[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ おはようございます / Daniel ♂ [近畿] [高校3年生]
おはようございます。指数・対数関数の範囲で、どうしても分からない問題があったため、質問させていただきます。
教材は数研出版「2008　ニュースタンダード数学演習?TA+?UB受験編」のP68の117です。

f(a)=8^aとおく。f(a)が100桁の整数となるような整数aの値は（ア）である。また、このときf(a)の、1の位の数は（イ）、10^99の位の数は（ウ）である。
ただし、log_{10}2=0.3010、log_{10}3=0.4771とする。

（ア）と（イ）はそれぞれ110、4と解答できたのですが、（ウ）をどのように考えたらいいか分かりません。

log_{10}8^{110}=99.33より、
8^110=10^99.33=10^99×10^0.33と考え、
10^0.33の数値を求めたら良いのではないか？と考えたのですが、これ以上進めなくなってしまいました。
よろしくお願いします。
No.312 - 2008/06/08(Sun) 11:21:44
☆ Re: おはようございます / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [学校教員]
こんにちは．
ＣＯＲＮＯ がお答えします．

まず１つ目．
１００桁の整数の最高位が，１０^99 の位であることは大丈夫でしょうか．

２つ目．
１００桁の整数 ８^110 を １０^99 で割った数，
つまり，８^110/１０^99 という数のことですが，この数の整数部分が何を表しているかはわかりますか．

最後に，log[10]８^110/１０^99 の値を求めてください．

まずはここまでを考えてみてください．
No.314 - 2008/06/08(Sun) 12:50:54
☆ Re: おはようございます / Daniel ♂ [近畿] [高校3年生]
返信ありがとうございます。

100桁の整数の最高位は10^99であることは大丈夫です。

なので、8^110/10^99の整数部分は、8^110の100桁の整数の最高位の値を示していると思います。

そして、
log{10}8^110/10^99
=log{10}8^110-log{10}10^99
=99.33-99
=0.33
となると思います。

ここからは自分で考えてみたのですが、
0.3010<0.33<04771
log{10}2<log{10}8^110/10^99<log{10}3
2<8^110/10^99<3
よって、8^110の10^99の位の数は2のなるのでしょうか？
No.317 - 2008/06/08(Sun) 14:21:11
☆ Re: おはようございます / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [学校教員]
全くその通りです．
何も言うことはありません．
No.318 - 2008/06/08(Sun) 14:31:28
☆ Re: おはようございます / Daniel ♂ [近畿] [高校3年生]
ＣＯＲＮＯ先生の丁寧な解説のおかげで分かる事ができました！

本当にありがとうございました。
No.320 - 2008/06/08(Sun) 14:37:21
★ はじめまして / nasu ♂ [北陸] [高校2年生]
はじめまして。
先日学校で実施しされた中間テストでの問題なのですが、

（１）2x+y=2で、x,yがともに正の数のとき、1/x+1/yの最小値を求めよ。また、
そのときのx,yの値を求めよ。

（２）√(a^2+b^2+c^2)√(x^2+y^2+z^2)≧|ax+by+cz|を証明せよ。

という２つの問題が分かりませんでした。
テスト返却後、自分でもう一度考えてみたんですが、
テスト範囲が数?Uの「式と証明」だったので、
（１）はｙをｘであらわしてから、式変形してみたのですが、
そこでとまってしまい、
（２）は左辺も右辺も正なので、２乗の差をとって正であることを
言おうと思ったのですが、こちらも途中で計算が止まってしまいました。

まだ、回答例が帰ってきてないので、どうすればいいのかわからなくて
今回質問してみました。よろしくお願いします。
No.250 - 2008/06/01(Sun) 02:07:26
☆ Re: はじめまして / X [社会人]
natuさん、こんにちは。

(1)
t=1/x+1/y (A)
2x+y=2 (B)
x>0,y>0 (C)
とします。
(A),(B)よりyを消去して
t=1/x+1/(2-2x)
∴x(2-2x)t=(2-2x)+x
2tx^2-(2t+1)x+2=0 (D)
(A)(C)よりt>0ですので(D)はxについての二次方程式となります。
一方 (B)(C)より
y=2-2x>0
∴0<x<1 (E)
そこで(D)が(E)の範囲で少なくとも一つの実数解を持つような条件を考えます。
但し
f(x)=2tx^2-(2t+1)x+2
と置いたとき
f(0)=2,f(1)=1
となることに注意しましょう。

こちらの計算では
最小値は(3+2√2)/2(このときx=2-√2,y=-2+2√2)
となりました。

(2)
(左辺)^2-(右辺)^2=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-|ax+by+cz|^2
=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2
=(b^2+c^2)x^2+(c^2+a^2)y^2+(a^2+b^2)z^2-2abxy-2bcyz-2cazx (展開して整理)
={(bx)^2-2abxy+(ay)^2}+…(全体で{}^2の和の形になるようにまとめる)
=…
No.264 - 2008/06/02(Mon) 14:48:51
☆ Re: はじめまして / nasu ♂ [北陸] [高校１年生]
返信ありがとうございます。

（２）は丁寧な解説のおかげで無事証明することができました。

（１）のほうなのですが、
2tx^2-(2t+1)x+2=0(D)のなるのはわかるのですが、ここでtは、t=1/x+1/(2-2x)と
xであらわされているのだから、式（D)は２次方程式といえるんでしょうか？
あと、（D)が（E)の範囲で少なくとも１つ実数解を持つような条件を考える必要が
あるのかがよくわかりませんでした。

重ね重ねすいません。
No.266 - 2008/06/03(Tue) 16:10:54
☆ Re: はじめまして / X [社会人]
あるtの値に対するxの値について
t=1/x+1/(2-2x) (D)'
はxの方程式になります。
従って、これを変形して導いた(D)がたまたま二次方程式の形になっている、と考えて下さい。

