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★ 他の方法で解く / りゅうじ ♂ [東北] [高校2年生]
放課後講習で(ｘ+１)(ｘ＾-ｘ+１)を簡単に計算する方法があると先生がいったのですがよくわかりませんでした。泣　普通に解けばいいと思う方もいると思いますが時間短縮のためこの手の問題は暗算で解いていけといわれました。不幸なことにその先生はすぐに出張に出かけてしまい、しばらく帰ってきません。自分なりに考えてみたものの他に解く方法が思いつきません。どうか皆さんの力を貸してください。よろしくお願いいたします。
No.111 - 2008/05/19(Mon) 19:51:17
☆ Re: 他の方法で解く / kinopy [近畿] [塾講師]
りゅうじさん，こんばんは。

「(x+1)(x^2-x+1)を展開せよ」という問題でしょうか？

この問題で正しいならば，数学?Tの教科書をご覧ください。
展開公式の中に (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3
という公式があります。
No.120 - 2008/05/20(Tue) 00:59:15
☆ Re: 他の方法で解く / りゅうじ ♂ [東北] [高校2年生]
あ！載ってました。ありがとうございます。今恒等式をやっています！　色んな解き方があるみたいですが一番良い方法とかあるでしょうか？　先生に直接聞くことが苦手なのでお願いします。
No.129 - 2008/05/20(Tue) 18:41:15
☆ Re: 他の方法で解く / kinopy [近畿] [塾講師]
こんばんは。

繰り返しますが
>「(x+1)(x^2-x+1)を展開せよ」という問題でしょうか？

ならば，展開公式に代入して
(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1　が答えです。
No.133 - 2008/05/20(Tue) 21:42:34
★ (No Subject) / HS ♂ [関東] [高校2年生]
こんばんは。質問です。

「△ABCにおいて次の不等式が成り立つことを示せ。sinA/2sinB/2≦1/2(1-sinC/2)」
という問題なのですが。和と積の公式で　右辺-左辺＝1/2（1-cosA-B/2）と変形できることはわかるのですが、そのあと、-π/2＜A-B/2＜π/2　としている部分がわかりません。どうして角の範囲が求まったのでしょうか？
ご回答よろしくお願いいたします。
No.116 - 2008/05/19(Mon) 22:00:15
☆ (No Subject) / kinopy [近畿] [塾講師]
HSさん，こんばんは。

> -π/2＜A-B/2＜π/2　としている部分がわかりません。
の部分だけでいいのですね？

A，B，Cは三角形の内角ですので，0<A<π，0<B<π，0<C<π，0<A+B+C<πを満たします。
　 0<A<π
　-π<-B<0
の辺々を加えて　-π<A-B<π　　∴-π/2＜A-B/2＜π/2

となります。
No.123 - 2008/05/20(Tue) 02:33:54
☆ Re: / HS ♂ [関東] [高校１年生]
なるほど！
三角形の角だからなのですね。
わかりました！ご回答ありがとうございました
No.126 - 2008/05/20(Tue) 13:57:32
★ 一次不等式（数1） / ともも ♀ [東海] [高校１年生]
はじめまして、よろしくお願いします。


一次不等式の応用問題です。

5%の食塩水が1260gある。これに食塩を加えて10%以上30%以下の食塩水を作りたい。
加える食塩の重さの範囲を求めよ。


私は、　1260×0.05＝63　今5%で10%以上になるなら、2倍かな？→63×2＝126-63＝63
　　　　63×3＝189　　　　　A.63g以上189g以下

になりました（汗）。ここでの不等式のやり方が全然わかりませんでした。
正しい答えは70g以上450g以下でした。
この問題はどのような考えで、どう解いていくのでしょうか？　　　

よろしくお願いします。
No.91 - 2008/05/17(Sat) 23:58:35
☆ Re: 一次不等式（数1） / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
とももさん、はじめまして。河童です。

＞　私は、　1260×0.05＝63　今5%で10%以上になるなら、2倍かな？→63×2＝126-63＝63

ここの考え方がおかしいですよね。
だって、食塩を倍の量だけ入れて濃度が２倍になるのなら、
例えば、５０％の食塩水に、中身の食塩の量と同じだけ食塩を加えた場合、
なんと！　１００％の食塩水になってしまうではありませんか。
これは明らかにおかしいですよね。

濃度が食塩の量に比例するのは、全体の量が同じときなんですね。

この問題では、もともと６３ｇの食塩が入っていますが、
これに、６３ｇの食塩を加えると、全体の量も増えてしまいますよね。
ですから、実際には、倍の１０％よりも少しばかり濃度が小さくなってしまうんですね。
言い方を変えれば、倍の１０％にするためには、食塩を６３ｇより多く加えなければいけないんです。


そこで、とももさん、まずは、１０％の食塩水にするには何ｇの食塩を加えればよいか、求めてみましょう。

では、突然ですが、とももさんに質問です。
加えるべき食塩の量を x グラムとすると、食塩の量は全部で何ｇになるでしょうか？
また、全体の量は何ｇになるでしょうか？
No.95 - 2008/05/18(Sun) 03:38:24
☆ Re: 一次不等式（数1） / ともも ♀ [東海] [高校１年生]
63+xg

