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★ (No Subject) / tomato ♂ [北陸] [高校3年生]
こんにちは。

学校の夏休みの補習の課題として出されたのですが、考えても分からなかったところがあったので質問させていただきます。

（１）実数ｘ、ｙが　y>=x2+x-1　を満たすとき、
x2+y2-8x　のとる値の範囲を求めよ。

（２）0°<= θ <= 180°であるθに対して、(1+sinθ)/(2+cosθ)の最大値、最小値を求めよ。

（３）２つの不等式、y>-(x-1)2+k・・・?@　y<x2・・・?A
がある、次の（イ）、（ロ）の各条件を満たすように、kの値の範囲をそれぞれ定めよ。
（イ）適当なｙをとれば、全ての実数ｘに対して?@かつ?Aが成立する。
（ロ）全ての実数ｘについて、?@かつ?Aを満たすようなｙが存在する。

（１）についてはまず、条件のy>=x2+x-1の右辺を平方完成してみたのですが、これといった方針はそれ以降思いつきませんでした。

（２）については、cosθ=xと置き換えをして、微分してみたのですが、増減表がうまくかけませんでした。

（３）については、?@式?A式をグラフ化すればいいのかなぁと思ったのですが、（イ）（ロ）が言っていることがよく分からなくて詰まってしまいました。

お手数ですがご教授のほどお願いします。
No.722 - 2008/07/22(Tue) 01:26:30
☆ (No Subject) / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。
「書き込まれる方へのお願い」にありますように，一度に複数の問題の質問はご遠慮いただいております。
この記事は削除し，どれか一つについて，改めて記事を立ててご質問ください。
No.730 - 2008/07/23(Wed) 02:05:16
★ (No Subject) / HS ♂ [中国] [高校2年生]
こんにちは。確率の質問です。

箱の中に1から10までの番号の書いてあるカードがあり、箱から３枚のカードを一度に取り出す。最大の番号が８以上で、最小の番号が２以下である確率を求めよ。
という問題なのですが、わかりません・・。
僕は１と2から１枚とって、8、9、10から１枚とって残りの八枚から一枚を選べばよいと考えて、２×３×８＝48で全事象が120であるから2/5と考えたのですが・・・。ちなみに正しい答えは13/40です。

ご回答よろしくお願いします。
No.694 - 2008/07/20(Sun) 12:50:58
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
こんにちわ。さっそくまいりましょう。
まずは、ＨＳさんの考えではまずいことを確認しますね。

確かに、こういうタイプの問題ではそう考えたくなるのですが、ちょっと確認してみましょう。
確率とか場合の数の問題では、「数えもれしてないか？」「ダブって数えてないか？」ということを気にしながら問題を解かないといけません。
ＨＳさんのとき方で、ちょっと気になるのは「残り８枚」の中身です。
具体的に、ちょっとみてみましょう。
ＨＳさんの考え方で
（Ａ）「１と２」からは２をとりました。「８，９，１０」からは８をとりました。
（Ｂ）「１と２」からは１をとりました。「８，９，１０」からは８をとりました。
この２つを考えて見ましょう。残りの８枚のとり方について、それぞれ８通りずつあると思います。２つあわせて１６通り出てきますが、全部考えてみてください。
まずいところがわかると思います。

では、どうすればよいのか？は、このあといきましょう。
No.695 - 2008/07/20(Sun) 13:39:17
☆ Re: / HS ♂ [中国] [高校１年生]
せら。さん、ご回答ありがとうございます。

なるほど。821と812などを二回数えていました・・・。

どうすればよかったのでしょうか？二回目のを引くというのはかなり大変だったのですが。

ご回答よろしくお願いします
No.697 - 2008/07/20(Sun) 17:05:47
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [高校１年生]
そうですね、後で重複分を引くというのはかなり大変そうです。
ちょっと視点を変えてみましょう。
いろいろな考え方がありますが、「まともに数え上げるのが大変」な時は、余事象を使うというのがひとつの有力なアイデアです。

さて、
「最大の番号が８以上で、最小の番号が２以下」
の余事象とはなんでしょう。
その場合の数はいくつあるでしょうか。
今度も重複が出てきてしまいますが、まともにやるよりはずいぶんわかりやすい重複になっているはずです。

出来るところまでがんばってみて、書き込んでみてください。
No.700 - 2008/07/20(Sun) 20:55:13
☆ Re: / HS ♂ [中国] [高校１年生]
ご回答ありがとうございます。

余事象は気づきませんでした・・・。
「最大の番号が８以上で、最小の番号が２以下」
の余事象は「最大が８以下で、最小が２以上」であると思います。でもこれでは、また重なってしまうので、「最大が８以下でかつ最小が２以上」である事象をひいてやればいいと思います。一応その考え方でやったら正しい答えにたどり着けました。

正しいでしょうか？ご解答よろしくお願いします。
No.711 - 2008/07/21(Mon) 11:37:10
☆ Re: / せら。 ♂ [関東] [社会人]
おしい。
考えていることはおそらく正しいのですが、言葉がちょっとまずいですね。
正しくは
「最大の番号が８以上で、最小の番号が２以下」の余事象は「最大が８未満か、または最小が２より大きいかどちらか」
になります。（最大が８とか、最小が２という「境目」のところに気をつけましょう）
「最大８、最小２」じゃないんですから、「最大は８より小さい」あるいは「最小が２より大きい」のどちらかが成り立てば十分なわけです。

あとは、重複の「最大が８未満かつ最小が２より大きい」を引けばいいわけで、数え上げがずいぶんやりやすくなりましたね。

繰り返しになりますが、「まともに数え上げるのが大変」な時は、余事象がひとつの有力なアイデアになります。ちょっと頭の隅においておくといいですね。
No.717 - 2008/07/21(Mon) 19:48:24
☆ Re: / HS ♂ [中国] [高校１年生]
返信が遅くなりました。

余事象はこんな問題にも使うとは、気づきづらいですね。

丁寧なご回答ありがとうございました！
No.728 - 2008/07/22(Tue) 21:59:03
★ 関数の極限 / ポポ ♂ [高校2年生]
こんにちは。おねがいします。
早速ですが、
問題集の解説に
極限値lim f(x)-2x＾3/x＾2＋x＋2　x→∞　が存在するから
f(x)-2x＾3は2次式以下の多項式である。
とあるのですが、わかりません。
どなたかよろしくお願いします。
No.665 - 2008/07/18(Fri) 17:13:41
☆ Re: 関数の極限 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。
回答が遅くなり申し訳ありません。

問題文全文を書き込んでいただけますか。
No.725 - 2008/07/22(Tue) 15:21:24
★ 軌跡 / ライダー ♂ [高校2年生]
よろしくお願いします。

青チャートの１５４ページの１８４（１）です。

座標平面上の点（p,q）はx＾2＋y＾2≦８、y≧０で表される領域を動く。

点（p＋q,pq）の動く範囲を図示せよ。

といった問題です。

X＝ｐ＋ｑ、Y＝pqとおく。・・・・・?@

q≧０ということから、?@が２つの実数解をもち、更にそのうちの少なくとも１つの解が

０以上であればよい。と解説に書いてあるのですが、「そのうちの少なくとも１つの解が

０以上」というところが分からないのですが。

よろしくお願いします。
No.601 - 2008/07/14(Mon) 22:06:04
☆ Re: 軌跡 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
ライダーさん，こんにちは。

