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リュケイオン 「高校数学質問掲示板」





新矢（運営者）より
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★ 絶対値付最大最小問題 / めくせす ♂ [中国] [高校3年生]
こんばんは

[ ] というのは絶対値記号だとお考えください。

(問)f(x)=[x+2]+[x-3]+[x-a] とする。
aを定数とするとき、関数y=f(x)の最小値mをaを用いて表せ。

そして、参考書の解答には、
a<-2のとき、m=3-a
-2≦a≦3のとき、m=5
3<aのとき、m=a+2
となっていました。

この場合、
a<-2のとき、m=3-a
-2≦a＜3のとき、m=5
3≦aのとき、m=a+2

としても、正解になるのでしょうか？
場合分けに自信がないので、解答をお願いします。

理由も教えてくださると助かります。
No.9574 - 2014/04/17(Thu) 00:11:34
☆ Re: 絶対値付最大最小問題 / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ と申します．

結論を言います．
どちらでもＯＫです．

>理由も教えてくださると助かります。
例えば，
>3<aのとき、m=a+2
で，ａ＝３ としてみると，ｍ＝ａ＋２＝５ です．
つまり，ａ＝３ のときは，
>-2≦a≦3のとき、m=5
のように，最初から ｍ＝５ としてもよいし，
>3≦aのとき、m=a+2
のように，ａ＝３ を代入して計算してもよいのです．
結果は同じですから．

どうでしょうか？
No.9575 - 2014/04/17(Thu) 21:01:40
★ ||x|-|y||≦|x-y|の証明 / ムーミン ♀ [北陸] [高校3年生]
x,yが実数の時に
||x|-|y||≦|x-y|
を証明したいのですが解き方を教えてください。
(自作問題)
No.9570 - 2014/04/13(Sun) 03:33:27
☆ Re: ||x|-|y||≦|x-y|の証明 / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
ムーミンさんおはようございます。ITです。いっしょに考えて見ましょう。

もっとうまい方法があるかもしれませんが、
絶対値の問題の場合は、まず地道に場合分けして考えるのが早道だと思います。
その後で同じようなパターンをまとめるなど工夫してみると良いと思います。
どういう場合に分けられるか書き込んでみてください。

なお図形的に考えると、数直線上に点A(|x|),点B(|y|),点C(x),点D(y)があるとき
点A(|x|)と点B(|y|)の距離≦点C(x)と点D(y)の距離　ということですよね。
※この見方を使うと、見通しよく分かりやすい場合分けができるかも知れませんね。
No.9571 - 2014/04/13(Sun) 09:00:41
☆ Re: ||x|-|y||≦|x-y|の証明 / ムーミン ♀ [北陸] [高校１年生]
なるほど。図形を使うのですね。ちょっと考えて見ます。
No.9572 - 2014/04/13(Sun) 10:20:56
★ (No Subject) / もも ♀ [関東] [高校１年生]
お世話になります

(3)の問題が解説を読んでもさっぱりわかりません
場合分けの部分は分かるのですが…
書き込んである疑問点を解説お願いしますm(__)m
No.9557 - 2014/04/10(Thu) 21:21:56
☆ Re: / もも ♀ [関東] [高校１年生]
解答その1
No.9558 - 2014/04/10(Thu) 21:22:32
☆ Re: / もも ♀ [関東] [高校１年生]
解答その2
No.9559 - 2014/04/10(Thu) 21:23:07
☆ Re: / もも ♀ [関東] [高校１年生]
すみません間違えました
解答その2はこれです
No.9560 - 2014/04/10(Thu) 21:24:50
☆ Re: / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
ももさん、こんばんはＩＴです。いっしょに考えて見ましょう。
たしかに「y=4とすると」は少し唐突な感じですね。

f(x)=(x-2)^2とおきます。（説明を簡単にするためです）
ｋがどんな正の値のときでも　0≦ｘ≦ｋにおけるf(x)の最大値はf(0)=4 以上　ですよね。
そこで、f(x)の最大値が4になる場合と4より大になる場合に分けて調べているのです。
いかがでしょうか？

※元の解答をもう少していねいに書くと
0≦ｘ≦ｋにおけるｙ=(x-2)^2の最大値を考える。
　x=0のときy=(0-2)^2=4 であり、y=(x-2)^2=4となるのはx-2=±2すなわちx=0,x=4のときである。
　y=(x-2)^2のグラフは、点(0,4),点(4,4)を通り、頂点(2,0)でｘ軸に接する、下に凸の放物線であり、
0≦ｘ≦ｋにおけるｙの最大値は、0＜k≦4のとき4、k＞4のとき(k-2)^2　である。
No.9561 - 2014/04/10(Thu) 21:57:48
☆ Re: / もも ♀ [関東] [高校１年生]
こんばんはー