1260+xg・・・・・・ですか？
No.97 - 2008/05/18(Sun) 10:30:58
☆ Re: 一次不等式（数1） / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
とももさん、こんにちは。
返事がたいへん遅くなり、申し訳ありません。

＞　63+xg

＞　1260+xg

正解です！
いいですねえ。

では、この式を使って、濃度が１０％であることを示す式を作ってみましょう。
同じように、３０％であることはどう表すことができるでしょうか
No.125 - 2008/05/20(Tue) 13:32:31
★ (No Subject) / ゆうき　高サン ♂ [東北] [高校3年生]
こんにちは。
質問です。。
　　
y=2sinx-sin2x+2/3sin3x (-π≦x＜π)

のグラフを書きたいのですが、
微分して極値をだせません。

計算があっていれば、

４X*3-2X*2+2x-1=0
X＝cosxになりました。

ここから解けません。。。

おしえてください。。
No.80 - 2008/05/17(Sat) 13:35:38
☆ Re: / X ♂ [社会人]
ゆうきさん、こんばんは。

こちらの計算では極値を与えるxについての方程式は
4X^3-2X^2-2X+1=0 (A)
(但しX=cosx)
となりました。
ここからですが、試行によりX=1/2が解の１つであることが分かりますので
(A)の左辺はX-1/2をくくり出すように因数分解できます。
そこで2X-1をくくり出すことを考えてみましょう。
(∵)2X-1=2(X-1/2)

別解)
y'の整理の仕方を変えてみます。
y'=2cosx-2cos2x+2cos3x
=2(cosx+cos3x)-2cos2x
()内に和積の公式を使うと
y'=4cos2xcosx-2cos2x
=2(cos2x)(2cosx-1)
となります。
No.84 - 2008/05/17(Sat) 20:25:59
☆ Re: / ゆうき ♂ [東北] [高校3年生]

回答ありがとうございます。

先生の回答で極値はもとめられました。

つぎ、
二階微分して、計算すると

6Y*3-5Y+2Y(1-Y)*1/2=0

となりました。

どうもここから進みません。

なんどもすいませんがおしえてください。。

おねがいします。。。。。
No.117 - 2008/05/19(Mon) 22:10:01
☆ Re: / X ♂ [社会人]
y"=0のとき
6(sinx)^3-5sinx+2sinxcosx=0 (A)
と計算されているのなら、ここまでは正しいと思います。
しかし
Y=sinx
と置き換えるとcosxをYで表す場合
(sinx)^2+(cosx)^2=1 (B)
を使う必要がありますので
cosx≧0のときcosx=√(1-Y^2)
cosx＜0のときcosx=-√(1-Y^2)
というように場合分けが必要になります。
その方針でも計算できないことはありませんがかなり煩雑です。
それよりは以下の方針で計算しましょう。

(A)をもう少し変形してみると
(sinx){6(sinx)^2-5+2cosx}=0
∴
sinx=0
又は
6(sinx)^2-5+2cosx=0 (A)'
(A)'の計算ですが、(B)を使うとcosxについての二次方程式になります。
No.118 - 2008/05/19(Mon) 23:20:46
☆ (No Subject) / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
ゆうきさん，こんばんは。
X先生，横レス失礼します。

問題を確認していただきたいのですが，
「y=2sinx-sin2x+2/3sin3x (-π≦x＜π)　のグラフの概形を，凹凸まで調べてかけ」となっていますか？
「y=2sinx-sin2x+2/3sin3x (-π≦x＜π)　のグラフの概形をかけ」
ではないですか？　
あるいは，ある問題を解く上で，ゆうきさんが，このグラフを書く必要があると判断されたのでしょうか？
その場合は問題文全文を書き込んでいただけますでしょうか？
No.121 - 2008/05/20(Tue) 02:18:55
★ はじめまして / キャベツ ♀ [甲信越] [高校１年生]
初めてここを利用します。宜しくお願いします。

学校のテスト対策で使っている４STEP数?U＋Bからの問題です。


次の等比数列の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。
（１）第2項が14、第5項が112である等比数列
（２）第5項が−48、第１０項が−１９２である等比数列


とりあえず、初項と公比を出すまでは自分で分かったんですけど、その後の答えの表し方が分かりません。解答を見ましたが、略解のみで解き方が分からないので質問しました。



ちなみに解答はこれです。

（１）７・２ⁿ⁻¹　　（２）−３・２ⁿ⁻¹または−３・（−２）ⁿ⁻¹


です。宜しくお願いします。
No.103 - 2008/05/18(Sun) 18:55:55
☆ Re: はじめまして / せら。 ♂ [関東] [社会人]
こんばんわ。
ひとまず、順を追っていきますか。次の質問に、順番に答えてみてください。
１）キャベツさんの求めた「初項」「公比」を書き込んでいただけますか？
２）キャベツさんが知っている「等比数列」の「一般項」について書いてみましょう。
No.106 - 2008/05/18(Sun) 23:24:50
☆ 有難うございました。 / キャベツ ♀ [甲信越] [高校１年生]
せら様