簡単な問題で題意を確認してみますね。
p,qの連立方程式
　p+q=2
　pq=-1
を解いてみてください。
No.644 - 2008/07/17(Thu) 15:31:07
☆ Re: 軌跡 / ライダー ♂ [高校１年生]
１ですか？
No.663 - 2008/07/18(Fri) 16:39:51
☆ Re: 軌跡 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

p=q=1 ということですか？　pq=-1 になりませんよ。
解き直してください。
No.671 - 2008/07/18(Fri) 23:48:10
☆ Re: 軌跡 / ライダー [高校１年生]
こんばんは。
1＋√2,1−√2でした。
No.681 - 2008/07/19(Sat) 19:24:09
☆ Re: 軌跡 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。
連立方程式ですから，
　(p,q)=(　，　)
の形でお答えください。
No.685 - 2008/07/19(Sat) 23:32:36
☆ Re: 軌跡 / ライダー [高校2年生]
（p,q）＝（1＋√2，1-√2）,（1−√2,1＋√2）
ですか？？
No.698 - 2008/07/20(Sun) 19:03:45
☆ Re: 軌跡 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

OKです。問題が
「q≧0のとき，p,qの連立方程式
　p+q=2
　pq=-1
を解け」
であれば，(p,q)=（1−√2,1＋√2）となりますね。

改めて，ライダーさんの疑問を考え直してみてください。
No.714 - 2008/07/21(Mon) 14:54:23
☆ Re: 軌跡 / ライダー ♂ [高校2年生]
こんにちは。

わかりました。
少なくとも１つの解が0以上だったら0≦qを満たしますね！！！
ありがとうございました。
やっとスッキリしました。

また、わからない問題があったときは、よろしくお願いします。
No.724 - 2008/07/22(Tue) 13:34:23
★ こんばんは。 / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
　座標平面上で、半径１の円が放物線y=1/2x^2 と第一象限の点P(a,a^2/2)で接している。点Pにおける放物線の接線が、原点と円の中心を通る直線と平行になるとき、
a^2=ア + イ√2である。また、円の中心の座標は、(ウ√(エ+√2),オ√2)である。
( √(エ+√2)は2重根号を表しています。記入法を見てもどのようにすればいいのかわからなかったのでこうしました。) 　08 早大　スポーツ科学

この問題で、ア・イは難なく解くことができたのですが、ウ・エ・オでつまってしまいました。まったく見当がつかず、解答を見ても見てもよくわからなかったので、よろしくお願いします。　※解答では、ベクトルを使っていました。
No.593 - 2008/07/14(Mon) 20:13:49
☆ Re: こんばんは。 / kinopy [近畿] [塾講師]
k-700さん，こんばんは。kinopyです。

k-700さんの解答方針が分からないのですが想像では…

点Pにおける接線はy=ax-1/2a^2…(*)
円の中心をCとすると，直線OCの傾きがaであることからCは直線y=ax上にあるのでC(b,ab)とおける。
Cから直線(*)への距離が円の半径1と等しいので…中略…a^2=2+2√2

でしょうか？
このままでは，「円が直線(*)に接している」という条件で「円が点Pで直線(*)に接している」という条件にはなりません。

あと一つ条件が必要ですが，それを考えていただけますか？

追伸：最初の質問の際に「k-700さんがどう考えられたか」まで書いてくださるとこちらも色々想像しなくてよいので助かります。
次回の質問からお願いします。
No.622 - 2008/07/16(Wed) 03:09:59
☆ Re: こんばんは。 / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
こんばんは。解いた過程を書くのを忘れてしまい申し訳ありませんでした。次からは、気をつけたいと思います。　

さて、本題のほうですが、まずはじめに、y=f(x)=1/2x^2 とし、接線の傾きを出し、点Pにおける放物線の接線を求め、その接線とOCが平行であるので、円の半径は原点Oとy=ax-1/2a^2の距離に等しく、円の半径は１だから、距離の公式を使って・・・と計算して、ア・イを求めました。　これでは、円が点Pで直線(*)に接している　という条件にはならないのでしょうか。僕は、これでなると思ったのですが。
No.637 - 2008/07/16(Wed) 22:39:09
☆ Re: こんばんは。 / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

>これでは、円が点Pで直線(*)に接している　という条件にはならないのでしょうか。僕は、これでなると思ったのですが。
では確認しましょう。

まず，y=1/2x^2上に点Pを取り接線を引いてください。
次にその接線と等しい傾きをもつ原点を通る直線を書いてください。

この2直線の間隔を1にされましたね。どこかに間隔が1を取りましょう。

k-700さんが解答の過程で行ったことは以上ですよね？
さて，どうでしょう？
原点を通っている直線上に中心を持つ半径1の円は，いくつでも書けるのではないでしょうか？

いかがでしょう？
ＯＫなら，さらにどんな条件が必要か考えてみてくださいね。
分かりにくければその旨書き込んでください。
No.638 - 2008/07/16(Wed) 23:53:19
☆ Re: こんばんは。 / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
確かに、僕が行った計算だけでは、原点を通っている直線上に中心を持つ半径1の円はいくつでもかけてしまい、点Pで接しているという条件にはならないことはよく分かりました。しかし、さらにどんな条件が必要かというのは、2日間かけて考えてみてもよく分かりませんでした。よろしくお願いします。
No.670 - 2008/07/18(Fri) 23:08:27
☆ Re: こんばんは。 / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

他の円と，条件を満たす円では中心の位置が異なりますね？

求めるべきは「Pにおいて放物線（の接線）と接する円の中心Cの位置の条件」です。
図を書いて最後にもう一度考えてみてください。

次回無理でしたら答えを書きますので…
No.672 - 2008/07/19(Sat) 00:15:10
☆ Re: こんばんは。 / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
Pを通って、放物線の接線と垂直に交わる直線上に点Cが存在し、また、点Cは、放物線の接線の方程式と平行で原点を通るような直線上にも存在するから…　というようなことを思いついたのですが、結局答えにはたどり着きませんでした。　解答よろしくお願いします。
No.703 - 2008/07/20(Sun) 22:15:09
☆ Re: こんばんは。 / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

>Pを通って、放物線の接線と垂直に交わる直線上に点Cが存在し
正解です！

条件はＯＫなので答えが出ます。しかし，少し工夫したほうが無難ですね(^_^;)

k-700さんの条件から　y=-1/ax+1+1/2a^2とy=axを連立されたのですよね？
yを消去したくなりますが，その場合aの値などを扱うことになり煩雑です。

前半部分でa^2=2+2√2と分かってるので，a^2が出てくるようにxを消去すると
(1+1/a^2)y=1+1/2a^2
から(√2+1)/2y=2+√2 となり，さらに2+√2=√2(√2+1)ですから
y=2√2 ，x=1/ay=2√(frac{1}{√2+1})=2√{√2-1}
となりました。

