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リュケイオン 「高校数学質問掲示板」





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★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
出展　福島大学　宜しくお願いします。問題は添付します。
No.8044 - 2012/12/31(Mon) 12:04:37
☆ Re: / minamino [高校１年生]
途中までの答案です。見てください、宜しくお願いします。
No.8045 - 2012/12/31(Mon) 12:05:39
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
minamino さん　こんにちはITです。
前にも聞いたかも知れませんがminamino さんは、微積分はどこまで習っておられますか？、「合成関数の微分法」を習っておられない(あるいは理解習得しておられない）なら、この問題をこの解法でやるのはまだ早い思います。

答案を見る限り、「合成関数の微分法」を理解習得しておられないと思われます。
もし、ケアレスミスなら、このアドバイスだけで間違いに気づかれると思います。　
No.8048 - 2012/12/31(Mon) 15:56:24
☆ Re: / minamino [高校１年生]
返信有難うございます。数?V・Ｃは勉強していません。合成関数の微分法というのも知りません。数?V・Ｃは勉強するまで待つことにします。ご指摘有難う御座いました。
No.8051 - 2012/12/31(Mon) 17:50:17
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
誤解を与えたかも知れませんので、少し説明します。
この問題自体は、数?Uの範囲で（「合成関数の微分法」を使わなくても）出来ます。

定積分を計算してから微分する。あるいは、２ｔ−１のグラフを描いてx〜x+x^2の定積分の意味を考えるなど。

minaminoさんの方法だと　d/dx{G(x^2+x)}=g(x^2+x)のところが間違いで、「合成関数の微分法」の理解が必要ということです。
No.8052 - 2012/12/31(Mon) 18:13:02
☆ Re: / minamino [高校１年生]
IT 先生有難う御座います。それと、新年明けましておめでとう御座います。今年も宜しく願いいたします。
この問題については、定積分を計算してから微分する解法で解けました。
>d/dx{G(x^2+x)}=g(x^2+x)のところが間違いで、「合成関数の微分法」の理解が必要
のご指摘は、これから、数?Vを勉強してこの問題に戻ったたき、手助けになるとおもいます。さいごまで、心遣いして頂き有難うございました。
No.8053 - 2013/01/01(Tue) 06:08:59
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
minaminoさん　新年明けましておめでとうございます。
minaminoさんの熱心な努力には感心します、今年も実りが多い良い年でありますように。

（別解グラフを描き定積分の意味で考える）
-1≦x≦1/8　のとき -1≦x≦x+x^2≦1/8+(1/8)^2＜1/2　である
　　t＜1/2のとき　2t-1 ＜0　なので f(x)=∫[x..x+x^2](2t-1)≦0
　 (等号はx=x+x^2　すなわち x=0のとき)
よって-1≦x≦1/8のときの f(x)の最大値は0
※汎用性は小さいですが、考え方としては役に立つ場面もあるかも知れませんので参考までに。
No.8054 - 2013/01/01(Tue) 07:13:26
☆ Re: / minamino [高校１年生]
最後まで、丁寧に有難う御座います。
No.8055 - 2013/01/01(Tue) 13:06:14
★ 証明問題の解き方 / がんばってまーす ♀ [関東] [高校3年生]
よろしくお願い致します。

[問]
a,bは実数、i,k,nは0<i≦n-1,0<n-i-k≦n-1を満たす自然数とする時,
a+b=(2a)^{(n-i-k)/(n-i)}+(2b)^{k/(n-i)}ならばaはbの定数倍となるか?
なるなら証明してみせよ。

という問題ですが
どうにもこうにもという状態です。

どうかご教示ください。
No.7965 - 2012/12/23(Sun) 10:24:55
☆ Re: 証明問題の解き方 / IT ♂ [中国] [社会人]
がんばってまーすさん、こんばんはＩＴです。

私も問題の意味がはっきり理解できないので、お答えできるかどうか分かりませんが
３点確認させてください。
・出典はなんですか？
・問題文は、一字一句まちがいなく出典どおりですか？
・前後に関連する問題はありませんか？
No.7973 - 2012/12/23(Sun) 19:40:44
☆ Re: 証明問題の解き方 / がんばってまーす ♀ [関東] [高校3年生]
元部活の先輩に勉強教えてもらってまして,その先輩から戴いた問題です。

一応,チェックしましたが一字一句間違いなく,前後に関連した問題はなく独立した問題です。
No.7974 - 2012/12/24(Mon) 02:51:11
☆ Re: 証明問題の解き方 / IT ♂ [中国] [社会人]
がんばってまーす さん、返信ありがとうございます。

この問題は、条件（特に「定数倍」の意味）があいまいであり、先輩の創作か既出の問題だが先輩が途中省略・変更している可能性が高いと思います。

・(i,k,n)は(1,1,3),(1,1,4),(1,2,4),(2,1,4),…などになります。
　このとき(2a)^{(n-i-k)/(n-i)}+(2b)^{k/(n-i)}は　(2a)^(1/2)+(2b)^(1/2),(2a)^(2/3)+(2b)^(1/3),(2a)^(1/3)+(2b)^(2/3),(2a)^(1/2)+(2b)^(1/2)…などとなります。

Ａ　「ある実数の組（a,b）があり、条件を満たすすべての(i,k,n)について、元の式が成り立つとき・・・」　という意味であれば、
　これを満たすのは自明な（a,b）=(0,0)だけなのでaはbの「定数倍」になってます。

Ｂ　「ある実数の組（a,b）と条件を満たすある自然数の組(i,k,n)について、元の式が成り立つとき　　a=cbとなる実数c（これが「定数」といえるか疑問ですが）があるといえるか？」という意味だとすると
　b=0かつa≠0の場合がありますから偽です。
　実際（a,b)=(2,0),(i,k,n)＝(1,1,3)のとき元の式は　a+b=(2a)^(1/2)+(2b)^(1/2) で　2=(2*2)^(1/2) ですから条件を満たしていますが、aはｂの「定数倍」ではありません。
　一般にb=0のとき、元の式はa=(2a)^{(n-i-k)/(n-i)}となり、これはa≠0なる解を持ちえます。

※普通に読むとＢだと思いますが、これだけのことを言うために「(2a)^{(n-i-k)/(n-i)}+(2b)^{k/(n-i)}」という式を持ち出す意図が良く分かりません。

がんばってまーす さんは、高校３年生ということは、もう直ぐ大学受験ですか？
だとすると、この問題に時間をとられるのはよくないと思います。この時期は解答解説がしっかりした問題をやるべきです。
気になるなら早めに先輩に答えを聞かれることをお勧めします。それまでは考えないほうがいいと思います。

※なお、この問題の出典（問題集名や入試なら何年の何大など）や答えが、分かったら参考までに概略を教えてもらうとうれしいです。　
No.7975 - 2012/12/24(Mon) 07:14:08
☆ Re: 証明問題の解き方 / がんばってまーす ♀ [関東] [高校3年生]
ご回答誠に有難うございます。

仰る通り,この問題は後回しにしたいと思います。
No.8043 - 2012/12/31(Mon) 10:05:50
☆ Re: 証明問題の解き方 / IT ♂ [中国] [社会人]
> 仰る通り,この問題は後回しにしたいと思います。
了解しました。
では、いったん打ち切りということで、再度聞かれる場合は、別スレにしてください。
No.8046 - 2012/12/31(Mon) 13:34:57
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
出展　東京女子医大 宜しくお願いします。
この問題を自分は、はじめ、数?Tの２次関数の範囲の問題だと思い、考えたのですが、解けず、最終的には微分を使うことがわかり問題は解けたのですが、数?Tの２次関数の範囲でこの問題を処理することは、可能でしょうか。宜しくお願いします。
No.8033 - 2012/12/30(Sun) 11:30:34
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> この問題を自分は、はじめ、数?Tの２次関数の範囲の問題だと思い、考えたのですが、解けず、
mimaminoさん　こんにちは、ITです。いっしょに考えてみましょう。
どこまでできましたか？できたところまでUPしてみてください。
No.8034 - 2012/12/30(Sun) 11:59:14
☆ Re: / minamino [高校１年生]
再度解答添付します。宜しくお願いします。
No.8035 - 2012/12/30(Sun) 12:33:18
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 解答添付します。宜しくお願いします。
・係数をaだけにした2次関数は、ちゃんと（２，−２）を通りますか？、検算してください。
・y=x-4はどこに行きましたか？（どこで使いましたか？）
No.8037 - 2012/12/30(Sun) 13:02:29
☆ Re: / minamino [高校１年生]
解答、.8035 に再アップしました。すみません、指摘された所を確認したらできました。集中しておりませんでした。有難うございます。
No.8038 - 2012/12/30(Sun) 13:52:08
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
そうですね。
入試問題も基本事項の組み合わせです。基本事項の理解・確認、基本操作計算を確実に行うことが重要です。では。
No.8040 - 2012/12/30(Sun) 19:10:48
☆ Re: / minamino [高校１年生]
有難うございました。
No.8041 - 2012/12/31(Mon) 05:35:43
★ 場合分けの全事象 / minamino [高校１年生]
出展　日本大
宜しくお願いします。
添付した、問題は解けたののですが、(2)の同じ数字が４回と３回と２回の全事象を調べたく質問させて頂きます。
No.8022 - 2012/12/29(Sat) 11:34:58
☆ Re: 場合分けの全事象 / minamino [高校１年生]
答案が長いので２つのレスに分けます。宜しくお願いします。
No.8023 - 2012/12/29(Sat) 11:35:55
☆ Re: 場合分けの全事象 / minamino [高校１年生]
２枚目の答案です。ここからが質問になります。
No.8024 - 2012/12/29(Sat) 11:37:02
☆ Re: 場合分けの全事象 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
minaminoさん，こんにちは(´･_･`)

どこが間違っているかだけ指摘しますと，(ii)の左側，□□□○○○型です．他は正しく出来ているので見直せばできると思います．今一度，確認してみてください．
No.8026 - 2012/12/29(Sat) 14:27:08
☆ Re: 場合分けの全事象 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，そうですね．

そうすると，合計が確かに690通りになりました．
No.8028 - 2012/12/29(Sat) 15:55:54
☆ Re: 場合分けの全事象 / minamino [高校１年生]
朱雀先生の□□□○○○型のときの計算式(考え方)を聞きたいのですが。宜しくお願いします。重複をしない考え方を学びたいのでお願いします。
No.8029 - 2012/12/29(Sat) 16:02:10
☆ Re: 場合分けの全事象 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
!!!
□□□○○○は□3つ，○3つ．□と○には何ら条件的な違いがなく，対称性があるので，□と○に入れる数を入れ替えると全てダブルカウントになる．そこで，□と○に入れる数の交換を数えないためには，組み合わせを考えればよく3C2=3通り．□3つ，○3つの並べ方は
6!/(3!3!)=20通りなので，20*3=60通り．
!!!