ヒントを頂きもう一度解いたら、自分の答えとテキストの答えが合いました。

有難うございました。

また宜しくお願いします。
No.115 - 2008/05/19(Mon) 21:08:45
★ はじめまして / ゆか ♀ [関東] [大学生]
こんにちは。はじめまして、ゆかと申します。
今回高校２年生の数学の教科書に載っていた問題を解いていたのですが何度やっても答えが合わなかった(途中でわからなくなってしまったり)ので質問させて頂きます。

問題は
x＾2＋y＾2=r＾2 と (x−3)＾2＋(y−4)＾2＝9が共有点を持たないよう正数rの範囲を定めよ．

です。回答には解説がなく困っています。
円と直線の共有点ならすぐできたのですが円と円についてがいまいちわからなくなってしまったのでよろしくお願い致します。
No.54 - 2008/05/15(Thu) 12:20:31
☆ Re: はじめまして / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
ゆかさん，はじめまして。

最初にお聞きしたいことがあります。
大学生の方ということですが，
家庭教師か何かをされていて，高校生にこの問題を指導するということでしょうか？
それともゆかさんご自身の勉強なのでしょうか？

どちらかによって回答の方針が変わりますので，よろしくお願いします。
No.56 - 2008/05/15(Thu) 15:18:18
☆ 遅くなり申し訳ございません / ゆか ♀ [関東] [大学生]
お早うございます。返信有難うございます。

家庭教師をしていまして生徒に指導するということです。勿論、私自身の勉強にもなればと思ってやっているので根本や応用ができる回答をお願いできたら嬉しいです。

今回の問題に関して書き忘れてしまった事があるのですが、
中心からの距離を使って答えを出すというやり方では１つ解答が作れたのですが、他のやり方で答えをだせないかが知りたくて質問させて頂きました。

宜しくお願い致します。
No.67 - 2008/05/16(Fri) 07:53:26
☆ Re: はじめまして / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
ゆかさん，こんにちは。

生徒さんの学力がわかりませんので，この問題を初めて扱うということであれば，私なら以下のようにするかな。

共有点を持たない→連立方程式が実数解を持たない
じゃあ連立方程式を解いてみよか。
x＾2＋y＾2=r＾2 …(1)
(x−3)＾2＋(y−4)＾2＝9 …(2)

(2)-(1) x^2-6x+9+y^2-8y+16-(x^2+y^2)=9-r^2
　　　6x+8y-r^2-16=0 …(3)
y=(-6x+r^2+16)/8　→(1)
　x^2+{36x^2-12(r^2+16)+(r^2+16)^2}/64=r^2
　100x^2-12(r^2+16)x+(r^2-16)^2=0
（このへんまでは計算練習を目的に生徒にやらせます）
ここまで計算合ってる自信ある？
僕は90%間違ってる自身があるわ。
合ってたとして，こいつの判別式＜0 ってか？

　Ｄ'=36(r^2+16)^2-100(r^2-16)^2
この後も計算したいか？
わしゃぁお断りやわ。
ちゅうことで，2つの図形が共有点をもつ→方程式作って D≧0
と流すのは，放物線と直線，放物線と放物線だけ！
円と直線とか円と円の交点問題は，Ｄは使い物にならない！

某参考書は別解として円と直線とかでもＤを使ってるけど，教科書レベルなら最後まで解けないこともないが，君達が狙っている大学の問題なら普通文字１つ２つ入るで。
１つだけでこんなにハードや。２つなら…想像したないわな。
結論。あんな参考書使っちゃだめ！

というふうなるかと思います。
円(1)と直線(3)が交わらない条件（もちろん点と直線の距離利用）という流れもあるかと思いますが，初学者には円と直線，円と円は，中心と直線の距離・中心間の距離と半径を比較するんだということを徹底したほうがいいと考えますので，私は別解は触れません。
No.70 - 2008/05/16(Fri) 14:30:54
☆ Re: はじめまして / ゆか ♀ [関東] [大学生]
お返事遅くなり申し訳ございません。

私も新矢先生と同じ方法で解いてみようとしたところ計算が途中でおかしくなってしまってました。
やはり別解はやめて最初のやり方で教えて先生のおっしゃる通りに徹底しようと思います。
お忙しい中、丁寧なご返信に感謝しております。
また何かわからない事がありましたら宜しくお願い致します。
No.110 - 2008/05/19(Mon) 19:17:55
★ こんにちは。 / イルカ ♂ [北海道] [高校3年生]
初めてここを利用させていただきます。宜しくお願いします。

学校の数学の授業で使っているセンター形式の問題集からの問題です。

座標平面上において、円 x~2+y~2=9 と放物線 y=x~2/2+a がある。
（1）　この円と放物線が異なる4点で交わるとき、実数aのとりうる値の範囲は〔アイ〕＜a＜〔ウエ〕である。
（2）　この円と放物線が2つの交点P、Qしかもたず、かつ、原点Oに対して直線POとQOが直交するとき、a=〔オ〕√〔カ〕/〔キ〕-〔ク〕/〔ケ〕である。また、このとき、円と放物線で囲まれる2つの部分の面積のうち、小さい方は〔コ〕/〔サ〕π-〔シ〕/〔ス〕+〔セ〕√〔ソ〕/〔タ〕である。

自分は、ケまではすんなり解くことができました。でも、そこからがわからなく、解答も見てみたのですが、解答を見ても式のみが書かれていて考え方が全くわからないので、ここに考え方を教えていただくために投稿させて貰いました。

