リュケイオン「高校数学質問掲示板」

★ (No Subject) / いろは [高校１年生]

こんにちは。

２Bのセンターの過去問が分からなくて。。。

第１問です。問題は、

『実数xyは

　3^1+log10X-5^y=1　・・・・・(＊) を満たしている。

このとき、

　K=5^y/3+3^-　log10X　　の最小値を求めよう。

真数の条件によりＸ＞【ア】である。ただし、対数logabに対して、aを底といい、bを真数という。次に、(＊)より、

　5^y=【イ】・3~log10X-1　である。

z=3^log10Xとおくと、5^y＞0であるから、zのとり得る値の範囲は

　z=【ウ】/【エ】　　　となる。

さらに、

　K=z+【オ】/z-1/【カ】となるから、

Kは、z=【キ】のとき、最小値【ク】/【ケ】をとる。

このとき、X=【コ】、y=log【サ】【シ】である。　』　　という問題です。

問題文の中の、

“z=3^log10Xとおくと、5^y＞0になるから”

というのが、どうして5^y＞0になるのか分かりません。

例えば、Xが0.01だったりしたら、5^yは、-2/3になって、マイナスになってしまわないんですか？

あと、【キ】の部分を解く時に、回答の中に、“z＞0なので”と出てきたんですが、どうしてzも0以上だと分かるんでしょうか？

宜しくお願いします。

No.823 - 2008/08/11(Mon) 14:43:42

☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]

> どうして5^y＞0になるのか分かりません。
5^y は常に正です。

> どうしてzも0以上だと分かるんでしょうか？
z=3^log10X ですからこれも常に正です。

思い出しましたか？

No.826 - 2008/08/11(Mon) 15:54:14

☆ Re: / いろは [高校１年生]

すみません！

z＞０というのは分かりました。

でも・・・、5^y は、例えばXが0.01だったりしたら、
5^y(5^y=3・3~log10X-1)は、-2/3になって、マイナスになってしまったりしないんですか？

No.836 - 2008/08/12(Tue) 13:04:52

☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]

yがどんな値のとき5^yが負になるのでしょうか？

>Xが0.01だったりしたら、
>5^y(5^y=3・3~log10X-1)は、-2/3になって、マイナスになってしまったりしないんですか？

Xが0.01だったら、5^yがマイナスになるのなら
Xは0.01の値はとりません。

No.837 - 2008/08/12(Tue) 13:37:30

☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]

ちなみに x＞0.1 です。5^y＞0 から求めます。

No.838 - 2008/08/12(Tue) 14:57:36

☆ Re: / いろは [高校１年生]

分かりました！

5^y＞0というのは、もう与えられているんだから、マイナスにはならないですよね。。

問題文を変な風に読んで、勘違いしていました。。

すみませんでした。

答えてくださってありがとうございました。<(_ _)>

No.867 - 2008/08/15(Fri) 00:34:57

★ 途中式の不等式 / mellow [大検生]

続けての質問すみませんがよろしくお願いします。
1対1?Uの124ページの途中計算なのですが、

-4k^3+12k^2+4k≧0
ここで,-4k^3+12k^2+4k=-4k(k^2-3k-1)
=-4k{k-(3-√13)/2}{k-(3+√13)}
∴k≦(3-√13)/2 または 0≦k≦(3+√13)/2

3行目からなぜ4行目になるのかよくわかりません。

No.862 - 2008/08/14(Thu) 17:33:53

☆ Re: 途中式の不等式 / X ♂ [社会人]

mellowさん、こんばんは。

横軸にk,縦軸にyを取ったkの三次関数
y=-4k^3+12k^2+4k
のグラフは、
k軸の交点が0,(3-√13)/2,(3+√13)/2
である逆N字型の形になります。
このグラフのy≧0となるkの範囲がどうなるか考えてみましょう。

No.863 - 2008/08/14(Thu) 21:58:50

☆ Re: 途中式の不等式 / mellow [高校１年生]

Xさん回答ありがとうございます。
グラフで考えればすぐわかりますね。
理解できました。ありがとうございます。

No.864 - 2008/08/14(Thu) 22:21:40

★ (No Subject) / mellow [大検生]

