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★ 積分の公式について / つよし ♂ [関東] [高校3年生]
はじめまして。高校３年のつよしと申します。よろしくお願いします。
早速質問させていただきます。
積分の公式(?)でα＜βのとき
∫α→β(x-β)(x-α)=-1/6(β-α)^3というのがありますが、塾の先生にこれは記述式の試験のときにはつかっちゃだめだと言われたのですが減点されるのでしょうか？自分の持ってる教科書にも掲載されているのですが。
教えてください。
No.787 - 2008/08/01(Fri) 13:03:07
☆ Re: 積分の公式について / kinopy [近畿] [塾講師]
つよしさん，はじめまして。kinopyです。

まず，最初に大学入試において細かい採点基準を明らかにしている大学はあまりありません。
したがって，私の意見は「採点基準を推測しただけで，何の確証もない」ことをご注意ください。

普通の採点基準の大学なら使って良いと思います。

例えば，名古屋大学では問題冊子と同時に「解答作成の際に利用して良い」とされる公式集が配布されますがその中にもちゃんと該当の公式が入っていますし，私立大学が発行した模範解答にもその公式の使用は複数の大学で見受けられます。

「普通の…」と書きましたが，数年前に某大学の先生が「入試においてこの公式は使ってほしくない」と公式の場で発言されている資料を見たことがあります。
というように，採点基準は大学によって様々ですので一概には言えません。

ですが，つよしさんの抱かれたのと同じく，教科書に載ってて，市販参考書の（おそらく）全てに載ってる公式の中で「使っていい公式」と「減点される公式」を受験生はどうやって見分けるんだ！？
と「某大学が地元でなくて良かった」と思います(^_^;)

もちろん，公式の証明を付記しておけば某大学でも大丈夫（のはず）ですし，上位校を志望しているなら，これらの公式の証明はできるようにしておくべきです。
No.789 - 2008/08/03(Sun) 04:09:41
★ (No Subject) / ドラゴン ♂ [近畿] [高校2年生]
校内テストの最後の証明問題です．
これだけ，どう考えても分からないので御教授下さい．
(1)は結構です．　教科書に載っていますので…

全ての自然数nに対して，3nCn＝3mnを満たす自然数mが存在する．……(A)
ここで，m1＝1，m2＝5である．
なお，pCq＝p！/q！(p−q)！が成り立つ．……(B)

(1)(B)を証明せよ．
(2)(A)を証明せよ．
(3)mn+1≧5mnであることを証明せよ．
No.760 - 2008/07/26(Sat) 19:17:11
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
(2)なんですが，

(3n)!/n!(2n)!としか変形できないのですが…

取り敢えず，(3n)!は(2n)!の全てを含んでいますので，それを約分しても数字はn個残り，最大の数が3nなのでその数さえ残れば確実に3の倍数であると言えますが，n!で本当に割り切れる，ということは証明しなくて言いのでしょうか？組み合わせは絶対整数なので…(事実ですが)，は誤魔化しになりますか．証明なしで使えますか．
No.761 - 2008/07/26(Sat) 19:27:20
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
こんにちは．ドラゴンさん．一ノ谷です．

（１）があるので (a+b)!/((a!)(b!)) (a,b=0,1,…) が正の整数であることは利用ですが，因数 3 が約分されずに残ることは示さねばなりませんから

(3n)!/((n!)(2n)!)＝(3n/n)×((3n-1)!/((n-1)!(2n)!))＝3×3n-1Cn-1

などとすればよいでしょう．
No.762 - 2008/07/27(Sun) 14:15:03
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校2年生]
大変遅くなってしまい，申し訳御座いません．

(3n)!/((n!)(2n)!)＝3n(3n−1)!/n(n−1)!(2n)!＝3×(3n−1)!/(n−1)!(3n−1−(n−1))!＝3×3n−1Cn−1

ということですね．3n−1Cn−1が整数であれば3の倍数であり，これが整数であることは(1)があって使えるので，3の倍数である，ということですか．

(3)は考え方がわかりません．数学的帰納法？かと思ったのですが…
No.778 - 2008/07/31(Thu) 15:34:53
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校2年生]
数学的帰納法じゃなかった…　もしかして下のであってます？

唯単に，

(2)よりmn＝3n−1Cn−1が言えるので，

唯単にmn＋1−5mn＝3n＋2Cn−5×3n−1Cn−1＝(3n＋2)!/(n)!(2n＋2)!−5(3n−1)!/(n−1)!(2n)!

通分して，(3n＋2)!/(n)!(2n＋2)!−5n(2n＋1)(2n＋2)(3n−1)!/(n)!(2n＋2)!
分子に着目して，(3n＋2)!−5n(2n＋1)(2n＋2)(3n−1)!＝(3n−1)!{(3n)(3n＋1)(3n＋2)−5n(2n＋1)(2n＋2)}＝(3n−1)!(7n3−3n2−4n)＝(3n−1)!n(7n2−3n−4)
ここで，7n2−3n−4＝7(n2−3n/7)−4＝7(n−3/14)2−121/28
よってグラフの軸はn＝3/14で下に凸．
なので，n≧3/14の範囲では単調増加…
ところで，n＝1の時，ちょうど0になり，その後は当然正である．
ゆえに，n≧1における(左辺)−(右辺)≧0が示された．

証明としては表現を変えるべき箇所もあるかと思いますが，
そうした記述的なことではなく，内容的にどうかを見ていただければ，と思います．
No.779 - 2008/07/31(Thu) 15:50:15
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
↑大事なこと忘れてました…

'分母は明らかに正である'
No.780 - 2008/07/31(Thu) 15:51:47
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
こんばんは．
（３）の証明は書き込みの通りでＯＫですが，7n^2-3n-4の符号判定は因数分解によるのが簡潔ですね
No.781 - 2008/07/31(Thu) 18:27:03
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校2年生]
Σ(゜_゜)!!

