リュケイオン「高校数学質問掲示板」

★ 2次不等式 / Mr.ズッキーニ ♂ [近畿] [中学生]

こんにちは。二次不等式でわからない問題があります。

2次不等式 x^2+2mx+m+2>0 の解が、すべての実数となるとき、定数mの値の範囲を求めなさい。

という問題です。
xの係数が正で、かつすべての実数となるので、
x>0, D<0 である。………ここで手が止まってしまいました(T_T)
悩みの原因は、項が4つ存在するところにあります。
この先のヒントを教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

No.6442 - 2011/08/09(Tue) 19:50:19

☆ Re: 2次不等式 / Mr.ズッキーニ ♂ [近畿] [中学生]

こんにちは。閃きました(=´∀｀)人(´∀｀=) 答えは合っているのですが、解法が気になるので確かめていただけたらと思います。

x^2+2mx+m+2 > 0
={(x+m)^2}-(m^2)+m+2
={(x+m)^2}-(m-2)(m+1)
………よって x^2+2mx+m+2 の頂点は {-m ，-(m-2)(m+1)}
また、解がすべて実数なので、頂点のy座標 > 0
-(m-2)(m+1) > 0
(m-2)(m+1) < 0
m=2 , -1
-1 < m < 2………となる。どうでしょうか。見苦しいですが、よろしくお願いします(^-^)/

No.6448 - 2011/08/11(Thu) 19:18:59

☆ Re: 2次不等式 / おむすびころりん [学校教員]

2 つ目の書き込みについてですが、

> x^2+2mx+m+2 > 0
> ={(x+m)^2}-(m^2)+m+2
> ={(x+m)^2}-(m-2)(m+1)
> ………よって x^2+2mx+m+2 の頂点は {-m ，-(m-2)(m+1)}
> また、解がすべて実数なので、頂点のy座標 > 0
> -(m-2)(m+1) > 0
> (m-2)(m+1) < 0
> m=2 , -1
> -1 < m < 2

「考え方・解法は、これで OK です。」

答案としては、以下の 2 点に注意して下さい。

・　1 行目から 2 行目へは「＝」ではつながりません。

　横に続けたら、 x^2＋2mx＋m＋2＞0＝(x＋m)^2－m^2＋m＋2 となり、
　これは x^2＋2mx＋m＋2 が「 0 より大きい」かつ「 0 」となってしまいます。

・　-(m-2)(m+1)>0 から -1<m<2 までは式のみでつなぐべきではありません。

　(m－2)(m＋1)＜0 の解は－1＜m＜2 ですが、
　間の行の m＝2, －1 は (m－2)(m＋1)＜0 とは直接結びついていませんし、
　m＝2, －1 から－1＜m＜2 にも直接結びつきません。

以下、答案の例を書いておきます。

x^2＋2mx＋m＋2＞0…(a) について、
左辺＝{(x＋m)^2－m^2}＋m＋2＝(x＋m)^2－(m＋1)(m－2) となるので、
関数 y＝x^2＋2mx＋m＋2…(b) のグラフの頂点は (－m, －(m＋1)(m－2)) で、
(a) の解はすべての実数となるとき、
(b) のグラフの頂点のy座標は－(m＋1)(m－2)＞0…(c) となる。
(c) より、 (m＋1)(m-2)＜0 となり、
(m＋1)(m-2)＝0 の解は m＝－1, 2 なので、
(c) の解、つまり、 (a) の解がすべての実数となるときの m の値は
－1＜m＜2 である。

No.6454 - 2011/08/12(Fri) 13:13:20

☆ Re: 2次不等式 / おむすびころりん ♂ [九州] [学校教員]

1 つ目の書き込みについてですが、

> xの係数が正で、かつすべての実数となるので、
> x>0, D<0 である。………ここで手が止まってしまいました(T_T)
> 悩みの原因は、項が4つ存在するところにあります。
> この先のヒントを教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

x の 2 次関数 y＝ax^2＋bx＋c…(a) について、

　「x^2 の項の係数 a が正の値」の場合、「 (a) のグラフは下に凸」で、

　(1)　D＞0 の時、 (a) のグラフと y 軸の交点は 2 つ存在し、
　　　(a) の最小値は負の値となるので、
　　　2 つの交点では ax^2＋bx＋c＝0 ,
　　　2 つの交点の間では ax^2＋bx＋c＜0 ,
　　　2 つの交点の外側では ax^2＋bx＋c＞0
　　　となります。

　(2)　D＝0 の時、 (a) のグラフと y 軸の交点は 1 つ存在し、
　　　(a) の最小値は 0 となるので、
　　　交点では ax^2＋bx＋c＝0 ,
　　　交点以外では ax^2＋bx＋c＞0
　　　となります。

　(3)　D＜0 の時、 (a) のグラフと y 軸の交点は存在せず、
　　　(a) の最小値は正の値となるので、
　　　常に ax^2＋bx＋c＞0 となります。

つまり、この問題では (3) の D＜0 のみを考えればよいという事になります。

また、この問題は「 x についての 2 次不等式」です。

不等式の左辺 x^2＋2mx＋m＋2 は、「文字 x に着目する」と、
x^2 の項の係数は 1 , x の項の係数は 2m , 定数項は m＋2(注意) となるので、
(a) について、 a＝1 , b＝2m , c＝m＋2 と考えて、
(a) の判別式 D を計算する事になります。

No.6455 - 2011/08/12(Fri) 13:51:26

☆ Re: 2次不等式 / Mr.ズッキーニ ♂ [近畿] [中学生]

おむすびころりん先生、こんにちは。丁寧にご説明してくださりありがとうございます。答えが合っても説明が成り立ってなかったらダメですよね…。もっと勉強します(￣^￣)ゞ