よろしくお願いします。
1対1?Uの113ページの問題です。
――――
等式 x²f'(x)-f(x)=x³+ax²+bx をみたす等式f(x)について、以下の問いに答えよ。
ただしa,bは定数である。

(1)f(x)はxの何次式か。
(2)このような整式f(x)が存在するためのa,bについての条件を求めよ。
――――
(1)を解くと、f(x)は2次式で、最高次数の係数は1/2だとわかります。
そこまでは理解できました。
以下、(2)の解答です。
――――
f(x)=(1/2)x²+px+qとおく。
(左辺)=x²f'(x)-f(x)=x²(x+p)-{(1/2)x²+px+q}
=x³+{p-(1/2)}x²-px-q
これと(右辺)のx³+ax²+bxを比べて、

p-(1/2)=a, -p=b, q=0 ･･････?@

これらを満たすp,qが存在するためのa,bの条件は、?@のはじめの2式からpを消去して、
b=-a-(1/2)
――――
なんとなくやっていることはわかるのですが、
「これらを満たすp,qが存在するためのa,bの条件は、?@のはじめの2式からpを消去して」という文の意味というかロジックがイマイチわかりません。
a,bの条件を求めよという問題なのに「p,qが存在するための条件」というのに問題がすり替わってしまっているところがよくわからないというか。

曖昧な質問ですみませんがよろしくお願いします。

No.839 - 2008/08/12(Tue) 20:35:39

☆ Re: / londontraffic ♂ [教育関係者]

mellowさん，返信遅れてすいません．

まず，問題文を確認してみます．
>(2)このような整式f(x)が存在するためのa,bについての条件を求めよ。
となっています．で，
>f(x)=(1/2)x2+px+qとおく。
としたワケですから，「f(x)が存在する」は「p,qが存在する」と同じと考えることができます．

的を射た回答になっているか自信がありませんが，いかがでしょうか？

No.856 - 2008/08/14(Thu) 07:36:55

☆ Re: / mellow [大検生]

ありがとうございます。
質問後によく考えたら納得できました。

No.860 - 2008/08/14(Thu) 17:04:09

★ はじめまして / ハロハロ ♂ [関東] [浪人生]

はじめまして。ハロハロと言います。
河合出版のやさしい文系数学という本の問題なのですが、よろしくお願いします。

問題-----------------------------------

不等式

ｙ≦-x^2+x,･･･?@
ｙ≧0,･･･?A
ｙ≧kx･･･?B

がある。?@かつ?Aで表される領域の面積が?@かつ?Bで表される領域の面積の8倍のときの
ｋの値を求めよ。

----------------------------------------

この問題で、?@かつ?Bで表される領域の面積を

1-k≦0のとき、∫ from （1-k） to 0, （-x^2+x-kx） dx

1-k≧0のとき、∫ from 0 to（1-k）, （-x^2+x-kx） dx

のように場合分けしたのですが、解答を見ると

|∫ from 0 to（1-k）, （-x^2+x-kx） dx |

となっていて、絶対値を外すと、0と1-kの大小で場合分けした時と同じ結果になりました。しかし、結果が一致することはわかったのですが、なぜそうなるのかがわかりません。

そもそも、∫ from α to β, |f(x)| dx のような、被積分関数に絶対値が付いているタイプの問題は見たことがありますが、定積分全体に絶対値が付いているものは初めて見ました。

いろいろと試行錯誤はしてみたのですがわかりませんでした。|∫ from 0 to（1-k）, （-x^2+x-kx） dx |と0と1-kの大小で場合分けして考えた場合がなぜ一致するのかご教授お願いします。

No.800 - 2008/08/08(Fri) 23:21:43

☆ Re: はじめまして / londontraffic ♂ [教育関係者]

こんばんは，ハロハロさん．
返信遅れて申し訳ありませんでした．
早速いきましょう．

まず，
1)int_a^b f(x) dx=-int_b^a f(x) dx
2)a<b，a≦x≦bでf(x)≧0のとき，int_a^b f(x) dx≧0
は了解していただけますか？

No.827 - 2008/08/11(Mon) 17:58:56

☆ Re: はじめまして / ハロハロ ♂ [関東] [高校１年生]

