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★ (No Subject) / ALIVE ♂ [関東] [高校2年生]
また質問させていただきます。
正直こんな問題で質問していいのかという感じですが独習をしていて対数の基礎の基礎で躓いたので教えてください。

次の式を計算せよ。
log_(3)4･log_(4)6･log_(6)9

底の変換公式が良く理解できないので解説を見てもいまいちでした。
No.367 - 2008/06/14(Sat) 01:38:37
☆ Re: (No Subject) / アリス
おはようございます。
さっそくいきましょう。

まず、底をすべて3にあわせましょう。
底の変換公式から

log(4)6=log(3)6/log(3)4
上のように
log(6)9 も底を3に変換してみましょう。

わからないときはその旨を書き込んでください!!
No.369 - 2008/06/14(Sat) 07:11:03
☆ Re: / ALIVE ♂ [関東] [高校2年生]
すみません。返信遅れてしまいました。

底の変換公式というものはそのまま式に適用していいんですね。
この公式の証明らしき事も書かなければならないのかと思いました。

解決です。ありがとうございました。
No.384 - 2008/06/16(Mon) 00:32:21
☆ Re: / ありす [関東] [大検生]
わかっていただけて、よかったです。
また質問があれば、してくださいね。
No.397 - 2008/06/20(Fri) 11:17:02
★ よろしくお願いします / どぶ六 ♀ [九州] [高校１年生]
こんにちは、数学Aの確立の問題です。

赤玉3個と白玉4個が入った玉を一個ずつ、元に戻さずに4回続けて取り出すとき、次のようになる確立をもとめよ。
１）2色が交互に出る。
２）赤玉がちょうど１回出る。
３）赤玉が少なくとも２回でる。
どなたか、この問題を教えてください。
No.390 - 2008/06/19(Thu) 13:20:40
☆ Re: よろしくお願いします / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
はじめまして。
ゆっくりいきましょう。
まず(1)から。

1つ目に取り出した玉が赤色となる確率はわかりますか？
No.391 - 2008/06/19(Thu) 14:44:08
★ (No Subject) / 高校３年生 ♂ [関東] [高校3年生]
学校のプリントの問題なんですが、

次の関数が連続である区間を言え。

(1) y=4x^-2x+5/3x^+2x-1


(2)y=3/4(x乗)-2


解く方針が全くわかりません；教えてください。
No.383 - 2008/06/15(Sun) 23:57:28
☆ (No Subject) / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

関数が連続か否かを調べるには，まずその関数の定義域を調べる必要があります。

より簡単な関数で基本事項を確認させてください。
関数 y=1/x において，x=0 のとき yはどうなりますか？
また，y=1/x のグラフは連続でしょうか？　不連続でしょうか？
No.385 - 2008/06/16(Mon) 13:41:49
★ (No Subject) / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
ついこの前に質問したのですが、また別の問題で疑問が出てしまいました。

関数y=f(x)=int_{0}^{x}lt-2x+3ldtをxの区間に分け、各区間におけるf(x)をxの整式であらわすと、
　　　 [ア] (x<[イ])
f(x)= [ウ] ([イ]≦x≦[エ])
　　　　[オ] ([エ]≦x)
である。y=f(x)の極値を調べると、x=[カ]で極大値[キ]、そしてx=[ク]で極小値[ケ]を
とる。　(2008　摂南大　薬)
　この問題で、ア・イ・エ・オ　は求めることが出来たのですが、ウのグラフがどのようになるのかよく分からず、求めることができませんでした。どのように考えればいいのでしょうか。よろしくお願いします。
　　　　　
No.372 - 2008/06/14(Sat) 17:07:00
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [社会人]
k−700さん，こんにちは
早速ですが
ア・イ・エ・オ　を求めた過程を書いてみてください。
ヒントをいえば
ウはア，オを組み合わせることになるはずです。

あとf(x) の式に大事なものが抜けているように思います。　
No.373 - 2008/06/14(Sat) 17:29:51
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
こんにちは。
申し訳ありません。dtが抜けていました。
以下のように考えました。

lt-2x+3l
=lt-(2x-3)lより、
[イ]2x-3<0⇔x<3/2のとき、t-(2x-3)>0となるので、
　f(x)=int_{0}^{x} {t-(2x-3)}dt
=[1/2t^2-(2x-3)t]
=-3/2x^2+3x[ア]

[エ]2x-3>x⇔x>3のとき、
　　f(x)=-int_{0}^{x} {t-(2x-3)}dt
=3/2x^2-3x[オ]
　場合分けは、積分区間の0とxで行いました。　
No.374 - 2008/06/14(Sat) 18:49:19
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
その通りですね。
t−2x＋3 が0以上か負かで変わってきますね。
したがって
3/2≦x≦3 のとき
0≦t＜2x−3 のとき t−2x＋3＜0
2x−3≦t≦x のとき t−2x＋3≧0 ですから
積分範囲を0から2x−3 まで， 2x−3 からx まで
の2つに分けて計算すればいいですね。
No.375 - 2008/06/14(Sat) 19:04:18
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
なるほど。
0≦t＜2x−3と2x−3≦t≦xのそれぞれの範囲で積分したものを足し合わせたものが、このときのf(x)だということですか？
No.376 - 2008/06/14(Sat) 22:23:00
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
その通りです。
No.379 - 2008/06/15(Sun) 09:22:29
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
納得できました。丁寧に解説していただきありがとうございました。これからも、たびたびお世話になるとは思いますが、またよろしくお願いします。
No.382 - 2008/06/15(Sun) 23:26:00
★ (No Subject) / 真田 ♂ [九州] [浪人生]
こんばんは。

ｆ(?I)＝(2a＋1)sin?I−ａとおく。ただしａは−1／2と異なる定数で、0°≦?I≦90°と

する。方程式ｆ(?I)＝1が解をもつような定数ァａの範囲を求めよ。という問題です。


自分では、(2a＋1)sin?I−ａ＝1として、sin?I＝ａ＋1／2ａ＋1、0°≦?I≦90°より
0≦sin?I≦1なので、0≦ａ＋1／2ａ＋1≦1として、これを計算してなんとか答えはだせたのですが解答に、