(7n＋4)(n−1)＝0⇔n≦−4/7または1≦nの時，(7n＋4)(n−1)≧0
∴全ての自然数nについて成り立つ．


因数分解に，気付きませんでした…

(3)の証明の内容はこれでよいのですね．

一ノ谷先生，ありがとう御座いました_(._.)_
No.783 - 2008/07/31(Thu) 19:24:30
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
↑y＝(7n＋4)(n−1)⇔…
ですね
No.786 - 2008/08/01(Fri) 09:44:14
★ (No Subject) / varnish ♂ [高校3年生]
こんにちは、今回もよろしくお願いします。

円上に3点Ａ0，Ｂ0，Ｃ0をとり、A0とB0,B0とC0,C0とA0で作られる円弧の中点をそれぞれA1,B1,C1とする。この操作を繰り返していくとき、三角形AnBnCnの極限はA0,B0,C0の位置によらず正三角形になることを示せ

円の中心をOとして、∠AnOBn＝a{n}、∠BnOCn＝b{n}、∠CnOAn＝c{n}とおいて、an,bn,cnの極限が120°になることを示そうと思い、
a{n+1}＝(a{n{+b{n})/2
b{n+1}＝(b{n}+c{n})/2
c{n+1}＝(c{n}+a{n})/2
という漸化式を立てました。それで、a{n}+b{n}+c{n}＝２πであることを用いてこれを変形すると、4a{n+2}ー2a{n+1}+a{n}＝2π となって、行き詰まりました。この方針では解けないのでしょうか。
No.765 - 2008/07/29(Tue) 09:44:21
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
varnish さん．こんにちは，一ノ谷です．

＞ 4a{n+2}ー2a{n+1}+a{n}＝2π

から一般項を求めて極限を調べるには，高等学校では扱わない複素数の絶対値などの知識が必要ですので，実数の範囲で論じるには何らかの工夫が入用ですね．自然な方法としては，a{n+1}=(a{n{+b{n})/2，a{n}+b{n}+c{n}=2πよりa{n}＝π-(c{n-1]/2)．同様にc{n-1}=π-(b{n-2]/2)，b{n-2}=π-(a{n-3]/2)なのでa{n}=(3π/4)-(a{n-3]/8) (n=3,4,…)．これを解いてa{3n}，a{3n+1}，a{3n+2}の何れの極限も2π/3であることを示せばよいでしょう．
No.775 - 2008/07/30(Wed) 16:21:38
☆ Re: / varnish ♂ [高校１年生]
一ノ谷先生、分かりやすい解説をありがとうございました。
解決しました。
No.785 - 2008/07/31(Thu) 23:39:48
★ (No Subject) / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
こんにちは。またよろしくお願いします。微分・積分の問題なのですが、

関数　f(x)=x^3+x^2-ax-a　を考える。ここで、aは正の実数であるものとする。
　(1)曲線y=f(x) とその上の点P(-1,f(-1))における接線との共有点のうち接点P以外のものを求めよ。
　(2)f(x)=0 の実数解の個数をaに応じて求めよ
　(3)f(x)の極値を求めよ。
　(4)曲線y=f(x)の概形を(1),(2),(3)で求めたことを利用して書け。　(お茶の水女子大)

この問題で、
(1)は、y=f(x)の接線の方程式を求め、それをy=f(x)に代入して求めることができたのですが、(2)で、f(x)=x^3+x^2-ax-a=0を　x^3+x^2=ax+aとして、f(x)の実数解の個数が、
２つの関数 y=x^3+x^2,y=ax+a の共有点の個数と一致することを利用して実数解の個数を求めようと思ったのですが、グラフを書いてみても答えを導くことができませんでした。解答を見たら、f(x)=x^3+x^2-ax-a=(x+1)(x^2-a)として、aの値を場合分けして求めていたのですが、僕の考えた方法では求められないのでしょうか。よろしくお願いします。
No.740 - 2008/07/24(Thu) 16:08:39
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんにちは。

>２つの関数 y=x^3+x^2,y=ax+a の共有点の個数と一致することを利用して実数解の個数を求めようと思ったのですが、グラフを書いてみても答えを導くことができませんでした。
非常に有効な方法をとりましたね^^
しかし，この方法でどこまでいけたかを書き込んでほしかったです。
でないと，k-700さんがどのレベルでこの解法を取ったか私たちには分かりません。
「y=ax+aがaにかかわらず通る定点がある」という前提でこの解法を取ったのでしょうか？

その前提があれば，次の操作は見えませんか？
図を書けば「その定点を通るy=x^3+x^2の接線の傾きを求める必要がある」ということが分かるのではないかと思いますが…
No.744 - 2008/07/24(Thu) 16:52:43
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
kinopyさんがおっしゃったように、y=ax+a がy=a(x+1)であることから、定点(-1,0)を通ることを前提にこの解法を考えました。詳しく書かず申し訳ありませんでした。
ここまではわかったのですが、どのように傾きを場合分けすればいいのかが分かりませんでした。なぜ定点を通るy=x^3+x^2の接線の傾きを求める必要があるのでしょうか？
点Pを通るy=a(x+1)の傾きがy=x^3+x^2の接線の傾きのときは、共有点が2個で、傾きがそれ以外のときは、3個だということですか？
No.746 - 2008/07/24(Thu) 17:55:41
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
> y=ax+a がy=a(x+1)であることから、定点(-1,0)を通ることを前提にこの解法を考えました。
OKです^^
有効な方法ですが，

