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★ はじめまして / トキハ ♂ [中国] [浪人生]
はじめまして、トキハといいます。
数学の問題を解いていて疑問が生じたので書き込みました。
よろしくお願いします。

「坂田アキラの医療看護系入試数学Ｉ・Ａが面白いほどわかる本」をやってたんですが、71Ｐの22-2に

任意の実数ｘに対して、−ｘ2−2ax+3a＜0となるような実数aの値の範囲を求めよ。


という問題があります。これと同じような問題で任意の実数の部分が全ての実数と書かれている問題があります。そちらは理解できて解けるんですが、任意の実数と書かれているほうはよくわかりません。答えを読んでみると解き方が同じなんです。任意の実数というのは全ての実数と同じような意味なんでしょうか？

よろしくお願いします。
No.216 - 2008/05/28(Wed) 19:13:15
☆ Re: はじめまして / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
トキハさん，おはようございます。
> 任意の実数というのは全ての実数と同じような意味なんでしょうか？
同じ意味と考えて差し支えありません。
No.223 - 2008/05/29(Thu) 09:04:37
☆ Re: はじめまして / トキハ ♂ [中国] [浪人生]
はじめまして、七さん。

>> 任意の実数というのは全ての実数と同じような意味なんでしょうか？
>同じ意味と考えて差し支えありません。

先ほど同じ意味と考えて問題をやってみたいんですが、解けました。
ありがとうございました。
No.228 - 2008/05/30(Fri) 01:37:04
★ ２次関数のグラフ / かほ ♀ [東海] [高校3年生]
こんばんは。ウイナー３の２次関数の問題で質問があります。
よろしくお願いいたします。
　　　　　　　
２次関数ｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ（ｃ＝０でない）のグラフが
第１,２，３象限を通るが第２象限を通らないとき、
定数ａ,ｂ，ｃとｂ＾２−４ａcの正負を判定せよ。
　
という問題なのですが、どんなときに第２象限をとおらないのかよくわかりません。
この問題の求め方がわかる方がいましたら、どうか教えてください。
お願いします。
No.203 - 2008/05/27(Tue) 19:07:21
☆ Re: ２次関数のグラフ / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [学校教員]
おこんばんは．さっそくいきます．

＞第１,２，３象限を通るが第２象限を通らないとき、
　これ，変ですね．
　「第１，３，４象限は通るが」と思って回答します．
　違っていたら書き込んでください．

この問題は，グラフをかいて考えます．
かほさん，実際に計算用紙か何かにかいてください．
第１，３，４象限は通るけれど第２象限を通らないようにかいてくださいね．
グラフは，上下のどちらに凸になりますか？
No.207 - 2008/05/27(Tue) 22:12:16
★ (No Subject) / HIROKO ♀ [甲信越] [社会人]
こんばんは。不等式の問題の大小比較で質問があります。
よろしくお願いいたします！

-1-√5/2　と　-5/3　ではどちらが小さいでしょうか？
また、求め方も一緒に教えていただけませんか？？

お願いします。
No.197 - 2008/05/26(Mon) 23:26:17
☆ Re: / HIROKO ♀ [甲信越] [高校１年生]
> こんばんは。不等式の問題の大小比較で質問があります。
> よろしくお願いいたします！
>
> (-1-√5)/2　と　-5/3　ではどちらが小さいでしょうか？
> また、求め方も一緒に教えていただけませんか？？
>
> お願いします。
No.198 - 2008/05/26(Mon) 23:27:37
☆ Re: / 七 ♂ [近畿] [社会人]
HIROKOさん，こんにちは。

2数の大小比較は特別な場合は除いて
A−B＞0 なら A＞B
A−B＝0 なら A＝B
A−B＜0 なら A＜B
です。
引き算をして答が正になるか負になるかを判断しましょう。
No.201 - 2008/05/27(Tue) 10:40:24
★ こんにちわ / さえこ ♀ [東北] [高校１年生]
２回目の書き込みになります、よろしくおねがいします!

2002年青山学院大の問題です。

次の数列に関し、下の問いに答えよ.
*Sn=1+2+2^2+…+2^(n-1)
*Pn=1+2・2+3・2^2+…+n・2^(n-1)
*Qn=1+3・2+5・2^2+…+(2n-1)・2^(n-1)
*Rn=1+2^2・2+3^2・2^2+…n^2・2^(n-1)
(1)Sn=(ア)^n+(イ)である.
(2)Pn=n(ウ)^n+(エ)Snである.
(3)Qn=(オ)Pn+(カ)Snである.
(4)Rn=n^2(キ)^n+(ク)Qnである.
(5)以上のことから
Rn=(n^2+(ケ)n+(コ))(サ)^n+シを得る.

という問題が分かりません。
これは(等差)×(等比)型の問題なんでしょうか？
(1)はSn-2Snで解けるような気がしたので
やってみたのですが途中で計算ミスをしているのか
それとも考え方が間違っているのかうまく
いきませんでした、、
どなたか教えてください!
よろしくお願いします。
No.184 - 2008/05/25(Sun) 17:31:14
☆ Re: こんにちわ / londontraffic ♂ [教育関係者]
さえこさん，こんにちは？こんばんは？
普通この時期の高１で数列はあり得ないので，中等４年生でしょうか．
カキコ見ていると，等差，等比数列とシグマ計算が既習ですね．

まず(1)を
>これは(等差)×(等比)型の問題なんでしょうか？
と考えたのは何故でしょう．
この問題では(2)，(3)が等差×等比型ですが，(1)は高々等比数列の和です．