以上分かりにくい箇所は再質問してください。
No.708 - 2008/07/21(Mon) 03:30:01
☆ Re: こんばんは。 / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
おはようございます。教えていただいたように解いたら、解くことができました。何回か返信が遅れてしまって申し訳ありませんでした。またよろしくお願いします。
No.723 - 2008/07/22(Tue) 07:11:11
★ (No Subject) / ドラゴン ♂ [近畿] [高校2年生]
数列の問題です。
No.627 - 2008/07/16(Wed) 12:33:42
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
初めまして．こんにちは．

問題
一般項an＝f(n)で定められる数列{an}が，第n群に属する数の個数がf(n)となるような群数列を成しており，例えば，f(n)＝n＋1であれば，
{an}＝(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，……
となる．以下の空欄[ア]〜[オ]を埋めよ．但し，同じ記号の空欄には同じ式か数が入る．

f(n)＝n2＋2n＋p(pは整数)とする．
(1)群数列{an}が存在するようなpの値の条件はp≧[ア]
(2)第6n群に属する数で最大の数をn，pを用いて表すと，[イ]2＋2[イ]＋p
f(n)＝1−2＋3−……＋(2n−1)−2n＋(2n＋1)とする．
(3)12345は第[ウ]群の第[エ]項である．
(4)1＋2＋3＋……＋(2n−1)＋2n＋(2n＋1)は第[オ]群の第[カ]項である．
No.629 - 2008/07/16(Wed) 12:47:25
☆ (No Subject) / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
(1)のpの条件を求めよ，というところからして意味が分かりません…
pが幾つでも数列は出来ると思うのですが…

では(2)に挑戦
http://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org0334.bmp.html
パスワード：lykeion
を参照願います．

どうでしょう…

(1)(2)が解決次第，(3)も分かる範囲で考え方を載せます．
よろしくお願いします．
No.630 - 2008/07/16(Wed) 12:55:40
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
ドラゴンさん，こんばんは．一ノ谷です．

（１）f(n)は個数でもあるので f(n)≧1 ですが，単調増加ゆえ，この条件は f(1)≧1 つまり p≧-2 と同値ということでしょう．

（２）内容はOKですが，Σ計算の結果は n(72n^2+54n+7+6p) などと整理しておくのが普通ですね．
No.667 - 2008/07/18(Fri) 19:43:41
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校2年生]
今晩は．一之谷さん．回答有難う御座います．

(1)その設定を完全に忘れてました．p≦−3では第1群が成立しませんね．
(2)以後，気をつけます．

(3)
f(n)＝(1−2)＋(3−4)＋…＋{(2n−1)−2n}＋(2n＋1)
で−1がn個出来て−n　よってf(n)＝n＋1　(問題文の例と同じ…)
(※最初はシグマを使って奇数の和から偶数の和を引きました，結果は当然等しいです)

で，この一般項から考えて12345は第12344項ですか．
第n群の最後の数は第n(n＋3)/2項
第n群の最初の数は第{(n−1)(n＋2)/2}＋1項
第12344項が第n群に含まれるとすると，
{(n−1)(n＋2)/2}＋1≦12344≦n(n＋3)/2
∴n＝156
第156群の最後の巣は第12402項なので，12403である．
12403−12345＝58より58項戻ればよい．
第156群には157個の数が含まれており，58個戻ると99項
よって第156群の第99項…？


と思うのですが，f(n)が2つのことを同時に表しているというので混乱してます．
No.673 - 2008/07/19(Sat) 03:59:57
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
内容はOKですが，99を導く部分も項数で考えて
12344-(第155群までに属する項の数)=12344-(155*158/2)=99
とすればより簡明でしょう．
No.678 - 2008/07/19(Sat) 13:34:37
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
返信　ありがとう　ございます．

(4)は　どのように　解けば　よろしいでしょうか？
No.683 - 2008/07/19(Sat) 22:29:07
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
（３）と同様に不等式で考えてもよいのですが，次のようにすれば計算が省けます．

与えられた値は元の数列の第 2＋3＋…＋(2n＋1) 項であり，この 2，3，…，2n＋1 は第 1 群に属する項の数，第 2 群に属する項の数，…，第 2n 群に属する項の数なので，与えられた値は第 2n 群の第 2n+1 項と判りますね．
No.688 - 2008/07/20(Sun) 01:08:01
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
一ノ谷先生，返信有難う御座います．

計算が省ける方法ですか！
それは思いつきませんでした…
作問者の望む解答は先生の言われる(3)の方法と先生の方法のどちらでしょうか？
その解答を見て感動しました(笑

(3)に従うと，
1＋2＋…＋(2n＋1)＝2n2＋3n＋1
一般項より，第2n2＋3n項である．
これが第k項にあるとすると，…と考えたのですが，ここで大混乱．
{(k−1)(k＋2)/2}＋1≦2n2＋3n≦k(k＋3)/2
が解けません…もう，2nになるのは分かりましたが
No.706 - 2008/07/20(Sun) 22:48:45
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
＞ 作問者の望む解答
は作問者のみぞ知るところ(笑)ですが，（３）があるので単なる繰り返しではなく，何らかの工夫があってもよいと思います．

さて，上の不等式を n，k≧1 に注意して解くと
2n^2＋3n≦k(k＋3)/2…（A）
⇔k^2+3k-4n^2-6n≧0
⇔(k-2n)(k+2n+3)≧0
⇔k≧2n…（B），
{(k-1)(k+2)/2}+1≦2n^2+3n…（C）
⇔k^2+k-4n^2-6n≦0
⇔[k+(1/2)]^2≦4n^2-6n+(1/4)
⇔k+(1/2)≦(1/2)√(16n^2-24n+1)
⇔k≦(1/2)[-1+√(16n^2-24n+1)]…（D）
となりますが
(2n+1)-(1/2)[-1+√(16n^2-24n+1)]
＝(1/2)[4n+3-√(16n^2-24n+1)]
＝(1/2)[√(16n^2+24n+9)-√(16n^2-24n+1)]＞0
より，（B），（D）をみたす整数 k は 2n のみであり，k＝2n のとき（A）は等式となるので，与えられた値は第 2n 群の末項と判ります．

なお，k＝2n の導出では，n，k が整数より
（C）⇔(k-1)(k+2)/2＜2n^2+3n
と言い換えれば（A）と同様の因数分解より k＜2n+1 を得ることも可能です．
No.707 - 2008/07/21(Mon) 01:34:18
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校2年生]
この不等式の場合，これを満たす自然数kはあるnに対して明らかに1つしかないわけですが(どの数も必ず唯1つの群に属するから)，そのことを証明なしで使って，2n2＋3n≦k(k＋3)/2より，k＝2nとすることも可能でしょうか．それとも，やはり解が1つしかないことも言えていないと原点対称でしょうか？
No.712 - 2008/07/21(Mon) 14:13:14
☆ Re: / 一ノ谷 ♂ [社会人]
記述形式としての採点基準は不明ですが，一般に「やさしい問題には丁寧に答える」に越したことはありません．
No.716 - 2008/07/21(Mon) 17:27:15
☆ Re: / ドラゴン ♂ [近畿] [高校2年生]
やはり，丁寧に答えるに越したことはないですか．