>傾きがy=x^3+x^2の接線の傾きのときは、共有点が2個で、傾きがそれ以外のときは、3個だということですか？
前者は正しいですが，後者ははたしてどうでしょう？

せっかくここまで持ちこめたんですから，グラフと接線を書いて，再度考えていただきたけますか？

分からなければその旨書き込みお願いします。
No.747 - 2008/07/24(Thu) 19:05:46
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
傾きがy=x^3+x^2の接線の傾きのとき,y'=3x~2+2xであることから、点(-1,0)における接線の方程式は、　y-0=(3-2)(x+1)より、　y=x+1であるから、y=a(x+1)と係数を比較して、
a=1 よって、aは正の実数であることから、
a=1のとき　共有点は2個、すなわち実数解は２つあり、0<a<1,1<aのとき、共有点は3個、すなわち実数解は3個ある。　
　　　　　　　　　　　　　　これでどうでしょうか。
No.748 - 2008/07/24(Thu) 20:46:11
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

a>1のとき3個でしょうか？

y=x^3+x^2のグラフはx軸と-1,0で共有点を持つ形になってますよね？
a>1のとき，y=ax+aとy=x^3+x^2の共有点はどのあたりにできていますか？
No.753 - 2008/07/25(Fri) 01:33:30
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
こんばんは。

　a>1のときは第１象限と第３象限、そしてx軸と(-1,0)で共有点ができると考え、その合計が３個だと思ったのですが、何が間違っているのでしょうか。
No.763 - 2008/07/27(Sun) 22:49:06
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

すみません。何を勘違いしてたのやら…m(__)m
k-700さんのおっしゃる通りです。
7/24の解であってます。
No.764 - 2008/07/28(Mon) 00:23:57
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
こんばんは。返信が遅くなってしまい申し訳ありません。
そうでしたか。教えていただいた後で、残りの(3)(4)を解いたところ、(3)(4)もすんなり解くことができました。懇切丁寧に教えていただきありがとうございました。またよろしくお願いします。
No.784 - 2008/07/31(Thu) 23:16:22
★ (No Subject) / NM ♂ [九州] [高校１年生]
こんにちは。
ベクトルの質問です。

三角形ABCにおいて、vec・ｂ＝ＡＢ vec・ｃ ＝ＡＣ vec・p＝ＡＰとするとき
vec・p=-2/3vec・ｃとなるとすると、Ｐはどんな位置にあるか。
という問題なのですが、どう考えればＡＣを外分するというかんがえになるのでしょうか？　よろしくお願いします。
No.774 - 2008/07/30(Wed) 11:21:50
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [社会人]
NMさん，こんにちは。
vec･c＝vec･AC,vec･p＝vec･APとするとき
vec･p＝t vec･c (t は実数)
であれば点Pは直線AC上にあります。
t＝0 のとき，PはAと一致し，
t＝1 のとき，PはCと一致します。
0＜t＜1 のとき，点Pは線分ACをt：1−tに内分します。
t＜0 のとき，点Pは線分ACをAの方にACの−t倍だけ出たところにあります。
t＞1 のとき，点Pは線分ACをCの方にACの1−t倍だけ出たところにあります。
したがって
t＜0，1＜t のとき，点Pは線分ACを外分する点です。
No.777 - 2008/07/31(Thu) 13:56:43
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
> t＞1 のとき，点Pは線分ACをCの方にACの1−t倍だけ出たところにあります。
t＞1 のとき，点Pは線分ACをCの方にACのt−1倍だけ出たところにあります。

でした。
No.782 - 2008/07/31(Thu) 18:39:21
★ 計算の問題です / ボブ ♀ [高校１年生]
こんばんは。

早速ですが、うちの高校の理科の先生は計算問題が大すきでﾃｽﾄでこんな問題が出たんです。
そこで解き方が分からない問題があるんです。

こんな問題です


AとBとCの3人で100枚の色紙を分ける。
分ける割合はAとBは5：2、BとCは3：2になるように分ける。
A,B,Cそれぞれ何枚ずつになるか。

です。
ちなみに答えはA60枚　B24枚　C16枚です

分かる方、説き方を教えて下さい。
No.771 - 2008/07/29(Tue) 23:00:10
☆ Re: 計算の問題です / X ♂ [高校１年生]
ボブさん、おはようございます。

A,B,Cがそれぞれx枚,y枚,z枚になるとすると
題意から
x+y+z=100 (A)
x:y=5:2 (B)
y:z=3:2 (C)
(A)(B)(C)を連立して解きます。
No.773 - 2008/07/30(Wed) 07:12:21
☆ Re: 計算の問題です / ボブ ♀ [高校１年生]
Xさんありがとうございます!!
すっきりしました。分かりました☆
No.776 - 2008/07/30(Wed) 23:24:31
★ 折り返し図形 / でんち ♂ [近畿] [社会人]
以前も質問させて頂いていたのですが、ハンドルネームを忘れてしまったので
違う名前で投稿させて頂きます。よろしくお願い致します。

体系数学の問題集p9の例題に長方形を折り返した図についての問題があります。
１つの角をそれと対角を結ぶ対角線上にくるように折り返します。
解答の中で、「折り返し線と対角線が直交する」ということを当然のことのように
使っていますが、そんな定理は聞いたことがありません。
なぜ直交するのでしょうか？

「点Ｂが移った点をＥ、折り目の線をＡＦとし、ＡＦとＢＥの交点をＧとする。
このとき、ＡＦ⊥ＢＥである。…」と解答は書かれています
No.768 - 2008/07/29(Tue) 20:58:55
☆ Re: 折り返し図形 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯです．

まず最初に…

私は幸か不幸か，この問題集を持っていますが，この掲示板の回答者の方々は持っていないかもしれません．
問題文と，この場合は解答の文章もできるだけ詳しく書くように心がけてください．
でないと，正しい回答ができない場合があります．

