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リュケイオン 「高校数学質問掲示板」





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★ 群数列 / meza ♂ [関東] [浪人生]

始めまして、質問させて頂きます。

問題は添付します。

どのように考えるのかが分かりません。

回答お願いします。
No.7570 - 2012/10/29(Mon) 18:16:49
☆ Re: 群数列 / londontraffic [教育関係者]
mezaさん，こんばんは．
ちょっと前まではyoshikiさんでしたよね．
次回以降は，ちゃんとどちらかにしてくださいな．

カキコを見ていると群数列とか抜きにして，最初から躓いているように見えます．なので，最初からです．

題意を満たす√nを数直線で表すと，添付した図のようになります．（端点は「≦」でもokです）
成り立つ式は
m-(1/2)<√n<m+(1/2)

ここまでいかがですか？
No.7573 - 2012/10/29(Mon) 18:37:56
☆ Re: 群数列 / meza ♂ [関東] [高校１年生]
回答ありがとうございます。
今度からはmezaにさせて頂きます。

解説にもこの図が書いてあるのですが、なぜ1/2が
関係してるのかが分からないです。
No.7574 - 2012/10/29(Mon) 18:47:09
☆ Re: 群数列 / londontraffic [教育関係者]
はい．では，具体的な例で考えてみましょう．

√2≒1.41　√3≒1.73
ですから　a_2=1　a_3=2　です．
１と２を分けている境目は，1.5=2-1/2
です．また
√4=2　√5≒2.24　√6≒2.45　√7≒2.65
ですから，a_4=a_5=a_6=2　a_7=3　です．
２と３を分けているのは， 2.5=2+1/2
です．

連続する２つの整数の「近い方」なので，例えば２つの整数m-1,mであれば真ん中のm-1/2が境目，
２整数がm,m+1であればm+1/2が境目となるのですが．

どうでしょう？
No.7576 - 2012/10/29(Mon) 21:36:44
☆ Re: 群数列 / meza ♂ [関東] [浪人生]
分かりました。

ここまでは理解しました。

次の解説にm^2-m＋1≦n≦m^2＋m
となっているのですが、これはどういうことなのでしょうか？
No.7577 - 2012/10/29(Mon) 22:10:17
☆ Re: 群数列 / londontraffic [教育関係者]
m-(1/2)<√n<m+(1/2)
ですが，m-(1/2)，√n，m+(1/2)はすべて正なので，これらを平方しても大小関係は変わりません．

つまり，
(m-(1/2))^2<(√n)^2<(m+(1/2))^2
が成り立ち，実際に平方すると
m^2-m+(1/4)<n<m^2+m+(1/4)
ここで， m,nともに整数ですから，
m^2-m＋1≦n≦m^2＋m
が成り立ちます．
No.7580 - 2012/10/30(Tue) 04:42:15
☆ Re: 群数列 / meza ♂ [関東] [浪人生]
左辺が＋1になってるのはnが自然数だからですか？
No.7583 - 2012/10/30(Tue) 13:43:33
☆ Re: 群数列 / londontraffic [教育関係者]
はい，そうですよ．
No.7584 - 2012/10/30(Tue) 17:38:54
☆ Re: 群数列 / meza ♂ [関東] [高校１年生]
解くことが出来ました！

ありがとうございました。
No.7585 - 2012/10/30(Tue) 21:53:50
★ 行列 / マチ ♂ [近畿] [高校3年生]
行列の問題です。
出典：システム数学?V・C

以下に問題と私の回答を画像で示します。

下のような方法で解こうとしたのですが、そこから先へ進めません。
そもそも変数3つ(x,a,b)に対して方程式を2つしか立てることができていないため、求まるはずがありません。
根本的に解き方が間違っているのだと思います。

よろしくお願いします。
No.7559 - 2012/10/28(Sun) 21:26:56
☆ Re: 行列 / IT ♂ [中国] [社会人]
こんばんはITです。いっしょに考えていきましょう。

(x,2x+3)が(x,x+1)に移されるとは限りません。
No.7560 - 2012/10/28(Sun) 22:43:21
☆ Re: 行列 / マチ ♂ [近畿] [高校3年生]
なるほど少し考え方が変わりました。
しかし答えは合っていませんでした。
No.7561 - 2012/10/29(Mon) 01:30:16
☆ Re: 行列 / IT ♂ [中国] [社会人]
>しかし答えは合っていませんでした

少し難しく考えすぎておられるようです、元の考え方で(x,2x+3)が(X,X+1)に移されると考えて?@、?Aを書き直し、２つの式からXを消去するとどうなりますか？

その式が任意の実数xについて成り立つということだと思います。
任意の実数xについてCx+D＝0　⇔　C＝０…?BかつD＝０…?C
このa,bに関する連立方程式?B?Cを解く（C、Dはa,bの式です）