＞＞あと、（D)が（E)の範囲で少なくとも１つ実数解を持つような条件〜
(D)'においてt>0なるtに対し、xは(E)を満たす実数です。
従って(D)’を変形した(D)についてもxは(E)を満たす実数です。
よって(D)をxについての二次方程式と見て解いたとき、
解xは(E)を満たす実数でなければなりません
No.268 - 2008/06/03(Tue) 18:13:40
☆ Re: はじめまして / nasu ♂ [北陸] [高校１年生]
返信がおそくなって申し訳ありません。

２次方程式の形になっているのは分かりました。
また、（Ｄ）の解が0<x<1の範囲内にいけないことは分かるのですが、
この２次方程式が実数解を持たないということはないのでしょうか？
No.281 - 2008/06/05(Thu) 22:56:35
☆ Re: はじめまして / X [高校１年生]
質問の意図がよく分からないのですが、この問題では
(D)が実数解を持ち
かつ
その実数解が0<x<1の範囲にある
条件を求めることになります。
従って、実数解を持たないことを問題にする必要はありません。
No.292 - 2008/06/06(Fri) 21:01:02
☆ Re: はじめまして / X [高校１年生]
但し問題とは別になら、実数解を持たない条件は考えられます。その場合は
(i)(D)が虚数解を持つ
(ii)(D)がx≦0,1≦xの範囲にのみ、実数解を持つ
のいずれかになります。
No.293 - 2008/06/06(Fri) 21:09:28
☆ Re: はじめまして / nasu ♂ [北陸] [高校１年生]
分かりました。
最後まで計算してみたら、x=2-√2,y=-2+2√2
(3+2√2)/2になりました。
ありがとうございます。
No.309 - 2008/06/08(Sun) 01:43:25
★ こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
ちょっと図が出せなくて申し訳ないのですが、質問です、、

底面の半径r,高さhの直円錐を考える。その内部に面ABCD,面EFGHを正方形とする直方体を考える。
ここで頂点A,B,C,Dは直円錐の側面上にあり、頂点E,F,G,Hは底面上にあるものとする。
このとき次の問いに答えよ。
(1)直方体の高さをxとするとき、直方体の面積をr,h,xの式で表せ。
(2)直方体の体積を最大にするような高さxを求めよ。また、そのときの体積を求めよ。


(1)は2xr^2(1-x/h)^2と出たのですが、(2)からどうすればいいのか分かりませんでした。
学校のテストで出た問題です。よろしくお願いします。
No.272 - 2008/06/04(Wed) 22:01:44
☆ Re: こんばんは＾＾ / たろ ♂ [北海道] [社会人]
こんばんわ、たろと申します。

こちらから質問なのですが、

(1)直方体の高さをxとするとき、直方体の面積をr,h,xの式で表せ。

直方体の面積とは、表面積のことでしょうか？
それとも、切り口の断面積でしょうか？＞おそらく問題の内容からして、切り口だと思うのですが･･･。

さてご質問の件ですが、直方体の体積は何の関数になっているか考えてみてください

１）で断面積を考えるとすると、体積は簡単に表せます。
No.274 - 2008/06/04(Wed) 23:13:03
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
スイマセン、、(1)は面積じゃなくて体積です。
No.276 - 2008/06/05(Thu) 05:41:04
☆ Re: こんばんは＾＾ / たろ ♂ [北海道] [社会人]
なるほどです。

それならば話はもっと単純ですね。

ちなみに私の計算では、4xr^2(1-x/h)^2となりました。

先の投稿でも示しましたように、体積は何の関数になっているでしょうか。

それを考えてみてください。

今回知りたいのは、

『高さに応じて体積がどのように変化するか。つまり、最も体積が大きくなる為にはどのような高さか。』

ということですね。そうすると自ずとやれることは限られてきます。
No.280 - 2008/06/05(Thu) 18:20:18
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
微分して、0<x<hのなかで最大値を探すってことですか？？

というか、私自身その「自ずとやれること」がまだ身についていないので

そこを詳しく教えてください。よろしくお願いします。
No.283 - 2008/06/05(Thu) 23:27:36
☆ Re: こんばんは＾＾ / たろ ♂ [北海道] [社会人]
亮さん

＞というか、私自身その「自ずとやれること」がまだ身についていないので

＞そこを詳しく教えてください。よろしくお願いします。

今回私がヒントで示していることをよく考えていただきたくて、こういった投稿になったわけです。そこから亮さん自身に頑張って気づいていただきたかったのです。
私が微分だよと言ってしまえば、簡単ですが、それならば勉強になりませんね。

今回は、xの3次関数になるということですね。ここに気づいていただければ、今までの学習を振り返ると微分して増減表がいいのではないかということですね。

2次関数なら平方完成、正の数の逆数の掛け算なら相加相乗の関係･･･
いくつか最大値を求める方法があり、その中で微分を選択してみようということです。

結論はシンプルなので、しつこく感じるかもしれませんが、今まで習得してきた解法を丁寧に探るということが、これからの入試に向けてたくさんの問題を自力で解いていく為に大切なことだと思います。

その先の計算等が分からなくなればまた書き込んでください。
No.286 - 2008/06/06(Fri) 00:35:27
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
正確なご指摘ありがとうございました。

私自身まだまだ演習が足りないようです。

本番まで一問でも多く取り組んで今まで習得してきた解法を丁寧に探るということに

慣れたいと思います。
No.294 - 2008/06/06(Fri) 22:36:21
☆ Re: こんばんは＾＾ / たろ ♂ [北海道] [社会人]