確かに4ですね??(ﾟДﾟ)
目から鱗って感じです 笑

ありがとうございました!!
No.9565 - 2014/04/11(Fri) 21:27:15
★ 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校2年生]
添付した画像の通りです
解答がなぜかなくてわかりません
よろしくお願いします
No.9504 - 2014/03/30(Sun) 20:36:03
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
さよさん、初めまして！

この問題は、最初のvec{AF}=(1-s)･vec{AB}+(ｱ/ｲ)s･vec{AC}
がうまく表せるかどうかだと思います。

そこで、まずはvec{AF}をvec{AB}とvec{AE}の和で表してみるとどうなりますか？
No.9507 - 2014/03/31(Mon) 09:00:08
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校2年生]
えーと、1/4vecAB＋1/2vecACですか……？
すみません、AFをまずどう表すかからわかりませんでした……
No.9509 - 2014/03/31(Mon) 19:13:56
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
んー、違いますね。△ＡＢＥに着目して考えますよ〜

これは、この問題を解決するメインの考えですから、
「内分点の位置ベクトル」で調べてみてください。
その上で、改めてvec{AF}を表してみましょう。
No.9510 - 2014/04/01(Tue) 07:17:02
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校2年生]
vecAB＋1/3vecACですか？
FはvecBEの中点ですか？
すみません……
No.9511 - 2014/04/01(Tue) 20:52:19
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
さよさん、お疲れ様です。
間違いは誰でもあることなので、謝らなくてＯＫですよ。
問題は、どう考えれば良いのかに気付くことだと思います。
さて、本題。
これまでの話が難しく感じて、よくわからなかったら、
もう少し具体的な問題で考えてみましょうか。

点Ｏが上、点Ａが左、点Ｂが右にある△ＯＡＢをイメージしてみてください。
この△ＯＡＢで、辺ＡＢの中点をＣとする（AC:BC=1:1となる）とき、
vec{OC}をvec{OA}とvec{OB}の和で表すことを考えてみましょう。
vec{OC}=●･vec{OA}+■･vec{OB}の●と■には、どんな数が入ると思いますか？
今回は、さよさんの考えを書き入れてくださいね。
No.9514 - 2014/04/01(Tue) 23:12:43
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校2年生]
⚫︎と◼︎、両方とも1/2ですか？
No.9519 - 2014/04/02(Wed) 22:04:40
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
正解です！やりましたね（＾＾）
（ちなみに、どのように考えましたか？）

次は、同じ△ＯＡＢで辺ＡＢを２：１に内分する点をＣとして、
vec{OC}をvec{OA}とvec{OB}の和で表してみましょう。

vec{OC}=( ア )･vec{OA}＋( イ )･vec{OB}の(ア)と(イ)には、
どんな数が入りますか？
No.9523 - 2014/04/03(Thu) 07:50:36
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校2年生]
ア:1/3,イ:2/3だと思います！
最初の例と合わせて、添付した画像のように考えました
No.9524 - 2014/04/03(Thu) 22:33:51
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
順調です！しっかり出来ていますよ〜！！
これが、具体的な数（分数）から文字に変わっても、考えは同じです。

では、もともとの問題に戻ります。
△ABEで、辺BEをs:(1-s)に内分する点をFとします。
このとき、vec{AF}を、vec{AB}とvec{AE}の和で表してみましょう。
No.9525 - 2014/04/03(Thu) 22:52:33
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校2年生]
(1-s)vecAB＋svecAEだと思います
No.9527 - 2014/04/05(Sat) 17:48:02
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
バッチリ！それで合ってます。

さて、点EはACを2:1に内分する点だから、
vec{AE}=( ウ )･vec{AC}と表されますね。
この（ウ）に入る分数はいくつでしょうか？

これがわかれば、最初の設問の答えに辿り着きますし、
CF:FD=t:(1-t)の場合での（△ADCに着目した）
vec{AF}=(ｳ/ｴ)t･vec{AB}+(1-t)･vec{AC}の答えも出せるはずです。
No.9528 - 2014/04/05(Sat) 18:27:02
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校3年生]
あ、わかりました！！
ウは2/3が入って、vecAF=(1-s)vecAB＋2/3sAC,vecAF=1/2tvecAB＋(1-t)vecACになるんだと思います！
△ABEと△ADCに着目するということの意味が今わかりました！
No.9538 - 2014/04/06(Sun) 20:35:00
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
正解です！これがわかれば、ゴールは近いですよ〜