ここから下は解答と、解答冊子に書いてある面積の出し方の式を書いて私の投稿を終えようと思います。

解答　アイ　-5　ウエ　-3　オカキ　322　クケ　94　コサ　94　シス　92　セソタ　922

面積の出し方の式

π･3~2･1/4-1/2･3/√2･3/√2･2+∫{-3/√2}^{3/√2}｛3/√2-(x~2/2+3√2/2-9/4)｝dx
No.73 - 2008/05/16(Fri) 19:49:01
☆ Re: こんにちは。 / kinopy [近畿] [塾講師]
イルカさん，こんにちは。
回答が遅くなりましたm(__)m

この問題の場合，例えば「y=x^2とy=x+2で囲む面積」であればS=-∫^2_{-1}(x^2-x-2)dx
というように，1つの式で求められないのは想像つきますね？

図形をいくつかの部分に分割して求めることになるわけですが，その分割も「できる限り簡単に計算できるように分割したい」ですね。

この場合，放物線と円が絡んでます。
放物線関しては，積分を使うことになりますが上の例のような「放物線と直線で囲まれた部分の面積」なら1/6公式が使えることはご存じですね。

・地道な積分計算は分数が出てきて嫌ですから，極力1/6公式が使えるように分割したいのです。
・円に関しては前半でOP⊥OQですから，センターの場合はこういうのもヒントになってる場合が多いです。


以上を読んで，もう一度自分で取り組んでもらえますか？
ダメだった場合はその旨書き込みくださいね。
No.101 - 2008/05/18(Sun) 12:56:13
★ (No Subject) / なかむ〜ら ♂ [東海] [浪人生]
こんにちは。わからなかったところがあるので質問させていただきます。

１対１対応の演習の不等式の問題です。


3≦2x+y≦4,5≦3x+2y≦6のとき、次の取り得る値の範囲を求めよ。
(1)x (2)y (3)x+y (4)x+y/2x+y

(1)0≦x≦3,(2)-2≦y≦3となりこれを用いて(3)を解き-2≦x+y≦6となり間違えました。
解説には-2≦x+y≦6は大小の不等式としては正しいが、取り得る値の範囲としては正しくないと書いてあり答えは1≦x+y≦3となってます

解説の意味がよくわからないので教えてください、お願いします。
No.98 - 2008/05/18(Sun) 10:48:03
☆ Re: / たろ ♂ [北海道] [社会人]
おはようございます。
たろと申します。

さて、ご質問の件ですが、それぞれ独立にx=0 y=-2と端っこの値をとって-2≦x+yとしては駄目なのは、この値の時
2x+y = -2 ＜3と題意に反するからおかしいと理解されているかと思います。

テーマは、独立に動けない変数同士をばらばらに用いては駄目ということなのですね。

ご質問の件では解説ではこういうことを述べていると思います。（と私はかみ砕きました。）
「不等式としてはとりあえずx,yのそれぞれのmin以下にはx+yは小さくはなれない（大小の不等式としては誤りではない）けど、果たしてx,yはばらばらに最小値になれるのだろうか。本当はx=0としたらyは-2より大きくなるのでは？とりうる値の範囲は、考えられる不等式よりもっと狭くなってしまうのでは？（とりうる値の範囲は大小の不等式とは別物）」
No.99 - 2008/05/18(Sun) 11:11:46
★ (No Subject) / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
どうも、こんにちは。

βの問題を解いていて疑問がでてきました。
Ａの例題215と練習215のところなのですが、
どうして例題215の(1)は側面の塗り方を円順列と考えるのに、
練習215の方は円形に並べるじゅず順列と考えるのでしょうか？

例題215 立方体の６つの面を赤、青、白、黒、黄、緑の６色を
全て使って塗る方法は何通りか？ただし、隣り合う面は異なる色
を塗るものとする。

練習215 立方体の６つの面を赤、青、白、黒、黄の５色を全て使って塗る方法は何通りか？ただし、隣り合う面は異なる色を塗るものとする。

よろしくお願い致します。
No.57 - 2008/05/15(Thu) 16:08:41
☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [学校教員]
　アキバさん，こんばんは。

　円順列と数珠順列の２つの順列の違いは，感覚的に言えば，円順列の方が円形に地面に物を並べるため並べた物を真上からしか見ることができないのに対して，数珠順列の場合は地面から「浮かせて」真上からでも真下からでも見ることができる，ということになります。

　例えば，例題２１５の場合，

　（１）上の面に赤，下の面に緑を塗ったとして，残りの４つの側面に時計回りに青，白，黒，黄と塗った立方体
　（２）上の面に赤，下の面に緑を塗ったとして，残りの４つの側面に時計回りに青，黄，黒，白と塗った立方体

の２つの塗り方は，回転しても同一にならないのに対して，問題２１５で，

　（１）上面と下面に赤を塗ったとして，残りの４つの側面に時計回りに青，白，黒，黄と塗った立方体
　（２）上面と下面に赤を塗ったとして，残りの４つの側面に時計回りに青，黄，黒，白と塗った立方体