そうですね。是非頑張っていただきたく思うところです。

亮さんご自身に力があるか否かは私の測りかねるところですが、今までの他の書き込み等勘案して、素直な態度でいらっしゃいますので、亮さんはまだまだ伸びる＝努力の余地があると思います。力が無いと決め付けずに、解きたい、受かりたいと冷静に考え、大切に取り組んでください。

志望校にもよりますが、率直に申し上げて本問題で微分かなと気づかないと少々厳しいというところです。

しかし慌てることはありません。成績が伸びるなど自分に変化がおきるということは何がしかの負荷が自分にかかるということも必要なのです。これからは、与えられた問題を落ち着いて取り組んでみる、自分の武器を探ってみるということも頭に入れておいてくださいね。

理系であれば数?V等入りますからなかなか今までの復習の時間の確保が難しいと思いますが、私自身、亮さんのような努力できる生徒さんには頑張ってほしいと思うのです。これからです！
No.297 - 2008/06/07(Sat) 00:35:51
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
質問に対するアドバイス（疑問は解決しました＾＾）の他、

勉強についての指導までしていただき

本当にうれしく思います。

たろ先生。ありがとうございました。
No.304 - 2008/06/07(Sat) 09:06:45
★ 遅くにすみません。 / みか ♀ [九州] [高校3年生]
夜分おそくにすみません。。。
どうしてもわからない問題があるので、どなたか解法を教えていただければうれしいです。(汗)

a，bを整数とする。3次関数f(x)=x?B＋ax?A＋2bxが0＜x＜2の範囲で極大値と極小値をもつとき、a，bの値を求めよ。

x?B＝xの3乗、x?A＝xの2乗ということでお願いします。
No.287 - 2008/06/06(Fri) 00:52:51
☆ Re: 遅くにすみません。 / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
みかさん，こんばんは。

3次関数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d が
0＜x＜2の範囲で極大値と極小値をもつ
⇔
2次方程式 f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0 が
0＜x＜2の範囲で異なる2つの解をもつ
です。
No.288 - 2008/06/06(Fri) 01:04:33
☆ Re: 遅くにすみません。 / みか ♀ [九州] [高校１年生]
七さん、ありがとうございます。

えっと、計算がうまくいかないのですが、つまりどのようにしたらよいのでしょうか？
No.289 - 2008/06/06(Fri) 01:24:29
☆ Re: 遅くにすみません。 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
おはようございます。

> 3次関数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d が
> 0＜x＜2の範囲で極大値と極小値をもつ
> ⇔
> 2次方程式 f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0 が
> 0＜x＜2の範囲で異なる2つの解をもつ

例えば y＝f '(x)のグラフを考えると
a＞0 のとき
f '(x)＝3a(x＋b/3a)2−b2/a＋c
頂点(−b/3a，−b2/a＋c) ですから
0＜−b/3a＜2 … (1)
−b2/a＋c＜0 … (2)
f '(0)＞0 … (3)
f '(2)＞0 … (4)
であればいいですね。
No.291 - 2008/06/06(Fri) 06:50:07
☆ Re: 遅くにすみません。 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
f '(x)＝3a(x＋b/3a)2−b2/3a＋c
頂点(−b/3a，−b2/3a＋c) ですから
0＜−b/3a＜2 … (1)
−b2/3a＋c＜0 … (2)
でした。
No.296 - 2008/06/06(Fri) 23:30:14
★ お願いします。 / aya ♀ [近畿] [浪人生]

(a-1) x+(a+1)<0の解がx<-√3のとき、aの値を求めよ。

解き方を教えてもらえませんか？
No.284 - 2008/06/05(Thu) 23:40:35
☆ Re: お願いします。 / ka-o [社会人]
ayaさん、おはようございます。
ka-oです。
まずは、xについての不等式(a-1)x+(a+1)<0を解け、という問題だったらどうなりますか。
場合分けが出てきてしまうのですが、よく考えてみてください。
No.290 - 2008/06/06(Fri) 06:16:42
★ 循環小数の謎 / タニシニコン ♂ [関東] [高校１年生]
高校一年のタニシニコンです。今頃かよ！！というような質問かも知れませんがお願いします。
0.99999・・・(9が循環する）と言う循環小数を分数にしようと思い、0.99999・・・＝ｘと置き、
10xとｘの差をとって・・・とやったらx=9/9＝１となってしまいました。
学校の数学の教師に聞いてみましたが、よく分かりませんでした。
謎です。。。
No.267 - 2008/06/03(Tue) 16:36:21
☆ Re: 循環小数の謎 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
タニシニコンさん，こんにちは。

循環小数を学習したときに誰もがもつ疑問です。
Google などで「0.999999」で検索してみると，たくさんヒットします。
数学的な証明もいくつか見ることができるかと思います。

この疑問の本質は，数学的な証明ではなく，0.9999…＝1 であることをいかに「納得」するかであると私は思います。私は

(1/9)×9=1 である以上
0.1111…×9=1 としておかないと数学の体系が崩壊する
ということで「納得」しています。

数III で【極限】を学習すれば，証明らしきことはできます。
?V証明らしきこと’ と書いたのは，おそらくその証明では，今タニシニコンさんが感じている疑問は少しも晴れないと思われるからです。

大学ではもう少し数学的に突っ込んだ証明を学ぶと思います。
でもおそらくは「数式ではそうかもしれないが，でも感覚的になぁ…」
と，今感じている違和感はスッキリとは晴れないかもしれません。