（Xは紛らわしくない文字が良いかも）

ちなみに正解はいくらですか？　a=　、ｂ=
No.7563 - 2012/10/29(Mon) 07:39:19
☆ Re: 行列 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
なるほど！わかりましたこういうことですね。
a,b共に値が正解と一致しました。
No.7571 - 2012/10/29(Mon) 18:27:54
☆ Re: 行列 / IT ♂ [中国] [社会人]
そうですね。お疲れさまでした。
No.7575 - 2012/10/29(Mon) 18:54:21
☆ Re: 行列 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
解決しました。ありがとうございました。
No.7578 - 2012/10/29(Mon) 22:14:22
★ 群数列 / yoshiki ♂ [関東] [浪人生]
はじめまして、質問の回答をおねがいします。

河合出版　理系数学の良問プラチカ?TA?UB
の問題106の群数列について質問させて頂きます。

最初から分からないので回答お願いします。
No.7549 - 2012/10/28(Sun) 15:09:10
☆ Re: 群数列 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
初めまして．
yoshikiさん，初めまして．早速，本題に入りましょう．

最初から分からないということですので，以下の順に解決していきましょう．

(A-1)
[具体的に書いてみる]
組は
(1,1),(2,1),(1,2),(3,1),(2,2),(1,3),([ア]),([イ]),([ウ]),([エ]),([オ]),…
と続きますが，[ア]〜[オ]を埋めて下さい．

(A-2)
[規則性を発見する]
最初の組は(1,1)でその和は1+1=2です．2番目の組では2+1=3です．このように，(0-1)にある11個の組について順番に和を並べて下さい．この際，気づいたことも述べて下さい．

(A-3)
[規則性の確認]
一般に和がk(kは自然数)となるような2つの自然数の組はいくつありますか．この結果は(0-2)で得た結果と合っていますか．
No.7550 - 2012/10/28(Sun) 15:34:44
☆ Re: 群数列 / yoshiki ♂ [関東] [浪人生]
回答ありがとうございます。

(A-1)
> [具体的に書いてみる]
> 組は
> (1,1),(2,1),(1,2),(3,1),(2,2),(1,3),(4.1),(3.2),(2.3),(1.4),(5.1),…
> と続きますが，[ア]〜[オ]を埋めて下さい．
> (A-2)
> [規則性を発見する]
> 最初の組は(1,1)でその和は1+1=2です．2番目の組では2+1=3です．このように，(0-1)にある11個の組について順番に和を並べて下さい．この際，気づいたことも述べて下さい．
2.3.3.4.4.4.5.5.5.5です。
2が1個3が2個4が3個と増えていっています。


> (A-3)
> [規則性の確認]
> 一般に和がk(kは自然数)となるような2つの自然数の組はいくつありますか．この結果は(0-2)で得た結果と合っていますか．

分からないです。
No.7551 - 2012/10/28(Sun) 16:04:09
☆ Re: 群数列 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
(A-1),(A-2)ともそれで正解です(もっとも(A-2)の最後の6が抜けていますが)．
数列のルールは理解できているようです．また，規則性もokです．

(A-3)が分からないのですね．同じ和を持つ自然数の組が幾つあるかということですが，

和が2の自然数の組と言えば(p,q)=(1,1)しかあり得ません．他の組を探してみましょう．
p=2とすると，p+q=2であるためには，q=0でなければならず，これはもはや自然数ではありません．さらにp=3とするならば，q=-1となってしまいます．
このように，自然数p,qがp+q=kを満たすとき，p≦k-1かつq≦k-1でなければならないのです．こう考えると，k=2の場合は，p≦1かつq≦1なのだから(p,q)=(1,1)しかありませんね．
そして，もう1つ重要なことはpが決まればqがただ1通りに決まるという点です．
しかも，q=k-pであり，k,pが自然数よりその差qは整数であり，さらに1≦p≦k-1なので，1≦q≦k-1となり，qが自然数であることが保証されます．
これが意味するところは，1≦p≦k-1であれば，(p,q)=(p,k-p)は自動的に解である，逆に言えば，1≦p≦k-1を満たす自然数pと同じ数だけ解があるということです．
若干，難し目になったかもしれませんが，実際に具体例を考えてみると一目瞭然です．
k=10の場合を考えてみましょう．
p=1に対してq=9；適
p=2に対してq=8；適
p=3に対してq=7；適
p=4に対してq=6；適
p=5に対してq=5；適
p=6に対してq=4；適
p=7に対してq=3；適
p=8に対してq=2；適
p=9に対してq=1；適
p=10に対してq=0；不適
p=11に対してq=-1;不適
…
確かに，1≦p≦9の場合，その時のqも必ず自然数になっており，解は9組です．


では，ここで(A-3)をもう一度考えてみて下さい．
No.7552 - 2012/10/28(Sun) 16:32:06
☆ Re: 群数列 / yoshiki ♂ [関東] [浪人生]
k-1組だと思うんですが、合っていますか？
No.7553 - 2012/10/28(Sun) 16:39:03
☆ Re: 群数列 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
>k-1組だと思うんですが、合っていますか？
はい，その通りですよ．

では，今，この数列はルール(A)により和が小さい方から並べられています．
これは(A-2)で答えていただいたとおりで，和が2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,6,…と並びます．
確かに，和が2となる自然数の組は1つ，3となる組は2つ，4となる組は3つ，5となる組みは4つとなっているのがわかります．同様に，和がkとなる組はk-1個あることになります．