の２つの塗り方は，同じ立方体を上面から見た場合と下面から見た場合になっていますから塗り方としては同じになります。

　とりあえず，この例を実際に絵を描いてみて考えてみてください。
　分からなければまたご質問ください。
No.63 - 2008/05/15(Thu) 21:18:59
☆ Re: / アキバ ♂ [関東] [浪人生]
留数さんありがとうございました。
理解するのに、数日かかってしまい、返信するのが
遅れてしまったことをここでお詫びします。

留数さんが言っているのは、

例題215では上下面の色が違うので円順列、
練習215では上下面の色が同じなので、数珠順列

ということですよね？サイコロを色々な方向から
見ることを想像したら、理解できました。
No.88 - 2008/05/17(Sat) 23:23:56
☆ Re: / 留数 ♂ [関東] [学校教員]
　理解できたようでなによりです。

　最初にも書いたように数珠順列というのは円順列を浮かせてみることで，上からも下からも見ることができます。そう考えると，数珠順列というのは，２つの円順列（同じ数珠を，上から見た場合の円順列と下から見た場合の円順列）を代表している考えられます。公式において２で割っているのではそのためですね。

　こういう問題は文章での説明よりも図を描いて身振り手振りで説明する方が圧倒的に明快なのですが，さいころを見ながら具体的に考えたのですね。そういう姿勢はとても大切だと思います。

　またなにかありましたらお越しくださいね。
No.90 - 2008/05/17(Sat) 23:53:50
★ こんにちは / 真美 ♀ [四国] [高校3年生]
こんにちは。先日お世話になりました真美です。よろしくお願いします。学校から渡されたセンター試験形式教材からの問題です。

(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c･･･?@が成り立つとき、
【1】この式の値は、〔アイ〕、〔ウ〕である。
【2】この式の値が〔アイ〕のとき、a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)の値は〔エオ〕である。
【3】a,b,cがa＜0,b＜0,c＜0,abc=-64を満たすとき、a=〔カキ〕b=〔クケ〕c=〔コサ〕である。

という問題です。
自分では【1】と【2】は、?@＝kとおいて、
ak=b+c, bk=c+a, ck=a+b　と式を立てて、この式をいろいろに利用して解けました。

【3】は、与えられた条件を、自分が?@を利用して立てた式をどう関連させるのかがわかりませんでした。
No.59 - 2008/05/15(Thu) 18:10:04
☆ Re: こんにちは / londontraffic ♂ [社会人]
真美さん，こんばんは．
早速いきましょう．

まずa＜0,b＜0,c＜0ということなので，kの値は〔ウ〕のときですね．
（〔アイ〕のとき，a+b+c=0ですよね）
このとき，ak=b+c, bk=c+a, ck=a+b３本の式から，a,b,cの条件が出てくるハズです．
それをカキコしてもらえませんか．
もし分からないのであれば，出来たところまでで結構です．お願いします．
No.61 - 2008/05/15(Thu) 20:37:06
☆ Re: こんにちは / 真美 ♀ [四国] [高校3年生]
こんばんは。教えてくださってありがとうございます！考えてみたんですが、恥ずかしながら、〔アイ〕のとき、なぜa+b+c=0になるのか分かりません。。。
No.64 - 2008/05/15(Thu) 21:50:40
☆ Re: こんにちは / londontraffic ♂ [教育関係者]
今回の【3】は，【2】は必要ありません．
【1】をどのように求めたか，カキコしてもらえませんか．
No.66 - 2008/05/16(Fri) 07:19:39
☆ Re: こんにちは / 真美 ♀ [四国] [高専3年生]
こんにちは。

【1】は、ak=b+c bk=c+a ck=a+b　の3式を辺々加えて、(a+b+c)k=2(a+b+c)となって、両辺を(a+b+c)で割って、k=2を出しました。

次に、3式を辺々かけて、abck^3=(b+c)(c+a)(a+b)となって、

展開して整理するとabck^3=abc(3k+2)となって、

両辺をabcで割って、k^3=3k+2で、

k^3-3k-2=0という3次方程式になって、k=2で割り切れるので、

組み立て除法を使って因数分解をして、

(k-2)(k+1)^2=0となるから、もう一つのkの値は　k=-1　と解きました。
No.72 - 2008/05/16(Fri) 16:15:51
☆ Re: こんにちは / londontraffic ♂ [教育関係者]
ありがとうございます．お手数をおかけしました．

>展開して整理するとabck^3=abc(3k+2)
申し訳ありませんが，今時間がなくてこの式が成り立つことが確認できていません．
もしよかったら，次のﾚｽで計算の方法を教えてください．

とても気になったところは
>両辺を(a+b+c)で割って
です．a+b+c=0のときは割るわけにはいかないですよね．

一般的に【1】はこの部分で解決します．
(a+b+c)k=2(a+b+c) より(a+b+c)(k-2)=0
ゆえに　a+b+c=0 または k=2
a+b+c=0 のとき ?@からk=-1
したがって，k=-1または2
とできます．

また，逆にk=-1のとき ak=b+c から -a=b+c ゆえに a+b+c=0
同様にして，bk=c+a, ck=a+b からも a+b+c=0 が導き出せます．

