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リュケイオン 「高校数学質問掲示板」





新矢（運営者）より
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★ (No Subject) / シュガー ♀ [九州] [高校2年生]
ａは実数の定数とする。
（1）｜Ｘ-ａ｜＜２を満たす実数Ｘの値の範囲を求めよ。
（2）｜Ｘ-ａ｜＜２を満たす正の実数Ｘが存在するようなａの値の範囲を求めよ。
（3）｜Ｘ-ａ｜＜Ｘ+1を満たす実数Ｘが存在するようなａの値の範囲を求めよ。
（4）ａの値が（3）の範囲にあるとき、｜Ｘ-ａ｜＜Ｘ+1を満たす実数Ｘの値の範囲を求めよ。
（5）すべての実数Ｘに対して｜Ｘ²-ａ｜＞Ｘ−ａが成り立つようなａの値の範囲を求めよ。


（1）Ｘ-ａ≧0のとき　Ｘ−ａ＜2より　　Ｘ＜ａ＋2
　　　Ｘ-ａ＜0のとき　−Ｘ＋ａ＜2より　　Ｘ＞ａ−2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって　ａ−2＜Ｘ＜ａ+2
（2）正の実数より　　ａ−2≧0だから　ａ≧2

（3）Ｘ-ａ≧0のとき　Ｘ≧ａ　　ａ＞-1　Ｘが消えてしまうのですがこれでいいですか？
　　Ｘ-ａ＜0のとき　Ｘ＜ａ　　Ｘ＞（ａ−1）/2　　ａ＜1+2Ｘ
　　　　わかりやすく解説よろしくお願いします。
　　　
No.8582 - 2013/02/25(Mon) 21:35:06
★ (No Subject) / りんご ♀ [東北] [高校2年生]
0＜ｒ＜1とする。点Ａ（1，0）を中心とする半径ｒの円周をＣｒとする。
（1）Ｃｒの方程式を求めよ。
（2）Ｃｒ上の点Ｐ（ａ，ｂ）における接線が原点Ｏを通るとする。ただしｂ＞0とする。
　　　ａ，ｂをｒを用いて表せ。
（3）　（2）において、ｒが変化するとき、接点Ｐの軌跡の方程式をｙ＝f（x）とする。
　　　　f（x）を求めよ。
（4）　y＝f（x）のグラフの概形をかけ。


（1）半径ｒの円周なので　Ｃｒ＝２πｒ
（2）ＯＰ²＝ａ²＋ｂ²より　　　ＯＰ²＋ＡＰ²＝ＯＡ²
　　　　　　　　　　　　　　ａ²＋ｂ²＋ｒ²＝1…?@
　　　円の方程式　　　　　（ａ−1）²＋ｂ²＝ｒ²…?A
　　　　　　?@-?A　　２ａ−２＋ｒ²＝0
　　　　　　　　　　　　　ａ＝１−ｒ²/2
　　　　　　　　　　　　　ｂ＝−ｒ⁴/4　　
　　　　　　　　ｒ＞0　　ｂ＞0なのに　　ｂ＝−ｒ⁴/4　＜0

　　　　　　やりかたが間違っているのですか？　よろしくお願いします。　　　　　　　　　　
No.8556 - 2013/02/22(Fri) 22:21:37
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
りんごさん，おはようございます．
早速行きましょう．

まず(1)ですが，方程式を求めるのですか？面積を求めるのですか？
りんごさんの解答だと，面積ですね．
(2)の2式は合っています．引き算の結果が，私の結果と一致しません．
もう一度計算してもらえませんか？
No.8564 - 2013/02/24(Sun) 07:24:23
☆ Re: / りんご ♀ [東北] [高校１年生]
（1）（x−1）²＋y²＝ｒ²

（2）　ａ＝１−ｒ²
　　　ｂ²＝−ｒ⁴＋ｒ²　　ｂ＝ｒ√（1−ｒ²）になりました。
No.8568 - 2013/02/24(Sun) 13:07:36
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．それで私の結果と一致しました．
(3)はパラメータrの消去でokです．rの範囲に気を付けてr^2のままで処理すれば出来ると思いますよ．
No.8570 - 2013/02/24(Sun) 17:23:25
☆ Re: / りんご ♀ [東北] [高校2年生]
（3）　ｂ＝ｒａ²　になり　ｙ＝ｒｘ²

（4）０＜ｒ＜1　より　下に凸の２次関数を描けばよいですか？
No.8572 - 2013/02/24(Sun) 21:02:02
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
>（3）　ｂ＝ｒａ²　になり　ｙ＝ｒｘ²
rが残っていますよ．
ｂ²＝−ｒ⁴＋ｒ²
でa=r^2を利用すれば消せますよ．
No.8574 - 2013/02/24(Sun) 21:20:06
☆ Re: / りんご ♀ [東北] [高校2年生]
ｂ²＝（1−ａ）ａ²
（ａ−1/2）²＋ｙ²＝１/4

中心（1/2，0）　半径　1/2の円になりました。
No.8575 - 2013/02/24(Sun) 22:22:01
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．aとbのとりうる値の範囲がありますから，円の一部になりますね．
それが出来れば，グラフを描いて終了となります．
No.8577 - 2013/02/24(Sun) 22:29:55
☆ Re: / りんご ♀ [東北] [高校2年生]
0＜ａ＜1　ｂ＞0　より　　中心（1/2，0）　半径　1/2の円の　第1象限部分の半円ということですか？
No.8578 - 2013/02/24(Sun) 23:09:12
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
レス遅れましたm(_ _)m
それでokですよ．
No.8579 - 2013/02/25(Mon) 06:25:14
★ (No Subject) / シュガー ♀ [九州] [高校2年生]
絶対値の問題で質問です。