ｆ(?I)＝1⇔sin?I＝ａ／2ａ＋1となるａの範囲を求めればよい。

とあるのですがどうしたらsin?I＝ａ／2ａ＋1になるのでしょうか？

また、途中の計算に、ａ／2ａ＋1≦1を変形するとａ＋1／2ａ＋1≧0とあるのですが、

なぜ変形する必要があるのでしょうか？どうかよろしくお願いします。
No.358 - 2008/06/13(Fri) 00:25:40
☆ (No Subject) / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
真田さん，こんにちは。

解答の方が正しいと考えれば，問題文が「方程式ｆ(?I)＝0 が解をもつような」のミスプリだと思われます。

＞　ａ／2ａ＋1≦1を変形すると ａ＋1／2ａ＋1≧0 とあるのですが、

確かに　ａ／2ａ＋1≦1　という不等式が解答の途中で出てきます。
これの　右辺−左辺=1-(a/2a+1) を計算すれば，ａ＋1／2ａ＋1≧0　となります。
しかし，私には何故こんなまどろっこしい変形をしているのかの理由がわかりません。

分数不等式　ａ／2ａ＋1≦1　の解き方のひとつは　2a+1＞0 のときと，2a+1＜0 のときに場合分けして両辺に 2a+1 を掛けるという方法がありますが，場合わけが面倒なので，
両辺に (2a+1)^2 を掛けることで
　a(2a+1)≦(2a+1)^2　
と変形してからこの２次不等式を解くのが，普通の解法だと思います。
No.361 - 2008/06/13(Fri) 14:25:52
☆ Re: / 真田 ♂ [九州] [浪人生]
返信ありがとうございました。たしかに、場合わけがものすごく面倒でした。

２乗するほうが断然楽でした。本当にありがとうございました。
No.381 - 2008/06/15(Sun) 13:42:28
★ (No Subject) / saki ♀ [関東] [高校3年生]
こんばんは。

この問題がわからないのでよろしくお願いします。

学校のテスト問題です。

不等式log_(x)y-log_(y)x^3-2<0を満たす点(x,y)が存在する範囲を図示せよ。

私は不等式をlog_(x)y-3/log_(x)y-2<0とまでやってみたのですが、

このあとはどのようにすれば良いのでしょうか？

アドバイスお願いします。
No.365 - 2008/06/13(Fri) 23:49:10
☆ Re: / ウルトラマン ♂ [近畿] [塾講師]
sakiさん，こんばんわ。

分かりにくければ，一旦，log_(x)y=Xとおいて，Xの範囲を求めてみてください。
具体的には，分数不等式「X-3/X-2＜0」を解くことになります。まず，この分数不等式は解けますでしょうか？
No.366 - 2008/06/14(Sat) 00:36:55
☆ Re: / saki ♀ [関東] [高校3年生]
X-3/X-2＜0⇔1/X(X^2-2X-3)<0⇔1/X(X-3)(X+1)<0

∴-1<X<3 ∴-1<log_(x)y<3

こんな感じですか？？
No.368 - 2008/06/14(Sat) 06:54:11
☆ Re: / ウルトラマン ♂ [近畿] [塾講師]
sakiさん，おはようございます。

> X-3/X-2＜0⇔1/X(X^2-2X-3)<0⇔1/X(X-3)(X+1)<0

同値変形が間違っています。正しくは，
X-(3/X)-2＜0
⇔(X^{2}-2X-3)/X＜0
⇔X(X^{2}-2X-3)＜0（※A/B＜0⇔AとBは異符号⇔AB＜0です。）
⇔X(X-3)(X+1)＜0
⇔X＜-1または0＜X＜3
となります。

したがって,
「log_{x}y＜-1……?@」または「0＜log_{x}y＜3……?A」
となる点(x,y)の集合を図示することになります。


この後はやってみて頂けますでしょうか？
No.370 - 2008/06/14(Sat) 09:37:49
☆ Re: / saki ♀ [関東] [高校3年生]
わかりました！！
ありがとうございます！！
No.380 - 2008/06/15(Sun) 09:50:31
★ (No Subject) / ｐｇ ♀ [関東] [高校2年生]
こんばんわ。初めてここを利用させていただきます。よろしくお願いします。
学校で使用している問題集　改訂版精説高校数学準拠問題集第３巻からの問題です。

次の条件A,Bをともに満たすような，多項式であらわされた関数f(x)がある。
f(x)は二次式であることを示し，f(x)を求めよ。
A　f(0)=0
B　(x+1)f'(x)=2f(x)-4

はずかしながら，解法の仕方が全くといってよいほど分かりません。。
なるべく易しい解答，よろしくお願いします・・！！
No.377 - 2008/06/14(Sat) 22:51:48
☆ Re: / ウルトラマン ♂ [近畿] [塾講師]
pgさん，こんばんわ。

まず，方針としてf(x)の最高次の項の次数を決定してみましょう。具体的には，f(x)の最高次の項をa_{n}x^{n}と置いてみて下さい。すると，

(x+1)f'(x)の最高次の項はna_{n}x^{n}，
2f(x)-4の最高次の項は2a_{n}x^{n}


になります。ここまでは理解できますでしょうか？
No.378 - 2008/06/15(Sun) 01:26:37
★ 数列の問題です。 / のどか ♀ [東海] [再受験生]
初めまして！
今頃になってしまったのですが、今年の全統マークのやり直しをしていてどうしてもわからないところがあったので教えてください。

等差数列an=3n-2のa2nからa4nまでの項のうち偶数である項はn+□個ある。

という問題で、解説の、

an=3n-2より、k=1,2,3…として
a2k-1=3(2k-1)-2=2(3k-2)-1
a2k=3×2k-2=2(3k-1)と表されるから、nが奇数の時、anは奇数、nが偶数の時、anは偶数であることがわかる。