□□○○△△の場合は，□と○，△は同等なので，□と○，□と△，○と△を入れ替えたものも数えると，6重カウントをしていることになります．ですから，□は1,2,3の3通り，○は1,2,3のうち□以外の2通り，△は1,2,3のうち□，○以外の1通りより3*2*1=6通りとするのではなく，やはり組み合わせを考えて，3C3=1通り．□2つ，○2つ，△2つの並べ方は6!/(2!2!2!)=90通りなので，90*1=90通り．

同等なもの，というものは交換しても同じになりますから，重複の原因です．ではどうするかというと，同等でなくせばいいのです．同等なものどうしの同等性を崩すために，□＜○などの大小関係をつけて考えることもできます．□，○は1,2,3のうち異なるものが入りますが，この不等式を満たすのは(1,2),(1,3),(2,3)だけであり，これらを交換したものは含まれませんね．しかし結局これは，□○に入れる2つの数を選んだ段階では，□と○のどちらにどちらの数を入れるかの自由度が残っていますが，不等式□＜○を課すことにより，1,2,3の中から2つの数を選んだ段階で，自ずと□に入る数，○に入る数が決まりますね．例えば，2,3を選んだなら，□を2，○を3にする他ありません．これは結局，2つの数を選ぶだけで□や○に入る数が決まる，逆に言えば，2つの数を選ぶだけでいいのです．したがって3C2という組み合わせとなり，結局，最初に!!!〜!!!で述べた考え方と式の上では同じわけです．

この考え方で，□□○○△△を考えると，(□，○，△)=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)の6通りがありますが，□，○，△は同等なので，□＜○＜△としてただ同等性を崩してやると，(□，○，△)=(1,2,3)の1通りだけが生き残り，6重カウントを防止できます．そして，この選び方こそ3C3=1通りなのです．


要するにminaminoさんの(iii)の考え方と同じですね．
No.8030 - 2012/12/29(Sat) 17:16:47
☆ Re: 場合分けの全事象 / minamino [高校１年生]
今回も貴重な指導有難うございます。これから塾ですので、明日返信します。詳しい解説今回も有難うございます。
No.8031 - 2012/12/29(Sat) 17:50:18
☆ Re: 場合分けの全事象 / minamino [高校１年生]
おはようございます。
解説を読んで感動しました.｡.:*･゜(´＾｀)゜･*:.｡.
自分には高尚すぎる考え方ですが、練習して必ず自分のものにしたいと思います。今回も本当に役に立つ考え方を教えて下さり、ありがとうございました
No.8032 - 2012/12/30(Sun) 06:48:42
★ 必要条件・十分条件 / londontraffic [教育関係者]
pならばqが成り立つとき，
pはqであるための十分条件　qはpであるための必要条件
です．

よくあるタイプの問題は「pはqであるための何条件か？」です．
このとき，p⇒qならば十分条件，q⇒pならば必要条件，共に成り立つとき必要十分条件となります．

ゆえに
・ac<0⇒2次方程式ax^2+bx+c=0が実数解をもつ
のみが成り立つので，
・ac<0は2次方程式ax^2+bx+c=0が実数解をもつための十分条件
と言えます．

ただ，こうやって当てはめることばかりやっていると，だんだん分からなくなってきます．
私も習ったばかりの頃はちんぷんかんぷんでした．
しかし，何故必要条件・十分条件という名前が付いているかを考えたときに，少しずつ見えてきました．
私がNo.8015に【　】で書いたことです．

例えば，x=2⇒x^2=4は成り立ち，逆が成り立ちません．
x=2という条件だけがあれば，x^2=4となるのに十分ですよね．
でもx=-2のときもx^2=4となりますから，x=2という条件はx^2=4となるのに必ず必要か？と言えばそうではありませんよね．
だから，x=2はx^2=4であるための十分条件である・・・と考えるようになりました．

少しは役に立ちましたか？
No.8019 - 2012/12/28(Fri) 17:04:06
☆ Re: 必要条件・十分条件 / minamino [高校１年生]
わざわざ有難うございます。今一度ゆっくり読みます。これから塾ですので、明日返信します。今日は、長い時間教えて頂き有難うございました。
No.8020 - 2012/12/28(Fri) 17:08:54
☆ Re: 必要条件・十分条件 / minamino [高校１年生]
おはようございます。No.8019 のレス、大変役にたちました。これからも、必要条件・十分条件の問題を解くとき、何故必要条件・十分条件という名前が付いているかを考えながら解いてみようと思います。今回は別にレスまで立てて教えて頂き本当に有難うございました。
No.8021 - 2012/12/29(Sat) 07:25:17
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
出展　岩手医大
宜しくお願いします。
No.8005 - 2012/12/28(Fri) 06:25:11
☆ 命題の真偽 / minamino [高校１年生]
自分の解答を添付しました。そこに質問の内容も書いています。宜しくお願いします。
No.8006 - 2012/12/28(Fri) 06:27:30
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
minaminoさん，こんにちは．
londontrafficです．

答案を考える前に・・・
「命題とその対偶の真偽が一致する」
ことはご存じですよね？
もとの命題に対して「逆」と「裏」は対偶の関係にありますから，真偽は一致します．
minaminoさんの解答において逆と裏の真偽は一致していませんから，明らかに一方が誤りです．
逆の反例はokですので，裏は偽となります．

ここまでいかがですか？
No.8007 - 2012/12/28(Fri) 14:14:57
☆ Re: / minamino [高校１年生]
>解答において逆と裏の真偽は一致していませんから，明らかに一方が誤りです．
逆は反例を挙げて偽です。裏も添付した解答は偽です。一致してないとはどういうことですか。
No.8008 - 2012/12/28(Fri) 14:30:17
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
あ・・・本当ですね．すいませんm(_ _)m

続きです．

b^2≧4acならばac<0とac≧0の場合の両方があります．
式変形でやる方法は存在するかもしれませんが，最終的に裏の証明【背理法】と同じになるのではと考えます．
裏と対偶の証明は合っていますが，命題と逆を証明しその対偶であるからとした方が，スマートだと思います．

本当にごめんなさい．
No.8009 - 2012/12/28(Fri) 14:42:19
☆ Re: / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。ac<0ならばax^2+bx+c=0 は実数解をもつ。実数解をもつじょうけんとして、ac<0、これと判別式b^2-4acとはどういう関係(関連)があるのでしょうか。
No.8010 - 2012/12/28(Fri) 15:09:02
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．

判別式D=b^2-4acにおいて，a,b,cすべて実数ですから，
b^2≧0
また，条件ac<0から
D>0
となり，（異なる２つの）実数解をもちます．

どうですか？
No.8011 - 2012/12/28(Fri) 15:11:34
☆ Re: / minamino [高校１年生]
宜しくおねがいします。
実数解を持つ条件で、b^2-4ac>0を使いますが、実数解を持つ条件で、ac<0を条件に使った場合の関連(関係)を知りたいのですが、ac<0で実数解を持つならac<0それで実数解を持つ条件でいいと判断してしまいます。変な質問ですみません。
No.8012 - 2012/12/28(Fri) 15:30:00
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
>ac<0それで実数解を持つ条件
minaminoさんがイメージしているものがよく分からないです．
例えば，
問　２次方程式x^2-kx-k=0が実数解をもつときの定数
kのとりうる値の範囲を求めよ
解答　1･(-k)<0よりk>0
としたいということでしょうか？

今回調べたように，ac<0は２次方程式が（異なる２つの）実数解をもつ十分条件ですが，必要条件ではありません．ですから，この解答では勿論不十分です．

具体的にどんなイメージなんでしょうか？
No.8013 - 2012/12/28(Fri) 15:51:23
☆ Re: / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。
知りたかったのは、まさに
ac<0は２次方程式が（異なる２つの）実数解をもつ十分条件ですが，必要条件ではありません
です。
「ac<0は２次方程式が（異なる２つの）実数解をもつ十分条件」が、ぱっと分かりません。
No.8014 - 2012/12/28(Fri) 16:00:09
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
例えば次の２つの2次方程式について
あ）x^2-37x-341=0
い）x^2-37x+341=0

あ）は計算しなくとも，ac<0から異なる２つの実数解をもつことが容易に分かります．
　　【aとcが異符号であれば実数解をもつのに十分だからです】
い）は判別式を計算しなくては，どんな解をもつかわかりません．
　　【aとcが異符号であることは実数解をもつのに必要な条件ではないから調べる必要があります】

便利なのは，aとcが異符号ならば，ぱっと見で「実数解を持つ」ことがわかる程度でしょうかね．
No.8015 - 2012/12/28(Fri) 16:16:15
☆ Re: / minamino [高校１年生]
londontraffic先生はなぜすぐに
ac<0は２次方程式が（異なる２つの）実数解をもつ十分条件ですが，必要条件ではありません
とわかるのですか。必要条件と十分条件の範囲は自分は苦手です。必要条件なのか十分条件なのか区別がつかないのです。是非、すぐに、ac<0は必要条件ではなく、十分条件とわかるのですか。初歩から教えて下さい。
No.8016 - 2012/12/28(Fri) 16:27:26
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
スレチになるので，改めて私がスレッドを立てます．
以降，やりとりはそちらでお願いします．
No.8017 - 2012/12/28(Fri) 16:47:09
☆ Re: / minamino [高校１年生]
有難うございます。
No.8018 - 2012/12/28(Fri) 17:00:04
★ ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
出展　北海道大　宜しくおねがいします。
No.7981 - 2012/12/24(Mon) 11:42:39
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
質問内容添付しました。
No.7982 - 2012/12/24(Mon) 11:43:27
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
自分の途中までの答案です。
No.7983 - 2012/12/24(Mon) 11:44:02
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
回答中...です
No.7984 - 2012/12/24(Mon) 15:52:38
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
こんにちは．

y''の式が間違っています．まずはそこを直して，増減表を修正してみてください．
No.7985 - 2012/12/24(Mon) 16:10:34
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
それとy'''は普通使いません．
No.7986 - 2012/12/24(Mon) 17:13:20
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
３次関数（f(x)としました。）を描くところで挫折しそうです。４次関数を描くのに、どこまで３次関数は正確に描く必要がありますか
No.7987 - 2012/12/24(Mon) 17:17:09
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
上の答案でf(α),f(β)を求めようとしているところですが、求める必要はありますか。
No.7988 - 2012/12/24(Mon) 17:27:25
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
最初に，4次関数のグラフを描くのに，必ずしも3次関数のグラフを描く必要はありません．以前の問題では，3次関数のグラフを描きましたが，それはなぜだったでしょうか．3次関数というのは，4次関数y=f(x)に対してy'=f'(x)のことです．もし，f'(x)の符号が式変形(因数分解)から求まるのであれば，わざわざf'(x)のグラフを描く必要はありません．

今回の問題の場合はどうでしょうか．
4次関数y=f(x)=x^4-4x^3+5x^2ですが，
その傾きy'=f'(x)=4x^3-12x^2+10x=2x(2x^2-6x+5)は()内が常に正なので，符号は容易にわかりますよね．4次関数y=f(x)を描くにあたって必要となるのはy'とy''のグラフではなくて，「符号」です．従って，本問ではy'の符号は因数分解だけから求められるので，わざわざ3次関数y'のグラフを描く必要はありません．以前の問題では，y'を因数分解できず，その符号がわからなかったのでグラフを描いて，実数解x=αのただ1つを持ち，その前後で正負が入れ替わることを確認したのでした．本問では，y'の符号が用意に求まるのでその必要は無し．


とはいえ，練習にはなりますから，3次関数y'のグラフを描いてみましょう．以下，minaminoさんの言うy,fなどはそれぞれy',f'などと'が1個多くなっていますから，注意しながら読んでください．これは4次関数y=f(x)と混同しないためです．
y'=f'(x)=4x^3-12x^2+10x　のグラフを描くために必要なもの
傾きy''=f''(x)=12x^2-24x+10
凹凸y'''=f'''(x)=24x-24
だというのは大丈夫ですよね．まずはy''の符号から求めてみましょう．これは，minaminoさんが求めたα,βで符号が入れ替わりますが，増減表が間違っていますね．x=α，βでy'=0というのは問題ありませんが，そもそもα＞βですよね．どうして，増減表において左にαがあるのでしょうか．大きい数ほど右に書かなければなりません．そして，y'は下に凸の放物線ですから，2解α,βの間は負ですよね．

なお，3次関数f'(x)のx=α,βにおける値f'(α)とf'(β)は，3次関数f'(x)のグラフを描け，という問いならば当然求めなければなりません．
No.7990 - 2012/12/24(Mon) 18:04:30
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
割り算についてですが，余りは正しくは4x/3-10/3となるようですから間違っていますね．

