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リュケイオン 「高校数学質問掲示板」





新矢（運営者）より
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★ (No Subject) / レッドマン [社会人]
χ＾2＋｛1/χ＾2｝＝ａ(χ＞1)のとき、χ＾5＋｛1/χ＾5｝−χ−｛1/χ｝の値は、
(ａ＋■)(ａ−▲)√｛ａ＋●｝である。

■,▲,●に入る数字を求めよ。


まず、どのように解いていったらいいのかわかりません。宜しくお願いします
No.7708 - 2012/11/13(Tue) 21:51:22
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
レッドマン さん　こんばんは、ITです。いっしょに考えて見ましょう。
社会人で受験勉強ですか？

いろいろな計算方法があると思いますが、いくつか道具をそろえましょう。
(中には、使わないのがあるかもしれませんが）
{x＋(1/x)}^2
x＋(1/x)
{x^2 + (1/x^2)}{x+(1/x)}
{x^2 + (1/x^2)}^2
{x^4 + (1/x^4)}{x+(1/x)}
{x^3 + (1/x^3)}{x^2 + (1/x^2)}
を計算してみて下さい
x^2 + (1/x^2)　=　a を使える部分は、使ってください。
No.7710 - 2012/11/13(Tue) 23:20:30
☆ Re: / レッドマン [高校１年生]
ITさん返信ありがとうございます。
大学に入りたいと思い、過去問を解いているのですが、解説がないため
つまづいてしまってます。

まず基本のχ+(1/χ)の値の求め方がわかりません。
すみませんが教えてください。
宜しくお願いします。
No.7718 - 2012/11/14(Wed) 13:47:17
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
（１）{x＋(1/x)}^2 を計算してください
χ＾2＋｛1/χ＾2｝＝ａ　を使うと　ａの式で表せます。

（２）{x＋(1/x)}^2　から　x+(1/x)　の値が求められます。
χ＞1　を使います。
No.7719 - 2012/11/14(Wed) 17:41:39
☆ Re: / レッドマン [高校１年生]
｛χ+（1/χ)}^2は、
χ^2+2+(1/χ)=ａ+2
{χ+(1/χ)}^2=ａ+2　･･･(1)の答え
χ+(1/χ)=√(ａ+2)　･･･(2)の答え

続いて三番目も解いてみました。
{χ^2+(1/χ^2)}{χ+(1/χ)}=ａ√(ａ+2)
χ^3+(1/χ^3)+χ+(1/χ)=ａ√(ａ+2)
χ^3+(1/χ^3)+√(ａ+2)=ａ√(ａ+2)　ですが、この先がわかりません。

わからなすぎてすみません。教えてください。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
No.7725 - 2012/11/15(Thu) 10:07:02
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> {χ+(1/χ)}^2=ａ+2　･･･(1)の答え
> χ+(1/χ)=√(ａ+2)　･･･(2)の答え
いいですね。
>
> 続いて三番目も解いてみました。
> χ^3+(1/χ^3)+√(ａ+2)=ａ√(ａ+2)　ですが、この先がわかりません。
これはあと移項するだけです。
　　　　　　　　　　　　　　
（４）{x^2 + (1/x^2)}^2　は、（１）と同じようにやればできます。やってみてください。
（５）{x^4 + (1/x^4)}{x+(1/x)}
（６）{x^3 + (1/x^3)}{x^2 + (1/x^2)}
（５）（６）も展開して整理をやってみてください。
（４）と（５）、または（６）のどちらかだけでも結構です
No.7727 - 2012/11/15(Thu) 18:27:41
☆ Re: / レッドマン [社会人]
(3)χ^3+(1/χ^3)+√(ａ+2)=ａ√(ａ+2)
　 ＾^3+(1/χ^3)=ａ√(ａ+2)-√(ａ+2)
　　　　　　　　=(ａ-1)√(ａ+2)　

(4{χ^2+(1/χ^2)^2は、
　χ^4+2+(1/χ^4)=ａ^2+2

(5){χ^3+(1/χ^3)}{χ^2+(1/χ^2)}={(ａ-1)√(ａ+2)}ａ
　 χ^5+(1/χ^5)+χ+(1/χ)=ａ(ａ-1)√(ａ+2)
　 χ^5+(1/χ^5)+√(ａ+2)=ａ(ａ-1)√(ａ+2)
　 χ^5+(1/χ^5)=√(ａ+2)(ａ^2-ａ-1)

よって今回の問題
　 χ^5+(1/χ^5)-χ-(1/χ)は、
　 χ^5+(1/χ^5)-{χ+(1/χ)}となり、
(2)と(6)を使って、　
　√(ａ+2)(ａ^2-ａ-1)-√(ａ+2)
=(ａ^2-ａ-1-1)√(ａ+2)
=(ａ^2-ａ-2)√(ａ+2)
=(ａ+1)(ａ-2)√(ａ+2)　

という考え方でいいでしょうか？
No.7730 - 2012/11/16(Fri) 13:09:48
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
基本的には良いと思います。（少し転記ミスがあるようですが）。
前の
> {χ+(1/χ)}^2=ａ+2　･･･(1)の答え
> χ+(1/χ)=√(ａ+2)　･･･(2)の答え
のところは、記述式なら「χ＞1なので」と書く必要があります。

> (4){χ^2+(1/χ^2)}^2は、
> 　χ^4+2+(1/χ^4)=ａ^2+2
等号でつないで書いたほうがいいと思います。
{χ^2+(1/χ^2)}^2=χ^4+2+(1/χ^4)=ａ^2+2
最後も同じく

χ^5+(1/χ^5)-χ-(1/χ)
＝ χ^5+(1/χ^5)-{χ+(1/χ)}　この行は書かなくても良いかも
(2)(6)より　
＝ 　√(ａ+2)(ａ^2-ａ-1)-√(ａ+2)
・・・
No.7733 - 2012/11/16(Fri) 20:13:40
☆ Re: / レッドマン [社会人]
何度もわかりやすく教えていただき、ありがとうございました。
No.7735 - 2012/11/16(Fri) 20:58:13
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
出展　法政大学
宜しくおねがいします。途中まで考えたのですが、絶対値の式変形で手が止まってしまいまいました。続きの式変形を教えて下さい。また、別の考え方があればそれも教えて下さい。
No.7686 - 2012/11/11(Sun) 13:07:12
☆ Re: / minamino [高校１年生]
途中までの答案です。
No.7687 - 2012/11/11(Sun) 13:07:47
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
こんにちはITです。いっしょに考えて見ましょう。

求める直線は２本ありますよね。
単純に　｜Ａ｜＝｜Ｂ｜⇔　Ａ＝Ｂ　または　Ａ＝-Ｂ　と考えればいいのでは？
No.7688 - 2012/11/11(Sun) 13:36:20
☆ Re: / minamino [高校１年生]
Ａ＝Ｂ　または　Ａ＝-Ｂ　は│Ａ│=Ｂではないのでしょうか。
No.7689 - 2012/11/11(Sun) 14:27:30
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> Ａ＝Ｂ　または　Ａ＝-Ｂ　は│Ａ│=Ｂではないのでしょうか。
少しちがいます。　（Ｂ＜０のとき│Ａ│=Ｂはおかしいですよね）
│Ａ│=Ｂ ⇔（Ａ≧０　かつ　Ａ　＝　Ｂ）または（Ａ＜０　かつ　-Ａ＝Ｂ）です。

（ア）│Ａ│=｜Ｂ｜⇒（?@Ａ＝Ｂまたは?AＡ＝-Ｂ）※?@ＡとＢが同符号の場合、?AＡとＢが異符号の場合
（イ）逆に（Ａ＝ＢまたはＡ＝-Ｂ）　⇒│Ａ│=｜Ｂ｜
はそれぞれ常に真です。すなわち　│Ａ│=｜Ｂ｜⇔（Ａ＝ＢまたはＡ＝-Ｂ）です。
No.7690 - 2012/11/11(Sun) 15:30:03
☆ Re: / minamino [高校１年生]
すみませんが、基本に戻って質問してよろしいでしょうか。２つの質問を添付しましたので見てください、この際絶対値について理解を深めたいので宜しくお願いします。
No.7692 - 2012/11/11(Sun) 16:40:04
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
質問１：そのとおりです
質問２：そのとおり「間違い」です。
２ｘ＋１＝｜x^2-2｜≧０なので、２ｘ＋１＜０はありえません。（?A）を考える必要はありません。
No.7693 - 2012/11/11(Sun) 17:16:05
☆ Re: / minamino [高校１年生]
＞ ２ｘ＋１＝｜x^2-2｜≧０なので、２ｘ＋１＜０はありえません。（?A）を考える必要はありません
そうですよね、。今日は、これから塾なので、明日以降続きを教えてください。有難うございました。失礼します。
No.7694 - 2012/11/11(Sun) 17:22:20
☆ Re: / minamino [高校１年生]
お願いします。添付した証明ですが正しいか教えてください。
No.7700 - 2012/11/12(Mon) 13:18:19
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
いいと思いますが、何か心配な点でもありますか？
No.7701 - 2012/11/12(Mon) 18:52:27
☆ Re: / minamino [高校１年生]
実は、この証明は、IT先生の│Ａ│=Ｂ ⇔（Ａ≧０　かつ　Ａ　＝　Ｂ）または（Ａ＜０　かつ　-Ａ＝Ｂ）です。
（ア）│Ａ│=｜Ｂ｜⇒（?@Ａ＝Ｂまたは?AＡ＝-Ｂ）※?@ＡとＢが同符号の場合、?AＡとＢが異符号の場合
（イ）逆に（Ａ＝ＢまたはＡ＝-Ｂ）　⇒│Ａ│=｜Ｂ｜
はそれぞれ常に真です。すなわち　│Ａ│=｜Ｂ｜⇔（Ａ＝ＢまたはＡ＝-Ｂ）です。

