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★ 場合の数 / ｌｍｎ [高校3年生]
よろしくお願いします。

高１の弟に質問されたのですが、うまく答えることができませんでした。

同じ３つの箱に同じ６つの玉を入れるとき、全部で何通りになるか求めよ。ただし玉が１

つも入っていない箱があってもよいとする。

答えは７通りなのですが、一般的な考えができませんでした。うまい考え方を教えてくだ

さい。
No.6532 - 2011/10/03(Mon) 17:49:10
☆ Re: 場合の数 / 新矢（運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
lmnさん、こんにちは。

区別のつかないボールを区別のつかない箱に入れる場合の数は、「書きあげ」が原則だと私は考えます。

この問題なら
7-0-0
6-1-0
5-2-0
5-1-1
・・・・
のように書き出していくのがbestな考え方だと考えます。

P.S.
弟さんにこの掲示板の存在をお伝えくださり、次回からはご本人が直接ご質問くださるようお願いします。
No.6540 - 2011/10/05(Wed) 13:24:47
☆ Re: 場合の数 / ｌｍｎ [高校3年生]
新矢さん、

返信ありがとうございます。

なるほど、確かにその通りですね。

わざわざありがとうございました。弟にも伝えておきます。
No.6541 - 2011/10/05(Wed) 15:15:23
★ 2つの級数 / T ♂ [再受験生]
初めまして、Tと申します。

問題は黄色チャート数学3のp54 問題番号62の(2)です。

無限級数の収束、発散を調べ、収束すればその和を求めよ。

1/2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・・

という問題です。


これをそれぞれ

(1/2+2/3+3/4+・・・) - (2/3+3/4+4/5+・・・)と分けて和を求めようとしたのですが

ここから先が分からず

解答では、和を S2n-1,S2n の様に表しているのですが

なぜこのように表せるかが分かりませんでした。


あれこれ紙に書いてやってみたのですがイマイチ分かりませんので
よろしくお願い致します。




No.6531 - 2011/10/03(Mon) 16:33:49
☆ Re: 2つの級数 / londontraffic [教育関係者]
Tさん，こんばんは．
londontrafficと申します．
再受験生とのことですが，すごいですね．
是非，頑張ってもらいたいと思います．

さて，下に挙げた２つはご存じでしょうか．
勿論，黄チャートにも載っているはずです．
右側のことから

>(1/2+2/3+3/4+・・・) - (2/3+3/4+4/5+・・・)と分けて和を求めようとしたのですが
は無理なことがわかります．
なぜならば，「1/2+2/3+3/4+・・・」も「2/3+3/4+4/5+・・・」も収束しないからです．

>解答では、和を S2n-1,S2n の様に表しているのですが
そうですね．s_{2n-1}とs_{2n}がともに同じ値に収束すれば，それが級数の（収束する）値になります．
これは，基本的でとても大切なテクニックです．
今回は，奇数項までの和s_{2n-1}=1/2 で，偶数項までの和s_{2n}=1/2-(n+1)/(n+2)で，
ともに1/2に収束するので，この級数の和は1/2となります．

Tさんは今現在，塾や予備校に通うとか家庭教師など，数学を教えて貰える環境にありますか？
No.6534 - 2011/10/03(Mon) 21:01:31
☆ Re: 2つの級数 / T ♂ [高校１年生]
初めまして、londontraffic さん
返信ありがとうございます。


恥ずかしながらs_{2n-1}が奇数項までの和で

s_{2n}が偶数項までの和だと知りませんでした。

解説していただいてs_{2n-1}の時は最初の 1/2以降は奇数項まで

全て＋ ー で0になるので ∴ s_{2n-1}=1/2

s_{2n}は1/2と -(n+1)/(n+2)までの間がすべて0になるので ∴ s_{2n}=1/2-(n+1)/(n+2)

n→∞のときs_{2n-1}≠s_{2n}なので発散すると理解出来ました。


経済状況から予備校や家庭教師の利用が出来ず、

教科書で調べたり、似たような質問がないか探してみましたが

あまり理解出来なかったので、こちらの掲示板に質問させて頂きました。


解説していただきありがとうございました。
No.6535 - 2011/10/03(Mon) 22:33:38
☆ Re: 2つの級数 / londontraffic [教育関係者]
あ．
ひどい間違いしてましたね．
恥ずかしくて涙が出そうです．
でもご理解いただけてよかったです．

>経済状況から予備校や家庭教師の利用が出来ず、
ちょっと心配でしたが，今回のレスを拝見させていただいて，それが消えました．
お一人で努力されても大丈夫そうですね．

>こちらの掲示板に質問させて頂きました。
私以外の先生方は，とても頼りになりますよ．機会がありましたら，またご利用ください．

ところで新矢先生，この記事消してもらえますか・・・もらえませんよね（笑）
No.6536 - 2011/10/04(Tue) 03:40:40
☆ Re: 2つの級数 / T ♂ [再受験生]

いえいえ、答えではなく途中の考え方が知りたかったので助かりました。


そう言っていただけるとありがたいです。

基礎事項を見直して、似たような質問をみても理解が出来なかった時は

またこちらを利用させて頂きますね。



解決していただいたのでスレッドを削除してもらっても構いませんよ。
No.6537 - 2011/10/04(Tue) 11:15:37
★ 質問があります。 / おいなりさん [浪人生]
大学の過去問を解いていてよく分からないところがありました。