群数列を含む数列に苦手意識自体は無いのですが，今回，f(n)が2つの役割をするという点でどうも混乱してしまい，質問させて頂きました．特に(4)の鮮やかな解き方など，質問していなければ，絶対に気付けなかっただろうと思います．何でも真正面から攻めてしまう癖があるので…

一ノ谷先生，ありがとう御座いました．
No.718 - 2008/07/21(Mon) 21:28:48
★ 「08/07/15 とうこさんの質問の続き」 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
記事をたてましたので，問題を再掲しておきます。
==============================
f(θ)＝cos4θー4sin^2(θ) とする。
　　0°≦θ≦90° における f(θ) の最大値および最小値を求めよ
==============================
倍角公式などで変形すると
f(θ)＝8cos^4(θ)ー4cos^2(θ)−3
となり，x=cos^2θ と置き換えることで

「y=8x^2-4x-3　　(0≦x≦1) の最大値・最小値を求めよ」

という問題にかわりました。
これをとうこさんは
　　　　y＝8x^2ー4x−3　
　　　　 ＝(8x^2ー4x＋1/2)ー3-1/2
　　　　 ＝(√8xー1/√2)^2-5/2
と変形されたのですが，この変形は間違っています。

数IIでは三角関数の他に，指数関数，対数関数，微分積分などを学習することになりますが，全単元でこの質問の問題のように，2次関数の問題に帰着されるものがたくさん出てきます。2次関数は高校数学の根幹といっていいくらい，非常に大切なものなのです。

そこで，とうこさんにお願いです。
数Iの教科書の，2次関数のグラフの書き方のところをもう一度じっくり読んで復習してください。そのあとで，以下の３つを平方完成してみてください。

　(1) y=x^2-4x
　(2) y=2x^2+12x
　(3) y=2x^2-x
すぐに返信されなくて構いません。教科書を復習し終わるまでお待ちします。
No.662 - 2008/07/18(Fri) 14:58:45
☆ Re: ありがとうございます / とうこ ♀ [関東] [高校2年生]
返信遅くなってしまってすいません。
わざわざ問題までご用意してくださってありがとうございます。

＞二次関数のグラフの書き方
　はい。復習しました！

＞平方完成
　⑴　y=x^2-4x
　　　　=(x^2-4x+4)-4
　　　　=(x-2)^2-4

　⑵　y=2x^2+12x
　　　　=2(x^2+6x)
　　　　=2{(x^2+6x+9)-9}
　　　　=2{(x+3)^2-9}
　　　　=2(x+3)^2-18

　⑶　y=2x^2-x
　　　　=2(x^2-1/2x)
　　　　=2{(x^2-1/2x+1/16)-1/16}
　　　　=2{(x-1/4)^2-1/16}
　　　　=2(x-1/4)^2-1/8

と考えました。あっていますでしょうか。
数学は好きなんですが、学年が上がる毎にだんだんできなくなってしまって…。
いろいろやってくれて、本当にありがとうございます。
No.682 - 2008/07/19(Sat) 20:52:31
☆ Re: 「08/07/15 とうこさんの質問の続き」 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。

全国梅雨明けしたそうで，本格的な夏の到来ですね。
(1)〜(3) 全問OKですよ！
昨日できなかったものが，できるようになると，少し嬉しくありませんか？

もう大丈夫と思いますが，本題の
　y＝8x^2ー4x−3　
を平方完成してみましょう。
No.684 - 2008/07/19(Sat) 23:30:49
☆ Re: 「08/07/15 とうこさんの質問の続き」 / とうこ ♀ [関東] [高校１年生]
こんばんは。　また返信遅れてしまって申し訳ない…。
毎日本当に暑いですね。バテちゃいそうです。

⑴〜⑶みてくださってありがとうございます。
数学って解けるとやっぱりうれしですよね。小さい頃から丸つけが大好きでした。

それでは本題
y＝8x^2ー4xー3
　＝8(x^2−1/2x)−3
　＝8{(x^2ー1/2x＋1/16)ー1/16}ー3
　＝8(xー1/4)^2ー1/2−3
　＝8(xー1/4)^2ー7/2

となりました。
つまり、x＝1/4のとき、yは最小値 ー7/2 をとる、という解釈でよろしいですか？
No.699 - 2008/07/20(Sun) 20:48:54
☆ Re: 「08/07/15 とうこさんの質問の続き」 / とうこ ♀ [関東] [高校2年生]
上の記事の続きを考えました。

　　　y=8(x-1/4)^2-7/2
は下に凸のグラフなので、x=1/4のとき、最小値-7/2をとる。
x＝cos^2(θ)なので、
　　　cos^2(θ)＝1/4　　0≦cosθ≦1 ー?@ より、
　　　　　cosθ＝1/2
　　　∴θ＝60° のとき、最小値ー7/2 をとる。
また、?@より、0≦x≦1 なので、x＝1のとき、最大値1をとる。
　　　cos^2(θ)＝1　　　?@より、
　　　　　cosθ＝1
　　　∴θ＝0° のとき、最大値1をとる。

　A. θ＝0° のとき最大値 1、θ＝60° のとき最小値 ー7/2


この考え方で大丈夫ですか？　答えは合いました！ありがとうございます。
No.702 - 2008/07/20(Sun) 22:13:52
☆ Re: 「08/07/15 とうこさんの質問の続き」 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

バッチリ正解です！！
学校の夏休みの宿題は，数I内容も含まれますか？そうでなければ
夏休みの間に，数Iの２次関数，２次方程式，２次不等式の教科書の復習をやっておきましょう。２学期からの数IIの勉強がスムーズに進みますよ。
No.713 - 2008/07/21(Mon) 14:47:53
★ (No Subject) / 目 ♀ [東北] [高校3年生]
こんばんは。またよろしくお願いします。
進研の2009年度センター重要問題集の問題です。
y=x^2-2ax+4a-4　(aは定数)
頂点(a,-a^+4a-4)
x軸との共有点のx座標は2,2a-2
(1)すべての整数に対してy≧0が成立するaの値の範囲は
キ/ク≦a≦ケ/コ
(2)この放物線の-1≦x≦2の部分が、4点を(2,2)(2,-2)(-1,2)(-1,-2)頂点とする長方形の周および内部にあるようなaの値の範囲を考える。
-1≦x≦2の範囲で不等式サシ≦x^2―2ax＋4a-4≦スが成立すればよい
したがって求めるaの値の範囲はセ-√ソ≦a≦ﾀ/ﾁ

(1)はｙが下に凸の二次関数なので判別式でｙがｘ軸と接するか共有点を持たない範囲を出せばよいと思ったのですが答えが合いませんでした。
何が足りないのでしょうか？
ｷ＝3　ｸ＝2　ｹ＝5　ｺ＝2です。
(2)は手も足も出ません。
サシ＝−２　ス＝２　セ＝２　ソ＝２　タ＝５　チ＝６です。
No.619 - 2008/07/16(Wed) 00:22:56
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
こんばんわ。
たろと申します。

まず１）ですが、
「x軸と交点を持つ」
という条件をもう一回見つめなおしてください。
D＝(a-2)^2≧0
ですので、ここを強引に、「共有点を持たない」条件を考えるというのは、敢えて書けば、
「思いっきり問題設定を無視」
してしまっているのでおかしいと気づいていただきたいところです。あぁDじゃないんだなと言うところからスタートしましょう。