割られる式は4x^3-12x^2+10xですよね．10になっているのが間違っています．
No.7991 - 2012/12/24(Mon) 18:10:43
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
たくさんのミス、本当にすみません、.7987 の
>α,βで符号が入れ替わりますが，増減表が間違っていますね．x=α，βでy'=0というのは問題ありませんが，そもそもα＞βですよね．どうして，増減表において左にαがあるのでしょうか．大きい数ほど右に書かなければなりません．そして，y'は下に凸の放物線ですから，2解α,βの間は負ですよね．

は訂正して再アップしました。割り算についても４次関数についてももう一度ゆっくり考えます。これから塾なので、また、宜しくお願いします。本日は有難うございました。
No.7992 - 2012/12/24(Mon) 18:25:58
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
おはようございます。宜しくお願いします。
>割り算についてですが，余りは正しくは4x/3-10/3となるようですから間違っていますね．
添付した答案に２通りで割り算してみたのですが、先生と同じになりません。
No.7993 - 2012/12/25(Tue) 08:03:28
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
ごめんなさい．余りはそれで合っています(;^_^A

x=α,βで12x^2-24x+10=0となるので，f'(α),f'(β)はそれぞれ-4α/3+10/3，-4β/3+10/3ですね．
No.7994 - 2012/12/25(Tue) 13:24:02
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
こんばんは、これから塾で、クリスマスなのに・・・、塾から帰ったら学校の宿題でねるだけ。です。明日の朝には３次関数を描いて４次関数も考えてみますので宜しくおねがいします。いいクリスマスを過ごしてくださいね。
No.7995 - 2012/12/25(Tue) 17:42:26
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
まだ学校はあるのですか？毎日，頑張ってるようですけど，塾へ通うにも外は寒いですし，インフルエンザやノロウィルスなど流行っているようですのでお体を壊さないようにくれぐれも無理はしないでくださいね．
No.7996 - 2012/12/26(Wed) 00:06:00
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
おはようございます。宜しくお願いします。３次関数を描いてみました。見てください。
No.7997 - 2012/12/26(Wed) 06:35:07
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，グラフは正しく描けています．
増減表に関しては，x=0の左にもう1列設けて，xが負の場合についても書かなければなりません．

f'(x)=2x(2x^2-6x+5)は()内の判別式が負で，常に正の値をとりますから，結局f'(x)の符号は2xの符号そのもの，つまりx＜0で負，x＞0で正，符号反転はx=0の時のみとわかります．4次関数y=f(x)のグラフを描くには，この情報さえあれば十分なのですが，実際に3次関数f'(x)のグラフを描いてみて，確かにxの符号とf'(x)の符号が一致しているのがわかるかと思います．もちろん，これがz=y'=4x^3-12x^2+10xのグラフを描け，という独立した問題ならば，2階微分z''=y'''も使って変曲点も出すべきですが．
No.7998 - 2012/12/26(Wed) 13:50:19
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
おはようございます。宜しくお願いいたします。４次関数を描いてみました。みてください。１つ質問を入れておきました。宜しくお願いいたします
No.7999 - 2012/12/27(Thu) 05:22:58
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
No.8000キリ番ゲット✌(◔౪◔ )✌✌( ◔౪◔)✌

…はい正しいグラフが得られています．

f(α),f(β)の値についてですが，α,βがそれほど複雑な形ではないですし，4次関数程度でしたら代入しても，剰余の定理を使ってもさほど変わらない思われます．β,α=1±1/√6であることを考えれば

f(β),f(α)
=β^4-4β^3+5β^2,α^4-4α^3+5α^2
=(1±1/√6)^2{(1±1/√6)^2-4(1±1/√6)+5}
=(1±2/√6+1/6)(1±2/√6+1/6-4∓4/√6+5)
=(7/6±2/√6)(13/6∓2/√6)
=91/36∓14/(6√6)±26/(6√6)-4/6
=67/36±12/(6√6)
=(67±12√6)/36　(以上全て複合同順)

とまあそれほど労力がいるとは思えませんけど．
No.8000 - 2012/12/27(Thu) 15:01:17
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
こんにちは、宜しくお願いします。No.8000 レスで剰余の定理を使ってもとありますが、どのように使うのでしょうか。今回の場合、α^2でくくれるので何とか自分でも計算できそうですが、今回のようにα、βが無理数で分数だと４次式に代入など、とても大変そうです。ぜひ、この問題で剰余の定理を教えて下さい。
No.8001 - 2012/12/27(Thu) 15:28:38
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
4次式f(x)を12x^2-24x+10で割って，x=α,βを代入すればいいですね．

f(x)=(12x^2-24x+10)Q(x)+R(x)

ここで，x=α,βの時，12x^2-24x+10=0より

f(α)=R(α)，f(β)=R(β)

No.7987で既にminaminoさんがやってらっしゃるような方法です．

実際，割り算を実行してみると

f(x)=(x^2/12-x/6+1/72)(12x^2-24x+10)+2x-5/36

となりますから，

f(α)=2((6-√6)/6)-5/36=(12-2√6)/6-5/36=(72-12√6)/36-5/36=(67-12√6)/36
f(β)=2((6+√6)/6)-5/36=(12+2√6)/6-5/36=(72+12√6)/36-5/36=(67+12√6)/36
No.8002 - 2012/12/27(Thu) 17:29:54
☆ Re: ４次関数の描き方 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
もともとこの4次関数は，原題のaに10/4を「勝手に」代入して作られたものであり，極値を求めることを想定していませんから，まあ面倒な計算は強いられて当然でしょうね．まだ登場する数値が小さいだけましですね．
No.8003 - 2012/12/27(Thu) 17:33:37
☆ Re: ４次関数の描き方 / minamino [高校１年生]
早速のご返答有難うございます。
ここでも12x^2-24x+10を利用して計算するんですね。そう言われればそうです。
それと、今回も最後まで親身になって教えてくださり感謝いたします。有難うございました。
No.8004 - 2012/12/27(Thu) 17:39:28
★ 推理？の問題 / ささお ♀ [東海] [高校3年生]
こんにちは。数学の問題集のコピー？からの問題です。

P、Q、R、S、Tの5つのレストランで顧客満足度調査を実施した。その得点について以下のことがわかっている。
　?T　5つの中に同点はない
　?U　Qの得点はPより高い
　?V　Rの得点はSより高い
　?W　Tの得点はQとPの平均に等しい
　?X　Tの得点はSよりも高い

?T〜?Xまでの情報から判断して、得点の高い順に5つのレストランを並べたとき、Rの順位として考えられるものをすべて挙げよ。

A：1位、2位、3位


だったのですが、この答えが出る過程がわかりません。
条件を整理して、
?Uより、Q＞P、?Vより、R＞S、?WよりQ＞T＞P、?XよりT＞S という解釈をしましたが、ここから答えにたどり着きません。どう考えるべきか、教えてください。
No.7966 - 2012/12/23(Sun) 12:38:09
☆ Re: 推理？の問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
ささお さん　こんにちはＩＴです。
>数学の問題集のコピー？
高校数学の問題と言うより、公務員試験の判断推理の問題という感じですが、それはさておき
問題と答えに間違いありませんか？

Ｑ：１０点、Ｔ：９点、Ｐ：８点、Ｒ：７点、Ｓ：６点は、?T〜?Xのすべての条件を満たし、Ｒは４位になると思いますがどうでしょうか？
No.7967 - 2012/12/23(Sun) 14:04:12
☆ Re: 推理？の問題 / ささお ♀ [東海] [高校3年生]
ITさん、こんにちは。公務員試験にもこのような問題があるんですね。


もう一度確認しましたが、

（誤）?T〜Ｖまでの情報から判断して…　
（正）?T〜?Wまでの情報から判断して…

以上の点以外は正しいものでした。

しかし、?Xの条件が消えると、更にすべての順位があてはまるという意見が強くなる
と思うのですが、これは問題の作成ミスでしょうか？
No.7968 - 2012/12/23(Sun) 17:00:03
☆ Re: 推理？の問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
>> 　?V　Rの得点はSより高い
から　Rは４位以上　だけしか分からないと思います。
だれが何のためにこの問題を貴方に出題したのか、解く（かせる？｝目的が分かりませんが、これ以上あなたの貴重な時間を使わない（これ以上考えない）のが正解だと思います。条件?Xを使わないなど問題も変だし、解答もあやしい。

受験勉強であれば、しっかりした解説・解答つきの問題をされることを特にお勧めします。
No.7970 - 2012/12/23(Sun) 18:20:14
☆ Re: 推理？の問題 / ささお ♀ [東海] [高校3年生]
ITさん、ありがとうございます。

問題が根本的におかしいんですね。
もうこのコピーには手をつけないことにします。

また、質問があったら投稿しますので、
よろしくおねがいします。
No.7971 - 2012/12/23(Sun) 18:59:34
☆ Re: 推理？の問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
ささおさんへ　もう見ておられないかも知れませんが、このサイトはマルチポスト禁止ですので今後はご注意ください。
No.7972 - 2012/12/23(Sun) 19:02:37
★ (No Subject) / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
ｐ，ｑを正の実数とする。Ｘの方程式Ｌｏｇ10（ｐＸ）・Ｌｏg10（ｑＸ）＋1＝0が
１より大きい解をもつとき、点（Ｌｏｇ10ｐ，Ｌｏg10ｑ）の存在する範囲を座標平面上に図示せよ。

（Ｌｏｇ10　ｐ＋Ｌｏｇ10　Ｘ）（Ｌｏg10　ｑ＋Ｌｏｇ10　Ｘ）＋１＝0
（Ｌｏｇ10　ｐ＋Ｌｏｇ10　Ｘ）（Ｌｏg10　ｑ＋Ｌｏｇ10　Ｘ）＝Ｌｏg10　1/10
ここまで　変形したのですが、　よくわかりません。お願いします。
No.7930 - 2012/12/19(Wed) 19:51:06
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
きいさん，こんばんは．朱雀と申します．挨拶を忘れずに．

p,qを正の実数とするxの方程式log{10}px・log{10}qx+1=0が1より大きい解を持つとき，点(log{10}p,log{10}q)の存在する範囲をpq座標平面上に図示せよ．

との解釈でよろしいですか．

さて，与えられた方程式は確かに次のように変形できます．

(log{10}p+log{10}x)(log{10}q+log{10}x)=log{10}(1/10)

この方程式の解をやはり知りたいものです．でもxについて解こうにもlog{10}xという形で登場しますから，簡単には解けそうにない．ここで考えてみて下さい，xの値を直接求めようとしなくても，先に方程式を満たすt=log{10}xの値を求めれば，x=10^tと求められますね．でもきいさんの行った変形は

(log{10}p+t)(log{10}q+t)=log{10}(1/10)