いかがでしょうか？
No.185 - 2008/05/25(Sun) 18:03:36
☆ Re: こんにちわ / さえこ ♀ [東北] [高校2年生]
londontrafficさん、返信ありがとうございます。
すみません、高校１年ではなく２年です＞＜
間違ってしまいました。

(1)は等比数列の和ですね…
早とちりしてしまいました。
では(1)は2^n-1でいいんでしょうか？
No.193 - 2008/05/25(Sun) 21:19:36
☆ Re: こんにちわ / londontraffic ♂ [教育関係者]
レス遅くなってすいません．

>では(1)は2^n-1でいいんでしょうか？
初項１公比２の等比数列の初項から第n項までの和ですから，1･(2^n-1)/(2-1)=2^n-1で正解です．
No.195 - 2008/05/26(Mon) 06:48:27
★ 2次関数 / apricot ♀ [高校１年生]
こんにちは。質問、お願いします。
出典は、4STEP数学?T+A（数研出版）からの問題です。

関数y＝-x^2+2ax(0≦x≦1）の最大値をM(a)とする。
a＜0，0≦x≦1，1＜aの各場合について、M(a)を求めよ。

とりあえず、平方完成をしてみてしたもののそれ以上進めなくなってしまいました。
よろしくお願いします
No.180 - 2008/05/25(Sun) 15:36:20
☆ Re: 2次関数 / londontraffic ♂ [教育関係者]
apricot さん，こんばんは．
>平方完成をしてみてしたもののそれ以上進めなくなってしまいました。
では，平方完成した結果と放物線の軸の方程式をカキコしてください．
よろしくお願いします．
No.187 - 2008/05/25(Sun) 18:44:01
☆ Re: 2次関数 / apricot ♀ [高校１年生]
y=-(x-a)^2+a^2で放物線の軸はx=aになりました。
No.189 - 2008/05/25(Sun) 19:00:14
☆ Re: 2次関数 / londontraffic ♂ [教育関係者]
okです．では次にいきましょう．
図を作ったので，見てくださいね．

>a＜0，0≦x≦1，1＜aの各場合について、M(a)を求めよ。
と誘導がついていますので，それに従ってみましょう．
まず，a<0のときです．
関数の定義域は0≦x≦1なので，軸は定義域の左側にあります．
（図１を参照してください）
今回の関数のグラフは上に凸の放物線になり，
あ）定義域外に軸があるときは軸から近い端点
い）定義域内に軸があるときは頂点
が最大値をとる場所になります．
a<0のときは，あ）のときで，近いのはx座標が0である(0,0)が最大値をとるポイント．
すなわちx=0で最大値0をとります．

放物線の軸や定義域が動く２次関数では，グラフの形状（上に凸・下に凸）や定義域と軸の関係で，場合分けが必要になります．0≦x≦1，1＜a の場合についても図２，３を参照して考えてみてください．

いかがでしょうか？
No.192 - 2008/05/25(Sun) 20:27:51
☆ Re: 2次関数 / apricot ♀ [高校１年生]
丁寧に答えてくれて有難うございます。
お陰様で解けました。わざわざグラフまでかいてもらって……。
本当に有難うございました。
No.194 - 2008/05/25(Sun) 21:42:49
★ 場合の数 / ドラゴン ♂ [近畿] [高校2年生]
初めまして。いつも見させてもらってます。
質問があります。
確率が本当によく分かる本(細野シリーズ)の練習７で疑問が出ました。

(問題)
n人が３つの部屋のいずれかに入る。どの部屋にも少なくとも１人は入る。
部屋に区別がないものとして何通りあるか求め
(本の解答)
部屋が区別のあるものとして・・
「空きがあってもなくてもよい」・・3^n通り
「空き１つ」・・3(2^n-2)通り
「空き２つ」・・３通り
よって、空きがない場合・・3^n-3(2^n-2)-3通り
ゆえに部屋に区別がない場合は空きがない場合に3!で割ったものになる
って感じなんですが・・。
(僕の解答)
部屋が区別ないものとしたまま考えて・・
「空きがあってもなくてもよい」・・3^n÷3!通り
「空きが１つ」・・3(2^n-2)÷3!通り
「空きが２つ」・・１通り
これより空きがない場合を求めました。

「空きがあってもなくてもよい」「空きが１つ」については結果論同じ意味をもつ数値になりました。
が・・。「空きが２つ」に関しては本の解答と僕の解答で意味あいが異なってます。
僕の何が間違っているんでしょうか。
本の解答だと３つの部屋に区別がない条件の下での「空きが２つ」は3!で割った２分の１が答えになってしまい気がするんですが。
No.168 - 2008/05/25(Sun) 10:43:35
☆ Re: 場合の数 / 七 ♂ [近畿] [社会人]
ドラゴンさん，こんにちは。

> (僕の解答)
> 部屋が区別ないものとしたまま考えて・・
>「空きがあってもなくてもよい」・・3^n÷3!通り

これは整数にはならないと思います。
No.169 - 2008/05/25(Sun) 13:09:24
☆ Re: 場合の数 / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
僕の方法で、3^n÷3!−3(2^n-2)÷3−１でやって同じ答えになりますか??
ならない気がするんですが・・
No.170 - 2008/05/25(Sun) 13:36:05
☆ Re: 場合の数 / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
3^n÷3! が整数にならないので
3^n÷3!−3(2^n-2)÷3！−１は整数にはなりませんから
正しい答ではありません。
No.173 - 2008/05/25(Sun) 14:17:41
☆ Re: 場合の数 / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
本の最終解答は
3^n-3(2^n-2)-3／3!・・・・・・?@
です。(簡単にすると3^n-3･2^n+3／3!ですが)
すなわち?@を分解すると、
(3^n／3!)＋{-3(2^n-2)／3!}＋(-3／3!)・・・・・?A
になりますよね??
僕の解答でいくと全ての場合のミックスして
(3^n／3!)＋{−3(2^n-2)／3!)−１・・・・・?B
になります。?A、?Bではやはり(-3／3!)と(−１)の部分だけ違います。