というところまではわかったんですが、それ以降の

よって、a2nからa4nまでの項のうち、偶数である項は
a2n,a2n+2,…,a4n-2,a4n
のn+1個ある。

の部分がなぜn+1個になるのかがわかりませんでした。
備考欄のようなところに書いてあった「交差6の等差数列である。」というコメントもどのように活用すればいいかよくわからないんです。。

どうぞ、よろしくお願いします。
No.363 - 2008/06/13(Fri) 21:07:23
☆ Re: 数列の問題です。 / X [高校１年生]
のどかさん、こんばんは。

>>なぜn+1個になるのかがわかりませんでした。
a[2k]=A[k]
と置き換えてみると
a[2n]=A[n]=A[n+0]
a[2n+2]=A[n+1]
a[2n+4]=A[n+2]
…
a[4n]=A[2n]=A[n+n]
ですので項数はn+1になります。

>>備考欄のようなところに書いてあった〜
意図は不明ですが、{a[2k]},{a[2k-1]}共にkに関して公差が6の等差数列になっていますので、
初項が偶数である{a[2k]}は偶数
初項が奇数である{a[2k-1]}は奇数
となる、という考え方もあるということを言いたいのだと思います。
No.364 - 2008/06/13(Fri) 22:08:13
☆ Re: 数列の問題です。 / のどか ♀ [東海] [再受験生]
Xさん、ありがとうございます！！
n+nなんですね！！
交差6の等差数列についての解答もありがとうございます。
いろんな考え方があるんですね。
すごくわかりやすいお返事ありがとうございました（o^-^o）
No.371 - 2008/06/14(Sat) 10:58:40
★ (No Subject) / hiro ♂ [東海] [高校3年生]
はじめまして。

自然数ｎに対して、正の整数a_{n}、b_{n}を(3+sqrt{2})^n=a_{n}+b_{n}sqrt{2} によって定める。

(1)a_{1}、b_{1}とa_{2}、b_{2}を求めよ。

(2)a_{n+1}、b_{n+1}をa_{n}、b_{n}を用いて表せ。


(1)は簡単に解けたのですが、(2)で行き詰ってしまいました。
やり方としては、(3+sqrt{2})^n=a_{n}+b_{n}sqrt{2}の両辺に(3+sqrt{2})をかけて、それがa_{n+1}+b_{n+1}sqrt{2}と等しくなるから、というようにやってみたのですが、それからどうしても進みませんでした。やり方自体間違っていたのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.348 - 2008/06/11(Wed) 21:15:04
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
はじめまして。kinopyです。

>(3+sqrt{2})^n=a_{n}+b_{n}sqrt{2}の両辺に(3+sqrt{2})をかけて、それがa_{n+1}+b_{n+1}sqrt{2}と等しくなるから、というようにやってみたのですが、それからどうしても進みませんでした。

a_{n+1}+b_{n+1}sqrt{2}=(3+sqrt{2})(a_n+b_{n}sqrt{2})
としたのですよね？
解法としては全く正しいです。

なのに詰まったということは，(1)の解答に不安があります。
(1)のa_1,b_1を求める際の解答を本番の試験で書く通りに書き込んでいただけますか？

また，(2)で詰まった最後の式も書き込んでください。
ではでは，レスをお待ちしています。
No.354 - 2008/06/12(Thu) 04:34:41
☆ Re: / hiro ♂ [東海] [高校１年生]
(1)n=1として与式を計算すると、
　　(3+sqrt{2})^1=a_{1}+b_{1}sqrt{2}　よりa_{1}=3、b_{1}=1

また、n=2として与式を計算すると、
　　(3+sqrt{2})^2=a_{2}+b_{2}sqrt{2}　より(左辺)=11+6sqrt{2}　だからa_{2}=11、b_{2}=6


(2)では、最終的に
(3+sqrt{2})a_{n}+(3+sqrt{2})b_{n}sqrt{2}=a_{n+1}+b_{n+1}sqrt{2}
となって、これからそのままa_{n+1}=(3+sqrt{2})a_{n}，b_{n+1}=(3+sqrt{2})b_{n}
としたのですが、よく考えてみると問題文に｢正の整数a_{n}、b_{n}｣と書いてあるので、これは明らかに間違っているというところまでは分かったのですが、それならやり方が間違っていたのではと思い直しても、他に方法も見つからず途方に暮れていたといった感じでした。
No.359 - 2008/06/13(Fri) 00:52:45
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

なるほど。私の危惧したとおりでした。

(1)　hiroさんも後半で書いている通り
> (3+sqrt{2})^1=a_{1}+b_{1}sqrt{2} …*　よりa_{1}=3、b_{1}=1
とできるのは，a_1,a_2が整数（有理数）だからです。

このことは数学Aの「命題」の単元で出てきますが
a,b,c,dが有理数のとき　a+b√2=c+d√2 …** ⇒ a=cかつb=dです。
証明は簡単なので教科書を参照してください。

hiroさんは知らず知らず**を使っておられたようですが，解答には「a_1,a_2が整数だから」を書かないと減点対象になります。

…と言うわけで，(2)も*を**の形に変形すれば目的の式が得られます。
No.360 - 2008/06/13(Fri) 02:50:49
☆ Re: / hiro ♂ [東海] [高校3年生]
なるほど、そういうことだったのですか。
ようやく理解できました。

まだまだ今回のように意味を知らずに使っていたり、勘違いをしていたりする公式等があるのかもしれませんね。勉強になりました。

どうもありがとうございました。
No.362 - 2008/06/13(Fri) 18:43:05
★ (No Subject) / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
おはようございます。基礎からの数学?U(青チャート)の演習問題Bの問題なのですが、
311. pを定数とする。関数f(x)=x^3+px^2+5x-4について

(1) xが-1から2まで変化するときの平均変化率を求めよ。
(2)-1<a<2の範囲で、f'(a)と(1)で求めた平均変化率とが等しくなるようなaの値を求めよ。

