
> とした時に、考えが足りなかった、ということですね。
　その通りです．

> つまり、中がマイナスの時の、i√-(p^2+6p-7)を二乗して、
> 　　-1 ×　-(p^2+6p-7) = p^2+6p-7　、も
> 含まれてしまっているということであっているのでしょうか？
　まぁ，そうですが，今考えているのは不等式ですから，わざわざ虚数単位まで持ち出すことはないでしょう．

　では，ｐ^2＋６ｐ−７≧０ を含めて，問題を解いてみてください．正解が出るはずです．
No.915 - 2008/08/20(Wed) 16:34:46
☆ Re: / 翠　 [高校１年生]
p^2+6p-7≧0　よりp≦-7,1≦p　かつ、
p^2+6p-7＜p^2-6p+9
12p＜16
p＜4/3　　より　p≦-7,1≦p＜4/3 と答えが出ます。

でも、これでは?@軸＜2を使っていません。
これは、たまたまなのでしょうか？
No.916 - 2008/08/20(Wed) 16:51:29
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
> でも、これでは?@軸＜2を使っていません。
> これは、たまたまなのでしょうか？
　そうです．たまたまです．

また，例を出します．

「√ｘ＜ｘ−２ を解け」という問題で，
　　ｘ≧０ かつ ｘ＜(ｘ−２)^2
を解くと，
　　０≦ｘ＜１，４＜ｘ
となります(解いてみてください)．
しかし，ｘ＝１/２ではもとの不等式は成り立ちません．
つまり，左辺の√ｘ は０以上ですが，右辺の ｘ−２ はそれより大きいので，ｘ−２＞０ を考えて，ｘ＞２ も考慮しないといけないのです．

まとめると，
　　√Ａ＜Ｂ
という不等式を解くためには，
　　Ａ＜Ｂ^2 かつ Ａ≧０ かつ Ｂ＞０
を解かないといけないのです．
ただし，問題の内容によっては，どれかを考慮しなくても答を得ることができる場合があります．
No.917 - 2008/08/20(Wed) 17:26:17
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
で，結論ですが，
翠さんの方法で解くのは，(考慮すべき事がたくさんあって)大変です．
常識的には，

＞?@軸＜2　?A判別式D≧0　?Bf(2)＞0　

を考える方が常識的です．
No.918 - 2008/08/20(Wed) 17:29:58
☆ Re: / 翠　 [高校１年生]
つまり、√(p^2+6p-7)≧-p+3　で、
　√(p^2+6p-7)≧0　より、-p+3＞0　で、?@軸＜2で、出てくるはずの
p＜3 が、出てくるのですね。

よくわかりました。有難うございました。
No.920 - 2008/08/20(Wed) 18:06:57
★ はじめまして / 笹舟 ♀ [近畿] [高校１年生]
はじめまして、こんばんは。
夏休みの宿題でわからない問題があるので解説お願いします。

1円硬貨が8枚、5円硬貨が3枚、10円硬貨が2枚、100円硬貨が3枚ある。また、「支払」という場合、金額は一円以上とし、「0円の支払い」は含まないものとする。
?@異なる支払の方法は何通りあるか。ただし、同種の効果は互いに同じものとみなし、1円硬貨5枚と5円硬貨1枚のように金額が同じでも硬貨の組み合わせが異なるものは異なる支払方法とする。
?A支払える金額は何通りあるか。
?Bそのうち支払い方法が1通りしかない金額は何通りあるか。

1997年の図書館情報大学の過去問らしいです。全く分かりません。
お願いします。
No.897 - 2008/08/17(Sun) 23:34:54
☆ Re: はじめまして / 一ノ谷 ♂ [社会人]
笹舟さん，こんにちは．一ノ谷です．

（２），（３）はやや面倒ですね．

（１）各額面の硬貨を何枚使うかを決めればよく，１円硬貨は０から８枚までの９通り，…，１００円硬貨は０から３枚までの４通り，ただし，すべてが０枚の場合は除くので，９×４×３×４−１通り．