わかってもらえて何よりです（＾＾）
（わかりにくい表現で、すみませんでした…）
ま、結果オーライと言うことで。

では、次の設問に移りましょう。
これらから、vec{AF}=(1/ｵ)･vec{AB}+(1/ｶ)･vec{AC}の
オとカには、どんな数が入ると思いますか？
No.9542 - 2014/04/06(Sun) 23:55:27
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校3年生]
わかりにくいだなんてとんでもない！
理解力のない私に合わせてわかりやすい例を出していただきありがとうございます……！

vecAF=(1-s)vecAB＋2/3sAC,vecAF=1/2tvecAB＋(1-t)vecACを解いて、s=3/4,t=1/2になって、オに4,カに2がはいると思います！
No.9543 - 2014/04/07(Mon) 19:34:11
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
バッチリつかみましたね！正解ですよ〜。

続いて，vec{AF}=(1/4)･vec{AB}+(1/2)･vec{AC}
を使ってvec{OF}=…に取り組んでみましょう。
No.9544 - 2014/04/07(Mon) 21:50:19
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校3年生]
添付した画像のようにといたんですが……
合っているかどうか不安です……
No.9548 - 2014/04/08(Tue) 20:37:24
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
正解です！ここまで来たら、自信持っていきましょう。

(1)の終わりまで漕ぎつけましたね。

(2)は、(1)の考えを使えば解決しますよ。

もうひと踏ん張りです。がんばって〜！
No.9551 - 2014/04/09(Wed) 05:53:19
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校3年生]
すみません、解き方が全然わかりません……
k,l,mの値をどうだしたらよいのでしょうか？
No.9554 - 2014/04/09(Wed) 21:52:50
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
問題文を１行ずつ解釈していきましょう。
（１行目）
vec{OP}=k･vec{OF}の右辺に、(1)の結果をあてはめます。

（２行目）
No.9548で表したように、vec{AM}=vec{OM}-vec{OA}です。
ここで、vec{OM}を、vec{OB}を用いて表してみると、どうなりますか？

これで、見通しが持てるのではないでしょうか。
No.9556 - 2014/04/10(Thu) 02:58:45
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校3年生]
一行ずつちゃんと解いたら、わかりました！！
画像のように解けたのですが、合っていますか？
No.9562 - 2014/04/10(Thu) 22:12:26
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / 農場長 ♂ [九州] [学校教員]
その通りです！
お疲れ様でした！！
No.9563 - 2014/04/11(Fri) 09:30:26
☆ Re: 平面ベクトルの応用問題 / さよ ♀ [四国] [高校3年生]
わかりやすく教えていただき、本当に感謝しています！
ありがとうございました！！
No.9564 - 2014/04/11(Fri) 18:14:57
★ 無限級数 / まり ♀ [地球外] [高校3年生]
了解しました。

No.9533の続きです。


a_n≧0でΣ_{n..∞}a_n<+∞の時,
Σ_{n..∞}√(a_n/n)の収束・発散を判定して見せよ。

という問題なのですが,途方に暮れてます。
どうすればいいんでしょうか?
No.9534 - 2014/04/06(Sun) 09:42:00
☆ Re: 無限級数 / まり ♀ [地球外] [高校１年生]
はい。分母のnまでかかっています。
No.9539 - 2014/04/06(Sun) 23:39:17
☆ Re: 無限級数 / まり ♀ [地球外] [高校１年生]
(√a_n)/n
ではなく
√(a_n/n)
です。
No.9540 - 2014/04/06(Sun) 23:41:10
☆ Re: 無限級数 / まり ♀ [地球外] [高校１年生]
Σa_n<∞だからlim_{n→∞}a_n=0でこれが何か役に立たないでしょうか?

あと,

Σa_n^2<∞ならΣa_n/n<∞は使えないでしょうか?
これは
0≦(a_n-1/n)^2=a_n^2-2a_n/n+1/n^2より,a_n^2+1/n^2≧2a_n/n
だから
Σa_n^2<∞ならΣa_n/n<∞
ですよね。

P.S.
もし,かなり難しいのでしたら他サイトで質問してもいいでしょうか?
No.9546 - 2014/04/08(Tue) 03:27:17
☆ Re: 無限級数 / kinopy ♂ [塾講師]
まりさん，はじめまして。管理人代理のkinopyです。

この問題は印刷ミスか，高校範囲ではできない問題だと思われます。

この掲示板は高校・大学入試までが受け持ちですので，お手数ですが他のHPでご質問なさって下さい。

お力になれず申し訳ありませんm(__)m
No.9549 - 2014/04/09(Wed) 00:13:30
☆ Re: 無限級数 / まり [高校１年生]
ご回答有難うございます。

