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★ 数学?Tの関数のグラフです＾＾ / √ ♂ [高校１年生]
はじめまして、高校一年の√です。

高校で配られたプリントでお手あげの問題が一つありました；
まずどのように問題に入っていったらよいのかも分からないです。。

こんな問題です・・・


関数　f(x)=x^2-2ax(-1≦x≦1)の最大値をM(a)、最小値をｍ(a)とする。

（１）y=M(a)のグラフをかけ。


（２）y=m(a)のグラフをかけ。


です。プリントなので答えはないです；すいません。。
自分の力でどうしても解けなかったので、教えてほしいです!!よろしくお願いします!!
No.465 - 2008/06/29(Sun) 14:25:21
☆ Re: 数学?Tの関数のグラフです＾＾ / X ♂ [社会人]
√さん、こんにちは。

f(x)=(x-a)^2-a^2
と変形できますのでy=f(x)のグラフは、軸の方程式がx=aである
下に凸の放物線になります。よって

(1)
M(a)はf(1),f(-1)の大きい方になります。
従って
f(1)≧f(-1)
の解となるaの値の範囲においては
M(a)=f(1)
それ以外のaの値の範囲においては
M(a)=f(-1)
となります。

(2)
これはy=f(x)のグラフの軸x=a(lとします)と
-1≦x≦1 (A)
の位置関係で場合分けが必要です。
(i)lが(A)の範囲外左側にある場合
m(a)=f(-1)
となります。
(ii)lが(A)の範囲内にある場合
m(a)=f(a)
となります。
(iii)lが(A)の範囲外右側にある場合
m(a)=f(1)
となります。
No.470 - 2008/06/29(Sun) 17:14:02
☆ Re: 数学?Tの関数のグラフです＾＾ / √ ♂ [高校１年生]
ご丁寧にありがとうございました＾＾
ａの範囲で式を分けていったらできました☆
とても分かりやすかったです。
No.471 - 2008/06/29(Sun) 18:07:46
★ 数学?Tの二次関数です… / ボブ ♀ [高校１年生]
こんにちは。
高校1年のボブです。

もう少しで期末テストです…。
数学の問題集をやっていて、どうしても解き方が分からない問題があったので書き込みしました。

こんな問題です。


放物線　y=2x(2乗)+bx+c　をx軸方向に-2、y軸方向に-6だけ平行移動すると、
頂点の座標が(-1,1)となった。このとき、定数b,cの値を求めよ。

答えは、b=-4,c=9
となっています。

どのように解くのか、分かる方教えて下さい!!
No.455 - 2008/06/28(Sat) 16:18:40
☆ Re: 数学?Tの二次関数です… / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　ボブさん，こんにちは。

　早速ですが，放物線 y=2x^2+bx+c を平行移動した放物線で，頂点の座標が
(-1, 1) であるものの式はどうなるかは分かりますか？
No.457 - 2008/06/28(Sat) 19:40:49
☆ Re: 数学?Tの二次関数です… / ボブ ♀ [高校１年生]
留数さんこんばんわ。

頂点の座標が(-1, 1) であるものの式はどうなるか分かればいいのですが、それは問題
の中に書いてないんです；；
答えの欄にも答えしか書かれていなくて、説明が無いので困っています；
お願いします。
No.459 - 2008/06/28(Sat) 23:25:52
☆ Re: 数学?Tの二次関数です… / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
　頂点の座標が分かっていることと，放物線 y=2x^2+bx+c を平行移動した放物線で
あることが分かっていれば，実はどういう式であるかということが分かるのですよ。

　放物線に限らず，直線であっても，どんな図形であっても，平行移動したときに，
図形の「形」などが変わることはないことは分かりますよね。
　放物線の場合であれば，放物線の向き（上に凸か下に凸かということ）や，開き
具合というのは変わらないわけです。

　そういった，放物線の向きや開き具合を決めるものというのは何でしょうか？
　
　それが分かれば，平行移動後の頂点の座標とあわせて，平行移動後の放物線の式
が分かりますよ。
No.460 - 2008/06/29(Sun) 01:31:02
☆ Re: 数学?Tの二次関数です… / ボブ ♀ [高校１年生]


確かに…
図形の形が変わることはないですね。

放物線の向きや開き具合を決めるものは符号のような気がします…
ということは大体のグラフを書いてみて、座標を出して、連立させれば多分式が出ますよね!
ちょっと解きなおしてみます!!