では，いきましょう．

折り目の線ＡＦに関して，点Ｂと点Ｅは線対称です．
ですから，対称軸のＡＦと線分ＢＥは直交します．

どうですか？
No.770 - 2008/07/29(Tue) 21:56:48
☆ Re: 折り返し図形 / でんち ♂ [近畿] [社会人]
ＣＯＲＮＯさん、返信ありがとうございます。
線対称ですね…。盲点でした。このような問題を解くのは初めてなので
気が付きませんでした。とてもよくわかりました。

投稿の仕方も以後、気をつけます。
No.772 - 2008/07/29(Tue) 23:27:08
★ 共役な複素数の問題で・・・ / でるぴ ♂ [関東] [高校2年生]
実数係数の４次方程式x＾4＋x＾3＋ax＾2＋ｂx＋ｃ＝0・・・?@
の１つの解が1＋2ｉであるという。またα,βはともに?@の実数解でα＾3＋β＾3＝−9が成り立つ。このときa,b,cの値を求めよ。ただしｉは虚数単位である。

という問題で、解答では?@の左辺を{x−（1＋2i）}{x−（1−2i）}（x−α）（x−β）のように
変形、展開して?@と係数を比較して基本対称式を用いてa,b,cの値を出しているのですが、そのあとにα、βがとも実数であることを確認しています。問題文にα、βが実数とあるので確認する必要がないように思うのですがどうでしょう？もしかしたら?@を上の形に変形した際に同値性が崩れている
（α,βはともに?@の実数解⇒?@の左辺＝{x−（1＋2i）}{x−（1−2i）}（x−α）（x−β））のかなとおもうのですがどちらか教えてください。よろしくおねがいします。
No.766 - 2008/07/29(Tue) 19:01:18
☆ Re: 共役な複素数の問題で・・・ / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯです．

＞問題文にα、βが実数とあるので確認する必要がないように思うのですが
　数学の答案では，こういう事はよくあります．
　　　「これはｘについての恒等式であるから」，「ａ＞０であるから」，「ａ，ｂは実数であるから」…
　『こんなことは問題に書いてあるじゃないか！』と受験生は考えるのですが，
　【答案とは，採点者に対する説明である】ということが重要であると私は考えます．
　『私は何となくやっているわけでもなく，適当にやっているわけでもなく，この事柄をしっかりと意識してやっているのですよ！』と，採点者に訴えなければいけません．
　それが入試の答案です．きちんと書くことは大切です．

＞もしかしたら?@を上の形に変形した際に同値性が崩れている
　いえ，同値性は保たれています．

　どうでしょうか？
No.769 - 2008/07/29(Tue) 21:43:54
★ (No Subject) / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
初めまして、高1の氷わさびと申します。
現在の志望大は東北大の文系学部です。
初投稿ですのでお手柔らかにお願いいたします。


ニューアクションβからの出典、P.72-練習44-の問題についてです。
（不明箇所が解答にあるので正しくは解答からの出典です、解答編P.66-練習44-）


★不等式ax+3＜2x+aの解がx＞2であるとき、定数aの値を求めよ。

　ax+3＜2x+a より、(a-2)x＜a-3
　この不等式の解がx＞2であるから、
　a-2＜0 すなわち a＜2であり、
　方程式(a-2)x=a-3の解がx=2である。
　x=2を方程式に代入すると
　2(a-2)=a-3 これを解いて a=1
　これはa＜2の範囲にあるから適する。
　したがって、a=1


それでは早速質問させていただきます。

１、不等式の解がx＞2のとき、何故a-2＜0（すなわちa＜2）が成り立つのでしょうか？
２、１が成り立つとき、何故『(a-2)x＜a-3』が『(a-2)x=a-3』になるのでしょうか？（何故不等号が等号に変わるのでしょうか？）
３、１が成り立つとき、何故『(a-2)x=a-3』の解はx=2なのでしょうか？


●１について
不等式の解がx＞2ということで、これを満たす最小の整数3を代入してみました。
するとa＜3/2となり、一応a＜2を満たしてはいるのですが・・・この理屈でa＜2と決まったのかがわからず、あまり自信がないのです。

●２について
こうなる理由を考えてみましたが、まったくわかりません。
（今これを書いていて思ったのですが、a＜2、つまりaの値は2より小さくなるのですから代入するとxの係数も-になり不等号は逆の＞になるのではないのでしょうか？）

●３について
x＞2が解であるのに何故x=2が解となるのでしょう・・・？
x≧2が解ではないのでx=2は含まれないと思いました。



わからないところはいつも自分自信で解決できるのですがこの問題はわかりません。
きっとこの記事に返答してくださるであろう先生方のお仕事が増えないよう自分なりに考えに考えましたが・・・ダメでした。

どうかご教授の程、お願いいたしますm(_ _)m
No.701 - 2008/07/20(Sun) 22:10:32
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
氷わさびさ，はじめまして。kinopyです。
学習相談板やβ掲示板でお名前は存じています^^

さて，βの解答はやや今の段階では敷居が高いのかもしれません。
一次不等式を一次関数のグラフで考える。ということを行えば話は早いのですが，おそらくそれが出てくるのは2次不等式のあたりかと思います。

とりあえず，氷わさびさんの一部の疑問を解決して，今の時点で無理のない解説をして「一次不等式をグラフで考える」という説明をした後残りの疑問を説明したいと思いますが，それでよろしいですか？
グラフでの考え方が既習なら，その旨書き込みください。