(1)は難なく解くことができたのですが、(2)で、f'(a)を求めた後、-1<a<2の範囲でというのをどのようにとらえたらよいのか分からず、詰まってしまいました。HINTには、(2)aの２次方程式が導かれるが、pの値の範囲によって解が変わる。２次方程式の解を２次関数のグラフと直線の共有点ととらえ、図形的に考えるとわかりやすい。　と書いてあったのですが、それも、意味がよくわかりませんでした。よろしくお願いします。
No.313 - 2008/06/08(Sun) 11:47:15
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
こんばんわ。
お返事遅くなってしまいましたね。

まず、解説にあります、

y = 3-3a^2
y = 2p(a-1/2)

という式が表す図形は理解できますか？
No.328 - 2008/06/09(Mon) 00:33:52
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
こんばんわ。
y=3-3a^2 は点(-1,0),(1,0)を通る二次関数で、y=2p(a-1/2)　は傾きが2pで定点(1/2,0)を通る直線という理解でよろしいのでしょうか。
No.334 - 2008/06/09(Mon) 21:40:29
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
そうですね。

直線に関しては、pの値で様々に傾きが変化するので定まらない直線であるというところまで理解しておいてください。

それでは

方程式：3-3a^2 = 2p(a-1/2)

を計算すると、図的には何を求めていることになりますか？
No.336 - 2008/06/09(Mon) 23:40:51
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
放物線y=3-3a^2と直線y=2p(a-1/2)の交点ですか？
No.340 - 2008/06/10(Tue) 19:52:49
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
その通りですね。

そこまで分かっていらっしゃるのであれば、もう大丈夫でしょう。

この交点はpによって様々に変化してしまうので、きちんと-1<a<2で交わっているかを調べます。この範囲で交わっていないものは解としてはいけませんね。

こういった検討をしやすくするために、方程式を、
『ある二つの分かりやすい図の連立方程式という形にして考えてみた』
というのが真相です。

方程式のままでは分かりにくいでしょ？と言いたいのですね。
いかがでしょうか。

ちなみにk-700さんは理系ですか？
No.342 - 2008/06/10(Tue) 21:29:47
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
そういうことだったんですね。よく理解できました。ありがとうございました。　
　
僕は文系（?T・?U・A・B)です。
No.347 - 2008/06/11(Wed) 20:23:01
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [高校１年生]
＞僕は文系（?T・?U・A・B)です

そうでしたか。理系であれば、もう少し色々事例があったのですが、k-700さんは文系ということですので、この問題を大切に勉強していただければ大丈夫だと思います。

二つのグラフに分けて方程式の解を考えるというのは二次関数の分野でも見られますので、しっかり復習しておいてくださいね。
No.349 - 2008/06/11(Wed) 23:08:38
☆ Re: / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
そうなんですか。分かりました。　また同じような問題を探して、しっかり復習したいと思います。いろいろとありがとうございました。またよろしくお願いします。
No.357 - 2008/06/12(Thu) 23:10:54
★ (No Subject) / つくよ ♀ [北陸] [高校3年生]
はじめまして。
数研出版のＰＬＡＮ１００という問題集の「二次関数のグラフと二次方程式」の問題なのですが、

ｍ,ｎを自然数とし、y=x?A-2mx-nのグラフをＣとする。
（１）グラフＣの頂点が放物線y=-x?A+3x-5上にあるとき、
ｍ＝<ア>、ｎ＝<イ>　である。
このとき、グラフＣはx軸から長さ　<ウ√エ>　の線分を切り取る。

（２）グラフＣがｘ軸から長さ４の線分を切り取るとき、
ｍ＝<オ>、ｎ＝<カ>　である。

※?Aは二乗で、ア〜カが問題解答となってます。

頂点を求めるためにグラフＣを平方完成して、放物線に代入してみたのですが、
ｍとｎが二つとも式に入ってしまって、うまく計算できなくなりました；；

お忙しいとは思いますが、アドバイスして頂けたら嬉しいです。
よろしくお願いします！！
No.335 - 2008/06/09(Mon) 23:06:58
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
つくよさん，はじめまして。kinopyです。

「xの二乗」は「x^2」と書いてくれれば通じますので次回からこのように書いてくださいね。
丸付きの2はＰＣの機種によっては表示できませんので…

さて…
> 頂点を求めるためにグラフＣを平方完成して、放物線に代入してみたのですが、
方針は全く正しいです。

> ｍとｎが二つとも式に入ってしまって、うまく計算できなくなりました；；
これは，「つくよさんが問題文のある条件を見落としてるから」なんです。
「ｍ,ｎを自然数とし」とありますね。

この後，m,nが自然数だからm，nが求まるのですが，そのためには整数問題の扱い方を知らねばなりません。
確認のためにCの頂点の座標と，放物線に代入して整理した式を書き込んでいただけますか？
No.339 - 2008/06/10(Tue) 01:53:17
☆ Re: / つくよ ♀ [北陸] [高校3年生]
返信ありがとうございます。二乗の件、これから気をつけます。

Ｃの頂点座標(m,-m^2-n)

整理した式　n=-3m+5

これでいいのでしょうか？
No.341 - 2008/06/10(Tue) 20:11:09
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

その式でＯＫです。
今まで扱った方程式は変数が2つなら，式も2つで連立するものだったと思います。
例えば，y=-3x+5を満たす実数xとyは無数にありますね。

でも，m,nが自然数なら今回の解答欄に収まるのです。
確認しますが自然数とは正の整数ですね。

前回「整数問題の扱い方」と書きましたが，その第一歩は「地道に代入していく」ことです。
つくよさん自身が　n=-3m+5 にいろんな自然数を代入してみていただけますか？

次回のレスで得た解答を教えてください。

追伸：つくよさんは高3とのことですが，センター以外に数学は必要ですか？
つまり，私立大学を数学で受験するか，国公立2次で数学が必要ですか？
という質問です。
また，センター以外に数学が必要な場合は，志望校に整数の問題がよく出る大学か余りでない大学かを教えてください。