右辺が0ならこれでいいです．しかし右辺が0でない時にこのような変形をして解を求められるでしょうか．この点について再考し，t=log{10}xの置き換えの下，与えられた方程式をtについて解いてください．
No.7931 - 2012/12/19(Wed) 21:32:43
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
（log［10］ｐ＋ｔ）（log［10］ｑ＋ｔ）＋1＝0
ｔ²＋（log［10］ｐｑ）ｔ＋log［10］ｐlog［10］ｑ＋1＝0
これでいいですか？
No.7932 - 2012/12/19(Wed) 23:15:51
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，そうですね．
さてこれで，xの方程式がtの方程式に変わりました．
x＞1なる解を持つ，というのはtを用いればどういうことでしょうか．
No.7933 - 2012/12/20(Thu) 00:39:10
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
返信ありがとうございます。
Ｘ＞1より　　log［10］Ｘ＞log［10］1
　　　　　　　　　　ｔ＞0になります。
　ｔ＞0なにで
　Ｆ（ｔ）＝ｔ²＋（log［10］ｐ+log［10］ｑ）ｔ＋log［10］ｐlog［10］ｑ＋1は　
　下に凸のグラフで　?@Ｄ≧0　　?AＸ＝1のとき　Ｙ＝Ｆ（ｔ）の軸＞0　　　　　　　?@より　（log［10］ｐ+log［10］ｑ）²−4（log［10］ｐlog［10］ｑ＋1）≧0
?Aより　　−log［10］ｐ−log［10］ｑ/2＞0
　　２次関数のようにやってみましたが合ってますか？
　　　　　　　　　　
No.7934 - 2012/12/20(Thu) 01:05:58
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，t＞0で正解です．
方程式
F(t)=t^2+(log{10}p+log{10}q)t+log{10}plog{10}q+1=0
がt＞0という解を少なくとも1つ持てば良いわけです．
これはきいさんのおっしゃるとおり，2次方程式の解の配置問題となります．
しかし，条件が間違っているようですね．

t＞0なる解を少なくとも1つ持つためには，判別式D≧0は当然として，F(t)の軸が正の時だけでしょうか．軸が0，或いは負の時でも，それぞれある条件を満たせばt＞0を満たす解が存在しますね．ここは，この問題に限らず，重要なポイントですので，もう一度考えてみて下さい．
No.7935 - 2012/12/20(Thu) 01:19:46
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
Ｄ≧0より　（log［10］ｐ+log［10］ｑ）²−4（log［10］ｐlog［10］ｑ＋1）≧0
　　　　（log［10］ｐ-log［10］ｑ）²−4≧0
　　　　（log［10］ｐ-log［10］ｑ＋2）（log［10］ｐ-log［10］ｑ-2）≧0
　　　　log［10］ｐ-log［10］ｑ＋2≧0　log［10］ｐ-log［10］ｑ-2≧0
　　　またはlog［10］ｐ-log［10］ｑ＋2≦0　log［10］ｐ-log［10］ｑ-2≦0
　　　これでいいですか？
No.7936 - 2012/12/20(Thu) 01:51:57
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
D≧0の解はそれで良いですが，今，質問しているのはtに関する2次方程式F(t)=0がt＞0なる解を持つための条件です．

1つはきいさんが先に挙げられた

D(t)≧0かつF(t)の軸が正の時

です．本当に，この場合しかt＞0となる解を持ちませんか？これに関しては，1年生時に学習していると思いますが．
No.7937 - 2012/12/20(Thu) 16:15:33
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
Ｄ（ｔ）≧0　より
（log［10］ｐ-log［10］ｑ＋2）（log［10］ｐ-log［10］ｑ-2）≧0
log［10］ｐ＝Ｘ　log［10］ｑ＝Ｙとする。
?@Ｘ−Ｙ−2≧0　　かつ　Ｘ−Ｙ＋2≧0　　解なし
?AＸ−Ｙ−2≦0　　かつ　Ｘ−Ｙ＋2≦0
　　Ｘ−２≦Ｙ≦Ｘ＋２　　……?B
　
Ｆ（ｔ）の軸＞0　より
　−（Ｘ＋Ｙ）/2＞0　　　　Ｙ＜−Ｘ　……?C
?B?Cを　　log［10］ｐをＸ軸に　log［10］ｑ＝Ｙ軸にしてグラフを書けばいいですか？
No.7938 - 2012/12/20(Thu) 21:55:37
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
t=log{10}xより，F(t)の定義域はすべての実数tであり，
また，下に凸なので，

y=F(t)のグラフを描くと添付図のようになりますね．きいさんが計算しているのは，このうち?@だけです．別に軸が正の範囲に無くても，t＞0なる解，すなわち正の解は持つわけです．それを全て(?@だけでなく?Aや?Bも)条件として書き出してください，ということです．　…(☆)


では，せっかく計算していただいたNo.7938について
D(t)≧0より
X-Y-2≧0　かつ　X-Y+2≧0　…(A)
または
X-Y-2≦0　かつ　X-Y+2≦0　…(B)
というのは合っています．ただし，ここからX-2≦Y≦X+2は導かれません．

(A)より，X-Y-2≧0ならば自動的にX-Y+2=(X-Y-2)+4≧4なのでX-Y+2≧0も成り立ちますね．よって，(A)を満たすためにはX-Y-2≧0でさえあれば良いのです．よってY≦X-2

(B)もX-Y+2≦0でさえあればよく，Y≧X+2．

よって，正しくはY≦X-2またはY≧X+2

ちゃんと，Yの数直線に範囲を描いて，正確に条件を求めましょう．…(☆☆)


F(t)の軸が正の範囲にあることより
(-X-Y)/2＞0　
よってY＜-X．

これはあっていますね．

さて，log{10}pをX軸，log{10}qをY軸にしてグラフを描けば良いか，とのことですが，やはりpq座標平面上に描くのがよいと思います．例えば，Y＜-Xですが，これはlog{10}q＜-log{10}p=log{10}(1/p)より，q＜1/p(ただし，真数条件よりp＞0，q＞0)とできます．

次回までに(☆)と(☆☆)について回答してください．これさえできれば，この問題は解けたに等しいし，この問題だけでなくいろいろな場面で使う重要な考え方なので．
No.7939 - 2012/12/21(Fri) 05:44:31
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
添付図です．
No.7940 - 2012/12/21(Fri) 05:45:27
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
（☆）の回答は、添付図で　?@の場合　Ｄ≧0，軸＞0，Ｆ（0）＞0より
　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ≦Ｘ−2　，Ｙ≧Ｘ＋2
　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ＜−Ｘ
　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ＞−1/Ｘ
　　　　　　　　　　　　　?A?Bの場合　　Ｆ（0）＜0より　
　　　　　　　　　　　　　　　Ｙ＜−1/Ｘ
（☆☆）は　ちょっと分かりません。よろしくお願いします。
No.7942 - 2012/12/21(Fri) 17:33:57
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
(☆)について

?@の場合は，D≧0かつ軸が正の範囲にある，です．F(0)＞0は，もちろん図ではそうですが，F(0)＜0でもt＞0なる解を持ちます．こちらがきいさんが最初に示してくれた条件です．この他にも次の?A?Bがあることに注意してください．

?A?Bの場合は，D＞0かつF(0)＜0ですね．

それぞれを式に起こしましょう．

?@
D=(X-Y+2)(X-Y-2)≧0
よって，
「X-Y+2≧0かつX-Y-2≧0」または「X-Y+2≦0かつX-Y-2≦0」
です．書き換えると
「Y≦X+2…(A)かつY≦X-2…(B)」または「Y≧X+2…(C)かつY≧X-2…(D)」
となります．これを数直線を用いると添付図のようになり(これが(☆☆)の解答になります)，これは不等式の分野で学習しているはずです．結果，Y≦X-2またはY≧X+2という結果になります．
更に，軸が正の範囲にあるという条件から，Y＜-X．これは合っています．

?A?B
D＞0より，詳細は省きますが，?@で示したものと全く同じ手順でY＜X-2またはY＞X+2．
更にF(0)=XY+1＜0より，XY＜-1．
これを，Y＜-1/Xとしてはいけません．Xの符号がわからないのですから，不等号の向きが確定しません．これは不等式の基礎ですから，注意してください．

さて，これで条件が出揃いました．まとめてみますと，

「「Y≦X-2またはY≧X+2」かつY＜-X」または「「Y＜X-2またはY＞X+2」かつXY＜-1」

となり，これを満たす(X,Y)の組がt＞0なる解を持たせるものです．これをp,qの関係にすれば９割方完成です．さて，これをやってみましょう．
No.7944 - 2012/12/21(Fri) 18:06:19
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
また，添付ファイルを貼り忘れましたorz
No.7945 - 2012/12/21(Fri) 18:06:52
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
「Y≦X-2またはY≧X+2」かつY＜-X」
Y≦X-2より　　log［10］ｑ≦log［10］ｐ−2
　　　　　　　log［10］ｑ−log［10］ｐ＋log［10］100≦0
　　　　　　　　　　　　100ｑ/ｐ≦0
Y≧X+2より　　log［10］ｑ≧log［10］ｐ＋2
　　　　　　　log［10］ｑ−log［10］ｐ−log［10］100≧0
　　　　　　　　　　　　ｑ/100ｐ≧0
　Y＜-X　より　　　　　　　log［10］ｑ＜−log［10］ｐ
　　　　　　　　　　　　　　q＜1/p
これで　やり方は合っていますか？
No.7946 - 2012/12/21(Fri) 19:44:53
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，あっていますよ^^ 2=log{10}100に気づけたのは素晴らしいです．
その調子です，もう一息，最後まで頑張りましょう！

ところで，真数条件よりp,qはいずれも正なので，

100q/p≦0はq≦p/100
q/100p≧0はq≧100p
に直せますね．

では，?A?Bの場合は，どのようになるでしょうか？
No.7947 - 2012/12/21(Fri) 21:15:30
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
?A?B
「Y＜X-2またはY＞X+2」かつ「XY＜-1」
　「Y＜X-2またはY＞X+2」より　
　　　　　　q＜p/100　
　　　　　　q＞100p
　「XY＜-1」より
　　　log［10］ｑ・log［10］ｐ＋log［10］10＜0
　　　　　　↑
　　　　この式の求め方が分かりません。よろしくお願いします。
No.7948 - 2012/12/21(Fri) 21:40:16
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
ごめんなさいm(_ _)m

問題を読み直したところ，点(log{10}p,log{10}q)の存在範囲を図示せよ，とのことでした．
従って，きいさんがNo.7938でおっしゃったように，Xを横軸，Yを縦軸にとったグラフを描くのが正しいです．せっかく計算していただいたいのに，無駄にしてしまいお詫び申し上げます．

従いまして図示するべきは次の領域となります．

「「Y≦X-2またはY≧X+2」かつY＜-X」または「「Y＜X-2またはY＞X+2」かつXY＜-1」

さて，添付図は以上に現れる不等式の不等号を等号にして得られる4つの曲線が描かれています．赤・青・緑・黄はそれぞれどの曲線でしょうか．また，塗るべき領域はA〜Rの記号で答え，また，境界を含むかどうかを答えてください．これでこの問題は解決です！
No.7950 - 2012/12/21(Fri) 21:55:16
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
↑画像の添付がご自身で出来，かつそちらの方がやりやすいなら上の画像を使わずに，お手製の画像を使ってもらっても結構ですよ．
No.7951 - 2012/12/21(Fri) 22:06:32
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
「「Y≦X-2またはY≧X+2」かつY＜-X」……?@
　　　ＢＦＧ　　ＩＪＯ
「「Y＜X-2またはY＞X+2」かつXY＜-1」……?A
　　　ＦＣ　　ＮＯ
　?@または?Aなので　ＢＦＣＧ　と　ＩＪＯＮ　です。境界線は含みません。
これで　いいですか？
No.7952 - 2012/12/21(Fri) 22:28:21
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
?@の領域はあっていますが，?Aが違いますね．

XY＜-1の表す領域をXの符号をよく考えて式変形し，もう一度，図示してみてください．
No.7953 - 2012/12/21(Fri) 23:28:49
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
XY＜-1　で　Ｘ＞0　つまり　ｐ＜1のとき　ＦＣ　ＮＯ
　　　　　　Ｘ＜0　つまり　0＜ｐ＜1のとき　ＡＢ　ＪＭ

?Aの領域は　これでいいですか？
No.7954 - 2012/12/21(Fri) 23:58:19
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
まだ，違いますね．

XY＜-1は

X＞0ならば，Y＜-1/X
X＜0ならば，Y＞-1/X

です．

X＞0の時，すなわち第1,4象限ではY＜-1/X，つまり双曲線の下側
X＜0の時，すなわち第2,3象限ではY＞-1/X，つまり双曲線の上側

になります．これを記号で表すと，A,B,N,Oの領域です．


>Ｘ＞0　つまり　ｐ＜1のとき　ＦＣ　ＮＯ

とありますが，FやCの領域は明らかにX＜0の範囲にありますよね．
No.7955 - 2012/12/22(Sat) 02:34:21
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
そうですね。わかりました。
?@?Aより　　ＡＢＦＧ　　ＩＪＯＮ　境界線含みません。で　いいですね。
No.7956 - 2012/12/22(Sat) 09:49:41
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
はい，選ぶ記号がそれでいいですよ^^