昔，妻に「(1/3)×3=1 なんだから　0.333…×3つまり0.999…　は 1なんだよ」と言ったところ，「ふーん。だから？」で終わりでした。そんなことより，きゅうりが100円なのか99円なのかの方が大問題のようです。
No.277 - 2008/06/05(Thu) 15:33:00
☆ Re: 循環小数の謎 / タニシニコン ♂ [関東] [高校１年生]
うーん。。。やっぱりそう納得するしかないのですかね。学校の数学の教師にも似たようなことを言われました。。。
完全に疑問は晴れませんが、そういうものなんですかね。
ありがとうございました。新矢先生。
数学はとても奇妙です・・・。
No.278 - 2008/06/05(Thu) 15:54:36
☆ Re: 循環小数の謎 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。
このような疑問を持ち続けることは大切です。
「宇宙の果てはどうなっているのだろう？」とか「生命って何なのだろう？」とかの哲学の領域かもしれない根本に関わる疑問を忘れてしまった宇宙物理学者や生命学者はいないはずです。人類の知性のエネルギー源なのかもしれませんね。

0.999…=1 は納得できなくても，0.000…=0 は納得できてしまうのも奇妙ですね。
No.279 - 2008/06/05(Thu) 16:23:56
★ はじめまして。 / 図 ♂ [関東] [浪人生]
はじめまして図と申します。
青チャート数学?TA重要例題７０(２)の問題です。
関数ｆ(ｘ)　(０≦ｘ≦４)を右のように定義するとき、次の関数のグラフを描け。
定義はこちらです。
ｆ(ｘ)＝２ｘ　　　(０≦ｘ≦２)
ｆ(ｘ)＝８−２ｘ　(２≦ｘ≦４)
(ア)ｙ＝ｆ(ｘ)
(イ)ｙ＝ｆ(ｆ(ｘ))
という問題です。
(ア)はできました。
(イ)に関してやったところめちゃくちゃなグラフができてしまいました。原因は範囲が違うところでした。
範囲の出し方について説明をよろしくお願いします。
No.241 - 2008/05/31(Sat) 00:27:10
☆ Re: はじめまして。 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
図 さん，おはようございます。
> (ア)はできました。
とのことですから
(イ)について
(ア)で 0≦f(x)≦2 つまり 0≦x≦1，3≦x≦4 のとき
f(f(x))＝2f(x)
2≦f(x)≦4 つまり 1≦x≦2，2≦x≦3 のとき
f(f(x))＝8−2f(x) となります。
したがって
0≦x≦1，1≦x≦2，2≦x≦3，3≦x≦4 に分ければよいと思います。
No.244 - 2008/05/31(Sat) 08:53:04
☆ Re: はじめまして。 / 図 ♂ [関東] [浪人生]
日があいてしまってすみません。
返信ありがとうございま
す。
(ア)ですと
普通に0以上2以下のときにｆ(ｘ)＝２ｘのグラフというようなものはイメージできるのですが、
(イ)の場合
まず
ｆ(ｘ)＝２ｘ　　　(０≦ｘ≦２)
ｆ(ｘ)＝８−２ｘ　(２≦ｘ≦４)
となっているからそこを
ｆ(ｆ(ｘ))＝２ｆ(ｘ)　　　(０≦ｆ(ｘ)≦２)
ｆ(ｆ(ｘ))＝８−２ｆ(ｘ)　(２≦ｆ(ｘ)≦４)
となおしたあとに
(０≦ｆ(ｘ)≦２)
(２≦ｆ(ｘ)≦４)
このｆ(ｘ)＝２ｘとｆ(ｘ)＝８−２ｘ
を１つにつき両方のグラフで範囲を直していくところがイメージできないんです。

最初やってしまったのは
(０≦ｆ(ｘ)≦２)
この範囲については
ｆ(ｘ)＝２ｘ
(０≦２ｘ≦２)⇒(０≦ｘ≦１)

(２≦ｆ(ｘ)≦４)
これについては
ｆ(ｘ)＝８−２ｘ
(２≦８−２ｘ≦４)⇒(２≦ｘ≦３)
と１つしか範囲をだしませんでした。

この操作について詳しくお願いいたしま。
No.269 - 2008/06/04(Wed) 00:56:07
☆ Re: はじめまして。 / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
0≦x≦2 で f(x)＝2x
0≦x≦1 のとき0≦f(x)≦2
f(f(x))＝2f(x)＝2･2x＝4x
1≦x≦2 のとき2≦f(x)≦4
f(f(x))＝8−2f(x)＝8−4x

2≦x≦4 で f(x)＝8−2x
2≦x≦3 のとき2≦f(x)≦4
f(f(x))＝8−2f(x)＝8−2(8−2x)＝4x−8
3≦x≦4 のとき0≦f(x)≦2
f(f(x))＝2f(x)＝2(8−2x)＝16−4x
No.270 - 2008/06/04(Wed) 01:15:15
☆ Re: はじめまして。 / 図 ♂ [関東] [浪人生]
やっとわかりました！
本当にありがとうございました！！
No.275 - 2008/06/05(Thu) 02:05:58
★ こんにちは / apricot ♀ [高校１年生]
こんにちは。
出典は、4STEP数学?T+A（数研出版）からの問題です。

点P(x,x^2)は、放物線y=x^2上の点で、2点A(-1,1)、B(4,16)の間にある。
このとき、△ABPの面積の最大値を求めよ。

グラフは放物線y=x^2と単純なので、分かるのですが、
どうやったら、△ABPの面積の最大値になるのか分からなくて……。
よろしくお願いします。
No.253 - 2008/06/01(Sun) 12:52:32
☆ Re: こんにちは / 七 ♂ [近畿] [社会人]
apricotさん，こんにちは。
直線ABの方程式はy＝3x＋4ですから
Pを通り，y軸に平行な直線との交点は(x，3x＋4)となります。