問題

点Ｐは放物線Ｃ：ｙ＝1/4x^2の点であるとする。
点Ｑを(0,-k)(k>0),点Ｐからｘ軸に下した垂線の足をＲとする。
∠ＱＲＰ＝θとし、点ＰをＣ上で動かしたとき
tanθの最大値が1/6となるようなｋを定めよ。


解答

Ｐ(t,1/4t^2)とおく。

(ＰＱの傾き)＝(1/4t^2+k)/t＝t/4+k/t…?@

(ＰＱの傾き)＝1/tanθ…?A


こんな感じで解答は続くのですが


ここでなぜ?Aのような式が立つのかがわかりません。


よろしくお願いします<(_ _)>
No.6526 - 2011/09/27(Tue) 15:37:00
☆ Re: 質問があります。 / londontraffic [教育関係者]
おいなりさん，おはようございます．
londontrafficと申します．

このままの問題文だと，θは明らかに鈍角です．
Pを第１象限にとると，PQの傾きは正であり，?Aの式は成り立ちません．

∠ＱＲＰ＝θ
じゃなくて
∠QPR＝θ
じゃないですか？
No.6527 - 2011/09/28(Wed) 06:34:25
☆ Re: 質問があります。 / おいなりさん [浪人生]
そうです。申し訳ありません(・・;)

∠ＱＲＰ＝θです。

よろし子願いします。
No.6528 - 2011/09/28(Wed) 16:44:17
☆ Re: 質問があります。 / londontraffic [教育関係者]
はい，了解です．

そうすると，点Qを通るy軸に垂直な直線と，PRの延長との交点をSとすると
△PQSは∠QSP=90°の直角三角形
となるので，∠PQS=90°-θ
よって，直線PQの傾きは
tan∠PQS=tan(90°-θ)=1/tanθ
となります．

どうですか？
No.6529 - 2011/09/28(Wed) 18:31:46
☆ Re: 質問があります。 / おいなりさん [浪人生]
おぉなるほど。

わかりました(*^_^*)

ありがとうございました<(_ _)>
No.6530 - 2011/09/28(Wed) 20:42:45
★ 順列と組合せ / 七海 ♀ [四国] [高校１年生]
こんばんは。2回目の質問です。

出典は、学校のプリントからなので、不詳です。

5個のミカンすべてを3つの箱A、B、C に入れます。空の箱があってもよいとすると、何通りの分け方がありますか。

という問題です。


3個、2個に分ける場合などは、 5C3×2C2 ＝● と出せるのですが、上記のような場合では、重複順列（5個のミカンそれぞれにA、B、Cの札をでたらめにつける）と考えました。

→空室になる部屋があってもいいという条件で 8人をA、B、Cの3つの部屋に入れる場合の総数 のときにはそう考えていたので…

すると、

札の種類はA、B、Cの3通り。それが5個のミカンに対して行われるのだから、

３^5 = 243 通り

だと思うのですが、この考え方は間違えているのですか。教えて下さい。

ちなみに、答えは、7C2=21通り　でした。
No.6523 - 2011/09/25(Sun) 22:30:07
☆ Re: 順列と組合せ / londontraffic [教育関係者]
七海さん，おはようございます．
londontrafficと申します．

>この考え方は間違えているのですか。
これが「みかん」ではなく，「人」だと正解なのですが．

では，なぜ「みかん」だとダメなのかというと，この５個のみかんは「区別がつかない」と解釈するからです．（人だと「区別がつく」と解釈します）

いかがですか？
No.6524 - 2011/09/26(Mon) 06:43:17
☆ Re: 順列と組合せ / 七海 ♀ [四国] [高校１年生]
londontraffic さん、ありがとうございます。

みかんは「区別がつかないから」重複順列の考え方はダメなんですねぇ。

納得できました。
No.6525 - 2011/09/26(Mon) 16:03:47
★ 積分　漸化式 / sakakaki ♂ [四国] [高校3年生]
こんばんは。ｓａｋａｋａｋｉと申します。
質問は学校の課題プリントからです。
０からπ/2までの積分で、I(n)＝∫ｅ＾ｘ（ｓｉｎｘ）＾ｎ dx のとき
I（n＋１）をＩ(n-1)を用いて表せという問題です。
部分積分しても　後半の∫の中に　ｃｏｓがあって　そのあとができません。
よろしくお願いします。
No.6518 - 2011/09/23(Fri) 23:56:16
☆ Re: 積分　漸化式 / londontraffic [教育関係者]
sakakaki さん，こんにちは．
londontrafficと申します．

まず，これの解答はお持ちですか？
もしお持ちなら，カキコしてもらえますか？

>後半の∫の中に
このインテグラルの中に，
sin^n x cos x
があると思うのですが，これを微分してもらえますか？

よろしくお願いいたしますm(_ _)m
No.6519 - 2011/09/25(Sun) 11:07:38
☆ Re: 積分　漸化式 / sakakaki ♂ [四国] [高校１年生]
ありがとうございます。

(n^2+2n+2)In+1=(n^2+n)In-1+e^[π/2]

という答えです。

また、sin^n x cos xを微分すると

nsin^[n-1] xcos^2x - sin^[n+1]x

ですか？
No.6520 - 2011/09/25(Sun) 16:58:00
☆ Re: 積分　漸化式 / londontraffic [教育関係者]
ありがとうございます．

>nsin^[n-1] xcos^2x - sin^[n+1]x
はい．okです．ここで，cos^2x=1-sin^2 xを使うと
nsin^[n-1] xcos^2x - sin^[n+1]x
=nsin^{n-1}x-(n+1)sin^{n+1}x
となり，cosが消えますね．