ところで、数1の知識をもっと深めるために、ただいまどの参考書を購入するべきか悩んでいます。シリーズはチャートで、黄が良いと周りが言っていますので黄でいこうかと思っています。しかし黄は三種類あって、「数1のみ」、「数1+A」、「数Aのみ」があります。今回は数1がメインにしたいので、「数1のみ」か、「数1+A」になるだろうと思います。そこで、今回は「数1のみ」を購入し、必要になったら「数Aのみ」を購入する方法でいくか、今回のうちに「数1+A」を購入しておくかで悩んでいます。
「数1のみ」と「数Aのみ」を購入した方が「数1+A」より深い知識を得ることができるのでしょうか。つまらない質問ですがよろしくお願いしますm(_ _)m

No.6456 - 2011/08/12(Fri) 14:27:55

☆ Re: 2次不等式 / おむすびころりん ♂ [九州] [学校教員]

> 答えが合っても説明が成り立ってなかったらダメですよね…。
> もっと勉強します(￣^￣)ゞ

考え方・解法をしっかり把握できるのであれば、
答案も徐々にきちんと書けるようになると思いますよ。

> ところで、数1の知識をもっと深めるために、ただいまどの参考書を購入するべきか悩んでいます。
> シリーズはチャートで、黄が良いと周りが言っていますので黄でいこうかと思っています。
> しかし黄は三種類あって、「数1のみ」、「数1+A」、「数Aのみ」があります。
> 今回は数1がメインにしたいので、「数1のみ」か、「数1+A」になるだろうと思います。
> そこで、今回は「数1のみ」を購入し、必要になったら「数Aのみ」を購入する方法でいくか、今回のうちに「数1+A」を購入しておくかで悩んでいます。
> 「数1のみ」と「数Aのみ」を購入した方が「数1+A」より深い知識を得ることができるのでしょうか。
> つまらない質問ですがよろしくお願いしますm(_ _)m

数学Iの知識をもっと深めるという目的であれば、「数学I」のみでいいかと思います。

ただ、

・　「数学I」と「数学A」の最後の方は、ともに図形を取り扱うので、
　それぞれのアプローチ・解法は組み合わせて使用できる方が良い。

・　「数学A」で扱う「かつ」, 「または」, 「～以外・～でない」といった考え方は、
　「数学A以外」にも関係するので、理解しておいて損はない。
　(例えば、連立方程式や連立不等式は「かつ」が,
　答えが2か所出てくる2次不等式や場合分けで考える問題では「または」が
　根底にあったりします。)

・　「数学I＋A」は、「数学I」と「数学A」の全内容の合冊本なので、
　どっちみち両方学習する予定であれば、「数学I＋A」を買った方が安い。
　(「数学I」と「数学A」を別々に購入した方が「数学I＋A」より
　深く学習できるという事はないと言っていいでしょう。)

という事もありますので、

最終的に「数学I」と「数学A」の両方を購入するぐらいなら、
「数学I＋A」を購入しておけばよいかと思います。

No.6457 - 2011/08/12(Fri) 17:08:41

☆ Re: 2次不等式 / Mr.ズッキーニ ♂ [近畿] [中学生]

おむすびころりん先生、こんにちは。

＞考え方・解法をしっかり把握できるのであれば、
＞答案も徐々にきちんと書けるようになると思いますよ。

もったいないお言葉、ありがとうございます！励みになります。

＞「数学I＋A」は、「数学I」と「数学A」の全内容の合冊本なので、
＞　どっちみち両方学習する予定であれば、「数学I＋A」を買った方が安い。
＞　(「数学I」と「数学A」を別々に購入した方が「数学I＋A」より
＞　深く学習できるという事はないと言っていいでしょう。)

丁寧に教えてくださり、ありがとうございます。
近々早速書店へ足を運ぼうと思いますε=ε=ε=ε=ε=ε=┌(;￣◇￣)┘0

途中から趣旨がずれた会話になってしまい、すみませんでした。こんな僕に丁寧に教えてくださり、本当にありがとうございました。

No.6459 - 2011/08/12(Fri) 18:08:39

★ ２次関数・数Iの問題 / RU ♀ [関東] [高校１年生]

こんにちは、初めて投稿させていただきます!!
高校１年の者です。

x,yを実数とするとき、２次式4x^2-12xy+10y^2+4x+11の最小値を求めよ。

私はこの問題をこのように求めました。

4x^2-12xy+10y^2+4x+11=k…?@　とおく。
4x^2-12xy+10y^2+4x+11-k=0

判別式D/4=(6y-2)^2-(10y^2+11-k)
=-4y^2-24y-40+4k

-4y^2-24y-40+4k=0…?Aとし
?Aに-1/4をかけて
y^2+6y+10-K=0…?B

?Bを平方完成すると
(y+3)^2+1-k=0 より

yの最小値は　y=-3　のときであり
?Bにy=-3を代入して
k=1

?@に y=-3,k=1 を代入して
x=-5

A. x=-5,y=-3のとき　最小値1

答えはあっているのですが、途中式に不安があります。
どこがいいのか、どこがだめなのか…

?@最初の判別式の使い方は正しいか。
　判別式を使う目的は何か。
　(私はx,yが実数なので判別式を使うのかな??と思いました。)

?A「-4y^2-24y-40+4k=0…?Aとし」と書きましたが、
　「-4y^2-24y-40+4k」を「=0」にしてよいのか。
　　(私は実数解は１つだと考えたので「=0」としました。)

ご指摘お願いします!!＞＜

No.6376 - 2011/07/31(Sun) 11:08:59

☆ Re: ２次関数・数Iの問題 / 新矢(運営者) ♂ [近畿] [塾講師]

RUさん，はじめまして。

4x^2-12xy+10y^2+4x+11-k=0
という方程式を作り，判別式を利用して解く方法もあります。
その方針に従ったとしても，RUさんの答案には不備がいくつかあります。
どこがおかしいのか，どう修正すればいいのかなのですが，
RUさんは高校1年生ということですので，このレスでは敢えて述べないことにします。