解決いたしました。
Σ1/nの発散を証明に使った積分を同様に使って,

a_n=1/(n(ln(n))^{3/2})とおくと,
Σa_n<+∞ですが
Σ√(a_n/n)=+∞ですね ＼(^o^)／
No.9555 - 2014/04/10(Thu) 01:06:05
★ (No Subject) / マスカルポーネ ♂ [関東] [高校2年生]
はじめまして！
わからない問題があり、質問させていただきます！！
数?U　図形と方程式の円の接線を求める問題です。
〈問題〉
円(x-5)^2(y-5)^2=10に
原点(0,0)から引いた2本の接線の方程式を求めよ。

出典は、南山大学・経営学部というところまでしか解りません…

この問題を解く以前に、
円x^2+y^2=r^2上の点P(a,b)における接線の方程式の公式、
ab+by=r^2となることや、
円(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上の点P(m,n)における接線の方程式は
(x-m)(x-a)+(n-b)(y-b)=r^2
となること、そして
点A(p,q)から円x^2+y^2=r^2に引いた接線の方程式を求める問題の考え方は
解るのですが、上記の〈問題〉の組み合わせとなると、
どう考えていいのかが解りません。
原点と円の中心の距離と円の半径から、
求めたい座標と原点の距離を三平方の定理で
求めてみても、ルートがややこしくなり…
長くなってしまいましたが、ご教示いただけると幸いです…！


追記:今年度から高校３年生になります、学年を間違えてしまいました…
No.9535 - 2014/04/06(Sun) 11:38:19
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
こんにちは．マスカルポーネさん．

はじめに，確認です．
>円(x-5)^2(y-5)^2=10
は
円(x-5)^2+(y-5)^2=10
でよろしいですね？

いきますよ．
次の３つの質問に答えてください．
あ）原点を通る直線は，適当な定数を使ってどうやってあらわされますか？
い）円の中心と半径は？
う）円の中心と接線の距離は？

よろしくお願いいたしますm(_ _)m
No.9536 - 2014/04/06(Sun) 12:31:55
☆ Re: / マスカルポーネ ♂ [関東] [高校１年生]
あ、すみません。。。
プラスが入ります！

あ)y=ax+bの切片がゼロだから、y=ax
い)円の中心は(5,5) 半径は√10
う)円の接線の接点に半径を下ろすと直角になるので、半径がそのまま距離となり√10！
…でしょうか？？

よろしくお願いします！

追記:せっかく早くお返事をいただいたのに書き込みが遅くなってしまいすみませんでした…
No.9545 - 2014/04/07(Mon) 22:53:18
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．
あ）について言うと，x=0も原点を通る直線になりますが，今回は当てはまりませんよね．
ちゃんとした答案をつくるならば，「x=0は接線とならないので，y=axとおける」とすれば良いでしょう．

さて次です．
y=ax ⇔ ax-y=0
と変形でき，「この直線と点(5,5)の距離が√10」を式にしてみてください．
方程式となるハズで，aの値が出てくると思いますよ．
No.9547 - 2014/04/08(Tue) 07:01:56
☆ Re: / マスカルポーネ ♂ [関東] [高校１年生]
なるほど…
但し書きの内容参考になります…！

直線と点の距離の公式を使って、
aについて整理すると
3a^2-10a+3=0　となり
a=3,1/3となります！
No.9550 - 2014/04/09(Wed) 00:23:08
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
それでokですよ．
No.9552 - 2014/04/09(Wed) 06:49:26
☆ Re: / マスカルポーネ ♂ [関東] [高校１年生]
段階的に説明してくださってわかりやすかったです！

助かりました、また機会がありましたらよろしくお願いします！

ありがとうございました。
No.9553 - 2014/04/09(Wed) 10:16:13
★ 無限級数 / まり ♀ [地球外] [高校3年生]
配布資料からです。

Σ_{n..∞}a_n<+∞の時,
Σ_{n..∞}√(a_n/k)の収束・発散を判定して見せよ。

という問題なのですが,途方に暮れてます。
どうすればいいんでしょうか?
No.9526 - 2014/04/05(Sat) 08:47:30
☆ Re: 無限級数 / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
まりさん、こんばんはＩＴです。いっしょに考えて見ましょう。
> Σ_{n..∞}a_n<+∞の時,
> Σ_{n..∞}√(a_n/k)の収束・発散を判定して見せよ。
a_n,kについて他に条件は書いてないのですか？問題をそのまま書き込んでください。
その資料のこの問題の前後にはどんな問題がありますか？
無限級数の収束条件についてどんなことを習いましたか？
Σ_{n..∞}(1/n),Σ_{n..∞}(1/n^2)の収束・発散は分かりますか？