ありがとうございました。
No.463 - 2008/06/29(Sun) 12:47:58
☆ Re: 数学?Tの二次関数です… / 留数 ♂ [関東] [教育関係者]
> 放物線の向きや開き具合を決めるものは符号のような気がします…

　符号というのは，x^2 の係数を指しているのでしょうか？
　そうだとしたら，符号によって決まるのは向き（上に凸か下に凸か）だけです。
　開き具合というのは，符号によって決まるのではありません。

　ところで，いまの場合，頂点の座標が (-1, 1) と分かっていますから，移動後
の放物線の式は

　y=a(x+1)^2-1

と表すことができますね（さすがにこのことは大丈夫かな？）。
　あとは x^2 の係数である a の値が分かればいいのですが，これは分かりますか？
No.464 - 2008/06/29(Sun) 14:13:43
★ (No Subject) / Daniel ♂ [近畿] [高校3年生]
こんばんは。積分の問題でよく分からない問題があったため、質問させていただきます。

関数f(x)はx<0のとき0、0≦x≦1のときx、x>1のとき1の値をとるとする。このとき、int_{x-1}^{x}f(t)dtを次の4つの場合にそれぞれ求めよ。
(1)x≦0
(2)0<x≦1
(3)1<x≦2
(4)2<x

int_{x-1}^{x}f(t)dt=F(x)-F(x-1)と考えると、F(x)は
x<0のとき0
0≦x≦1のときx^2/2
x>1のときx
になると思ったので、
(1)x≦0
　　F(x)-F(x-1)=0-0=0
(2)0<x≦1
F(x)-F(x-1)=x^2/2-0=x^2/2
(3)1<x≦2
　　F(x)-F(x-1)=x-(x-1)^2/2=-x^2/2+2x-1/2
(4)2<x
F(x)-F(x-1)=x-(x-1)=1
と解答しました。

しかし(3)の解答は、-x^2/2+2x-1となっていました。
もしかしたら根本的な考え方が間違っているのではないかと考え直してみたのですが、どこが違うのか分かりません。

どうぞよろしくお願いします。
No.434 - 2008/06/23(Mon) 21:16:36
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
大変遅くなり、申し訳ありません。
たろが回答いたします。

まずDanielさんの解き方は、iii)以外は、「たまたま合っていた」

ということで、このような解き方はしないというのが印象です。
このように習いましたか(^^;)

私もあらゆる問題を見たわけではないので、このようにするのがいい場合もあるかもしれませんが。

Danielさんの場合分けには穴があります。

iii)の場合、f(t)がx-1→0でy=x、0→xで1ならば
F(x) = 1　･･･?@
F(x-1) = x　･･･?A
として、F(x) - F(x-1)
でいいのですが、

今回はx-1→1でy=x

ですから、F(x-1)の部分の積分は x-1→1 で積分すべきです。

このように積分区間が、分かれる場合があるので、あっていたとしてもDanielさんの解法は私はとりません。

i)、iv)があっていたのは、積分区間が分離されないから
ii)があっていたのは、0で分離されるf(x)がF(0)=0だったから数値に影響しない

だろうと思われます。

どのようにすればよいかはもう少し考えてみて、分からなければ書き込んでください。
No.449 - 2008/06/26(Thu) 19:11:37
☆ Re: / Daniel ♂ [近畿] [高校3年生]
たろさん、丁寧な解説ありがとうございます。

学校ではここまで進んでおらず、予習として参考書を見つつ解いていたので、途中で混乱してしまいました。積分区域が分かれる事など全く頭にありませんでした。

つまり(?B)は、
x-1→1でy=x、1→xで1と分け、
int_{x-1}^{x}f(t)dt
=int_{x-1}^{1}tdt + int_{1}^{x}1dt
=1/2(1-(x-1)^2) + (x-1)
=-x^2/2+2x-1
と計算していけばよいのでしょうか？
No.461 - 2008/06/29(Sun) 01:37:56
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
それで大丈夫ですね。よくできました。

iii)以外も確かめてみましょう。
たまたま合っていたという意味が少し分かっていただけるかと思います。

この手の問題は必ずといっていいほど、積分区間の場合わけが生じます。
参考書等ももう少し詳細に見ていくと、このようなやり方をたどっていると思います。

もっともっと複雑になったりもします。
私は必ずf(t)のグラフを横に描いておいて、x-1→x の動きを調べます。

レベルにもよりますが、入試ではこれで終わりということは稀で、更に最大最小などを尋ねたりもしてきます。

ですので、基本となる（簡単という意味ではなく、問題の１）とかになりやすい）ところは確実にかたしておきましょうね。

頑張ってくださいね！
No.462 - 2008/06/29(Sun) 10:50:36
★ 軌跡と領域 / yu ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんわ。大学入試の過去問なんですが教えてください。
３つの不等式-5x+y+12<0 　x+2y+2>0 　2x+y-23<0
の表す領域をAとする。kを定数として、２つの不等式
x+2y+2>0 　(-6k+2)x+ky+15k-9<0
の表す領域をBとする。
(1)領域Aを図示せよ
(2)領域Bが領域Aを含むようなkの値の範囲を求めよ

