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★ こんばんは！ / yu ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんわ！
大学の入試問題なんですが、教えてください。

３辺の長さa, b,cの直角三角形の外接円の半径が3/2、内接する円の半径が１/2のとき、次の問いに答えよ。ただし、a≧b≧cとする。
（1）aの値を求めよ
（2）bとcの値を求めよ
（１）は正弦定理を使ってa=3という値が求まりました。
（２）は掲載されていたヒントをもとに、
a^2=b^2+c^2から9=b^2+c^2・・・（Ａ）
また、面積の式
　S=1/2bc sin90°
　S=1/2(a+b+c)r=1/4(a+b+c) rは内接円の半径
の二つの式を作って
1/2bc=1/4(a+b+c)
としてみたのですがどうしていいか分からなくなりました。。
No.28 - 2008/05/11(Sun) 23:15:48
☆ Re: こんばんは！ / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
yuさん，こんにちは。

1/2bc=1/4(a+b+c)　に a=3 を代入してまとめると，b+c=2bc-3 となりますね。
得られた式をまとめると，
　
　b^2+c^2=9　…（Ａ）
　b+c=2bc-3　…（Ｂ）
この b,c の連立方程式を解けばいいですね。
解き方ですが，両式とも対称式です。
2式とも対称式の連立方程式は入試で結構お目にかかりますが，和と積をまず求めます。
(A)(B)から，b+c と bc の値を求めてみましょう。

もう少しヒントをいうと，
　対称式の問題は必ずといっていいくらい　x^2+y^2=(x+y)^2-2xy を使います。
No.32 - 2008/05/12(Mon) 16:08:13
☆ Re: こんばんは！ / yu
ありがとうございます。一応計算してみたんですがこんなかんじでいいんでしょうか？

Ａよりb＾2+c＾2=(b+c)＾2-2bc=9…Ａ'
Ｂよりb+c-2bc=-3…Ｂ'
Ａ'-Ｂ'で
(b+c)＾2-(b+c)=12
(b+c)＾2-(b+c)-12=0
(b+c+3)(b+c-4)=0
b+c＞0よりb+c=4
Ｂよりbc=7/2
b，cはx＾2-4x+7/2=0の解
つまり2x＾2-8x+7=0の解
x=(4±√2)/2
b＞cよりb=(4+√2)/2
c=(4-√2)/2

No.38 - 2008/05/12(Mon) 21:53:42
☆ Re: こんばんは！ / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
はい。それでＯＫです！
No.40 - 2008/05/13(Tue) 01:34:13
☆ Re: こんばんは！ / yu
分かりました！新矢先生ありがとうございました！
No.44 - 2008/05/13(Tue) 18:14:27
★ こんにちは。 / 真美 ♀ [四国] [高校3年生]
こんにちは。初めまして、真美といいます。初めて質問します。よろしくお願いします。
学校からのプリントの問題で、最終的な答えだけは渡されているんですが、考え方がわかりません。

Ｐ＝2x^2-4xy+4y^2+2x+1について、xが実数、yが純虚数で、等式Ｐ＝０が成り立つとき、
xとyの値を求めよ。

最初はＰ＝(2x^2+2x+1)+(4y^2-4xy)＝０として、係数比較をしてみたんですが、答えが合わなくて、Ｐ＝(2x^2-4xy+4y^2)+(2x+1)＝０と変形して再度やってみたんですが、またも合いませんでした。

どういう変形をすればいいのでしょうか？純虚数という条件をどう使えばいいのかが分かりませんでした。
No.30 - 2008/05/12(Mon) 12:28:36
☆ Re: こんにちは。 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
真美さん，はじめまして。

最初に｢複素数｣と｢虚数｣をごちゃごちゃにされている人が多いので確認しておきますね。
a,bを実数として，a+bi の形で表される数を｢複素数｣といいます。
b=0 のときも｢複素数｣です。例えば，3 や 1-√2 はもちろん実数ですが，複素数でもあります。
b≠0　の複素数を｢虚数｣といいます。簡単にいえば i がついている数ですね。
2-3i や √3+√5i ですね。
虚数の中でも特にa=0 の数，例えば　3i や (1+√2)i を純虚数といいます。