（２）１円硬貨が５枚，５円硬貨が１枚あれば額面１から１０円までが構成できます．そのそれぞれに１０円硬貨１枚，または，５円硬貨２枚を加えていくと，額面１１から２０円，２１から３０円，３１から４０円までが構成でき，４０円に残りの１円硬貨を１枚ずつ加えれば額面４１から４３円までが構成でき，ここまでで４３通りです．あとは，そのそれぞれに１００円硬貨を１枚ずつ加えた場合の４３×３通り（額面１０１から１４３，２０１から２４３，３０１から３４３円），そして１００円硬貨以外は使わない場合の３通り（額面１００，２００，３００円）を合わせて，４３×４＋３通り．

（３）額面１から４円まで，および，９円の構成は１通りずつですが，額面５から８円までには，５円硬貨１枚と１円硬貨５枚とを交換する構成があります．ここまでは，５円硬貨１枚または１円硬貨しか使っていないので，５円硬貨２枚と１０円硬貨１枚とを交換しながら，額面１０から３３円までが構成できます．しかし，額面３４円は４３円から９円を除いたものなので５円硬貨１枚，１円硬貨４枚を残す構成（つまり，額面９円の構成と同じ）の１通りのみ．同様に４３円から除く額面が１から４円までの構成も１通りずつ．そして額面４３円も１通り．ここまでで５×２＋１＝１１通り．あとは，そのそれぞれに１００円硬貨を１枚ずつ加えた場合と１００円硬貨以外は使わない場合とを合わせて，１１×４＋３通り．

以上，判り難い点があればご遠慮なくどうぞ．
No.911 - 2008/08/20(Wed) 13:25:10
★ (No Subject) / kame ♂ [高校2年生]
平面ベクトルa↑は大きさが3√5で、平面ベクトルb↑=(1,2)に垂直ある。
a↑を求めよ。

という問題です。もうどうしていいかすらわかりません。
お願いします。
No.849 - 2008/08/13(Wed) 19:47:07
☆ Re: (No Subject) / アリス
解答してます
No.850 - 2008/08/13(Wed) 20:16:36
☆ Re: (No Subject) / アリス
こんにちは。

では参りましょう

まずａ↑=（x,y）とおく
そうすると
x^2＋y^2=（3√5）^2 …?@
またａ↑とb↑が垂直だから…どういう風に表せますか？
垂直条件です




ここまでできましたら書き込みしてください。
No.851 - 2008/08/13(Wed) 20:23:48
☆ Re: / kame ♂ [高校2年生]
ありがとうございます。
b↑=(1,2)ではなくb↑=(-1,2)でした

垂直だから（x,y)･(-1,2)=0
これをx^2＋y^2=（3√5）^2と連立すればいいのですか？
No.852 - 2008/08/13(Wed) 20:49:58
☆ Re: (No Subject) / アリス
返信おくれてすいません…

はい
それで問題ないです♪
No.905 - 2008/08/19(Tue) 22:00:11
★ (No Subject) / kame ♂ [高校2年生]
座標平面上に3点O(0,0)、A(2,3)、B(6,1)がある。点Pの位置が実数s、tを用いて
OP↑=sOA↑+tOB↑で表されている。次のそれぞれの場合について、点Pの位置または
存在範囲を図示し、その理由を答えよ。

(1)s=1/2、t=1/2

(2)s+t=1、s≧0、t≧0

という問題です。座標が出てくる問題は初めて見たのでどうやっていいか分からない状況です。お願いします。
No.891 - 2008/08/17(Sun) 15:44:20
☆ Re: / X ♂ [社会人]
kameさん、こんばんは。