(1)は図示できました。
(2)は
(-6k+2)x+ky+15k-9=0とすると
(-6x+y+15)k+2x-9=0・・・A
これをkの恒等式とみると
-6x+y+15=0
2x-9=0
より
x=9/2 y=12
よってAはkの値にかかわらず(x,y)=(9/2,12)を通る。
この後(1)で求めた交点(5,13)を通るときと点(2,-2)を通るときのkの値を、最初の不等式に代入して求めることを考えたんですが、なぜそれで求まるのかもあまり分からないし、説明もうまくいきません。教えてください！お願いします
No.441 - 2008/06/24(Tue) 20:51:14
☆ Re: 軌跡と領域 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
yuさん，こんにちは。回答が遅くなってしまい申し訳ありません。

＞よってAはkの値にかかわらず(x,y)=(9/2,12)を通る。
＞この後(1)で求めた交点(5,13)を通るときと点(2,-2)を通るときのkの値を、最初の不等式に代入して求める

考え方の方針はそれでOKです。

＞なぜそれで求まるのかもあまり分からないし、説明もうまくいきません。

Aが(5,13) を通るとき　k=1/2
　(2,-2) を通るとき　k=5
となったと思います。
yuさんの疑問は，だからといって　1/2≦k≦5 としていいのか？
ということだと思います。

確かに，これだけでは説明不十分で減点される可能性があります。
次の２点を記述しておく必要があります。
ひとつは　
　領域　(-6k+2)x+ky+15k-9＜0　は
　k>0 のときは y＜(6k-2/k)x-(15k-9)/k　となり，直線の下を表し
　k<0 のときは　y＞(6k-2/k)x-(15k-9)/k　となり，直線の上を表す
ということ。

もうひとつは，直線　y=(6k-2/k)x-(15k-9)/k　の傾きをmとし，
　　m=(6k-2)/k　のグラフを描くことによって，
　傾きmは m≠6 のすべての値をとれること。
　また，kが増加すればそれに伴って mも増加すること

以上2つを記述しておけば，減点されることはないと思います。
　
No.451 - 2008/06/27(Fri) 14:50:48
☆ Re: 軌跡と領域 / yu
分かりました！これで納得できました。ありがとうございました
No.454 - 2008/06/28(Sat) 13:18:15
★ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは。

標準問題精講?UＢのｐ、２６７の１２３−１の(2)からの出題です。

和?納k=1〜ｎ]k^5がｎについて６次式で表されることを示し、
６次の項の係数と５次の項の係数を求めよ。

という問題があるのですが、解説に

(k+1)^6-k^6=6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1においてk=1,2,3,・・・,nとして加えると、

(n+1)^6-1^6=6?婆^5+15?婆^4+20?婆^3+15?婆^2+6?婆+n それぞれ[k=1〜n]

となっていて、自分がわからないのは、(k+1)^6-k^6→(n+1)^6-1^6にどうしてなったか
です。よろしくお願いします。
No.433 - 2008/06/23(Mon) 21:16:22
☆ Re: / X [高校１年生]
アキバさん、こんばんは。

(k+1)^6-k^6=6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1 (A[1])
{(k-1)+1}^6-(k-1)^6=6(k-1)^5+15(k-1)^4+20(k-1)^3+15(k-1)^2+6(k-1)+1 (A[2])
…
2^6-1^6=6・1^5+15・1^4+20・1^3+15・1^2+6・1+1 (A[n])
として、(A[1]),(A[2]),…,(A[n])を辺々加えると
{(k-1)+1}^6=k^6
ですので(A[1]),(A[2])のk^6が相殺され、同様に(k-1)^6,…,2^6も相殺されます。
No.435 - 2008/06/23(Mon) 22:18:11
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
すいません、返事がかなり遅くなってしまいました。

>>(A[1]),(A[2]),…,(A[n])を辺々加えると
{(k-1)+1}^6=k^6
ですので(A[1]),(A[2])のk^6が相殺され、同様に(k-1)^6,…,2^6も相殺されます。