をそのまま真似ただけです。

心配な点は、（イ）逆に（Ａ＝ＢまたはＡ＝-Ｂ）　⇒│Ａ│=｜Ｂ｜が不安です。実際に数字か何かで具体例を示して頂くことはできませんか。
No.7704 - 2012/11/13(Tue) 09:43:05
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 心配な点は、（イ）逆に（Ａ＝ＢまたはＡ＝-Ｂ）　⇒│Ａ│=｜Ｂ｜が不安です。実際に数字か何かで具体例を示して頂くことはできませんか。
ほとんど明らかだと思うのですが？（もちろんＡ、Ｂ実数のときですけど）
Ａ＝Ｂ　 ⇒│Ａ│=｜Ｂ｜ は明らかですよね。
Ａ＝-Ｂ　⇒│Ａ│=｜Ｂ｜もＡの正負でわけると
Ａ＞０のときＢ＜０　よって　｜Ａ｜＝Ａ、｜Ｂ｜＝-Ｂ＝Ａ　よって│Ａ│=｜Ｂ｜
Ａ＝０のときＢ＝０　よって　│Ａ│=｜Ｂ｜＝０
Ａ＜０のときＢ＞０　よって　｜Ａ｜＝-Ａ＝Ｂ、｜Ｂ｜＝Ｂ　よって│Ａ│=｜Ｂ｜

あるいは
Ａ＝-Ｂ　⇒│Ａ│=│-Ｂ│　また一般に│-Ｂ│=｜Ｂ｜　よって│Ａ│=│Ｂ│　

>実際に数字か何かで具体例を示して頂くことはできませんか。
どんな実数でも成り立ちます。自分で試してみて下さい。
ある数で成り立つからといってすべての実数で成り立つとは限りませんので
あまり意味がないと思います。
No.7712 - 2012/11/14(Wed) 00:59:05
☆ Re: / minamino [高校１年生]
ゆっくり考える時間がなく、一日遅延して、すみません。
納得です。丁寧に最後まで教えていただき感謝します。有難うございました。
２ｘ＋１＝｜x^2-2｜は、最初に絶対値の中身を符号で場合わけする方法しかありませんよね。なければ返信不要です。
No.7726 - 2012/11/15(Thu) 11:29:10
★ (No Subject) / あお [高校１年生]
一辺の長さが１９の正三角形ABCとその外接円Oを考える
この外接円の点Bを含まない弧CA上に点Dを弦ＣＤの長さが5となるようにとるこのとき角ADC＝１２０度であるからAD＝１６であるさらに三角形ACDの面積は２４√３である
Aにおける外接円Oの接線とCDの延長線の交点をEとする
このとき三角形ADEと三角形ＢＤＡは相似である。
また三角形ADEと三角形CDBの面積比は16：５である。

このときにBDが角の二等分線だという事はわかったのですが
高さの比から面積比をだすときに何故ADEとCDBの高さの比が16：５になるのでしょうか？　角の二等分線の定理でも高さは出せないのではないでしょうか
No.7707 - 2012/11/13(Tue) 20:37:08
☆ Re: / あお [高校１年生]
すいません三角形
ＡＣＤの面積比は２０√３です
あとADBとCDBの面積比が16：５です。
No.7709 - 2012/11/13(Tue) 22:14:27
☆ Re: / あお [高校１年生]
BDを共通の底辺としてその高さの比から面積比を求めるという意味です。
No.7711 - 2012/11/14(Wed) 00:07:29
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
あおさん、こんにちは。農場長です。どうぞ、よろしく。

BDが∠ADCの二等分線になることはOKなんですよね。
と言うことは、∠ADB=∠CDB=60°はOKですね。

さて、それぞれの三角形の面積比ですが、あおさんの考えている通り、
底辺BDが共通なので、面積比は高さの比に等しいです。
そこで、△ABDと△CBDについて、それぞれ点A、Cから底辺BDに垂線を下してみると、
高さの比が求まりませんか？
No.7717 - 2012/11/14(Wed) 09:03:57
★ (No Subject) / ゆい [高校2年生]
ベクトルの問題で教えていただきたい問題があります(>_<)


→　　　　　　　→
ａ＝(−１,−２),ｂ＝(２,１)のとき
次のベクトル方程式で表される直線に原点Ｏから下ろした垂線の足Ｈの座標と,
ＯＨの長さをそれぞれ求めよ。

　　→　→　　→
(１)ｐ＝ａ＋ｔｂ

　　→ 　　　　　→ 　→
(２)ｐ＝(１−ｔ)ａ＋ｔｂ

という問題です(>_<)
お願いします(;_;)
No.7705 - 2012/11/13(Tue) 17:05:44
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
ゆいさん，おはようございます．

初めに(1)(2)共に，vec(p)の成分を計算してもらえませんか．
計算がおわったら，その結果をカキコしてください．お願いします．
No.7716 - 2012/11/14(Wed) 06:44:03
★ (No Subject) / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
円の接線が半径にたいして垂直のなることを証明したいのですが、よく分かりません。
おしえてください。
No.7683 - 2012/11/10(Sat) 21:57:51
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
コルムさん，おはようございます．
背理法を使うと，以下の方法で証明できます．

直線lが点Oを中心とする円の接線とする．
接点をPとし，直線lとOPが垂直に交わらないと仮定する．
このとき，点Oから直線lに垂線OHを下ろすことができて，直線l上に点Hに関してPと対称な点をP'とする．

△OHPと△OHP’において，
OP共通　∠OHP=∠OHP'=90°　HP=HP'
であるから，この２つの三角形は合同

よってOP=OP'となり，点P'は円周上に存在する．
したがって，直線l上に円周上の2点P,P'が存在することとなり，直線lが接線であることに矛盾（接線は円と共有点を1つしかもたないから）．

ゆえに，直線lとOPは垂直

いかがでしょう？
No.7684 - 2012/11/11(Sun) 06:57:17
☆ Re: / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
最後の、直線ｌとOPは垂直であることがよく分かりません。
No.7685 - 2012/11/11(Sun) 13:03:55
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
「垂直じゃない」と仮定して矛盾がおきるので，「垂直」なのですが．
もしかして背理法をご存じありませんか？
No.7691 - 2012/11/11(Sun) 16:01:03
☆ Re: / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
背理法はわかるのですが、図からなぜ直線ｌはOPに垂直になるのかが分かりません。
No.7695 - 2012/11/11(Sun) 17:22:49
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
円に直線が接しているときのイメージは思い浮かぶと思ったので，
「直線lとOPが垂直に交わらないと仮定」
したときの図を添付しました．

誤解は解けたでしょうか？
No.7697 - 2012/11/11(Sun) 19:16:01
☆ Re: / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
あの、図はどこですか？
No.7698 - 2012/11/11(Sun) 19:31:48
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
No.7684に添付したものですけれど・・・
No.7699 - 2012/11/11(Sun) 20:24:28
☆ Re: / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
ゆえに、直線ｌとOPは垂直であるという最後の意味が分かりません。
No.7702 - 2012/11/12(Mon) 21:40:31
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
No.7691に書きましたが，もう一度．


命題「AならばB」を証明するのに
『Aを否定するとBではなくなった．だから「AならばB」は正しい』
とするのが背理法です．

今回私は
A「直線lとOPが垂直」B「直線lは円の接線」
として，
Aの否定「直線lとOPが垂直に交わらない」
と仮定．その結果
B（直線lが接線であること）に矛盾
となるとして証明しました．