というのも，高校1,2年生の間は，典型問題の教科書・参考書どおりの模範的な解法パターンをマスターすることが何より大切だと私は考えます。

そこで，お持ちの参考書でこの問題の類題を探し（必ず載っているはずです），その模範解答の解法でこの問題を解いてみてくださいませんか？

その模範解答の解法がマスターできた時点で，RUさんがまだ判別式の解法が気掛かりなのであれば，その解き方についても述べさせていただこうかと思います。

No.6395 - 2011/08/03(Wed) 21:38:13

☆ Re: ２次関数・数Iの問題 / RU ♀ [関東] [高校１年生]

ありがとうございます。
参考書などを使ってもう１度考えてみます＊

No.6451 - 2011/08/11(Thu) 20:02:01

★ 二次関数 / ジェット人参 ♂ [中国] [高校１年生]

こんにちは。二次関数で確認したい問題があります。
二次関数 y=x^2+mx+m のグラフとｘ軸の位置関係が次のようなとき、定数mの値の範囲を求めなさい。

⑴ 異なる2点を共有する。

⑵ 共有点をもつ。

⑶ 共有点をもたない。

⑴ D=m^2-4m>0
m=2±2
m<0,2<4

⑵ D=m^2-4m=0
m=2±2
m=0,4

⑶ D=m^2-4m<0
m=2±2
0<m<4

と求めました。⑵と⑶が合ってるかどうか不安です。よろしくお願いします。

No.6437 - 2011/08/09(Tue) 09:18:56

☆ Re: 二次関数 / さんぴん茶 ♂ [九州] [大学生]

おはようございます。初めまして。
さんぴん茶と申します。

答えのみでいうと、(3)だけが合っています。
(1)はたぶん打ち込みのミスでしょう。

さて、記述的なことを言わせてもらいますと、２次不等式を解く際はまず因数分解して
(x-α)(x-β)＜0（α＜β）⇒α＜x＜β
(x-α)(x-β)＞0　　　　 ⇒x＜α、β＜x
を利用して解きましょう。

あと、(2)ですが、「共有点を持つ」には
共有点を1つもっても2つもってもよい、という意味があります。
ですので、判別式の条件はどうなればよいでしょうか？

No.6438 - 2011/08/09(Tue) 09:54:44

☆ Re: 二次関数 / ジェット人参 ♂ [中国] [高校１年生]

さんぴん茶さん、こんにちは。
…あっ⑴は打ち込みミスです。
m<0,4<m……………ですね。

⑵は共有点が「一つ以上」ととらえると、
D＝m^2-4m≧0
となる、ということでしょうか。

<記述的なことを言わせてもらいますと、２次不等式を解く際はまず因数分解>
ここがあまり理解できてません。
m^2-4m>0の場合は、
{(m-2)^2}-4>0の形にする、ということでしょうか。
質問ばかりですみません。よろしくお願いします。

No.6439 - 2011/08/09(Tue) 10:27:04

☆ Re: 二次関数 / さんぴん茶 ♂ [九州] [大学生]

こんにちは。

(2)はＯＫです。

>記述的なことを言わせてもらいますと、２次不等式を解く際はまず因数分解
ここがあまり理解できてません。

ここは僕の説明が悪かったです。
2次不等式を解く場合にはグラフを利用して考えるととてもわかりやすいです。
（グラフを利用するのは教科書にも必ず載っているの見てみてください。わからなければ質問してみてください。）
しかし、因数分解できる2次式においては機械的に
(x-α)(x-β)＜0（α＜β）⇒α＜x＜β
(x-α)(x-β)＞0　　　　 ⇒x＜α、β＜x
を用いて答えを出します。

ですので、細かいかもしれませんが、(3)でいうと
D=m^2-4m<0
m=2±2
0<m<4

1行目ではD<0となっていますが、2行目はD=0を解いたmの値が求められていますよね。
何の説明もなしに1行目と2行目で違うことをやっているのでちょっと引っかかります。
基本的なところなので、この際解き方を覚えてしまいましょう。

>m^2-4m>0の場合は、
{(m-2)^2}-4>0の形にする、ということでしょうか。

これだと平方完成ですよね。
因数分解はまずは共通因数がないか、公式が使えないかを考えてみましょう。

No.6440 - 2011/08/09(Tue) 18:24:27

☆ Re: 二次関数 / ジェット人参 ♂ [中国] [高校１年生]

こんにちは。なるほど、共通因数からすれば良いんですね。ご丁寧に説明してくださってありがとうございました。

No.6441 - 2011/08/09(Tue) 19:29:10

★ 因数分解 / ジェット人参 ♂ [中国] [高校１年生]

a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)
を因数分解する。

という問題です。できるだけ自分の力で答えにたどり着きたいので、ヒントだけ教えていただけきたいです。よろしくお願いします。

No.6419 - 2011/08/06(Sat) 23:31:13

☆ Re: 因数分解 / londontraffic [教育関係者]

ジェット人参さん，おはようございます．
早速です．

因数分解は
1)共通因数を見つける
2)公式の利用
3)最低次の文字で整理
の順に考えます．
今回の式において，1)2)をすぐに使える状況にはないので，3)ですね．
a,b,cすべて2次なのでどの文字でもいいですが，aについて整理してみてはいかがでしょう．

No.6421 - 2011/08/07(Sun) 05:50:09

☆ Re: 因数分解 / ジェット人参 ♂ [中国] [高校１年生]

先生、こんにちは。父にも相談してみたところ、僕の父は
a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)
=a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)+abc-abc …とおいて
=ab^2-ac^2+bc^2-a^2b+a^2c-b^2c+abc-abc
=(abc-ac^2-b^2c+bc^2)+(ab^2-a^2b+a^2c-abc)
=c(ab-ac-b^2+bc)-a(ab-ac-b^2+bc)
=(c-a)(ab-ac-b^2+bc)
=(c-a)(a-b)(b-c)
=(a-b)(b-c)(c-a)
…と因数分解しました。僕は+abc-abcという発想は思いつきませんでした。
ところで先生の言われた通りaで整理したところ、
a(b^2-c^2-ab+ac)+bc^2-b^2c
で手が止まってしまいました…。この続きのヒントをいただきたいのですが…。どうぞよろしくお願いします。