ｘについての不等式　２ｘ−Ｋ≧｜３ｘ＋4｜が　解をもつとき、定数Ｋの値の範囲は（　　　）である。

このとき、この不等式を満たすｘの値の範囲を　Ｋを用いて表すと（　　　　）である。

｜３ｘ＋4　｜≧０　　ｘ≧−4/3　のとき　
　　　　　　　　　２ｘ−Ｋ≧３ｘ＋4
　　　　　　　　　　−ｘ−４≧Ｋ

｜３ｘ＋4　｜＜０　　ｘ＜−4/3　のとき　
　　　　　　　　　２ｘ−Ｋ≧−３ｘ−4
　　　　　　　　　　５ｘ＋4≧Ｋ

　　　　　絶対値をはずして計算しても　答えがでません。やり方が間違っているのでしょうか？　　　　よろしくお願いします。
No.8555 - 2013/02/22(Fri) 21:53:37
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
シュガーさんおはようございます．

本題に入る前に・・・
任意の実数 a について|a|≧0となります．
ですから，
>｜３ｘ＋4　｜＜０
となることはなく，場合分けは絶対値を外した形で
・3x+4≧0⇔x≧-4/3のとき
・3x+4<0⇔x<-4/3のとき
となります．

さて本題です．2つの場合共に計算はそのとおりです．
最初の場合分けにおいては，x≧-4/3のとき-x-4≧kですから，
xをx≧-4/3で動かすとき，kがどんな範囲を動くのかを考えるのです．
次の場合分けも同様に考えます．

どうなりますか？
No.8565 - 2013/02/24(Sun) 07:34:24
☆ Re: / シュガー ♀ [九州] [高校2年生]
londontraffic先生　返信有難うございます。

x≧-4/3のとき　　　-x-4≧kを　　y＝−x−4　とy＝Kのグラフで考えてみると　
　　　　　　　　　　　　　　　　　K≦−8/3


x<-4/3のとき　　　　5x+4≦Kを　　　y＝−x−4　とy＝Kのグラフで考えてみると
　　　　　　　　　　　　　　　　　K≦−8/3　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　これでいいですか？　よろしくお願いします。
No.8567 - 2013/02/24(Sun) 12:45:16
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．「x<-4/3のとき」の方は
K<−8/3
ですね．
これで最初の（　）は埋まります．
シュガーさんの力をみていると，次の（　）も埋まりそうですが，どうでしょう？
No.8569 - 2013/02/24(Sun) 17:19:31
☆ Re: / シュガー ♀ [九州] [高校2年生]
x≧-4/3のとき　　　-x-4≧kより　　Ｘ≦−Ｋ−4　　　

　x<-4/3のとき　　　5x+4≦Kより　　　Ｘ≧（Ｋ−4　）/5　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　よって（Ｋ−4　）/5≦Ｘ≦−Ｋ−4

　　　　　　　　　　　　　　これでいいですか？
No.8571 - 2013/02/24(Sun) 20:51:44
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．それでokですね．
No.8573 - 2013/02/24(Sun) 21:16:30
☆ Re: / シュガー ♀ [九州] [高校2年生]
ありがとうございました。　

うまく導いてくれたので解くことができました。
No.8576 - 2013/02/24(Sun) 22:24:34
★ 命題と論証 / ますだ ♀ [高校2年生]
全体集合Uの部分集合A,Bに対して、AＵB＝U は、
_
A＝B であるための＿＿＿＿＿。


１必要条件であるが十分条件でない
２十分条件であるが必要条件でない
３必要十分条件である
４必要条件でも十分条件でもない

この問題の解説をお願いします(>_<)
No.8547 - 2013/02/21(Thu) 16:32:45
☆ Re: 命題と論証 / IT ♂ [中国] [社会人]
この掲示板は、マルチポストは禁止です。
下記で回答が付いてますよ。
http://www2.ezbbs.net/cgi/bbs?id=eijitkn&dd=34&p=5
No.8566 - 2013/02/24(Sun) 07:52:13
★ (No Subject) / トリス ♂ [関東] [浪人生]
はじめまして！こんばんは。場合分けをする際の不等号の使い方。
二次関数の最大最少問題などで≧，＜といった記号で場合分けする問題に出くわすと
問題集によっては等号が入ったり入らなかったり綺麗に順番に並んでいる答えがある
みたいなんですけど，何か規則性みたいなものがあるのでしょうか？自分の感じとしては
等号が入っている方が分かりやすいと思っています。穴埋めでは不等号が定められているので
合わせるしかしょうがないのですが。たぶん連続といったことも関係するのかと思っています。
≧なら以上であり，これより大きい又は，等しいという理解で考えています。

a＜0のとき・・，a≧0のときが
a≦0のとき・・，a≧0のとき。。(a=0のときは同じ値である)


数学的に答えが合えば問題ないのでしょうか？
No.8554 - 2013/02/22(Fri) 20:13:08
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
トリスさん，こんにちは．

決まりというものは無いですが，私は関数y=f(x)において最大値や最小値をとるときのxの値を意識しながら場合分けをしますね．
たとえば
「aを定数とするとき，関数f(x)=(x-a)^2+1(0≦x≦2)の最大値を求めよ」
という問題では
「xの値を求めよ」とは書いていないので，
[1]a<1 [2]a≧1で場合分けしてもokですが，私は[1]a<1[2]a=1[3]a>1で分けます．

>数学的に答えが合えば問題ないのでしょうか？
そうですね．面倒であれば全部"="を入れて解答しても正解になります．
ただ私がそういう答案を見ると，「おこちゃまですね」と思うかもしれません（笑）
No.8560 - 2013/02/23(Sat) 09:43:14
☆ Re: / トリス ♂ [関東] [浪人生]
londontraffic先生回答ありがとうございます！

関数f(x)=(x-a)^2+1(0≦x≦2)の最大値を求めよの例ですと

定義域の中点で場合分けが生じるから軸の方程式 x=aで

3つに分けた場合
a＜1のとき,Max f(2)
a=1のとき,Max f(0)=f(2)
a＞1のとき,Max f(0)