どうでしょう？
No.7703 - 2012/11/13(Tue) 06:31:01
☆ Re: / コルム ♂ [四国] [高校１年生]
わかりました。ありがとうございました。
No.7706 - 2012/11/13(Tue) 20:08:48
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
出展　横浜赤十字看専
宜しくお願いします。問題集にあった解説の通り展開図を書いて一直線になるときを考えればいいのですが、自分は次のように間違った考え方をしてしまいました。どうして、違うのか教えてください。
No.7678 - 2012/11/10(Sat) 11:35:41
☆ Re: / minamino [高校１年生]
添付　答案です。宜しくお願いします。
No.7679 - 2012/11/10(Sat) 11:36:26
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
こんにちは，朱雀です．
これは，自分も以前うっかりやってしまったミスです(汗
この問題で問われているのは，PQ+QCを最小にせよ，ということです．
一方で，minaminoさんがやっているのは，PQ^2+QC^2を最小にすることです．

今の場合，PQ,QCは長さだからPQ+QC≧0より，
PQ+QCが最小である⇔(PQ+QC)^2が最小である
は言えますが，PQ^2+QC^2が最小であるとは限りませんね．

仮にPQ=x,QC=-x+2(0≦x≦1)と表されるとしましょう．この時，PQ,QCはともに0以上なので長さを表しているとします．
すると，
(PQ+QC)^2=(x-x+2)^2=2^2=4となり最小値は全てのxでとります．
PQ^2+QC^2=x^2+(-x+2)^2=2x^2-4x+4=2(x-1)^2+2となり最小値はx=1の時にとります．
この例から具体的に(PQ+QC)^2とPQ^2+QC^2が別物だとわかるでしょう．
No.7681 - 2012/11/10(Sat) 12:39:49
☆ Re: / minamino [高校１年生]
納得です、本当に有難うございました。
No.7682 - 2012/11/10(Sat) 15:05:48
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
出展　法政大学　宜しくお願いします。
この問題(添付)は、最初に、a^3+b^3;c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)も思いついたのですが、別解として考えてみました。答案が正しいかどうかと、１つ質問がありますので宜しくお願いします。
No.7670 - 2012/11/09(Fri) 13:19:14
☆ Re: / minamino [高校１年生]
添付答案です。宜しくお願いします。
No.7671 - 2012/11/09(Fri) 13:24:53
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
minaminoさん，再びlondontrafficです．

3q^2r+3qr^2=0から3qr(q-r)=0としていますが，3qr(q+r)=0ですよね．

3pqr=0⇔pqr=0からp=0またはq=0またはr=0
なので命題は成り立つますよ．
No.7674 - 2012/11/09(Fri) 20:16:05
☆ Re: / minamino [高校１年生]
お願いします。
では、自分の答案の緑文字の部分の議論を必要ないということでしょうか。
また、，3qr(q+r)=0の(q+r)=0の部分は触れる必要はないのでしょうか。
No.7675 - 2012/11/10(Sat) 05:49:24
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
p+q+r=0
から
q+r=-p

3qr(q+r)=0 ⇔ -3pqr=0 ⇔ pqr=0 ⇔ p=0またはq=0またはr=0

でどうですか？
No.7676 - 2012/11/10(Sat) 06:53:33
☆ Re: / minamino [高校１年生]
本当に納得です、有難うございました。
No.7677 - 2012/11/10(Sat) 09:34:44
★ 剰余の定理 / ももか ♀ [近畿] [高校3年生]
問題
nを整数とし，n≧３とする．
整式x^n−x^n-1−1は整式x^2-x-1で割り切れないことを示せ．

＜方針＞
f(x)=x^n-x^n-1-1とおく．
f(x)をx^2-x-1で割ったときの商をQ(x),余りをax+bとすると
f(x)=(x^2-x-1)Q(x)+ax+b……?@

x^2^-x-1=0の解をx=α、βとおくと
f(α）＝aα＋bより、α^n-α^n-1-1=aα＋ｂ……?A
f(β）＝aβ＋bより、β^n-β^n-1-1=aβ＋ｂ……?B
ここまでは考えてみましたが、その後の方針がわかりません
というか方針自体も合っているかわかりませんが……

よろしくお願いします．
No.7654 - 2012/11/06(Tue) 16:12:58
☆ Re: 剰余の定理 / londontraffic [教育関係者]
ももかさん，こんばんは．
3年生とのことなので，大きな記述模試も終了し，あとはセンター模試と対策ですね．

これ出典は何でしょう？よかったら教えてください．

>x^2^-x-1=0の解をx=α、βとおくと
>f(α）＝aα＋bより、α^n-α^n-1-1=aα＋ｂ……?A
>f(β）＝aβ＋bより、β^n-β^n-1-1=aβ＋ｂ……?B
他のアプローチの仕方があるかもしれませんが，
f(α)=α^n-α^(n-1)-1
だけで済みそうです．

αはx^2-x-1=0の解ですから，α^2-α-1=0ですよね．
これから，α^n-α^(n-1)=□ の□にはどんなαの式が入るでしょう？
レスお願いしますm(_ _)m
No.7655 - 2012/11/06(Tue) 18:39:09
☆ Re: 剰余の定理 / ももか ♀ [近畿] [高校3年生]
こんばんわ
遅くなってすいません
塾の課題です

α＾n−α＾（ｎ−１）＝□
こんな考え方なのでしょうか？
α＾2＝α＋１
α＾3＝α＾2＋α＝2α＋１
α＾4＝α＾3α＝（２α＋１）α＝3α＋２
α＾5＝5α＋３
…………
ってやっていけばいいのでしょうか？
No.7656 - 2012/11/07(Wed) 00:39:35
☆ Re: 剰余の定理 / londontraffic [教育関係者]
おはようございます．
書いていただいたように，次数下げを順次おこなって規則性を見つける方法もあるかと思いますが，今回は厳しそうです．

α^2-α-1=0の両辺にα^(n-2)を掛けてみると，□に当てはまる式が見つかります．
No.7657 - 2012/11/07(Wed) 06:42:57
☆ Re: 剰余の定理 / ももか ♀ [近畿] [高校3年生]
こんにちは
>α^2-α-1=0の両辺にα^(n-2)を掛けてみると

α^n-α^n-1-α^n-2=0になります

α^n-α^n-1＝α^n-2
なので、□にはα^n-2が入ればよいのでしょうか？
No.7658 - 2012/11/07(Wed) 13:11:52
☆ Re: 剰余の定理 / londontraffic [教育関係者]
そうですね．
では続きです．

f(α)=α^n-α^(n-1)-1
ですから
f(α)=α^(n-2)-1
となります．
αはα^2-α-1=0の解なので，α=(1±√5)/2（実数）
n≧３であるとき，実数αに対してα^(n-2)-1=0となるαは
nが偶数のとき±1，nが奇数のとき1のみ
であるから，f(α)キ0

というわけで証明が完了するワケですが，いかがでしょう？
No.7659 - 2012/11/07(Wed) 18:51:16
☆ Re: 剰余の定理 / ももか ♀ [近畿] [高校3年生]
こんにちは
こんな感じで答案は書けばよろしいでしょうか？

x^n-x^n-1-1をx^2-x-1で割った商をQ(x)、余りをax+bとおく
x^n-x^n-1-1=(x^2-x-1)Q(x)+ax+b……?@

x^2-x-1=0の１つの解をαとおくと，α^2-α-1=0……?A

?@にx=αを代入すると
α^n-α^n-1-1=(α^2-α-1)Q(α)＋aα+b……?B

?A式の両辺にα^n-2をかけると、α^n-α^n-1-α^n-2=0
α^n-α^n-1=α^n-2……?C

?B?Cより、α^(n-2)-1=(α^2-α-1)Q(α)＋aα+b……?D
ここで、f(x)はx=αを解にもつので、f(α）=0
よって、α^(n-2)-1=0
ｎが偶数のとき α=±１
ｎが奇数のとき　α=1

nが偶数のとき±1，nが奇数のとき1のみ
であるから，＜f(α)キ0＞←ここがイマイチしっくりこないのですが、よろしくお願いします
No.7669 - 2012/11/09(Fri) 13:05:43
☆ Re: 剰余の定理 / ももか ♀ [近畿] [高校3年生]
すみません
α^(n-2)-1=0となるのは
x^n-x^(n-1)-1=0がx=αを解にもつからですよね？
それとα＝(1±√5)/2なのに、
ｎが偶数の時はα=±1
ｎが奇数の時はα=1
となり
このときは割り切れてしまうので、矛盾が生じるというような考え方でOKでしょうか？

よろしくお願いします
No.7672 - 2012/11/09(Fri) 13:42:36
☆ Re: 剰余の定理 / londontraffic [教育関係者]
基本的にご理解頂けていますね．
ただ，いろいろあって答案にするのが難しそうなので解答例を添付しました．
ご参考にどうぞ．
納得であればレス不要です．
No.7673 - 2012/11/09(Fri) 19:40:57
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
出展(麻布大学)
宜しくお願いします。
(1)の三角不等式の一部の証明なのですが、両辺を２乗して証明する方法はできました、質問ですが、添付したそのテキストの別解に意味が分からない式変形があるので教えてください。
No.7663 - 2012/11/08(Thu) 13:11:31
☆ Re: / minamino [高校１年生]
別解です。
No.7664 - 2012/11/08(Thu) 13:12:05
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
minaminoさん，こんばんは．

|a|≦5 ⇔ -5≦a≦5
はいいですよね．

-|a|-|b|=-(|a|+|b|)
なので，私が挙げた上のと同じです．

どうですか？
No.7665 - 2012/11/08(Thu) 17:46:12
☆ Re: / minamino [高校１年生]
返信有難うございます。宜しくお願いします。
添付の答案まで考えました。。
No.7666 - 2012/11/09(Fri) 06:47:51
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．ではもう一度．