次の問題までが，本題に入る前の準備になります．が，この準備の過程こそがこの問題に限らず群数列の問題を解く時に重要な考え方になるので，重点を置きます．逆に，この準備が済めば，本題は簡単に解決します．

(B-1)
和が2となる組は第1項〜第1項です．和が3となる組は第2項〜第3項です．和が4となる組は第4項〜第6項です．(A-2)で見つけたように和が同じグループに属する組の数には規則性があったので，同じ和を持つグループに分けると良さそうです(群数列)．
和がkとなる組は第L(k)項〜第U(k)項に存在することになりますが，このL(k)(とU(k))を求めるのが重要となります．まずは，L(k)から求めたいと思います．L(2)=1,L(3)=2,L(4)=4です．L(5),L(6),L(7)を求めて下さい，また，どうすればL(k)が求まるでしょうか(言葉での説明でも構いません)．

(B-2；補)
U(k)はL(k)とkを用いてどのように表されるでしょうか．
No.7554 - 2012/10/28(Sun) 16:54:36
☆ Re: 群数列 / yoshiki ♂ [関東] [浪人生]
L（5）=7、L（6）=11、L（7）=16

L（k）=1/2（k-1）（k-2）+1です。

u（k）=L（k）+（k-2）だと思います。
No.7555 - 2012/10/28(Sun) 17:35:42
☆ Re: 群数列 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
素晴らしい！全て正解ですよ．

ここまで来れば，あとはこの問題に適用してやるだけです．もう一息です，頑張りましょうo(^▽^)o

本題の(1)ですが，組(m,n)というのはそもそも
(1-1)和が幾らのグループに属するでしょうか，
(1-2)そのグループに含まれる組を最初から順に全て並べて下さい．ただし，最初の3組と最後の3組の間は…で構いません．
(1-3)そのグループに含まれる組において(m,n)は何番目に来るでしょうか，
(1-4)そのグループは数列の第何項から始まるでしょうか，
(1-5)(1-3)と(1-4)を考え合わせると，結局(m,n)は第何項に来るでしょうか．

もし分からないときは，例えば(5,3)について同じことをやってみるなりして下さい．大体において具体例から一般の場合に進むのがわかりやすい方法です．

本題の(2)
まずはノーヒントでやってみて下さい．
No.7556 - 2012/10/28(Sun) 17:48:51
☆ Re: 群数列 / yoshiki ♂ [関東] [浪人生]
ありがとうございます！

解くことが出来ました。

物凄くわかりやすい説明でした！

また、機会がありましたらお願いします。
No.7557 - 2012/10/28(Sun) 20:35:42
☆ Re: 群数列 / 朱雀 ♂ [近畿] [大学生]
お力になれて幸いです．
今後も勉学に励んでくださいね．
No.7558 - 2012/10/28(Sun) 21:13:19
★ 数学I / 三浦綾美 ♀ [関東] [高校１年生]
はじめまして。数学Iの分からないところを教えて下さい。
0°以上180°以下の時、次の等式を満たすθを求めよ。
(1)sinθ=1/√2
☆この問題は学校のプリントです。
この図の書き方と、180°からどこの角度をひいたら求まるのか教えて下さい。
よろしくお願いします。
No.7544 - 2012/10/26(Fri) 19:19:04
☆ Re: 数学I / londontraffic [教育関係者]
三浦綾美さん，はじめまして．

半径１の半円で，sinの値はy座標と一致するので，直線y=1/√2との交点（私が作った下の図でいえばPとQ）から原点に下ろした線とx軸正の部分とのなす角がθの値となります．

いかがですか？
No.7548 - 2012/10/27(Sat) 19:14:36
★ (No Subject) / ナーマル ♂ [北海道] [浪人生]
こんにちは。
入試数学の思考法という参考書の８６ページについてです。
３行目のa1=4,b1=1(画像の黒線の所です)をどうやって導いているのかがわかりません。
よろしくお願いします。

画像投稿が上手くいかなくて他の方のようにクリックして拡大ができていないようだったので仕方なくリンクを張りました。

http://blogs.yahoo.co.jp/win_reysol/40181850.html

よろしくお願いします。
No.7530 - 2012/10/25(Thu) 12:56:30
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
ナーマルさん，こんばんは．
早速ですがこれ，導いていないですね．

与えられている積分漸化式がn=2からスタートしているので（f_0(x)が定義されず，f_1(x)=4x^2+1から定義されているから），自分（解答を作った人）が定義しているのです．
以下を読み進めていけば，n=1からの漸化式に持ち込んで処理しているのが分かると思います．

いかがですか？
No.7535 - 2012/10/25(Thu) 18:03:01
☆ Re: / ナーマル ♂ [北海道] [浪人生]
と言いますと、７行目・８行目にあるan＋1=2anとbn＋1=an＋3bnの漸化式を解きやすくすることを見据えてa1=4、b1=1を定義しているということですか？

理解力が乏しく申し訳ありません。
No.7536 - 2012/10/25(Thu) 22:26:22
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
そうですね．漸化式をn=1からスタートして解くために，工夫しています．