こんばんは。よろしくお願いします。

はい、大丈夫です。

No.840 - 2008/08/12(Tue) 22:50:50

☆ Re: はじめまして / londontraffic ♂ [教育関係者]

はい．では続きです．

1)を了承していただけるのなら
｜int_a^b f(x) dx｜=｜int_b^a f(x) dx｜
もokですよね．

今回の定積分を場合分けせずに
∫ from 0 to（1-k）, （-x^2+x-kx） dx ・・・（あ）
とした場合，
1-k≧0であればちゃんと面積が出てきますが，
1-k≦0であるときは，面積の値にマイナスが付いた数が出てきます．

ですから，（あ）を絶対値に入れた形
|∫ from 0 to（1-k）, （-x^2+x-kx） dx |
とすれば，1-k≧0，1-k≦0のいずれの場合も面積の値になります．

いかがですか？

No.843 - 2008/08/13(Wed) 08:17:46

☆ Re: はじめまして / ハロハロ ♂ [関東] [浪人生]

なるほど。言われてみると至極当然な気がします･･･。絶対値ははずすものだという事しか頭になかったので混乱していたようです。
ありがとうございました。

No.854 - 2008/08/14(Thu) 01:18:55

★ 平面上ベクトル / kame ♂ [高校2年生]

AB=5、BC=6、CA=3である△ABCの角∠CABの二等分線と辺BCの交点をDとする。
このとき、AD↑=【ア】AB↑+【イ】AC↑である。また、内積AB↑･AC↑=【ウ】である。
したがって、AD=【エ】となる。

【ア】、【イ】はわかります。【ウ】はAB↑･AC↑=|AB||AC|cosA、cosAは-1/15だから
5･3･(-1/15)=-1という計算であってますか？

また【エ】は全くわかりません。
解説が無いので質問ばかりですがお願いします。

No.841 - 2008/08/13(Wed) 00:43:37

☆ Re: 平面上ベクトル / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]

kameさん，おはようございます。
>【ア】、【イ】はわかります。
とのことですが，どのように求め，また，答はどうなりましたか？

【ウ】を求めるのに、cosA＝-1/15 を用いているようですが
この値はどのようにして求められたのでしょうか？

No.842 - 2008/08/13(Wed) 06:27:58

☆ Re: 平面上ベクトル / kame ♂ [高校2年生]

∠BADと∠CADはそれぞれ角の二等分線で、AB=5、AC=3だから
BC:DC=5:3 　(3AB+5AC)/(5+3)=3AB/8+5AC/8
よって【ア】は3/8、【イ】は5/8

cosA=(25+9-36)/30=-2/30=-1/15です

No.844 - 2008/08/13(Wed) 09:44:08

☆ Re: 平面上ベクトル / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]

> ∠BADと∠CADはそれぞれ角の二等分線で、AB=5、AC=3だから
> BC:DC=5:3 　(3AB+5AC)/(5+3)=3AB/8+5AC/8
> よって【ア】は3/8、【イ】は5/8
いいですね。

> cosA=(25+9-36)/30=-2/30=-1/15です
余弦定理を用いたのですね。実は余弦定理とベクトルの内積は兄弟なのです。cosAを求めなくても内積は求められルのです。
cosA=(25+9-36)/30＝(AB^2＋AC^2－BC^2)/2･AB･AC
両辺にAB･ACをかけると
AB･AC･cosA＝(AB^2＋AC^2－BC^2)/2
この式の左辺は求める内積そのものではありませんか？

【エ】については
AD＝|AD↑|ですから
AD↑＝(3/8)AB↑＋(5/8)AC↑ から |AD↑|^2 を計算すれば求められます。
もちろんこれを無視して，数1の三角比の知識でも求めることは出来るはずですよ。

No.845 - 2008/08/13(Wed) 10:18:32

☆ Re: 平面上ベクトル / kame ♂ [高校2年生]

ありがとうございます
余弦定理とベクトルの内積にそんな関係があったとは知りませんでした。
参考になります

【エ】は
|AD↑|^2=|3AB+5AC/8|^2
=9|AB|^2+25|AC|^2/64+2･3AB/8・5AC/8
=225/32+15/32･AB･AC
=225/32-15/32=210/32=105/16

AD↑=√105/4ですね

No.846 - 2008/08/13(Wed) 12:20:23

☆ Re: 平面上ベクトル / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]