前回の私のレスで|a|≦5 ⇔ -5≦a≦5と書きました．
教科書には　|x|≦c ⇔ -c≦x≦c　等の記述があるはずです．

今回の場合，x=a+b，c=|a|+|b|
と考えればいいのですが，いかがですか？
No.7667 - 2012/11/09(Fri) 06:54:46
☆ Re: / minamino [高校１年生]
納得です。有難うございました。
No.7668 - 2012/11/09(Fri) 07:59:01
★ 極限の証明わかりません / metempsychosis ♀ [関東] [高校3年生]
こんにちは。またhandoutからの練習問題です。

lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が振動する時,
lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0
を示したいのですがどうすればいいのか手も足も出ません。
どうかお助け下さい。
No.7617 - 2012/11/03(Sat) 03:35:41
☆ Re: 極限の証明わかりません / IT ♂ [中国] [社会人]
> lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が振動する時,
> lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0
> を示したい
おはようございます、ITです。いっしょに考えて見ましょう。
まず問題の確認をさせてください。（問題訂正の結果によっては、お教えできないこともあります。）
a_nは特定の数列ではなくて、「lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が振動」を満たす任意の実数列ということでしょうか？

例えば、a_n=0（ｎが奇数のとき）、a_n=2^n（ｎが偶数のとき）とすると
lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が振動する
かつ
lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}も振動し、収束しない。
と思いますがいかがでしょう？

問題には正確にどのように書かれていますか？
それと「handout」ってなんですか？
No.7618 - 2012/11/03(Sat) 08:20:50
☆ Re: 極限の証明わかりません / metempsychosis ♀ [関東] [高校3年生]
> a_nは特定の数列ではなくて、「lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が振動」を満たす任意の実数列ということでしょうか？

はい、さようです。

改めてみてましたら正確には
「数列(a_n)について,lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が振動するものする,
どのような時にlim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0となるか調べよ」
です。
数列は実数と思います(複素数列は習ってませんので)。

lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0
は直感的に明らかだと思いました。明らかですがいざ説明しようとすると、、、、うーん。。

あと,handoutは配布資料の意味です。
No.7619 - 2012/11/03(Sat) 08:39:54
☆ Re: 極限の証明わかりません / IT ♂ [中国] [社会人]
> lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0
> は直感的に明らかだと思いました。明らかですがいざ説明しようとすると、、、、うー

|a_n|^{1/n}と|a_n|^{n/(n-1)}がいくらでも近づくを、明らかなこととは思うのは、まちがいです。先ほど、反例をあげたように、成り立たない場合もあります。
（というより、ごくわずかの場合しか成立しません）

>どのような時にlim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0となるか調べよ」

x ≧ 0　について　
lim_{n→∞}x^{1/n}と
lim_{n→∞}x^{n/(n-1)}とを調べてみて下さい。（xの値によって場合分けが必要です）
No.7620 - 2012/11/03(Sat) 08:50:16
☆ Re: 極限の証明わかりません / metempsychosis ♀ [関東] [高校3年生]
有難うございます。
>x ≧ 0　について　
>lim_{n→∞}x^{1/n}と

x<1の時はx^{1/n}→1,1<xの時もx^{1/n}→1ですね。

>lim_{n→∞}x^{n/(n-1)}とを調べてみて下さい

x^{n/(n-1)}=xとなるかと思います。
No.7622 - 2012/11/03(Sat) 12:25:12
☆ Re: 極限の証明わかりません / IT ♂ [中国] [社会人]
> x<1の時はx^{1/n}→1,1<xの時もx^{1/n}→1ですね。
おしいです、x=0のときはちがいますね、いくらでしょう？

> lim_{n→∞}x^{n/(n-1)}=xとなるかと思います。
そうですね。

では、lim_{n→∞}(x^{1/n}-x^{n/(n-1)}=0　となるのは、どんなときでしょうか？
No.7624 - 2012/11/03(Sat) 12:41:58
☆ Re: 極限の証明わかりません / metempsychosis ♀ [関東] [高校3年生]
>> x<1の時はx^{1/n}→1,1<xの時もx^{1/n}→1ですね。
> おしいです、x=0のときはちがいますね、いくらでしょう？

lim_{n→∞}x^{1/n}=lim_{n→∞}0^{1/n}=0でした。

> では、lim_{n→∞}(x^{1/n}-x^{n/(n-1)})=0　となるのは、どんなときでしょうか？

x^{1/n}とx^{n/(n-1)}との振幅が等しいときだと思います。
No.7640 - 2012/11/03(Sat) 21:29:34
☆ Re: 極限の証明わかりません / IT ♂ [中国] [社会人]
今、ｘは、個別の値について考えていますから、振幅というものは出てきません。
もっと単純に考えてみてください。
xのところはxと書かずにαとした方がまぎれにくいかも知れませんね。
lim_{n→∞}α^{1/n} 　＝0 (α＝０のとき）
　　　　　　　　　　　　＝1 (α＞０のとき）　と
lim_{n→∞}α^{n/(n-1)}＝α (α≧０のとき）　とから

lim_{n→∞}[α^{1/n} - α^{n/(n-1)}]　はどうなりますか？
No.7641 - 2012/11/03(Sat) 21:41:09
☆ Re: 極限の証明わかりません / metempsychosis ♀ [関東] [高校3年生]
> 今、ｘは、個別の値について考えていますから、振幅というものは出てきません。
> もっと単純に考えてみてください。
> xのところはxと書かずにαとした方がまぎれにくいかも知れませんね。
> lim_{n→∞}α^{1/n} 　＝0 (α＝０のとき）
>　　　　　　　　　　　　＝1 (α＞０のとき）　と
> lim_{n→∞}α^{n/(n-1)}＝α (α≧０のとき）　とから
> lim_{n→∞}[α^{1/n} - α^{n/(n-1)}]　はどうなりますか？

α=0の時,-αで、α>0の時,1-αとなります。
No.7642 - 2012/11/03(Sat) 23:22:15
☆ Re: 極限の証明わかりません / IT ♂ [中国] [社会人]
> α=0の時,-αで、α>0の時,1-αとなります。
そうですね。そしてα=0の時,-α＝0ですので０です。（ここまで書きましょう）

では、これが０になるのはαがどんなときでしょう？
No.7643 - 2012/11/03(Sat) 23:33:57
☆ Re: 極限の証明わかりません / metempsychosis ♀ [関東] [高校3年生]
>（ここまで書きましょう）

失礼致しました。

> では、これが０になるのはαがどんなときでしょう？

α=1の時です。
No.7644 - 2012/11/03(Sat) 23:49:00
☆ Re: 極限の証明わかりません / IT ♂ [中国] [社会人]
> α=1の時です。
α=0のときもですよね！

では、元の問題の答えはどうなるでしょうか？
今まで調べて分かったことを整理して考えてみて下さい。今夜はこれで失礼します。
では、また（明朝？）
No.7645 - 2012/11/04(Sun) 00:25:34
☆ Re: 極限の証明わかりません / metempsychosis ♀ [関東] [高校3年生]
α=0の時とα=1の時が
lim_{n→∞}[α^{1/n} - α^{n/(n-1)}]=0となります。
よって
lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0
に於いては
lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}=0か1となる振動(といってもこれは極限値をもってるからもはや振動とは呼べませんね)の時,
lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0
となる。
lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}=0か1の時は振動になっていないので仮定を満たさない。
従って,
lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が振動する⇒lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}は発散する。
で正解でしょうか?
No.7646 - 2012/11/04(Sun) 02:14:37
☆ Re: 極限の証明わかりません / IT ♂ [中国] [社会人]
おはようございます。
> lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}=0か1となる振動(といってもこれは極限値をもってるからもはや振動とは呼べませんね)の時,
> lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0
> となる。
> lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}=0か1の時は振動になっていないので仮定を満たさない。
おしいです。いいところまで来ています。
0と1とを行き来すれば、りっぱに「振動する」と言えますよ！
では、答えはどうなりますか？