座標計算の処理は後回しにして、まず与えられているベクトル方程式から
点PとA,Bとの位置関係をまず求めます。

(1)
↑OP=(↑OA+↑OB)/2
ですので点Pは線分ABの中点になります。
これは単に成分計算すれば点Pの座標は求められます。

(2)
このとき点Pは線分AB上の任意の点になります。
後は点P(x,y)とでも置いて、数Iでやったの同じように線分ABの方程式を求めるか
成分計算でx,yをtの方程式で表した後でtを消去してx,yの関係式を求めるか
お好きな方法で解いてください。
No.896 - 2008/08/17(Sun) 22:42:36
☆ Re: / kame ♂ [高校2年生]
ありがとうございました
No.904 - 2008/08/19(Tue) 20:54:45
★ 答案での記号の使い方 / mellow [大検生]
答案を作るときに、
「⇔」「∴」
という記号を用いることがあると思うのですが、この2つはほとんど同じ意味で使っていいのでしょうか？
「⇔」の使い方がよくわからず、今まで日本語と「∴」しか使ったことがないのですが。
No.900 - 2008/08/19(Tue) 00:17:53
☆ Re: 答案での記号の使い方 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
mellowさん，こんにちは
「⇔」は普通「同値」の意味に使います。
「⇔」の前後に書かれていることは表現は違っていても全く同じことであるという意味です。
「∴」は普通「ゆえに」と読みます。
『「∴」の前に書かれている事柄から，あとに書かれている事柄が導かれる。』という意味です。
したがって，同じ意味で使うことは出来ません。
No.901 - 2008/08/19(Tue) 13:39:51
☆ Re: 答案での記号の使い方 / mellow [大検生]
七さんありがとうございます。
さっきネットで検索していたら同じような質問があって、「⇔は使い方を間違えることが多いので∴を使う方が無難」と結論づけられていました。
（質問した後なのにすみません。）

>>同じ意味で使うことは出来ません。
とありますが、∴を⇔で書き換えることが間違いであることは多いと思うんですが、基本的に⇔は∴で書き換えてもＯＫな場合は多いのでしょうか？
No.902 - 2008/08/19(Tue) 15:23:25
☆ Re: 答案での記号の使い方 / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
> 「⇔」は普通「同値」の意味に使います。
> 「⇔」の前後に書かれていることは表現は違っていても全く同じことであるという意味です。
> 「∴」は普通「ゆえに」と読みます。
> 『「∴」の前に書かれている事柄から，あとに書かれている事柄が導かれる。』という意味です。
したがって部分的には 「⇔」が使えるときはいつでも 「∴」を使えます。

しかし答案全体を考えると「⇔」を使わなければならないときもあります。
No.903 - 2008/08/19(Tue) 17:09:31
★ ベクトルの問題です / ★ [高校3年生]
ベクトルの問題です。ベクトルの記号を使っていないので読みにくいと思いますが、よろしければ、ご解答お願いします！本当に困ってます・・・

平面上の３つのベクトル　aベクトル、bベクトル、cベクトルは
｜aベクトル｜＝｜bベクトル｜＝｜cベクトル｜
＝｜aベクトル＋bベクトル｜＝１
を満たし、cベクトルはaベクトルに垂直で、bベクトル・cベクトル＞０であるとする。

（１）aベクトルとbベクトルの内積は？また、｜２aベクトル＋bベクトル｜は？また、２aベクトル＋bベクトルとbベクトルのなす角は？
（２）cベクトルをaベクトルとbベクトルで表すと？
（３）x、yを実数とする。ｐベクトル＝ｘaベクトル＋ycベクトルが
０≦ｐベクトル・aベクトル≦１、　０≦ｐベクトル・ｂベクトル≦１
を満たすための必要十分条件は？
また、ｘとｙがその範囲を動くとき、ｐベクトル・ｃベクトルの最大値は？そして、この最大値をとるときのｐベクトルをaベクトルとbベクトルで表すと？
No.885 - 2008/08/17(Sun) 08:19:15
☆ Re: ベクトルの問題です / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
とりあえず
(1) のヒント
> ｜aベクトル｜＝｜bベクトル｜＝1,
> ｜aベクトル＋bベクトル｜＝１
両辺を2乗したらどうなりますか？
これでaベクトルとbベクトルの内積は求められると思います。
No.887 - 2008/08/17(Sun) 09:52:05
☆ Re: ベクトルの問題です / ★ [高校3年生]
ありがとうございます！そこは出来るのですが、その後が・・・
特に（３）が分かりません。お手数ですが教えていただけるとありがたいです！！
No.888 - 2008/08/17(Sun) 13:40:50
☆ Re: ベクトルの問題です / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
aベクトルとbベクトルの内積から
そのなす角は分かりますね。
aベクトルとcベクトルは垂直ですから，bベクトル・cベクトル＞０から
bベクトルとcベクトルのなす角も分かるはずです。
ならば(2)は図形的に考えても
内積を用いても求められるはずです。
No.899 - 2008/08/18(Mon) 11:57:26
★ (No Subject) / ちぃ ♀ [高校2年生]
こんばんは。円の方程式の問題です。