※なお、Σ_{n..∞}√(a_n/n)　だとすると、私は解答が分かっていません。√(a_n/n)≦(a_n + 1/n)/2 を使っても収束をいえませんし・・・
別問題として再質問してください
No.9529 - 2014/04/05(Sat) 18:58:22
☆ Re: 無限級数 / まり ♀ [地球外] [高校１年生]
ほかに条件はありません。

収束条件は|公比|<1なら収束ですね。
Σ_{n..∞}(1/n)は発散, Σ_{n..∞}(1/n^2)は収束ですね。(∵積分を使う)

> ※なお、Σ_{n..∞}√(a_n/n)　だとすると、私は解答が分かっていません

そ,そうなんですか。。。。
No.9530 - 2014/04/05(Sat) 20:53:10
☆ Re: 無限級数 / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
>ほかに条件はありません。
√(a_n/k)というからには a_n/k≧0でないといけないと思うのですが？
「Σa_nは正項級数である」とか断ってないですか？ 問題を正確に書き込んでください。
>> ※なお、Σ_{n..∞}√(a_n/n)　だとすると、私は解答が分かっていません
>そ,そうなんですか。。。。

私の知識やアイデア不足で,他の先生なら答えられるかも知れません。

それで問題は、Σ_{n..∞}√(a_n/k)とΣ_{n..∞}√(a_n/n)のどちらなのですか？
※どんな配布資料なのですか？　題名や他の解説・問題は？
No.9531 - 2014/04/05(Sat) 21:23:06
☆ Re: 無限級数 / まり ♀ [地球外] [高校１年生]
ご回答有難うございます。

Σ_{n..∞}√(a_n/k)
↓
Σ_{n..∞}√(a_n/n)

でした。失礼いたしました。

a_n≧0
です。(複素数の級数は習っていないので)

先生に確認いたしました。

解説・解答はありません。
問題は写真にとってアップできたらしてみます。
No.9532 - 2014/04/06(Sun) 01:34:18
☆ Re: 無限級数 / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
なるほど了解しました。
（Σ_{n..∞}(√a_n)/nなら簡単ですがΣ_{n..∞}√(a_n/n)　だと高校レベルではないような気がしますが）
このスレはここまでということで、
もし、その問題を聞かれるのなら、別スレとして改めてアップしてください。
No.9533 - 2014/04/06(Sun) 05:19:10
★ ここがよくわからないんですが… / キセキ ♀ [中国] [中学生]
はじめて利用させていただきます。
わからないところがあるので質問させてください。
画像の例4というところなのですが、定数項はy+5である。
と書いてあるのですが、その前の説明で
『文字を含まない項を定数項という。』
とあり、なぜy+5が定数項となるのかよくわからないです。
教えていただけたらうれしいです。
No.9505 - 2014/03/30(Sun) 23:37:33
☆ Re: ここがよくわからないんですが… / ＩＴ ♂ [中国] [社会人]
キセキさん、こんばんはＩＴです。

それは教科書ですか？　参考書ですか？　出典を教えて下さい。

その定義だと、たしかにキセキさんのおっしゃるとおりですね。

私の見ている高校数１の教科書には、「・・・[着目した文字]を含まない項を『定数項』といいます。」とあります。　この方が正確な記述だと思います。
No.9506 - 2014/03/31(Mon) 00:07:58
☆ Re: ここがよくわからないんですが… / キセキ ♀ [中国] [中学生]
ＩＴ先生、ありがとうございます！

画像のは東京書籍出版の数学?Tの教科書です。

＞「着目した文字を含まない項を定数項といいます」

そうなのですか！！理解することができました。

ありがとうございました。
No.9508 - 2014/03/31(Mon) 12:57:09
★ (No Subject) / もも ♀ [関東] [高校１年生]
(3)の問題が分かりません…
どなたか教えてくださいm(._.)m
No.9495 - 2014/03/28(Fri) 17:32:07
☆ Re: / もも ♀ [関東] [高校１年生]
解答です

赤くかこってある部分が分かりません
データの中央値が29なのに
29を30以上にしても大丈夫なのでしょうか??
No.9496 - 2014/03/28(Fri) 17:35:36
☆ Re: / もも ♀ [関東] [高校１年生]
解答2枚目です
No.9497 - 2014/03/28(Fri) 17:37:48
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
ももさん　こんばんはＩＴです。いっしょに考えて見ましょう。

・「中央値」の定義を確認して、書き込んでください。

※この問題のように、データ数が偶数個のときは注意が必要です
・例えば、データ数が４個で、各データが１、２、３、４のときの中央値を求めて書き込んで下さい。
No.9498 - 2014/03/28(Fri) 18:49:32
☆ Re: / もも ♀ [関東] [高校１年生]
IT先生こんばんは!!
よろしくお願いしますm(._.)m