ただ境界線についてはI,Jのうち青線と，F,Gのうち赤線は含みますね．＞,＜でなく≧,≦なのですから．
No.7959 - 2012/12/22(Sat) 14:13:29
☆ Re: / きい ♀ [近畿] [高校2年生]
よくわかりました。
ありがとうございました。
No.7961 - 2012/12/22(Sat) 16:51:01
★ ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
３つの集合のド・モルガンの法則について詳しく教えてください。ネットでも検索したのですが、詳しく扱っているサイトはありませんでした。宜しくお願いします。
No.7878 - 2012/12/11(Tue) 12:53:18
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
こんばんは．
3つの集合の場合も基本的には2つの集合の場合に落とせます．

例えば(x+y+z)(x+y-z)を計算する時どうでしょう．知っている公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2が使えそうですよね．そのためにはx+y=wと置けば(w+z)(w-z)となり，答えは新しく置いた文字wを用いてw^2-z^2と求まりますね．ここに，w=x+yを代入して(x+y)^2-z^2=x^2+2xy+y^2-z^2と簡単に答えが求められます．

今，minaminoさんは2つの集合の場合のド・モルガンの法則を知っています．上の例を参考にしてminaminoさんが挙げられた青字の4つの例に対して同じようなこと(置き換え，計算，置き換えを元に戻す)をしてみて下さい．
No.7880 - 2012/12/11(Tue) 17:58:47
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。置き換え，計算，置き換えを元に戻すとやってみましたが、まったく違うことをやっているような気もするので、１例だけやって添付しました、見てください。
No.7885 - 2012/12/12(Wed) 05:38:17
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
こんばんは＼(^▽^)／！回答が遅くなって申し訳ありません．

>まったく違うことをやっているような気もするので
大丈夫です，完璧ですよ．

以下，Aの補集合を[A]と書きます(いわゆる「Aバー」)．

集合に関する交換法則が成り立つから
[A∪[B]∪C]=[A∪C∪[B]]
だし，結合法則が成り立つから
=[(A∪C)∪[B]]
ですね．()内を集合Dとして，ドモルガンの法則を用いると
=[D]∩B
=[A∪C]∩B
=[A]∩[C]∩B
交換法則より
=[A]∩B∩[C]

他にもA∪[B]をEと置くと
[A∪[B]∪C]
=[(A∪[B])∪C]
=[E∪C]
=[E]∩[C]
=([A∪[B]])∩[C]
=[A]∩[[B]]∩[C]
=[A]∩B∩[C]
ともできますね(当然，どのように置き換えても同じ結果にあります)．

さて，以上が本当にあっているのかを確認する方法があります．3つの集合の場合のベン図は描けるでしょうか？実際に，[A∪[B]∪C]と[A]∩B∩[C]の部分を塗ってみると一致しているのがわかります．3つの場合のベン図を知らなければ調べるか，その旨，書き込んでください，対応します．


3つ以上のものを扱うときには，２つの場合について知っている公式を使えるように，一部を別の文字で置き換えて２つの場合に落とし込むというのは有効な手段の1つです．これを機に，こういう考え方も頭に入れておくと良いでしょう．

余談ですが，No.7880では，ただ単に一部を置き換えてやってくださいと書きましたが，こういうことができるのは，

[A∪[B]∪C]=[(A∪[B])∪C]が成り立つ

つまり集合に関する結合法則が成り立つからです．そして，minaminoさんのようにA∪C=Dと置けるのは，回答に書かれているように交換法則が成り立つからですね．こういった性質があるから，今回のような交換や置き換えができるということも意識してください．

さて，以上までが理解できていればminaminoさんが最後に挙げられた問題

[A∩[B∩C]]

も解けますね．
No.7887 - 2012/12/12(Wed) 19:08:23
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。解説にあった「集合に関する結合法則が成り立つからです」が大変勉強になりました。[A∩[B∩C]]についてやってみましたので見てください。
　それと、３つの集合のベン図は今までずっと逃げてきまして、今から少し勉強して
，[A∪[B]∪C]と[A]∩B∩[C]のベン図を描いてみようとおもいますので宜しくお願いします。
No.7889 - 2012/12/13(Thu) 05:10:56
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。[A∪[B]∪C]と[A]∩B∩[C]のベン図を描いてみたので見てください。
No.7890 - 2012/12/13(Thu) 14:55:04
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
こんにちは．

No.7890のベン図については正しく描けていますね．

No.7889ですが，集合の性質に誤解があるようです．

(P∩Q)∪RとP∩(Q∪R)が違う集合であるというのはわかりますか？P=φ(空集合)とすると，

(P∩Q)∪R=(φ∩Q)∪R=φ∪R=R
P∩(Q∪R)=φ∩(Q∪R)=φ

となりますから，明らかに違いますね．もちろんベン図を塗りつぶして比較しても全く違う集合だというのがわかります．ですから，P∩Q∪Rと書いたのではどちらに解釈して良いのかわからないので通例，カッコを用いて意味をはっきりさせます．

(P∩Q)∩R=P∩(Q∩R)=P∩Q∩R
(P∪Q)∪R=P∪(Q∪R)=P∪Q∪R
は結合法則より正しいです．しかし∩と∪が混ざっている場合
(P∩Q)∪R=(P∪R)∩(Q∪R)
(P∪Q)∩R=(P∩R)∪(Q∩R)
のように分配法則により展開されます．

以上を踏まえて，もう一度，例5を解いてみて下さい．
No.7891 - 2012/12/13(Thu) 15:39:11
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。今回も自信がありません。。無茶苦茶なことをやっている気がします。集合の分配法則については、今までに一度も練習したことがなく、どのような問題(場面)で利用するのかもわかりません。ただ、前から集合の分配法則については勉強しようと思っていたので、是非この機会に教えてください。
No.7892 - 2012/12/14(Fri) 05:05:41
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
こんにちは(^。^)／毎朝早いですね．

早速質問に答えていきますね．

各ベン図を四角で囲っていますが，この意図はなんでしょうか？この四角が全体集合Uを表しているとすれば，[A]∪Bは(ア)でも(イ)でもありません．これについては添付図をご覧下さい．周囲の四角が単なる図の見やすさのために設けたものである，すなわち全要素がA，B，Cのいずれかには必ず属するならば，(ア)が正しいです．

以下，四角は単に図の見やすさのために区切っているものだと解釈してお答えします．

[A∩[B∩C]]，[A]∪(B∩C)のベン図はいずれも正解です．

添付ファイルの右側の緑枠内に書かれている[A]∪(B∪C)は[A]∪(B∩C)の書き間違いだと思うので，そのように解釈します．

[A]∪(B∩C)=([A]∪B)∩([A]∪C)の式変形は正しいですし，ベン図も正しく描けています．

緑点線枠内の式変形，ベン図とも正しいですよ．

最後の「疑問」についてですが，一般に[A]∪B=Bは正しくありません．すべての要素がAまたはBに属する，すなわち[A∪B]=φであれば，[A]∪B=Bは正しいです．
No.7893 - 2012/12/14(Fri) 16:02:20
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
おはようございます。実はこの問題でベン図を描くとき、先生が例であげられたベン図を描き考え始めました。、すると、[A∪B∪Ｃ]の部分を塗りつぶしていたら汚い図になり考えずらく、全要素がA，B，Cのいずれかには必ず属すると解釈してベン図をかきました。問題によって明らかにわかるときもあるのですが、この問題のように全体集合Uを考えるのか、全要素がA，B，Cのいずれかには必ず属する[A∪B∪Ｃ]=φと解釈していいのかわかりません。
No.7894 - 2012/12/15(Sat) 05:55:39
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
>問題によって明らかにわかるときもあるのですが、この問題のように全体集合Uを考えるのか、全要素がA，B，Cのいずれかには必ず属する[A∪B∪C]=φと解釈していいのかわかりません。

とのことですが，一般の場合は前者の解釈です．後者の解釈は[A∪B∪C]=φという条件があるような特殊な場合に過ぎません．こういう意味からは，前者の解釈，すなわち全体集合を考えておく方が安全と言えます．実際に，両方の解釈でベン図を描いてみると分かりますが，後者の解釈で塗りつぶされた部分は，前者の解釈で塗りつぶされた部分のうち，[A∪B∪C]を取り除いた領域になっているはずです．これは後者の解釈では[A∪B∪C]=φのために，元から考えていなかった領域だからですね．
よって，(前者の解釈で得られる集合)⊃(後者の解釈で得られる集合)であり，前者の方が良いです．

もし，どんな場合にUを考えるべきか否か迷うのか，実際の問題を例に挙げて質問して頂ければ，お答えします．
No.7895 - 2012/12/15(Sat) 13:58:31
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。添付した問題(出展　本質の演習　昭和女子大)ですが、[A∪B∪C]=φで考えました。解説には□で囲ったベン図が掲載されていました。□にはU(全体集合)と書かれていませんが、□で囲うということは全体集合を考えているとみなしていいですよね。
No.7896 - 2012/12/15(Sat) 15:35:58
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
変更中。変更中。変更中。訂正中です。
No.7897 - 2012/12/15(Sat) 15:53:10
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
分配法則より
(A∪B)∩(A∪C)=A∪(B∩C)

分配法則とドモルガンの法則より
(A∩[B])∪(A∩[C])=A∩([B]∪[C])=A∩[B∩C]

B∩C=Dの置き換え，結合法則，分配法則とドモルガンの法則より
([A∩B∩C])∩C=([A∩D])∩C=([A]∪[D])∩C=([A]∪[B∩C])∩C=([A]∪([B]∪[C]))∩C=([A]∪[B]∪[C])∩C=([A]∩C)∪([B]∩C)∪([C]∩C)=([A]∩C)∪([B]∩C)∪φ=([A]∩C)∪([B]∩C)=([A]∪[B])∩C

ドモルガンの法則より
[A]∪[B]=[A∩B]

のように演算だけですべてが解けます．そして注目するべきは，常に成立するドモルガンの法則，結合法則，分配法則しか使っていないことです．よってこの結果は全体集合Uに依存しません．よって[A∪B∪C]=φとしてもしなくても選ぶ選択肢は変わりません．

しかし，筆記試験この問題が出たときに[A∪B∪C]=φとしたベン図を描くと

出題者「いつ誰が[A∪B∪C]=φだと言った？」

と減点される可能性を否定できません．やはり全体集合は図示するべきでしょうね．
No.7898 - 2012/12/15(Sat) 16:12:10
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
それと、今回集合の演算が出てきたのでついでにみてもらいたい問題があります。厚かましくすみません。
No.7900 - 2012/12/15(Sat) 16:55:36
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
問題は解けました。集合を使わずとも中学生、小学生でも解ける問題だと思います。ただ解説がさっぱりわかりません。どうぞ宜しくお願いします。
No.7901 - 2012/12/15(Sat) 16:57:46
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
実際には，直感的にこの式が立てられることが望ましいです(もちろんベン図で確認しながらやるとなお良いです)．

(A∩B∩C)∪(A∩B∩[C])
=((A∩B)∩C)∪((A∩B)∩[C])
=(A∩B)∩(C∪[C])
=(A∩B)∩U
=A∩B

となります．Uは全体集合です．もちろん，展開の仕方は何通りもありますから，何通りもの解き方があります．上で示した解き方は最も直感に訴えると思われるものです．特に2行目から3行目が重要です．「(A∩B)とCの共通部分」と「(A∩B)と[C]の共通部分」の和集合は，A∩Bだという事実．簡単な例え話をしましょう．