どっちかに等号が入る場合
a≦1のとき
a＞1のとき
又は
a≧1のとき
a＜1のとき

お子様の場合
a≧1のとき
a≦1のとき

のどれでも解答するばあいは○でよいという理解でよろしいでしょうか。
問題集によって異なる場合があって気になっていました。
No.8562 - 2013/02/23(Sat) 12:37:59
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．どれでもokですよ．

国公立個別試験前で細かいところが気になるでしょうが，大局をつかみ，自分の納得出来る答案を作ることが大切です．
頑張ってくださいね．
No.8563 - 2013/02/23(Sat) 13:20:25
★ 因数分解 / ダックス [高校3年生]
この画像のところの説明でどうして三行目のところのように予測できるかわかりません
良かったら具体例なども交えて教えていただきたいです
No.8552 - 2013/02/22(Fri) 14:01:02
☆ Re: 因数分解 / ダックス [高校3年生]
すいません
これが問題です
No.8553 - 2013/02/22(Fri) 14:04:02
☆ Re: 因数分解 / londontraffic [教育関係者]
ダックスさん，こんにちは．

(ax+by+c)(dx+ey+f)
を展開，整理して，カキコしてください．お願いします．
No.8557 - 2013/02/23(Sat) 08:34:41
☆ Re: 因数分解 / ダックス [高校3年生]
こんにちは

こんな感じになりました
No.8558 - 2013/02/23(Sat) 09:07:45
☆ Re: 因数分解 / londontraffic [教育関係者]
はい，ありがとうございます．

x^2,xy,y^2（2次）の係数はそれぞれ ad,bd+ae,beであり，
(ax+by+c)(dx+ey+f)
のxとyの係数になっている文字（数）の積だけで，定数のc,fは関わってきません．
ということは，2次の係数はxとyの係数のみで決定されて，それらは
adx^2+(bd+ae)xy+bey^2=(ax+by)(dx+ey)
と因数分解できます．
【(ax+by+c)(dx+ey+f)={(ax+by)+c}{(dx+ey)+f}=(ax+by)(dx+ey)+c(dx+ey)+f(ax+by)+cfと展開できることから明らかですけど】

いかがでしょう？
No.8559 - 2013/02/23(Sat) 09:31:19
☆ Re: 因数分解 / ダックス [高校3年生]
納得できました
ありがとうございます
No.8561 - 2013/02/23(Sat) 09:47:43
★ (No Subject) / ダッフィー ♀ [関東] [高校2年生]
学校のプリントです。

ＸＹ平面内の半円周Ｃ：Ｘ²＋Ｙ²＝1,Ｙ≧0上に　２点Ａ（１，　0）Ｂ（-1　,0）と
２点Ｓ（ｃｏｓθ,　ｓｉｎθ），Ｔ（ｃｏｓｔ,　ｓｉｎｔ）（0＜θ＜ｔ＜π）
がある。
（1）弧ＡＴ上を点Ｓが動くとき、弦ＡＳの長さと弦ＳＴの長さの和の最大値をｔを用いて表せ。
（2）3つの弦ＡＳ，ＳＴ，ＴＢの長さの和をＬとするとき、不等式Ｌ≦3が成りたつことを示せ。また、この不等式において等号が成り立つときのθとｔの値を求めよ。



（1）ＡＳ²＝（1-ｃｏｓθ）²＋ｓｉｎθ²
　　　　　＝２−２ｃｏｓθ

　　　ＳＴ²＝（ｃｏｓθ−ｃｏｓｔ）²＋（ｓｉｎθ−ｓｉｎｔ）²
　　　　　　＝２−２（ｃｏｓθｃｏｓｔ＋ｓｉｎθｓｉｎｔ）
0＜θ＜ｔ＜πより
　　　　　　＝２−２ｃｏｓ（ｔ−θ）

ここまで　解いてみたのですが　ｔを用いて表せません。よろしくお願いします。
No.8520 - 2013/02/19(Tue) 22:58:31
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
ダッフィーさん　こんばんはＩＴです。いっしょに考えて見ましょう。

ＡＳはθ/2、ＳＴは（ｔ−θ）/2についての三角関数を使って表した方が簡単だと思います。
ＡＳ,ＳＴ,ＡＳ+ＳＴはどうなりますか？ＡＳ+ＳＴは、和を積に変換すると最大値が見えてくると思います。できるところまでやって書き込みしてください。
No.8522 - 2013/02/20(Wed) 01:43:05
☆ Re: / ダッフィー ♀ [関東] [高校2年生]
返信ありがとうございます。
（1）
ＡＳ²＝４ｓｉｎ²θ/2
θ/2＞0より　ｓｉｎθ/2＞0なので　　ＡＳ＝2ｓｉｎθ/2

ＳＴ²＝４ｓｉｎ²　（ｔ−θ）/2
ｔ−θ＞0　より　ｓｉｎ（ｔ−θ）/2＞0　なので　ＳＴ＝２ｓｉｎ（ｔ−θ）/2

ＡＳ+ＳＴ＝２ｓｉｎθ/2＋２ｓｉｎ（ｔ−θ）/2
　　　　　＝２｛２ｓｉｎｔ/2・ｃｏｓ（2θ−ｔ）/2｝
　　　　　＝４　ｓｉｎｔ/2・ｃｏｓ（2θ−ｔ）/2　　　　
　　ここから分かりません。