> AD↑=√105/4ですね

正確に書くと
AD＝|AD↑|=√105/4
です。

No.847 - 2008/08/13(Wed) 12:34:07

☆ Re: 平面上ベクトル / kame ♂ [高校2年生]

そうでした
ありがとうございました

No.848 - 2008/08/13(Wed) 14:12:47

★ 領域の最大・最小 / kame ♂ [高校2年生]

こんばんは
またも分からないので質問させていただきます。

x^2+y^2≦4のとき、x-yの最大値、最小値を求めよ。

という問題です。
y=x-kにしたんですが、どこで最大、最小になるかが分かりません。

No.829 - 2008/08/11(Mon) 20:54:19

☆ Re: 領域の最大・最小 / X ♂ [社会人]

kameさん、こんばんは。

まず図示することを考えましょう。
x^2+y^2≦4 (A)
は原点中心の半径2の円の周及び内部を表します。
一方
y=x-k (B)
は切片が-k(-が付いていることに注意)である直線を表します。
従って(B)が(A)の周である円
x^2+y^2=4
に
上側から接しているとき-kは最大、つまりkは最小
下側から接しているとき-kは最小、つまりkは最大
になります。

No.830 - 2008/08/11(Mon) 22:35:38

☆ Re: 領域の最大・最小 / kame ♂ [高校2年生]

ありがとうございます。

円と直線が接するので、原点(0,0)と直線y=-x+kの距離と半径rが等しくなれば
いいのですね。
|k|/√2=2
|k|=2√2
k=±2√2
まではあってますか？
切片のkにマイナスがついているので少し混乱して頭が回りません。

No.831 - 2008/08/12(Tue) 00:01:02

☆ Re: 領域の最大・最小 / X ♂ [社会人]

あってますよ。
その値のうち
k=2√2
が最大値
k=-2√2
が最小値
となります。

只、これではどれが最大、最小なのか判断に困ると仰るのなら
x^2+y^2≦4 (A)
に
y=x-k (B)
が交わる条件として、原点(0,0)と(A)の距離が
(B)の半径以下になるという不等式、つまり
|k|/√2≦2
を
|k|/√2=2
の代わりに立てたほうがよいです。

No.834 - 2008/08/12(Tue) 07:00:42

☆ Re: 領域の最大・最小 / kame ♂ [高校2年生]

解決しました。
ありがとうございました。

No.835 - 2008/08/12(Tue) 07:31:54

★ 教えてください / Anna [高校１年生]

社会人ですが質問させてください
２の１乗＋２の２乗＋２の３乗＋２の４乗＋・・・・・・・
という計算はどうすれば良いんでしょうか？
高校のときに習ったような気がするのですが思い出せなくて・・・＾＾；
調べていたらここにたどり着きました

No.832 - 2008/08/12(Tue) 00:22:21

☆ Re: 教えてください / X ♂ [社会人]

Annaさん、おはようございます。

文面通りに解釈すると、問題の足し算は初項2、公比2の無限等比級数です。
これは初項が正で公比が1より大きいので∞に発散します。

そうではなくて問題の足し算が第n項で打ち切られているのなら
2^1+2^2+…+2^n=2(1-2^n)/(1-2)=2(2^n-1)
となります。

No.833 - 2008/08/12(Tue) 06:54:38

★ 2つの数を解とする2次方程式 / kame ♂ [高校2年生]

こんばんは

x^2-2x+√3=0の2つの解をα、βをするとき、α^3β^2、α^2β^3を解とする
2次方程式を1つ作れ。

という問題なのですがよくわかりません。
α+β=2、αβ=√3を使うのは間違っていませんか？

No.818 - 2008/08/10(Sun) 19:07:50

☆ Re: 2つの数を解とする2次方程式 / アリス

回答してます。

No.820 - 2008/08/11(Mon) 04:23:59

☆ Re: 2つの数を解とする2次方程式 / アリス

こんばんは。

ではいきましょう。

ニ数 α^3β^2 ,α^2β^3 を解とする二次方程式の１つは
x^2－（α^3β^2 ＋α^2β^3）x＋α^5β^5
と表せます。

とりあえずここまで確認してみましょう。

解と係数の関係を使うことはあってますよ♪

No.821 - 2008/08/11(Mon) 04:39:48

☆ Re: 2つの数を解とする2次方程式 / kame ♂ [高校１年生]