>理解力が乏しく申し訳ありません。
そんなことありませんよ．自信を持って，継続的に努力していきましょう！
No.7537 - 2012/10/25(Thu) 22:32:31
☆ Re: / ナーマル ♂ [北海道] [浪人生]
納得できました。

本当にありがとうございました。
No.7540 - 2012/10/26(Fri) 08:55:27
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
問題を添付します。出展　城西大学過去問
お願いします。
No.7531 - 2012/10/25(Thu) 13:20:48
☆ Re: / minamino [高校１年生]
途中まで考えた答案を添付します。答えでは、a=1だけなのですが、どこが間違っているのでしょうか。教えてください。
No.7532 - 2012/10/25(Thu) 13:22:24
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
minaminoさん、農場長です。

?@´の式で、切片をまとめる所が間違えていますよ。
（ものすご〜く惜しいミスです）
計算をじっくりやり直してみてください。
No.7533 - 2012/10/25(Thu) 13:49:12
☆ Re: / minamino [高校１年生]
直してみました。これでいいでしょうか。
No.7534 - 2012/10/25(Thu) 14:43:37
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
そうですね。a^3=1　つまり　a^3-1=0を解くと、実数解はa=1だけですね。
No.7538 - 2012/10/26(Fri) 08:02:53
☆ Re: / minamino [高校１年生]
有難うございました。
No.7539 - 2012/10/26(Fri) 08:45:54
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
お願いします。
ある確率の問題の途中式なのですが、解答には、途中式もなく、すぐ答えが出ているののですが、簡単に計算する方法などあるのでしょうか。
No.7523 - 2012/10/23(Tue) 06:05:14
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> お願いします。
> ある確率の問題の途中式なのですが、解答には、途中式もなく、すぐ答えが出ているののですが、簡単に計算する方法などあるのでしょうか。

こんばんはITです。地道に計算するのが確実だと思います。

特に工夫することがない単純計算なので「解答には途中式がない」のだと思います。
具体的な数式にするとどうなりますか？どんどん約分していけばそんなに面倒ではないと思いますよ。
No.7525 - 2012/10/23(Tue) 22:14:55
☆ Re: / minamino [高校１年生]
自分なりに工夫して計算してまみした。もう少しこうした方がいいところなどあれば、教えてください。お願いします。
No.7526 - 2012/10/24(Wed) 15:37:53
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
良いと思います。

強いていえば、後のＮ＝の右辺は、４段にせずに、２段にした方が良いかも知れません。
No.7527 - 2012/10/24(Wed) 18:55:49
☆ Re: / minamino [高校１年生]
最後まで丁寧にいただきありがとうございました。
No.7528 - 2012/10/25(Thu) 02:23:00
★ (No Subject) / ykyk ♀ [高校3年生]

f(x)=cosx(3cosx＋sin^2x)の最大値

この問題の解答解説をお願いします!!
No.7522 - 2012/10/22(Mon) 21:20:20
☆ Re: / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
ykykさん、こん○○は。農場長と言います。一緒に考えましょう。

まず、右辺を展開しましょう。
そのとき、cosｘで揃えると、どうなりますか？
No.7524 - 2012/10/23(Tue) 09:35:11
★ グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校3年生]
はじめまして。マチと申します。
さっそくなのですが、問題と私の回答(未完成)を示します。
(出典：2013年入試必修問題集)


結果、おかしなグラフが出来上がりました(赤い矢印で示した部分がおかしい)
解けていない方程式があるので、それが原因かと考えています。

よろしくお願いします。
No.7491 - 2012/10/18(Thu) 20:12:10
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
こんばんは、ITです。いっしょに考えて見ましょう。

一次導関数ｆ’の計算の最初も２つめもまちがっている（転記ミス？）のでは？　もういちど検算してみてください。
二次導関数も計算がまちがっているようです。１ステップずつ書いてみて下さい。

x^3/(x^2-1) = x + x/(x^2-1) として微分したほうが計算が少し簡単かも知れません。
またxの絶対値が大きいところでは、ｙ＝xに漸近することが分かります。　
No.7492 - 2012/10/18(Thu) 21:03:09
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
返信ありがとうございます。
本当ですね。計算ミスしていました。
直したらまともな式とグラフになりました。
また、f(x)を変換してから計算した方が確かに楽でしたね。ありがとうございます。

そういえば漸近線のことを忘れていました。
y=xの漸近線を求めようとしましたが、私はlimが非常に苦手で、求められませんでした。
計算過程を画像で示します。
No.7493 - 2012/10/18(Thu) 22:22:57
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
(x^3)/(x^2-1)は
１、−１に近づくとき　右から近づくか、左から近づくかによって
分母(x^2-1)の正負が異なるので、分ける必要があると思います。

lim f(x)-x の２つめ以降の計算が違っています。

ｙ＝ｘ＋　ｘ/(x^2-1)　で　　limｘ/(x^2-1)　＝　lim１/(x-1/x)→ 0　（ｘ→±∞）
かつ　x＞１のときｘ/(x^2-1)　＞　０、Ｘ＜−１のときｘ/(x^2-1)　＜　０　なので
y　＝　ｘ　は　漸近線になりますね。