今の段階ですんなり説明できるのは１のみですが(^_^;)
>１、不等式の解がx＞2のとき、何故a-2＜0（すなわちa＜2）が成り立つのでしょうか？

> ●１について
> 不等式の解がx＞2ということで、これを満たす最小の整数3を代入してみました。
これはダメです。x>2を満たす実数は2.1や2.000001などもありますからね…

以下，疑問１に対する回答です。
ax+3＜2x+a　⇔　(a-2)x<a-3…(*)
です。この解がx>2になるようにしたいのですから，
a-2≠0で　x□(a-3)/a-2の□に入る不等号は>ですよね？
(*)と不等号の向きが変わらねばなりません。

ですから，a-2<0です。このとき，不等式の解は x<(a-3)/(a-2)
となるのはいいですよね？この不等式の解がx<2なんだから，(a-3)/(a-2)=2です。

ここまでいかがでしょうか？
OKなら，グラフの話に進みます。

もし，「二次不等式まで残しておく」というならそれでもＯＫですので，その旨書き込みください。
No.710 - 2008/07/21(Mon) 04:06:21
☆ Re: / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
kinopy先生、ご回答ありがとうございます。

　＞とりあえず，氷わさびさんの一部の疑問を解決して，今の時点で無理のない解説をして「一次不　等式をグラフで考える」という説明をした後残りの疑問を説明したいと思いますが，それでよろし　いですか？グラフでの考え方が既習なら，その旨書き込みください。

ありがとうございます。グラフでの考え方はまだ未習ですのでこの方針でお願いします。


x＞2のとき、(a-2)x＜a-3が
x＞(a-3)/(a-2)となるということは、a-2＜0ということですよね？
ですが、x＞2のとき、なぜa-2は0より下なのでしょう？
そこを掴むことができません。

ですが、その後の
x＜(a-3)/(a-2)の解がx＜2であるから(a-3)/(a-2)=2ということはわかりました。
（自分はこれをa＜b、a＜cであればb=cという考え方で解いたらわかりました）
No.715 - 2008/07/21(Mon) 15:26:13
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

少し言葉が足りなかったようですねm(__)m

問題の内容は
「(a-2)x＜a-3を解いたときに，その解がx>2と一致するようにaを定めよ。」
とも言いかえることができます。

念のための確認ですが…例えば
　2x<6を解くと，x＜3　　　　　-2x<6を解くと，x＞-3
ですよね？

(a-2)x＜a-3の両辺を(a-2)で割った結果が，x＞2　と一致するには
不等号の向きが変わらねばなりません，だからa-2の値は負でなければならないのです。

> （自分はこれをa＜b、a＜cであればb=cという考え方で解いたらわかりました）
誤解であればごめんなさい。氷わさびさんの書き込みだけ見るとその議論はおかしいですよ(^_^;)
例えば，　1＜2　かつ　1＜4であれば2=4　は正しくないでしょう？

これも，x＜(a-3)/(a-2)がx＜2に一致するから　(a-3)/(a-2)=2 ということですね。

いかがでしょうか？
No.721 - 2008/07/22(Tue) 00:22:54
☆ Re: / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
x＞2と一致するためには不等号を同じ向きにするんですね！
ありがとうございます、これでひとつ疑問が解けました！m(_ _)m

それと確かにa＜b、a＜cならa＝cの考えは間違っていますね・・・こちらもご指摘ありがとうございますm(_ _)m


余談ですが、今日から2次不等式に入りました。
kinopy先生のグラフについての話で理解を深めたいと思います。
No.726 - 2008/07/22(Tue) 17:35:09
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

> 今日から2次不等式に入りました。
では話が早いです^^
例えば二次不等式　x^2-x-2>0　を解く際に，y=x^2-x-2のグラフを考えましたね？

まず，最初に同様に一次不等式　-2x+4<0 の解がx>2となることをy=-2x+4のグラフを用いて確認していただけますか？

もし分かりにくければその旨書き込みください。
No.729 - 2008/07/22(Tue) 23:12:50
☆ Re: / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
-2x+4＜0のグラフを書いてみました
x＜2のときはx軸より上（yは正？）、x＞2のときはx軸より下（yは負？）に直線があります。
No.733 - 2008/07/23(Wed) 17:10:18
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

氷わさびさんの書かれたグラフは「y=-2x+4のぐグラフ」であって「-2x+4<0のグラフ」ではありません。瑣末な事に聞こえるかもしれませんが，私は上の経緯があるので言いたいことは分かりますが，高校の試験，大学入試では通じません（減点されちゃいます(^_^;)）
まして，志望校がキツイ（？）採点基準で有名な東北大ですからね(笑)
語句は正しく使う練習を今からしておきましょう。

さて本題です
> x＜2のときはx軸より上（yは正？）、x＞2のときはx軸より下（yは負？）に直線があります。
OKです^^

　「一次不等式 -2x+4<0 を満たすxを求めよ」
とは
　「y=-2x+4のグラフのyが負であるようなxを求めよ」
と言い換えられます。これはOkですか？

OKなら，氷わさびさんが答えを書いてくれた通り，解がx>2であることが確認できると思います。
以上で分かりにくい箇所があれば，その旨書き込みください。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%以上がOKだとして%%%%%%%%%%%%%%%%%
さて，準備ができました。

不等式 ax+3＜2x+a つまり，(a-2)x+3-a<0の解がx>2となるとき，
y=(a-2)x+3-aのグラフはどのようになるのか？を考えてください。
No.735 - 2008/07/23(Wed) 23:46:02
☆ Re: / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
自分で-2x+4＜0のグラフのことを言ったとは知りませんでした（＾＾；）
語句には気をつけます