（2）　ＡＳ＝ＳＴ＝ＴＢのとき　　△ＯＡＳ＝△ＯＳＴ＝△ＯＴＢ＝正三角形と考えると　　　ＡＳ＝ＳＴ＝ＴＢ＝1より　　ＡＳ＋ＳＴ＋ＴＢ＝３
　　Ｌ≦３　それらしい答えになるのですが　くわしく説明お願いします。
No.8526 - 2013/02/20(Wed) 18:38:54
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
(2)は(1)が出来てからそれを使って出すのだと思います。まず（１）をやりましょう。
>ＡＳ+ＳＴ＝２ｓｉｎθ/2＋２ｓｉｎ（ｔ−θ）/2
>　　　　＝２｛２ｓｉｎｔ/2・ｃｏｓ（2θ−ｔ）/2｝
sinの和積変換の公式をもう一度確認して検算してください。
4ｓｉｎt/?はここでは正の定数と考えられますから、ｃｏｓ（2θ−ｔ）/?の最大値とそのときのθを求めましょう。
No.8527 - 2013/02/20(Wed) 18:49:38
☆ Re: / ダッフィー ♀ [関東] [高校2年生]
0<θ/2＜1/2πより　　0＜ｓｉｎθ＜1　　　
0＜2θ−ｔ＜πより　　-1＜ｃｏｓ（2θ−ｔ）＜1

この考え方でいいですか？
No.8529 - 2013/02/20(Wed) 20:08:03
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
ｓｉｎθ,ｃｏｓ（2θ−ｔ）は、出てこないと思います。
まず、ＡＳ+ＳＴの計算を完成させましょう。
・和→積の公式を確認してください。
　sinA+sinB=？
・A,Bに本問の場合の式を入れて計算してください。
No.8530 - 2013/02/20(Wed) 20:13:21
☆ Re: / ダッフィー ♀ [関東] [高校2年生]
sinA+sinB=2ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）/2・ＣＯＳ（Ａ−Ｂ）/2より
　　　　　２ｓｉｎ（θ+ｔ−θ）/2　・ｃｏｓ（θ−ｔ＋θ）/2　になります。
　
No.8531 - 2013/02/20(Wed) 21:24:29
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
少しちがうのでは？１ステップずつ記入してください。書き込みの前に、ノートかホワイトボードなどに下書きされることをお勧めします。
A＝ 　 ,B＝
A+B＝　 ,（A+B)/2＝
A-B＝　 ,（A-B)/2＝
ＡＳ+ＳＴ＝２ｓｉｎ(θ/2)＋２ｓｉｎ{（ｔ−θ）/2}＝
No.8532 - 2013/02/20(Wed) 21:28:41
☆ Re: / ダッフィー ♀ [関東] [高校2年生]
Ａ＝θ/2
Ｂ＝（ｔ−θ）/2
Ａ＋Ｂ＝（θ＋ｔ−θ）/2

（A+B)/2＝ｔ/4

Ａ-Ｂ＝（θ−ｔ＋θ）/2

（A-B)/2＝（２θ−ｔ）/4
ＡＳ+ＳＴ＝２ｓｉｎ(θ/2)＋２ｓｉｎ{（ｔ−θ）/2}
　　　　　＝２｛２ｓｉｎｔ/4・ｃｏｓ（２θ−ｔ）/4｝

　　　　これでいいですか？
No.8536 - 2013/02/20(Wed) 21:58:52
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
いいと思います。
それでは、進みましょう。
ここでは4ｓｉｎ(t/４)は正の定数と考えられますから、ｃｏｓ(（2θ−ｔ）/4)の最大値とそのときのθ、ＡＳ+ＳＴの値（最大値）を求めましょう。
No.8538 - 2013/02/20(Wed) 22:07:31
☆ Re: / ダッフィー ♀ [関東] [高校2年生]
4ｓｉｎ(t/４)は正の定数から、ｃｏｓ(（2θ−ｔ）/4)の最大値は1と考えれるので、
ｃｏｓ(（2θ−ｔ）/4)＝1
　　　（　2θ−ｔ）/4＝0
　　　　　　２θ＝ｔ　　θ＝1/2ｔ

ＡＳ+ＳＴ＝２ｓｉｎ(θ/2)＋２ｓｉｎ{（ｔ−θ）/2}
　　　　　＝２ｓｉｎ（1/4ｔ）＋２ｓｉｎ（1/4ｔ）
　　　　　＝４ｓｉｎ（1/4ｔ）
　　　ここまでは　合ってますか？
No.8539 - 2013/02/20(Wed) 22:31:40
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
計算は合ってますが、答案としては説明がなさ過ぎます。
「4ｓｉｎ(t/４)は正の定数から、ｃｏｓ(（2θ−ｔ）/4)の最大値は1と考えれるので」の説明は、おかしいです。
「4ｓｉｎ(t/４)は正の定数なので、ｃｏｓ(（2θ−ｔ）/4)が最大値のときＡＳ+ＳＴは最大値をとる。・・・」などと記述すべきです。
式と式の間に、適切な説明文を入れましょう
条件　0＜θ＜ｔ＜πを使っています。使ったところでは、その旨書きましょう。
ＡＳ+ＳＴの計算には、ＡＳ+ＳＴ＝4ｓｉｎ(ｔ/4)・ｃｏｓ(（２θ−ｔ）/4)を使えばいいです。

θ＝1/2ｔは1/(2ｔ)とも読めます。この掲示板では(1/2)ｔかｔ/2　と表記しましょう。
No.8540 - 2013/02/20(Wed) 22:49:26
☆ Re: / ダッフィー ♀ [関東] [高校2年生]
ＡＳ+ＳＴ＝２ｓｉｎ(θ/2)＋２ｓｉｎ{（ｔ−θ）/2}
=２｛２ｓｉｎ（1/4ｔ）・ｃｏｓ（1/4ｔ）｝
　　　　＝４ｓｉｎ（1/4ｔ）・ｃｏｓ（1/4ｔ）
　　　　＝４・1/2｛ｓｉｎ1/2ｔ＋ｓｉｎ0｝
　　　　＝２ｓｉｎ（1/2ｔ）