No.6424 - 2011/08/07(Sun) 10:37:14

☆ Re: 因数分解 / londontraffic [教育関係者]

お父様に教えていただけるとは，良い環境ですね．

>a(b^2-c^2-ab+ac)+bc^2-b^2c
これでよさそうですが，ちょっと違うのですよ．
降べきの順に整理するので，~~【黒が2次，青が1次，オレンジが定数扱い】~~
【青が2次，黒が1次，オレンジが定数扱い】
a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)
=-(b-c)a^2+(b^2-c^2)a+bc^2-b^2c
と整理します．

この後，2カ所の下線部を因数分解すると，3つの項で共通因数が見つかるはずです．

頑張ってみてください！

P.S.間違えているところを直しました（8/7 12:13）

No.6426 - 2011/08/07(Sun) 11:22:43

☆ Re: 因数分解 / ジェット人参 ♂ [中国] [高校１年生]

先生、こんにちは。
(b^2-c^2)を因数分解すると
=(b+c)(b-c)

bc^2-b^2cを因数分解すると
=-(-bc^2+b^2c)
=-(b^2c-bc^2)
=-bc(b-c)

これを用いて
a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)
=-a(b-c)+a(b+c)(b-c)-bc(b-c)

(b-c)=X…とすると
-aX+aX(b+c)-bcX

ここでまた手が止まってしまいました。(b+c)が邪魔なのでどうにかしたいです…。さらなるヒントをお願いします…。

No.6427 - 2011/08/07(Sun) 16:39:14

☆ Re: 因数分解 / londontraffic [教育関係者]

ほぼ，これでokですよ．

-a^2(b-c)+a(b+c)(b-c)-bc(b-c)
=-a^2X+aX(b+c)-bcX
=-X{a^2-(b+c)a+bc}
となりますからね．
この後は{ }内を因数分解して，終了です．

No.6428 - 2011/08/07(Sun) 16:55:39

☆ Re: 因数分解 / ジェット人参 ♂ [中国] [高校１年生]

先生、こんにちは。
あぁっ！2乗を見落としてました！因数分解できなかったわけだ…。
=-a^2X+aX(b+c)-bcX
=-X{a^2-(b+c)a+bc}
=-X(a-b)(a-c)
=-(b-c)(a-b)(a-c)
=(a-b)(b-c)(a-c)

……のはずなんですが、父の答えと若干違います。途中でミスしたのでしょうか…。

No.6429 - 2011/08/07(Sun) 17:19:27

☆ Re: 因数分解 / londontraffic [教育関係者]

>=-(b-c)(a-b)(a-c)
>=(c-b)(b-a)(c-a)
ここの変形を変えればいいのですよ．
- を(a-c)に入れれば，
(a-b)(b-c)(c-a)
となりませんか？

No.6430 - 2011/08/07(Sun) 17:32:35

☆ Re: 因数分解 / ジェット人参 ♂ [中国] [高校１年生]

こんにちは。質問です。-を(a-c)だけに入れることできるんですか？

No.6431 - 2011/08/07(Sun) 17:48:16

☆ Re: 因数分解 / londontraffic [教育関係者]

-(b-c)(a-b)(a-c)
は
-1×(b-c)(a-b)(a-c)
のことですよね．

-2×3×4=-1×2×3×4
なので，
(-2)×3×4=2×(-3)×4=2×3×(-4)
となりますよね．

No.6432 - 2011/08/07(Sun) 18:02:57

☆ Re: 因数分解 / ジェット人参 ♂ [中国] [高校１年生]

あっ本当ですね！文字で考えようとせず数字を当てはめれば納得しました。…ということで答えにたどり着けました。先生のご指導のおかげです。ありがとうございました。

No.6433 - 2011/08/07(Sun) 19:21:59

★ (No Subject) / ボブ ♂ [中国] [中学生]

放物線とX軸の関係の問題
放物線ｙ＝ｘ２乗＋２ａｘ＋２ａがｘ軸と異なる２点A、Bで交わる時、

⑴ ａの値の範囲を求めなさい。

⑵ AB＝4となるようにａの値を定めなさい。

この問題わからないんでできるだけ詳しい解説もお願いします。

No.6390 - 2011/08/03(Wed) 13:54:34

☆ Re: / 新矢(運営者) ♂ [近畿] [塾講師]

ボブさん，こんにちは。

中学生ということですが，質問の問題は高校数学I 内容の問題です。
高校数学I の２次関数・2次方程式・2次不等式は学校で学習済みでしょうか？

No.6393 - 2011/08/03(Wed) 21:13:19

☆ Re: / ボブ ♂ [中国] [中学生]

数検準二級を目指して家で1人で勉強しています。学校では習ってませんが、基本的なことは理解してると思います。問題集のその問題の解説がちょっと分からなかったので、お聞きしたいのですが…。この問題も基本的なことなのでしょうか？まだまだ未熟でわからないところも多々ありますが、よろしくお願いします。

No.6397 - 2011/08/03(Wed) 22:28:23

☆ Re: / 新矢(運営者) ♂ [近畿] [塾講師]

ボブさん，こんばんわ。

ご質問の問題は，「高校数学」の立場から言えば，極めて基本的な問題です。
ボブさんの２次関数・２次方程式・２次不等式に関する理解度が不明ですので，どのように回答すればいいのか，わからないというのが正直な感想です。

そこで，
＞解説がちょっと分からなかったので、
ということですので，その解説の分かりにくかった箇所を書き込んでいただけますでしょうか。

No.6398 - 2011/08/04(Thu) 02:25:01

☆ Re: / ボブ ♂ [中国] [中学生]