さて，ご質問の問題のように｢〜は純虚数とする｣という問題がよくあります。
その場合は置き換えるのが原則です。
今の問題では　y=bi （b は実数とする）と置き換えて，yのところに代入してみましょう。
No.31 - 2008/05/12(Mon) 15:52:05
☆ Re: こんにちは。 / 真美 ♀ [四国] [高校１年生]
新矢先生、丁寧に教えていただき本当にありがとうございます。教科書も、もう一度復習してみます。

先生に教えていただいたとおりに、yの所に代入してみると、Ｐ=(2x^2-4b^2+2x+1)-4bxi=０になりました。これで、2x^2-4b^2+2x+1=０･･･（ア）と-4bxi=０･･･（イ）の連立方程式で解こうとしたんですが、…どの文字を消して計算すればいいのか分からなくなりました。。。
No.33 - 2008/05/12(Mon) 17:30:06
☆ Re: こんにちは。 / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
こんにちは。

先程の補足です。
＞a,bを実数として，a+bi の形で表される数を｢複素数｣といいます。
aを実部，bを虚部といいます。
また，a+bi=0 ⇔ a=0 かつ b=0　です。

＞　(2x^2-4b^2+2x+1)-4bxi=０
ですから試験のときは，（イ）は -4bxi=0 ではなく　-4bx=0　と書かないといけません。

さて，-4bx=0　から　b=0 または x=0 となりますね。
ここで，b=0なら，y=bi=0 となってしまい，yは純虚数でなくなってしまいます。
ということで，x=0 ですね。
No.34 - 2008/05/12(Mon) 17:59:20
☆ Re: こんにちは。 / 真美 ♀ [四国] [高校3年生]
新矢先生、こんばんは。先生からのヒントで、最後まで理解して解くことができました。基本のことから教えてくださり,本当にありがとうございました!

　
No.36 - 2008/05/12(Mon) 20:10:35
★ おはようございます!! / 玲 ♀ [沖縄] [高校１年生]
はじめまして。玲といいます。
今回、はじめて質問しますので、よろしくお願いします。

学校から渡されたプリントです。

ある高等学校ご１粘性全員が長いすに座るのに、
１脚に６人ずつかけていくと１５人が座れないので、
１脚に７人ずつかけていくと、使わない長いすが３脚できる。
長いすの数は何脚以上何脚以内ですか。

まず、どうやって式をたてたらいいかわかりません。
No.15 - 2008/05/10(Sat) 10:14:20
☆ Re: おはようございます!! / londontraffic ♂ [社会人]
玲さん，こんにちは．
多少手間がかかっても，わかりやすい方法をとってみましょう．

今回求めるのは「長いすの数」のとりうる値の範囲です．
よって，例えば未知数xを「長いすの数」とします．
また１年生全員が座れる・座れないという問題なので，１年生の数をyとします．
>１脚に６人ずつかけていくと１５人が座れないので、・・・（あ）
>１脚に７人ずつかけていくと、使わない長いすが３脚できる。・・・（い）
まず（あ）（い）それぞれで，不等式を立ててみてください．
分からなければその旨をカキコしてくださ．
No.16 - 2008/05/10(Sat) 16:11:04
☆ よろしくお願いします / 玲 ♀ [沖縄] [高校１年生]
６x＋１５≧x≧７x−２１
でいいんですか？

２１は７人座ったいすの３脚分で計算したんですけど･･･

よろしくお願いします。
No.22 - 2008/05/11(Sun) 10:58:34
☆ Re: おはようございます!! / londontraffic ♂ [社会人]
ﾚｽありがとうございます．
初めにお詫びがあります．（あ）から作られる式は不等式ではなくて，等式でした．
本当にすいませんm(_ _)m


まず（あ）です．
>１脚に６人ずつかけていくと１５人が座れない
なので，
１脚に６人ずつかけたときの人数 ＜ １年生全員の人数
となります．
１脚に６人ずつかけたときの人数＋15人が１年生全員の人数と等しくなるので
y=6x+15
玲さんの考え方はほぼあっているようです．

次に（い）です．
>２１は７人座ったいすの３脚分で計算したんですけど･･･
ここですが，３脚はまるまる空いているので，最低21人分は空き席です．
しかし，１人ずつ座っていって，最後の１脚が満員ではなく半端かもしれません．
そこで空き席の数はどのような範囲になるか考えてみます．
赤で書いたように空き席の最小人数は21人で，半端な席が１人の場合が最大人数7×4-1=27人です．そうすると，空き席が
7x-y
であることから，
21≦7x-y≦27
という式が成り立ちます．