　　1/2ｔ＝1/2πのときｓｉｎ（1/2ｔ）＝１より　　ＡＳ＋ＳＴ＝２になります。
No.8541 - 2013/02/20(Wed) 22:59:12
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> ＡＳ+ＳＴ＝２ｓｉｎ(θ/2)＋２ｓｉｎ{（ｔ−θ）/2}
> =２｛２ｓｉｎ（1/4ｔ）・ｃｏｓ（1/4ｔ）｝
２行目は、何のためにどうやって導いた式ですか？　これまでの作業は、どこへ消えたのでしょうか？
>(1/2)ｔ＝(1/2)πのときｓｉｎ(（1/2)ｔ）＝１より　　ＡＳ＋ＳＴ＝２になります。
何のためにｔを動かしてＡＳ+ＳＴの最大値を求めよう？とするのですか？
ｔは固定してθだけ動かして考えなければなりません。
また、ｔ＜πなので(1/2)ｔ＝(1/2)πになることはありません。
No.8542 - 2013/02/20(Wed) 23:09:15
☆ Re: / ダッフィー ♀ [関東] [高校2年生]
4ｓｉｎ(t/４)は正の定数なので、ｃｏｓ(（2θ−ｔ）/4)が最大値のときＡＳ+ＳＴは最大値をとる。

ｃｏｓ(（2θ−ｔ）/4)＝1より
ｃｏｓ０＝1

（2θ−ｔ）/4＝0　　２θ＝ｔ…?@

ＡＳ+ＳＴ＝4ｓｉｎ(ｔ/4)・ｃｏｓ(（２θ−ｔ）/4)…?A

?@を?Aに代入すると　　
　　　　　＝４ｓｉｎ（ｔ/4）・1

和⇔積の繰り返しをしていました。　これでどうですか？
No.8543 - 2013/02/20(Wed) 23:32:12
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
計算はいいと思います。答案の書き方は、前に言ったとおりです。
弦ＡＳの長さと弦ＳＴの長さの和の最大値は、４ｓｉｎ（ｔ/4）ですね。
（２）は、Ｌ＝ＡＳ＋ＳＴ＋ＴＢ≦４ｓｉｎ（ｔ/4）＋ＴＢ　…?@
ＴＢをtを使って表して?@に入れて計算してみて下さい。できるところまでやって書き込んでください。
No.8544 - 2013/02/20(Wed) 23:47:08
☆ Re: / ダッフィー ♀ [関東] [高校2年生]
TB=2ｃｏｓ（ｔ/2）


、Ｌ＝ＡＳ＋ＳＴ＋ＴＢ≦４ｓｉｎ（ｔ/4）＋２ｃｏｓ（ｔ/2）　

ｃｏｓ（ｔ/2）＝１−２ｓｉｎ²（ｔ/4）

ｓｉｎ（ｔ/4）＝Ａとすると　　　0＜Ａ＜1

　　　、Ｌ＝ＡＳ＋ＳＴ＋ＴＢ＝４Ａ＋２−４Ａ²
　　　　　　　　　　　　　　＝−４（Ａ−1/2）²＋3　　
　　　　　　　　よって　　Ａ＝1/2のとき　最大値　３　になる。
　　　　Ｌ＝ＡＳ+ＳＴ+ＴＢ≦３　　

　　　　ｓｉｎ（ｔ/4）＝1/2　　ｔ/4＝π/6より　ｔ＝2/3π　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　θ＝1/2ｔより　　θ＝1/3π
　　　　　　　これでいいですか？
No.8548 - 2013/02/21(Thu) 17:12:21
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
計算は合っていますが、説明不足と思います。穴埋め式しか必要ないのでしょうか？
> TB=2ｃｏｓ（ｔ/2）
合っていますが、どうやって出しましたか？
> 、Ｌ＝ＡＳ＋ＳＴ＋ＴＢ≦４ｓｉｎ（ｔ/4）＋２ｃｏｓ（ｔ/2）　
> ｃｏｓ（ｔ/2）＝１−２ｓｉｎ²（ｔ/4）
> ｓｉｎ（ｔ/4）＝Ａとすると　　　0＜Ａ＜1
Ａは、点Ａとして使われていますから別の名前にすべきです。
0＜ｔ＜πより0＜ｔ/4＜π/4 　よって0＜ｓｉｎ（ｔ/4）＜1/√2 です。

> 　　　、Ｌ＝ＡＳ＋ＳＴ＋ＴＢ＝４Ａ＋２−４Ａ²
> 　　　　　　　　　　　　　　＝−４（Ａ−1/2）²＋3　　
> 　　　　　　　　よって　　Ａ＝1/2のとき　最大値　３　になる。
> 　　　　Ｌ＝ＡＳ+ＳＴ+ＴＢ≦３　　

「等号が成り立つのは・・・のとき」などと明記すべきです。
> 　　　　ｓｉｎ（ｔ/4）＝1/2　　ｔ/4＝π/6より　ｔ＝2/3π　　　　　　　　　　　　　　　
> 　　　　　　　　　　　　　　　　θ＝1/2ｔより　　θ＝1/3π
No.8549 - 2013/02/21(Thu) 19:24:56
☆ Re: / ダッフィー ♀ [関東] [高校2年生]
大変よくわかりました。きちんとノートに書いてみます。ありがとうございました。
No.8550 - 2013/02/21(Thu) 20:48:07
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
お疲れさまでした。
No.8551 - 2013/02/21(Thu) 21:06:49
★ 因数分解 / 小林 ♂ [東海] [高校１年生]
ある問題を解いていて、以下のような数式がでましたが、因数分解に困っています。

−２ｐ^3＋３ｐ^2−１＝０

どのようにすれば、解がでるのかがわかりません。
よろしくおねがいします。
No.8519 - 2013/02/19(Tue) 19:43:39
☆ Re: 因数分解 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
小林さん、こんばんは。農場長です。

さて、「因数定理」は学習済みでしょうか？
この確認から始めさせてください。
No.8521 - 2013/02/19(Tue) 23:03:07
☆ Re: 因数分解 / 小林 ♂ [東海] [高校１年生]
因数定理 という名前はよくわかりませんが、