いかがですか？

よろしければ，さらに続けましょう．

a＜0,b＜0,c＜0 から a+b+cキ0であるから，k=2
k=2のとき　　a+b=2c・・・?A　　b+c=2a・・・?B　　c+a=2b・・・?C
ここで，?A−?Bとすると．．．
No.74 - 2008/05/16(Fri) 19:57:10
☆ Re: こんにちは / 真美 ♀ [四国] [高校3年生]
こんにちは。abck^3=(b+c)(c+a)(a+b)は式が長くなるので、この式の右辺の展開と整理の途中式を書きます。
右辺=(b+c)(c+a)(a+b)
　　
=(bc+ab+c^2+ac)(a+b)

=bc(a+b)+ab(a+b)+c^2(a+b)+ac(a+b)
　　↑の式を1個ずつ展開して、共通因数でくくった式です↓
　
=2abc+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)

ここで、先ほど立てたak=b+c,bk=c+a,ck=c+a を代入して

　　=2abc+abck+abck+abck

=2abc+3abck

=abc(3k+2)

よって、abck^3=abc(3k+2)となり、両辺をabcで割って、k^3=3k+2となり、
k^3-3k-2=0となりました。


【1】の考え方がとてもよく理解できました!ありがとうございました！


【3】ですが、?A−?Bから、a=b がでて、この条件を使って?Cからc=aとなって、
よってa=b=c･･･?Dが出ました。

与えられているabc=-64という条件より、a^3=-64 となって、
これを解くとa=-4となって、?Dから、a=-4 b=-4 c=-4 となりました。

このような解き方でいいのでしょうか？
No.81 - 2008/05/17(Sat) 15:08:19
☆ Re: こんにちは / londontraffic ♂ [教育関係者]
ああなるほど，そうすればいいのですね．納得です！

>このような解き方でいいのでしょうか？
それでokですよ．
No.83 - 2008/05/17(Sat) 20:22:22
☆ Re: こんにちは / 真美 ♀ [四国] [高校3年生]
こんばんは。londontraffic先生、丁寧に教えていただいて本当にありがとうございました！
No.87 - 2008/05/17(Sat) 22:00:18
★ (No Subject) / 真田 ♂ [九州] [浪人生]
こんにちは。

Ｘさん、わかりました。。受験の時に失敗した問題だったので、これですっきりしまし

た。本当にありがとうございました。
No.79 - 2008/05/17(Sat) 11:29:37
★ 連立不等式 / 真田 [浪人生]

はじめまして、よろしくお願いします。さっそくですが、質問します。

?ｂQ

ｘ−ｙ＋２≧０，ｘ＋ｙ−２≦０，ｙ≧０の表す領域をＤとする。

問）０≦θ≦２πのとき、2点Ｐ（２sinθ，１）、Q（２sinθー２，１）を結

線分ＰＱのＤに含まれる部分の長さをｓとする。ｓをθを用いて表せ。

ただし、線分ＰＱのＤに含まれる部分がないときはｓ＝０とする。

という問題です。

一応自分では、ｙ≦ｘ＋２、ｙ≦ーｘ＋２、ｙ≧０のグラフを書いて領域を図示しました。そして、sinの範囲を−２≦sigθ≦２、−４≦sin≦０あわせて−2≦sin≦０と求めてみて、直接代入して答えを出そうそしたのですが、ぐちゃぐちゃになってしまいました。これは、去年の海上保安大学校の入試問題で答がありません。どうか、お願いします。
No.68 - 2008/05/16(Fri) 10:24:07
☆ Re: 連立不等式 / X ♂ [社会人]
真田さん、こんにちは。

θの範囲から点P,Qのx座標の範囲を求めるのではなく、DにP,Qが含まれるか否かで
点P,Qのx座標に関する不等式を立てましょう。

条件からDにおいて
y=1のとき-1≦x≦1 (A)
(∵)Dの不等式にy=1を代入して導かれる連立不等式を解きます。
(図示したDでy=1のときの端点の座標を求めてから、でも構いません。)
∴D上のy=1に対する幅は
1-(-1)=2
一方
PQ=2
ですので、P,QのDに対する位置関係の場合分けは以下の三つになります。
(i)P,Qが(A)の不等式の端に当たる点(1,1),(-1,1)にそれぞれ一致する場合
s=2
となります。
(ii)PのみがDの内部(境界含まず)に含まれる場合
s=(Pのx座標)-(-1)=…
となります。
(iii)QのみがDの内部(境界含まず)に含まれる場合
s=1-(Qのx座標)=…
となります。

後はそれぞれの場合で(A)を元にP,Qのx座標に関する不等式を立てて
sに対応するθの値の範囲を求めます。
例えば(ii)の場合だとP,Qのx座標に関する不等式は
-1＜2sinθ＜1,2sinθ-2＜-1
となります。

こちらの計算では
θ=π/6,5π/6のときs=2
0≦θ＜π/6,5π/6＜θ≦2πのときs=2sinθ+1
π/6＜θ＜5π/6のときs=-2sinθ+3
となりました。
No.69 - 2008/05/16(Fri) 11:48:47
☆ Re: 連立不等式 / 真田 ♂ [浪人生]
Ｘさん、返信ありがとうございました。なんとか解けました。とてもわかりやすい解説で