ヘタな説明ですみません…。
⑴ 交点X座標－ａ±√ａ２乗－２ａが存在するにはａ２乗－２ａ〉0が必要。これを解いてａ〈0, 2〈ａ。

僕はこの問題を
ｘ２乗＋２ａｘ＋２ａ＝０の判別式をＤとする。X軸２点と交わり、かつ下に凸なので、
D〈0, ａ〉0。D＝4ａ２乗－8ａ〈0
4ａ(ａ－２)〈0 よってａ〈0, ａ〉2 としました。
答えはあっていたのですが、解説と解き方が違い気になったので…。僕の解き方は間違いでしょうか…？よろしくお願いします。

No.6400 - 2011/08/04(Thu) 07:38:18

☆ Re: / ボブ ♂ [中国] [高校１年生]

こんにちは。今更ながら理解することができました。
ｙ＝ｘ^2＋２ａｘ＋２ａがｘ軸と二点で交わるので、
D>0, また下に凸なのでｘの係数>0
ｘ^2＋2ａｘ＋２ａ＝0の判別式をDとする。
D＝4ａ^2－8ａ>0
D＝4ａ(ａ－2)>0
ａ<0，2<ａ ……………どうでしょうか…。僕は判別式を用いてるんですが、解説は二次方程式の解の方式を用いています。どちらの方法が、良いのでしょうか。また早さと正確さの違いがありましたら教えてください。僕的には判別式の方がグラフのイメージをしやすいです。よろしくお願いします。

No.6405 - 2011/08/04(Thu) 15:31:35

☆ Re: / 新矢(運営者) ♂ [近畿] [塾講師]

こんばんわ。

ボブさんの解法こそが全うな解法です。
文字の入った２次方程式で解の公式を使うことなんて高校数学ではありえないです。

そのテキストで勉強を続けるのはいかがなものかと思います。

ちなみに(2)は，そのテキストではどのように解説していますか？

No.6410 - 2011/08/05(Fri) 01:42:41

☆ Re: / ボブ ♂ [中国] [高校１年生]

こんにちは。自分のやり方が正しいと聞いて安心しました。テキストは一応、数検財団監修と書いてあるのに…。ということで今は兄の数?Tを借りて初心に帰って勉強してます。

⑵解説は、ｙ＝ｘ^2＋2ａｘ＋2ａとX軸の交点は、ｙ＝0 として、
ｘ^2＋2ａｘ＋2ａ＝0 より、
ｘ＝(－2ａ±√{4ａ^2－8ａ})/2
＝－ａ±√(ａ^2－2ａ)
AB＝(－ａ＋√{ａ^2－2ａ})－(－ａ－√{ａ^2－2ａ})
＝2√(ａ^2－2ａ)
AB＝4 だから、2√(ａ^2－2ａ)＝4
√(ａ^2－2ａ)＝2 2乗して、ａ^2－2ａ＝4
これを解いてａ＝1±√5
と解説してます。
途中でサラッと解の公式が出てますけど、もっと正式な解法があるのでしょうか…？
あと文字の入った二次方程式を解の公式で解かないわけを教えてください。よろしくお願いします。

No.6412 - 2011/08/05(Fri) 08:05:28

☆ Re: / 新矢(運営者) ♂ [近畿] [塾講師]

こんにちは。

「2次方程式の解と係数の関係」はご存じでしょうか？
数学II内容なのですが，お兄さんが教科書をお持ちなら，見せてもらってください。
お持ちでないなら，次回簡単にレスさせていただきます。

＞文字の入った二次方程式を解の公式で解かないわけ

この問題はまだましですが，
(a+1)x^2-(3a+b)x+a-b-1=0
レベルになると，非常に見苦しく長ったらしくなり，扱いにくいからです。

高校数学では，文字入りの２次方程式の問題は，解の公式を使わずに，上述の「解と係数の関係」や左辺をf(x)として，そのグラフがどうなればいいか？　などを考えて解いていくことになります。

No.6414 - 2011/08/05(Fri) 16:11:09

☆ Re: / ボブ ♂ [中国] [高校１年生]

こんばんは。数?Uも家にあると思います。ところで数?Uということは、高2で習うということでしょうか？高1や中学生でも分かる別のやり方があれば教えていただきたいのですが…。(とりあえず数検準二級は高1程度らしいので、その問題が出るということは高1でもわかるはず…？)。もしないなら、「二次方程式の解と係数の関係」を教えてください。お願いします。

ちなみに⑵の解説にも解の公式を用いてますが、あれも良くないのでしょうか？
質問ばかりですみませんが、よろしくお願いします。

No.6415 - 2011/08/05(Fri) 22:00:39

☆ Re: / 新矢(運営者) ♂ [近畿] [塾講師]

ボブさん，こんばんわ。

「解と係数の関係」は今は高２で習いますが，10年前の教育課程では，高１で学習しました。ですから，ボブさんならすぐに理解できると思いますよ。

＞⑵の解説にも解の公式を用いてますが、あれも良くないのでしょうか？

よくないことはないですが，「解と係数の関係」を用いたほうがより数学っぽいですし，ボブさんなら，より美しいと感じられると思います。

とりあえず，解と係数の関係を調べてみてください。

No.6416 - 2011/08/05(Fri) 23:14:45

☆ Re: / ボブ ♂ [中国] [高校１年生]

こんにちは。高1でも分かるのなら、やってみようと思います。またわからないところがあったら質問させてください。ありがとうございました。

No.6417 - 2011/08/06(Sat) 07:00:10

★ 2次関数 / ガガガ ♂ [近畿] [高校2年生]

こんにちは
「実力数学問題集?J+A」2次関数の文章題の問題です。

AB=AC=4である直角二等辺三角形ABCがある。辺AB上に点PをとってAPを1辺とする正方形を
ABに関して点Cと同じ側につくる。APの長さをx,APを1辺とする正方形とこの直角三角形との共通部分の面積をyとする。yをxの関数で表し、そのグラフをかけ。