方程式の値を０にするｘの値 a を探し、それが一つの因数（x−a）になる

というのは聞いたことがあります。
No.8545 - 2013/02/21(Thu) 01:17:59
☆ Re: 因数分解 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
ハイ、そんな感じです。

最後の定数項に着目して探ってみると、式はどうなりますか？
No.8546 - 2013/02/21(Thu) 09:14:49
★ (No Subject) / 杏仁 ♀ [関東] [高校3年生]
スタンダード演習?TA?UB １３−１０の問題です
【放物線 y＝ x^2 ーx＋２ の直交する２接線とこの放物線とで囲まれた図形の面積の最小値を求めよ。】

解答では、与えられた放物線を平行移動して、y＝x^2 について考えています。
私は与えられた放物線をそのまま使って計算したのですが、

2接点のx座標をそれぞれα、βとおき
2接線の傾きについて
（２αー1）（２βー1）＝ー１
だから、これをβについてまとめて

囲まれた図形の面積
１／１２（βーα）^3 に代入しようとして行き詰まりました。

私のやり方でなんとか答えに行きつけないでしょうか？
（二次本番で平行移動を考えつく自信がないので）
お願いします。
No.8487 - 2013/02/13(Wed) 11:51:18
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．

>2接点のx座標をそれぞれα、βとおき
こういう場合，必ず α と β の大小を決めておきます．
一般には，α＜β です．すると，β−α＞０ と定まります．

>１／１２（βーα）^3 に代入しようとして行き詰まりました。
次に困るのは，３乗ですね．２乗だったらいいのに…
そういう場合，こういう変形をします．
　　(βーα)^3＝{(βーα)^2}^(3/2)
さて，これでどうにかならないでしょうか？
まずはここまでとします．

なお，条件の
>（２αー1）（２βー1）＝ー１
についてもどう使うかを考えておいてくださいね．
No.8494 - 2013/02/13(Wed) 20:15:39
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
あ，
>（２αー1）（２βー1）＝ー１
>だから、これをβについてまとめて
はとりあえずやめましょう．
α と β は対等に扱いましょう．
No.8495 - 2013/02/13(Wed) 20:17:21
☆ Re: / 杏仁 ♀ [関東] [高校3年生]
こんばんは、よろしくお願いします。

（２αー1）（２βー1）＝１
より、α＋β＝２αβ＋１…?@

（βーα）^3＝｛（βーα）^2｝^3/2…?A

（βーα）＾２＝（α＋β）＾２ー４αβ に?@を代入して

（βーα）＾２＝４（αβ）＾２＋１ これを?Aに代入し

（βーα）^3＝（４α＾２β＾２＋１）^3/2

ここまでやりましたが、、、分かりません
No.8498 - 2013/02/13(Wed) 21:49:36
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，続けます．

>（βーα）^3＝（４α＾２β＾２＋１）^3/2
>ここまでやりましたが、、、分かりません
はい，確かに見にくいわかりにくい式ですね．
でも，αβ＝ｔ とでも置き換えると，
　　４α^2β^2＋１＝４ｔ^2＋１
となって，ここだけ見ると ｔ の２次関数ですね．
だったら最小値は見えてきませんか．
No.8502 - 2013/02/14(Thu) 20:02:52
☆ Re: / 杏仁 ♀ [関東] [高校3年生]

αβ＝ｔ と置き換えると，
> 　　４α^2β^2＋１＝４ｔ^2＋１

α＞０、 β＞０よりt＞０
この時４t＾２＋１の最小値は１
よって（βーα）^3の最小値は１
以上より求める面積の最小値は１／１２

これで良いでしょうか
No.8505 - 2013/02/15(Fri) 00:45:02
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
>α＞０、 β＞０より
これはなぜですか？
No.8506 - 2013/02/15(Fri) 05:39:11
☆ Re: / 杏仁 ♀ [関東] [高校3年生]
すみません勘違いしました。α＞0 β＞0は言えません
No.8512 - 2013/02/16(Sat) 00:23:31
☆ Re: / 杏仁 ♀ [関東] [高校3年生]
遅くなりましたが、解決しました。反応下さりありがとうございました。
ただ、二次試験本番直前に、このような基礎的な質問をした私も悪いですが、先生が途中からいなくなってしまったのは残念でした。
No.8523 - 2013/02/20(Wed) 12:01:46
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
>よって（βーα）^3の最小値は１
>以上より求める面積の最小値は１／１２
があって，

>すみません勘違いしました。α＞0 β＞0は言えません
もあったので，もう解決したと思っていましたが？

ちなみに，それほど基礎的な問題(質問)とも思えません．
No.8528 - 2013/02/20(Wed) 19:22:04
★ (No Subject) / はちみつ ♀ [関東] [高校3年生]
東邦大学理学部A日程　入試問題です。
正の整数ｎに対し、ｆ（ｎ）＝（１＋１/ｎ）＾ｎとおく。以下の問いに答えよ。
（?@）（ｘ＋ｙ）＾５を展開せよ。
（?A）ｎ≧１のとき、ｆ（ｎ）≦１＋１/１！＋１/２！＋１/３！…＋１/ｎ！が成立することを示せ。ここで、ｋ！はｋの階乗である。
（?B）正の整数ｋに対し、１/ｋ！≦１/２＾ｋ−１が成立すること示せ。
（?C）ｎ≧１のとき、２≦ｆ（ｎ）＜３が成立することを示せ。
（ｖ）さらに精密に、ｎ≧２のとき９/４≦ｆ（ｎ）＜１１/４が成立することを示せ。

自分の考え
（?@）二項定理で展開する。
(?A）差を取って正　を証明する。　ｆ（ｎ）を展開して計算すると正であるとわかる。
（?B）数学的帰納法？？（差をとって正？）
（?C）二項定理によりｆ（ｎ）を展開すると最初の２つが１になるので２≦ｆ（ｎ）、
あとに続くものの和が１より小さいので２≦ｆ（ｎ）＜３である。