センターのみなら，この問あたりと＋もう1パターンくらいでいいと思いますので，レスいただいた後で紹介します。
No.344 - 2008/06/11(Wed) 01:32:31
☆ Re: / つくよ ♀ [北陸] [高校3年生]
こんばんは。

いろいろ試してみたところ、ｍ=1,ｎ=2だと式が成り立ちました。
合っているでしょうか？

追伸についてのレスですが、
私は文系科目を受験するのでセンター以外は数学を必要としません。
No.346 - 2008/06/11(Wed) 18:53:59
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

ＯＫですね。
数式でやるとすれば

n=-3m+5　ここで，n≧1だから　-3m+5≧1　
これと，m≧1を合わせて　1≦m≦4/3　だからこれを満たす自然数mはm=1
このとき，n=2 となり適する。

または，直線y=-3x+5のグラフを書いて，この直線上のx>0，y>0の領域でx座標，y座標がともに整数となる点を探せばOKです。
結局は代入していく感じですね^^

センターのみなら，後は次の問題程度でいいでしょう。
「xy-2x-2y=1を満たす整数の組を求めよ」
参考書にも載っているはずですから類題を探してみてください。
万一なかったり分かりにくければ再質問をお願いします。
No.350 - 2008/06/12(Thu) 01:32:11
☆ Re: / つくよ ♀ [北陸] [高校3年生]
こんばんは。

数式にするとよりわかりやすいですね！たいへん参考になりました。

類似問題が参考書にありましたので、そちらをやってみようと思います。

お忙しい中、センターのアドバイスまでしてもらい、本当にありがとうございました。
No.356 - 2008/06/12(Thu) 19:52:40
★ 平面図形の問題 / dandelion ♂ [北海道] [高校2年生]
こんにちは。

数Ａの復習をしていて
どうしてもわからない問題
があったので質問させていただきます。

（問）
△ABCにおいて、BCを最小の長さの辺とする。この三角形の内部の任意の点をPとすると、
AB＋AC＞AP＋BP＋CPであることを証明せよ。

〔赤チャートの数?T・Ａの数Ａ分野の例題１０２〕

（解答）

AB≧ACとして証明すれば十分である。
このとき

∠C≧∠B＞∠A

Pを通り、BCに平行な直線を引き、辺AB、ACとの交点を
それぞれD、Eとする。

△BDPにおいて BD＋DP＞BP
△CEPにおいて PE＋EC＞CP

辺々加えると BD＋DE＋EC＞BP＋CP ．．．?@

△ADPにおいて

∠ADP＝∠B≦∠C＝∠AEP＜∠APD

よって AD＞AP ．．．?A

△ADEにおいて

∠ADE＝∠B＜∠A
∴ AE＞DE ．．．?B

?@、?A、?Bから


AB＋AC＞AP＋BP＋CP ．．．【答】



解答自体の意味は理解できるのですが
こう考えた過程（平行線を引くなど）というのか
思考の流れがまったくわかりません。

閃きや勘でこの解法を思いついたのでしょうか？？
それともちゃんとした考えを経てこのような解法になったのでしょうか？？

解説をお願いします。
No.345 - 2008/06/11(Wed) 17:36:29
☆ Re: 平面図形の問題 / kinopy [近畿] [塾講師]
dandelionさん，こんばんは。

まず，以下は私の個人的な見解ということをご了承ください。
dandelionさんは大学入試のために復習をされていると思いますが，私はこのような補助線の引きかたは受験では必要がないと考えています。
平面幾何が高校の単元になって数年過ぎましたが，未だにこのような「ひらめき？」を要する問題は頻出ではありません。私は「この種の問題を出題しても差がつき過ぎる」という理由で敬遠されているのだと勝手に思っています。

ですから，私は塾の授業でも平面幾何の証明はほとんど扱わず，むしろ「幾何に見える問題を三角比・ベクトル・座標幾何におきなおして証明する練習」に時間を割いています。

もちろん，「出ない」保障はないですがこの単元は深入りせず，まずは求値問題と証明問題の初歩的なものをこなしておき，他の単元をつぶした後に深入りしたければやればいい。と思います。


本題ですが…
私は「閃くというより，出題者はそうなるように問題を作ったから」ということだと思います(^_^;)
私自身この系統の問題が大嫌いで，今回も考える前にdandelionさんが書いてくれた解答を見ました。私の感覚はdandelionさんと同じでした(笑)

そこで，河童先生に連絡を取って「どう思いますか？」って聞くと，「＃＄％になるように平行線を引くんだな」と返事が返ってきました。
納得のいかない私は「じゃぁその＃＄％はなぜ思いついたのだ？？」と突っ込みました。
すると「先に答えを見たからだ。ガハハ！」と言う返事(-_-;)
近くにいたら彼の首を絞めてたかもしれません(笑)

冗談はさておき，時おり指導者の私から見ても眼のさめるような鮮やかな解法を見せてくれる河童先生もこういう感じなんです。

こう補助線を引けばうまく行った。などの印象を残しておくことは大事ですが，万事うまく行く処方箋はこの単元にはありません。

もちろん，「接する２円の問題の場合に共通接線を引くとうまく行く」や「平行線を引いてみようか」などの経験はしておくにこしたことはありませんが，最初に書いたとおり，求値問題と典型的な証明問題をこなした上で他の単元に力を注ぐことをお薦めします。
No.352 - 2008/06/12(Thu) 03:06:38
☆ Re: 平面図形の問題 / dandelion ♂ [北海道] [高校2年生]
そうですか…
ではこの問題は自分の中での未解決問題ということにしておき
いつか暇があったらもう一回挑戦してみようと思います笑（自分あきらめ悪いんで

しかし微妙に納得がいかないのが、
この問題赤チャートでは★★★レベルだということなんですよねー
一体なにを基準にしているんでしょうか笑
（果たして簡単に解けた人がどれくらいいるんだろうか？）