?Aは正答とするならば3^n／3!って部分は正しいんでないんでしょうか。
僕には?Aの(-3／3!)部分と?Bの(−１)部分が違うだけにしか見えないんですが・・
No.175 - 2008/05/25(Sun) 15:00:36
☆ Re: 場合の数 / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
(2)は全体で整数になりますが
(3)は全体で整数になりませんから
(3)は間違いです。少なくともこのことは理解できなくては困ります。
No.176 - 2008/05/25(Sun) 15:10:17
☆ Re: 場合の数 / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
結果論としての理屈は理解できます。
ようするに
?Bは整数にならないから間違い
　　　　↓↓
僕の解答の「空きが２つ」が１通り
って言うのが間違えになっているんですよね。
それは分かるんです。
ここが3/3!にならないといけない。
答えはわかりますが、「部屋を区別しない」まま考えようとするとどうしても
「空きが２つ」の場合が１通りになってしまうんです。。。。

区別しない部屋が　●　　●　　●(●は部屋)だとすると
３つの●のいずれかにn人が入る。
すなわちｎ人の全員が同じ●に入る。しかも部屋は区別されない。
だから３÷３＝１。こうなってしまいます。
No.178 - 2008/05/25(Sun) 15:24:33
☆ Re: 場合の数 / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
＞ ここが3/3!にならないといけない。
ではありません。
空き部屋が2つになるときだけが
部屋を区別しないときは1通り，部屋を区別したときは3通りになり
それ以外のどんな分け方も
部屋を区別しないときの1通りは，部屋を区別するとき3！通りになるのです。
(3^n−3)/3!＋{−3(2^n-2)／3!)
ならばあっています
No.181 - 2008/05/25(Sun) 15:42:59
☆ Re: 場合の数 / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
なるほど。間違っている部分を勘違いしてました。結構分かってきました。
ただ・・。
(3^n−3)/3!＋{−3(2^n-2)／3!)
の
(3^n-3)/3!
とは部屋を区別しない時の「空きがあってもなくてもよい」場合の数ですよね?
-3っていうのは何なんでしょうか。
No.182 - 2008/05/25(Sun) 17:14:18
☆ Re: 場合の数 / 七 ♂ [近畿] [高校１年生]
(3^n−3)/3!
は部屋を区別しない時の「空きがあってもなくてもよい」から「空きが2つ」を引いた場合の数です。
「空きがあってもなくてもよい」なら
{(3^n−3)/3!}＋1 または (3^n＋3)/3!
です。
部屋を区別しない時の「空きがあってもなくてもよい」の場合の数をNとすると
3！(N−1)＋1･3＝3^n ですからね。

これを使えば
(3^n＋3)/3! −3(2^n-2)÷3! −1
が答になります。
No.186 - 2008/05/25(Sun) 18:34:14
☆ Re: 場合の数 / ドラゴン ♂ [近畿] [高校１年生]
やっと理解できました。ありがとうございます!!
やっぱり本の通り、区別があるとして考えた上で３！で割った方がシンプルでやりやすそうですね
No.190 - 2008/05/25(Sun) 19:12:35
★ こんばんは！ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
この問題がわからなくなったので教えて下さい。
よろしくお願いします。。

関数f(x)=int_{0}^{x}(xcost-sint)dt (0≦x≦2π)について次の各問に答えよ。
(1)f(x)を微分せよ。
(2)f(x)の最大値と最小値、およびそのときのxの値を求めよ。

(1)ではf(x)=xsinx+cosx-x-1となって、f'(x)=xcosx-1となったのですが、
(2)からどのように求めればいいのかわかりません。
増減表から図を考えた方がいいのでしょうか？
f'(x)=0のときのxの値が出ないので不安です。
No.89 - 2008/05/17(Sat) 23:41:17
☆ Re: こんばんは！ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
亮さん、こんばんは。河童です。

亮さんは、まず f(x) を求め、それを微分されていますね。
もちろんそれでいいのですが（なんだか気になる言い方ですよね。その理由はあとで)、
それならば、f(x) が間違っているようですね。
もう一度計算してみてください。
No.93 - 2008/05/18(Sun) 03:16:18
☆ Re: こんばんは！ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
スイマセン、、f(x)=xsinx+cosx-1となって、f'(x)=xcosxでした。

このあとは２回目の微分をすべきなんでしょうか？？
No.114 - 2008/05/19(Mon) 20:48:27
☆ Re: こんばんは！ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
亮さん、こんばんは。

＞　f(x)=xsinx+cosx-1となって、f'(x)=xcosx

そうですね。その通りです＾＾

ところで、亮さんは、何故２階微分をしなければならないのではと考えたのでしょう。
ちょっと気になりますので、回答の前にその理由を教えてくださいますか？

もしこの質問に答え難いのなら、２階微分をしなければならないのは、どんな場面なんでしょう。
亮さんの分かる範囲で結構ですので答えていただけますか？
No.138 - 2008/05/21(Wed) 01:22:15
☆ Re: こんばんは！ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
グラフの概形を書くときに増減表が必要ですよね？
そのときに２階微分も書いてあれば概形を書くのが楽になると思って・・・。

・・というか、僕自身そこがわかりません。
２階微分が必要なときの場面が、、
No.143 - 2008/05/21(Wed) 20:36:58
☆ こんにちは / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
亮さん、こんにちは。
返事がたいへん遅くなり、申し訳ありません。