これを利用して２回目の部分積分を行ってみてくださいm(_ _)m
No.6521 - 2011/09/25(Sun) 18:59:19
☆ Re: 積分　漸化式 / sakakaki ♂ [四国] [高校１年生]
ありがとうございました。

e^[π/2]sin^n x cos xを積分するときに

sin^n x cos xを一つの関数(？）として　微分することがあるんですね。

こんなパターンは初めてだったので気が付きませんでした。

納得できました！

londontrafficさん、ありがとうございました。
No.6522 - 2011/09/25(Sun) 20:48:08
★ 二項定理の応用 / 野津 ♀ [四国] [高校１年生]
こんにちは。野津と申します。
質問は、３ＴＲＩＡＬ という問題集からです。


【問題】二項定理を用いて、次のことを示せ。--------------------

　x＞0のとき、(1+x)^n ＞ 1+ nx　　ただし、nは2以上の自然数
--------------------------------------------------------------

二項定理の公式より、(1+x)^nの展開式は、
nC0 + nC1・x ＋ nC2・xˆ2 ＋ nC3・x^3 ＋ …… ＋ nCn・x^n
となるのは、わかります。

しかし、次からが分かりません。

この問題の条件, x＞0，nCr ＞0 (←これは決まりごとのように書いてありました)
なので、n≧2のとき、
nC2・x^2＋nC3・x^3＋……＋nCn・x^n ＞0

よって、(1＋x)^n ＞ nC0＋nC1・x = 1＋xn

nCr ＞ 0 というのは、絶対の条件なのですか。
また、数式においても、なぜ、nC2・x^2の項から書き始めたのか、
なぜ(1＋x)^n ＞ nC0＋nC1・x = 1＋xnが出てくるのか、
わからず混乱しています。

長くなりましたが、宜しくお願い致します。
No.6514 - 2011/09/22(Thu) 11:49:38
☆ Re: 二項定理の応用 / シャロン [東海] [社会人]
こんにちは、野津さん。
シャロンと申します。


> nCr ＞ 0 というのは、絶対の条件なのですか。

nＣrというのは、互いに異なるn個のものからr個のものを選び出す組み合わせの数だというのはよろしいですか？

そのような組み合わせは、(n≧r≧0であるかぎりは)少なくとも1通り以上ありますから、nＣr＞0といえますね。

数式で納得したいなら、nＣrを、階乗を使って、nとrで書き表してみましょう。

> なぜ(1＋x)^n ＞ nC0＋nC1・x = 1＋xnが出てくるのか、

先にこちらから説明すると、

(1＋x)n = nＣ0+nＣ1･x+(nＣ2･x2+･･･+nＣn･xn)
ここで、括弧の中のどの項も正なので、足し合わせた
nＣ2･x2+･･･+nＣn･xn＞0
です。両辺にnＣ0+nＣ1･xを足せば、

nＣ0+nＣ1･x+(nＣ2･x2+･･･+nＣn･xn)＞nＣ0+nＣ1･x
です。あとは単純にnＣ0=1、nＣ1･x=n･xですから、
(1＋x)n ＞ 1+nx
です。

> また、数式においても、なぜ、nC2・x^2の項から書き始めたのか、

ニ項展開したnＣr･xr全体と、証明すべき右辺1+nxを比較すると、xの2乗以降の項がジャマですので、xの2乗以降の項を消したいから、その準備のためです。
No.6515 - 2011/09/22(Thu) 13:01:08
☆ Re: 二項定理の応用 / 野津 ♀ [四国] [高校１年生]
なるほど、そういうことだったんですね。

シャロンさん、ありがとうございます。
No.6517 - 2011/09/23(Fri) 13:14:21
★ (No Subject) / 藤壺 ♀ [九州] [高校１年生]
シャロンさん、こんばんは。
返信ありがとうございます。

○1の、k=0の場合、実数解は何個になりましたか？
ｋ＝0の場合は、
0・ｘ＾2-2（2-0）ｘ+1＝0
-4ｘ+1＝0

で、実数解は一個になりました。


○2の、k≠0の場合、実数解が2個になったのは k がどのような範囲になったか

ここで分からなくなりました。

ｋ≠0のとき
｛-2（2-ｋ）｝＾2　-4ｋ（ｋ+1）
（-4-2ｋ）＾2-4ｋ＾2-4ｋ
-20ｋ+16
-4（5ｋ-4）

までは理解できたんですが、ここからの解の出し方がわかりません。

お手数ですが、よろしくお願いいたします。
No.6507 - 2011/09/20(Tue) 20:51:16
☆ Re: / シャロン [東海] [社会人]
藤壺さん、こんばんは。
シャロンです。

#同じ問題のやり取りでは同じトピック内でやりましょう。
#元のトピックのところの右上の[返信]ボタンを押せば、元のトピックに返信できます。


#この質問では、このトピックを活かしでいきましょう。


> ｛-2（2-ｋ）｝＾2　-4ｋ（ｋ+1）
> （-4-2ｋ）＾2-4ｋ＾2-4ｋ
> -20ｋ+16
> -4（5ｋ-4）

ここのところは、何をしているのでしょうか、何も説明がないと答案として不十分です。

#おそらく、異なる実数解の数を求めるために元の二次方程式の解の判別式を使用しているのでしょう。

また、各行の間でやっているのは式の変形ですので、等号で結ぶようにしましょう。



さて本題ですが、この -4(5k-4) がどのような範囲であれば、異なる実数解の個数が2個になりますか？
No.6508 - 2011/09/20(Tue) 21:24:47
☆ Re: / 藤壺 ♀ [九州] [高校１年生]
返信ですね。
失礼しました。