ありがとうございます
x^2－（α^3β^2 ＋α^2β^3）x＋α^5β^5
=x^2-α^2β^2(α+β)x+α^5β^5

α+β=2、αβ=√3だから
x^2-3×2×x+√3^5
=x^2-6x+9√3

よってx^2-6x+9√3=0ですか？

No.822 - 2008/08/11(Mon) 08:09:59

☆ Re: 2つの数を解とする2次方程式 / アリス

はい
正解です。

No.824 - 2008/08/11(Mon) 15:21:02

☆ Re: 2つの数を解とする2次方程式 / kame ♂ [高校2年生]

ありがとうございました

No.828 - 2008/08/11(Mon) 18:32:35

★ 極限 / Taka [高校3年生]

こんばんは。
「極限」の問題でわからないことがありましたので，回答お願いします。

数式が複雑なので，PDFファイルにしてあります。
お手数ですが，URLを参照してください。

【質問】
この問題の解答の流れはわかるのですが，
ax^2＋bx＋8 に x＝8 を代入して，

64x ＋ 8x ＋ 8 ＝ 0　とするところがわかりません。

なぜ，0になるのでしょうか??
確かに，他の問題で，x→2 など，x に 2 を代入すると，分母も分子も 0 に近づきます。
分子が 1 以外になることはないのですか??

お願いします。

No.807 - 2008/08/09(Sat) 22:37:00

☆ Re: 極限 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]

おはようございます，ＣＯＲＮＯです．

Taka さん，まず次の極限値を求めてください．答だけでかまいません．
　(１) lim[x→8]１/([3]√ｘ－２)
　(２) lim[x→8](－３)/([3]√ｘ－２)

なお，分母はともに「ｘの３乗根マイナス２」です．

No.812 - 2008/08/10(Sun) 08:28:50

☆ Re: 極限 / Taka [高校3年生]

解きました。
答えは PDF です。

http://image19.bannch.com:8082/bbs/3871/img/0105145558.pdf

No.813 - 2008/08/10(Sun) 10:38:21

☆ Re: 極限 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]

最初にお詫びします．うっかりしていました．
先の２題には答はありません．忘れてください．

で，言いたいことは何だったのかというと，
　「分母が０に収束しようとしているときに，分子が１や－３では，この分数は極限値を持たずに発散する」
ということです．

今，分子はａｘ^2＋ｂｘ＋８です．
これが１や－３に収束してしまったのでは，８４という極限値は絶対に出てきません．
なぜならば，発散してしまうからです．
発散せずに収束してもらいたいのならば，可能性はたったひとつ，分子が０に収束することなのです．

No.814 - 2008/08/10(Sun) 11:06:36

☆ Re: 極限 / Taka [高校3年生]

なるほど。なるほど。
そう言われてみれば，分子が 0 以外であれば，発散してしまいますね。

解決です!!
ありがとうございましたm(_ _)m

No.819 - 2008/08/10(Sun) 22:36:54

★ こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]

0≦x≦π/2,0≦y≦sin2xが定める図形をDとする。
(1)y=asinxとy=sin2xが0<x<π/2で交わるような定数aの範囲を求めよ。
(2)y=asinxが図形Dを面積の等しい２つの部分に分けるような定数aを求めよ。

(1)はasinx=sin2x ⇔ a=2cosx ∴0<a<2
と図で判断して出しました。

(2)ではＤの面積が１と出てきたので、y軸,y=asinx,y=sin2xで囲まれた面積が1/2と
出せればaが求まると思ったのですが、y=asinxとy=sin2xの交点が求められないので
うまくいきませんでした。
cosx=a/2なのでaに何か適当な値を入れてやって1/2と出してもオッケーではないと思うの
ですがどうすれば良いのでしょうか？どなたかよろしくお願いします。

No.791 - 2008/08/07(Thu) 22:46:41

☆ Re: こんばんは＾＾ / kinopy [近畿] [塾講師]