という問題なのですが答えは0≦x<2のときy=x^2　2≦x<4のときy=-x^2+8x-8
になり0≦x<2のとき正方形が△ABCの内部にあるそうなのですが分かりません。

解説おねがいします。

No.6389 - 2011/08/03(Wed) 13:26:14

☆ Re: 2次関数 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]

こんにちは，ＣＯＲＮＯです．

ガガガさん，では計算用紙と鉛筆を準備してください．
まず △ＡＢＣを５つほどかいてください．
番号をつけて，Ｎｏ.１～５としましょう．
次に，Ｎｏ.１にＡＰを１辺とする正方形をできるだけ小さくかいてください．
Ｎｏ.２～にも正方形をかいていきますが，徐々に大きくしていって，Ｎｏ.５ではできるだけ大きい正方形をかいてください．

ここまでをやったら，気づいたことを書き込んでください．

No.6391 - 2011/08/03(Wed) 14:52:04

☆ Re: 2次関数 / ガガガ ♂ [近畿] [高校2年生]

返信ありがとうございます。

気づいたことは正方形が0のときから考え正方形のある一点が三角形の斜辺に接するとまでは三角形内に正方形があることとx＝4のとき正方形と三角形の共通の面積は三角形の面積になることぐらいしか分かりませんでした。

No.6401 - 2011/08/04(Thu) 12:56:07

☆ Re: 2次関数 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]

こんにちは，続けます．

>正方形のある一点が三角形の斜辺に接する
このときが，ｘ＝２のときです．したがって，
>0≦x<2のとき正方形が△ABCの内部にある
ことになります．

どうでしょうか？

No.6402 - 2011/08/04(Thu) 13:55:26

☆ Re: 2次関数 / ガガガ ♂ [近畿] [高校１年生]

ＣＯＲＮＯさん　こんにちは

> >正方形のある一点が三角形の斜辺に接する
> このときが，ｘ＝２のときです

よりこのとき
0≦x≦2のとき　y=x^2　2<x<4のときy=-x^2+8x-8
ではだめなのでしょうか？

No.6403 - 2011/08/04(Thu) 14:07:05

☆ Re: 2次関数 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]

すみません，質問の意図が見えません．
何が分からないのかをできるだけ詳しく書き込んでください．

No.6404 - 2011/08/04(Thu) 14:22:33

☆ Re: 2次関数 / ガガガ ♂ [近畿] [高校2年生]

質問が下手ですいません。

答えでは0≦x<2のときy=x^2　2≦x<4のときy=-x^2+8x-8と書いてあるのですが
正方形のある一点が三角形の斜辺に接するとき三角形と正方形の共通部分の面積は正方形の面積と等しいので0≦x≦2のときy=x^2　2<x<4のときy=-x^2+8x-8ではだめなのでしょうか？

No.6406 - 2011/08/04(Thu) 18:33:39

☆ Re: 2次関数 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]

つまり，答が
>0≦x<2のときy=x^2　2≦x<4のときy=-x^2+8x-8
でなく，
>0≦x≦2のときy=x^2　2<x<4のときy=-x^2+8x-8
としては駄目か？
ということでしょうか？

だとすれば，どちらでもかまいません．

No.6408 - 2011/08/04(Thu) 19:03:47

☆ Re: 2次関数 / ガガガ ♂ [近畿] [高校2年生]

詳しく教えて頂きありがとうございました。
おかげでよく分かりました。

No.6413 - 2011/08/05(Fri) 13:53:22

★ 整数問題 / WK ♂ [北海道] [浪人生]

こんばんは。初めて利用させていただきます。
よろしくお願いします。

先月に受けた数検の問題で、
　　　x^4+y^4+z^4=3xyz
を満たす整数x、y、zをすべて求めよ。（答えだけでよい）
というのがありました。

答えは５つしかなくて、xyzとも1か-1の組合せでした。
勘では２つ見つけることが出来ました。

xが0のとき,1のとき…とやっても先が見えませんでした。
おそらく範囲を絞り込むのでしょうが、全く見当もつきません。
ヒントをいただけないでしょうか。よろしくお願いします。

No.6386 - 2011/08/02(Tue) 22:27:37

☆ Re: 整数問題 / 通りすがりの農場長 ♂ [九州] [学校教員]

何とも泥臭いやり方しか思いつかない農場長です。

> 勘では２つ見つけることが出来ました。
いやいや、その勘がスバラシイと思いますよ。

さて・・・。
x=0とすると、(右辺)=0なので、y=z=0となり、(x,y,z)=(0,0,0)

x=y=z=1とすると、(右辺)=3,(左辺)=3となるので、(x,y,z)=(1,1,1)

符号に注意すると、x,y,zのうち、2数をマイナスにとることも出来るので、
+1,-1,-1の組み合わせを考えると3通りできる。

この5通りではないでしょうか？
（これで十分とする所まで述べられずにすみません・・・）

No.6392 - 2011/08/03(Wed) 16:27:34

☆ Re: 整数問題 / 通りすがりの農場長 ♂ [九州] [学校教員]

再び通りすがりました農場長です。

x,y,zの範囲を絞り込む点ですが、相加相乗を使うと良いみたいです。
とある方に教えていただきました。以下、紹介しますね。

x^4≧0,y^4≧0,z^4≧0より、x^4+y^4+z^4≧0
x=y=z=0のときを除いて考えると、相加相乗より
x^4+y^4+z^4≧3(x^4・y^4・z^4)^{1/3}
x^4+y^4+z^4=3xyz より、3xyz≧3(x^4・y^4・z^4)^{1/3}
両辺を3で割った後に、両辺3乗して
(xyz)^3≧(xyz)^4
xyz>0だから　1≧xyz

x^4+y^4+z^4≦3で、x,y,zは整数ですから、-1,0,1しか取りようが無い。
と、このように考えられるようです。いやぁ、私も勉強になりました。では。

No.6399 - 2011/08/04(Thu) 03:22:00

☆ Re: 整数問題 / WK ♂ [北海道] [浪人生]