この辺りがいまいち良く分からないのですが。。。
No.447 - 2008/06/26(Thu) 05:50:25
☆ Re: / X [高校１年生]
ではもう少し噛み砕いて書きましょうか。
(k+1)^6-k^6=6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1 (A[1])
{(k-1)+1}^6-(k-1)^6=6(k-1)^5+15(k-1)^4+20(k-1)^3+15(k-1)^2+6(k-1)+1 (A[2])
{(k-2)+1}^6-(k-2)^6=6(k-2)^5+15(k-2)^4+20(k-2)^3+15(k-2)^2+6(k-2)+1 (A[3])
…
2^6-1^6=6・1^5+15・1^4+20・1^3+15・1^2+6・1+1 (A[k])
(ごめんなさい。No.435でA[n]はA[k]の誤りでした。)
ですので
(k+1)^6-k^6=6k^5+15k^4+20k^3+15k^2+6k+1 (A[1])
k^6-(k-1)^6=6(k-1)^5+15(k-1)^4+20(k-1)^3+15(k-1)^2+6(k-1)+1 (A[2])
(k-1)^6-(k-2)^6=6(k-2)^5+15(k-2)^4+20(k-2)^3+15(k-2)^2+6(k-2)+1 (A[3])
…
3^6-2^6=6・2^5+15・2^4+20・2^3+15・2^2+6・2+1 (A[k-1])
2^6-1^6=6・1^5+15・1^4+20・1^3+15・1^2+6・1+1 (A[k])
従ってA[1]+A[2]+…+A[n]を計算すると
まず
A[1]とA[2]のk^6が相殺されます。
同様に
A[2]とA[3]の(k-1)^6が相殺
…
A[k-1]とA[k]の2^6が相殺
となり、左辺にはA[1]の(k+1)^6とA[k]の-1^6のみが残ります。
No.448 - 2008/06/26(Thu) 17:41:50
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
どうもです。Ｘさん。非常に分かりやすく
解説していただいてありがとうございました。
No.453 - 2008/06/28(Sat) 00:15:59
★ 数列 / ALIVE ♂ [関東] [高校2年生]
こんばんは。質問させていただきます。

問題　以下の数列の初項から第n項までを求めよ。
1,1+4,1+4+7,……

この種の問題は基礎から常に疑問を持っていたのですが、数列1,4,7…を考えたとき、この数列の一般項{a_k}は3k-2で表せますよね？
しかし?納k=1,n]a_kを計算するときには1/2(3k^2+k)という等差数列の和を計算する意味が良く分かりません。
今までは等差数列の一般項を求める→この数列の和を求める→?伯v算をする。というように解法暗記になってしまっていたので根本にある理由が分かりません。
ちなみに初めてこの問題に触れたときは?納k=1,n]3k-2と計算してしまいました。これがいけない理由もあわせて解説いただけると幸いです。

お願いします。
No.410 - 2008/06/22(Sun) 02:35:13
☆ Re: 数列 / kinopy [近畿] [塾講師]
ALIVEさん，こんばんは。

混乱しやすい問題ですよね。

>数列1,4,7…を考えたとき、この数列の一般項{a_k}は3k-2で表せますよね？
それは正しいです。

>しかし?納k=1,n]a_k…
ALIVEさんの誤解は，この辺から始まってます。

今，和を求めたい数列は　1,1+4,1+4+7,……ですね。
「この」数列を{b_n}とするとき，b_1，b_2，b_3と第k項b_kを求めていただけますか？
No.412 - 2008/06/22(Sun) 04:46:08
☆ Re: 数列 / ALIVE ♂ [関東] [高校2年生]
返信ありがとうございます。

>「この」数列を{b_n}とするとき，b_1，b_2，b_3と第k項b_kを求めていただけますか？
b_1=1，b_2=1+4，b_3=1+4+7で、
b_k=1+(k-1)(3k-2)で大丈夫でしょうか？

b_kを求めてみて気付いたのですがもしかして数列1,4,7…の一般項は数列b_nの公差になっていると考えていいのでしょうか？

なんか段々分かってきた気がします^^
No.414 - 2008/06/22(Sun) 11:47:08
☆ Re: 数列 / kinopy [近畿] [塾講師]
こんにちは。

b_1，b_2，b_3はあってますが，b_kは間違ってます(^_^;)
う〜ん，このb_kの間違い方がよく分からないのですが…

正解を書いておきますね。
b_1=1
b_2=1+4
b_3=1+4+7
b_4=1+4+7+10
b_5=1+4+7+10+13
…　
なので，b_kは初項1，公差3の等差数列のk項までの和
b_k=1+4+7+…+(3k-2)　です。