こんばんは。

>cosx=a/2なので…

亮さんの方針で行くなら
「aは(1)の範囲であることが必要で，このときcosx=a/2の解をα（0<α<π/2）とする」
として，計算すればいいでしょう。

ただ，計算が楽な別解を紹介すると…
上の「　」の続きで…
　∫_0^α(asin2x-sinx)dx=∫_α^{π/2}(sinx-axin2x)dx
⇔∫_0^α(asin2x-sinx)dx-∫_α^{π/2}(sinx-axin2x)dx=0
⇔∫_0^α(asin2x-sinx)dx+∫_α^{π/2}(asin2x-xinx)dx=0
⇔∫_0^{π/2}(asin2x-sinx)dx=0

でOKです。

分かりにくい箇所があれば再質問してください。

No.794 - 2008/08/08(Fri) 03:42:00

☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]

おそらくkinopy先生のタイプミスだと思うのですが、asinxとsin2xです。

あと、∫_0^α(asinx-sin2x)dx=∫_α^{π/2}(sin2x-axinx)dxという式は、

∫_0^α(sin2x-asinx)dx=∫_0^α(asinx)dx+∫_α^{π/2}(sin2x)dx

だと思うのですが？？

No.803 - 2008/08/09(Sat) 00:32:31

☆ Re: こんばんは＾＾ / kinopy [近畿] [塾講師]

こんばんは。

ごめんなさい。
またやってしまいました…m(__)m

問題を写し間違えていました。以後気をつけます。

この場合は楽な方法が使えないですね。
>亮さんの方針で行くなら
>「aは(1)の範囲であることが必要で，このときcosx=a/2の解をα（0<α<π/2）とする」

でいく他ないように思います。

No.804 - 2008/08/09(Sat) 01:15:01

☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]

こんばんは。。

すいません、、

>「aは(1)の範囲であることが必要で，このときcosx=a/2の解をα（0<α<π/2）とする」

という方針がよくわからないので教えて下さい。よろしくお願いします。

No.806 - 2008/08/09(Sat) 20:22:36

☆ Re: こんばんは＾＾ / kinopy [近畿] [塾講師]

こんばんは。

y=asin xとy=sin2xが0<x<π/2で交点を持つグラフは書けてますね？
交点～π/2では，asin x≧sin2xになってますか？

この部分の面積を1/2にすればよいのですが，交点のx座標が分かりませんね。
そこで，cosx=a/2を満たすxをαとおいたのです。
つまり，αとはcosα=a/2　(0<α<π/2)を満たすような値です。

これを使えば　∫_α^{π/2}(asin x-sin2x)dx=1/2
と式が立てられます。

ここまでOKなら続きに取り組んでください。
詰まった場合は，どこまで行けたか書き込んでくださいね。

No.808 - 2008/08/09(Sat) 23:34:41

☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]

解決しました！！
kinopy先生ありがとうございました。。

No.817 - 2008/08/10(Sun) 17:38:32

★ (No Subject) / 田中太郎 [関東] [高校１年生]

こんばんは。数Aの完全順列の問題でわからないところがあったので回答お願いします。

[問]　たて4列、横3行のマス目がある。どの列、どの行にも同じ数字が現れないように　1から4までの自然数を入れる入れ方の場合の数を求めよ。（赤チャート式数?TAのP241
練習問題37）
　
僕はこの問題でこのように考えました。
まず1行目から数字を入れていくと考える。
すると1行目は自由に並べかえられるので4!=24通り。
2行目は、1行目の数字と一致しないようになればよいので、4つの数字の完全順列なの　で、9通り。
3行目は、1行目と2行目の数字と一致しないようにする。
2 1 3 4　
1 4 2 3
例えば上のとき、3行目のところに入るのは、3241と4312の2通りである。対称性より、他の場合も2通りであると考えられる。
　
以上より24×9×2＝432通り

こう考えたのですが、答え（576通り）に会いません。僕の答案のどこに欠陥があるのでしょうか。教えてください。

No.809 - 2008/08/10(Sun) 00:08:52

☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]

おはようございます，直ちにいきます．

＞3行目は、1行目と2行目の数字と一致しないようにする。
＞2 1 3 4　
＞1 4 2 3
＞例えば上のとき、3行目のところに入るのは、3241と4312の2通りである。対称性より、他の場合も2通りであると考えられる。
　この３行目の部分が違っています．

