 | （１）自然数ｑを
ｑ＝2^(ｒ)ｐ （ｒは０以上の整数でｐは奇数）
と表す。
log_(2)qが有理数ならばｐ＝１となることを示せ。
（２）自然数a,bに対して、
log_(4)a=k+α，log_(4)b=l+β
とおく。ただし、ｋ，ｌは整数で、０≦α＜１，０≦β＜１である。
このとき、α＋βは０，1／2，１または無理数であることを示せ。
という問題なのですが長くなりましたので、また書きます。
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No.6339 - 2011/07/17(Sun) 20:44:13
| ☆ Re: 整数問題 / さか ♂ [東北] [浪人生] | | | | （２）の解答の仕方で質問します。
実数は有理数と無理数に分類できるから、α＋βが
有理数である０，1／2，1を示せれば
この問題は証明終了で良いのでしょうか？
無理数であることは証明しなくても良いのでしょうか？
お願いします。
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No.6340 - 2011/07/17(Sun) 20:47:59 |
| ☆ Re: 整数問題 / さか ♂ [東北] [浪人生] | | | | 解答を書きます。
(1)log_(2)q=r＋log_(2)pより，条件から，log_(2)pは有理数である。
これより，log_(2)p=n/m(m,nは互いに素な整数でm>0)とおける。
p≧1より，log(2)p≧0，よってn≧0
このとき，2^(n/m)=pであり，両辺m乗して，2^ｎ=p^m
pは奇数だから，右辺は奇数。ゆえに，2^nも奇数。
∴n=0 ∴p=2^(n/m)=2^0=1 ■//
(2)αはlog_(4)aの小数部分，βはlog_(4)bの小数部分である。
log(4)ab=k+l+α+β ⇔log(2)ab=2(k+l)+2(α+β）
α+βが有理数ならば，log(2)abは有理数である。
よって，(1）から，ab=2^r(rは0以上の整数）と表せる。
従って，a=2^s,b=2^t(s,tは0以上の整数と表せる。
log(4)a=log(4)2^s=s/2(0/2,1/2,2/2,3/2,…)
この小数部分αは0か1/2 同様に，βも0か1/2
よってα+β=0，1/2,1 ■//
として終わっていました。これでは無理数の証明はされたことに
なっているのでしょうか？
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No.6342 - 2011/07/20(Wed) 20:41:14 |
| ☆ Re: 整数問題 / さか ♂ [東北] [浪人生] | | | | こんばんは。
補足です。疑問点は，この解答だけで示したことになっているのか?
ということです。よろしくお願いします。
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No.6343 - 2011/07/20(Wed) 23:33:11 |
| ☆ Re: 整数問題 / さか ♂ [東北] [浪人生] | | | | こんばんは。
そういうことだったのですか!分かりました!ありがとうございました!
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No.6345 - 2011/07/21(Thu) 21:25:29 |
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