＞　グラフの概形を書くときに増減表が必要ですよね？
＞　そのときに２階微分も書いてあれば概形を書くのが楽になると思って・・・。

そうですね。
確かに増減表が必要で、そのために導関数を求めたわけですね。
ただ、どの程度の増減表が必要かということについては、問題の内容によって異なります。

本問の場合はどうでしょうか？

本問の場合は、単に最大値、最小値を求めよということですので、
極値、あるいは、定義域の端での関数値さえ分かれば十分ですよね。

ということは、元の関数の増減が分かればいいわけです。
元の関数の増減を知るためには、導関数の正負が明らかになればいいですね。
ですから、亮さんが求めた、

＞　f'(x)=xcosx

この関数の正負を考えること、それがいますべきことなんですね。
No.183 - 2008/05/25(Sun) 17:24:12
☆ Re: こんばんは！ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
なるほど。解決しました。
河童先生ご回答ありがとうございました！！
No.188 - 2008/05/25(Sun) 18:46:39
★ 放物線 / うた ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんわ。さっそく質問です。ウィナー3の問題です。

点Pと点Qはそれぞれy=x^2+2x+2と直線y=x-1の上を動くものとする。
線分PQの長さの最小値とその最小値をあたえる点P,Qの座標を求めよ。

P(t,t^2+2t+2)からy=x-1に垂線PHを下ろしたときのPHの長さまでは出ました。
どなたかよろしくお願いします。
No.164 - 2008/05/25(Sun) 00:32:02
☆ Re: 放物線 / londontraffic ♂ [教育関係者]
うたさん，おはようございます．

>PHの長さまでは出ました。
方針はそれで結構です．その長さをカキコしてください．お願いします．
No.166 - 2008/05/25(Sun) 06:00:32
☆ Re: 放物線 / うた ♀ [近畿] [高校3年生]
こんにちわ。返信ありがとうございます。

点と直線の距離の関係より
PH=|-t^2-t-3|/√2

となりました。　
No.171 - 2008/05/25(Sun) 13:58:31
☆ Re: 放物線 / londontraffic ♂ [教育関係者]
okです．それでは次にいきましょう．

絶対値の中の式は２次式ですので，２次関数と同様に平方完成で最大値・最小値が求められます．
このままでも出来ますが，任意の実数について　|-a|=|a|　となりますから
|-t^2-t-3|=|t^2+t+3|とした方が計算しやすいと思います．

PH=|-t^2-t-3|/√2=|(t+1/2)^2+13/4|/sqrt{2}・・・（あ）
ここで，(t+1/2)^2+13/4 はt=-1/2のとき最小値13/4をとるので，絶対値の中は常に正です．
なので，PH={(t+1/2)^2+13/4}/sqrt{2}まで変形して（絶対値を外して）最小値を求めた方が丁寧ですが，（あ）でもPHの最小値13/4sqrt{2}=13sqrt{2}/8（t=-1/2のとき）を得ることができます．

t=-1/2ですから点Pの座標は直ぐに求められ，点Qの座標は直線PQの方程式（直線y=x-1と垂直なので傾きは-1ですよ）を作り，y=x-1との連立方程式の解から求めることができます．

いかがでしょう？
No.172 - 2008/05/25(Sun) 14:17:08
☆ Re: 放物線 / うた ♀ [近畿] [高校3年生]
なるほど！答えがちゃんと出ました。
ただ、最小値は11√2/8ですよね…?
No.174 - 2008/05/25(Sun) 15:00:17
☆ Re: 放物線 / londontraffic ♂ [教育関係者]
>ただ、最小値は11√2/8ですよね…?
あ・・・そうですね・・・ｽｲﾏｾﾝﾃﾞｼﾀm(_ _)m反省
No.177 - 2008/05/25(Sun) 15:19:58
☆ Re: 放物線 / うた ♀ [近畿] [高校3年生]
いえいえ！とても分かりやすかったです！
教えてくれてありがとうございました。
No.179 - 2008/05/25(Sun) 15:28:14
★ 空間ベクトル / 真田 ♂ [九州] [浪人生]
こんにちは、また質問させていただきます。

問）座標空間において、原点Ｏ（0，0，0）を中心とする半径1の球面をＳとし、

3点Ａ（√2，0，0），Ｂ（0，1，0），Ｃ（0，0，√6／3）を通る平面をαとする。

(1)ベクトルｎ＝（1，√2，√3）は平面αに直行すすことを示せ。

(2)球面Ｓと平面αが交わってできる円の中心の座標と半径を求めよ。

という問題の(2)がわかりませんでした。

自分なりには、分けも分からないのですが、(1)から円の中心を勝手に（1，√2，√3）として、(?I−1)^2＋(ｙ−√2)^2＋(ｚ−√3)^2＝6として、半径√6としました。
ですが、この問題は、高３の時の記述対策の時に配られたプリントの問題だったのでさすがにこんなに簡単なわけがないと思ったので、質問しました。解答解説もありませんどうかよろしくお願いします。
No.155 - 2008/05/24(Sat) 13:53:46
☆ Re: 空間ベクトル / ＣＯＲＮＯ [東北] [教育関係者]
こんにちは．

中心を Ｈ，半径を ｒ としておきましょう．

では，これを考えてみてください．
　１．点 Ｂ はどんな点でしょう？（α 上にあることは明らかですから，それ以外のことですよ）
　２．Vec(ｎ) と Vec(ＯＨ) は，どんな関係にあるでしょう？（これがわかれば，中心 Ｈ の座標が変数 ｔ などを用いて表せます）
No.156 - 2008/05/24(Sat) 15:16:11
☆ Re: 空間ベクトル / 真田 ♂ [九州] [浪人生]
返信ありがとうございます。