この，b_kを計算してください。
No.415 - 2008/06/22(Sun) 14:51:40
☆ Re: 数列 / ALIVE ♂ [関東] [高校１年生]
すみません。なにか勘違いしてました。

b_k=(1/2)k{2a+(k-1)d}より
　 =(1/2)k(3k-1)

でしょうか？
No.425 - 2008/06/22(Sun) 23:48:13
☆ Re: 数列 / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

ＯＫですね。
目的を確認すると，
1,1+4,1+4+7,……
の第n項までの和を求めることです。
そのためにこの数列を{b_n}と考えて，b_k=(1/2)k(3k-1)と第k項が分かりました。

b_1=1 は =(1/2)×1×(3×1-1)と書き換えられるということ
b_2=1+4 は =(1/2)×2×(3×2-1)と書き換えられるということ
b_3=1+4+7 は =(1/2)×3×(3×3-1)と書き換えられるということ
…
b_n=1+4+…+(3n-2) は b_n=(1/2)n(3n-1)と書き換えられるということですね。

続きはＯＫでしょうか？
No.427 - 2008/06/23(Mon) 00:33:18
☆ Re: 数列 / ALIVE ♂ [関東] [高校１年生]
すみません。おくれました。

はい。ココまではＯＫです。

という事は総和は
S_n=?納k=1,n](1/2)n(3n-1)でいいんでしょうか？
No.443 - 2008/06/25(Wed) 01:23:26
☆ Re: 数列 / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

>S_n=?納k=1,n](1/2)n(3n-1)
ALIVEさんの理解は大丈夫だと思いますが，これでは試験で減点されます。

?納k=1,n]…
ですから，ALIVEさんの式だと
?納k=1,n](1/2)n(3n-1)=(1/2)n(3n-1)+(1/2)n(3n-1)+(1/2)n(3n-1)+…+(1/2)n(3n-1)
という計算になってしまいます。

正しくは　?納k=1,n](1/2)k(3K-1)　ですね。
No.444 - 2008/06/25(Wed) 02:40:01
☆ Re: 数列 / ALIVE ♂ [関東] [高校2年生]
すみません。そうでした。

丁寧に解説していただきありがとうございます。しっかりと理解できました。
ちなみに?納k=1,n](1/2)n(3n-1)という間違った式がどのような形を現すのかも今回初めて知る事ができたので大変勉強になりました。
No.446 - 2008/06/25(Wed) 23:54:45
★ (No Subject) / 高校３年生 ♂ [関東] [高校3年生]
こんばんわ、学校のプリントの問題なんですが教えてください。

(1)原点のまわりの６０°の回転移動によって、点(x,y)が点(1,2)に移るとする。このとき、点(x,y)を求めよ

(2)点P(ｘ,y)を直線y=xに関して対称移動した点P'(x',y')に移す１次変換をf,P'(x',y')をx軸に関して対称移動した点P"(x",y")に移す１次変換をgとするとき、１次変換f,gの合成を表す行列を求めよ.

(1)は感覚的にはわかるのですが式に表わせないのでお願いします
(2)はまったくわかりません。解説お願いします。
No.442 - 2008/06/25(Wed) 00:17:38
☆ (No Subject) / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。
運営上の理由により，次回書き込みからＨＮの変更をお願いします。

さて，まず教科書を熟読しましょう。
原点を中心に角度 θだけ回転させる移動は1次変換であり，その1次変換を表す行列は
matrix{cosθ&-sinθ\\sinθ&cosθ}
であることが解説されています。

また，(1) の類題も教科書の例題に掲載されているかと思います。
教科書を熟読した上で，疑問点があればご質問ください。
No.445 - 2008/06/25(Wed) 15:22:16
★ 三角比 / あや ♀ [近畿] [浪人生]
こんにちわ！教えていただきたい問題があるのですが