△ABP＝△APQ＋△BPQ
PQを底辺としてxを用いた式を作りましょう。
No.256 - 2008/06/01(Sun) 15:37:33
☆ Re: こんにちは / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
図には書いていますが
Pを通り，y軸に平行な直線と直線ABとの交点をQとします。
No.257 - 2008/06/01(Sun) 15:44:25
☆ Re: こんにちは / apricot ♀ [高校１年生]
遅くなってすいません。
△ABP=1/2x×{4-(-1)}=5/2xとなりました。
あの、続きを考えてみたんですが、
PQ=3x+4-x^2となって、
このまま式に入れて、ｙを△ABPの面積として
y=5/2(3x+4-x^2)=-5/2(x-3/2)^2+125/8
これでx＝3/2で最大値125/8となりました。
多分あっていると思うのですが、どうでしょう？
No.261 - 2008/06/01(Sun) 18:56:21
☆ Re: こんにちは / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
> △ABP=1/2x×{4-(-1)}=5/2xとなりました。
のxはPQのことですね。
答案にはxとはしない方がいいですよ。

それ以外はそれでOKです。
No.262 - 2008/06/01(Sun) 20:03:38
☆ Re: こんにちは / apricot ♀ [高校１年生]
分かりました。
ありがとうございます。
返信遅れてすいません。
No.265 - 2008/06/02(Mon) 18:11:31
★ お願いします / 有瑠 ♀ [高校１年生]
こんにちは。
高校1年生で習う数学?Tの連立不等式について質問があります。
これは学校の先生が出したプリントの問題です。

(x-1/3)+1＞(x+1)/2…?@
2x-a＜3x-1…?A
という連立不等式があります。
?@、?Aをともに満たす整数ｘがちょうど３個あるような
定数aの値の範囲を求めよ。

という問題です。
それぞれの不等式を解いてxの範囲を出してからやるのかなと思ったんですけど
結局aは残ってしまうので…
考えたんですけど、どうも解き方がわかりません。

よろしくお願いします。
No.254 - 2008/06/01(Sun) 13:20:00
☆ Re: お願いします / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
有瑠さん，こんにちは。

(1)の式を誤解しているかも知れませんが
(x-1)/3+1＞(x+1)/2 … (1)
2x-a＜3x-1 … (2)
(1)より
2(x−1)＋6＞3(x＋1)
x＜1
(2)より
x＞1−a
(1)(2)の連立不等式に解が存在するのは
1−a＜1 のときで
1−a＜x＜1 となります。
この範囲に整数がちょうど3つあればいいですね。
そしてその整数は−2，−1，0 の3つのはずです。−3＜1−a＜−2，
−3≦1−a＜−2，
−3＜1−a≦−2，
−3≦1−a≦−2
の4つのうちどれかを解けばいいのですが
どれが適当なのかを考えてみてください。
No.255 - 2008/06/01(Sun) 14:42:41
☆ Re: お願いします / 有瑠 ♀ [高校１年生]
七さん、回答ありがとうございます。

今回答を見ながら計算してみたところ
-3＜1-a≦-2
を使ったらできました。

これでわからない問題がなくなりました。
本当にありがとうございました。
No.258 - 2008/06/01(Sun) 15:49:14
☆ Re: お願いします / 七 ♂ [近畿] [社会人]
ちょっと待ってください。
正しいのは
−3≦1−a＜−2 で
3＜a≦4 が答ですよ。
No.259 - 2008/06/01(Sun) 17:18:18
☆ Re: お願いします / 有瑠 ♀ [高校１年生]
あっすいません!
書き間違いですっ
No.260 - 2008/06/01(Sun) 17:26:50
★ 平方根 / KAREN ♀ [外国] [高校2年生]

おはようございます。平方根の問題で質問があります。
よろしくお願いします。

3−√2の整数部分をaとし、小数部分をbとする。
（1）bの値を求めよ。
（2）a^2ab＋b^2−2a＋2b＋1の値を求めよ。

という問題なんですが、整数部分と小数部分の値の求め方が分かりません。
もし分かる方がいましたら、教えていただけませんか?
お願いします。
No.200 - 2008/05/27(Tue) 04:51:30
☆ Re: 平方根 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
KAREN さん，こんばんは。
一般にある数Nの整数部分は
ある整数nを用いて
n≦N＜n＋1 と表せるとき
Nの整数部分aはa＝n
小数部分 b＝N−aです。
1＜√2＜2 ですから
−2＜−√2＜−1
では
n≦3−√2＜n＋1 を満たす整数nはいくつでしょう。
No.202 - 2008/05/27(Tue) 17:30:56
☆ Re: 平方根 / KAREN ♀ [外国] [高校１年生]

返信遅くなってしまってすみません。

ｎ＝１だと思います。
No.251 - 2008/06/01(Sun) 08:59:25
☆ Re: 平方根 / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
> ｎ＝１だと思います。

その通りですね。
したがって a＝1 ですから
b＝3−√2−1＝2−√2
です。
(2)はa^2とabの間に＋か−が抜けているのではないかと思いますが
bを含み項と含まない項に分けて整理し，a＝1，b＝2−√2
を代入すればいいですね。
No.252 - 2008/06/01(Sun) 11:11:40
★ こんばんは！ / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
aは定数とする。関数ｆ(x)=x^3+3x^2-6ax+1の-1≦x≦1
における最小値を求めよ。

という問題があります。
まず、微分して、ｘを求めると、ｘ＝-1√(1+2a)となりました。

そこで、a≦-1/2,-1/2<a<2/3,a≧3/2に場合分けしたのですが、
テキストの解答と私の解答が一致しません。テキストの解答は、

a≦-1/2のとき、6a+3
-1/2<a<2/3のとき、6a+3-2(2a+1)^(3/2)
a≧3/2のとき、5-6aとなっています。

各々の解答の過程を解説していただきたいです。
よろしくおねがいいたします。
No.191 - 2008/05/25(Sun) 19:53:06
☆ Re: こんばんは！ / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
アキバさん，こんにちは。