ｋ≠0のとき
｛-2（2-ｋ）｝＾2　-4ｋ（ｋ+1）
（-4-2ｋ）＾2-4ｋ＾2-4ｋ
-20ｋ+16
-4（5ｋ-4）

はおっしゃる通り、D=の判別式を使いました。
説明不十分で申し訳ありません。

実数解を二つもつにはD>0だったと思うので、

-4（5ｋ-4）＞0
5ｋ-4＜0
5ｋ＜4
ｋ＜4/5

でしょうか？

ここら辺からこんがらがって解りません。
No.6509 - 2011/09/20(Tue) 22:35:55
☆ Re: / シャロン [東海] [社会人]
> -4（5ｋ-4）＞0
> ｋ＜4/5
>でしょうか？

はい。ここまではOKです。

しかし、いま、k≠0という制限のもとで、この判別式を利用しています。

なぜなら、この判別式は正確には「二次方程式の解の判別式」です。k=0の場合、元の方程式のx2の係数が0、つまりx2の項はないので一次方程式ですから、「二次方程式の解の判別式」は使えませんからね。

ですから、導き出されるkの範囲は、k=0を排除しなければなりません。


「k＜4/5かつk≠0」という範囲は、

「k＜0」または「0＜k＜4/5」

ですね。
No.6510 - 2011/09/20(Tue) 23:29:38
☆ Re: / 藤壺 ♀ [九州] [高校１年生]
ｋ＜4/5
ｋ≠0

の二つの範囲を合わせて考える。ってことですね！

これであってますか？

図に書くとこういうことでしょうか？
（添付の写真です。）
No.6511 - 2011/09/21(Wed) 09:24:12
☆ Re: / シャロン [東海] [社会人]
バッチリOKです！
No.6512 - 2011/09/21(Wed) 09:28:47
☆ Re: / 藤壺 ♀ [九州] [高校１年生]
画像が縦で見にくかったと思います…
すみません…

丁寧なご説明ありがとうございました！
明日がテストなのですが、台風で学校に行けず、解けない問題を教えてもらう人がいなくて困っていたので本当にうれしかったです！

また、こちらの掲示板に質問させていただくと思いますが、もし機会があったときはよろしくお願いします！


ありがとうございました！
No.6513 - 2011/09/21(Wed) 09:35:01
★ (No Subject) / 藤壺 ♀ [九州] [高校１年生]
こんばんは　高校一年生です。
学校で使っている問題集の問題の質問です。
途中までは自力でできましたが、最後の答えのなかで一部わからないところがあります。
ご協力よろしくお願いします。

ｘについての方程式　ｋｘ＾2-2（2-ｋ）ｘ+1＝0　の実数解の個数を答えなさい。

（類似方式による　2011　数?T・A　　　九州数学出版社　p３７　158）

?@ｋ＝0　?Aｋ≠0で場合分けするところまでは分かり、解けました。
　
最後に?@?Aより、
実数解が二個の場合　ｋ＜0　0＜ｋ＜4/5　のがどこから出てきたのかわかりません。


よろしくお願いします。
No.6504 - 2011/09/19(Mon) 21:54:39
☆ Re: / シャロン [東海] [社会人]
こんばんは、シャロンと申します。

> ?@ｋ＝0　?Aｋ≠0で場合分けするところまでは分かり、解けました。

では、○1の、k=0の場合、実数解は何個になりましたか？

また、○2の、k≠0の場合、実数解が2個になったのは k がどのような範囲になったか、教えてください。
No.6506 - 2011/09/20(Tue) 03:52:01
★ (No Subject) / 芹 ♀ [北陸] [高校2年生]
はじめまして。高校二年の者です。
今回お尋ねしたいのは、啓林館の数?Uの教科書の問題の解法です。

上記教科書のP177、微分係数と導関数の問3

関数f(x)=x3+px2+3x-4について、f´(x)=0となるxの値がただ一つ存在するように、定数pの値を求めよ。

f(x)=x3+px2+3x-4を微分して
f´(x)=3x2+2px+3を作ったのですが、この後どう進めば良いのか分かりません。
本当に最初の方でつまづいてしまったのですが、教えていただける方いらっしゃいましたら宜しくお願い致します。
　
No.6493 - 2011/09/17(Sat) 17:18:29
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
芹さん，こんばんは．
londontrafficと申します．

>f´(x)=0
>f´(x)=3x2+2px+3
この２つの式から，何次方程式ができあがりますか？
それが１つの解を持つときの条件はどうでしょう？

分かる範囲でokです．カキコしてくださいな．
No.6496 - 2011/09/17(Sat) 19:01:25
☆ Re: / 芹 ♀ [北陸] [高校2年生]
londontrafficさんこんばんは。返信有難うございます。

> >f´(x)=0
> >f´(x)=3x2+2px+3
この２つの式からできる方程式は二次方程式ですか？
二次方程式が1つの解を持つときの条件は(2p)2-36=0のとき。

ということはこれを解いて、
(2p)2-36=0
4p2=36
p2=9
p=+3,-3
でしょうか？
No.6497 - 2011/09/17(Sat) 21:00:59
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい，それでokですよ(^_^)
No.6500 - 2011/09/18(Sun) 00:49:22
☆ Re: / 芹 ♀ [北陸] [高校2年生]
なるほど！分かりました。丁寧に教えて下さって有難うございました。
No.6502 - 2011/09/18(Sun) 13:05:52
★ 場合の数 / 七海 ♀ [四国] [高校１年生]
こんにちは。数研出版の「3TRIAL」という問題集を使っています。
ここからの質問なんですが、