そうしますと、条件を満たすには、常にy>0ではなくても、ある整数xでy<0とならなければ問題ないのですから、

y<0となる範囲に整数を含まなければいいじゃん♪

ということになりますね。ここまではよろしいでしょうか？
No.634 - 2008/07/16(Wed) 20:09:00
☆ Re: / 目 ♀ [東北] [高校3年生]
こんばんは。
返信が大変遅くなってしまって申し訳ありません（＞＜）。
y＜0となるのは
2a-2＜2すなわちa＜2のとき2a-2＜x＜2
2＜2a-2すなわちa＞2のとき2＜x＜2a-2
のときなのでこのときxが整数にならなければいいということなのでしょうか？
No.649 - 2008/07/17(Thu) 21:14:46
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
こんばんは☆

グットですね〜。
たくさんお考えになったと思いますが、先の書き込みでそこまで理解されたなら目さんはまだまだ頑張れますよ！！

そこまで出来ていればOKです。
概ね私が次に書こうと思っていたことですから。
では整数を含まないようにするにはどのようにすればよいでしょう。
ポイントは、範囲の片方が２と出ていることなのです。
これが無いと少々苦しくなりますが、この２のおかげでDではないことを確信できるのですね。
この点はしつこい指導ですが、センターは時間勝負なので出題者と対話できる＝どう解いて、どう流れて欲しいかという出題者の意図をある程度見通せることも大切な力なのです。
No.655 - 2008/07/18(Fri) 00:39:16
☆ Re: / 目 ♀ [東北] [高校3年生]
また遅くなってしまって申し訳ありません（＞＜）
アドバイスをありがとうございます＾＾
整数を含まないときは

2a-2＜2すなわちa＜2の時2a−2＜x＜2なので
このとき1≦2a-2＜2すなわち3/2≦a＜2

2a−2＞2すなわちa＞２の時2＜x＜2a−2なので
このとき2＜2a−2≦3すなわち2＜a≦5/2

よってaの範囲は
3/2≦a≦5/2
となるのでしょうか？
No.696 - 2008/07/20(Sun) 16:46:02
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
OKですね。
実は絵を描いてみればあっさり終わってしまうのですね。

解が分かる形の場合は絵を描いてみる（分からない時もそうですが）ことも重要です。殊二次関数に関してはなおさらのような気がしますね。

さて後半ですが、これもaによって条件が変化します。

目さんは非常に頑張っているのでもう少し考えてみてくださいませんか？？

手も足も出ないと仰る生徒さんの大部分にはまだまだ力のある方がいらっしゃるので^^

放棄しているわけではなく、どこがどのように分からないという所を明確に出来ることも成長できるか大切な部分なのでそこをお伺いしてから、分からない場所をお手伝いさせていただきます。
No.704 - 2008/07/20(Sun) 22:38:44
★ (No Subject) / みさき ♀ [東海] [高校3年生]
はじめまして！こんにちは

ウイナー３の数学?T・A・?U・Bの標準問題の１９６番の問題です

｛問題｝２つの２次方程式ｘ＾２−ｐｘ＋ｐ＝０、ｘ＾２−２ｘ＋ｐ＾２＝０の一方が実数解を、他方が虚数解をもつような実数ｐの値の範囲を求めよ。

２つの式を判別式Dで解けばいいというところまでは解ったのですが
どちらが実数解をで虚数解をもつのか判別の仕方がわかりません
どうか教えてくださいお願いします！
No.679 - 2008/07/19(Sat) 17:58:35
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．

＞一方が実数解を、他方が虚数解をもつような
　ということは，２つの場合があります．
　　　(Ａ) １つ目の２次方程式が実数解，２つ目の２次方程式が虚数解
　　　(Ｂ) １つ目の２次方程式が虚数解，２つ目の２次方程式が実数解
　です．
　まず，これで考えてみてください．
No.680 - 2008/07/19(Sat) 18:39:28
☆ Re: 遅れてすみません / みさき ♀ [東海] [高校3年生]
はじめましてＣＯＲＮＯさん！
（A）の場合
ｐ＾２−４ｐ≧０とおくと
ｘ≦０、ｘ≧４

１−ｐ＾２＜０とおくと
−１＜ｐ＜１

（Ｂ）の場合
ｐ＾２−４ｐ＜０とおくと
０＜ｐ＜４

１−ｐ＾２≧０
ｐ≦ー１、ｐ≧１

となりましたがこの先はどう考えれば良いですか？
No.687 - 2008/07/20(Sun) 01:05:12
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
＞（A）の場合
＞ｐ＾２−４ｐ≧０とおくと
＞ｘ≦０、ｘ≧４　　　　　　← 文字に注意！
＞
＞１−ｐ＾２＜０とおくと
＞−１＜ｐ＜１　　　　　　　← ここは違ってます
　最後の行はもう一度考えてくださいね．で，結局，
　「１つ目の２次方程式が実数解，２つ目の２次方程式が虚数解」となるときの ｐ の値の範囲はどうなりますか？
　つまり，(Ａ) の結論はどうなりますか？
　(Ｂ) についても同様に考えてください．
No.689 - 2008/07/20(Sun) 05:27:04
☆ Re: / みさき ♀ [東海] [高校3年生]
（A）の場合
ｐ＾２−４ｐ≧０とおくと
ｐ≦０、ｐ≧４

１−ｐ＾２＜０とおくと
ｐ＾２ー１＞０
ｐ＜ー１、ｐ＞１

（A）の結論
−１＞ｐ、４≦ｐ


（Ｂ）の場合
ｐ＾２−４ｐ＜０とおくと
０＜ｐ＜４

１−ｐ＾２≧０とおくと
ｐ＾２ー１≦０
−１≦ｐ≦１

（B）の結論
０＜ｐ≦１


となりましたがどうでしょうか？
No.690 - 2008/07/20(Sun) 09:59:55
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [高校１年生]
その通りですね．すると答は，
　　ｐ＜−１，０＜ｐ≦１，４≦ｐ
となります．
No.692 - 2008/07/20(Sun) 11:16:03
☆ Re: / みさき ♀ [東海] [高校3年生]
よくわかりました！ありがとうございました（*^_^*）
No.693 - 2008/07/20(Sun) 11:50:38
★ (No Subject) / なつめ ♀ [関東] [高校3年生]
こんにちは。なつめといいます。
早速質問なのですが、問題は学校のプリントです。
以下が問題文です。

(1)f(x)=x^2+ax+b(a,bは実数)をx-1で割ると11余り、x+3で割ると7余る。
　　このとき、a=(ア),b=(イ)である。
(2)整式f(x)をx+2で割ると-9余り、x-3で割ると16余る。
　　このとき、f(x)を(x+2)(x-3)で割った余りは(ウ)x+(エ)である。
(3)f(x)=x^3+cx^2+dx+e(c,d,eは実数)がx^2+4x+3で割り切れるとき、
　　d=(オ)c-(カ)(キ),e=(ク)c-(ケ)(コ)である。
　またこのとき、方程式f(x)=0が正の実数解をもつようなcの値の範囲は
　c<(サ)である。