　１行目が
　　　１２３４
　のとき，２行目は
　　　２１４３　…※
　　　２３４１
　　　２４１３
　　　３１４２
　　　３４１２　…※
　　　３４２１
　　　４１２３
　　　４３１２
　　　４３２１　…※
　の９通りありますが，
　※ の場合，３行目は４通り考えられます．(他は，２通りずつです)
　すると，
　　　４!×(３×４＋６×２)＝５７６
　です．
　やっかいな問題ですね．

No.811 - 2008/08/10(Sun) 07:47:48

☆ Re: / 田中太郎 [関東] [高校１年生]

CORNO♂さん、回答ありがとうございました。

No.815 - 2008/08/10(Sun) 12:57:55

★ (No Subject) / っやほー ♂ [甲信越] [高校3年生]

こんばんは！はじめまして！！
高三のっやほーです！！
早速なんですが学校で配られたプリントで数列の問題なんですが

an=sin nπ/2

n
Σbn=n^2+n+1
k=1

である数列an bn がある

n
Σ(an*bn)を求めよ
k=1

という問題なんですが、bnの一般項はもう解って
n≧2のときbn=2n
n=1のとき3で
Σの部分は4つに分けて考えるということまでは解ったのですが
ここからどう分けてよいか分かりません

お願いします(＿＿*)

No.798 - 2008/08/08(Fri) 20:43:10

☆ Re: / X ♂ [社会人]

っやほーさん、こんばんは。

では素直に4つに場合分けします。
nが偶数のとき
a[n]b[n]=0
となることに注意すると、lを自然数として
(i)n=4l-3のとき
l=1のときは
Σ[k=1～n]a[k]b[k]=3
l≧2のときは
a[n]b[n]=2(4l-3)
となりますので
Σ[k=1～n]a[k]b[k]=3-2・3+2・5-…-2(4l-5)+2(4l-3)
=3-{2・3+2・7+…+2(4l-5)}+{2・5+2・9+…+2(4l-3)}
=3-Σ[m=2～n]2(4l-5)}+Σ[m=2～n]2(4l-3)}
=…
(最後にlをnを用いて表します)
(ii)n=4l-2のとき
a[n-1]b[n-1]=2(4l-3)
a[n]b[n]=0
となりますので
Σ[k=1～n]a[k]b[k]
をlを用いて表すと(i)の場合のそれと同じになります。
但しこの場合はlとnとの関係が(i)とは異なることに注意してください。

(iii)n=4l-1のとき
a[n]b[n]=-2(4l-1)
となりますので
l=1のときは
Σ[k=1～n]a[k]b[k]=3-6=-3
l≧2のときは
Σ[k=1～n]a[k]b[k]=3-2・3+2・5-…-2(4l-5)+2(4l-3)-2(4l-1)
=…
((i)と同様に計算してみましょう)

(iv)n=4lのとき
(i)と(ii)の関係と同じく
Σ[k=1～n]a[k]b[k]
をlで表すと(iii)と同じになります。

別解)
4つに場合分け、とありますが実は
sin(nπ/2)=(-1)^{(n-1)/2}(nが奇数のとき) (A)
sin(nπ/2)=0(nが偶数のとき) (B)
と表すことができますので、2通りの場合分けで済みます。
上記から
nが偶数のときa[n]b[n]=0
となることに注意すると、lを自然数として
(i)n=2l-1のとき
l=1のときは
Σ[k=1～n]a[k]b[k]=3
l≧2のときは
Σ[k=1～n]a[k]b[k]=Σ[m=1～l]a[2m-1]b[2m-1]
=3+Σ[m=2～l]2(2m-1)(-1)^(m-1)
=…
(ii)n=2lのとき
l=1のときは
Σ[k=1～n]a[k]b[k]=-3
l≧2のときは
Σ[k=1～n]a[k]b[k]=Σ[m=1～l]a[2m-1]b[2m-1]
=3+Σ[m=2～l]2(2m-1)(-1)^(m-1)
=…