※明日（５日）から３日間都合により御相手できません。
No.7647 - 2012/11/04(Sun) 04:20:42
☆ Re: 極限の証明わかりません / metempsychosis ♀ [関東] [高校3年生]
>> lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}=0か1の時は振動になっていないので仮定を満たさない。
> おしいです。いいところまで来ています。
> 0と1とを行き来すれば、りっぱに「振動する」と言えますよ！
> では、答えはどうなりますか？

lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が(0,∞)で振動し,|a_n|^{1/n}が(0<)pとqを間を行き来する⇒lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}は1-pと1-qを行き来する振動となる。
そして,
lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が(0,∞)で振動し,|a_n|^{1/n}が(0<)pと1(但し,p<1)を間を行き来する⇒lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0となる。

で正解でしょうか? ちょっと混乱中。
No.7649 - 2012/11/05(Mon) 06:08:06
☆ Re: 極限の証明わかりません / IT ♂ [中国] [社会人]
> lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が(0,∞)で振動し,|a_n|^{1/n}が(0<)pと1(但し,p<1)を間を行き来する⇒lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0となる。
>
> で正解でしょうか? ちょっと混乱中。

時間がないので、少しだけ、ｐ＞0ではだめでｐ＝０でないとだめだと思います。

lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}　について、今まで調べたことを確認してください。

>> lim_{n→∞}[α^{1/n} - α^{n/(n-1)}]　はどうなりますか？
>α=0の時,-αで、α>0の時,1-αとなります。
lim_{n→∞}[α^{1/n} - α^{n/(n-1)}]=0になるのはα=0、1のときだけでしたね。　
No.7650 - 2012/11/05(Mon) 06:38:27
☆ Re: 極限の証明わかりません / metempsychosis ♀ [関東] [高校3年生]
読み返してみて

(a_n)=1,1,1,…か(a_n)=0,0,0,…か(a_n)=-1,-1,-1,…という定数列に限り,
lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0
つまり,

「(a_n)を実数列とする時,

|a_n|=1,1,1,…か|a_n|=0,0,0,…という定数列
⇔
lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0」

が結論なのですね。
No.7660 - 2012/11/08(Thu) 02:13:31
☆ Re: 極限の証明わかりません / IT ♂ [中国] [社会人]
おはようございます。再開しましょう。
> 読み返してみて
> |a_n|=1,1,1,…か|a_n|=0,0,0,…という定数列
> ⇔
> lim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0」
> が結論なのですね。
いいところまで来ていますが、少し違います。

問題は
「数列(a_n)について,lim_{n→∞}|a_n|^{1/n}が振動するものする,
どのような時にlim_{n→∞}(|a_n|^{1/n}-|a_n|^{n/(n-1)}=0となるか調べよ」
ですから、振動する必要があります。また、定数列である必要はありません。

a_nは２つか３つの部分列に分けられて
・一つの部分列は-1に収束、一つの部分列は0に収束し、全体としては振動する場合
・一つの部分列は１に収束、一つの部分列は0に収束し、全体としては振動する場合
・一つの部分列は-1に収束、一つの部分列は0に収束し、一つの部分列は１に収束し、全体としては振動する場合。
のどれかだと思います。グラフを描いて確認してみて下さい。
できれば、フリーハンドで描いてここにＵＰされると良いと思います。

ｎ→∞のとき、いくらでも-1、０、１に近づけば良いのであって、定数列である必要はありません。
No.7661 - 2012/11/08(Thu) 04:16:48
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。福山大の過去問です。
直線束を使って解く問題なのですが、最初から手のつけ様がありません。
No.7615 - 2012/11/02(Fri) 07:08:28
☆ Re: / minamino [高校１年生]
どなたか、お願いします。
No.7621 - 2012/11/03(Sat) 12:05:57
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
こんにちは．

ひとつ質問なのですが，直線束を使って，というのはどういうことでしょうか．本問は使わなくても解けますが，敢えて使って解く方法を知りたいということですか．
No.7623 - 2012/11/03(Sat) 12:32:50
☆ Re: / minamino [高校１年生]
返信有難う御座います。
その通りです。直線束を使って考えるように言われました。
途中までの答案を添付します。
No.7625 - 2012/11/03(Sat) 12:49:50
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
添付答案に書かれている分については若干不正確ですが概ねあっています．

2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0　…(ア)

は直線2x+3y-5=0と3x+4y+2=0の交点Pを通る直線のうち「3x+4y+2=0以外の」xy平面上の直線を表せます．

今，5x+ky-3=0という直線が交点Pを通るようにkを決めたいのでした．

つまりは「5x+ky-3=0が交点Pを通る」という仮定のもとでkを求めるのです．

5x+ky-3=0が交点Pを通るならば，どのような形で表される直線に属するはずでしょうか．

↓返信を↑の回答に答える形に変えてください．ごめんなさい．
No.7626 - 2012/11/03(Sat) 12:54:45
☆ Re: / minamino [高校１年生]
平面上で交点を通るすべての直線の集合
No.7627 - 2012/11/03(Sat) 12:57:57
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
No.7626の回答を変えたので，改めて返信お願いします．ごめんなさい．
No.7628 - 2012/11/03(Sat) 13:08:18
☆ Re: / minamino [高校１年生]
お願いします。
添付のような形で表される直線に属すると思います。
No.7629 - 2012/11/03(Sat) 13:21:17
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
添付答案は正解ですよ．

そうです，5x+ky-3=0は(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0に属するんです．「属する」という言葉を使っていることからもわかるように，
(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0
はmの値によって様々な直線を表し得ます．では，5x+ky-3=0を表せる可能性があるmを求めてみて下さい．
No.7630 - 2012/11/03(Sat) 13:27:45
☆ Re: / minamino [高校１年生]
5x+ky-3=0を表せる可能性があるmを求めてみました。
No.7631 - 2012/11/03(Sat) 13:39:54
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
今回の場合，結果としては正解です．ただし，m=1とした場合に，xの係数だけでなく「定数項も一致すること」を必ず確認してください．

しかし，この解き方で良いでしょうか．例えば，次の問題はどう解きますか．

直線10x+ky-6=0が交点Pを通るとき(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0に属します．可能性のあるmを求めて下さい．
No.7632 - 2012/11/03(Sat) 13:44:26
☆ Re: / minamino [高校１年生]
お願いします。
直線10x+ky-6=0が交点Pを通るとき(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0に属します．可能性のあるmを求めて下さい．
ですが、うまくいきません。
No.7633 - 2012/11/03(Sat) 14:00:05
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
素晴らしいです，比をとることに気がつきましたね．
ただ，途中で計算ミスしていて，正しくは
(2+3m)/10=(-5+2m)/(-6)
⇔-6(2+3m)=10(-5+2m)
⇔-3(2+3m)=5(-5+2m)
⇔(-9-10)m=-25+6
⇔-19m=-19
∴m=1
ですね．

これでわかったかと思いますが，単にxの係数比較2+3m=10　定数項比較-5+2m=-6を解くとmの値が異なり答えが得られません．問題を読み替えると，今やっているのは

直線10x+ky-6=0と(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0が等しくなるようなmとkの組を求める

ということです．これは係数の比が等しければ良いので

(2+3m)/10=(3+4m)/k=(-5+2m)/(-6)

であれば良いということです．この最左辺と最右辺から上で計算したようにm=1が導かれ，これを代入すると

5/10=7/k=-3/(-6)

なので，k=14と分かります(注：今は最初の課題(福山大の過去問)とは違う式10x+ky-6=0の場合をやっているのでkの値が違っています)．

では，元の福山大の問題に戻って

5x+ky-3=0と(2+3m)x+(3+4m)y-5+2m=0が同じ直線になるようにmとkを定めましょう．

(2+3m)/5=(3+4m)/k=(-5+2m)/(-3)

最左辺と最右辺よりm=1で，代入して計算してやるとk=7も得られます．


…さて，この方法でしても解けない場合はないでしょうか．実はあります．これは，直線束が表せる範囲に関係しているのですが，次の場合はどう解きますか．

直線6x+ky+4=0が交点Pを通るようにkを定めよ．
No.7634 - 2012/11/03(Sat) 14:16:43
☆ Re: / minamino [高校１年生]
御願いします。
前回の問題の計算ミスは確認しました。
No.7635 - 2012/11/03(Sat) 14:39:05
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
そもそも

2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0　…(ア)

というのは，?@と?Aの交点を通る(xy平面上の)直線という認識に不備があります．mにどのような値を入れても決して3x+4y+2=0という直線は表せないのです．つまり，(ア)式の正しい認識は

「?@と?Aの交点を通るxy平面上の直線のうち，直線3x+4y+2=0を除く直線群」

です．では，最後に出した問題を見てみましょう．

6x+ky+4=0と2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0が等しくなるようにmとkを求めようとしましたが，6x+ky+4=0が2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0と等しくなるなんて有り得ないことです．だからこそ，mの係数が0になって答えが得られません．

直線6x+ky+4=0と2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0が同じ直線になるようなmが存在しない，これはつまり，両者は同じ直線になりえないことを意味しています．
考えられる原因は2つ
(1)直線6x+ky+4=0が交点Pを通りえない
(2)直線6x+ky+4=0が直線3x+4y+2=0と一致する