アキバさんがどこで間違えているのかわかりませんので，アキバさんの解答を書き込んでいただけますでしょうか。
No.199 - 2008/05/27(Tue) 01:40:03
☆ Re: こんばんは！ / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
新矢先生いつもお世話になってます。

ごめんなさい。x=-1±√(1+2a)でした。

答えが合わないのは、a≧3/2のときでminはx=-1+√(1+2a)の
ときより、f(x)に代入してみたら、√が余ってしまいます。

計算ミスでしょうか？
No.208 - 2008/05/27(Tue) 23:53:57
☆ Re: こんばんは！ / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

＞f(x)に代入してみたら

　{-1+√(1+2a)}^3+3{-1+√(1+2a)}^2-6a{-1+√(1+2a)}+1
を展開したということでしょうか？
そんなことしたら，計算間違いをしないほうがおかしいです。

微積分（特に微分）は他の単元の知識を使う問題が多いです。
この問題の最後の　f(-1+√(1+2a))　の計算は，例えば次のような数II の「整式の除法」で学習した基本問題と同じですね。

『x=1-√5　のとき，x^4-5x^2-15x+1　の値を求めよ』
この問題の解き方はOKですか？
No.214 - 2008/05/28(Wed) 14:30:49
☆ Re: こんばんは！ / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは！

x-1=-√5と移行して、二乗するんですよね？
No.217 - 2008/05/28(Wed) 21:38:08
☆ Re: こんばんは！ / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
そうですよ。その後は？
No.219 - 2008/05/28(Wed) 23:30:17
☆ Re: こんばんは！ / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
そのまま代入。。。？ですか？
No.229 - 2008/05/30(Fri) 02:08:20
☆ Re: こんばんは！ / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

(x^4-5x^2-15x+1)÷(x^2-2x-4)　を計算します。
今手元にないので確認できませんが，ニューアクションβにも載っているはずです。
No.235 - 2008/05/30(Fri) 14:31:09
☆ Re: こんばんは！ / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
こんにちは。

その方法でやってみましたが、
-4ax-2x-2a+1が残ってしまいます。

この次はどうすればよいのでしょう？
No.248 - 2008/05/31(Sat) 17:30:42
☆ Re: こんばんは！ / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
ごめんなさい。解決しました。というか、勘違いでした。

minがx=-1+√(1+2a)になるのは、
-1/2＜a＜3/2のときでした。

新矢先生の貴重なお時間を無駄に消費させて
しまって申し訳ございませんでした。
No.249 - 2008/05/31(Sat) 17:43:15
★ こんばんは！ / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
前回質問したのは随分前になりますが、二回目の質問です。

このHPでも、お薦めの参考書に挙がっている　標準問題精構?T・Aからの問題なのですが、

標問62
nは2≦n≦10なる自然数とする。(1+x)^n　の展開式のx^r-1,x^r,x^r+1の項の係数がこの順序で等差数列となるようなrがあるとき、nの値を求めよ。(旭川医大)

[解]
(1+x)^nの展開式のx~r-1,x^r,x^r+1の係数である
nCr-1,nCr,nCr+1がこの順に等差数列をなす条件は、
2nCr=(nCr-1)+(nCr+1)
よって、
2×n!/{r!(n-r)!}=n!/(r-1)!(n-r+1)! + n!/(r+1)!(n-r-1)!

ここまでは、理解できたのですが、この後、どう計算していけばいいのか、解説を読んでもよく分かりません。よろしくお願いします。
No.225 - 2008/05/29(Thu) 22:12:59
☆ Re: こんばんは！ / 七 ♂ [近畿] [社会人]
k-700 さん，おはようございます。このあとは分かりますか？
No.232 - 2008/05/30(Fri) 08:59:58
☆ Re: こんばんは！ / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
おはようございます。返信ありがとうございます。
この後は、両辺を展開して整理して、nの値を出し、この値が条件に合うかどうかを調べればいいですか？
No.233 - 2008/05/30(Fri) 12:47:29
☆ Re: こんばんは！ / 七 ♂ [近畿] [社会人]
> おはようございます。返信ありがとうございます。
> この後は、両辺を展開して整理して、nの値を出し、この値が条件に合うかどうかを調べればいいですか？

展開して整理した式の処理が少し特殊だと思いますので
とりあえず，整理してみてください。
No.234 - 2008/05/30(Fri) 13:00:55
☆ Re: こんばんは！ / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
展開して整理してみると、
　(2r-n)^2=n+2 となり、左辺が２乗でであるので、右辺のn+2が平方の数になり、条件から2≦n≦10より　4≦n+2≦12であるから、n+2=4,9　よって、n=2,7 ここから、n=2,7のそれぞれの場合が条件を満たすかどうかについて考えようと思ったのですが、rの条件がいまいちよく分かりません。どのように考えたらよいのでしょうか？
No.236 - 2008/05/30(Fri) 19:35:58
☆ Re: こんばんは！ / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
nについてはそれでいいですね。
r−1 と r＋1 も存在しなければならないので
1≦r≦n−1
となります。
No.237 - 2008/05/30(Fri) 20:13:04
☆ Re: こんばんは！ / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
じゃあ・・・　
n=2のとき、(2r-2)^2=4
2r-2 = ±2 よって、r=0,2 となるが、1≦r≦n-1であるので、1≦r≦1であるから、r=0,2は不適。よって、n=2は条件に合わない。

n=7のとき、(2r-7)^2=9
2r-7 = ±3 よって、r=2,5 となる。 1≦r≦n-1であるので、1≦r≦6であり、r=2,5はこの範囲を満たす。よって、n=7は条件に適する。