円　x^2＋y^2＝１７　の接線のうち、直線　４x＋y＝３
に平行なものの方程式を求めなさい。


どうしてもわかりません。解説よろしくお願いします。
No.893 - 2008/08/17(Sun) 18:32:12
☆ Re: / X ♂ [社会人]
ちぃさん、こんばんは。

x^2+y^2=17 (A)
4x+y=3 (B)
とします。
これはいくつか方針があります。

解法その１)
求める接線は直線(B)に平行ですのでその方程式は
4x+y=d (C)
と置くことができます。
(A)(C)からyを消去して
x^2+(-4x+d)^2=17
整理して
17x^2-8dx+d^2-17=0 (A)'
題意から(A)'は重解を持たなければなりませんので、解の判別式を
Dとすると
D/4=16d^2-17(d^2-17)=0
これを解いてdを求めます。

解法その２)
求める方程式を(C)と置くところまでは解法その１と同じです。
ここからですが
(A)の中心である原点と(C)との間の距離が(A)の半径である√17
となることから、点と直線の間の距離の公式を使うと
|4・0+0-d|/√(4^2+1^2)=√17
これを解いてdを求めます。

解法その３)
求める接線の接点の座標を(a,b)とすると、接線の方程式は
ax+by=17 (D)
と置くことができます。
これが(B)と平行ですので係数の比について
a:b=4:1 (E)
又、点(a,b)は(A)上の点ですので
a^2+b^2=17 (F)
(E)(F)を連立して解き、a,bを求めます。
No.895 - 2008/08/17(Sun) 22:32:17
☆ Re: / ちぃ ♀ [高校2年生]
解けました。
ありがとうございました。
No.898 - 2008/08/17(Sun) 23:55:50
★ (No Subject) / いろは ♀ [再受験生]
2008年のセンター試験の問題です。

２Bの第１問の〔２〕で、
問題は、

『aを定数とする。点Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径が１の円と半径が２の円をそれぞれC1,C２とする。

θ≧０を満たす実数θに対して、角ａθの動径とＣ１との交点をＰとし、角π/２−θ/３の動径とＣ２との交点をＱとする。

ここで、動径はＯを中心とし、その始線はx軸の正の部分とする。』

で、

『(１)θ＝πのとき、Ｑの座標は(√【ス】、【セ】)である。
　
　(２)３点Ｏ，Ｐ，Ｑがこの順に一直線上にあるような最小のθの値は【ソ】/【タ】ａ＋【チ】πである。

　θが０≦θ≦【ソ】/【タ】ａ＋【チ】πの範囲を動く時、円Ｃ２において点Ｑの軌跡を孤とする扇形の面積は

　【ツ】/【テ】ａ＋【ト】πである。』

なんですが、こちらのＨＰの解説を見ていたら、図１のように、Ｑは、y軸を始線として考えるんですか？
でも、問題文には、『その始線はx軸の正の部分とする。』と書いてあるのにいいんですか？

でも、(２)では、解説に『x軸の正の向きとＯＰ，ＯＱのなす角が一致するとき、』と書かれているので、(２)の時にはＱはx軸の側から考えているということですか？



あと、扇形の面積を求める時に、解説の式は、1/2(1/3・3π/6a+2)・2^2となっていたんですが、θがどうして1/3・3π/6a+2と表せるのかが分かりません。。。

私は、π・2^2・1π/6a+2/2πと考えたんですが・・・。


たくさん書いてしまってすみません。よろしくお願いします。
No.878 - 2008/08/16(Sat) 13:51:46
☆ Re: / londontraffic ♂ [教育関係者]
いろはさん，こんにちは．
解説を作成したlondontrafficと申します．
さっそくいきましょう．