前者の場合，2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0は交点Pを通る直線しか表せないのだから，元から交点Pを通りえない直線と一致するはずがありません．

後者の場合，2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0は交点Pを通る直線を表しますが，唯一，直線3x+4y+2=0だけは表せません．よって，直線6x+ky+4=0が直線3x+4y+2=0と一致するなら，当然，両者を等しくするmが存在するはずはありません．

今回の場合は，原因(2)です．よく考えてみて下さい．k=8とすると直線?Aと一致します．つまり，直線3x+4y+2=0と一致するのです．2x+3y-5+m(3x+4y+2)=0はどんなmを入れても直線3x+4y+2=0にはならないから，mが存在しないのは当然なのです．mの係数が0になり，かつ右辺に0でない数字が残ってしまう場合は，解なしと判断し，与えられた式は直線3x+4y+2=0に等しいと仮定して係数kを求めれば良いのです．

以上から，元の問題(福山大学の問題)を解く手順は

直線束の式(ア)を立て

5x+ky-3=0

との係数の比が等しいとしてm,kを求める．また，

5x+ky-3=0

が直線3x+4y+2=0に一致するkを求める(この場合のkは直線束の式との比較では求められないことは前述のとおり，直線束の式は直線3x+4y+2=0を表せない)．

一般には以上で求まったkが全て解となります(ちなみに普通に交点Pの座標を求めて，5x+ky-3=0のx,yに代入するとkの一次方程式になるので．解kが1個しかないのは(ほぼ)自明です)．
No.7636 - 2012/11/03(Sat) 14:59:04
☆ Re: / minamino [高校１年生]
丁寧なご指導本当に感謝いたします。
ただ、(1)直線6x+ky+4=0が交点Pを通りえない
の所が具体的につかめず、何度と読み返しております。
両者が同じ直線にない得なりえない理由として、なぜ、、(1)直線6x+ky+4=0が交点Pを通りえない。を吟味するのですか？教えてください。
No.7637 - 2012/11/03(Sat) 15:39:17
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
実は直線6x+ky+4=0は原点を通りえないのですよ．ということは，もし問題が

直線?@：x+y=0　直線?A：x-y=0　の交点Q(0,0)を直線?B：6x+ky+4=0が通るように定めよ．

だったらどうでしょう．?@と?Aの交点を通る直線で，x-y=0以外の直線は

x+y+m(x-y)=0　つまり(1+m)x+(1-m)y=0　…(イ)

ですよね．じゃあ，?Bと(イ)が同じ直線を表すようにk,mを求めてみましょうか．

係数の比について

(1+m)/6=(1-m)/4=0/4

よって，これらを同時に満たすmは存在しませんね．それでは，6x+ky+4=0が直線束で唯一表されない直線x-y=0に一致するのか(つまり原因(2))，と考えますが，定数項の違いから一致するはずがありません．じゃあどういうことか，と申しますと，要は6x+ky+4=0はどうあがいても交点Q(0,0)を通りえないんです(原因(1))．ですから，Q(0,0)を必ず通る直線の式(1+m)x+(1-m)y=0と一致するはずがありません．これが解mが存在しない理由です．逆に言えば，原因(1)によって解mが存在しないこともあるということなんです．ですから，一般論としては原因(1)も立派な吟味対象となります．


上では原点を通りえない直線を例に挙げましたが，6(x-1)+k(y-1)+4=0つまり6x+ky-2-k=0などは点(1,1)を通りえない直線です．偶然，その通りえない点が?@と?Aの交点Pに一致するならば，どんなkを選んでもPを通るはずがないので，解なしとなりますね．
No.7638 - 2012/11/03(Sat) 16:30:28
☆ Re: / minamino [高校１年生]
どうにか、今回の説明で理解できそうです。これから塾で、考える時間がないので、夜もう一度しっかり考えて返信します。今日は長い時間、丁寧で分かりやすい解説有難う御座いました。
No.7639 - 2012/11/03(Sat) 16:53:37
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
[補足]
>実は直線6x+ky+4=0は原点を通りえないのですよ．

と書きましたが，原点以外は通りうる，と誤解をされると困るので補足しておきます．点(X,Y)を通るときのkを求める式は
6X+kY+4=0
より，
kY=-(6X+4)　…(ウ)
特にY≠0の時は，
k=-(6X+4)/Y　(Y≠0)…(エ)
です．逆にこのkのとき，点(X,Y)を通ります．このようなkが存在しないとき，点(X,Y)を通りません．では，どのような時にこのkは存在しないでしょう．考えてみますと，「X≠-2/3かつY=0の時」です．よって，点(-2/3,0)以外の点(x,0)は全て通りえないということですね．

この理由をもっと図的に理解するとこうです．よく式6x+ky+4=0を見て下さい．この式は

(6x+4)+ky=0

と書けるんです．つまり，直線6x+4=0と直線y=0の交点R(-2/3,0)を通る直線で直線y=0以外の直線群です．(6x+4)+ky=0というのは，前述のように直線y=0以外の直線ですから，x軸との共有点は必ず1個であり，そして既に点R(-2/3,0)というx軸上の点を通ることが保証されているので，確かにそれ以外のx軸上の点(x,0)(x≠-2/3)は通らないという結論が導かれるわけです．

ということで，今回の福山大の過去問にある5x+ky-3=0という式もそうですが，ただ単に係数の1つが文字で置かれているなぁ，と思うだけでなく，(5x-3)+ky=0という直線束という見方もできると視野が広がるかもしれません．
No.7648 - 2012/11/04(Sun) 16:58:03
☆ Re: / minamino [高校１年生]
最後まで本当に丁寧にご指導して頂き感激です。ちなみに、朱雀先生は大学生とありましたが、もちろん大学受験時にも直線束一つとってもこれくらいの知識、数学力をもっていたはずですから、これから自分がどれだけ勉強しても受験時に朱雀先生のような数学力を持つのは無理だなと大変へこみました。よく聞かれるとおもうのですが、どのような参考書で高校時代そんなに数学をきわめられたのですか、また、自分はどうしたらいいでしょうか。直線束についても自宅にある参考書をすべて調べてみました。とても、どれも朱雀先生が教えてくれた内容などは書かれていませんでした。これから先の勉強がとても不安になりました。
No.7651 - 2012/11/05(Mon) 12:49:14
☆ Re: / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
>どのような参考書で高校時代そんなに数学をきわめられたのですか

別に数学を極めていると言えるほどではありませんが，高校時代に使っていた問題集・参考書は全て高校(県立です)が指定したもので，
オリジナル数学(I/A/II/B)　4STEP(III/C)　オリスタ(3年後期の受験対策用授業で使用)
本質の解法(I/A/II/B/III/C)
入試問題集[理系](数研出版)(3年の夏休みに使用)
でした．これで成績は出ていましたから，特に自主的に購入した参考書等はなかったと思います(過去問除く)．

>どれも朱雀先生が教えてくれた内容などは書かれていませんでした

数学用語や式を覚えることも大切なことですが，意味と適用可能範囲を正確に押さえることもまたそれ以上に重要です．直線束でしたら，

(ax+by+c)+m(dx+ey+f)=0　；a,b,c,d,e,f,mは実数

上式の意味するところを，「直線?@ax+by+c=0と直線?Adx+ey+f=0の交点を通る直線のうち直線dx+ey+f=0を除くxy平面上の直線群」と正確に理解することです．そしてこの直線群をAと名づけます．
上記の意味を正確に理解できていれば，逆に直線群Aに属さない直線もわかるわけで，それが次の2通りです．
・直線?@と?Aの交点を通らない直線群B
・直線?A

よって，全ての(xy平面上の)直線は
直線群A，直線群B，直線?Aの3グループに分けられます．このうち，直線?@と?Aの交点を通るのは直線群Aと直線?Aです．直線群Bは通りません．

ですから，まずは直線?Bと直線束の式が一致しうるかを係数比をとって調べます．そして，そのようなmが存在すれば，直線群Aに属する解が得られます．しかし必ずしも解が1つであるとは限りません．直線?Bと一致する場合も解になるので，一致しうるかをまた係数比を調べて吟味します．ここで一致するようなmがあればそれも解となります．
以上の操作の中で解mが1つも存在しないとき，初めて，直線?Bはいかなるmに対しても直線?@と?Aの交点を通らない，つまり直線群Bに属するということが分かります．
もちろん調べる順番は自由で，最初に直線?Bが直線?@と?Aの交点を通らないことを証明すると，瞬時に解なしと導け，直線群Aに属する場合と直線?Aに一致する場合を調べなくても良いです．

以上，自然な論理の流れではありませんか．覚えるべき事項というよりは，「図を描けば」自然と導かれる結果です．どうやってそういう変換や式変形を思いついたんだ？と言いたくなるような奇抜なアイデアは一切含まれていませんね．