助かりました。ただ、ひとつだけ気になることがあります。

この問題の問題文に【線分ＰＱに含まれる部分がないときはｓ＝０とする。】

と書いてあるのですが、これにはどういう意味があるのでしょうか？
No.75 - 2008/05/16(Fri) 21:01:08
☆ Re: 連立不等式 / X ♂ [社会人]
恐らく
(iv)P,QがいずれもDの外部の左側にある場合
(v)P,QがいずれもDの外部の右側にある場合
を想定してこのような仮定をつけたのだと思うのですが、
問題の場合、このようなことはありえませんので無視しても問題ないと思います。


追記)
＞＞θ=π/6,5π/6のときs=2
＞＞0≦θ＜π/6,5π/6＜θ≦2πのときs=2sinθ+1
＞＞π/6＜θ＜5π/6のときs=-2sinθ+3
ですが
＞＞θ=π/6,5π/6のときs=2
を他の二つの場合に含めて
0≦θ≦π/6,5π/6≦θ≦2πのときs=2sinθ+1
π/6≦θ≦5π/6のときs=-2sinθ+3
としても問題ありません。
No.78 - 2008/05/16(Fri) 22:47:39
★ ベクトルの平行条件 / mellow ♂ [大検生]
黄チャートのベクトルの基本例題ですが、ベクトルの矢印が書けないので省略します。それと最後の「×」は平行でないという記号のつもりです。

「OA=a, OB=b, OP=7a-4b, OQ=2a+bであるとき、PQ//ABであることを示せ。
ただし、ただし、a≠0, b≠0 ,a×b。」

【解答】
AB=OB-OA=b-a ･･･?@
PQ=OQ-OP=(2a+b)-(7a=4b)=-5a+5b=5(b-a) ･･･?A
?@、?Aから、PQ=5AB
b-a≠0であるから、PQ//AB

質問したいのは、「b-a≠0であるから」という最後の断り書きがどのくらい重要なのか、（最初自分で解いたとき、これを書くことを知らなかったのですが）この断り書きを書くのを忘れたら、減点されるのかということです。
あと、「aとbは一次独立である」というのも経験からなんとなく書かないとダメなんだろうなあということはわかっているのですが、それはなぜなのかというのは正直理解できていません。

この2点、よろしくお願いします。
No.48 - 2008/05/14(Wed) 09:25:20
☆ Re: ベクトルの平行条件 / たろ ♂ [北海道] [社会人]
こんにちわ。
たろと申します。

条件より、OABは三角形を形成しますので、特に断らなくてもOKだと思います。
確認のために付けたのでしょう。

一次独立についてですが、これは
例えば↑OAと↑OBが一次独立である場合、簡単に言えば、OABは三角形を形成するということを意味しています。


使い方としては、
全ての平面上の各点は、↑OAと↑OBで一通りにしか表せない

ので、係数比較をして･･･ということをよくやりますね。

この性質を使うならば必ず断り書きをいれなくてはいけませんね。
No.50 - 2008/05/14(Wed) 18:52:28
☆ Re: ベクトルの平行条件 / mellow ♂ [大検生]
たろさんレスありがとうございます。
平行であるときを言うときは別に解答のように言う必要はなくて、係数比較をするときは一次独立であるときを書かないといけないんですね。
ありがとうございます。
No.51 - 2008/05/14(Wed) 21:20:59
☆ Re: ベクトルの平行条件 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
mellowさん，こんにちは。
たろさん，回答ありがとうございます。
補足説明させていただきます。

受験数学では重箱の隅のそんなことどうでもいいやろ，というところまでしっかりと説明しないといけません。問題によっては一見どうでもいいことの方が配点が高かったりします。
例えば，「xの方程式 ax=2 を解け。aは定数とする」という問題は
　x=2/a と答えたら，大学によっては0点かもしれません。
　a≠0 のとき x=2/a , a=0 のとき 解なし
としないと○はもらえません。

大学入試では「vec{u} と vec{v} が平行⇔vec{u}=tvec{v} (tは実数)」なんて誰でも知っていることを聞いているのではなく，平行条件は「vec{u}≠vec{0} かつ vec{v}≠vec{0} のとき」という条件があってはじめて成り立つということがわかっているかを試験しているのです。

ご質問の問題であれば
AB=b-a ･･･?@
PQ=5(b-a) ･･･?A

「vec{a}≠vec{0} , vec{b}≠vec{0} , vec{a}とvec{b}は平行でない」とありますから， vec{b}-vec{a}≠vec{0} は当たり前に成り立ちます。
が，平行条件の前提である「vec{AB}≠vec{0} かつ vec{PQ}≠vec{0} であること」は必ず明記する必要があると私は思います。

先程の方程式の例のように，大学によっては，この一見どうでもいいように思えることこそ重視するかもしれません。

「vec{b}-vec{a}≠vec{0} であるから」という一言を記述しなかったら，どれくらい減点されるのかは，大学が決めることであり，私にはわかりません。
でも書いておくと，減点されることはありません。

参考書というのは，もちろん問題の解き方を勉強するための本ですが，減点されない解答の書き方もまた勉強するための本なのです。
No.55 - 2008/05/15(Thu) 14:40:08
☆ Re: ベクトルの平行条件 / たろ ♂ [北海道] [社会人]
新矢先生