以上から、求めるnの値は、　n=7

こんな感じでどうですか？　1≦r≦1の部分がちょっと微妙かなと思うのですが・・・
No.239 - 2008/05/30(Fri) 21:05:10
☆ Re: こんばんは！ / 七 ♂ [近畿] [社会人]
それでOKです。
1≦r≦1 は r＝1 と同値です。
No.240 - 2008/05/30(Fri) 23:47:40
☆ Re: こんばんは！ / k-700 ♂ [東海] [高校3年生]
おはようございます。
丁寧な解説本当にありがとうございました。疑問は全てなくなりました。またよろしくお願いします。
No.245 - 2008/05/31(Sat) 09:55:57
☆ Re: こんばんは！ / 七 ♂ [近畿] [社会人]
遅くなったかも知れませんが
r＝1 のときは r−1＝0になりますから
定数項をx0の係数と見なすのであれば
1≦r≦n−1ですが
定数項を含めないのであれば
2≦r≦n−1
でした。
申し訳ない。
No.247 - 2008/05/31(Sat) 11:34:57
★ はじめまして / ユースケ ♂ [東海] [高校3年生]
はじめまして
数研出版のクリアー受験編の問題です(広島修道大２００３でもあります)

問題)あるクラスの生徒４０人に、英語・数学・国語の試験を行ったところ、英語が６０点以上の生徒は２３人、数学が６０点以上の生徒は１８人、国語が６０点以上の生徒は２０人であった。このとき、英語と数学がともに６０点以上の生徒は、少なくともア□人、多くてイ□人である。数学と国語がともに６０点未満の生徒の人数は、数学と国語がともに６０点以上の生徒数よりもウ□人多くなる。
□アイウを求めよ。
No.209 - 2008/05/28(Wed) 00:58:47
☆ Re: はじめまして / ユースケ ♂ [東海] [高校１年生]
すいません
注意書きを見落としてました
アイ□はわかったのですがウ□がわからなくなりました
とりあえず数学、国語で６０点以上取った人の全体の集合をそれぞれA、Bとおき
関係式ｎ(A∩B)＝ｎ(A)＋ｎ(B)−ｎ(A∪B)＝３８−ｎ(A∪B)
というところまで考えました
この先がわかりません
どうかおねがいします。
No.218 - 2008/05/28(Wed) 23:27:59
☆ Re: はじめまして / 七 ♂ [近畿] [社会人]
ユースケさん，おはようございます。
一番簡単な考え方をしてみましょう。
数学･国語ともに60点以上の生徒が0人だったら
ともに60点未満の生徒は何人でしょう？
次に
ともに60点以上の生徒が1人，2人，…だったら。
No.222 - 2008/05/29(Thu) 08:43:08
☆ Re: はじめまして / ユースケ ♂ [東海] [高校１年生]
ともに６０点以上が０人だったらともに６０点未満は２人ですかね？？
１人の場合は３人、２人の場合は４人ですよね
解答としてはどんな感じに答案書けばいいですか？
おしえてください
No.227 - 2008/05/29(Thu) 23:37:42
☆ Re: はじめまして / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
他にもあるかも知れませんが
No.231 - 2008/05/30(Fri) 08:10:19
☆ Re: はじめまして / ユースケ ♂ [東海] [高校１年生]
七さん
ありがとうございます
よくわかりました
またよろしくお願いします
No.246 - 2008/05/31(Sat) 10:39:35
★ お久しぶりです / キャベツ ♀ [甲信越] [高校１年生]
おはようございます。
二回目になります。
宜しくお願いします。

複利計算と等比数列についてです。

毎年度初めにa円ずつ積み立てると、n年度末には元利合計はいくらになるか。
年利金をr、一年ごとの複利で計算せよ。


学校で説明していただいたのですが、学校では文字のところに数字を入れてやりました。
そしたら余計混乱しました…。


宜しくお願いします。
No.242 - 2008/05/31(Sat) 07:21:00
☆ Re: お久しぶりです / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
キャベツさん，おはようございます。

まず1年目のはじめに
a円を預けますがこれには1年目の終わりに
元利合計 a(1＋r) 円になります。
このあとすぐ2年目のはじめにまたa円を預けますから
a＋a(1＋r) 円になり，[ここでa＋a(1＋r)＝a(2＋r)とはしないで]
2年目の終わりには元利合計は
{a＋a(1＋r)}(1＋r)＝a(1＋r)＋a(1＋r)^2 円になります。
このように考えていくと
n年目の終わりには元利合計は
a(1＋r)＋a(1＋r)^2＋a(1＋r)^3＋…＋a(1＋r)^n円
となります。
これは初項 a(1＋r)，公比 (1＋r) の等比数列の
初項から第n項までの和を表す式です。
No.243 - 2008/05/31(Sat) 08:47:16
★ こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
出典は岐阜大04です。

a_1=2,a_(n+1)=(a_n)/2+1/(a_n) (n=1,2,・・・)で定義される数列{a_n}について
(1)a_n≧√2(n=1,2,・・・)を示せ。
(2)a_(n+1)-√2≦{(a_n)-√2}/√2(n=1,2,・・・)を示せ。
(3)lim_{n→∞}a_nを求めよ。

(1)は数学的帰納法と相加・相乗平均で示せたのですが、(2)で
a_(n+1)-√2=(a_n)/2+1/(a_n)-√2={(a_n)-√2}^2/2a_n
となったあとにどう証明すれば良いのかわからないので、教えて下さい。
よろしくお願いします。
No.196 - 2008/05/26(Mon) 21:16:42
☆ Re: こんばんは＾＾ / kinopy [近畿] [塾講師]
亮さん，こんばんは。