話がそれてしまいましたが
今回はいきなり直接メールするなど
御忙しいところ御迷惑をかけてしまい
どうもすいませんでした。

この問題半年程前からずっと気になっていたんで
自分のなかでとりあえず決着？がついて良かったです！

解答ありがとうございましたm(_ _)m
No.355 - 2008/06/12(Thu) 18:01:55
★ (No Subject) / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは。

f(x)=lx^2-3xl+lx-1l-1について、

(1)a≦a+1におけるf(x)の最大値が２となるようなaの値の範囲
をもとめよ。

(2)方程式lx^2-3xl=k-lx-1lが異なる４個の実数解を持つような
kの値の範囲を求めよ。

という問題があるのですが、(1)は標問やβを参照して場合分けを
試みたんですが、頭がパンクしました。どう場合分けしてみたら
良いでしょうか？よろしくお願いします。
No.295 - 2008/06/06(Fri) 23:22:11
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
アキバさん，こんばんは。kinopyです。

確認ですが
>場合分けを試みたんですが、頭がパンクしました。
はグラフを書く際の場合分けでしょうか？

それとも，最大値を求める際の場合分けでしょうか？

前者の場合は
http://www.lykeion.info/kango/kankore/tangen/suutosiki/sample/suutosikisample.htm
の「本文３」を参照していただいて，グラフを書いてください。

後者の場合はグラフは下記のようになったと思いますが，いかがでしょう？
http://lykeion/situmonita-gazou/zettaiti-Gurafu2.pdf
No.303 - 2008/06/07(Sat) 04:25:13
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは。kinopyさん。

場合分けは最大の方です。グラフは書けました。
あと、後者の方のアドレスにアクセスできません
でした。どうしてでしょうか？
No.310 - 2008/06/08(Sun) 02:09:42
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

すみませんm(__)m
間違ったURLを入れてました。

正しくは
http://lykeion.info/situmonita-gazou/zettaiti-Gurafu2.pdf
です。ごめんなさい。

> 最大の方
とのことですので，少しヒントを…

aを小さい方から動かします。
最初，最大はx=aのときですね。
しかし，a≦x≦a+1の範囲の中に0が入ってしばらくすると，最大値がx=a+1のときに変わりますね？
（↑これはＯＫですか？）

その変わる境界のaはどうやれば求まるでしょう？
No.311 - 2008/06/08(Sun) 02:42:41
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんにちは。

とりあえず、?@）a+1<0　?A）a≦0<a+1はできました。

次は、どうすればよいのでしょうか？
No.316 - 2008/06/08(Sun) 13:32:10
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんにちは。

>とりあえず、?@）a+1<0　?A）a≦0<a+1はできました。

あら？
a+1<0　のときは確かにx=aで最大値を取りますが，例えばa+1=0.1あたりのときもx=aで最大値ではないです？
http://lykeion.info/situmonita-gazou/zettaiti-Gurafu2.pdf
の2個目の図です。
No.319 - 2008/06/08(Sun) 14:33:51
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんにちは。

二個目の図ってグラフですか？
No.321 - 2008/06/08(Sun) 15:18:55
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
そうです。
この状態ならa<0<a+1ですが，x=aのときに最大値ですね。

つまりa<0，a≦0<a+1で分けるのは間違いと言うことです。
最大値がx=aのとき，とx=a+1のときの境目を求める必要があります。

どのように求めるか考えてください。
No.322 - 2008/06/08(Sun) 15:33:53
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
図だけで判断していて、具体化をしていません
でした。

?A)はa+1が最大になるときですよね？
1/2＜a+1＜1のときですか？
No.323 - 2008/06/08(Sun) 16:27:08
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
境目をa+1=1/2と考えたのですね？
実は，2個目のグラフはa+1=1/2のときのものです。

アキバさんの考え方では直線x=0が対称軸の場合です。
この問題の場合はx=0で対称ではありません。
f(x)=x^2-4x
g(x)=-x^2+2x
とした時，f(a)=g(a+1)となるときが境目ですね。
http://lykeion.info/situmonita-gazou/zettaiti-Gurafu2.pdf
No.324 - 2008/06/08(Sun) 17:19:10
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
このグラフの場合どうすれば
いいんでしょうか？

a<0<a+1でしょうか？
No.325 - 2008/06/08(Sun) 17:55:13
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。
>a<0<a+1でしょうか？
そうです。f(a)=g(a+1)の解のa<0<a+1つまり-1<a<0のものを採用します。
No.330 - 2008/06/09(Mon) 01:08:22
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは。どうもです。

前回は＝をつけたから駄目だったんですね。

次はどうしたらよいのでしょうか？
No.331 - 2008/06/09(Mon) 02:46:03
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

> 前回は＝をつけたから駄目だったんですね。
とは↓のことでしょうか？
>?@）a+1<0　?A）a≦0<a+1はできました。

おっしゃるのがこのことなら，NO.322の私のレスにもあるように「0を境目にするのが間違い」なんです。

0が境目なら，もちろんa<0，0≦a<1のように=はどちらかにはついていないとダメです。

…とここで，自分のミスに気づきました。
NO.324でf(x)=と書きましたが，問題文にf(x)が使われていました。
すみません。332を修正します。

h(x)=x^2-4x
g(x)=-x^2+2x
とした時，h(a)=g(a+1)となるときが境目ですね。

グラフはかけたそうなので大丈夫とは思いますが，念のため…h(x)はx≦0のときの関数，g(x)は0≦x≦1のときの関数です。
No.332 - 2008/06/09(Mon) 03:15:47
☆ Re: こんばんは / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
＞＞「0を境目にするのが間違い」

解決しました。注目すべきはそこだったんですね。
ありがとうございました。
No.343 - 2008/06/10(Tue) 22:36:27
★ 1A 2次不等式 / ALIVE ♂ [関東] [高校2年生]
お久しぶりです。また質問させていただきます。