通りすがりの農場長さんへ

返信ありがとうございます。
相加相乗のは全く考えつきませんでした。
もっと整数分野を勉強します。

No.6411 - 2011/08/05(Fri) 07:33:35

★ 複素数と方程式 / raionn ♂ [近畿] [高校2年生]

こんばんわ

初めて投稿します。

学校の宿題の問題で、

x^2+xy-2y^2+kx+2y+4(kは正の定数)が、x,yについての二つの一次式の積で表されるとき、kの値を求めよ。

という問題なのですが、問題の意味がよく分からずとりあえず、

x=(-y-k±√{(y+k)^2-4(-2y^2+2y+4)})(2),

y=(-x-2±√｛(x+2)^2-4(x^2+kx+4)｝)(-4)

とx,yについてといてみたのですが、この進め方があっているのかも分からず、合っていたとしてもどうつずけていけばいいのか分かりません。

この問題の解き方の進め方を教えてください。

よろしくお願いします。

No.6385 - 2011/08/02(Tue) 19:50:39

☆ Re: 複素数と方程式 / さんぴん茶 ♂ [九州] [大学生]

こんんばんは。はじめまして。
さんぴん茶と申します。

この「x,yについての二つの一次式の積」というのは、例えば

(x+y+1)(x+2y+3) のように因数分解された形のことを示します。

x+y+1 もx,yの１次式、x+2y+3もx,yの１次式で、この２つの積ということを意味します。

とりあえず、問題の意図はわかりましたでしょうか？

No.6387 - 2011/08/02(Tue) 22:57:39

☆ Re: 複素数と方程式 / raionn ♂ [近畿] [高校2年生]

回答ありがとうございます。

ということは、因数分解すればいいんですね？

x^2+xy-2y^2+kx+2y+4=x^2+x(y+k)-(2y^2-2y-4)

=x^2+x(y+k)-(2y+2)(y-2)

　　　　　　　　　 =(x+2y+2)(x-y+2)

これを展開すると、

x^2+xy-2y^2+4x+2y+4

よって

k=4

一応答えはでたのですが、二つ目の式から三つ目の式に因数分解する時に、

kのことを考えずに、xyができる組合せをさがしたのですがそれで大丈夫ですか？　　　　　　　　

No.6388 - 2011/08/03(Wed) 10:56:08

☆ Re: 複素数と方程式 / さんぴん茶 ♂ [九州] [大学生]

こんばんは。

>kのことを考えずに、xyができる組合せをさがしたのですがそれで大丈夫ですか？　　

はい。考え方としては大丈夫です。

k=4は確かに答えの1つですが、実はもう１つ答えがあるのです。

2y^2-2y-4 を因数分解するとき、(2y+2)(y-2) としていましたが、まずは基本に忠実に共通因数をくくりだしてみましょう。そうすると、

2y^2-2y-4
=2(y^2-y-2)
=2(y+1)(y-2)

となりますね。これより、最初に与えられた式を因数分解するとき、たすきがけの方法として

(2y+2)(y-2) と(y+1)(2y-4) の2通りが出てくるのです。
これを使ってもう一つのｋの値を出してみましょう。

No.6394 - 2011/08/03(Wed) 21:16:47

★ 数列のあまりの性質 / WAWA ♂ [関東] [高校3年生]

こんにちは。
初投稿です、はじめまして。

問題ではなくて、
数列を割ったあまりの性質に関してです。

「一般に、a_1=a a_2=b a_n+2=p*a_n+1 + q*a_n
(a b p q　は整数）ではじまる数列a_nに対し、a_nをmで割ったあまりは、
第m^2+2項までを調べれば必ず繰り返す。

証明
a_nをmで割ったあまりをa'_nとする
a'_nのとりえる値はm通りだから、
(a'_1, a'_2), (a'_2, a'_3), …, (a'_m^2+1, a'_m^2+2)
のm^2+1組の中に、(a'_c, a'_c+1) = (a'_d, a'_d+1)
となる組が存在する

この証明に関して質問なんですが、
mで割ったあまりなのでm通りっていうのは分ります。
しかし、次の、
(a'_1, a'_2), (a'_2, a'_3), …, (a'_m^2+1, a'_m^2+2) の
(a'_m^2+1, a'_m^2+2) はどこからでてきたのでしょうか。

また、m^2+1組の中に、(a'_c, a'_c+1) = (a'_d, a'_d+1)となる組が存在する
っていうところですが、
m通りしかないのにm^2+1組を調べるのがよく分りません。
よろしくお願いします。

No.6374 - 2011/07/30(Sat) 12:33:08

☆ Re: 数列のあまりの性質 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

WAWAさん、はじめまして。
暑くて眠れない河童です。

この数列は３項間漸化式によって定まりますので、
ある項の（ｍで割った）余りは前の２項の影響を受けますね。

例えば、第１項の余りが a で（もちろん a がｍより大きければまだ割れますが）、
第２項の余りが b なのですから、
第３項の余りは、q a + p b　ということになりますよね。

思い切って、もっと具体的に言えば、
第１項を 5 で割った余りが 3 で、第２項を 5 で割った余りが 1 ならば、
第３項を 5 で割った余りは（p, q がともに１だとすると）４ということになりますね。

前の２項の余りの組合せが同じになったときに初めて、
次の項との余りの組合せ、つまり、

（ a'_c , a'_c+1 , a'_c+2 )　という３つの項の余りと
（ a'_d , a'_d+1 , a'_d+2 )　という３つの項の余りとが同じになるわけです。