で，この問題，回答が付くのが遅かったかと思いますが，実は投稿された日にこの問題を見ていました．しかし，直線束という文字を見て，それが何か分からず(恥，躊躇しましたが，次の日も回答がなかったので調べました．すると，高校でやった2直線の交点を通る直線群ということで，ax+by+c+k(dx+ey+f)=0というなんとも懐かしい式が出てきました．はっきり言います，覚えていませんでした(´･_･`)．
もちろん，潜在的な記憶の助けもあるでしょうが(全く初めて見たのとはまた違うでしょうから)，回答中に書いたことは当時，本当に理解していたかは分かりません．書きながらに思いついたことも書いています．受験という時間との戦いの中では，既知な基本的な結果を一から導いている時間はないので覚えるべきでしょうが，こういうことは図を描いたりしているうちに分かってくることだと思います．予備知識としてあれば便利でしょうが，無理に覚える必要もないかと思います．習いたてだとすれば，まだ慣れていないので難しいかもしれませんが，時を置くと分かってくるものです．

私は当時，数学にせよ物理にせよ公式が嫌いでした．というのは，ある授業で公式を習うわけですが，それを使って直ぐに問題を解くのが嫌だったのです．数学の場合，公式を使わないで，公式を導く過程を使って問題を解きました．そして公式の導き方，意味が分かったかな，あるいは慣れたところで公式を使っていました．
特に物理は突然に公式だけが出てくるのでまったく意味が分からず，公式を使う気になれません．ただ数字を当てはめているだけで何をしているのかわからないのが無茶苦茶気持ち悪いわけです．しかし微積分の知識がない高一当時，その公式が導けるはずもなく，嫌だなあと思いながらも観念して最終的には公式を使っていましたが，こういう時間が公式を覚えるでなく，理解するのにつながったのかなとは思いますが，どうでしょう．

>また、自分はどうしたらいいでしょうか

ここにはプロの指導者がたくさんおられるようですので，その方たちに訊かれるのが良いかと思いますが，少しだけ(素人が)アドバイスするとすれば，
>朱雀先生のような数学力を持つのは無理だなと大変へこみました
まず諦めないでください．今回の解説で全く意味がわからないというのだとアレですが，自然な流れについてきてくれたので，基本的な力はあると思いますから，考え方を磨けば大丈夫だと思います．ちゃんと勉強さえ続ければ，時間が経った時に，あの時のあれはこういうことだったのか，などと分かってきます．そしてそういうのってなぜか忘れにくい．覚える，っていうのとはまた違う感覚ですね(うまく言えないけど「経験」というか)．そういうこともあるので，諦めて手をつけなくなるのではなく，とにかく続けて下さい．そして分からなければ，先生やここに質問して，一緒に考え，回答を熟読してください．その積み重ねです．

より良い人生・受験の先輩からのご意見は，勉強法の質問版があるようなのでそちらにされると得られると思います．

長文乱文ごめんなさい．
No.7652 - 2012/11/05(Mon) 17:03:31
☆ Re: / minamino [高校１年生]
朱雀先生の言うとおり、最後まで諦めず、日々数学の問題を解いていこうとおもいます。朱雀先生、本当に有難うございました。
No.7653 - 2012/11/06(Tue) 08:52:23
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
お願いします。問題を添付します。
No.7541 - 2012/10/26(Fri) 12:21:41
☆ Re: / minamino [高校１年生]
大きな勘違いをしていると思うのですが。教えて下さい。
No.7542 - 2012/10/26(Fri) 12:24:13
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
minaminoさん、こんばんは。

1〜20の数で考えてみましょう。
3の倍数でないものは、1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20です。
2の倍数でないものは、1,3,5,7,9,11,13,15,17,19です。
この２つを「または」で考えますので、合体させます。
（これが「かつ」だったら、共通して出てくる数を取り出します）

したがって「3の倍数でない　または　2の倍数でない」数は、
1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,20です。
ほとんど全てですね。何が抜けているのでしょうか？

抜ける数の決まりが分かれば、1〜200の総和から、抜ける数の総和を引いて答えです。
No.7545 - 2012/10/26(Fri) 20:41:25
☆ Re: / minamino [高校１年生]
お願いします。自分の考え方が間違っているのは分かっているのですが、添付した答案のように考えてしまうのです、バシッと正してください。よろしくお願いします。
それと、説明しt頂いた、
「この２つを「または」で考えますので、合体させます。」の合体という意味がわかりません。
No.7546 - 2012/10/27(Sat) 14:25:01
☆ Re: / minamino [高校１年生]
添付答案です
No.7547 - 2012/10/27(Sat) 14:25:44
☆ Re: / minamino [高校１年生]
急ぎではないのですが、返信お願いします。
No.7564 - 2012/10/29(Mon) 12:33:41
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
遅くなってしまい、すみませんでした。

まず、minaminoさんの考え方は間違っていません。
それぞれ、「3の倍数でないもの」と「2の倍数でないもの」を求めましたね。

で、「または」のときですが、
「3の倍数でないものと2の倍数でないもののどちらかに入っている数」
という感じで考えて、
1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,20　となるのです。

この考えを私は「合体」すると表現したのですが、どうでしょう？
何となくわかりますか？？
No.7565 - 2012/10/29(Mon) 13:42:33
☆ Re: / minamino [高校１年生]
返信ありがとうございました。自分でつくった表から、「3の倍数でないものと2の倍数でないもののどちらかに入っている数」を合体させたのですが、うまくいきません.
No.7566 - 2012/10/29(Mon) 14:26:36
☆ Re: / minamino [高校１年生]
答案、間違ってました。
No.7567 - 2012/10/29(Mon) 14:48:23
☆ Re: / minamino [高校１年生]
記事編集がうまく使えなくて何度もすみません。
No.7568 - 2012/10/29(Mon) 14:51:51
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
OKですよ！つまりは、赤字で書かれた数だけが含まれない、ということですね。

では、その赤字の集まりは、どのような式で表されますか？

１から２００までの総和から、それらの総和を引けば答えです。
No.7569 - 2012/10/29(Mon) 17:29:07
☆ Re: / minamino [高校１年生]
お願いします。
「赤字で書かれた数だけが含まれない、ということですね。」
とは、６、１２、１８は、２かつ３の倍数だから（２の倍数または３の倍数）だからということでしょうか。
No.7579 - 2012/10/30(Tue) 02:25:03
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
そうです。

ちなみに、
「3の倍数でない　または　2の倍数でない」　は、
「3の倍数　かつ　2の倍数」でない　と同じことです。
そこから、「6の倍数」でない　数があてはまることがわかります。
（詳細は、ド・モルガンの法則を調べてみましょう。習いましたか？）
No.7581 - 2012/10/30(Tue) 08:09:05
☆ Re: / minamino [高校１年生]
返信有難う御座います。
ド・モルガンの法則と今回の問題とあわせてゆっくり考えたいので一日ください。よろしくお願いします。
No.7582 - 2012/10/30(Tue) 10:02:59
☆ Re: / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。
ド・モルガンの法則を調べて答案にしました。正しいでしょうか？
それと、添付した答案に質問も書いておきました。宜しくお願いします。
No.7589 - 2012/10/31(Wed) 14:17:44
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
はい、そのまとめから、
「1〜200の総和」から「1〜200までの6の倍数の総和」をひけばいいですね。

さて、質問の内容ですが、２つの式は、どちらも同じですね。
すみませんが、式を確認してください。
そして、質問内容も確認してください。（「どうなる」とは？？）
No.7590 - 2012/10/31(Wed) 17:19:26
☆ Re: / minamino [高校１年生]
親切な解説のおかげで答えにたどりつきました。
途中式を省いた答案を添付します。
それと、質問が１つあるので宜しくお願いします。
No.7610 - 2012/11/01(Thu) 15:20:51
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [高校１年生]
疑問が解消されて何よりです。お疲れ様でした！！

さて、質問ですが、
?@の左と右がイコールでつながるか？という質問でしょうか。
だとしたら、回答は「同じではありません。」です。

例えば、今回の具体例：１〜２０の整数で考えると、
まず、右側について
Ａのバー（３の倍数でない）：1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20
Ｂのバー（２の倍数でない）：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19
これらの共通部分（どちらにも出てくる数）は、1,5,7,11,13,17,19　です

次に、左側について
Ａ∩Ｂ（３の倍数　かつ　２の倍数→６の倍数）より、
Ａ∩Ｂのバー（６の倍数でない）：1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,20
となり、左側（Ａ∩Ｂのバー）の方が数がたくさんあります。

同じように考えると、?Aも同じではありません

同じなのは、「?@の左　と　?Aの右」、「?@の右　と　?Aの左」です。
このことは、ド・モルガンの法則からもわかります。
No.7613 - 2012/11/02(Fri) 01:30:26
☆ Re: / minamino [高校１年生]
最後まで、親切な指導本当に有難う御座いました。
No.7614 - 2012/11/02(Fri) 06:49:50
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
いえいえ。

