 | センター2005追試 第四問 の質問です
一辺の長さ２の正三角形ABCの３辺AB、BC、CAの中点をそれぞれD、E、Fとする
０＜a＜１とし、線分ADを １–a：a に内分する点をO、線分CEを １–a：aに内分する点をPとし、直線OPとEFの交点をQ、直線OPとDFの交点をRとする。
という前提の問題です。
問題の中身というより、作図に関する質問です
解答の図はCAとPQが平行になっているのですが、なぜでしょうか?
PC：OA＝a：1-a なのに平行になるんですか？
よろしくお願いします。
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No.8125 - 2013/01/08(Tue) 19:00:26
| ☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生] | | |  | メネラウスの定理とは，
「任意の直線lと三角形ABCにおいて，直線lとBC,CA,ABの交点をそれぞれD,E,Fとする．この時,次の等式が成立する：AF/FB*BD/DC*CE/EA=1」
です．今回の問題の図をよく見てください．三角形として△ECFを用いるのは問題ありません．しかし，
EP/PC×CA/AF×FQ/QE=1
は成り立ちません．ここに登場する6個の点のうちE,C,Fは△ECFの頂点なので前述のように問題ありません．しかし残りの三点，つまりP,A,Qはある直線と△ECFを構成する三直線との交点でなければなりません．その直線として直線OPを選ぶのであれば，確かに△ECFとは交点Q,Pを持ちますからQ,Pに問題はありません．でも，直線OPと△ECFの交点に点Aはありませんね？ですから，Aが出てきているのが間違いです．正しくするには，線分OPをO側に延長して，辺CFをF側に延長してそれらの交点をRとすれば，
EP/PC×CR/RF×FQ/QE=1
です．
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No.8150 - 2013/01/10(Thu) 15:07:21 |
| ☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生] | | | | おはようございます．
まず，?@式
>OQ＝(1ーn)OE＋ nOE＝(1ーn)ax ＋ (1ーn)y ＋ n(a-1)x ＋ ny ＝ (1ーn) x＋ y …?@
ですが，『(1-n)OE+nOE』は正しくは『(1-n)OE+nOF』ですね．そして，もう一つ間違いがあって，『(1-n)x+y』ではなくて『(a-n)x+y』ですね．
さて，vec{OQ}=αvec{x}+βvec{y}の形に表せるとき，α,βはただ1つに決まります．従って，
?@?Aの係数を比較して
(a-m)/m=a-n
ですね．これを解くとn=a-a/m+1がわかるだけだと思います．色々な図形の性質に気づいて，mとnの関係式を導けたのは素晴らしいかと思います．
でも，解答を考える前に，まず次の点について考えてみましょう．
実数u,vを用いて例えば，
vec{OQ}=f(a,u)vec{x}+g(a,u)vec{y}
vec{OQ}=h(a,v)vec{x}+k(a,v)vec{y}
のようにvec{OQ}が2通りに表されたとします．これらを係数比較すると当然2つの式が出てくるわけです．つまり，f(a,u)=h(a,v),g(a,u)=k(a,v)ですね．aは与えられていますから，自分で勝手に導入したu,vをaで表したいのですが，未知数がu,vの2個，方程式も2個あるのでu,vがそれぞれaの式として求まりますね．逆に言えば，uとvしかわからない．ということは知りたい文字をu,vとして用いる必要があります．杏仁さんはu,vとしてDFの内分比m：(1-m)とEFの内分比n：(1-n)のmとnを用いてvec{OQ}を2通りに表しました．そして確かにmとnは分かりましたね．でもそれしか分かりません．
では質問です．今，vec{OP}とvec{OQ}の関係を知りたいわけですね？ということは，これを式に直した時に出てくる未知な実数uを用いてvec{OQ}を表さないといけないわけです．上に書いたように，u,vしか求まらないので，求めたいものをuにするのです．vは杏仁さんのmでもnでも何でも構いませんが，せっかく導いてくれたので，vec{OQ}を表す2通りの敷のうち2番目の式は?@を用いましょうか．1番目の式は未知でそして最も知りたい実数uを用いたvec{OP}とvec{OQ}の関係式を用いてください．
そこまでできれば，係数比較は一瞬で済み，uの値を知ることができ，問題の空欄[ス][セ][ソ]が埋まりますね．
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No.8190 - 2013/01/12(Sat) 09:26:51 |
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