それと原点に関して対称も示したほうが良いでしょう。
No.7494 - 2012/10/18(Thu) 22:40:43
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
このように回答すれば良いということでしょうか？
No.7495 - 2012/10/18(Thu) 23:44:43
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
良いと思います。

limf(x)/x　＝　１　は示さなくても、いきなり　lim f(x)-x　＝　0　を示しても良いと思います。

右側極限　ｘ→1+0　左側極限　ｘ→1-0　などの表記は習っておられませんか？習っておられたら　簡潔に表記できます。
No.7496 - 2012/10/19(Fri) 00:13:37
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
>>x→1-0
ありがとうございます。
たしかこれを表す表記があったなとは思ったのですが思い出せませんでした。

無事回答を完成させることができました。

さて、これは興味本位での質問なのですが、解けなかったと私が言っていた方程式（一番最初の画像参照）6x+(x^2-3)(x^2-1)=0
これはどうすれば解くことができるのでしょうか？
そもそも、解は存在するのでしょうか？
No.7497 - 2012/10/19(Fri) 00:25:55
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
>>それと原点に関して対称も示したほうが良いでしょう。

私には解法の方針が全く立ちませんでした。
過去に概形をかく問題でそれを示した記憶もありませんし…。
No.7498 - 2012/10/19(Fri) 00:31:54
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
> >>それと原点に関して対称も示したほうが良いでしょう。
>
> 私には解法の方針が全く立ちませんでした。
原点に関して対称（すべてのx∈定義域でf(-x)=-f(x)）を示す
f(-x)=((-x)^3)/((-x)^2-1)=(-(x)^3)/((x)^2-1)=-f(x)

>過去に概形をかく問題でそれを示した記憶もありませんし…。
問題に指定してないので必須ではないかも知れませんが
このグラフについて「原点に関して対称」であることはかなり重要な特徴だと思います。
No.7500 - 2012/10/19(Fri) 07:37:43
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
>無事回答を完成させることができました。
それは良かったです。念のためグラフをUPしてください。

> さて、これは興味本位での質問なのですが、解けなかったと私が言っていた方程式（一番最初の画像参照）6x+(x^2-3)(x^2-1)=0
> これはどうすれば解くことができるのでしょうか？
> そもそも、解は存在するのでしょうか？

１ 代数学の基本定理
「ｎ次の代数方程式は複素数の範囲で解（実数とは限らない）を持つ」
２　「４次以下の代数方程式は一般的な解の公式がある（５次以上ではない）」
ですが、いずれも高校数学の範囲外です。

３　6x+(x^2-3)(x^2-1)=0　が　実数解を持つことは、適当な２つのｘでの値を調べれば
それぞれf(X)=正、負となるので示せます。
y=6x と y=(x^2-3)(x^2-1)のグラフを描いても概要は調べられます。興味があればやってみて下さい。
No.7501 - 2012/10/19(Fri) 07:52:08
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
>>6x+(x^2-3)(x^2-1)=0　が　実数解を持つことは、適当な２つのｘでの値を調べれば
>>それぞれf(X)=正、負となるので示せます。
>>y=6x と y=(x^2-3)(x^2-1)のグラフを描いても概要は調べられます。興味があればやっ>>てみて下さい。

はい。私も先ほどそれに気づきました。
6x+(x^2-3)<x^2-1)=0
(x^2-3)<x^2-1)=-6x
この解は
y=(x^2-3)<x^2-1)
y=-6x
の2つのグラフの交点のx座標であると言えるので、図?@からも解が存在することがわかりますね。

それはそうと、4次方程式の解の求め方について調べてみました。

/*以下引用
４次方程式 Ｘ4＋ａＸ3＋ｂＸ2＋ｃＸ＋ｄ＝０　において、Ｘ に Ｘ−ａ/4 を代入することにより、Ｘ3 の項を消滅させることができるので、はじめから、４次方程式は、
　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ4＋ｐＸ2＋ｑＸ＋ｒ＝０
の形としてよい。このとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　ｑ2−４（２λ−ｐ)(λ2−ｒ）＝０

を、４次方程式の分解方程式という。

　もし、このような解λがあれば、

　　　　　　　　　　　　　（Ｘ2＋λ）2＝Ｘ4＋２λＸ2＋λ2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝（２λ−ｐ）Ｘ2−ｑＸ＋λ2−ｒ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝(ｍＸ＋ｎ）2

となる ｍ，ｎ が存在し、４次方程式の問題は、２つの２次方程式　
Ｘ2＋λ＝±(ｍＸ＋ｎ）
の問題に帰着される
*/以上引用

とのことでした。
さっそくこの方針で解こうとしましたが、今度は3次方程式が解けないというこの不始末…。（図?A）
因数の1つを求めて(x-因数)で3次式をくくろうとしたのですが、因数が見つかりません…。
地道に1つずつ試して見つけるしかないのでしょうか？