2次不等式x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0･･･?@、x^2+3x-4a^2+6a<0･･･?Aについて次の問いに答えよ。ただし、aの正の定数とする。
(3)?@、?Aを同時に満たす整数xが存在しないのはaがどんな範囲にあるときか。

[問題集の解答]
[1]0<x≦3のとき、?@?Aを同時に満たすxが存在しないので題意を満たす。
[2]a>3のとき、?@と?Aの共通範囲は
(ア）2a-3<a+3すなわち　a<6の場合 a<x<2a-3
(イ）a+3≦2a-3すなわち a≧6の場合 a<x<a+3
(ア）において、3<a<4のとき題意をみたす条件は
a<2a-3≦4 ゆえに 3<a≦7/2
a=4のとき、2a-3=5となって共通範囲は4<x<5であり題意をみたす。
4<a<6のとき、2a-3-a=a-3>1となって
a<x<2a-3の範囲に少なくとも１個の整数が存在するから不適。
また、(イ）においては、a<x<a+3の範囲に少なくとも２個の整数が存在するから不適。
以上より、求める範囲は　0<a≦7/2、a=4

となっているのですが[2]の「アにおいて〜」からが良く分からなくなりました。
まず3<a<4の条件がどこから出てきたのかも分かりません。
詳しい解説お願いしたいです。
ちなみに、(2)ではxが存在するためのaの範囲を求めています。

お願いします。
No.285 - 2008/06/06(Fri) 00:28:15
☆ Re: 1A 2次不等式 / kinopy [近畿] [塾講師]
ALIVEさん，こんばんは。

> まず3<a<4の条件がどこから出てきたのかも分かりません。
同感です。この解答では私にもその理由がわかりません。(^_^;)

お聞きしたいのですが，数学IIの平面座標の領域の単元は既に学習しましたか？
ご質問の問題のレベルから考えると，終わっているような気もしますが…

もし，まだ学習していないなら，「領域を図示する」ことができればこの問題が考えやすくなり，3<a<4の出てきた理由もよく分かると思います。
平面座標すべてではなく「領域の図示だけ」です。ここは教科書を読めば理解できる程度の内容ですので，一度読んでいただけないでしょうか？

「読みたくない」と言う場合は無理やりこの解答の解法での説明を考えますが，いかがでしょう？

以下，OKというお返事をいただけることを前提に話を進めます(^_^;)

xy平面に　y<2x-3かつy>xという領域が書けるようになったとして…

今回の連立不等式の解は　
i) 0<a<3/4のとき
a<x<a+3　かつ　2a-3<x<-2a
ii) a=3/4のとき
解なし
iii) a>3/4のとき
a<x<a+3　かつ　-2a<x<2a-3

ですから，ax平面にこの領域を図示してください。横軸a縦軸xです。
…図示できたとして…

この図が何を意味するかを理解できているか確認しましょう。
不等式は，例えば，a=5のとき a<x<a+3　かつ　-2a<x<2a-3 に代入すると
5<a<8　かつ　-10<x<7　つまり 5<x<7
となりますが，図で言うとこのxの範囲はどういう風に目に見えてるかＯＫでしょうか？

まずは，ここまでお願いします。
上の「例えば」がＯＫなら本題に取り組んでみてください。
念のため次回は私もＵＰできる図を用意しておきます。


なお，
> ちなみに、(2)ではxが存在するためのaの範囲を求めています。
問題文が小問に分かれている場合は，お手数ですが全問の書き込みをお願いします。
http://lykeion.info/suugaku/rule/situmonsya-rule.htm
この場合は想像がつきますが，問題によっては上記ページにあるように方針が変わりますので…
No.301 - 2008/06/07(Sat) 04:00:32
☆ Re: 1A 2次不等式 / ALIVE ♂ [関東] [高校2年生]
返信ありがとうございます。
>問題文が小問に分かれている場合は，お手数ですが全問の書き込みをお願いします。
すみませんでした。全問題文は以下です。

2次不等式x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0･･･?@、x^2+3x-4a^2+6a<0･･･?Aについて次の問いに答えよ。ただし、aの正の定数とする。
(1)?@、?Aを解け。
(2)?@、?Aを同時に満たすxが存在するのは、aがどんな範囲にあるときか。
(3)?@、?Aを同時に満たす整数xが存在しないのはaがどんな範囲にあるときか。

>お聞きしたいのですが，数学IIの平面座標の領域の単元は既に学習しましたか？
はい。学校ではまだやっていないのですが独習は終わっています。

連立不等式の解をax平面上に図示してみたのですが(?@)の場合式は4つあると考えて大丈夫ですよね？
kinopy先生が提示してくださった不等式も(?@)の方もどちらも範囲に終わりが無いような領域になってしまいました･･･。

申し訳ありませんがこの領域に関しても解説をお願いしたいです･･･。
No.305 - 2008/06/07(Sat) 12:03:22
☆ Re: 1A 2次不等式 / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。問題文の書き込みありがとうございます。

>連立不等式の解をax平面上に図示してみたのですが(?@)の場合式は4つあると考えて大丈夫ですよね？
そうです。4つの不等式全てを満たすところです。

>kinopy先生が提示してくださった不等式も(?@)の方もどちらも範囲に終わりが無いような領域になってしまいました･･･。
「終わりがない」のはＯＫですよ。
でも…(i)のほうは「解なし」になるはずなんですが…
a<x<a+3　は　直線　x=aより上，x=a+3より下の帯状の部分　これと
2a-3<x<-2a　は　直線　x=2a-3より上，x=-2aより下の帯状の部分　の共通するところはありません。
以下で確認してください。2ページ目は見ないように！

http://lykeion.info/keijiban-pdf/itijifutousiki-ryouiki.pdf

1ページの領域がＯＫなら，a=5のとき 連立不等式の解は 5<x<7 となることを図で確認してください。
2ページに解答(?)があります。
（pdfへの変換の際に本来白丸であるはずの(5,5)(5,7)が黒丸になってます。
ノートに書く際には，「ここは含まない」と言う意味の白丸にしてくださいね。）