>図１のように、Ｑは、y軸を始線として考えるんですか？
まず，「始線」の意味をもう一度確認してみましょう．
始線とは一般角を考えるときの基準となる半直線であり，点がスタートする半直線のことではありません．
今回の点Qは動径がπ/２−θ/３でθ≧０で考えているわけですから，θ=0すなわちπ/２からスタートするのです．

次に扇形の面積ですが，半径r，中心角をθ（ラジアン）のとき，1/2×r^2×θで得られます．
今回の半径は２，中心角は1/3・3π/6a+2ですから1/2(1/3・3π/6a+2)・2^2で得られます．
>π・2^2・1π/6a+2/2π
ですが，π・2^2・(1π/6a+2)/(2π)ならば，これでokですよ．

いかがですか．
No.879 - 2008/08/16(Sat) 17:36:37
☆ Re: / いろは ♀ [高校１年生]
londontraffic先生、回答ありがとうございます。

点がスタートする半直線のことだと思っていました(+_+)

始線がx軸の正の部分の半直線だから、Ｑはy軸の方からスタートするけど、問題の中で角を考える時はx軸の方から考えるということですか？

はい！　π・2^2・(1π/6a+2)/(2π)です。

1/2(1/3・3π/6a+2)・2^2の、
式は分かったんですが、中心角の中の1/3というのはどこからきたんですか。。？
No.884 - 2008/08/17(Sun) 00:10:24
☆ Re: / londontraffic ♂ [教育関係者]
>始線がx軸の正の部分の半直線だから、Ｑはy軸の方からスタートするけど、問題の中で角を考える時はx軸の方から考えるということですか？
その通りなんですけど，ちょっと深く考えすぎのような気がしますよ．
原点と点(0,1)とを結ぶ線分が表す角は，π/2（厳密にはπ/2+2nπ(nは整数)）ですよね．
でも始線をy軸正の部分とすれば0となってしまいます．
私たちが普段目にしている問題と同じように，始線を決めているだけなのです．

>中心角の中の1/3というのはどこからきたんですか。。？
∠QOQ’の大きさはθ/3です．今，θ=3π/6a+2なので，中心角は1/3・3π/6a+2となります．

どうでしょう？
No.886 - 2008/08/17(Sun) 09:26:32
☆ Re: / いろは ♀ [高校１年生]
０になるとかまでは考えていなかったので、よく分かりました。
ありがとうございます！


中心角は、θは0≦θ≦3π/6a+2だけど、
∠QOQ’の大きさはθ/3だから、θをθ/3に直すと、0≦θ/3≦1π/6a+2という範囲を動くようになるから、中心角は1π/6a+2までの範囲になるから1/3・3π/6a+2ということでいいんですか？

　
No.889 - 2008/08/17(Sun) 14:00:02
☆ Re: / londontraffic ♂ [教育関係者]
はい．それでokですよ．
No.892 - 2008/08/17(Sun) 16:21:30
☆ Re: / いろは ♀ [高校１年生]
理解できました。

ありがとうございました。
No.894 - 2008/08/17(Sun) 18:50:50
★ 図形と方程式 / kame ♂ [高校2年生]
円C:x^2+^2=10上の点(3,1)で円Cに接する直線ℓ1の方程式を求めよ。
また、直線ℓ1と直角に交わり、円Cと第4象限の点で接する直線ℓ2の方程式を求めよ

という問題です。ℓ1が3x+y=10というのは分かります。が、第四象限で接するというのが良く分かりません。お願いします。
No.871 - 2008/08/15(Fri) 16:30:16
☆ Re: 図形と方程式 / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
kameさんこんにちは。
> ℓ1が3x+y=10というのは分かります。が、第四象限で接するというのが良く分かりません。お願いします。

第四象限で接すると ⇔ 接点のx座標は正，y座標は負
ということです。
3x−y＝10 が答だと言うことはすぐ分かると思います。
No.872 - 2008/08/15(Fri) 17:38:11
☆ Re: 図形と方程式 / kame ♂ [高校2年生]
ありがとうございました
No.890 - 2008/08/17(Sun) 14:56:21
★ (No Subject) / mellow [大検生]
よろしくお願いします。1対1?Uの問題です。