問題：2桁の自然数のうち、各位の数字の積が次のようになるものは何個あるか。

　(1)奇数になる　　(2)偶数になる

という問題で、(1)は、「奇数になるには、十の位が奇数(1、3、5、7、9)で、一の位も奇数(1、3、5、7、9)なので、積の法則で、5×5＝25通り。というのは納得できました。

つぎに(2)の部分なのですが、単純に考えると、二桁の自然数(10〜99)90個から奇数のものを引いて、90-25＝65(通り)が答えとなるのですが、(1)のように考えると答えが変りました。この考え方のどこが間違っているのかを指摘していただけたらと思います。

★各位の数字の積が偶数の場合

十の位：一の位＝?@偶数：偶数、?A奇数：偶数、?B偶数：奇数 の3パターン。

偶数は(2, 4, 6, 8)の4通り。奇数は(1, 3, 5, 7, 9)の5通り。

積の法則で、

?@ 4×4＝16　　?A 5×4＝20　?B 4×5＝20

和の法則により、16+20+20＝56(通り)　　　　　　答え：56通り


★実際に確認しようと数字も並べたところ、

※□にはそれぞれの位の数が入るとする。

十の位が奇数だった場合、一の位が偶数になるもの→(□2、□4、□6、□8)という4通り。

これが、1、3、5、7、9の5通りあるので、4×5＝20通り。

十の位が偶数の場合、そのときの□1〜□9はすべて偶数になる

これが、2、4、6、8 の4通りあるので、4×9＝36通り。

よって 20＋36＝56通り。

両方とも同じになったのですが、模範解答とは違います。

なにが、間違っているのか、ご説明をお願いいたします。
No.6492 - 2011/09/17(Sat) 16:51:58
☆ Re: 場合の数 / さんぴん茶 ♂ [九州] [大学生]
七海さん、こんにちは。
さんぴん茶と申します。

結論から言いますと、七海さんの解答にはある数字が忘れ去られてしまっています。
２桁の自然数が偶数になるのは □2、□4、□6、□8
のみでしょうか？
No.6494 - 2011/09/17(Sat) 17:31:55
☆ Re: 場合の数 / 七海 ♀ [四国] [高校１年生]
さんぴん茶さん、早速の返信ありがとうございます。

2桁の自然数が偶数になる残りといえば… □０ でしょうか？

１０、２０、３０… 等の10の倍数も偶数ですが…□×０＝０となります。

もしかして、０ 自体も偶数なのですか？
(偶数・奇数にかかわらず、何を掛けても０なので、どちらともいえない気がずっとしていたのですが…)
No.6495 - 2011/09/17(Sat) 18:44:19
☆ Re: 場合の数 / さんぴん茶 ♂ [九州] [大学生]
七海さん、こんばんは。

なるほど、０があることは気づいていたんですね。
数学的には偶数とは「２で割り切れる整数」とするのが一般的なのです。
なので、０は偶数と考えてよいでしょう。
No.6499 - 2011/09/17(Sat) 22:58:45
☆ Re: 場合の数 / 七海 ♀ [四国] [高校１年生]
０も偶数だったんですね。

さんぴん茶さん、ありがとうございました。
No.6501 - 2011/09/18(Sun) 10:30:27
★ ２次方程式　解の配置問題 / minamino ♀ [関東] [高校１年生]
宜しくお願いします。問題は、数研のスタンダードからです。
２次方程式 2x^2-3x+a=0の１つの実数解が０と１の間にあり、他の実数解が１と２の間にあるように、定数aの値の範囲をもとめよ。　です。。
この問題で、グラフを用いた解き方や定数aを分離して解く方法では解けたのですが、解と係数の関係を使って次のように解くと答えがあいません、解と係数の関係では解けないのでしょうか。
自分の考え方
D＞0 9-8a＞0 で、a＜<9/8 ,２解の積　０＜２解の積＜２は、０＜a/2＜２で、共通部分を考えても正しい答え　０＜a＜１　にはなりません。どうにか解と係数の関係でかんがえたいのですが、無理なのでしょうか。
No.6486 - 2011/09/12(Mon) 08:55:49
☆ Re: ２次方程式　解の配置問題 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
minaminoさん、こんばんは。河童です。

質問に質問で返すのは心苦しいのですが、
まずは、いままでminaminoさんが出会った解の配置問題の中で、
解と係数の関係が利用できたのはどのようなケースだったのでしょうか。
それともうひとつ、

＞　０＜２解の積＜２

とありますが、この不等式はどこから出てきたのでしょう？
No.6488 - 2011/09/13(Tue) 00:27:34
☆ Re: ２次方程式　解の配置問題 / minamino ♀ [関東] [高校１年生]
> minaminoさん、こんばんは。河童です。
>
> 質問に質問で返すのは心苦しいのですが、
> まずは、いままでminaminoさんが出会った解の配置問題の中で、
> 解と係数の関係が利用できたのはどのようなケースだったのでしょうか。
> それともうひとつ、
>
> ＞　０＜２解の積＜２
>
> とありますが、この不等式はどこから出てきたのでしょう？

河童さんありがとうございます。。
＞　０＜２解の積＜２
２解の積は、安易に最小値が０で最大でも２と考えました。
＞解と係数の関係が利用した問題は、x^2+2ax+3a=0について，次の条件を満たすような定数aの値の範囲を求めよ. (1) 解がすべてlより小さい実数である.。です。出展は大学への数学（黒）ｐ１０６です。
No.6489 - 2011/09/13(Tue) 08:07:59
☆ Re: ２次方程式　解の配置問題 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
minaminoさん、こんばんは。