二択クイズがあって，○だと思う人は○と書かれた枠に，×だと思う人は×と書かれた枠に移動するルールだとします．男子25人，女子15人のクラスでこれを行い，全員がどちらかの枠に移動したとします．○と答えた男子の数は分かりません，×と答えた男子の数も分かりません．でもわかるものがありますよね．それは○か×と答えた男子の数です．その数は25人．これを集合の記号を用いて考えてみます．

男子の集合をP，○と答えた人の集合をQとします．当然ですが×と答えた人の集合は[Q]です．○と答えた男子の集合はP∩Q，×と答えた男子の集合はP∩[Q]ですが，その要素数は分かりません．しかし，○と答えた男子と×と答えた男子の和集合は結局，男子全員なのでわかります．そしてその集合は(P∩Q)∪(P∩[Q])なのです．

したがって，(P∩Q)∪(P∩[Q])=Pというのは是非，瞬時に分かるようになっておいたほうがよいでしょう．この式のPに(A∩B)を，QにCで置き換えると最初の式になります．


(A∩B∩C)∩(A∩B∩[C])はどうでしょうか．

=((A∩B)∩C)∩((A∩B)∩[C])

ですが，「(A∩B)とCの共通部分」と「(A∩B)と[C]の共通部分」の共通部分を意味しますが，こんなものはありませんよね．前者はCに含まれますが，後者は[C]に含まれます．Cと[C]に共通部分はないですから，結局「(A∩B)とCの共通部分」と「(A∩B)と[C]の共通部分」にも共通部分はありません．

先ほどの例えでいきましょう．

(P∩Q)∩(P∩[Q])

○と答えた男子と×と答えた男子の両方に属する人はいるでしょうか．どちらかしか答えられないのでいません．

よって，同じようにして(A∩B∩C)∩(A∩B∩[C])=φがわかります．


さて，

(A∩B∩C)∪(A∩B∩[C])=A∩B　…(ア)

(A∩B∩C)∩(A∩B∩[C])=φ　　…(イ)

は何を意味するでしょうか．(ア)式より(A∩B∩C)と(A∩B∩[C])の両方を塗るとA∩Bになるということです．そして(イ)式より(A∩B∩C)と(A∩B∩[C])に重なりはない．

どういうことか．すなわち，A∩Bは重なりなく(A∩B∩C)と(A∩B∩[C])の2つの集合に分けることができるのです．よって，要素数は分けたあとの2つの集合要素数の単なる和で洗わせて

n(A∩B)=n(A∩B∩C)+n(A∩B∩[C])

とできるのです．重なりがある場合は，そのダブルカウント分を引かなければなりませんが，(イ)式より重なりはないのでこれで大丈夫です．
No.7902 - 2012/12/15(Sat) 18:57:01
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
7902 返信有難うございます。まず、順にベン図から直してみました。全体集合でベン図を描くと分からなくってしまいました。汚いベン図で申し訳ありません、実践では、色付けできないので左斜線と右斜線とドットで表しました、ベン図で〔A∨B∨C〕がこんがらがってしまってます。具体的に添付にも疑問として表しておきました。
No.7903 - 2012/12/16(Sun) 05:48:01
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
[A∪[B]∪C]と[A]∩B∩[C]のベン図描きなおしました。
No.7904 - 2012/12/16(Sun) 06:44:15
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
7892についても再度書き直しました。見てください。宜しくお願いします。
No.7905 - 2012/12/16(Sun) 07:18:07
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
7896(2)のベン図です、(A∩[B])∪(A∩[C])です。〔A∩B∩C〕の部分は塗るのでしょうか。
No.7906 - 2012/12/16(Sun) 07:58:29
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
B∩C=Dの置き換え，結合法則，分配法則とドモルガンの法則より
([A∩B∩C])∩C=([A∩D])∩C=([A]∪[D])∩C=([A]∪[B∩C])∩C=([A]∪([B]∪[C]))∩C=([A]∪[B]∪[C])∩C=([A]∩C)∪([B]∩C)∪([C]∩C)=([A]∩C)∪([B]∩C)∪φ=([A]∩C)∪([B]∩C)=([A]∪[B])∩C
自分でやってみました。
No.7907 - 2012/12/16(Sun) 10:05:29
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
7902に関してはある程度理解できたつもりです。それで臨んだ問題ですが、手がでません。
No.7908 - 2012/12/16(Sun) 11:23:33
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
お願いします。
No.7909 - 2012/12/16(Sun) 11:26:28
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
今晩は！頑張ってますねぇ！

No.7903について

添付ファイル中段右の([A]∪B)∩([A]∪C)のベン図が間違っていますね．どうして，左斜線，右斜線，ドットの3種類の記号が使われているのでしょうか．このような描き方をしては混乱の元です．([A]∪B)∩([A]∪C)というのは([A]∪B)と([A]∪C)の共通部分を取れ，ということです．ですから，([A]∪B)を左斜線で([A]∪C)を右斜線で塗り，その共通部分を塗りつぶすべきです．

下段のA∩[B∩C]も同じようにAを左斜線，[B∩C]を右斜線で塗り，その共通部分を取るようにします．


No.7904について

正確に描けています．


No.7905について

正確ですね．まあ塗り間違いでしょうけれど，一番右下の図において，A∩C∩[B]の領域に斜線がかかっていますが，この領域は塗っていはいけませんね．


No.7906について

[A∪B∪C]を塗ってはいけません．(A∩[B])∪(A∩[C])ですから，(A∩[B])と(A∩[C])の共通部分を塗るんですよね．(A∩[B])は左側の図のオレンジ枠内，(A∩[C])は中央の図のオレンジ枠内のみを表していますね．その周囲は含みません．よって，それらの共通部分にも当然のことながら[A∪B∪C]を含みません．


No.7907について

式変形は正しいですが，「交換法則」とあるのは正しくは「結合法則」ですね．


No.7909について

(A∩B∩C)∪(A∩[B]∩[C])はどういう考えから出てきた式ですか？
No.7910 - 2012/12/16(Sun) 17:28:32
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
一つ一つ細かく見て頂き有難うございました。ベン図は、まだ不安が残りますが、そこは復習していきたいと思います。
>No.7909について

>(A∩B∩C)∪(A∩[B]∩[C])はどういう考えから出てきた式ですか？
そもそも、前題の(A∩B∩C)∪(A∩B∩[C])がどこから立式できたのか理解できていませんでした
No.7911 - 2012/12/17(Mon) 06:39:39
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
>No.7909について,ベン図で解いてみました。前題のように、高校生らしい？考え方はないのでしょうか。
No.7912 - 2012/12/17(Mon) 09:24:45
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
こんばんはー．

No.7912ですが，それが最もオーソドックスな「高校生らしい」解き方だと思います．もともと，前題も解説には難しく書いてありますが，No.7911のベン図を表しているに過ぎません．敢えて，集合の演算で解くなら次のようにすると良いでしょう．とは言え，結局はベン図を見ながら立式するわけですから，ただ単に難しく書いただけのあまりメリットのない解き方ではあります．

解
D=A∩[B]∩[C]，E=A∩B∩[C]，F=A∩[B]∩C，G=A∩B∩Cとする．

D∩E=(A∩[B]∩[C])∩(A∩B∩[C])=A∩(B∩[B])∩[C]=A∩φ∩[C]=φ

同様に，D∩F=D∩G=E∩F=E∩G=F∩G=φ

D∪E∪F∪G
=(A∩[B]∩[C])∪(A∩B∩[C])∪(A∩[B]∩C)∪(A∩B∩C)
=A∩(([B]∩[C])∪(B∩[C])∪([B]∩C)∪(B∩C))
=A∩((B∩([C]∪C))∪([B]∩([C]∩C)))
=A∩((B∩U)∪([B]∩U))
=A∩(B∪[B])
=A∩U
=A

よって，集合AはD,E,F,Gにより隙間なく埋められ，かつD,E,F,Gはどの2つも互いに共通部分を持たないから，Aは重なりなくD,E,F,Gに分けられる．よって，要素数について

n(A)=n(D)+n(E)+n(F)+n(G)

求めるのはn(D)より，n(D)=n(A)-n(E)-n(F)-n(G)
No.7913 - 2012/12/17(Mon) 20:58:11
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
↑の解答が，前題のように，重なりなく集合を分割して解く方法ですが，n(E)やn(F)を求める労力がn(D)を求める労力とそれほど変わらず，時間だけが掛かる意味のない解き方だと思います．

実際に解く際には，

1)重なりがあっても良いから，要素数を数えやすい集合に分ける
2)重複した部分を最後に調整する

という方法が良いです．重なりなく分けることにこだわると，それぞれの集合の要素を数えるのが難しくなります．

こういうわけで，No.7912が，計算量が最も少ないベストな解き方だと思われるということを伝えておきます．
No.7914 - 2012/12/17(Mon) 21:03:42
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
無理を言って解答7913を作成してくださり、有難うございました。
>時間だけが掛かる意味のない解き方だと思います
集合の演算の練習にはなると思うので１行１行移しながらこれから理解しようと思います。難関大の数学を目標にするなら、7913 の集合の演算はできた方がいいですよね。
　それと7908 で質問した問題で、15と18の倍数でないものとありますがこの解釈に悩んでいます。15と18では数が大きいので,2と3にしました。自分なりに不安なことをまとめてみましたので、見てアドバイスをください
No.7915 - 2012/12/18(Tue) 04:52:25
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
いい質問ですね．

質問1
2かつ3の倍数でない　と　2の倍数でなくかつ3の倍数でないの違いが分からない

→前者は[A∩B]の記号通りに日本語に直して，『「2の倍数である数でかつ3の倍数である数」でない数』です．一方，後者は[A]∩[B]という記号通りに訳して『2の倍数でない数でかつ3の倍数でない数』ということになります．すると，前者が言わんとしていることは「」内が要は6の倍数のことですから，「6の倍数でない数」ということであり，後者は「2の倍数でも3の倍数でもない数」を意味します．よって，前者には2や3は含まれますが，後者には含まれません．「2かつ3の倍数でない」という日本語はそもそも怪しいですし，このように訳してしまっては意味がとりづらいでしょう．

質問2

[A]∪[B]は，『2の倍数でない数または3の倍数でない数』，[A∪B]はA∪Bの否定ですから，『「2の倍数である数または3の倍数である数」でない数』になります．前者は，2の倍数でないか，3の倍数でないのどちらかさえ満たしていれば集合に入れます．例えば，4などは2の倍数ではありますが，3の倍数ではないので4∈([A]∪[B])です．一方，「後者は2の倍数と3の倍数の少なくとも一方に属する数」以外の数の集合ですから，4は2の倍数なので，除外されてしまい，4は[A∪B]に含まれません．

あと，添付ファイルの一番下に各集合の要素を挙げられていますが，間違っています．例えば，下の添付ファイルには[A]∩[B]の部分を赤く塗りつぶしてありますが，6,12,18,…なんて含まれませんね．

[A∩B]もベン図を描いてみると一目瞭然なので，ぜひやってみてください(別に添付する必要はありません)．
No.7916 - 2012/12/18(Tue) 18:13:51
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
添付し忘れました．
No.7917 - 2012/12/18(Tue) 18:14:27
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。
>あと，添付ファイルの一番下に各集合の要素を挙げられていますが，間違っています
やり直しました。見てください。
No.7921 - 2012/12/19(Wed) 05:51:08
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
正しく理解できていますね．
No.7928 - 2012/12/19(Wed) 19:13:34
☆ Re: ド・モルガンの法則 / minamino [高校１年生]
今回も懇切に教えて頂きありがとうございました。前回見て頂いた４次関数の描き方なのですが、続けてみて頂きたい４次関数がありあます、.レス7826から再アップしてもよろしいでしょうか。
No.7941 - 2012/12/21(Fri) 08:19:35
☆ Re: ド・モルガンの法則 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
okですよ．
No.7943 - 2012/12/21(Fri) 17:44:18
★ (No Subject) / スージー ♀ [東海] [高校2年生]
学校の宿題プリントです。
不等式６＾Ｘ−２・２＾Ｘ−９・３＾Ｘ＋１８≦０を満たす整数Ｘのうち、最大のものと最小のものを求めよ。