いつも大変お世話になっております。

そこまで気が回らなかったと猛省しております。
前提としている知識でも明記すべきということは分かってはいるのですが、どこまでなすべきかというサジ加減はやはり採点等して慣れていないとつい忘れてしまったりしてなかなか身につかないのかなと、反省しております。

mellowさん、大変申し訳ありませんでした。
No.60 - 2008/05/15(Thu) 19:26:31
☆ Re: ベクトルの平行条件 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
たろ先生，いつもお世話になっています。

このあたりは指導上，たいへん難しいところで，実は私は２年生の授業では，「vec{b}-vec{a}≠vec{0} であるから」とか，「1次独立であるから」とかには黒板にも書かず，一切触れていません。高３の授業で，「実はこういうことも書かないといけないのよね」というように，学年・学力によって説明を変えています。

あまりお気になさらず，今後ともよろしくお願いいたします.
No.65 - 2008/05/15(Thu) 23:38:53
☆ Re: ベクトルの平行条件 / mellow ♂ [大検生]
たろさんに続き、新矢さん回答ありがとうございます。
大学がどういう採点をするのかはハッキリとは断言できないけれど、断った方が無難だということですね。
黄チャートに書き込んでおきます。

＞＞大学入試では「vec{u} と vec{v} が平行⇔vec{u}=tvec{v} (tは実数)」なんて誰でも知っていることを聞いているのではなく，平行条件は「vec{u}≠vec{0} かつ vec{v}≠vec{0} のとき」という条件があってはじめて成り立つということがわかっているかを試験しているのです。

自分は高校中退してしまって独学でやっているので、数学の記述の仕方というのはなかなか一人では判断できないことがあるのですが、確かに、この問題を出してきた意図、出題側が試そうとしている部分を読み取るというのは記述する際のポイントのように思いました。

また何かありましたら質問させてください。
丁寧にありがとうございます。
No.71 - 2008/05/16(Fri) 15:59:34
★ こんばんは / らら ♀ [中国] [高校2年生]
学校の宿題で教科書の中の問題なのですが、わからないので教えてください。
問３１　数列１・３、２・４、３・５、４・６、・・・の一般項を求めよ。また、初項から第ｎ項までの和を求めよ。

一般項までは出せるのですがその後がわかりません。
No.45 - 2008/05/13(Tue) 19:48:21
☆ Re: こんばんは / ＣＯＲＮＯ [東北] [学校教員]
こんばんは．

＞一般項までは出せるのですがその後がわかりません。
　もしかすると，ららさんが間違いを犯しているかもしれません．
　その場合，こちらは適切な回答ができません．
　ですから，その一般項をここに書き込んでください．

　で，ヒントとして…
　この問題では，Σ記号を用います．
No.47 - 2008/05/13(Tue) 22:26:29
☆ Re: こんばんは / らら ♀ [中国] [高校１年生]
返信ありがとうございます。
ですが、Σをどう使うのかがわかりません。
どこからΣ記号がでてくるのかをもう少し教えてください。
すいません。
No.52 - 2008/05/15(Thu) 00:26:01
☆ Re: こんばんは / ＣＯＲＮＯ [東北] [高校１年生]
いえ，まずららさんがだした一般項を書き込んでください．
出ないと話が進みません．
No.53 - 2008/05/15(Thu) 05:44:55
★ はじめまして / Daniel ♂ [近畿] [高校3年生]
はじめまして、Danielと申します。よろしくお願いします。
学校で渡された課題で、解答のみ渡されているのですが、どうしても導き出す事ができません。

mを6以下の正の整数とする。(x^2-2/x)^mの展開式で0出ない定数項が出てくるようなmの値をすべて求めよ。また、(x^2-2/x+1)^6の展開式の定数項を求めよ。

前半の問題はm=3,6と解答できたのですが、後半の問題の定数項は解答の481になりません。((x^2-2/x)+1)^6として、前半の問題と関連付けて解くと思ったのですが。。どう考えたらよいのでしょうか？
No.39 - 2008/05/13(Tue) 00:29:26
☆ Re: はじめまして / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
Danielさん、はじめまして。河童です。

もし問題が、( x + y )^6 のような簡単な展開ならば、問題なく二項定理ですよね。

また、( x + y + 1 )^6 のような展開でも、x + y をひとかたまり、例えば A とおくことにより、

( A + 1 )^6　　　………(1)

同様に二項定理が使えますね。

また、この二項展開では、７つの項が現れますが、定数項は問題なく 1 と分かります。
問題なく 1 だと言えるのは、A の正体が x + y であるために、A が関係する残りの６つの項に、文字の０乗が現れないことによります。

ところが、本問の場合、A にあたる部分が、

x^2 - 2/x

ですから、文字の０乗が現れる心配が出てくるわけですね。
その、文字の０乗が現れる項というのが、前半の問題により、A^3 の項と、A^6 の項であるということが分かったわけです。

ということは………

二項定理により、(1) 式を展開したとき、A^3 と A^6 の現れる項を考え………
No.43 - 2008/05/13(Tue) 04:12:26
☆ Re: はじめまして / Daniel ♂ [近畿] [高校3年生]
河童さん、教えていただいてありがとうございます！

A^3の項とA^6の項、それに(A+1)^6の定数項である1を加えて、解答にたどり着く事ができました。ほんとうにありがとうございました。
No.46 - 2008/05/13(Tue) 20:35:20
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