なるほど、黒大数ですか。
わたしもこの本には学生時代にたいへんお世話になりましたので、非常に信頼しているのですが、
そのページにはこんなことが書いてありませんか。

α、βが実数のとき、「α＜０ かつ β＜０」⇔「α＋β＜０ かつ αβ＞０」
のαをα−１に、βをβ−１に変えてやると上手く解と係数の関係が使えるぜ

みたいな感じです。違います？
ここの「⇔」が肝心なんですね。

minaminoさんは、

＞　２解の積は、安易に最小値が０で最大でも２と考えました

と書かれてますね。恐らくそうだろうと思っていました。
それなら質問するなよ、なんて言わないでください。話の流れですからね＾＾

たしかに、２解の積は、少なくとも０以上ですし、最大でも２にしかなりません。
それは正しいのですが、
逆に２数の積が０と２の間の数であるからといって、必ずしも２数がお望みの数になるとは限りません。
例えば、２数が１億と１億分の１だとしたらどうでしょう。ね、おかしいでしょ。
黒大数の問題は、「⇔」という保障があるから、つまり同値だから出来たことなんです。
問題の条件が、

（α−１）＋（β−１）＜０
（α−１）（β−１）＞０

という不等式と同値なんですね。
そして、このふたつの不等式は「対称式」なので、「たまたま」解と係数の関係が使えただけなんですね。
お分かり頂けましたか？
No.6490 - 2011/09/14(Wed) 01:19:57
☆ Re: ２次方程式　解の配置問題 / minamino ♀ [関東] [高校１年生]
最後まで返答頂いてありがとうございます。反例はおっしゃる通りです。もう１度しっかり勉強しなおします。ありがとうございました。
No.6491 - 2011/09/14(Wed) 14:35:30
★ 分数の最小公倍数 / アップルπ ♂ [関東] [社会人]
はじめまして。アップルπと申します。
早速質問なのですが，出典はZ会数学基礎問題集数学2Bからで明治学院大学の改題です。

関数 y=sin^2(x)の周期は□，y=sin(x)+cos(x)の周期は□，y=sin(5x)cos(x)の周期は□である。

□の穴埋め問題ですが，関数 y=sin^2(x)の周期は□，y=sin(x)+cos(x)の周期は□は
半角，合成の公式から変形して答えが出せました。わからないのは
y=sin(5x)cos(x)の周期は□の答えです。

積和の公式からy=1/2[sin(6x)+sin(4x)]だから周期はπ/3とπ/2の最小公倍数のπであると
なっています。分数の最小公倍数ってどういうことでしょうか？なぜπになるのだろうかと困っています。
通分とは関係ないのでしょうか？ここの所がわかりません。なお周期自体の考え方は分かっています。
よろしくお願いします。
No.6478 - 2011/08/25(Thu) 18:45:01
☆ Re: 分数の最小公倍数 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
アップルπさん、はじめまして。河童です。
アップルπさんは社会人の方でしょうか？

周期自体の考え方は分かっています、と書いてらっしゃいますので、
関数 f(x) の周期が例えば a のとき、

f(x+a) = f(x)

となるのはお分かりですね。
この場合の a は周期のひとつですので、a の整数倍 an も周期になることもご承知でしょう。

ところで、関数の和の周期は一般に面倒なのですが、
今回の場合、ふたつの関数の周期がそれぞれ、

π/３　と　π/２

で、それらの比、つまり、( π/３ ) / ( π/２ )　が、

( π/３ ) / ( π/２ )　＝　２ / ３　……(1)

と、有理数つまり、比が整数の比で表せますので、その和は周期を持つことができます。

というのは、(1) より、

( π/３ )×３＝( π/２ )×２

ですから（一般の場合でも考えてみてください）、周期関数の性質を用いて……f(x) の周期が π/3 で、g(x) の周期が π/2 として……

f( x + π/3 ) = f( x + 3π/3 ) = f( x + π ) = f(x)

g( x + π/2 ) = g( x + 2π/2 ) = g( x + 3π/3 ) = g( x + π ) = g(x)

となるわけです。
これは、ふたつの関数の和が周期 π をもつことを表しています。
すなわち、

f( x + π ) ＋ g( x + π ) = g(x)＋ f(x)

ということです。
解答に最小公倍数とあるのは、π/3 の整数倍と π/2 の整数倍が最も早く一致するという程度の意味ですね。

大体こんなところでお分かりでしょうか。
No.6480 - 2011/08/27(Sat) 01:08:48
☆ Re: 分数の最小公倍数 / アップルπ ♂ [関東] [社会人]
河童先生ありがとうございます。ええ社会人ですが機会がありましたら大学受験を
と考えています。分数の最小公倍数のところが比であることは整数の最小公倍数でも
当然だから，なるほど！と分かりやすかったです。

f( x + π/3 ) = f( x + 3π/3 ) = f( x + π ) = f(x)
g( x + π/2 ) = g( x + 2π/2 ) = g( x + 3π/3 ) = g( x + π ) = g(x)