２＾Ｘ＝?]　　３＾Ｘ＝Ｙとする。　?]＞0　Ｙ＞0
?]Ｙ−２?]−9Ｙ＋１８≦0
（?]−9）（Ｙ−2）≦０
?@　?]−9≦0　Ｙ−2≧０
　　２＾Ｘ≦9　からＸ≦3　３＾Ｘ≧2から　Ｘ≧0
?A　?]−9≧0　Ｙ−2≦０
　　２＾Ｘ≧9　からＸ≧4　３＾Ｘ≦2から　Ｘ≦1
ここからどうすればいいか　わかりません。よろしくお願いします。
No.7918 - 2012/12/18(Tue) 23:11:25
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
スージーさん、こんばんはITです。いっしょに考えて見ましょう。

「下記の?@または?Aである」などと、どちらかで良いことを明記すべきです。
>?@　?]−9≦0　Ｙ−2≧０
>　　２＾Ｘ≦9　からＸ≦3　３＾Ｘ≧2から　Ｘ≧0
「?]−9≦0 かつ　Ｙ−2≧０」　と明記したほうがいいです。
３＾Ｘ≧2から　Ｘ≧0　は、論理的には正しい（必要条件）ですが、３＾０≧2ではないので（十分条件ではありません）

「Ｘは整数で３＾Ｘ≧2から　Ｘ≧1」　とすべきです。　
するとＸの範囲はどうなりますか？

>?A　?]−9≧0　Ｙ−2≦０
「かつ」でつなぎましょう。
>　　２＾Ｘ≧9　からＸ≧4　３＾Ｘ≦2から　Ｘ≦1
も?@と同じく
３＾Ｘ≦2から　Ｘ≦1　は
「Ｘは整数で３＾Ｘ≦2から　Ｘ≦□」　とすべきです。　直してみてください。
するとＸの範囲はどうなりますか？


※Ｘと?]は、紛らわしいのでxと?]にするか、はっきり２＾x＝Ａなどとした方が間違いないです。
　
No.7920 - 2012/12/19(Wed) 01:28:43
☆ Re: / スージー ♀ [東海] [高校2年生]
?@２＾Ｘ≦9　からＸ≦3　３＾Ｘ≧2から　Ｘ≧1　　　1≦Ｘ≦3
?A２＾Ｘ≧9　からＸ≧4　３＾Ｘ≦2から　Ｘ≦0　　　解なし

?@?Aより　Ｘ＝1のとき　最大値−3　　Ｘ＝3のとき　最小値−25でいいですか？
No.7922 - 2012/12/19(Wed) 08:10:46
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> ?@２＾Ｘ≦9　からＸ≦3　３＾Ｘ≧2から　Ｘ≧1　　　1≦Ｘ≦3
> ?A２＾Ｘ≧9　からＸ≧4　３＾Ｘ≦2から　Ｘ≦0　　　解なし
細かい表現は別にして、いいと思います。

> ?@?Aより　Ｘ＝1のとき　最大値−3　　Ｘ＝3のとき　最小値−25でいいですか？
違います。
もう一度、問題文を良く読んで見ましょう。求めるものは何ですか？
※問題文を良く読むことが最も重要です。


（また６＾Ｘ−２・２＾Ｘ−９・３＾Ｘ＋１８の最大値−3、最小値−25も言えません）
No.7925 - 2012/12/19(Wed) 18:06:36
☆ Re: / スージー ♀ [東海] [高校2年生]
最大のものは　３　最小のものは　１　でいいですか？
No.7926 - 2012/12/19(Wed) 18:22:09
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
そうですね。
No.7927 - 2012/12/19(Wed) 18:38:53
☆ Re: / スージー ♀ [東海] [高校2年生]
ありがとうございました。
No.7929 - 2012/12/19(Wed) 19:37:48
★ (No Subject) / マイク ♂ [九州] [高校１年生]
Ｘに関する方程式4＾Ｘ−ａ・2＾（Ｘ+1）＋ｂ（1-ｂ）＝0について、次の問いに答えよ。ただし、ａ，ｂはともに実数である。
（1）2つの解をもち、解がℓog2　３と　−４であるとき、ａ，ｂの値を求めよ。
（2）2つの異なる実数解をもつためのａ，ｂの満たすべき条件を求めよ。また、求めた条件を満たす点（ａ，ｂ）の存在する領域を図示せよ。

2＾X=ｔとすると、ｔ＞0　　ｔ²−2ａｔ＋ｂ（１−ｂ）＝0　
　　　　　　　　　　　　　解と係数の関係より　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　ℓog2　３＋（−４）＝2ａ　　　　　……?@
　　　　　　　　　　　　　　ℓog2　３・（−４）＝ｂ（１−ｂ）　……?A
　　　　　　?@より　　ℓog2　３＋ℓog2　２＾（-4）＝２ａ
　　　　　　　　　　　ℓog2　（3/16）＝２ａ
　　　　　　　　　　　ℓog2　√3/4　　＝ａ
　　　　　　　よく分かりません。よろしくお願いします。
No.7924 - 2012/12/19(Wed) 17:28:35
★ (No Subject) / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
１，２，３，４，５を、無作為に、並べて、５桁の整数を作る。
次の場合の確率を求めなさい。
（１）５桁の整数が、偶数の場合
（２）５桁の整数が、奇数の場合
よく分かりません。よろしくお願いします。
No.7923 - 2012/12/19(Wed) 10:06:37
★ スタンダード / ますはる [高校2年生]
正十二角形の頂点から相異なる3点を無作為に選び、その3点を頂点とする正三角形Sを考える。Sがつぎのような形になる確率を求めよ。

(1) 正三角形
(2) 直角三角形
(3) 二等辺三角形

ただし、正三角形も二等辺三角形とみなす。


この問題が分からないので解答よろしくお願いします。
No.7881 - 2012/12/11(Tue) 20:21:19
☆ Re: スタンダード / londontraffic [教育関係者]
ますはるさん，こんばんは．
早速いきましょう．

最初に「根元事象全体」すなわち「正十二角形の12コの頂点から3コ選ぶ」数がいくつであるか，カキコしてください．
次に正三角形がいくつあるか数えてください．アナログ時計を見ながらやれば，すぐに数が出てきます．

お願いしますm(_ _)m
No.7882 - 2012/12/11(Tue) 21:02:45
☆ Re: スタンダード / ますはる [高校2年生]
ありがとうございます。

自分なりに計算してみたのですが、1132通りであってるでしょうか？
No.7883 - 2012/12/11(Tue) 21:26:36
☆ Re: スタンダード / londontraffic [教育関係者]
はい．ありがとうございます．
ちょっと難しく考えているようですね．
12個から3個選べばよいので
12C3=220
となります．

(1)ですが，時計の（時の）数で正三角形を考えると
12-4-8と1-5-9と2-6-10と3-7-11の4個あります．
ということで，4/220=1/55が解となりますが，いかがでしょう？

(2)ですが，正十二角形は円に内接します．
というわけで，直角三角形が円に内接する状態となります．
円に内接する直角三角形の斜辺は，円の○○ですよね．
「○○に何が入るか」そしてその数が分かれば，カキコしてください<(_ _)>
No.7884 - 2012/12/11(Tue) 22:04:07
☆ Re: スタンダード / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
マルチポストです

http://www2.ezbbs.net/38/shukoh/
No.7886 - 2012/12/12(Wed) 05:56:00
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
出展　京都大
宜しくお願いします。
No.7844 - 2012/12/05(Wed) 11:24:09
☆ Re: / minamino [高校１年生]
途中まで考えました。添付しますので、どうか宜しくお願いいたします。
No.7845 - 2012/12/05(Wed) 11:26:01
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
minaminoさん　こんばんはITです。いっしょに考えて見ましょう。
まず、左辺の最高次数を調べ１次式になる条件を求める方針は良いと思います。
(?@)2n-1　≧ n+1　(?A)2n-1　≦ n+1　のように、2n-1　＝ n+1が両方に含まれる場合分けは良くありません。
※「重複なく漏れなく分けること」が場合分けの重要なポイントです。
　
(?@)2n-1　＞ n+1　(?A)2n-1　＝ n+1　(?B)2n-1　＜ n+1　の３つの場合に分けます。
(?@)、(?A)、(?B)それぞれの場合について左辺の最高次数（簡単のため「左辺の次数」と記述）を調べます。
　・ｎの範囲を求める
　・左辺の次数を調べる
　※特に(?A)で　は１つめと２つめの各最高次の項が相殺される場合を検討する必要があるので注意してください。

　・左辺の次数が１になる可能性があるnについて
例えば（n＝2の場合）ｆ(x)＝aｘ^2 + bx + c
　　　　 （n＝1の場合）ｆ(x)＝aｘ + b
　 　　　（n＝0の場合）ｆ(x)＝a
　　　　　などとおいて、左辺を計算し、左辺＝右辺となるa、b、cを求める。

「x=1のとき ∫＝０、右辺＝０なのでｆ(1)ｆ'(1)＝0」を使うと計算が楽になるかも知れません。

（なお解答の記述は不正確な点がありますが、それは後で補正しましょう。）
No.7847 - 2012/12/05(Wed) 18:10:13
☆ Re: / minamino [高校１年生]
返信有難うございます。
途中まで答案を作成しました。n>=3について全くわかりませんでした。宜しくお願いします
No.7848 - 2012/12/06(Thu) 05:53:32
☆ Re: / minamino [高校１年生]
答案の続きです。最後a,b,cの条件式が多すぎて手がつけられませんでした
No.7849 - 2012/12/06(Thu) 05:57:45
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 途中まで答案を作成しました。n>=3について全くわかりませんでした。宜しくお願いします
n>=3　のときは　左辺の次数が1となることはありえないと思います。理由を考えておいてください。
No.7851 - 2012/12/06(Thu) 07:23:50
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
>x=1のとき ∫＝０、右辺＝０なのでｆ(1)ｆ'(1)＝0」を使うと計算が楽になるかも知れません
今回の解き方の場合は、これは使わなくても出来ます。ひとまず忘れてください。
問題集の解答解説は、かえって混乱しますの無視します。消してください。
きちんと計算すればそんなに難問ではありません。明日、いっしょに解決していきましょう。
No.7853 - 2012/12/06(Thu) 21:41:00
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 答案の続きです。最後a,b,cの条件式が多すぎて手がつけられませんでした
a≠０として議論を進めるべきです。条件式は一つずつ使って絞って行きましょう。
No.7854 - 2012/12/06(Thu) 21:59:17
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> >n>=3　のときは　左辺の次数が1となることはありえないと思います。理由を考えておい>てください。
> 考えましたが分かりませんでした。
もう少し自分で考えてみて下さい。
n>=3　のとき　左辺の次数をｎの式で表すとどうなりますか？　いくら以上ですか？
No.7855 - 2012/12/06(Thu) 23:15:10
☆ Re: / minamino [高校１年生]
n=2 のときの自分の解答一部変更しました。No.7849
No.7856 - 2012/12/07(Fri) 05:13:59
☆ Re: / minamino [高校１年生]
>n>=3　のとき　左辺の次数をｎの式で表すとどうなりますか？　いくら以上ですか？
ｎの式で表すというのがわかりませんでした。
　それと、夜(毎晩)５時半以降は夜の１０時半まで塾で、その後宿題などをするので朝しか返信できません。昼は、学校にパソコンを持っていっているのでいつでも可能です。
No.7857 - 2012/12/07(Fri) 05:16:16
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> >n>=3　のとき　左辺の次数をｎの式で表すとどうなりますか？　いくら以上ですか？
> ｎの式で表すというのがわかりませんでした。
がんばってますね。（私は職場では無理なので夕方細かく拝見しますが取り急ぎ）
具体的に調べ表にすることは非常に良いことですそこから一般の法則が見つけやすくなりますし、納得もし易いです。

