 | こんばんは。ちょっと、ニューアクションβを辞書的に参照していたら疑問点
が出てきました。
２Ｂのp.88の不等式の利用です。
lal<1,lbl<1,lcl<1のとき、次の不等式を証明せよ。
(1)ab+1>a+b
左辺-右辺=(ab+1)-(a+b)
=(a-1)(b-1)
lal<1,lbl<1より、a<1,b<1であるから、a-1<0,b-1<0となり、(a-1)(b-1)>0
よって ab+1>a+b
(2)abc+2>a+b+c
lal<1,lbl<1よりlabl<1であるから、
(1)を用いると,(ab)c+1>ab+c
すなわち abc+1>ab+c
(1)の不等式の辺々を加えると
abc+ab+2>ab+a+b+c
したがって、abc+2>a+b+c
とあるのですが、
「(1)を用いると,(ab)c+1>ab+c」の部分が分かりません。教えてください。
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No.594 - 2008/07/14(Mon) 20:14:31
| ☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [教育関係者] | | |  | アキバさん，こんばんは。
（１）の不等式は，lal<1,lbl<1 のとき，ab+1>a+b が成り立つことを言っているわけですよね。
ということは，文字が a や b でなくても，絶対値が１より小さい数（または文字）であれば，その不等式は同じように成り立つと言うことです。すなわち，（１）の不等式が証明できたことで，
lxl<1,lyl<1 のとき，xy+1>x+y
lbl<1,lcl<1 のとき，bc+1>b+c
なども成り立つことが分かるわけです。
どうでしょう，これでアキバさんが疑問に思っている部分は解決できるのではと思いますが，少し考えてみて，お返事ください。
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No.597 - 2008/07/14(Mon) 21:24:27 |
| ☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生] | | | | 返信ありがとうございました。
どういう過程で「(ab)c+1>ab+c」という式になったのか教えてください。
なんでabが()で囲まれていたり、なんで右のabが出てきたのか？ということです。
お願いします。
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No.602 - 2008/07/14(Mon) 22:25:49 |
| ☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [教育関係者] | | | | アキバさんが最初に書いたように，lal<1，lbl<1 より labl<1 が成り立ちます。
最初の返信で，
＞文字が a や b でなくても，絶対値が１より小さい数（または文字）であれば，その不等式は同じように成り立つと言うことです。
と書きましたが，そのことを踏まえれば，（くどいかもしれませんが）（１）の不等式
lal<1,lbl<1 のとき，ab+1>a+b
の a や b のところを，絶対値が１より小さいもので置き換えてもかまわない，ということになります。
いまの場合は，|ab|<1，|c|<1 ですから，（１）の不等式を a→ab，b→c として用いているわけです：
labl<1,lcl<1 のとき，(ab)×c+1>(ab)+c
左辺の ab が括弧で囲まれているのは，（１）の不等式を使っているのだよということをはっきりさせるためです。右辺に ab が出てくるのは，もうお分かりでしょう。
不明な点がありましたらご質問くださいね。
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No.604 - 2008/07/14(Mon) 23:04:00 |
| ☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生] | | | | どうもありがとうございました。
たいへん分かりやすかったです。
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No.607 - 2008/07/15(Tue) 00:45:37 |
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