こちらの式変形ですがこれは周期π/3,π/2の整数倍つまり3倍，2倍しても同じ周期になる
ということで，そのうちの最小のものがπ/3,π/2である。との理解でよろしいのでしょうか？
グラフをかいてみるとsin(6x),sin(4x)のグラフはπ/3,π/2でサインカーブが繰り返されて，πで
一致というか原点からの始まりと同じになり繰り返されるみたいです。
No.6482 - 2011/08/27(Sat) 05:31:11
☆ Re: 分数の最小公倍数 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
アップルπさん、こんばんは。
大学受験、いいですねえ。頑張ってください。

＞　グラフをかいてみるとsin(6x),sin(4x)のグラフはπ/3,π/2でサインカーブが繰り返されて，
＞　πで一致というか原点からの始まりと同じになり繰り返されるみたいです。

そうですね。
そのようなイメージを持たれるといいと思います。
難しいことは大学での勉強を楽しみにされるといいでしょう。
あるいは、「フーリエ級数」あたりで検索されると面白いかも知れませんね。

＞　こちらの式変形ですがこれは周期π/3,π/2の整数倍つまり3倍，2倍しても同じ周期になる
＞　ということで，そのうちの最小のものがπ/3,π/2である。との理解でよろしいのでしょうか？

そうですね。
もしかすると、ちょっと式を乱雑に書きすぎたかも知れません。ごめんなさい。

f( x + π/3 ) = f( x + 3π/3 ) = f( x + π ) = f(x)　……(1)

g( x + π/2 ) = g( x + 2π/2 ) = g( x + 3π/3 ) = g( x + π ) = g(x)　……(2)

(1) 式の　f( x + π/3 ) = f( x + 3π/3 )　と
(2) 式の　g( x + π/2 ) = g( x + 2π/2 )　とは、周期の整数倍も周期になるという性質を使っています。
また、(2) 式の　g( x + 2π/2 ) = g( x + 3π/3 )　この部分は、わたしの前回のレスの、

( π/３ )×３＝( π/２ )×２

という式を使いました。
当たり前のような式ですが、これを一般化してご理解いただきたく、敢えてこのように書きました。

お分かりいただけますでしょうか。
No.6483 - 2011/08/30(Tue) 00:58:55
★ (No Subject) / たす ♀ [関東] [高校3年生]
はじめまして。
高3で今年大学受験です。

青チャートの問題を解いているときに
2-√5と-{1/3}が出てきました。

この2つの数の大きさがどちらが大きいのかはどういうふうにすれば分かるのでしょうか？

2-√5が-1よりは小さいということは分かったのですが、
-{1/3}とはどうやって比べるのですか？

回答お願いします。
No.6462 - 2011/08/13(Sat) 11:09:52
☆ Re: / クマの森さん ♂ [九州] [大学生]
たすさん、こんにちは。早速問題に移りましょう。

＞2-√5が-1よりは小さいということは分かったのですが、
＞-{1/3}とはどうやって比べるのですか？

一行目に注目です。《2-√5が-1より小さい》ということは、√5が3より大きくないといけませんよね。…あれ、√5って具体的にどれぐらいの数なんだっけ？そこで、√5のだいたいの大きさを把握するために、不等式で表してみましょう。

まず√5を中央として、両脇に適当な数をおきます。適当といっても、n^2 である数(nは自然数)をおきます。(ex.1 , 4 , 9 , 16 ……) ※このとき中央に最も近い２つの数(5だったら、4と9)を選びます。
以上を不等式で表しますと
√4 < √5 < √9 …………?@ となり、さらに、
√4=2 , √9=3なので
2 < √5 < 3………?A になります
この式から√5は3未満とわかりますね。

ちなみに、両脇にn^2である数を置いたのは?@ の式を?Aに変形するためです。

さて、√5が3未満と分かったので 2-√5 < -1 の式は誤りですね。

この問題を解く鍵は -√5 と -{１／3} を具体的な数で表してみることです。
No.6463 - 2011/08/13(Sat) 19:43:55
☆ Re: / たす ♀ [関東] [高校3年生]
クマの森さん、回答ありがとうございます。

√5が3未満になるというところまで分かりました。
でも2-√5＜-1が間違っているというところがよく分かりません。

√5が3未満ということで、2.8くらいだとしてみたら
2-2.8で-0.8くらいになるから、-1より小さいとなるのかと思ったのですが･･･

何度もすみません
また回答よろしくお願いします。
No.6464 - 2011/08/13(Sat) 19:55:04
☆ Re: / クマの森さん ♂ [九州] [大学生]
たすさん、こんにちは。
さて、落ち着いて考えましょう。
自然数を数直線上に表しますと、
1 < 2 < 3 < 4…………ですね。これに0を盛り込むと
0 < 1 < 2 < 3…………です。
さて、数の大きさに注目して見てください。右に行くほど数の値が大きくなってますね。
つまり、左に行くほど数の値が小さくなります。

さて、ここで負の数の登場です。
負の数は0より小さいので0の左に位置します。表してみましょう。
-5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1………… ですね。

ここで問題です！-0.8 はこの数直線上のどこに位置するでしょうか？「◯と×の間に位置する」で答えてください！
No.6465 - 2011/08/13(Sat) 20:08:45
☆ Re: / たす ♀ [関東] [高校3年生]
クマの森さん、また回答ありがとうございます。

-0.8は-1と0の間に位置すると思います。

････ということは-1より大きいですね！
納得しました！

あと、-{1/3}と比べるところお願いします。
No.6466 - 2011/08/13(Sat) 20:15:09
☆ Re: / クマの森さん ♂ [九州] [大学生]
返信遅くなってしまい、申し訳ございませんm(_ _)m