以上のことから，　y=6x+15・・・（１）　21≦7x-y≦27・・・（２）
という２本の式ができあがりました．
（１）を（２）に代入すると
21≦7x-(6x+15)≦27・・・（３）
21≦x-15≦27
となり，連立不等式　21≦x-15・・・（４）　x-15≦27・・・（５）
を解けば求める範囲を求めることができます．

慣れてくるとすぐに（３）を作れるようになりますが，今は無理をする必要はありません．
ここまでいかがですか？
No.23 - 2008/05/11(Sun) 12:56:06
☆ Re: おはようございます!! / 玲 ♀ [沖縄] [高校１年生]

londontrafficさんの言っている、『y』っていうのは
高等学校の１年生の数ですか？

空き席が２７席っていうのもわかりました。
（７人座れるいすに１人だけ座るって場合があるってことですよね。）

でも、その空き席が７x−yとなることがよくわかりません。
この７x−yというのは何を表してるんですか？
No.24 - 2008/05/11(Sun) 13:16:55
☆ Re: おはようございます!! / londontraffic ♂ [社会人]
はい．最初のﾚｽに書いた
>>また１年生全員が座れる・座れないという問題なので，１年生の数をyとします．
です．

>でも、その空き席が７x−yとなることがよくわかりません。
>この７x−yというのは何を表してるんですか？
xは長いすの数なので，7xは「７人で座ったときの総席数」になります．
そこから「１年生の総人数」yを引けば空き席になるハズです．
【例えば長いす10脚，生徒の数50であれば，7×10-50=20席が空き席になります】

どうでしょう？
No.25 - 2008/05/11(Sun) 16:54:28
☆ こんにちは / 玲 ♀ [沖縄] [高校１年生]

わかりました!!

?@は生徒の総数で、６x＋１５
?Aは空きいすの数で、空いている数の最少が２１、最多が２７で
２１≦７x−y≦２７
それを代入して
計算して
ということですね!!

わかりやすく、詳しい説明、どうもありがとうございました!!。
No.35 - 2008/05/12(Mon) 18:02:26
★ こんばんは！ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
新しい掲示板でもよろしくお願いします。。
今回質問したい問題はこれです。
学校から渡された教材からです。

1次式f_n(x)(n=1,2,3・・・)が
f_1(x)=x+1,　x^2・f_n+1(x)=x^3+x^2+int_(0)^(x)t・f_n(t)dt (n=1,2,3・・・)
を満たすとき、f_n(x)を求めよ。

どこから手をつければいいのかわかりませんでした、、
No.13 - 2008/05/09(Fri) 23:43:19
☆ Re: こんばんは！ / X ♂ [社会人]
亮さん、おはようございます。

f[1](x)=x+1 (A)
(x^2)f[n+1](x)=x^3+x^2+∫[0→x]tf[n](t)dt (B)
とします。

f[n](x)は一次式ですので
f[n](x)=a[n]x+b[n] (C)
と置くと、(A)より
a[1]=b[1]=1 (D)
更に(C)を(B)に代入して、右辺の積分を具体的に計算してまとめ、両辺の係数を比較します。
するとa[n],b[n]についての漸化式が導出されますので、これを(D)の下で解きます。
No.14 - 2008/05/10(Sat) 08:34:17
☆ Re: こんばんは！ / 亮 ♂ [東北] [高校１年生]
a_n=-1/2(1/3)^(n-1)+3/2
b_n=-(1/2)^(n-1)+2
となって、
f_n=-1/2・x{(1/3)^(n-1)-3}-(1/2)^(n-1)+2
となったんですが、合ってますか？
なんか答えが複雑で不安です・・・。
No.19 - 2008/05/11(Sun) 01:18:05
☆ Re: こんばんは！ / X ♂ [高校１年生]
ええ、それで問題ありません。
No.20 - 2008/05/11(Sun) 10:03:16
☆ Re: こんばんは！ / 亮 ♂ [東北] [高校3年生]
わかりました！！
X先生、ご指導ありがとうございました。。
No.27 - 2008/05/11(Sun) 17:53:04
★ 質問掲示板を移設しました / 新矢 （運営者） ♂ [近畿] [塾講師]
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No.12 - 2008/05/08(Thu) 18:32:36
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