１．点Ｂが球Ｓの半径上にあるということでしょうか？それとも、ｘｙ平面上にあり、かつｙｚ平面上にあるということでしょうか？　

２．Vec(ｎ)とVec(ＯＨ)は一直線上にあるので、Vec(ＯＨ)＝ｔVec(ｎ)とおける。すると、Vec(ＯＨ)＝(ｔ，√{2}ｔ，√{3}ｔ)，

ここから、Vec(ＢＨ）＝(ｔ，√{2}ｔ−1，√{3}ｔ)として、Vec(ＢＨ)⊥Vec(ＯＨ)よって、内積が0として計算してよいのでしょうか？
No.158 - 2008/05/24(Sat) 17:04:57
☆ Re: 空間ベクトル / ＣＯＲＮＯ [東北] [学校教員]
真田さん，おおむねその通りです．

＞点Ｂが球Ｓの半径上にあるということでしょうか？
　「球面上」でしょうね．
　すると，△ＯＨＢ は直角三角形です．
　私はここから三平方の定理を使いました．

＞Vec(ｎ)とVec(ＯＨ)は一直線上にあるので、
　「一直線上」とは言えないでしょう，あくまでも「平行」ですね．

＞内積が0として計算してよいのでしょうか？
　まったく，その通りです．
No.159 - 2008/05/24(Sat) 17:53:15
☆ Re: 空間ベクトル / 真田 ♂ [九州] [浪人生]
こんばんは、計算できました!!その結果、

ｔ＝√2／6　中心の座標Ｈ(√2／6，1／3，√6／6)　半径ｒ＝2√2／3　となりました。

どうでしょうか？
No.162 - 2008/05/24(Sat) 20:39:41
☆ Re: 空間ベクトル / ＣＯＲＮＯ [東北] [学校教員]
惜しい！

(半径)＝√６/３ です．計算ミスに注意してください．
No.165 - 2008/05/25(Sun) 04:55:40
☆ Re: 空間ベクトル / 真田 ♂ [九州] [浪人生]
おはようございます。

(半径)＝√6／3になりました。|ＯＨ|の計算で√をつけ忘れていました。

とてもわかりやすいアドバイス本当にありがとうございました。おかげさまで、よく分かりました。これから、類題を解いてもっと理解を深めていきたいと思います。
No.167 - 2008/05/25(Sun) 10:29:05
★ ベクトル / さえこ ♀ [東北] [高校2年生]
はじめまして!こんばんは。

△OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をP,線分PBの中点をQとする。
また、2,点O,Qを通る直線と辺ABとの交点をRとし、OA↑=a↑、OB↑=b↑とおくと、
OP↑=(ア)a↑、OQ↑=(イ)a↑+(ウ)b↑と表される。
OR↑については、定数mを用いて、OR↑=mOQ↑=(イ)ma↑+(ウ)mb↑と表される。
一方、AR:RB=k:(1-k)とおくとOR↑はOR↑=(1-k)a↑+kｂ↑と表される。これらより、
m=(エ)、k=(オ)となり、OR↑=(カ)a↑+(キ)b↑と表される。
したがって、点Rは辺ABを(ク):(ケ)に内分する点である。

という問題の、(イ)と(ウ)がわかりません。
最初s:(1-s)のようにしようと思ったのですが、Qは中点なので
1:1になるのかな、と迷っています＞＜
どなたか教えていただけないでしょうか？
よろしくおねがいします!
No.146 - 2008/05/22(Thu) 21:04:03
☆ Re: ベクトル / kinopy [近畿] [塾講師]
さえこさん，はじめまして。kinopyです。

>最初s:(1-s)のようにしようと思ったのですが、Qは中点なので
>1:1になるのかな、と迷っています＞＜

s:(1-s)とおくのは比が分からない場合の手法ですね。
この場合はさえこさんのおっしゃるように，1:1ですから内分公式を当てはめればそれが答えになります。
No.153 - 2008/05/23(Fri) 02:26:41
☆ Re: ベクトル / さえこ ♀ [東北] [高校１年生]
返信ありがとうございます！
無事問題を解くことができました＞＜
No.163 - 2008/05/24(Sat) 22:17:59
★ (No Subject) / mellow ♂ [大検生]
こんにちは。よろしくお願いします。

行列で、「A≠kEならば係数比較できる」ということが参考書に載っていましたが、教科書には載ってませんでした。
これは当たり前のように使ってもいい定理なのでしょうか？
No.145 - 2008/05/22(Thu) 12:41:23
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

ご質問は例えば「A^2-2A-8E=Oのとき，a+dとad-bcを求めよ」とかの場合の話ですね？
この種の問題の際に
　A^2-(a+d)A+(ad-bc)=Oが成り立つ。
1)A≠kEのとき，係数比較してよりので　a+d=2，ad-bc=-8
2)A=kEのとき，…

と解答を書いてよいか？という質問と受取って解答しますね。

結論から言うと止めておいた方がいいでしょう。
大学の採点基準は明らかではありませんので上記のような書き方をしましたが，
私の直接教えている生徒に対してなら「絶対ダメ！！」と言います(^_^;)

その記述は私も某講義調参考書で見たことがあります（mellowさんもその本を見たのかな？）
その本ではカッコ内に（目立たない字で）「入試では証明して使う方が無難です」と書かれていました(-_-;)

普通は入試対策としてこの本を買うのですから，解答も入試用にしてほしいものですね。

もし，mellowさんの疑問点が私の想像と異なる場合はその旨書き込みください。
また，次回から「例えば…のような問題のとき」と書いてくれた方が，回答者としては分かりやすいですのでお願いします。
No.148 - 2008/05/22(Thu) 21:34:01
☆ Re: / mellow ♂ [大検生]
回答ありがとうございます。