では早速。簡単に言いますと
-{1/3}
=-1÷3…………ですね！
この商は-0.33333333333333……………といつまでも続きます。
今回は-0.3としましょう。
さてこの-0.3も数直線上で表しますと
-1 < -0.3 < 0です。
それでは、問題に戻りましょう。
キーは -√5 です。さっきのだいたいの値をより細かく見て行きましょう。
2 < √5 < 3 でしたね。
さてここからは「勘」です。
・二乗したら、5になる。
・一の位は2である。
この数を見つけます。地道にいきましょう。
2.1×2.1=4.41
2.2×2.2=4.88
2.3×2.3=5.29
おっと5を超えてしまいました。ここで終了です。
さて4.88と5.29はどちらが5により近いでしょうか。
4.88ですね！ですからここでは√5=2.2とします。(実際は2.2…………と永遠に続きます。)


さて問題に戻りましょう。2-√5の√5に2.2を代入します。
2-2.2
=-0.2………ですね！
最初の問題、2-√5と-{1/3}を不等式で表します。
2-√5=-0.2
-{1/3}=-0.3
さて、長くなりました。たすさん、不等式で表してみてください！




PS.誤入力を修正しました。8/13.(土) 22:41
No.6469 - 2011/08/13(Sat) 22:20:10
☆ Re: / たす ♀ [関東] [高校3年生]
全然遅くないです！回答ありがとうございます！

-0.3<-0.2ですか？

あの√って、うろ覚えなんですけど√2がひとよひとよ･･･とか覚えるやつありますよね？
あれは覚えておいたほうがいいっていうことなんでしょうか？
No.6470 - 2011/08/13(Sat) 22:53:19
☆ Re: / クマの森さん ♂ [九州] [高校１年生]
たすさん、こんばんは。
-0.3 < -0.2 合ってます。あとは2-√5 , -(1/3}を代入して、
-{1/3} < 2-√5……完成です。



＞あの√って、うろ覚えなんですけど√2がひとよひとよ･･･とか覚えるやつありますよね？
＞あれは覚えておいたほうがいいっていうことなんでしょうか？

そうですね……。覚えてて損はありませんから。√2 , √3 , √5は覚えてると役に立ちます。
√2 = 1.41421356 ゴロ「ひとよ ひとよに ひとみごろ」
√3 = 1.7320508 ゴロ「ひとなみに おごれや」
√5 = 2.2360679 ゴロ「ふじさん ろく おうむ なく」
今回みたいに√の値を叩き出すのは骨が折れます。ですが全部覚える必要はないかと。「ひとよ」
「ひとなみに」「ふじさん」 程度でいいかと思います。あまり√の値を求めることはないので。
No.6471 - 2011/08/13(Sat) 23:12:58
☆ Re: / たす ♀ [関東] [高校3年生]
回答ありがとうございます！

なるほど！
納得しました。
質問してよかったです。
その3つ覚えます。
ありがとうございました！
No.6472 - 2011/08/13(Sat) 23:21:50
☆ Re: / クマの森さん ♂ [九州] [大学生]
たすさん、申し訳ありません。先ほどの
√5 = 2.23690679 ですが、正しくは
√5 = 2.2360679 でした。ご迷惑をおかけしました。
No.6473 - 2011/08/13(Sat) 23:27:51
☆ Re: / たす ♀ [関東] [高校3年生]
９はいらないんですね！
ありがとうございます。
No.6474 - 2011/08/13(Sat) 23:37:28
★ 学校の課題について / みゆう ♀ [近畿] [高校2年生]
はじめまして。
数学の問題を解いていて分からない問題があったので宜しくお願いいたします。
(問題)
θについての方程式　４sin^2θ-4cosθ＋4a-1=0が０≦θ≦２πにおいて異なる４つの解をもつようなａの値の範囲を求めなさい。

(解答・方針)
まず、cosについて整理し、cosθ＝ｔとして
t^2+t-3/4=a (-1≦t≦1）としました。

y=t^2+t-3/4(-1≦t≦1）・・・?@
y=a・・・・?A として、?@?Aのグラフが２つの共有点をもつａの範囲を求めるとこまで分かりましたが、
解答に

ｔ≠−1と書かれていました。この理由が分かりません。
また、最終的な答えが
−1＜ａ＜−3/4 となっており、　　なぜ、−1≦ａ≦−3/4ではないのでしょうか。
ご指導よろしくお願いいたします。
No.6467 - 2011/08/13(Sat) 21:01:14
☆ Re: 学校の課題について / さんぴん茶 [九州] [大学生]
みゆうさん、こんばんは。はじめまして。
さんぴん茶と申します。

さっそくですが、

>ｔ≠−1と書かれていました。この理由が分かりません

今回はt＝cosθとおきましたよね。
では、t軸とθ軸をとってt＝cosθ(０≦θ≦２π)のグラフを描いてみてください。
描けましたら、t＝-1のときのθの値の個数を答えてみてください。
No.6468 - 2011/08/13(Sat) 21:29:13
★ (No Subject) / 礼 ♀ [近畿] [高校１年生]
もう一題おねがいします

a^2+4ab+5b^2+6b=0

を満たす実数a,bの値の組を求めなさい

おねがいします
No.6450 - 2011/08/11(Thu) 19:26:35
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
礼さん，こんばんは．
またもやlondontrafficです．

問題の打ち込みに間違いはありませんか？
この文章のままだとすると，無数の組が見つかります．
もしかして，整数の組じゃないですか？

ちなみに下に挙げたのは，組(a,b)が満たす曲線です．
楕円ですね．
No.6461 - 2011/08/12(Fri) 19:31:08
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