（?D）さっぱりわかりません…
No.8524 - 2013/02/20(Wed) 14:18:27
★ どうしてもわかりません / right ♂ [東北] [高校2年生]
0＜A＜π,0＜B＜πのとき、次の不等式を証明せよ。　sinA＋sinB＞sin(A＋B)
No.8517 - 2013/02/17(Sun) 05:52:21
☆ Re: どうしてもわかりません / londontraffic [教育関係者]
rightさん，おはようございます．
早速いきましょう．

加法定理を使うとsin(A＋B)はどうなりますか？
その後，
sinA＋sinB-sin(A＋B)
をsinAとsinBで整理してみてください．
No.8518 - 2013/02/17(Sun) 06:48:10
★ (No Subject) / きい ♀ [近畿] [高校１年生]
学校の宿題プリントです。

方程式　ｌｏｇ4（−1/cosX)−ｌｏｇ2（√sinX）＝1を0°≦X＜360°の範囲で解け。

　　　　ｌｏｇ2（−1/cosX）/ｌｏｇ2　４−ｌｏｇ2（√sinX）＝1
−1/cosX＞0より　cos＜0…?@　　√sinX＞0…?A

　　√−1/cosX）/（√sinX）＝2
?@?Aより両辺を2乗して　　−1/cosX）/sinX＝4
　　　　　　　　　　　　　　−1/cosX＝4sinX
　　　　　　　　　　　　　　−１＝4sinXcosX
　　　　　　　　　　　　　　−1/2＝sin2X
　　　　　　　　　　　　2X=２１０°　３３０°
　　　　　　　　　　　　　X=１０５°　１６５°
　　　　　?@より　X=105°のなりますが　　?Aより　解なしになります
　　　　　やりかたは　これで合ってますか？　お願いします。　
　　　　　　　　　　　　　　
No.8504 - 2013/02/14(Thu) 23:41:53
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
きいさん、こんにちは。農場長です。

式変形は、私と違いましたが、いいと思います。
問題は、変域ですね。そこの確認をしましょう。
?@から、90°<X<270°
?Aから、0°<X<180°となりませんか？
No.8508 - 2013/02/15(Fri) 11:37:49
☆ Re: / きい ♀ [中国] [高校１年生]
返事ありがとうございます。
?@から、90°<X<270°
?Aから、0°<X<180°となります。

では　答えは　Ｘ＝１０５°　１６５°
で　合ってますか？
No.8510 - 2013/02/15(Fri) 18:27:20
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
はい、それでＯＫですよ〜
No.8513 - 2013/02/16(Sat) 05:47:31
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校１年生]


学校の先生は　答えは　1つだけというだけで　解答を言ってくれなかったので

　Ｘ＝１０５°　１６５°のどちらかが不適になるのか　悩んでいました。

ありがとうございました。
No.8514 - 2013/02/16(Sat) 08:14:40
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
きいさん、もう見ていないかと思いますが・・・。

> 学校の先生は　答えは　1つだけというだけで　解答を言ってくれなかったので
> 　Ｘ＝１０５°　１６５°のどちらかが不適になるのか　悩んでいました。

　私は、どちらも不適ではないと思います。
　その後、私の解釈で間違っているところを逆に教えてくださいね。
No.8516 - 2013/02/17(Sun) 02:39:22
★ ガウス記号の入ったグラフ / minamino [高校１年生]
出展　学校プリント　宜しくお願い致します。
No.8499 - 2013/02/14(Thu) 17:03:38
☆ Re: ガウス記号の入ったグラフ / minamino [高校１年生]
自分の答案を添付します。宜しくお願い致します。
質問も添付した答案に書きました。
また、全体のグラフも正しいか教えて下さい。宜しくお願い致します.
No.8501 - 2013/02/14(Thu) 17:07:04
☆ Re: ガウス記号の入ったグラフ / londontraffic [教育関係者]
こんばんは．londontrafficです．
y=x[x]のグラフを添付しました．
薄くグレーになっているのはy=x^2のグラフです．
ちなみに端点が「含まれる」・「含まれない」は，y=x^2上の点が「含まれる」で，それ以外が「含まれない」です．
minaminoさんのグラフは-2<x<-1の部分が中途半端になっていますね．

さて質問のことですが，連続でokです．
ところで，数学?Vの連続の定義は学びましたか？
No.8503 - 2013/02/14(Thu) 21:18:02
☆ Re: ガウス記号の入ったグラフ / minamino [高校１年生]
londontraffic先生、おはよう御座います。宜しくお願いします。指摘された、グラフは、No.8501 に再アップしました。それと、londontraffic先生のグラフからだと0≦x≦1の部分がはっきりしないのですが、自分のグラフで正しいのでしょうか。
>ところで，数学?Vの連続の定義は学びましたか？
ですが、まだ高１で、高２から学びます。自分でも調べてみたのですが、添付したファイルのように分からない言葉だらけで、ざっくり、高１の私でも理解(納得)できる説明をしていただけないでしょうか。宜しくお願いします.
No.8507 - 2013/02/15(Fri) 05:48:11
☆ Re: ガウス記号の入ったグラフ / londontraffic [教育関係者]
レス遅くなりました．