完成したグラフは図?Bで示しました。
No.7509 - 2012/10/20(Sat) 00:23:04
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
グラフがまちがっていたので修正しました。
No.7510 - 2012/10/20(Sat) 00:30:28
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
> グラフがまちがっていたので修正しました。
・y軸との交点（0,4)は間違いでは？　計算を確かめて下さい。

・xの絶対値が大きいところで曲線の傾きの絶対値がどんどん大きくなるので、x＜０でy=(x^2-3)(x^2-1)とy=-6xが２度交わります。
もう少し表示範囲を広げてそれを表した方が良いと思います
No.7511 - 2012/10/20(Sat) 06:56:35
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
> それはそうと、4次方程式の解の求め方について調べてみました。
４次方程式の解を求める問題が誘導なしで大学入試に出ることはないと思います。
高校数学の範囲外なので、ここではこれ以上深入りしませんが、ひとつだけ気になったのでお知らせします。
> さっそくこの方針で解こうとしましたが、今度は3次方程式が解けないというこの不始末…。（図?A）
> 因数の1つを求めて(x-因数)で3次式をくくろうとしたのですが、因数が見つかりません…。
> 地道に1つずつ試して見つけるしかないのでしょうか？
有理数解があるとは限りませんので、この方法で解が見つかるとは限りません。
（３次方程式の解を求める問題は、誘導つきで大学入試に出ていることもあるようですがこれ以上深入りしません。）
>
> 完成したグラフは図?Bで示しました。
良いと思います。
No.7520 - 2012/10/21(Sun) 08:38:45
☆ Re: グラフの概形をかく問題 / マチ ♂ [近畿] [高校１年生]
グラフは、解があるかどうかが知りたかっただけなので、細かい所は気にしません。
入試を意識しているわけではなく、興味本意で質問しました。
3次方程式には解の公式があると聞いており、調べてみました。
最初見た時、置き換えられた文字ばかりで結局どうすればいいのかわかりませんでしたが、下記サイトと2日間程にらめっこして把握し、そしてその理論にも納得しました。
http://hooktail.sub.jp/algebra/CubicEquation/
あとはこの公式に実際の数をあてはめて3次方程式を解くとλが求まるので、そこから2つの2次方程式に帰着させれば解けますね。
3次方程式の解の公式を使えば求まるとは言っても、こんな式、計算する気が起こりません…。

目的は達しましたし4次方程式の解の求め方もわかったので、これで解決とさせて頂きます。
ご教授ありがとうございました。
No.7521 - 2012/10/22(Mon) 21:10:34
★ (No Subject) / minamino [高校１年生]
この説明がさっぱりわかりません。証明しようとしているものを、赤字であるように、常に等しいとは限らいないとは、？？？です。どうか、ご指導ください。
No.7487 - 2012/10/17(Wed) 14:51:38
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ でごじゃりましゅ．

まず，minamino さん，
出典を書いているのは立派なのですが，
本文を引用している以上，何ページかも書いてくださいね．
探すのにちょっと手間取りました．

では，いきましょう．

minamino さんは，
「例えば，ｆ(ｘ)＝ｘ^3 とすると．」…(＊)
から書き始めていますが，
この話は，その５行前から始まっています．
(＊) の直前にある

・｛ｆ(ａｘ＋ｂ)｝' は ｆ(ａｘ＋ｂ) を ｘ で微分した ……
・ｆ'(ａｘ＋ｂ) は ｆ(ｘ) を ｘ で微分した ……

の意味はわかっていますか？
No.7489 - 2012/10/18(Thu) 18:05:03
☆ Re: / minamino [高校１年生]
探すのに時間をかけてしまい、すみません。
・｛ｆ(ａｘ＋ｂ)｝' は ｆ(ａｘ＋ｂ) を ｘ で微分した ……
・ｆ'(ａｘ＋ｂ) は ｆ(ｘ) を ｘ で微分した ……

の意味はわかっていますか？
理解しているつもりです。
No.7499 - 2012/10/19(Fri) 06:51:57
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
おはようごじゃりましゅ．

続けます．

> 理解しているつもりです。

では，ｆ(ｘ)＝ｘ^3 のとき，｛ｆ(２ｘ＋１)｝' と ｆ'(２ｘ＋１) はどうなりますか？
計算した結果を書き込んでください．
No.7502 - 2012/10/19(Fri) 07:58:14
☆ Re: / minamino [高校１年生]
おねがいします。
計算した結果を書き込みました
No.7505 - 2012/10/19(Fri) 13:09:18
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
う〜ん

>ｆ(ｘ)＝ｘ^3 ，ｆ(２ｘ＋１)＝(２ｘ＋１)^3 で｛(２ｘ＋１)^3｝' となる
これでは，「微分法・積分法の基礎」に書かれてあるままです．
｛(２ｘ＋１)^3｝' って，どうなりますか？
No.7506 - 2012/10/19(Fri) 14:28:46
☆ Re: / minamino [高校１年生]
｛(２ｘ＋１)^3｝' を計算してみました。
よろしくお願いします。
No.7517 - 2012/10/20(Sat) 12:37:23
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
はい，ということは，
｛ｆ(２ｘ＋１)｝' と ｆ'(２ｘ＋１) ，すなわち
｛ｆ(ａｘ＋ｂ)｝' と ｆ'(ａｘ＋ｂ) は等しくありませんね？
このことを「微分法・積分法の基礎」は言っているわけです．