(1),(2)は解けたのですが、(3)がとっかかりすらつかめません。
解答にも解説が無いので計算過程も全くわかりません。
割る数=f(x)/(x^2+4x+3)
を利用するのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.675 - 2008/07/19(Sat) 10:02:14
☆ Re: (No Subject) / アリス
解答してます
No.676 - 2008/07/19(Sat) 11:27:55
☆ Re: (No Subject) / アリス
こんにちは。

ではいきましよえう


(３)も(1)と同じように式を作ってみましょう。

前半は同じようにやしましょう。

No.677 - 2008/07/19(Sat) 11:52:29
★ 確率 / うた ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんは。質問です。

・3人でじゃんけんをして、1人の勝者を決めたい。
3人はそれぞれグー、チョキ、パーを同じ確率で出すとする。
あいこの場合は、もう一度じゃんけんをして、2人が勝った場合はその2人でじゃんけんをする。
次の確率を求めよ。

(1)1回目のじゃんけんで勝者が1人に決まる
(2)1回目のじゃんけんで2人が勝つ
(3)ちょうど3回目のじゃんけんで勝者が1人に決まる


(1)、(2)は解けました。
(3)は勝者の人数で場合分けをするところまではできたのですが、
あいこになったときの式の立て方が分かりません。
よろしくお願いします。
No.498 - 2008/07/02(Wed) 20:21:33
☆ Re: 確率 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
うたさん，こんにちは。
梅雨というのに暑いですね。

＞勝者の人数で場合分けをするところまではできたのですが、

その場合分けを書き込んでいただけますか。
No.505 - 2008/07/03(Thu) 13:58:17
☆ Re: 確率 / うた ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんわ。返信をしていただいてたのに
物凄く遅くなってしまい申し訳ありません…。

場合分けは

3人→3人→3人→1人
3人→3人→2人→1人
3人→2人→2人→1人

のようになりました。
No.646 - 2008/07/17(Thu) 17:30:24
☆ Re: 確率 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんわ。
うたさんは近畿の方ですから，「インジャン，ホイッ」ですよね？
「ジャンケン，ポンｯ」なんてコッパズカシイですよね。
博多では「チッケッタッ」って言うと，博多出身の知り合いが言ってたのですが，本当かな？


＞物凄く遅くなってしまい申し訳ありません…。
気長に解決していく掲示板ですので，気になさることはありませんよ。
私の方こそレスが遅くなって申し訳ないです。

(2) は解けたということですので，３つめの
　3人→2人→2人→1人　の場合の確率を求めることから始めましょうか。

　最初のじゃんけんで　3人→2人になる確率はOKですね？
　2回目のじゃんけんで　2人→2人　になる確率，3回目のじゃんけんで2人→1人になる確率はOKですか？
No.674 - 2008/07/19(Sat) 05:41:20
★ (No Subject) / tennisbu ♂ [東海] [高校１年生]
こんにちは。
今、高校１年で文型科目が得意なので来年文型へ進もうと思っているものです。
数学?UBの青チャート練習問題207の(2)問題です。

y=2tan^2θ+4tanθ+1,　範囲：　-π/2<θ<π/2
これを解いたら
=2(tanθ+1)^-1
よって最小値はθ=-π/4 のとき -1　となり
　　　最大値はθ=π/3 のとき 7+4√3 になりましたが、

答えでは　最大値はない。　と書かれていますがその理由が分かりません。
まだ全然知識不足ですがよろしくおねがいします。
No.642 - 2008/07/17(Thu) 13:11:45
☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　tennisbuさん，こんにちは。早速まいりましょう。

　tanθの２次式と見て平方完成するのはけっこうです。
　最小値はそれで正しいのですが，最大値が θ=π/3 のとき 7+4√3 であるとした
根拠はなんなのでしょう。それを書いていただけますでしょうか。
No.658 - 2008/07/18(Fri) 12:17:00
☆ Re: / tennisbu ♂ [東海] [高校１年生]
返信ありがとうございます。

自分の考えなのですが範囲が-π/2<θ<π/2で、その中でtanθ (θに入れた時の数値が最も大きいもの）にその角度を代入しyを計算したものが最大、又は最小だと思っていました。

sinθ、又はcosθのときはこのやり方で最大・最小を出せていました。
tanθはｸﾞﾗﾌ(単位円)で書いたときに左右それぞれsinとcosとは別で上下に無限大にのびるからその範囲には最小・又は最大のどちらかしかないのでしょうか？
説明下手ですみません。
No.661 - 2008/07/18(Fri) 14:52:36
☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　返信どうもありがとうございます。

　tennisbuさんのお考えのような，θに三角関数の値が分かるような値を代入して調べる方法ですと，π/３とかπ/４のような，文字通り「値が分かるような」ものしか調べられないですよね。
　もしかしたらπ/９のときの方が最大値や最小値をとるのでは？　という疑いも捨てられなくなってしまいます。
　喩えとして適切かどうか分かりませんが，方程式を解くときに，「当てはめたら左辺と右辺が等しくなったから」というのではダメですよね。それ以外に解がないと言い切れないからです。そのことと同じことをしているわけです。

　ではどうすればいいかですが，後半でお書きのように，いまの場合は

>　tanθはｸﾞﾗﾌ(単位円)で書いたときに左右それぞれsinとcosとは別で上下に無限大にのびる

という状況です。
　
　このことをきちんというと，「-π/2<θ<π/2 のとき，tanθのとり得る値の範囲は実数全体である」ということになります。

　ということは，元々tanθの２次関数と考えた場合の定義域が実数全体なのですから，グラフが下に凸の放物線であることから，最小値はあるが最大値は存在しないことになります。

　答案の書き方としては，平方完成した後上述の「定義域」について言及し，グラフを描いて最大値・最小値について述べる，ということになるでしょう。

　不明な点がありましたらお書きくださいね。
No.668 - 2008/07/18(Fri) 20:45:57
☆ Re: / tennisbu ♂ [東海] [高校１年生]
わかり易い返答ありがとうございました。
今から復習したいと思います。
No.669 - 2008/07/18(Fri) 22:36:09
★ こんばんは。 / とうこ ♀ [関東] [高校2年生]
はじめまして。よろしくお願いします。

三角関数の問題です。

問　f(θ)＝cos4θー4cos^2(θ) とする。
　　0°≦θ≦90° における f(θ) の最大値および最小値を求めよ。

考　cos4θー4cos^2(θ)＝8cos^4(θ)ー8cos^2(θ)＋1ー4[1ーcos^2(θ)]
　　　　　　　　　　　＝8cos^4(θ)ー4cos^2(θ)ー3
　　ー1≦ cosθ ≦1 より、
　　　　θ＝0° のとき、最大値 1 をとる。

最小値がわかりません。
最大値も、たまたま答えが合っていた感が否めないのですが…。
cos4θの公式も調べたものなので、公式を使わなくてもできる方法があればご教授下さい。
解き方の方針はこれで大丈夫でしょうか。
因に最小値は　θ＝60°のとき、ー7/2　になるそうです。