言い換えられることはOKです。
ですがこの問題どのように答えればいいのでしょう・・・

xが2より上の範囲でy＜0なので・・・xの範囲を求めるために
(a-2)x+3-1＜0のxに2を代入すればいいのでしょうか？わからないです（＾＾；）
No.741 - 2008/07/24(Thu) 16:29:43
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんにちは。

ax+b<0の解がx>2になるとき，y=ax+bのグラフは
http://lykeion.info/keijiban-pdf/itijihutosiki.pdf
である。

ことはいいですか？
No.742 - 2008/07/24(Thu) 16:44:18
☆ Re: / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
OKです、理解しています。
No.756 - 2008/07/25(Fri) 16:28:04
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

この場合の条件は「傾きが負」かつ「x軸と(2,0)で交わる」なのは大丈夫でしょうか？
（傾きが正なら解がx<2になってしまいますから）

では，本題に戻って…
(a-2)x-a+3<0の解がx>2となるのは，y=(a-2)x-a+3のグラフが前回の図のようになるときなので，
傾きは負なので　a-2<0　∴ a<2
x軸と(2,0)で交わるので　0=(a-2)×2-a+3　∴a=1
これはa<2を満たすので，a=1

でいかがでしょうか？
βの解答と見比べてください。

分かりにくい箇所があれば，再度書き込みください。
No.757 - 2008/07/26(Sat) 00:41:53
☆ Re: / 氷わさび ♂ [北海道] [高校１年生]
グラフに書いて考えてみたらわかりました！
疑問はすべて解消しました！本当にありがとうございます！

これも親切に教えていただいたkinopy先生のおかげです。m(_ _)m

またわからないところがあったら質問させていただきます。
No.759 - 2008/07/26(Sat) 14:28:43
★ (No Subject) / NM ♂ [九州] [高校2年生]
こんにちは！ベクトルの質問です。

　　　→→　→　　　→
cosθ＝a・b/｜a｜・｜ｂ｜　という公式についてなのですが、｜a｜・｜ｂ｜＝｜aｂ｜であるから、これは全部1か−1になってしまう気がするのですが。もちろん、成分が与えられている時にはなりませんが。　単位ベクトルの求め方も同じではなかったでしょうか？　よろしくお願いします。
No.739 - 2008/07/24(Thu) 11:13:00
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんにちは。

NMさんは大変な誤解をされているようです(^_^;)
vec{a}・vec{b}=|vec{a}vec{b}|と考えられているようですが，
そもそも，ベクトルにおいて|vec{a}vec{b}|なんてものは存在しません。

文字式a×b=abと混同しているのではないか？
と読めました。
高校範囲ではベクトルの積は内積vec{a}・vec{b}=|vec{a}||vec{b}|cosθ
しか定義されていません。
No.745 - 2008/07/24(Thu) 16:59:26
☆ Re: / NM ♂ [九州] [高校１年生]
なるほど！勘違いしてました。
わかりやすい解説ありがとうございました。
またよろしくおねがいします！
No.758 - 2008/07/26(Sat) 10:25:33
★ 答えを / あや ♀ [近畿] [浪人生]
こんばんわ！
答えが載っていないので教えていただきたいのですが

2つの不等式y≧0,y≦2x-x^2を同時に満たすx,yに対してy-x/2の最大値は
1/2、最小値は-1 であってますか？
あと、x＾2+(y-2)^2の最大値は8であってますか？

よろしくお願いします！
No.749 - 2008/07/24(Thu) 21:15:37
☆ Re: 答えを / X ♂ [社会人]
あやさん、こんばんは。

前半)
y-x/2=k (A)
と置けばkは傾き1/2,y切片kの直線になっていますので
2つの不等式y≧0,y≦2x-x^2
表す領域上の点(2,0)を通るときにkは最小となります。
ということで
>>最小値は-1
は正しいと思います。
一方、最大のとき直線(A)は放物線
y=2x-x^2 (B)
に接しますので、(A)(B)からyを消去したxの二次方程式
x/2+k=2x-x^2
つまり
2x^2-3x+2k=0 (C)
は重解を持つ必要があります。よって(C)の解の判別式をDとすると
D=9-16k=0
∴k=9/16
ということで最大値は9/16になります。

後半)
>>x＾2+(y-2)^2の最大値は8
で正しいと思います。
No.750 - 2008/07/24(Thu) 21:47:45
☆ Re: 答えを / あや ♀ [近畿] [高校１年生]
ありがとうございましたヽ(^o^)丿
No.752 - 2008/07/25(Fri) 00:11:41
★ (No Subject) / 柚実 ♀ [北陸] [高校１年生]
こんばんは。
学校のプリントの問題なのですが、授業を受けてもいまいち理解できずに困っています。
カタラン数を使うらしいのですが調べてみてもカタラン数が何なのかよく分かりません…
よろしくお願いします。

↓問題文
2人の候補者A、Bで行われた選挙で、A氏がm票、B氏がn票(m＞n≧1)を獲得してA氏が当選した。
その開票経過の総数を、次の3つの場合に分けて考える。
(?@)A氏が常にリードを保つ開票経過の場合。
(?A)最初に開票した票がA氏の票であるが、途中でA氏とB氏の票が同数になることがある開票経過の場合。
(?B)最初に開票した票がB氏である開票経過の場合。

↓問題
(ア)開票経過全体の総数を求めなさい。また、(?B)の総数を求めなさい。
(イ)(?A)と(?B)の総数が等しいことを説明しなさい。
(ウ)(?@)の開票経過の総数を求めなさい。
No.522 - 2008/07/05(Sat) 20:27:44
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
柚実さん，こんばんは．一ノ谷です．