「曲線C:y=x^3+ax上に次の条件(1)(2)を満たす相違なる2点P,Qがとれるとする。
このとき、定数aの値の範囲を求めよ。
(1)2点P,Qを通る直線lは点Pで曲線Cに接している。
(2)点Qにおける曲線Cの接線mと直線lは直交している。」

【解答】
C:y=x^3+ax
この式の右辺をf(x)、P,Qのx座標をそれぞれp,q、直線lをy=kx+nとおくと、
f(x)-(kx+n)=(x-p)^2(x-q)
・
・

となっているのですが、なぜf(x)-(kx+n)=(x-p)^2(x-q)となるのかわかりません。
No.861 - 2008/08/14(Thu) 17:23:43
☆ Re: / X ♂ [社会人]
mellowさん、こんばんは。

一般にxの整関数
y=f(x) (A)
(つまりf(x)がxの整式となっている)上の点(p,f(p))
における接線の方程式を
y=lx+m (B)
とすると、(A)(B)の交点のx座標に関する方程式
f(x)=lx+m
つまり
f(x)-(lx+m)=0
の解であるx=pは重解になります。(*)
ここで問題の
f(x)-(kx+n)=0 (A)
はxの三次方程式ですのでx=pは２重解、３重解のいずれかでなければなりません。
しかしながら(A)はx=q≠pなる解も持たなくてはなりませんので３重解ではありえません。
従って(A)の解は
x=p,q(pは二重解)
となりますので
f(x)-(kx+n)={(x-p)^2}(x-q)
と因数分解できます。

…という解説になりますが、この解法は余り一般的ではありません。
仮に私がこの問題を解く場合、(*)を使った上記の方針ではまず解かず、
微分を使った別の方法で解きます。
(そもそも(*)を使うには証明が必要で、更にその証明には微分が必要になります。)
No.865 - 2008/08/14(Thu) 22:25:39
☆ Re: / mellow [大検生]
Xさん回答ありがとうございます。
この公式の使い方についての追加質問なんですが、これは曲線とその接線の間にしか使えないものなんでしょうか？
例えば3次関数f(x)があって、それと3点p,q,rで交わるような直線g(x)があったら、f(x)-g(x)=(x-p)(x-q)(x-r)とかはできないんでしょうか？

この公式を使うには証明が必要とのことですが、入試で使うと減点対象ということでしょうか？
大学の数学でもそういう解答載せてるんですね・・。
もしよければ一般的な解法の流れも教えていただけないでしょうか。
持っている他の問題集も探したのですが似ている問題が見つかりませんでした。
No.868 - 2008/08/15(Fri) 10:06:53
☆ Re: / X ♂ [社会人]
>>例えば3次関数f(x)があって、それと3点p,q,rで交わるような直線g(x)があったら、f(x)-g(x)=(x-p)(x-q)(x-r)とかはできないんでしょうか？
それは単に交点を持つ場合ですので、問題ありません。
私が問題にしているのは、直線が接しているときに重解を持つことですので。