具体例を書いた方がよかったですね。すいませんでした。
そうです。その参考書です。（笑）
確かに証明した方が無難と書かれていましたね。

＞＞普通は入試対策としてこの本を買うのですから，解答も入試用にしてほしいものですね。
?VＣは習ってないのでこの本で独学しようとしてたので信用できる内容にして欲しいですね。

追加質問ですが、その本の言う「係数比較定理」では、A≠kEの時、
１、xA+yE=O ならば、x=y=0
２、xA+yE=zA+wE ならば、x=zかつy=w
３、A^2-αA-βE=O かつ A^2-γA-δE=O ならば、α=γ かつ β=δ
の3つが成り立つと書かれていました。

kinopyさんが例で出してくださったのは3番ですよね。
ですから3番を解答で使うのは危険だというのはわかったのですが、1番、2番も同様に使ってはいけないものなのでしょうか？

先日、知り合いから4STEP?VＣ（学校でもらえる教科書傍用問題集です。）の別冊解答付きをもらえたのですが、それを見ると確か1番は解答として用いられていました。
No.149 - 2008/05/22(Thu) 22:14:44
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

個人的な意見としてお聞きくださいね(^_^;)

1.に関しては「A≠kEだから」x=y=0　で大丈夫でしょう
2.に関しては　(x-z)A=(w-y)Eと変形しておいて，「A≠kEだから」x=zかつy=w　でいいと思います。

結局，「3に関しては飛躍がありすぎて減点をくらう可能性が高い」というのが私の意見です。


>4STEP
たまたま自宅に生徒からもらった別冊解答のみがありました^^
版は同じと思いますので，該当の問題番号を教えてください。
（問題がないと探しにくくて…(^_^;)）
No.150 - 2008/05/22(Thu) 22:31:17
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
見つけました。36とかですね？
私的にはこの解答で問題はないとと思います。

ただし，ここや前回のレスで「問題ない」と言ったのは
(p+5)A+(q-1)E=O…(*)　「A≠kEだから」　p+5=0かつq-1=0
と解答に書けば


p+5≠0ならば，A=kEの形になるからA≠kEに矛盾する。
∴　p+5=0　(*)に代入して　q-1=0

という過程を理解している。

と採点者は読み取ってくれるだろう。
という「想像」からです。

太字の部分を書いても，時間はそんなにかかりませんので私は書くように指示しています。

>>普通は入試対策としてこの本を買うのですから，解答も入試用にしてほしいものですね。
>?VＣは習ってないのでこの本で独学しようとしてたので信用できる内容にして欲しいですね。

おっしゃる通りですね。
しかし，私はこの本は唯一（なのかな？）の初学者向けの数学Ｃの本ということもあり，一部の記述を除き，良書であると評価しています。

他の一部というのは
１．「原像」の扱いの部分ですが，この辺りの内容は現行課程の一次変換から大きく飛躍していますので，一番後回しにしてもいいでしょう。やらなくてもいいかもしれません。
（私は授業で触れることすらしません(^_^;)）

かいつまんでいうと，P122で
A=matrix abcd
で定まる一次変換でy=x+1がy=2x+1にうつる。
ことを，この本では
y=2x+1の原像がy=x+1である。

とありますが，このことはAの逆行列が存在することが前提です。
（y=2x+1にうつることから，Aの逆行列が存在することが分かります。
本が「間違っている」ということでなく「言葉足らずすぎる」ということです。）

２．P224の「公式」S=∫1/2r^2dθ
予備校の解答でも目にする公式ですが，いきなり使うのはマズイと思います。
せめて「イメージ」にあるように「右図のような扇型による分割を考えることにより」
と書くべきかと思います。
（私はこの分割も教えません(^_^;)）


と，いろいろ書いてきましたが，あくまで大学入試全般を指しての私の意見であり，異論を持たれる先生もおられると思います。
大学によって採点基準は様々ですので一概には言えません。
例えば，東大入試では許される記述も東北大入試ではペケということもあります。
ただ，今回の件に関しては私の主張の方が「安全」だと思います。


○　回答者の先生方
今回のやり取りについて，回答者掲示板にてご意見をいただければ幸いです。
No.151 - 2008/05/23(Fri) 00:15:52
☆ Re:すごく参考になります。 / mellow ♂ [大検生]
返事遅れました。
わざわざ探していただいてありがとうございます。そうです、36とかです。

＞＞p+5≠0ならば，A=kEの形になるからA≠kEに矛盾する。
＞＞∴　p+5=0　(*)に代入して　q-1=0　という過程を理解している。

ことが重要なわけですね。確かにこの程度なら書いてしまった方が良いですよね。
そうすることにします。

＞＞2.に関しては　(x-z)A=(w-y)Eと変形しておいて，「A≠kEだから」x=zかつy=w　でいいと思います。

確かにその方が自分にも採点官にもわかりやすいですね。
覚えておきます。

それとこの参考書の注意点を書いてくださってありがとうございます。
数Ｃはまだ行列の部分なのですが、コピペしてメモ帳に保存しておきました。
該当部分に進んだら参考にさせていただきます。感謝です。

また機会があったらよろしくお願いします。
No.154 - 2008/05/23(Fri) 15:14:59
★ 微分法（数３） / varnish ♂ [関東] [高校3年生]
はじめまして。宜しくお願いします。

aは0＜a＜1を満たす定数である。f(x)=-ax+√(x^2+1)の0≦x≦3 における
最大値を求めよ。

f'(x)={x-a√(x^2+1}/√(x^2+1)=0　を解くとx=√{a^2/(1-a^2)}...α
となったので、f(x)の増減を調べると
0≦x＜α　のとき単調減少
x=α　のとき極小値
α＜x≦3　のとき単調増加　
これより、0≦x≦3において最大値を与えるxは0または3に限る　と考えて、
f(0)とf(3)の大小で場合わけ