tan35°tan55°-tan45°tan135°　を計算せよ。

という問題です。

tan35°=tan(90°-55°),tan135°=tan(180°-45°)
というのはわかるんですが。。
解き方のヒント教えてください！
No.439 - 2008/06/24(Tue) 17:54:09
☆ Re: 三角比 / londontraffic ♂ [教育関係者]
こんばんは，あやさん．
>tan35°=tan(90°-55°)
これ分かっているのなら tan35°tan55° の値を計算できますよね．
この値をカキコしてください．もし分からないのならその旨カキコしてくださなm(_ _)m
No.440 - 2008/06/24(Tue) 19:48:32
★ (No Subject) / ユースケ ♂ [東海] [高校１年生]
こんにちは。質問おねがいします。
座標平面上の曲線C:y=|x^{2}-1|と傾きaの直線l:y=a(x+1)が異なる3点で共有点をもつ。
(1)aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)Cとlで囲まれた2つの面積の和Sをaを用いて表せ。
(3)Sが最小になるaの値を求めよ。
まったく手がつけられませんでした。始めから解説お願いします。
答えは(1)0<a<2 (2)S=-a^{3}/6 +3a^{2}-2a +4/3 (3)a=6-4√2
になるみたいです。答えしかなかったのでぜひ解説をお願いします。
No.428 - 2008/06/23(Mon) 13:46:46
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
ユースケさん，こんにちは。
y=|x^{2}-1|のグラフは描けますか？
y=a(x+1) は点(−1，0)を通り，傾きaの直線ですね。
No.429 - 2008/06/23(Mon) 15:57:14
☆ Re: / ユースケ ♂ [東海] [高校１年生]
グラフは描けますよ。
直線についても点(−1，0)を通ることはわかりました。
どんな条件を満たせば答えが出るのか教えてください。
No.430 - 2008/06/23(Mon) 16:33:25
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
図のようになっていればいいですね
No.431 - 2008/06/23(Mon) 18:32:16
☆ Re: / ユースケ ♂ [東海] [高校１年生]
言葉や文字で表すとどんな条件になりますか？
(1)だけでなく(2)(3)も同時に教えていただけるとありがたいです。
No.432 - 2008/06/23(Mon) 19:27:17
☆ Re: / ユースケ ♂ [東海] [高校１年生]
明日までにお願いできませんか？
No.437 - 2008/06/23(Mon) 23:07:32
☆ (No Subject) / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
ユースケさん，こんばんわ。

｢書き込まれる方へのお願い｣にありますように。『いついつまでに』というご要望には応じかねます。

＞言葉や文字で表すとどんな条件になりますか？

まずは，No.431 のレスで七先生が描いてくださったグラフを参考に，ユースケさんはどのように言葉や文字で表せばいいと考えたかを書き込んでください。
No.438 - 2008/06/24(Tue) 03:10:04
★ 式の値〜工夫と着眼 / りょう ♂ [関東] [浪人生]
x=1+√5で/2あるときx^10-1/x^5の値を求めよ。
という問題なんですが、

x^10-1/x^5=x^5-1/x^5

これで

x^5-1/x^5=(x^2+1/x^2)(x^3-1/x^3)-(x-1/x)

この変形は覚えていないといけない変形なんですか？
No.402 - 2008/06/21(Sat) 13:46:09
☆ Re: 式の値〜工夫と着眼 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [学校教員]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ がお答えします．

＞x^5-1/x^5=(x^2+1/x^2)(x^3-1/x^3)-(x-1/x)
＞この変形は覚えていないといけない変形なんですか？
　この変形，というより，

　　　ａ^5＋ｂ^5＝(ａ^2＋ｂ^2)(ａ^3＋ｂ^3)−ａ^2ｂ^2(ａ＋ｂ)

　という変形が重要だと思います．
　この式が頭にあれば，
　　　ａ＝ｘ，ｂ＝−１/ｘ
　という置き換えで決着します．
　どうでしょうか？
No.408 - 2008/06/21(Sat) 19:50:52
☆ Re: 式の値〜工夫と着眼 / りょう [浪人生]
> 　この変形，というより，
>
> 　　　ａ^5＋ｂ^5＝(ａ^2＋ｂ^2)(ａ^3＋ｂ^3)−ａ^2ｂ^2(ａ＋ｂ)
>
> 　という変形が重要だと思います．
> 　この式が頭にあれば，
> 　　　ａ＝ｘ，ｂ＝−１/ｘ
> 　という置き換えで決着します．
> 　どうでしょうか？

理解できました。
ありがとうございました。

またよろしくおねがします。
No.436 - 2008/06/23(Mon) 22:47:46
★ (No Subject) / いろは [高校１年生]
こんにちは。また質問させてください。
２００６年のセンター試験の１・Aの第４問がよく分からなくて、、、

『袋A・B・C・Dがあり、それぞれに４枚のカードが入っている。各袋のカードには、１から４までの番号がつけられている。袋A・B・C・Dからカードを１枚づつ取り出し、出た数をそれぞれa・b・c・dとする。