ところで今朝気がつきましたが，minamino さんの最初の書き込みの赤字のところは，
「微分法・積分法の基礎」の記述とは違っていますね．（係数 ａ のことです）
No.7518 - 2012/10/20(Sat) 12:46:06
☆ Re: / minamino [高校１年生]
ありがとうございました。ずっと、頭の中でｆ'(ａｘ＋ｂ)にａをつけたまま読んでました勿論、納得です。すみませんでした。
No.7519 - 2012/10/20(Sat) 13:41:15
★ 定数関数について / nru ♂ [九州] [大学生]
関数について教えて下さい。

私が理解している関数の定義は、
「あるxに対して、ただ1つの値yが対応するような関係があるとき、
この関係を関数と言い、一般的に、y=f(x)と表す。yはxの関数であると言う。」
つまり、関数における重要な性質は、あるxを決めるとただ一つの値yが対応する
一意性である。

インターネット上では関数とは、一つの変数に対して一つの値が決まる式。
とも記載されていました。

定数関数y=1は、関数なんでしょうか？
私が理解している関数の定義からすると、定数関数は厳密には関数と言えないと
考えています。

以上、ご回答よろしくお願い致します。
No.7508 - 2012/10/19(Fri) 21:20:27
☆ Re: 定数関数について / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
おはようございます，ＣＯＲＮＯ です．

定数関数 ｙ＝１ について，
　　ｘ＝１ と決めると，ただ１つの値 ｙ＝１ が対応します
　　ｘ＝２ と決めると，ただ１つの値 ｙ＝１ が対応します
　　ｘ＝３ と決めると，ただ１つの値 ｙ＝１ が対応します
　　　　…………………………………………………………
一意性は保たれていますから，定数関数 ｙ＝１ は関数です．

どうでしょう．
No.7512 - 2012/10/20(Sat) 07:49:03
☆ Re: 定数関数について / nru ♂ [九州] [大学生]
ご回答ありがとうございます。

なるほど。
y=1に変数xが入っていなかったので、関数とは言えないと考えていました。
グラフを書くと確かにそうですね。

定数関数y=1は一価関数として扱われるのでしょうか？

また、y-1=0は方程式と言って問題ないと考えますが、
y=1も方程式と言って良いものでしょうか？

以上、申し訳ないのですがご回答よろしくお願い致します。
No.7513 - 2012/10/20(Sat) 11:30:05
☆ Re: 定数関数について / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
>定数関数y=1は一価関数として扱われるのでしょうか？
そう思います．

>また、y-1=0は方程式と言って問題ないと考えますが、
>y=1も方程式と言って良いものでしょうか？
方程式と言ってかまいません．
ただし，あくまでも関数の方程式です．
ｘ^2−３ｘ＋２＝０ のような ｘ についての２次方程式とは区別すべきでしょう．
No.7514 - 2012/10/20(Sat) 11:40:32
☆ Re: 定数関数について / nru ♂ [九州] [高校１年生]
さっそくのご回答ありがとうございます。

なるほど。理解できました。
定数関数は一価関数として扱われるのですね。
勉強になります。

＞方程式と言ってかまいません．
＞ただし，あくまでも関数の方程式です．
＞ｘ^2−３ｘ＋２＝０ のような ｘ についての２次方程式とは区別すべきでしょう．
関数の方程式とはなんでしょうか？
私が理解している方程式は大別すると、代数方程式と関数方程式に別けられると認識
しております。

関数の方程式とはどのようなものなのでしょうか？
関数方程式は微分方程式ですから違いますよね？

申し訳ありませんが、ご回答よろしくお願い致します。
No.7515 - 2012/10/20(Sat) 12:00:35
☆ Re: 定数関数について / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
ここは「高校数学質問掲示板」ですから，私は高校数学レベルで回答しています．
定数関数の話や関数の方程式程度の話は，教科書に書かれている程度の話をしただけです．

どうも，nru さんの意図が見えません．
高校数学の理解のために回答していますので，大学レベルでの回答を要求するのであれば，
それ用の掲示板か，在籍する大学の先生に聞いた方がよいでしょう．
No.7516 - 2012/10/20(Sat) 12:24:49
★ 難しい問題 / Milkyway ♀ [関東] [大学生]
大学一年生の者です。文系です。
何故かレポートの解答がペケでした。
どのように訂正すればいいのか分かりません。
どうか分かり易くお教え下さい。
No.7503 - 2012/10/19(Fri) 09:36:26
☆ Re: 難しい問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
ここは「高校数学質問掲示板」です。他の掲示板で質問されると良いと思います。
No.7507 - 2012/10/19(Fri) 18:15:04
★ 難しい問題 / Milkyway ♀ [関東] [高校１年生]
続きです。
No.7504 - 2012/10/19(Fri) 09:37:31
★ (No Subject) / flower ♀ [九州] [高校3年生]
不定積分の問題で、t^2e^-t^2を積分したいのですが、やりかたがわかりません。
e^-tだったら解けるのですが、-t^2をどう扱えばいいか困っています。