出典の問題は確認できていないのですが，(2)の問題はa_(n+1)-√2≦{(a_n)-√2}/2ではないですか？

示そうとするとそうしまったのですが…
もしそうなら，後一歩ですよ^^亮さんの書き込み通りなら，もう一度考えてみますので（汗）その旨書き込み願います。

以下，a_(n+1)-√2≦{(a_n)-√2}/2として回答します
> a_(n+1)-√2=(a_n)/2+1/(a_n)-√2={(a_n)-√2}^2/2a_n…※
でいい感じの式が出てきてるのはＯＫですね？

以下，計算欄で考えることですが…
今，示したいのは「a_(n+1)-√2≦{(a_n)-√2}/2」
※より，{(a_n)-√2}^2/2a_≦{(a_n)-√2}/2　を示したいのです。
(1)から(a_n)-√2≧0ですから，結局　0≦{(a_n)-√2}/{2(a_n)}≦1/2を示せばＯＫですね。


初回はここまでにしておきます。
√2なのかなぁ…(^_^;)
No.211 - 2008/05/28(Wed) 03:48:02
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
えっと、たくさん書いてもらってスミマセンが「√2」です。。
No.212 - 2008/05/28(Wed) 07:11:16
☆ Re: こんばんは＾＾ / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

問題について考える前に，会社で該当問題を収録した本がないか探してみました。
すると「1対1対応の数学」という本に岐阜大・教育からの出題として{(a_n)-√2}/2が載っていました。
この本は問題を変更した場合は「改題」と明記してあるので，元の問題のままだと思います。

亮さんはこの問題をどこで見られたのでしょうか？
出版されている本なら書名を教えてください。
また，学校の先生からのプリントなら，先生に問題が正しいか確認していただけますか？
No.220 - 2008/05/28(Wed) 23:44:39
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
数研出版のベーシックスタイル数学演習?V・Ｃ受験編です。
問題はp12のComplete20です。
No.221 - 2008/05/29(Thu) 07:04:06
☆ Re: こんばんは＾＾ / kinopy [近畿] [塾講師]
こんにちは。

どうやら学校専用教材のようですね。
では，√2で正しいってことで進めます。
ただ，√2だと何の話もないただの不等式の証明問題になっちゃうのですが…(-_-;)

不等式の証明の基本は「差を取って0と比べる」のはいいですね？
{(a_n)-√2}^2/2a_n≦{(a_n)-√2}/√2(n=1,2,・・・)を示します。

{(a_n)-√2}/√2-{(a_n)-√2}^2/2a_nを通分したときの分子をAとして
A=2a_n(a_n-√2)-√2(a_n-√2)^2
=(a_n-√2){2a_n-√2(a_n-√2)}
=(a_n-√2){(2-√2)a_n+2}

ここで，a_n≧√2，2-√2＞0ですからA≧0です。
また，分母も正ですから{(a_n)-√2}/√2-{(a_n)-√2}^2/2a_n≧0
したがって，{(a_n)-√2}^2/2a_n≦{(a_n)-√2}/√2
すなわち，a_{n+1}-√2≦{(a_n)-√2}/√2　が示せました。
No.224 - 2008/05/29(Thu) 16:26:46
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
学校の先生の回答はこうでした。

a_(n+1)-√2
=(a_n)/2+1/(a_n)-√2
={(a_n)-√2}^2/2a_n
=(a_n-√2)/√2a_n×(a_n-√2)/√2
ここで(a_n-√2)/√2a_n=1/√2-1/a_n<1/√2<1
だからa_n-√2を考えると
a_(n+1)-√2≦{(a_n)-√2}/√2

なんかわかりにくくて良い回答じゃないと僕は思うのですが、
どうでしょうか？

kinopy先生の回答の方がやはり模範的と感じます。。
No.226 - 2008/05/29(Thu) 22:36:38
☆ Re: こんばんは＾＾ / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

学校の先生には申し訳ないのですが，間違ってます(^_^;)
> a_(n+1)-√2≦{(a_n)-√2}/√2
は成り立たたないですね。

1<√2ですから，1>1/√2
両辺に a_n-√2(≧0)をかけて　a_n-√2≧(a_n-√2)/√2　ですからこの方法では証明は無理です。

そもそも，これは問題が悪いです。学校の先生も戸惑ったのでしょう。
前半のレスで「問題が間違っていないか」に私がこだわったのは，この問題を証明するには私の方法が妥当ですが，(2)がなく(1)の後(3)を考えるとすれば(2)の不等式なんか思いつきませんよね？

しかし，私の言っていった問題だとすれば
a_{n+1}-√2={(a_n)-√2}^2/2a_n=(a_n-√2)×(a_n-√2)/2a_n
ですから，(a_n-√2)/2a_nのとりうる値の範囲を考えれば
(a_n-√2)/2a_n=1/2-1/(√2a_n)
ここで，(1)より　
a_n≧√2　⇔　0<1/a_{n}≦1/√2　⇔　0<1/(√2a_n)≦1/2　⇔　0>-1/(√2a_n)≧-1/2
よって　0≦1/2-1/(√2a_n)<1/2　すなわち　0≦(a_n-√2)/2a_n<1/2
この両辺に a_n-√2≧0をかけて　(a_n-√2)^2/2a_n≦(a_n-√2)/2
と(2)が得られます。

私が今回，回答するにあたって(2)のあと亮さんに伝えたかったのはこの方法なんです^^
でも，問題が√2ですから前回のレスで
>√2だと何の話もないただの不等式の証明問題になっちゃうのですが…(-_-;)
と書いたのです。「受験数学的には解説の意味が半減する」ってことですね(^_^;)

いかがでしょう？
No.230 - 2008/05/30(Fri) 02:21:18
☆ Re: こんばんは＾＾ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
なるほど。わかりました。
kinopy先生、詳しい解説ありがとうございました！！

もしかしたら、出版社側のミスかもしれませんね・・。
No.238 - 2008/05/30(Fri) 20:18:14
全1160件 [ ページ : << 1 ... 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 >> ]