例えば，xy座標平面の点(0,0)にある点Pを，Aに票が入る毎にx軸正の向きに1，Bに票が入る毎にy軸正の向きに1だけ動かすことにすれば，任意の開票経過は点Pが点(0,0)から点(m,n)に至る経路と一対一に対応することはお判りでしょうか？
No.535 - 2008/07/06(Sun) 22:47:38
☆ Re: / 柚実 ♀ [北陸] [高校１年生]
一ノ谷さんこんばんは(*´∀｀*)
お返事ありがとうございます。
学校では順列で説明されたのですが、そちらの考え方なら私にも理解できるかもしれません^^
はい、そこまでは大丈夫です♪
No.540 - 2008/07/07(Mon) 02:21:17
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [高校１年生]
(ア)は
＞ 順列で説明
の方が簡単なので，ここでもそうします．実際，任意の開票過程は，m 個の A と n 個の B の順列と一対一に対応するので，同じものの順列の総数の公式より (m+n)!/( m! n!)．(?B) はこうした順列のうち最初が B であるものに対応しますが，それは残りの m 個の A と n-1 個の B の並べ方により定まるので，総数は (m+n-1)!/( m! (n-1)!)．
No.547 - 2008/07/07(Mon) 21:15:37
☆ Re: / 柚実 ♀ [北陸] [高校１年生]
お返事が遅れてしまってすみません。。

そうやって考えればいいのですか！よくわかりました♪
ありがとうございます。
あの、実際に解答用紙に書くときはその式も展開(?)して書かないといけないのでしょうか??
No.575 - 2008/07/12(Sat) 10:35:36
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
＞ その式も展開(?)
m，n の値が具体的に与えられている場合は約分などが入用ですが，記号の場合は不要でしょう．

さて(イ)は，先に述べた経路の総数として数えて
「(?A)の総数≦(?B)の総数」…（１）かつ「(?A)の総数≧(?B)の総数」…（２）
となることとして示します．

まず(?A)のタイプの経路 K を勝手に1つ選ぶと，それは原点から点(1,0)を経て，直線 y=x 上の点を少なくとも1回は通り，点(m,n)に至る経路です．よって，K が直線 y=x と初めて出会う点 T が定まり，K 上の原点から点 T までの部分だけを直線 y=x に関して対称移動して得られる経路を K' とおくと，K' は原点から点(0,1)を経て，点(m,n)に至る経路なので，(?B)のタイプの経路であり，別の K を選ぶと対応する K' も変わります．つまり，(?A)のタイプの経路がN本あれば，(?B)のタイプの経路も少なくともN本あるので（１）の成立が判ります．

逆に(?B)のタイプの経路は，直線 y=x より上側にある点(0,1)を経由し，最後には直線 y=x より下側にある点(m,n)に至るので，やはり直線 y=x と初めて出会う点が定まり，同様の移動によって(?A)のタイプの経路に対応しますから（２）の成立が判ります．
No.576 - 2008/07/12(Sat) 17:25:35
☆ Re: / 柚実 ♀ [北陸] [高校１年生]
またまたお返事が遅れてしまってごめんなさい…
分かりやすく解説してくださってありがとうございます!!
解決しました♪
もう1つ質問なのですが、カタラン数というのはどんな時に使うのですか??
普通の順列の問題となかなか区別がつきません。。汗
よろしくお願いします。
No.651 - 2008/07/17(Thu) 21:41:01
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
＞ カタラン数というのはどんな時に使う
カタラン数とは正の整数 n に対して (2n)!/( (n+1)! n! ) で定まる数のことで，例えば本問に類して「途中は常にAがリードするが，最終的にはA，Bともn票ずつ獲得する開票過程の総数」はカタラン数になり，それは上記と同様の経路の対称移動を用いた考察より判ります．つまり最初の書き込みにある
＞ カタラン数を使う
というサジェスチョンはカタラン数そのものを当てはめるという意味ではなく，同様の考察を用いるということでしょう．

最後に(ウ)についてですが，Aが常にリードを保つ開票経過は，最初に開票した票がAである開票経過から(?A)の場合を除けば得られますが，(イ)より(?A)と(?B)の総数は同じなので(ア)の結果が使えるというわけです．
No.666 - 2008/07/18(Fri) 19:35:30
☆ Re: / 柚実 ♀ [北陸] [高校１年生]
いつもお返事が遅くなってしまってすみません。。

・正の整数 n に対して (2n)!/( (n+1)! n! ) で定まる数

・(イ)より(?A)と(?B)の総数は同じなので(ア)の結果が使える

というのがよくわかりません…
バカでごめんなさい泣
教えていただけないでしょうか(´・ω・`)？
No.719 - 2008/07/21(Mon) 22:14:58
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
＞・正の整数 n に対して (2n)!/( (n+1)! n! ) で定まる数
これは定義であり，こんな形の数をカタラン数と呼ぶというだけのことで，この形から直ちに何々の場合の数であるといった解釈ができるわけではありません．

＞・(イ)より(?A)と(?B)の総数は同じなので(ア)の結果が使える
（ウ）で求めたいのは（Aが常にリードを保つ開票経過の総数）ですが，それは
（最初に開票した票がAの票である開票経過の総数）−（（?A）の総数）
に他なりません．ここで
（最初に開票した票がAの票である開票経過の総数）
＝（開票経過全体の総数）−（（?B）の総数）
さらに，（イ）より
（（?A）の総数）＝（（?B）の総数）
なので，求める総数は
（開票経過全体の総数）−２×（（?B）の総数）
となり，（ア）の結果が使えますね．
No.720 - 2008/07/21(Mon) 23:16:56
☆ Re: / 柚実 ♀ [北陸] [高校１年生]
ありがとうございます!!
よく分かりました(*´∀｀*)
何回も質問してしまってごめんなさい。。
また機会があればよろしくおねがいします(◆*v∪v*)♪*゜
No.751 - 2008/07/24(Thu) 22:50:55
★ 領域 / 真田 ♂ [九州] [浪人生]
おはようございます。またお願いします。