焦っていたために，具体例の右側と左側が逆になっていましたね。すみませんでした。
minaminoさんが学習していれば，ベン図を使って視覚的に理解することも可能です。

ともかく，お疲れさまでした！また，お願いしま〜す。
No.7616 - 2012/11/02(Fri) 07:44:01
★ (No Subject) / meza ♂ [関東] [浪人生]
質問させて頂きます。

問題は添付します。

この問題で、n=2までのところはできたのですが、
n≧3以上からが理解出来ないのですが、回答お願いします。
No.7587 - 2012/10/30(Tue) 23:31:26
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
こんばんはITです。いっしょに考えていきましょう。
>n=2までのところはできたのですが
何がどうできた（わかった、整理できた）のですか？
できたところまでＵｐしてください。

>n≧3以上からが理解出来ないのですが
（アプローチＡ）具体的な値の変化を調べてみる
n＝3のとき　a1,a2に具体的に数を入れてみると漸化式はどうなりますか？

その式をもとにa3を求めて下さい。

さらにn＝4のとき　a1,a2,a3（求めた値）を使って漸化式を書いてください。

その式をもとにa4を求めて下さい。

同様にa5を求めて下さい。

（アプローチＢ）
関係式をa[n+1]について書くとどうなりますか？a[n]の分と上下に並べて書いてください。
見比べてみて、何か計算できそうならやってみてください。

アプローチＡとアプローチＢを出来るところまでやってみて下さい。
No.7588 - 2012/10/31(Wed) 00:59:52
☆ Re: / meza ♂ [関東] [浪人生]

この、n≧3のときの

2/n（n-1）はどうやってでたのでしょうか？
No.7594 - 2012/10/31(Wed) 21:09:28
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> この、n≧3のときの
>
> 2/n（n-1）はどうやってでたのでしょうか？
どこまで理解できていますか？
最後は分子と分母の共通因子を約分して出ています。
No.7595 - 2012/10/31(Wed) 21:33:33
☆ Re: / meza ♂ [関東] [浪人生]
a3=1/3 a4=1/6 a5=1/10は代入して出たのですが、これからどうしたらいいか分からなくて困っています。
No.7597 - 2012/10/31(Wed) 22:00:54
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
アプローチＢをやって書いて見てください。
No.7598 - 2012/10/31(Wed) 22:23:45
☆ Re: / meza ♂ [関東] [浪人生]
アプローチBで、

計算してみて、a-n＋1=（n-1）a-n/（n＋1）と出ました。
No.7599 - 2012/10/31(Wed) 23:01:45
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
添え字は[n]で表すと
a[n＋1]=（n-1）a[n]/（n＋1）]={（n-1）/（n＋1）}a[n]　ということですよね。

この関係をa[n]とa[n-1]にも適用しどんどんnを小さくしていくとどうなりますか？
No.7603 - 2012/10/31(Wed) 23:31:20
☆ Re: / meza ♂ [関東] [浪人生]

解くことが出来ました。

ありがとうございました。
No.7611 - 2012/11/01(Thu) 23:01:30
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
それは、良かった。お疲れでした。
京大入試なので何か特別なテクニックがあるかと式変形を考えてしまうと、かえって解らなくなりますね。
No.7612 - 2012/11/01(Thu) 23:17:59
★ (No Subject) / めい ♀ [中国] [高校１年生]
学校のプリントで質問です。
　
１，２，３，４，５の５個の数字を1個ずつ用いてできる５桁の奇数は（ア）個あり、その中で５０番目に小さいものは（イ）である。

（ア）の答えは、奇数なので　1の位が　１，３，５の３通りで　それ以外の位は４！なので　4！×3＝72通りとしたのですが、（イ）の求め方が分かりません。よろしくお願いします。
No.7591 - 2012/10/31(Wed) 18:22:45
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
めいさん　こんばんはITです。いっしょに考えて見ましょう。

小さい順に、もれなく、重複なく数え上げていくのが、確実だと思います。
最も小さい数、２番目、３番目の数はどうなりますか？　
※さすがに５０個全部をまともには数えませんので安心してください。
（５０番目なので大きい順の方が早いかもしれませんが、まず小さい順にやりましょう）

上２桁と下３桁に分けて各上２桁について下３桁が何通りあるか数えていくと分かりやすくて、効率的かと思います。
No.7592 - 2012/10/31(Wed) 18:31:06
☆ Re: / めい ♀ [中国] [高校１年生]
12345,12435，12453の順になります。
No.7596 - 2012/10/31(Wed) 21:56:55
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
そうですね
そして、12○△×　はもうひとつあり　４つですね

では、12○△×　の次は　上２桁は何でしょう？
　そのときの下桁○△×は何通りあるでしょう？

さらにその次の上２桁は何でしょう？
　そのときの下桁○△×は何通りあるでしょう？
No.7600 - 2012/10/31(Wed) 23:05:05
☆ Re: / めい ♀ [中国] [高校１年生]
12345,12435，12453，12543
13245，13425，の２通り
14235，14253，14325，14523

上２桁が奇数のときは　2通りでいいですか？
No.7601 - 2012/10/31(Wed) 23:16:38
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 12345,12435，12453，12543
> 13245，13425，の２通り
> 14235，14253，14325，14523
そうですね。

> 上２桁が奇数のときは　2通りでいいですか？
これは、少し違います
上２桁が21のときの下３桁○△×は何通りあるでしょう？
上２桁が24のときの下３桁○△×は何通りあるでしょう？

※上２桁の奇数の個数（0,1,2）によって、下桁○△×が何通りあるか決まるのが
お分かりでしょうか？
No.7602 - 2012/10/31(Wed) 23:21:31
☆ Re: / めい ♀ [中国] [高校１年生]
21345，21435，21453，21543　4通り
24135，24153，24315，24351，24513，24531　6通り

　上２桁の奇数の個数0個のとき　６通り
　　　　　　　　　　1個のとき　4通り
　　　　　　　　　　2個のとき　2通りになりました。
No.7604 - 2012/10/31(Wed) 23:47:44
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
そうですね、あっています。
それを使うと上２桁が順に以下のとき下桁○△×が何通りあるかと累計が簡単に求められますよね
１２：
１３：
１４：
１５：
２１：
・・：
・５
３１：
・・
４
・・
５
・・
No.7605 - 2012/10/31(Wed) 23:58:42
☆ Re: / めい ♀ [中国] [高校１年生]
１２：4
１３：2
１４：4
１５：2
２１：4
・３：4
・４：6
・５：4
３１：2
・２：4
・４：4
・５：2
４１：4
・２：6
・３：4
・５：4
５１：2
・２：4
・３：2
・４：4　なので　　42135，42153，42315，42351，42513，42531で
　　　　５０番目は　42351で　いいですか？
No.7606 - 2012/11/01(Thu) 00:17:26
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
いいと思います。
後ろから数えるか、１○△×奇、２○△×奇、３○△×奇を数え、４１から４２、４３と上２桁の方式で数えてもよかったかも知れません。（いろいろなやり方がありますね）
No.7607 - 2012/11/01(Thu) 00:20:55
☆ Re: / めい ♀ [中国] [高校１年生]
よくわかりました。ありがとうございました。
No.7608 - 2012/11/01(Thu) 01:03:18
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
おつかれさまでした。では、また。
No.7609 - 2012/11/01(Thu) 02:32:34
★ (No Subject) / すみれ ♀ [近畿] [高校１年生]
２次関数の問題です。
f（x）＝ｘ²-2ａｘ+ａ²+2ａ-8（ａは定数）とするとき、次の各問に答えよ。
（1）Ｙ＝f（x）のグラフが　Ｙ軸のＹ≧0の部分と共有点をもつようなａの値の範囲を求めよ。
（2）f（x）の最小値をＭ（ａ）とするとき、0≦ａ≦1におけるＭ（ａ）の最大値を求めよ。
（3）0≦Ｘ≦1をみたすすべてのＸに対して0≦f（x）≦9が成り立つようなａの値の範囲を求めよ。

（1）Ｙ軸のＹ≧0の部分と共有点をもつと言う場合はf（0）≧0だから
　　　ａ²+2ａ-8≧0
　　（ａ-2）（ａ+4）≧0　　　ａ≦-4　ａ≧2
（2）f（x）＝（Ｘ−ａ）²+2ａ-8
　　最小値Ｍ（ａ）は　2ａ-8だから　Ｍ（0）＝−8　Ｍ（1）＝−6　
　　　よって　最大値は　−6
（3）0≦f（x）≦9が成り立つには　f（ａ）≧0　f（0）≦9　f（1）≦9でいいのですか。
No.7593 - 2012/10/31(Wed) 19:06:57
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