但し
Σ[m=2～l]2(2m-1)(-1)^(m-1)
の計算が多少煩雑ですのでこの方針がベストであるとも言い切れません。

No.799 - 2008/08/08(Fri) 22:08:42

☆ Re: / っやほー ♂ [甲信越] [高校3年生]

丁寧の回答ありがとうございます！！

あの、これってSnに-1をかけてSnからひいて求めるのは出来ますか？

ひとつの問題には大体別解があるんですね！！
どれでやるのが簡単でしょうか？

No.802 - 2008/08/08(Fri) 23:49:55

☆ Re: / X ♂ [社会人]

>>あの、これってSnに-1をかけてSnからひいて求めるのは出来ますか？
別解はその方法で解きます。
但し、最初の方法に比べてその計算が煩雑になると思いますので、先程も書きましたが
どちらが簡単か、一概には言えません。

No.805 - 2008/08/09(Sat) 03:35:21

☆ Re: / っやほー ♂ [甲信越] [高校3年生]

本当にありがとうございました！！
これで次に進めます！！

No.810 - 2008/08/10(Sun) 00:32:01

★ (No Subject) / mellow [大検生]

よろしくお願いします。

1対1のＢの9ページの問題からなのですが、
△ABCの内心をIとして、直線AIと線分BCの交点をDとします。
そうするとAI:ID=AB:BDが成り立つそうなのですが（問題の解答にそう書かれていたので。）、なぜそういえるのかわかりません。

それと解答ではこのAI:ID=AB:BDが注なしで唐突に書かれていたのですが、これはその理由について触れないで良いのでしょうか？

No.790 - 2008/08/07(Thu) 21:45:59

☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]

こんばんは。

ご質問の件は数学Aの平面幾何で出てくる定理です。
教科書等をお持ちでしたら，参照してください。

でも，それ以前にBD:DC=AB:ACというのを使いませんでした？
これもその定理の内容を使っているのですが…
もしかすると，BIが∠Bの2等分線であることを見落としているのかもしれませんね。

なお，BD:DC=AB:ACをベクトルを使って証明させる出題例もありますので（1対1は今手元にないので収録は未確認です）取り組まれるとよいと思います。

No.792 - 2008/08/08(Fri) 03:03:14

☆ Re: / mellow [大検生]

数Ａで出てくる知識だったんですね。
教科書を見てみましたが見あたりませんでした。

でもこれは定理として使っていいんですね。
ありがとうございました。

No.801 - 2008/08/08(Fri) 23:22:15

★ (No Subject) / mami ♀ [東北] [高校3年生]

こんにちは。

曲線ｙ＝５－９x^(2) , -2/3≦x≦1 と直線ｙ＝ｍ(ｘ+1）とが共有点をもつｍの範囲を求めよ。　

共有点をもつのは、点（1,-4)を通るときと放物線と接するときの間にあるときで、
点（1,-4)を通るとき、ｍ＝－２
接するときは曲線と直線の式から連立して、9x^(2)+mx+m-5=0
判別式Ｄ＝０より、(m-30)(m-6)=0
ここまで出来たんですけど、このあとのｍの範囲の求め方が分かりません。
教えてください。

No.795 - 2008/08/08(Fri) 11:43:42

☆ Re: / X ♂ [社会人]

mamiさん、こんにちは。

まず
>>(m-30)(m-6)=0 (A)
から、題意を満たすときのmの値(Mとします)を求めましょう。
(A)より
m=6,30
m=6のとき接点のx座標は…
m=30のとき接点のx座標は…

このMを使うと求めるmの値の範囲は
-2≦m≦M
となります。

あともう一点。
この問題では、「たまたま」mの最大値が直線が接する場合になりましたが
問題によってはそうでない場合もあります。
例えばこの問題で曲線の定義域が
-1/4≦x≦1
となった場合は、直線が接することはありません。

接するかどうか判定が難しい場合は、曲線、直線の方程式からyを消去した二次方程式
(この場合9x^2+mx+m-5=0)
が曲線の定義域の範囲
(この場合-2/3≦x≦1)
で少なくとも一つ解を持つ条件
(つまり放物線y=9x^2+mx+m-5が-2/3≦x≦1の範囲でx軸と少なくとも一箇所交わる条件)
を考える方針で解いた方が安全です。

No.797 - 2008/08/08(Fri) 17:11:38