よろしくお願いします。
No.7488 - 2012/10/17(Wed) 21:13:17
★ Re: / minamino [高校2年生]
宜しくお願いします。出展、学校テスト
No.7453 - 2012/10/09(Tue) 13:58:24
☆ Re: / minamino [高校１年生]
自分で途中まで考えた答案です。
No.7454 - 2012/10/09(Tue) 14:00:07
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
minamino さん。こんばんはＩＴです。
もう一息です。ベクトルａとｂが平行のとき　どういう式で表されますか？
「ｃ−4ｄとａが平行である」は、どういう式で表されますか？
No.7456 - 2012/10/10(Wed) 00:17:17
☆ Re: / minamino [高校１年生]
考えてみましたが、
No.7457 - 2012/10/10(Wed) 15:13:30
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 考えてみましたが、
一般にはａ≠0、ｂ≠０、ｋ≠０です。
この問題ではａ≠0、ｂ≠０なので良いですね。
後のほうは、ｂのところを（ｃ-4d）に置き換えるだけです。どうなりますか？
No.7458 - 2012/10/10(Wed) 18:32:08
☆ Re: / minamino [高校１年生]
置き換えてみました。
No.7459 - 2012/10/11(Thu) 13:27:37
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
良いですね。
ａ≠0、ｂ≠０なので　a//ｂ　がいえましたね。

別の考え方を紹介しておきます。私は最初この方法を考えました。
ｃとｄはどんな関係があるか調べます。
実は「ｃとｄは平行」か「cまたはｄのどちらか一方のみ＝0」です。
ですから、ベクトルsc+td≠０とuc+vd≠０(s,t,u,vは実数）は平行です。
（略解）
c-4d//ａ ＝ c-3d　より
c-4d ＝ k(c-3d)　（k≠０）なる実数kが存在する。
移項して整理すると
(1-k)c ＝ (4-3k)d

1-k ＝ 0 のときd＝0
　a ＝ c,　b ＝ -(1/2)c、 よってa//ｂ

1-k ≠ 0 のとき　c ＝ ((4-3k)/(1-k))d
　a ＝ sｄ,　b ＝ tｄ、 よってa//ｂ　※s,t　にはｋの式が入ります。　　
No.7460 - 2012/10/11(Thu) 18:20:35
☆ Re: / minamino [高校１年生]
お願いします。
解説に
「ｃとｄはどんな関係があるか調べます。
実は「ｃとｄは平行」か「cまたはｄのどちらか一方のみ＝0」です。」
とありますが、どのように調べたらいいのでしょうか。
No.7462 - 2012/10/12(Fri) 10:16:27
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
（略解）として書いています。分からない点があれば聞いてください。
No.7463 - 2012/10/12(Fri) 21:21:07
☆ Re: / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。
No.7464 - 2012/10/13(Sat) 13:26:45
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> c-4d//ａ ＝ c-3d
> ・・・　c-3d がいきなり出てくる　・・・・　
　問題をもう一度読んでみてください。"ａ ＝ c-3d "がいきなり出ています。
No.7465 - 2012/10/13(Sat) 14:30:30
☆ Re: / minamino [高校１年生]
すみません、、問題にａ ＝ c-3dは条件であたえられてました。今、考え中ですので明日返信いたします。
No.7467 - 2012/10/14(Sun) 15:22:19
☆ Re: / minamino [高校１年生]
お願いします。
「cまたはｄのどちらか一方のみ＝0」ですとありますが、
ｄが０は、わかるのですが、ｃはどこから出てくるのですか？
No.7468 - 2012/10/15(Mon) 16:00:05
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
(1-k)≠0のとき　　c ＝ ｛(4-3k)／(1-k)｝d
　　(4-3k)＝０　ならば　ｃ＝　0
　　(4-3k)≠０　ならば　ｃ//ｄ　※

※c-4d≠０　なので　「ｃ＝０　かつ　ｄ＝０」ではない　ことに注意。
No.7469 - 2012/10/15(Mon) 18:57:28
☆ Re: / minamino [高校１年生]
最後に、自分で出した答えですが、分子が０になる場合について考える必要はないのでしょか？分子がk=2 で０になるケースです。
No.7477 - 2012/10/16(Tue) 04:51:33
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 最後に、自分で出した答えですが、分子が０になる場合について考える必要はないのでしょか？分子がk=2 で０になるケースです。

前にも書いたように　ａ≠0、ｂ≠０なので　ｏｋです。

ベクトルの平行条件　ａ≠0、ｂ≠０のとき
ａ//ｂ　⇔　ｂ＝ｋａとなる実数ｋがある。（このとき　ｋ≠0でもあります）
No.7480 - 2012/10/16(Tue) 18:18:14
☆ Re: / minamino [高校１年生]
最後までありがとうございました　
No.7485 - 2012/10/17(Wed) 03:46:34
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
お疲れでした。
No.7486 - 2012/10/17(Wed) 06:51:09
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