よろしくお願いします。m(__)m
No.616 - 2008/07/15(Tue) 23:22:27
☆ Re: こんばんは。 / ペケ ♂ [関東] [大学生]
とうこさん今晩は、ペケと申します。

f(θ)＝cos4θー4cos^2(θ)＝8cos^4(θ)ー4cos^2(θ)ー3

「cos4θが面倒くさそうだからくずした」
という方針で問題ありません。そこで、

f(θ)＝8cos^4(θ)ー4cos^2(θ)ー3　　ー1≦ cosθ ≦1

この式の形に注目しましょう。
cosθのとる値が分かっているので、
cosθを変数とみると……

まずはここまでかな。
No.617 - 2008/07/16(Wed) 00:04:00
☆ Re: こんばんは。 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
とうこさん，はじめまして。

まず問題を確認していただきたいのですが，
f(θ)＝cos4θー4cos^2(θ) でいいのでしょうか？
答えから察するに
f(θ)＝cos4θー4sin^2(θ)
のように思うのですが？

＞cos4θの公式も調べたものなので
確かに　cos4θの公式はあるのですが，私は覚えていません。
すぐに導けるからです。

まずはこの公式を導く事から始めましょうか。
cosの2倍角公式はOKですか？
　cos2x=2cos^2(x)-1
というものですが，覚えてました？

覚えていたらそれに越した事はありませんが，そんな公式忘れてたでも反省する必要はありません。何故なら，２倍角公式なんて加法定理からすぐに導く事ができるので，無理して覚える必要なんてないのです。でも，加法定理は何としてでも覚えなくてはいけません。和積だって積和だって倍角だって半角だって加法定理から直ぐに導きだせるのです。
　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ　（これは絶対覚えてくださいね）
のαにもβにもxを代入してみると
　cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx　
となりますね。整理すると
　cos2x=cos^2x-sin^2x
となります。これに sin^2x+cos^2x=1 を使うと
　cos2x=cos^2x-(1-cos^2x)
　　　　=2cos^2x-1
と，直ぐに導く事ができます。

　cos2x=2cos^2x-1　のxに 2θを代入してみると
　cos(2・2θ)=2cos^2(2θ)-1=2(cos2θ)^2-1
これに，さきほどの倍角公式 cos2θ=2cos^2θ-1 を代入すると
　　　　　　=2(2cos^2θ-1)^2-1
となり，これを展開すれば
　cos4θ=8cos^4θ-8cos^2θ+1
を導く事ができますね。

さて，f(θ)=8cos^4(θ)ー4cos^2(θ)ー3
となったわけですが，問題に 0°≦θ≦90° とありますね。
このとき，cosθのとりうる値の範囲はわかりますか？

ぺけさんは問題をよく読まれていなかったのか　-1≦ cosθ ≦1　と書かれていますが，そうではありません。
0°≦θ≦90° のときの，cosθのとりうる値の範囲。いかがでしょう？

　　　

　
No.623 - 2008/07/16(Wed) 04:28:54
☆ Re: こんばんは。 / とうこ ♀ [関東] [高校2年生]
ペケさん。新矢さん。こんにちは。

申し訳ありません！新矢さんの仰っていたとおり、「f(θ)＝cos4θー4sin^2θ」でした。。。タイプミスです。
新矢さん訂正ありがとうございます。
ペケさんすいませんでした。

＞cosの２倍角の公式
はい一応OKのです。
４倍角の求め方、丁寧にありがとうございます。

＞0°≦θ≦90°のときの、cosθのとりうる値の範囲
0≦cosθ≦1　でよろしでしょうか。
No.626 - 2008/07/16(Wed) 10:12:01
☆ Re: こんばんは。 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

＞0≦cosθ≦1
OKですね。
では続きです。「最大最小を求めよ」という問題はどの単元でもやたらお目にかかったことがあるかと思います。
もちろんいろいろなタイプの問題がありますが，中でも真っ先に考なければいけないことは
「置き換えたら２次関数にならないか？」
ということです。

この問題の場合はどうでしょう？
何かを x と置き換えることによって，2次関数ができませんか？　
No.631 - 2008/07/16(Wed) 14:52:19
☆ 申し訳ありません… / ペケ ♂ [関東] [高校１年生]
こんばんは、ペケです。

うっかりしてました。自分でちゃんと問題を解いてみるべきでした。
No.632 - 2008/07/16(Wed) 18:44:44
☆ Re: こんばんは。 / とうこ ♀ [関東] [高校2年生]
新矢さんこんばんは。
ペケさん、わざわざありがとうございます。

＞二次関数
　　f(θ)＝8cos^4(θ)ー4cos^2(θ)−3
4cos^2(θ)＝x とすると、
　　f(θ)＝2x^2ーxー3
　　∴f(θ)＝(2xー3)(x＋1)

二次関数にできました！
このまま　x＝…　とやってしまっていいんでしょうか。
No.635 - 2008/07/16(Wed) 21:24:39
☆ Re: こんばんは。 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。今日も暑いですね。

＞　f(θ)＝8cos^4(θ)ー4cos^2(θ)−3
＞　4cos^2(θ)＝x とすると、
＞　　f(θ)＝2x^2ーxー3

この置き換えでもいいです。間違ってはいません。
いまひとつスッキリしないコメントなのは，cos^2(θ)=x とするのが普通だからです。
例えば，y=2cos^4(θ)ー4cos^2(θ)−3 だったら，cos^2(θ)=x とした方がいいでしょ？
この方がより汎用性のある置き換えです。

そこで，この問題も　cos^2(θ)=x　と置き換えることにします。
置き換えたら置き換えた文字の範囲を調べる
ことを忘れてはいけません。
　0≦cosθ≦1　でしたから　0≦cos^2θ≦1
つまり，0≦x≦1 となりますね。

ということで，この問題は
　y=8x^2-4x-3　　(0≦x≦1) の最大値・最小値を求めよ
という問題に変わりました。

2次関数の最大最小は，グラフをかいて考えます。
2次関数のグラフをかくのに，因数分解はしませんよ。
グラフを描く為には変形（平方完成）しなければいけませんが，変形できますか？
No.645 - 2008/07/17(Thu) 15:45:36
☆ Re: こんばんは。 / とうこ ♀ [関東] [高校2年生]
新矢さんこんばんは。
いつもありがとうございます。本当に暑いですね。

＞平方完成
　やってみます。
　cos^2(θ)＝xとおく。
　f(θ)＝y＝8x^2ー4x−3　（0≦x≦1）
　　　　 ＝(8x^2ー4x＋1/2)ー3-1/2
　　　　 ＝(√8xー1/√2)^2-5/2

こういうことでしょうか。
最小値最大値はいつも苦手で…。
いまいち解き方が身に付かなくて苦労します。

少し本題からずれてしまいますが、
　　y＝(x＋a)^2＋b
の形に変形すると、（ーa, b）という座標を求められる、と記憶しているのですが、あっていますか。
これは二次関数のグラフの頂点の座標、でいいんですよね？
No.654 - 2008/07/17(Thu) 23:41:03
☆ Re: こんばんは。 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
記事が長くなりましたので，新たに「08/07/15 とうこさんの質問の続き」という記事を立てました。
No.660 - 2008/07/18(Fri) 14:47:06
★ 三角比 / PONZU [高校2年生]
こんばんは。ちょっと三角比の変形の問題がわからないのでお願いします。