まず0≦x≦1でのグラフは，minaminoさんのものでokです．

次に連続の話ですがminaminoさんが添付したのは，高等学校より上のレベルの話です．
私が下に示したものが，高等学校のレベルでの連続の話です．
【極限（lim）は数学?Uの教科書・参考書に載っていると思います】
簡単に考えれば，グラフを書いたときに繋がって（連続して）いれば，連続となります．

minaminoさんはまだ数?Vを学んでいないとのことですよね．
しかるべき方から授業でしっかりと説明をお聞きになるのがよろしいかと考えます．
申し訳ありませんが，これ以上詳しいことは控えさせていただきます．
No.8509 - 2013/02/15(Fri) 17:34:07
☆ Re: ガウス記号の入ったグラフ / minamino [高校１年生]
返信有難う御座います。
>しかるべき方から授業でしっかりと説明をお聞きになるのがよろしいかと考えます．
そのように致します。
今回もグラフまで付けて解説してくださり、有難うございました。
No.8511 - 2013/02/15(Fri) 19:34:31
★ (No Subject) / くまもん ♀ [九州] [高校2年生]
実数x，y，zが　1/x＋1/y＋1/z＝1/x＋y＋zを満たすならば、x＋y，y＋z，z＋xのうち少なくとも1つは０であることを示せ。

両辺に　xyz（x＋y＋z）をかけると　　
　　　　　（x＋y＋z）（yz＋xz＋xy）＝xyz
　　　　　　この考え方は間違ってますか？　よろしくお願いします。
No.8481 - 2013/02/12(Tue) 21:14:04
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
くまもんさん、こんにちは。農場長です。

x,y,zはどれも０でない実数ですので、いいと思いますよ。
展開・整理すると、解決の見通しが立ちませんか？
No.8486 - 2013/02/13(Wed) 08:00:07
☆ Re: / くまもん ♀ [九州] [高校2年生]
　（x＋y＋z）（yz＋xz＋xy）＝xyz
（ｙ＋Z）X²＋（y²+2yz+Z²）X＋zy²+yz²＝0
（y＋z）（x＋y）（x＋z）＝0
よって、x＋y，y＋z，z＋xのうち少なくとも1つは０である。
　因数分解できました。
No.8488 - 2013/02/13(Wed) 16:51:55
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
無事、解決ですね。お疲れ様でした！
No.8492 - 2013/02/13(Wed) 19:54:58
☆ Re: / くまもん ♀ [九州] [高校2年生]
ありがとうございました。
No.8497 - 2013/02/13(Wed) 21:28:30
★ (No Subject) / きい ♀ [近畿] [高校１年生]
学校の宿題ﾌﾟﾘﾝﾄです。

ｔ＾logaｔ＜ａ＾3ｔ＾2をｔについて解け。ただし、a＞1とする。

ｔ＾logaｔ＝Mとして　logtｔ＾logaｔ＝logtＭ
　　　　　　　　　　　　　　　logaｔ＝logtＭ
　　　　　　　　　　　　　　1/logtａ＝logtＭ　ここからわかりません。
　　　　よろしくお願いします。　
No.8480 - 2013/02/12(Tue) 21:08:31
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
きいさん、こんばんはITです。いっしょに考えて見ましょう。
> ｔ＾logaｔ＝Mとして　logtｔ＾logaｔ＝logtＭ
> 　　　　　　　　　　　　　　1/logtａ＝logtＭ　ここからわかりません。
ｔ＾logaｔ＝Mとおくのは、なぜですか？　こういう解き方（例題・類題）を習われましたか？　うまくいかないような気がします。

ｔ＾logaｔ＜ａ＾3ｔ＾2
の両辺の対数（底ａ）をとるとどうなりますか？
No.8482 - 2013/02/12(Tue) 22:28:32
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校１年生]
ｔ＾logaｔ＜ａ＾3ｔ＾2
の両辺の対数（底ａ）は　どのようにとれますか？　お願いします。
No.8483 - 2013/02/13(Wed) 00:30:27
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> ｔ＾logaｔ＜ａ＾3ｔ＾2
> の両辺の対数（底ａ）は　どのようにとれますか？　お願いします。
できるだけ自力でやってみましょう。
ａ＞１なので不等号の向きは変わらずに
loga(ｔ＾logaｔ)＜loga(ａ＾3ｔ＾2)　です。　これを計算していきます。
できればやってください。

分からなければ、まず　loga(A)^b とloga(A*B)の計算をそれぞれ書いてみてください。
No.8484 - 2013/02/13(Wed) 00:46:47
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校１年生]
loga(ｔ＾logaｔ)＜loga(ａ＾3ｔ＾2)　
logaｔ・logaｔ＜logaａ＾3＋logaｔ＾2
logaｔ・logaｔ＜3＋２logaｔ
logaｔ＝Ｘとすると、
Ｘ²−２Ｘ−３＜0
（Ｘ＋1）（Ｘ−3）＜0
−1＜Ｘ＜３
よって、　1/ａ＜ｔ＜ａ³
これで合ってますか？よろしくお願いします。
No.8485 - 2013/02/13(Wed) 07:48:39
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
大筋では合ってます。
しかし「対数」を考えるときに、最初に考える必須条件が２つあります。
そのうち１つは「a＞1とする」とあるのでｏｋですが、もう一つの条件の確認が漏れています。
必須条件の２つが何か分かりますか？分からないときは、教科書で「対数」が最初に出てくるところを確認してください。

>−1＜Ｘ＜３
>よって、　1/ａ＜ｔ＜ａ³
のところも、もう少し丁寧に段階を踏んで導く必要があると思います。
No.8490 - 2013/02/13(Wed) 17:57:09
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校１年生]
真数＞0より　ｔ＞0ですね。
わかりました。ありがとうございました。
No.8491 - 2013/02/13(Wed) 18:46:59
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
そうですね。この問題の場合は、結果は同じですが、最初に示すべき条件です。
０＜ｔ＾logaｔ、0＜ａ＾3ｔ＾2　も断っておくべきですね。

ｔ＝1/ａ、ｔ＝ａ³のときｔ＾logaｔとａ＾3ｔ＾2がどうなるか確かめておくといいでしょう。

お疲れ様でした。ではまた。
No.8493 - 2013/02/13(Wed) 19:58:22
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校１年生]
ありがとうございました。
No.8496 - 2013/02/13(Wed) 21:26:30
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