さて一般の多項式ＡとＢについて
Ａの次数＞Ｂの次数のとき、（Ａ＋Ｂ）の次数＝Ａの次数
Ａの次数＜Ｂの次数のとき、（Ａ＋Ｂ）の次数＝Ｂの次数
Ａの次数＝Ｂの次数のとき、（Ａ＋Ｂ）の次数≦Ａの次数＝Ｂの次数です
言い換えると
Ａの次数とＢの次数が異なるとき（Ａ＋Ｂ）の次数＝max（Ａの次数、Ｂの次数）
Ａの次数とＢの次数が等しいとき（Ａ＋Ｂ）の次数≦max（Ａの次数、Ｂの次数）＝Ａの次数＝Ｂの次数　です
※この問題ではＡ＝ｆｆ’、Ｂ＝∫ｆです
　例えば
　（2x^3＋x^2＋x＋1）＋（-x^2）の次数は３

　（x＋1）＋（x^2）の次数は２

　（2x^3＋x^2＋x＋1）＋（x^3）の次数は３
　（2x^3＋x^2＋x＋1）＋（-2x^3）の次数は２
　（2x^3＋x^2＋x＋1）＋（-2x^3-x^2）の次数は１
　（2x^3＋x^2＋x＋1）＋（-2x^3-x^2-x）の次数は0　です
ここまではいいですか？

そうすると元の問題で(?@)2n-1　＞ n+1　(?A)2n-1　＝ n+1　(?B)2n-1　＜ n+1のうち
(?@)　と　(?B)　の場合の（ｆｆ’＋　∫ｆ）の次数は分かる（ｎの式で表される）と思いますがどうでしょうか？　

それとｆの次数ｎ＝０のときも調べる必要があると思います。（f(x)=c定数も多項式の一種と考えるべきなので）
No.7858 - 2012/12/07(Fri) 07:05:20
☆ Re: / minamino [高校１年生]
朝早くから返信有難うございます。何度と読んだのですが、良く分かりませんでした。
ただ、n>=3のとき、右辺が１次式にならない理由を書いてみたので読んでください。
No.7859 - 2012/12/07(Fri) 13:25:26
☆ Re: / minamino [高校１年生]
n=1,n=0のときの吟味です。宜しくお願いしますs。
No.7860 - 2012/12/07(Fri) 14:40:34
☆ Re: / minamino [高校１年生]
n=2 のときです。宜しくお願いします.
No.7861 - 2012/12/07(Fri) 14:54:08
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 朝早くから返信有難うございます。何度と読んだのですが、良く分かりませんでした。
> ただ、n>=3のとき、右辺が１次式にならない理由を書いてみたので読んでください。
まちがいではないですが、答案では途中の「n=3のときは」から「・・最高次数の差１つずつ大きくなっていく。」までの記述はなくても良いと思います。
No.7862 - 2012/12/08(Sat) 00:01:23
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> n=1,n=0のときの吟味です。宜しくお願いしますs。
「n=0のとき　Aはx^-1=1/x」はまちがってます。f'(x)=0ですからf(x)f'(x)=0です。
したがって、その後の結論もまちがいです。AとBの和が一次式になることはあります。
No.7863 - 2012/12/08(Sat) 00:08:14
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> n=2 のときです。宜しくお願いします.
一番最後の式は、間違ってます。　＝4/9ではなく　＝-4/9です

a(2a+1/3)=0, a≠0なのでa=-1/6…?@　
※最高次の係数ですからa≠0です。f(x)=ax^2+b+cとおくときにa≠0も明記しておきます

b(3a+1/2)=0,これは?@a=-1/6のとき成立

b^2+c(2a+1)=4/9　
　これに a=-1/6を代入して整理すると
（計算してください）…?B

c(b-1)-a/3-b/2=-4/9
　これに　a=-1/6を代入して整理すると
　(b-1)(c-1/2)=0。途中の計算は自分で確認してください
　よってb=1またはc=1/2

b=1のとき　　b=1を?Bに代入　cだけの式になります、計算して解いてください。
c=1/2のとき　c=1/2を?Bに代入　bだけの式になります、計算して解いてください。
以上整理すると・・・・
No.7864 - 2012/12/08(Sat) 00:27:52
☆ Re: / minamino [高校１年生]
>「n=0のとき　Aはx^-1=1/x」はまちがってます。f'(x)=0ですからf(x)f'(x)=0です。
>したがって、その後の結論もまちがいです。AとBの和が一次式になることはあります。
間違いを正しました。見てください。宜しくお願いします
No.7865 - 2012/12/08(Sat) 06:02:33
☆ Re: / minamino [高校１年生]
先生の誘導にそってa,b,cを求めてみました。
昨日作成したn>=3,n=0,n=1の自分の議論はグタグタで、もっとちゃんとしたものにしたいのですが、こんな答案でいいのでしょうか？先生の模範解答をしりたいのですが。
No.7866 - 2012/12/08(Sat) 06:08:42
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
おはようございます。
ｎ＝０のときは、定積分の計算がまちがってます。∫[1,x]ａdt＝ａｘ−ａです。

ｎ＝２のときは、だいたいできましたね。
・最後の整式（「多項式」）の１つめは、転記ミスがあります。

・２行め　「?@からａ≠０なので　２ａ＋1/3＝0」は「?@からａ≠０」と誤解されます。
「?@とａ≠０から　２ａ＋1/3＝0」あるいは「?@から２ａ＋1/3＝0(∵ａ≠０）」の方が良いでしょう。
No.7867 - 2012/12/08(Sat) 07:28:51
☆ Re: / minamino [高校１年生]
おはようございます。

> ・minaminoさんは微積分（数?V？）は、どこで（どうやって）習っておられますか？
まだ、高１なので数?Vはやってません。高２からはじめると思います。
> ・それと、ずいぶん昔の入試問題ですが出典（問題集）名は何ですか？
問題集は、研数書院の　解法のクルー　数学?Uｐ２４８　佐藤恒雄　著
これから、病院なので、指摘された箇所を夕方までには、直してレスします。
No.7868 - 2012/12/08(Sat) 08:02:47
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
(?@)2n-1　＞ n+1　(?A)2n-1　＝ n+1　(?B)2n-1　＜ n+1　の３つの場合
としてますが、n=0の場合はf(x)f'(x)の次数は０であり2n-1ではないので、別にしたほうがよかったかも知れません。

とはいえ、受験本番では、限られた時間（1問20〜30分）内で答案に表現していくのですから、完璧を求める必要はないと思います。自然な流れの考察を大切にした方がいいと思います。
途中で例外などの見落としに気づいた場合、元に戻って書き直すと手戻りになり時間不足のおそれもあります。大きな流れを大切にし、重要性と残り時間を考えて補正する方が良いでしょう。できれば行間を空けるなど補正しやすい答案にし、消しゴムで消さずに直すのが良いでしょう。
No.7869 - 2012/12/08(Sat) 09:32:57
☆ Re: / minamino [高校１年生]
>ｎ＝０のときは、定積分の計算がまちがってます。∫[1,x]ａdt＝ａｘ−ａです。
正して、添付しましたが、１つ質問ができました。添付の中に書いてあります。おねがいします。
>最後の整式（「多項式」）の１つめは、転記ミスがあります。
どこの式か探すことができません。何番目のレスでしょうか。
>最後の整式（「多項式」）の１つめは、転記ミスがあります。
これは、正しておきました
No.7870 - 2012/12/08(Sat) 12:30:09
☆ Re: / minamino [高校１年生]
それと、大変あつかましいのですが、この問題の類題で見てほしい問題があるんです。
出展　東邦大　解法のクルー?U　
No.7871 - 2012/12/08(Sat) 12:35:10
☆ Re: / minamino [高校１年生]
この答案で考え方は正しいでしょうか。すみません。何度も。これも本の解説がn>=3のときは、適さないとだけ書かれているので、見てください。
No.7872 - 2012/12/08(Sat) 12:38:53
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> >ｎ＝０のときは、定積分の計算がまちがってます。∫[1,x]ａdt＝ａｘ−ａです。
> 正して、添付しましたが、１つ質問ができました。添付の中に書いてあります。おねがいします。
(ax^0)'=a'=0　でも間違いではないですが、採点者が間違うおそれがありますし、時間のむだで、しつこい感じがします。教科書かメイン参考書の記述法はどうなっていますか？
(ax^0)'=0とした方がいいと思います。
最初に（なお解答の記述は不正確な点がありますが、それは後で補正しましょう。）いったのは、この定積分の計算と、ｎは自然数とされた（０を含んでいない）ところです。）

>>最後の整式（「多項式」）の１つめは、転記ミスがあります。
>どこの式か探すことができません。何番目のレスでしょうか。
7866です。

類題も見ておきます。問題集の解答（解説？）は省略しすぎですので本番では不十分だと思います。（もう少し解答・解説がていねいなものを使われたほうが良いですよ。まあ、そのためにこのサイトが役に立つわけではありますが）
No.7873 - 2012/12/08(Sat) 16:02:39
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> この答案で考え方は正しいでしょうか。
良いと思います。
ここは、あまり時間を掛けずにメイン部分（n=2のとき）に時間と紙面を使う方が良いと思います。
No.7874 - 2012/12/08(Sat) 16:33:58
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
答案（案）　ひとつの解答例です。（※積分範囲は省略しています）
g(x)=f(x)f'(x) + ∫f(t)dt とおくと（※記述量を減らすためですおかなくてもいいです）
g(x)=(4/9)x + (4/9) より　g(x)は１次式である
f(x)の次数をｎとしたときの　g(x)の次数を調べる。

f'(x)の次数はｎ−１なので　※この京大入試の場合、証明なしに使って良いと思います。
f(x)f'(x)の次数はｎ+ｎ−１＝２ｎ−１である。（※ただし、ｎ＝０のときはf(x)f'(x)＝０で次数は０）※このことは後で気づいたのでここに書きました。もう一つ前で場合分けしたほうが厳密です。

∫f(t)dtの次数はｎ+１である。※この京大入試の場合、証明なしに使って良いと思います。

（１）f(x)f'(x)の次数＞∫f(t)dtの次数;（２ｎ−１＞ｎ+１）　すなわちｎが３以上のとき
　　　g(x)の次数は２ｎ−１であり５以上となり不適

（２）f(x)f'(x)の次数＝∫f(t)dtの次数;（２ｎ−１＝ｎ+１）　すなわちｎ＝２のとき
（f(x)f'(x)と∫f(t)dtの３次２次の項がそれぞれ相殺される場合がある）
　　　f(x)=ax^2+bx+c,(a≠0)とおくと
　　　f(x)f'(x)=(ax^2+bx+c)(2ax+b)=2(a^2)(x^3)+3ab(x^2)+(b^2+2ac)x+bc
　　　∫f(t)dt=[(a/3)(t^3)+(b/2)(t^2)+ct]=(a/3)(x^3)+(b/2)(x^2)+cx - (a/3)-(b/2)-c
よってg(x)=(2a^3+1/3)x^3 + (3ab+b/2)x^2 + (b^2+2ac+c)x + (cb-a/3-b/2-c)
一方　g(x)=(4/9)x + (4/9)なので、係数を比較すると
　　　?@・・
　　　以下はminaminoさんの最終答案で良いと思います。
No.7875 - 2012/12/08(Sat) 18:12:50
☆ Re: / minamino [高校１年生]
おはようございます。7866の転記ミスみつけることがきました。今回は、実践的な答案の書き方まで丁寧に指導して下さり有難うございました。今後は本番を意識した答案を練習するようにします。また、類題にまで目を通して頂き今回は本当に有難うございました。
No.7876 - 2012/12/09(Sun) 06:02:01
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