>>大学の数学でもそういう解答載せてるんですね・・。
そうですか。それは知りませんでした。
ですが、避けた方が無難だと思います。


>>もしよければ一般的な解法の流れも教えていただけないでしょうか。
一般的かは不明ですが、私でしたら以下のように解きます。

曲線C:y=x^3+ax
より
y'=3x^2+a
∴C上の点(p,p^3+ap)における接線の方程式は
y=(3p^2+a)(x-p)+p^3+ap
整理して
y=(3p^2+a)x-2p^3 (A)
これが点(q,q^3+aq)を通るので
q^3+aq=(3p^2+a)q-2p^3 (B)
次に点(q,q^3+aq)におけるCの接線は(A)と直交するので、接線の傾きに付いて
(3p^2+a)(3q^2+a)=-1 (C)
(B)より
2p^3+q^3-3(p^2)q=0
これを
p^3+p^3+q^3-3ppq=0
と見ると
(p+p+q)(p^2+p^2+q^2-p^2-pq-pq)=0
∴(2p+q)(p-q)^2=0
p≠qですので
q=-2pかつp≠0 (B)'
これを(C)に代入して
(3p^2+a)(12p^2+a)=-1
36p^4+15ap^2+a^2+1=0 (C)'
(C)'はp=0を解に持たないことは明らかですので
単に実数解を持つ条件を考えます。
(g(p)=36p^4+15ap^2+a^2+1
と置いてg(p)の増減を考えてもよいし
(C)'をp^2についての二次方程式と見て,
正の実数解を持つ条件を考えてもよいでしょう。)
こちらの計算では
a≦-4/3
となりました。
No.875 - 2008/08/15(Fri) 23:49:27
☆ Re: / mellow [高校１年生]
返信遅くなりましてすみません。
Ｘさん回答ありがとうございます。とても参考になりました。
No.882 - 2008/08/16(Sat) 21:44:00
★ 2次関数の問題です。 / ボブ ♀ [高校１年生]
こんばんは。
夏休みの宿題が分からなくて投稿しました。
2次関数のちょっとした応用問題で、ほんとに意味が分からないので分かる方助けてください＞＜；

こんな問題です


2次関数y=2x^2+4x　のa-1≦x≦a　における最小値をbとすると、bはaの関数となる。
この関数を求めよ。


答えです

y=2x^2+4x=2(x+1)^2-2であるから、与えられた関数のグラフは下に凸の放物線で、軸は
x=-1である。
定義域　a-1≦x≦a　→aの増加とともに定義域全体が右へ移動する。
またa-(a-1)=1であるから、　（←これがよく分かりません。）
定義域の幅が1で一定。
軸の位置が　?@定義域の右外　?A定義域内　?B定義域の左外にある場合に分けて考える。

?@a＜-1のとき
x=a　で最小となり、最小値は b=2a^2+4a

?Aa-1≦-1≦a　すなわち　-1≦a≦0　のとき
x=-1　で最小となり、最小値は　b=-2

?B-1＜a-1 すなわち　a＞0のとき
x=a-1　で最小となり、最小値は
b=2(a-1+1)^2-2=2a^2-2

よって　a＜-1のとき b=2a^2+4a
　　　　-1≦a≦0のときb=-2
　　　　a＞0のとき2a^2-2


長々とすみません；
でもなぜ、a-(a-1)=1である　と分かるのか、どこからその式が出できたのかや、
場合分けの符号がなぜこのようになるかかなどが分かりません。

詳しく教えて下さい。お願いします!!
No.866 - 2008/08/14(Thu) 23:26:27
☆ Re: 2次関数の問題です。 / londontraffic ♂ [教育関係者]
ボブさん，こんにちは．
問題に入る前に，軸が動く・定義域が動くタイプの２次関数の最小値について確認です．

下に凸である放物線をグラフとする２次関数の最小値をとる場所は
・定義域内に軸があれば軸（頂点）のところ
・定義機内に軸がなければ軸から近い方の端点
です．

では，疑問点について．
>でもなぜ、a-(a-1)=1である　と分かるのか、どこからその式が出できたのかや、
もし定義域がa≦x≦2a（a>0）であれば，a=1なら幅２，a=3なら幅３というように，定義域が横に動くだけでなく，幅も変化します．そのために，幅が一定であることの確認をしているのです（計算しなくても幅１であることはわかると思いますが）．

次に，
>場合分けの符号がなぜこのようになるかかなどが分かりません。
ですが，上が解決してから話を進めましょう．
No.869 - 2008/08/15(Fri) 11:03:33
☆ Re: 2次関数の問題です。 / ボブ ♀ [高校１年生]
londontrafficさん、ありがとうございます!!
確かに…。
aにどの数をあてはめてみても、幅は1で一定と分かりますね。

ですが、
a＜-1のとき　x=aで最小となり、最小値は b=2a^2+4a
これは、なぜx=aと言えるのでしょうか??
どうやって最小値を出したのでしょうか??

教えて下さい!!
No.870 - 2008/08/15(Fri) 11:23:26
☆ Re: 2次関数の問題です。 / londontraffic ♂ [教育関係者]
はい，では続きです．
最初のカキコの番号通りに図を作ってみました．
まずはご覧になって，疑問点をカキコしてください．お願いします<(_ _)>
No.874 - 2008/08/15(Fri) 18:40:36
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