上のように解いたのですが、解答ではｆ''(x)を求めて、f'(x)の符号変化を厳密に調べていました。僕は数値実験によってf'(x)の符号を調べたのですが、記述試験では僕のやり方は減点されるのでしょうか、教えていただきたいです。
No.82 - 2008/05/17(Sat) 15:24:04
☆ Re: 微分法（数３） / X ♂ [社会人]
varnishさん、こんばんは。

この問題はグラフを描くこと自体が目的ではありませんので、f"(x)を調べる必要は無いと思います。
No.86 - 2008/05/17(Sat) 20:29:56
☆ Re: 微分法（数３） / varnish ♂ [関東] [高校3年生]
Xさん、返信ありがとうございます。

改めて解答を見てみると、僕のやり方との違いはf"(x)を求めるかどうかというよりも、
f'(x)=0の解が0≦x≦3に含まれるかどうかを場合わけするか否か　ということでした。
（f"(x)を調べたのは単にf'(x)の単調性を確認しただけのようです）

僕としては、この問題は最大値だけを聞いているのでこの場合わけは必要ないと思うのですが、どうでしょうか。度々すみませんが、よろしくお願いします。
No.104 - 2008/05/18(Sun) 21:00:30
☆ Re: 微分法（数３） / X ♂ [社会人]
つまり、解答では
f'(x)=0の解の値を直接求めずに中間値の定理を使って、解が0≦x≦3に含まれるかどうかを調べている
ということでしょうか？。
そういうことであれば、varnishさんの方針でf"(x)を求める必要はありません。
No.105 - 2008/05/18(Sun) 21:14:46
☆ Re: 微分法（数３） / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
vanishさん，こんにちは。

この問題で最も配点が高いところは，
f'(x)=0 つまり 「方程式　-a√(x^2+1)+x=0 は　0＜x＜3　にただ一つの実数解をもつ」ことの証明の部分です。

vanishさんの最初の書き込みには，「増減表を書く前に」このことについて触れていないので，大きく減点されると思います。
No.107 - 2008/05/19(Mon) 16:58:25
☆ Re: 微分法（数３） / varnish ♂ [関東] [高校3年生]
返信ありがとうございます。

つまり、今回はf'(x)=0の解を求めただけでは増減は決められないということでしょうか。どうも「方程式　-a√(x^2+1)+x=0 は　0＜x＜3　にただ一つの実数解をもつ」ことを、「増減表を書く前に」示さなければならない、というところがまだよく分かりません。もう少し説明してもらえますか。
No.108 - 2008/05/19(Mon) 18:23:52
☆ Re: 微分法（数３） / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちわ。

採点者の立場で考えてみましょう。
何の説明もなく，いきなり増減表に
　x｜0…α…3

と書かれていたら，「何でαは０と３の間なの？」って疑問に感じませんか？
No.109 - 2008/05/19(Mon) 19:07:38
☆ Re: 微分法（数３） / varnish ♂ [関東] [高校3年生]
すみません。最初の書き込みで一部打ち間違えていました。

僕は、f'(x)=0の解αが 0≦x≦3に存在する、しないに関わらず、
0≦x＜α のときはf'(x)＜0,α＜x のときはf'(x)＞0 が成り立つ以上、f(x)の最大値は
f(0)、f(3)のうちの小さくないほうである

と考えました。つまり、f(x)が0≦x≦3で単調減少である時を場合わけしても、結局
f(0)で最大値をとるので、f(0)とf(3)の大小だけを考えればいいのではないかと思ったわけです。
No.112 - 2008/05/19(Mon) 20:06:50
☆ Re: 微分法（数３） / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんばんは。
vanishさんが言いたいことはよくわかります。考え方もそれでＯＫです。
私としては，答案の書き方としては最初の書き込みのままではまずいことを確認
しておきたかっただけです。

f'(x)=0 を実際に解いて　α=√{a^2/(1-a^2)}　のただ一つしかないことを示してから，αが 0≦x≦3に存在する、しないに関わらず、
0≦x＜α のときはf'(x)＜0,α＜x のときはf'(x)＞0 が成り立つ以上、f(x)の最大値は
f(0)、f(3)のうちの小さくないほうである
という流れでＯＫです。

ただ，「0≦x＜α のときは　f'(x)＜0」ここの f'(x)が負であることをどう記述されます？
No.113 - 2008/05/19(Mon) 20:45:15
☆ Re: 微分法（数３） / varnish ♂ [関東] [高校3年生]
返信ありがとうございます。

「0≦x＜α のときは　f'(x)＜0」これは、単に数値を入れてみて値が負であることを確認したに過ぎないので、、確かにこれが認められなければ僕の解答は推測に過ぎないことになってしまいますね。そして、僕にはこれを示せそうにないです。

f'(x)＜0などという不等式をまじめに考えるくらいなら、f'(x)が0≦x≦3において符号変化するかどうかを場合わけした方が楽だと思いました。
No.132 - 2008/05/20(Tue) 21:39:56
☆ Re: 微分法（数３） / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
vanishさん，こんばんわ。

＞f'(x)＜0などという不等式をまじめに考えるくらいなら、f'(x)が0≦x≦3において符号変化するかどうかを場合わけした方が楽だと思いました。

私がvanishさんのレスを待って最後に書こうとしていたのはまさにそこなのです。
確かにvanishさんの論理は正しいのですが，「減点されない答案」という面からは模範解答の方に分がありますね。そこに気付いていただき嬉しく思います。