中央値
データを小さい順に並べたときに、ちょうど真ん中に来るものの値

1、2、3、4の中央値→2.5

ですよね??
No.9499 - 2014/03/28(Fri) 22:24:45
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
> 中央値
> データを小さい順に並べたときに、ちょうど真ん中に来るものの値
データ数が偶数（２Ｎ）個の場合は、ちょうど真ん中に来るものがないので
Ｎ番目とＮ+１番目の値の平均値ですね。
> 1、2、3、4の中央値→2.5　 ですよね??
正解です。
データ数が偶数の場合は、中央値はデータ値の一つと等しくなるとは限りません。（例えば２８と３０の中央値は２９です。）

では、もとの問題の６個のデータを順に並べて書き込んで、中央値を求めて下さい。
No.9500 - 2014/03/28(Fri) 22:36:12
☆ Re: / もも ♀ [関東] [高校１年生]
データを小さい順に並べると
20、25、28、29 、30、36

中央値は28.5


あぁ!!
ようやく解答の意味が分かりました

確かに29を30以上にしたら
20、25、28、30、(29+6)、36
で中央値は29になりますね!!
No.9501 - 2014/03/29(Sat) 12:09:02
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
そのとおりです。　お疲れさまでした。
No.9502 - 2014/03/29(Sat) 19:23:06
☆ Re: / もも ♀ [関東] [高校１年生]
IT先生のおかげでスッキリ理解できましたヽ(*´ｖ｀*)ﾉ
本当にありがとうございました

また機会がありましたら、よろしくお願いします
No.9503 - 2014/03/30(Sun) 09:46:25
★ 数学的帰納法 / ゆう ♂ [東海] [高校１年生]
こんにちは。
数学的帰納法での証明の仕方がわからないのでご指導お願いいたします。この問題にはには解答がないので正解との比較はしていません。

問題　次の公式もあります。数学的帰納法でも証明できるのでみんなぜひやってみてね。
　　　
　　　sum _{1}^{n}(k)(k+1)＝n(n+1)(n+2)/3

やってみようと思いやってみたのですが・・

?T．k＝1のとき
　　2＝2となり成立する

?U.　n=kのとき

sum _{1}^{n}(k)(k+1)＝n(n+1)(n+2)/3から
sum _{1}^{n}(k)(k+1)＝k(k+1)(k+2)/3

ここでまず｛n｝とｎが残ってしまいsum _{1}^{k}とすべきかかわかりませんでした。してよいと思ったのですが・・・

ここで何をしているのかわからなくなって諦めまして
ならべて和をかきだしました。
n＝kのとき

1・2＋2・3＋･･･････＋k(k＋1)＝k(k+1)(k+2)/3･･･?@
が成立すると仮定する。

n＝k＋1のとき
1・2＋2・3＋･･･････＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)/3が証明できればよい

?@の両辺にそれぞれ(k＋1)(k＋2)を加えると
右辺はk(k+1)(k+2)/3＋(k＋1)(k＋2)

＝k(k+1)(k+2)＋3(k＋1)(k＋2)/3　
(k＋1)(k＋2)
をくくって
(k＋1)(k＋2)(k＋3)/3となりn＝k＋1の時と一致する

よって?T･?Uより

sum _{1}^{n}(k)(k+1)＝n(n+1)(n+2)/3
（n＝1,2,3・・・）で常に成り立つ　　（証明おわり）
解答でまちがいやわかってないなという部分ありましたらおしえてください。

問題と結果はsum _{1}^{n}(k)(k+1)という表記で証明過程はΣを使わない。これは大丈夫なのでしょうか。

数学的帰納法を使うときはんn＝kの仮定をつかってn＝k＋1を証明するところがたいせつだとおもうのですが

このような問題では与えられた証明すべき式がしている（だろう）操作をんn＝kの場合でやってみて、単に
k＋1にを与式に代入したものと一致すればよいという解釈でよいでしょうか。

以上よろしくお願いします。
No.9480 - 2014/03/18(Tue) 17:19:04
☆ Re: 数学的帰納法 / kinopy ♂ [塾講師]
ゆうさん，こんばんは。kinopyです。

最初の失敗は，問題に
　sum _{k=1}^{n}(k)(k+1)＝n(n+1)(n+2)/3

とkが含まれているのに
>?U.　n=kのとき
とまたkを使ってしまったせいだと思います。（Σという記号のわかりにくさもあります）

?U．n=iのとき成り立つと仮定すると…
のように文字を変えれば混乱しないと思います。

＞ならべて和をかきだしました。
これはすごくいいですよ！
Σで分からなければ書き出してみる。
というのは鉄則です。

証明もちゃんと出来ています。
＞右辺は…
のところ
（右辺）=k(k+1)(k+2)/3＋(k＋1)(k＋2)
=k(k+1)(k+2)＋3(k＋1)(k＋2)/3　
=(k＋1)(k＋2)(k＋3)/3
となるので，n=k+1のときも成り立つ