ここまで来たら準備ＯＫです。
図を使って，この問題をもう一度考えてください。
「整数xが存在しない」とは「この図で言えばどういうことか？」を考えてくださいね。
No.307 - 2008/06/07(Sat) 23:51:27
☆ Re: 1A 2次不等式 / ALIVE ♂ [関東] [高校１年生]
すみません。返信が遅れてしまいました･･･。

kinopy先生のおかげでこの問題を数?Uの領域の問題と捉える事ができて考え方が整理できました。ありがとうございました。
No.338 - 2008/06/10(Tue) 01:47:37
★ はじめまして。 / saki ♀ [関東] [高校3年生]
この行列の問題がわからないのでよろしくお願いします。
座標平面上の２つの１次変換f,gの合成変換をg・fで表す。
fは原点を中心とする30ﾟの回転とし、gを表す行列はmatrix{a&b\\c&d}とする。
次の問に答えよ。
(1)fを表す行列を求めよ。
(2)f・g=g・fを満たしているという。a,b,c,dの関係式を求めよ。
(3)gは(2)の条件を満たしg・(g・g)は恒等変換であるという。gを表す行列を全て求めよ。
　またf・gはどんな１次変換か。

(1)は1/2matrix{√3&-1\\1&√3}となりました。
(2)でa,b,c,dの関係式の形がわからず、√3a-b-c-√3d=0と出たのですが
合ってるかわかりません。ad-bcの形で出さないといけないのでしょうか？
アドバイスをよろしくお願いします。
No.282 - 2008/06/05(Thu) 23:17:48
☆ Re: はじめまして。 / kinopy [近畿] [塾講師]
sakiさん，こんばんは。

(1)はOKですね。

(2)ですが，「a,b,c,dの関係式」とは「一つの式にa,b,c,d全てが現れる式を書け」という意味ではありません。
sakiさんの出した式を見ての想像ですが，f・gとg・fを表わす行列を求めて成分を比較したのですね？
それでＯＫです。　a=d，b=-cが導かれたと思います。答えはこれでいいですよ。

(3)に取り組んでみてください。
No.299 - 2008/06/07(Sat) 01:22:27
☆ Re: はじめまして。 / saki ♀ [関東] [高校3年生]
(2)はkinopy先生の言う通りa=d,b=-cを出すことができていました。

(3)ですが、gという１次変換をBという行列でおいたときに、g・(g・g)を

行列で示すとB(BB)=matrix{a^3-3ab^2&-b^3+3a^2b\\b^3-3a^2b&a^3-3ab^2}

とでました。

でもこの式だけだとa,bの値が出せないのですが、どうすれば良いのでしょうか？

青チャートで参考にできる問題あるかなと思って探したのですが、ありませんでした・・・。
No.306 - 2008/06/07(Sat) 16:44:04
☆ Re: はじめまして。 / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

問題文に
> g・(g・g)は恒等変換であるという。
とあります。…ということは「g・g・gを表わす行列」=「恒等変換を表わす行列」
です。

恒等変換を表わす行列は…知ってますよね？
No.308 - 2008/06/07(Sat) 23:56:43
☆ Re: はじめまして。 / saki ♀ [関東] [高校3年生]
恒等変換を表す行列はmatrix{1&0\\0&1}だから、

matrix{a^3-3ab^2&-b^3+3a^2b\\b^3-3a^2b&a^3-3ab^2}=matrix{1&0\\0&1}

よりa=-1/2,b=±√3/2

gは原点を中心として120ﾟまたは240ﾟだけ回転する１次変換。

f・gは原点を中心として150ﾟまたは270ﾟだけ回転する１次変換。


こんな感じですか？
No.326 - 2008/06/08(Sun) 20:58:09
☆ Re: はじめまして。 / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

おしいですね！
後一歩でした(^_^;)

まず，
> gは原点を中心として120ﾟまたは240ﾟだけ回転する１次変換。
という書き方を必要ありません。問は
>gを表す行列を全て求めよ。またf・gはどんな１次変換か。
ですから，B=matrix{…}でいいです。

「おしい」と言ったのは，答えが足りないのです。
sakiさんはおそらく
-b^3+3a^2b=0の両辺をbで割って -b^2+3a^2=0を導きましたね。
入試において，方程式の両辺を文字式で割るときは十分注意しないと致命傷になりかねません。

このような方程式を扱うときは，-b^3+3a^2b=0　⇔　-b(b^2-3a^2)=0　より
b=0またはb^2-3a^2=0
とするのが安全です。

一応，私のとった方法について簡単に書いておきます。
使っているのは頻出の解法ばかりなので，こちらも押さえておきましょう。
ケーリーハミルトンの定理より

B^2-2aB+(a^2+b^2E)=O　⇔　B^2=2aB-(a^2+b^2)E この両辺にBをかけて

B^3=2aB^2-(a^2+b^2)B
　=2a{2aB-(a^2+b^2)E}-(a^2+b^2)B
　=(3a^2-b^2)B-2a(a^2+b^2)E

B^3=E …*に代入して
(3a^2-b^2)B-2a(a^2+b^2)E=E　⇔　(3a^2-b^2)B={2a(a^2+b^2)+1}E
i) 3a^2-b^2=0 のとき，2a(a^2+b^2)+1=0　これを解いてa=-1/2，b=±√3/2　∴B=…
ii) 3a^2-b^2≠0 のとき，B=(3a^2-b^2)/{2a(a^2+b^2)+1}E
　これを，B=kEと表わすことにして*に代入すると
　k^3E=Eで E≠Oだからk=1 ∴　B=matrix{1 0 0 1}

どうでしょう？分かりにくいところがあれば再質問してくださいね。
No.329 - 2008/06/09(Mon) 01:05:36
☆ Re: はじめまして。 / saki ♀ [関東] [高校3年生]
なるほど〜。ここでケーリーハミルトンを使うとは思いませんでした。

わかりやすい解説ありがとうございました＾＾
No.333 - 2008/06/09(Mon) 19:11:09
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