ｘｙ平面上の４点(１，１)，(１，−１)，(−１，１），(−１，−１）を頂点とする

正方形が囲む領域(境界を含む)をＤとする。２次関数ｆ(?I)＝(?I−ａ)＾2＋ｂ

（a，bは定数)に対して、次の条件

「ｙ＝f(?I）と領域Ｄが共有点をもつ」

を考える。このとき、次の問いに答えよ。

(1)ａを固定したとき、上の条件が成立するようなｂの値の範囲をａで表せ。

(2)上の条件を満たす点(ａ，ｂ)が存在する範囲をａｂ平面上に図示せよ

という問題です。

私はａ＞１，−1≦ａ≦１，−1＞ａと場合わけして、

4点をｆ(?I)に代入してｂの範囲を出そうと思ったのですが、

かなりの数の場合わけになり大小関係が分からなくなってしまいました。

よろしくお願いします。
No.691 - 2008/07/20(Sun) 10:41:24
☆ Re: 領域 / kinopy [近畿] [塾講師]
真田さん，こんばんは。回答が大変遅くなりましたm(__)m

場合分けはそれでいいと思います。
しかし，
> 4点をｆ(?I)に代入してｂの範囲を出そうと思ったのですが、
ですが，本当に4点を代入する必要があるでしょうか？
また，真田さんの出した条件を簡単でいいですから書き込みください。

例えば，a<-1の場合で考えると
http://lykeion.info/keijiban-pdf/ryouiki.pdf
この一番上のものは条件を満たしませんが，それ以外のものは条件を満たします。
No.738 - 2008/07/24(Thu) 04:25:31
★ (No Subject) / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんにちは。また、質問なんですが、
標準問題精講１Ａ p.57の演習についての質問です。

正の実数aに対して、f(x)=lax^2-(1/a)lとする。
(1)0≦x≦1におけるy=f(x)のグラフをかけ
(2)0≦x≦1におけるf(x)の最大値g(a)を求めよ。

(2) (解答) ?T）0<a<1のときはx=0において最大となる。
よって、g(a)=f(0)=1/a

?U）1≦aのときについて、

1/aとa-(1/a)の大小を比較する。

(1/a)-{a-(1/a)}=(2/a)-a=(2-a^2)/a

?@）1≦a≦√2のとき、g(a)=1/a
?A）√2<aのとき、g(a)=a-(1/a)

とあるのですが、どうして?@）1≦a≦√2と?A）√2<aが出てきたのか分かりません。
教えてください。
No.648 - 2008/07/17(Thu) 18:04:09
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
こんばんわ。
かなり後ろのほうになってしまいましたね。遅くなりまして申し訳ありませんでした。

もう解決されたかもしれませんが、

ご質問の件ですが、もう少し解答をじっくり読んでみることが必要かと思います。

１．1/aとa-(1/a)の大小を比較する。とありますが何故このようにすべきなのでしょうか。

２．(1/a)-{a-(1/a)}=(2/a)-a=(2-a^2)/aという結果になりましたが、これは何を意味しているのでしょうか。

ここが分かれば大丈夫かと思います。
No.705 - 2008/07/20(Sun) 22:45:13
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
たろさん、こんにちは。遅くなってしまって申し訳ありません。

>１．1/aとa-(1/a)の大小を比較する。とありますが何故このようにすべきなのでしょうか。

1/aとa-(1/a)のどっちが大きいかによって解答が異なるからだと思います。

>２．(1/a)-{a-(1/a)}=(2/a)-a=(2-a^2)/aという結果になりましたが、これは何を意味しているのでしょうか。

おそらく、√2はここからきてると思うのですが、(2-a^2)/a=0として解いてしまっても良いのでしょうか？
No.732 - 2008/07/23(Wed) 11:57:58
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
＞おそらく、√2はここからきてると思うのですが、(2-a^2)/a=0として解いてしまっても良いのでしょうか

不等式の基本を確認したほうが良いと思います。

単に

「√２が２．の結果に起因している」

だけではなくて、２．の結果は
「（左辺）から（右辺）を引き算」したのですよね？

ということは、この結果が０より大きいなら（左辺）が（右辺）より大きいということですから、
「この結果が０になるときが（左辺）と（右辺）の大小の境目」
になるということですね。

結論は＝０を解くことなのですが、その辺りもしっかりと理解してくださいね。
No.734 - 2008/07/23(Wed) 18:52:17
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは。

>「この結果が０になるときが（左辺）と（右辺）の大小の境目」

ここで、ピンと理解できました。ありがとうございました。
No.736 - 2008/07/24(Thu) 03:17:45
★ 二次関数のグラフの共有点[D=0]について / a132413241
はじめまして。
高専に今年入学しました、a132413241です。

なるべく自分でやろうと思っていたのですが、3日考えてもわからなかったので、アドバイスをいただきたいです。

夏休みの宿題で出された数学1Bのプリントで、わからないところがあります。

問
二次関数y=x^{2}-(2+m)x+m+4のグラフがx軸と接するように、定数mの値を定めよ。また、その時の接点のx座標をさだめよ。


判別式のD=b^{2}-4acを使って今までのように解いても解が2つになってしまいます。

少し調べて、複素数の範囲だとかと書いてあったのですが、使い方がわからないので、行き詰まりです。

もう少し詳しく教えていただけたら嬉しいです。よろしくお願いします。
No.727 - 2008/07/22(Tue) 21:53:45
☆ Re: 二次関数のグラフの共有点[D=0]について / アリス
はじめまして
ではいきましょう。



まず式を平方完成してください。
No.731 - 2008/07/23(Wed) 05:36:00
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