私なら，f''(x)の計算は面倒なので，
f'(x)={x-a√(x^2+1}/√(x^2+1)
の分母 √(x^2+1) は常に正なので，f'(x) と分子の符号は一致すると述べてから，
　分子　g(x)=x-a√(x^2+1)　を微分します。

X先生，横レス失礼いたしました。
No.137 - 2008/05/21(Wed) 01:12:24
☆ Re: 微分法（数３） / X ♂ [社会人]
>>新矢先生へ
こちらこそフォローをして頂き、お手数をおかけしました。
No.139 - 2008/05/21(Wed) 08:47:48
☆ Re: 微分法（数３） / varnish ♂ [関東] [高校3年生]
とてもよく分かりました。新矢先生どうもありがとうございました。

X先生、僕の質問の仕方が不明瞭ですみませんでした。以後気をつけます。
No.144 - 2008/05/21(Wed) 21:22:39
★ こんばんは / 真美 ♀ [四国] [高校3年生]
こんばんは。真美です。センター形式の問題です。

aを実数の定数とする。2次方程式x^2+2(a-1)x-2(a-1)=0が虚数解をもつようなaの値の範囲は
　　　　−1＜a＜1

であり、このとき、この方程式の解の３乗がいずれも実数になるようなaの値は

　　　　　a=[エ]/[オ]となる。


という問題なんですが、虚数解をもつaの値の範囲は、判別式を使って求めることができました。

方程式の解の３乗がいずれも実数になるようなaの値の解き方が分かりません。

教えてください。お願いします。
No.130 - 2008/05/20(Tue) 20:24:22
☆ Re: こんばんは / 七 ♂ [近畿] [社会人]
真美さん，こんばんは。

虚数解をαとおくと
α^2＋2(a−1)α−2(a−1)＝0
α^2＝−2(a−1)α＋2(a−1)
したがって
α^3＝−2(a−1)α^2＋2(a−1)α
＝−2(a−1){−2(a−1)α＋2(a−1)}＋2(a−1)α
＝{4(a−1)^2＋2(a−1)}α−4(a−1)^2
＝2(a−1)(2a−1)α−4(a−1)^2 … (1)
これが実数となるから
2(a−1)(2a−1)＝0

α＝p＋qi (p，qは実数，q≠0) として (1)に代入すれば分かると思います。
No.131 - 2008/05/20(Tue) 20:48:54
☆ Re: こんばんは / 真美 ♀ [四国] [高校１年生]
こんばんは。式の整理で、
α^3＝−2(a−1)α^2＋2(a−1)α
　 ＝−2(a−1){−2(a−1)α＋2(a−1)}＋2(a−1)α

上の式をどのように整理したら、下の式になるのでしょうか？
-2(a-1)でくくると、なぜ中かっこのなかの式が↑のようになるのか分かりません。
No.134 - 2008/05/20(Tue) 21:43:33
☆ Re: こんばんは / 七 ♂ [近畿] [社会人]
α^2＝−2(a−1)α＋2(a−1) … (a)
両辺にαをかけて
α^3＝−2(a−1)α^2＋2(a−1)α … (b)
(b)に(a)を代入して
α^3＝−2(a−1){−2(a−1)α＋2(a−1)}＋2(a−1)α
となります。
No.140 - 2008/05/21(Wed) 10:30:48
☆ Re: こんばんは / 真美 ♀ [四国] [高校3年生]
　こんばんは。代入するんですね！
全部理解して解けました。七先生、ありがとうございました！
No.142 - 2008/05/21(Wed) 19:44:58
★ 三角関数の問題 / NK ♀ [北海道] [高校3年生]
こんにちは.三角関数についての質問です
ｙ＝sinx+2cosx(0≦ｘ≦π/2)のグラフを書け。
という問題なのですが・・・。わかりません。
よろしくお願いします！
No.127 - 2008/05/20(Tue) 18:09:44
☆ Re: 三角関数の問題 / アリス
はじめまして。こんにちは。

合成をまずしてみましょう。
No.141 - 2008/05/21(Wed) 14:17:57
★ (No Subject) / ｋ [高校１年生]
初めまして。
1.(a-b+c)＾2(a+b-c)＾2
2.(x-1)(x^4+1)(x^3+x^2+x+1)
↑の問題が分からなくて困っています。答えは分かるのですが途中式が分かりません。
展開の公式に当てはめたいのですが・・・
1では初めに[a-(ｂ-ｃ)][a+(b-c)]にするような気がするのですが・・
うまく計算できませんでした・・・。
ご回答よろしくお願いします。
No.128 - 2008/05/20(Tue) 18:17:47
☆ Re: / X ♂ [高校１年生]
kさん、こんばんは。

1.
目の付け所は良いです。でその続きですが
{(a-b+c)^2}{(a+b-c)^2}=[{a-(b-c)}^2]{a+(b-c)}^2
=[{a-(b-c)}{a+(b-c)}]^2
と変形し[]内を展開してみましょう。

2.
(x-1)(x^4+1)(x^3+x^2+x+1)
=(x^4+1){(x-1)(x^3+x^2+x+1)}
とみて{}内を先に展開(これは分配法則を使って地道に計算します)すれば、
その後の処理は楽です。
No.135 - 2008/05/20(Tue) 21:55:40
☆ Re: / ｋ [高校１年生]
なるほど!
やってみたらできました。
目の付け所が大切なんですよね・・・
有難うございました。
No.136 - 2008/05/20(Tue) 23:43:35
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