(１)a・b・c・dの最大の数が３以下である場合は【アイ】通りあり、最大の数が４である場合は【ウエオ】通りある。

(２)a・b・c・dについて、a＜b＜c＜dとなる場合は【カキ】通りある。

(３)出た数a・b・c・dについて、次のように得点を定める。

　　　a≦b≦c≦dの時は、(d-a+1)点
　　　それ以外の時は０点

　(?@)得点が１得点が１となる確率は【ク】/【ケコ】であり、得点が４点となる確率は【サ】/【シスセ】である。

　(?A)得点の期待値は【ソ】/【タチツ】である。』

という問題で、(２)までは分かったんですけど、
(３)の期待値を求める時に、期待値の求め方は分かったんですけど、
点数の条件が『a≦b≦c≦dの時は、(d-a+1)点で、それ以外の時は０点』だったんですが、
それで、得点が、どうして１〜４点の４つになるのかが分かりません。。

宜しくお願いします。
No.416 - 2008/06/22(Sun) 15:08:51
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
いろはさん，こんばんは。
得点は0〜4の5通りです。
ただ得点の期待値を求めるとき
0･(0点になる確率)＝0 ですから
これは計算しなくてもいいですね。
No.417 - 2008/06/22(Sun) 17:40:36
☆ Re: / いろは ♀ [再受験生]
はい。すみません。０もそうですよね。書くのを忘れていました。。
その５つの場合の、確率の求め方は理解できたんですが、
『a≦b≦c≦dの時は、(d-a+1)点で、それ以外の時は０点』という条件にあてはめて、
自分で数字を入れてみたりしたんですが、他の点数になったりしないのかなと、、どうして、結果がその５つになるのかが理解できません。。
No.419 - 2008/06/22(Sun) 18:18:17
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
a，b，c，d すべて 1〜4までですから
0点以外を考えると
a≦b≦c≦d のときはa≦d ですから
0≦d−a≦3です。
No.420 - 2008/06/22(Sun) 18:33:38
☆ Re: / いろは ♀ [再受験生]
理解できました。
ありがとうございました。
No.424 - 2008/06/22(Sun) 20:21:23
★ (No Subject) / 本棚 ♂ [近畿] [高校１年生]
こんにちは。質問させていただきます。
課題なのですが、行き詰ってしまって・・・。

次の展開式において、[　]内の項の係数を求めよ。

(a+b)^{7} 　[　a^{3}b^{4}　]

nＣr･a^{n-r}･b^{r}　のrを求める方法が分かりません。

自分がした途中までの計算なら、
7Ｃr･ab^{7-r^{2}}
になったんですが、間違っていると思います。

よろしくおねがいします。
No.418 - 2008/06/22(Sun) 18:01:11
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
本棚さん，こんばんは。
(a+b)7 の展開式の中の a3b4 である項
またはa3b4の係数を求めるのですね。
(a+b)7 の展開式の一般項は
7Ｃr･a7-r･br ですから a3b4 になるためには
7−r＝3，r＝4 であればいいですね。
No.421 - 2008/06/22(Sun) 18:42:43
☆ Re: / 本棚 ♂ [近畿] [高校１年生]
早速の解答、ありがとうございます。
35になりました。
No.422 - 2008/06/22(Sun) 18:52:02
★ 2次関数　放物線とX軸との位置関係 / kame ♂ [北海道] [高校2年生]
こんにちは

C:y=x^2-2kx+k+2(kは定数)がある
Cとx軸が異なる2つの共有点を持ち、そのx座標がともに負であるような定数kの値
の範囲を求めよ

という問題です。
f(x)=0の符号、グラフの頂点のy座標の符号、軸の位置の3つを使うってことは
分かるのですが、問題によって2点のx座標が負だったり正だったりするので
どのように条件に当てはめていいか分かりません。よろしくお願いします。
No.404 - 2008/06/21(Sat) 14:25:34
☆ Re: 2次関数　放物線とX軸との位置関係 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [学校教員]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．


＞f(x)=0の符号、グラフの頂点のy座標の符号、軸の位置の3つを使うってことは
＞分かるのですが、問題によって2点のx座標が負だったり正だったりするので
＞どのように条件に当てはめていいか分かりません。
　気持ちはよくわかります．
　解決方法は，グラフをかくことです．
　条件を満たすようなグラフをかいた上で，
　ｆ(０) の符号，頂点の ｙ 座標，軸の位置を見て　　←ｆ(ｘ)＝０ の符号ではありませんよ！
　連立不等式を作ります．
　やってみてください．
No.409 - 2008/06/21(Sat) 19:59:23
☆ Re: 2次関数　放物線とX軸との位置関係 / kame ♂ [北海道] [高校2年生]
ありがとうございました。無事解くことができました。
No.413 - 2008/06/22(Sun) 05:31:01
★ 円に内接する四角形に関してです / ヒロ ♀ [東海] [高校3年生]
度々申し訳ありませんが，新たに質問をさせてください。