そこから循環が始まるわけですね。
こうなると、何故ｍ＾２　という数が出てくるのかが分かるのではないですか？
考えてみてください。
また、何故そのあとに＋１があるのか、なのですが、
たとえば、５つの可能性があるものに対して、５つを調べても「同じものがあるとは限りません」。
６つのものを調べて、初めて、「必ず同じものが見つかる」わけですね。

No.6375 - 2011/07/31(Sun) 05:08:45

☆ Re: 数列のあまりの性質 / WAWA ♂ [関東] [高校3年生]

はじめまして、
返信ありがとうございます。
僕は地震で目覚めてしまいました…

2項の余りが連続して、ドコかのペアと同じであれば、
3項目以降は繰り返すのは理解できました。

余りはm通りなので、そのペアは、
(○ , △）として、○がm通り、△もm通りで
m*m=m^2ってことでしょうか。

たとえば、2で割るとして、あまりは0か1で、
(0. 0) (0. 1) (1. 0) (1. 1)　のペアがあって
上のような場合が「最高」で、最高でも4組しか存在しえないので
5組まで調べれば絶対に上の４つの中のどれかが出るってわけですね。

そして、「第m^2+2項までを調べれば必ず繰り返す。」っていうのは、
m^2+1項までに１つの同じ組が見つかって、
それをa_n+1 a_nとすれば、a_n+2、つまり第m^2+2項以降は繰り返しって
考え方であってますか。

よろしくお願いします。

No.6377 - 2011/07/31(Sun) 11:39:03

☆ Re: 数列のあまりの性質 / 河童 ♂ [中国] [塾講師]

WAWAさん、こんばんは。
そちらは地震でたいへんですね。
十分お気を付けください。

さて、本題ですが、ほぼパーフェクトな理解ですね。素晴らしい！

最後の

＞　そして、「第m^2+2項までを調べれば必ず繰り返す。」っていうのは、
＞　m^2+1項までに１つの同じ組が見つかって、
＞　それをa_n+1 a_nとすれば、a_n+2、つまり第m^2+2項以降は繰り返しって
＞　考え方であってますか。

ここの部分が１項だけずれているかも知れません。
それから、赤文字にした部分がちょっと引っかかります。
もしかしたら、WAWAさんも以下と同じ意味で書かれたのかもしれません。そのときはお許しください。

（a_1, a_2) から (a_m^2+1, a_m^2+2) までの m^2+1 組の中に同じものが現れますので、
仮にこの２組が同じものだとすると（一番遅く同じものが見つかるというケースですね）、
a_1 , a_2 , a_3　という数の並びと　a_m^2+1 , a_m^2+2 , a_m^2+3　という数の並びが同じになるわけですね。
ですから、いくら遅くとも、a_m^2+1 から循環が始まります。
ただし、a_m^2+2　まで見ないと　『どのように循環するか』　分からないということですね。
もちろん、場合によっては、すぐに循環が始まる場合もあって、
a_4 からいきなり循環が始まるかもしれません。
どちらにしても、a_m^2+2　まで見てやればＯＫだよ、という意味ですね。

まあ、最後の方の1つや2つの項の違いはご愛嬌で、もし２次試験ならば十分１００点に近い答案だと思います。
理解できているかどうかは採点者がしっかり見てくれるでしょうからね＾＾

No.6379 - 2011/07/31(Sun) 22:25:15

☆ Re: 数列のあまりの性質 / WAWA ♂ [関東] [高校3年生]

こんばんは。
返信ありがとうございます。

１項ずれて考えていました。
しかし、おかげさまで完全に理解できました！

ありがとうごいまいた。
また分らないことがあったときに、
質問させていただくかもしれません。

No.6380 - 2011/08/01(Mon) 01:30:27

★ 文字係数の2次関数の最大と最小 / コリドラス ♂ [関東] [高校１年生]

初投稿です。
数?Tの問題です。

関数y=x²-2ax+1(-2≦x≦2)の最大値が9、最小値が0であるとき、定数aの値を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数研出版　オリジナル数学?Tより
答は求められたのですが、途中経過の記述の仕方があっているかどうかわからなくて困っています。問題が乗っている冊子には回答のみで、途中経過が載っていません。

僕の書いた途中経過は

y=x²-2ax+1(-2≦x≦2)
=(x²-2ax)+1
=(x-a)²-a²+1

(?@)a≦-2のとき　…?@
　　9=(2-a)²-a²+1
9=4-4a+a²-a²+1
4a=-4
∴a=-1
これは?@より不適。

(?A)-2＜a≦0のとき　…?A
　　9=(2-a)²-a²+1
9=4-4a+a²-a²+1
4a=-4
∴a=-1
これは?Aを満たす。

(?B)0＜a≦2のとき　…?B
　　9=(-2-a)²-a²+1
9=4+4a+a²-a²+1
-4a=-4
∴a=1
これは?Bを満たす。

(?C)a＞2のとき　…?C
　　9=(-2-a)²-a²+1
9=4+4a+a²-a²+1
-4a=-4
∴a=1
これは?Cより不適。

(?@)～(?C)よりa=±1

です。
僕の回答だと最小値0という値に触れることなく、定数aの値を求めてしまいました。
正しい記述の仕方を教えてください。

No.6358 - 2011/07/27(Wed) 14:04:46

☆ Re: 文字係数の2次関数の最大と最小 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]

こんばんは，ＣＯＲＮＯと申します．

確かに最小値０にふれていないし，最大値という言葉も出していないので答案としてはまずいでしょう．

では，(?@) ａ≦－２のとき　からいきます．まず図をかきましょう．
ｙ軸は入りません．ｘ軸をかき，定義域－２≦ｘ≦２をかき入れましょう．縦線を２本入れるだけでかまいません．
放物線もかき入れてください．
では質問です．
　　「ｘ＝？のとき最大値？をとり，ｘ＝？のとき最小値？をとる」
の？の部分を完成してください．
ただし，今は最大値が９最小値が０であることは忘れてください．

No.6359 - 2011/07/28(Thu) 19:36:03