と書けば十分ですよ。
採点者はこう書けば「(k+1)(k+2)でくくったんだな」ってことは分かりますから。

>k＋1にを与式に代入したもの
が少しだけ気になったのですが，この等式の左辺は「n個の和」の形をしているので,
n=k+1のときは「k+1個の和」になります。
もし，左辺が「2n個の和」なら，n=k+1のときは項が2個増えて「2(k+1)個の和」になります。
これが分かってれば，ゆうさんの解釈で大丈夫ですよ。


最後に…
毎回操作しなければならないので面倒で申し訳ないのですが，学年欄を毎回選択して頂けるようお願いしますm(__)m
No.9482 - 2014/03/20(Thu) 23:46:13
☆ Re: 数学的帰納法 / ゆう ♂ [東海] [社会人]
こんにちは！
kinopy先生よろしくお願いします。
（学習相談もおせわになっております。）

「2n個の和」なら，n=k+1のときは項が2個増えて「2(k+1)個の和」

の部分がはてな？なので考えてみました。
「2n個の和」ということはΣの上に乗っている数字が2ｎということだと思います。

ｎ＝20のとき項数40　ｎ＝21のとき　項数42　なるほど2個ずつ増えます。

今回の?@のような仮定では
n＝kのとき
1・2＋2・3＋･･･････＋k(k＋1)･･･2k(2k＋1)＝2k(2k+1)(2k+2)/3
が成り立つと仮定すると思います。

n＝k＋1の時は
では
1・2＋2・3＋･･･････＋k(k＋1)･･･(2k＋1)(2k＋3)＝(2k＋2)(2k＋3)(2k＋4)/3
を証明。

んー分かりません。
どこに2個増えたのかです。
仮定の方の
の右辺に2項分足したもので証明するのだと思うのですが
式自体の意味が分からなくなってしまいました。
説明もしくは参考例のような問題はないでしょうか？
n=k＋1とした式の左辺がn=kの場合から2項分たしているのか疑問です。
No.9483 - 2014/03/21(Fri) 20:15:05
☆ Re: 数学的帰納法 / kinopy ♂ [塾講師]
こんばんは。

ほとんどゆうさんの理解は正しいのですが…^^;

私が持っている問題はちょっと面倒なので，このままの問題で行きましょう。

問　sum _{k=1}^{2n}(k)(k+1)＝2n(2n+1)(2n+2)/3　を証明

ゆうさんのやったのと文字を変えますね
n=iのとき，sum _{k=1}^{2i}(k)(k+1)＝2i(2i+1)(2i+2)/3を仮定します。
この式をゆうさんは，
1・2＋2・3＋…+2i(2i＋1)＝2i(2i+1)(2i+2)/3　と書きました。
これは正しいです。

で，証明したい式はsum _{k=1}^{2(i+1)}(k)(k+1)＝2(i+1)(2i+3)(2i+4)/3です。
この式の左辺は2(i+1)個の和です。
kに代入していくのは，k=1,2,…，2(i+1)　です。

もっと詳しく書くと，k=1,2,…,2i,2i+1,2(i+1)です。

いかがでしょうか？
左辺は仮定の式よりも，k=2i+1とk=2(i+1)を代入した項が増えることになります。

不明なところがあれば，再質問をお願いします。
No.9484 - 2014/03/22(Sat) 00:42:47
☆ Re: 数学的帰納法 / ゆう ♂ [東海] [社会人]
こんばんわ！
なるほどです。
わかりますが、感覚でやっていしまうとまずいですね。
勘違い
2ｎまでの和となると2個ふえるのではなく、それまで足した項の倍の項を足すのではないかと思ってしまうところです。
kからK＋1に移る＝2ｎ→2ｎ×2ではなく2ｎ→2（ｎ＋1）
というところが悩ましいところす。
こういうときは日本語で自分メモを書きたいですがうまく自分に説明できませんね・・・・
脳が考えるのを拒否してしまうのですが・・・
帰納法ではｎ＝1が成立してK番目とK＋1番目で成立することが示せれば成り立つ。
と記憶してますが2項増えるとｋ番めを仮定してK＋2番目を示すみたいで混乱します。
k番目を仮定して2項増える操作K＋1番目を証明するからOKということだと思うのですがこれでよいでしょうか。「たぶん」の域を出られずです・・・（￣　￣；）
No.9489 - 2014/03/22(Sat) 23:55:38
☆ Re: 数学的帰納法 / kinopy ♂ [塾講師]
こんばんは。