円に内接する四角形ABCDにおいて，直線DAと直線CBとの交点をP，直線BAと直線CDとの交点をQとする。
∠APBの二等分線と辺AB，DCとの交点をそれぞれE，Fとし，∠AQDの二等分線と線分EFとの交点をRとおく。このとき，∠PRQ＝90°であることを示せ。
（添付ファイルに，概略図を示しましたので参考にして下さい。）

QE=QFの二等辺三角形をいえばよいとガイドにあるのですが，メネラウスの定理，角の二等分線の性質，方べきの定理等の定理・性質は思い浮かぶのですが摘要した後のそれぞれの式をどう結べば結論に至るか悩んでいます。
打開策をお教え下さい。
No.399 - 2008/06/21(Sat) 02:08:17
☆ Re: 円に内接する四角形に関してです / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
ヒロ さん，こんばんは。

∠QEF＝∠QFE をいえばいいですね。
No.400 - 2008/06/21(Sat) 02:48:29
☆ Re: 円に内接する四角形に関してです / ヒロ ♀ [東海] [高校１年生]
七 ♂さんありがとうございます。

アドヴァイスのきっかけであると，二等辺三角形の「底角」から攻めていくということですね。
具体的には，△QADと△QFEの相似と角の二等分線を用いれば良いのでしょうか。
お願いします。
No.401 - 2008/06/21(Sat) 13:02:58
☆ Re: 円に内接する四角形に関してです / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
△QADと△QFEは相似ではありません。

この図で分かりますか？
No.403 - 2008/06/21(Sat) 13:53:44
☆ Re: 円に内接する四角形に関してです / ヒロ ♀ [東海] [高校１年生]
七 ♂さんありがとうございます。

ご指摘の図を考えてはいたものの，△QADと△QFEが相似と誤って書き込んでしまいました。申し訳ありませんでした。
早速，証明を行ったところ直ぐに対応角が等しいとわかり結論に至りました。
どうしても，自分は数式や定理に頼りがちになるので非常に助かりました。
次回，質問させて頂く機会にも宜しくお願いします。
No.405 - 2008/06/21(Sat) 15:06:41
★ 三角形に関してです / ヒロ ♀ [東海] [高校3年生]
数A範囲の三角形の性質の質問です。

三角形ABCは AB=5，AC=6，BC=7 を満たすとする。
辺AB上に点Pをとり，AP=t とおく（0<t<5）。また，辺ACのCの側への延長線上に点Qを，三角形ABCの面積と三角形APQの面積が等しくなるようにとり，BCとPQの交点をMとする。
BMの長さおよびAQの長さをtで表せ。　　　Ans.BM=35/(t+5)　AQ=30/t
　　
メネラウスの定理を用いることは理解し適用しましたが，△ABCと△APQの面積が等しくなる条件をどのように活かせばよいか悩んでいます。
ヘロンの公式や数?Uの範囲等参考にしましたが，端的に数Aの範囲で解ききる方法をお教ください。
No.392 - 2008/06/20(Fri) 02:00:11
☆ Re: 三角形に関してです / kinopy [近畿] [塾講師]
ヒロさん，こんばんは。

> 端的に数Aの範囲で解ききる方法をお教ください。
とのことですが，数学１の三角形ABCの面積公式　S=1/2AB×AC×sinA　は使っていいですよね？

万一「どうしても数学Ａだけで解きたい」言うなら，なんとかならないこともないですが，結局は上記の公式と同じことをやることになり，あまり意味を感じません…

使用がＯＫなら，ヒロさん自身でこの公式によりAQをtで表わしてみてください。
No.395 - 2008/06/20(Fri) 04:29:13
☆ Re: 三角形に関してです / ヒロ ♀ [東海] [高校１年生]
kinopyさん，ありがとうございます。

実際に数?T範囲の三角比における三角形の面積公式を，∠A共通として△ABCと△APQに摘要したところ，正答に辿り着きました。
数Aの範囲にとらわれていた為か視野が狭くなっていました。

今後もご助力の程宜しくお願いします。
No.398 - 2008/06/20(Fri) 11:51:38
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