0°<θ<90°　で、tan=3　のとき、

(1-sinθ)/cosθ + cosθ/(1-sinθ)の値をもとめよ。
No.598 - 2008/07/14(Mon) 21:39:16
☆ Re: 三角比 / アリス
解答してます
No.599 - 2008/07/14(Mon) 21:51:28
☆ Re: 三角比 / アリス
PONZUさん初めまして

ではいきましょう。

1・まず与えられた式を通分しましょう。

できたら書き込みしてください。


私の計算では2√10 になりました
No.600 - 2008/07/14(Mon) 21:57:19
☆ Re: 三角比 / PONZU [高校2年生]
アリスさんはじめまして。こちらこそよろしくお願いいたします。

答えは2√10で正解です。答えを書き忘れてしまってすみません。

通分ということは、

1-sinθ/cosθ(1-sinθ) + cosθ/cos(1-sinθ)

というかたちでOKでしょうか？
No.605 - 2008/07/14(Mon) 23:52:32
☆ Re: 三角比 / アリス
すこし違いますね
例題をやりましょう。
1/2＋2/3を通分したら

(1×3＋2×2)/6となりますから…………
No.612 - 2008/07/15(Tue) 13:40:48
☆ Re: 三角比 / PONZU [高校2年生]
失礼しました。

(1-sinθ)^2/cosθ(1-sinθ) + cosθ^2/cosθ(1-sinθ)

ですね？
No.614 - 2008/07/15(Tue) 21:18:02
☆ Re: 三角比 / アリス
はいそうです。

分子を展開整理しましょう。

sin^2θ＋cos^2θ=1を使います。
No.625 - 2008/07/16(Wed) 08:15:42
☆ Re: 三角比 / PONZU [高校１年生]
(sinθ^2+cosθ^2)+(1-2sinθ)=2-2sinθ=2(1-sinθ)

約分して

2/cosθ　となりました。
No.633 - 2008/07/16(Wed) 19:00:45
☆ Re: 三角比 / アリス
はいせいかいです。

相互関係でcosθがでる、かつtanθをつかうのはどれでしょう？
No.636 - 2008/07/16(Wed) 22:38:28
☆ Re: 三角比 / PONZU [高校１年生]
1+tan^2θ=1/cosθ^2

ですか？
No.650 - 2008/07/17(Thu) 21:25:30
☆ Re: 三角比 / アリス
はいそうです。

これを使って解いてみましょう？
No.652 - 2008/07/17(Thu) 22:10:53
☆ Re: 三角比 / PONZU [高校１年生]
tanθ^2は9
上の公式から

1/cosθ^2=10

ということになりますね。

今は2/cosθなので、これを２乗するのでしょうか？
No.653 - 2008/07/17(Thu) 23:04:25
☆ Re: 三角比 / アリス
1/cosθ のあたいを出してみましょう


そうすれば2/cosθに代入できますね。

1/cosθのあたいを出すときは、範囲に注意してみてください。
No.656 - 2008/07/18(Fri) 00:59:09
☆ Re: 三角比 / PONZU [高校１年生]
解けました。

答えは2√10ですね。

ありがとうございました。
No.659 - 2008/07/18(Fri) 13:39:52
★ (No Subject) / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんにちは。

標準問題精講２Ｂで分からない所があります。
p.299の演習138です。

(x+1)^nをx^2-2x-2で割った余りをa[n]x+b[n] (n=1,2,3,...)とする。

(1)a[n+1],b[n+1]をそれぞれa[n],b[n]を用いて表せ。
(2)a[n]を５で割った余りを求めよ。
(3)c[n]=a[n]+tb[n]とする。数列{c[n]}が等比数列となるように、定数tの値を定めよ。
(4)a[n],b[n]を求めよ。

(1)はa[n+1]=3a[n]+b[n]・・・?A,b[n+1]=2a[n]+b[n]・・・?Bです。

(2)?Aより　b[n]=a[n+1]-3a[n]
b[n+1]=a[n+2]-3a[n+1]

これらを?Bに代入して
　　a[n+2]-3a[n+1]=2a[n]+(a[n+1]-3a[n])
∴a[n+2]=4a[n+1]-a[n]
=4(4a[n]-a[n-1])-a[n] ∵a[n+1]=4a[n]-a[n-1]
=15a[n]-5a[n-1]+a[n-1]
=5(3a[n]-a[n-1])+a[n-1]
これよりa[n+2]とa[n-1],すなわちa[n+3]とa[n]は５で割った余りが等しい。ここで
a[1]=b[1]=1よりa[1]=1,a[2]=4,a[3]=15より・・・

と解説にあるんですが、a[1]=b[1]は分かったんですが、なぜそれが1だとわかったのでしょうか？教えてください。
No.609 - 2008/07/15(Tue) 12:37:01
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
(3)(4)は気にしないで下さい。
No.610 - 2008/07/15(Tue) 12:39:01
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
すいません。やっぱり(4)のa[n]の求め方のところも分かりませんでした。

(3)a[n+1]+tb[n+1]=s(a[n]+tb[n])として、t=(-1±√3)/2でした。

(4) (3)よりs=3+2t=2±√3
また、
　　a[n]+tb[n]=(a[1]+tb[1])s^(n-1)
=(1+t)s^(n-1)
ここで、α=2+√3,β=2-√3とおくと、

a[n]+(-1+√3)/2b[n]={(1+√3)/2}α^(n-1)・・・?C

a[n]+(-1-√3)/2b[n]={(1-√3)/2}β^(n-1)・・・?D

よりb[n]は出たんですが、a[n]=1/(2√3)*(α^n-β^n)
=1/(2√3){(2+√3)^n-(2-√3)^nの求め方が分かりません。


No.611 - 2008/07/15(Tue) 13:36:58
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。回答が遅くなりましたm(__)m

(1)について
まず，定義を確認しましょう。
> (x+1)^nをx^2-2x-2で割った余りをa[n]x+b[n]
ですから，a_1，b_1は
x+1をx^2-2x-2で割った余り（商は0です）ですからx+1です。
これをa_1x+b_1とするわけですから，a_1=1，b_1=1ですね。

(4)について
> a[n]+(-1+√3)/2b[n]={(1+√3)/2}α^(n-1)・・・(iv)
> a[n]+(-1-√3)/2b[n]={(1-√3)/2}β^(n-1)・・・(v)
この(iv)(v)を連立して，a_nを求めるのですが…b_nを消去してください。
No.640 - 2008/07/17(Thu) 04:42:43
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんにちは。kinopyさん。毎日見ても回答が無かったので、もうダメかと思いました。

(4)については、?C×(√3+1)+?D×(√3-1)とすればいいんですよね？
No.641 - 2008/07/17(Thu) 12:18:39
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

>毎日見ても回答が無かったので、もうダメかと思いました。
申し訳ありません。
ただ，この掲示板は回答者の先生方のボランティアで成り立っていますので，急ぎの質問には対応できないことをご理解ください。


本題ですが(1)はOKですね？
(4)はそれでいいです。
No.643 - 2008/07/17(Thu) 13:58:17
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
解決しました。次からも掲示板をどんどん利用させていただくので、
よろしくお願いします。
No.647 - 2008/07/17(Thu) 17:30:52
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