勘違い箇所に関しては，ゆうさんが模範的なことをやってたんですけどね…^^;
＞ｎ＝20のとき項数40　ｎ＝21のとき　項数42　なるほど2個ずつ増えます。

このように，nで分からなければ具体的な数でやってみるのは，色んな所で役に立つことがあります。

2項増えたのは“たまたま”です。
式の項の個数ではなくて，「n=kのときを仮定して，n=k+1のとき成り立つことを示す」です。

sum_{k=1}^{3n}…なら，n=kのときの式とn=k+1のときの式では3項増えますから。

どうも，ゆうさんの引っかかっている箇所がうまくつかめていないので，説明できたかどうか自信ありません^^;
いかがでしょうか？
No.9493 - 2014/03/23(Sun) 19:37:42
☆ Re: 数学的帰納法 / ゆう ♂ [東海] [社会人]
こんばんは。

n=kのときを仮定して，n=k+1のとき成り立つことを示す

ですね。
解説を読んで身につけていくのですが、いざ自分でやるとほんとに正しい事をしているのか不安になっているのだと思います。自信をもってやっていきたいと思います。ほんとに力がついてくれば自信もつくと思うので修行をなるべく楽しんでやっていきます。

ありがとうございました！！
No.9494 - 2014/03/23(Sun) 22:11:26
★ 因数分解です / みやもと ♂ [高校１年生]
因数分解の問題なのですが答えしか載っていないため、解法が分かりません。

(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x−1) の因数分解です

ちなみに答えは x^8−1 と書いてあります。

すみませんが教えて下さい。
よろしくお願いします。
No.9485 - 2014/03/22(Sat) 21:56:38
☆ Re: 因数分解です / IT ♂ [中国] [社会人]
みやもと さん　こんばんはＩＴです。>
> (x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x−1) の因数分解です
因数分解の逆の展開ですね。
右側の２つ　(x+1)(x-1)を展開するとどうなりますか？
No.9486 - 2014/03/22(Sat) 22:09:44
☆ Re: 因数分解です / みやもと ♂ [高校１年生]
なるほど！！
(x^4+1)(x^2+1)(x^2−1) となって
(x^4+1)(x^4−1) となるからですね！

解決しました。
ありがとうございました！
こんな簡単なものを聞いてしまい申し訳ありません…
No.9487 - 2014/03/22(Sat) 22:59:29
★ 二次方程式 / じょう ♂ [東海] [再受験生]

http://i.imgur.com/3QrCwxI.jpg
この問題の解答では、D≥０と｜αーβ｜≥１の条件を合わせて解答されています。
ですが、なぜD≥０なのかわかりません。
D＞０ではないのでしょうか？

αーβが０以外という条件からα、βは違う実数解のような気がするのですが・・・。
No.9459 - 2014/03/14(Fri) 09:15:47
☆ Re: 二次方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
こんばんは，ＣＯＲＮＯ です．

>なぜD≥０なのかわかりません。
それは，「実数解 α，β」とあるからです．
もし，「異なる２つの実数解 α，β」とあったら，Ｄ＞０ ですが，
今は『異なる』という語句がないので，α＝β，つまり，重解の可能性も含めて考えるのです．
これが，数学の問題文の文法なのです．
No.9462 - 2014/03/14(Fri) 23:31:03
☆ Re: 二次方程式 / じょう ♂ [東海] [高校１年生]
確かにその可能性も考えました。
ですが、条件文に『｜α−β｜≧１』というのがあります。
仮に実数α＝βだとすると、それは｜α−β｜≧０でなければならず、１以上になることはないのではないでしょうか？
No.9471 - 2014/03/15(Sat) 12:14:56
☆ Re: 二次方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
数学の問題では，一つ一つの条件を積み上げていって，結論に向かいます．
ですから，いろいろなことをまぜこぜにして式を作るべきではないと私は考えます．
「実数解 α，β」という条件からは，Ｄ≧０ をまず出すべきです．（と言うより，Ｄ≧０ しか出ません）

他の条件からも何かしらの式が立つわけで，
いろんなことを組み合わせて論理が進んでいく中で，Ｄ＝０ は排除されていくのでしょう．
No.9472 - 2014/03/15(Sat) 19:14:12
☆ Re: 二次方程式 / じょう ♂ [東海] [再受験生]
なるほど。
なんとなく理解できました。
今後同じような問題にあたったときにそう考えてみます。
ありがとうございました。
No.9478 - 2014/03/16(Sun) 21:05:23
★ 極限 / みや ♀ [地球外] [高校3年生]
どうもです。

lim_{x→π/2}(cos(x)-1)/(x-π/2)を求める問題なのですが,
右極限,左極限がそれぞれ-∞と+∞になるので
極限は無く"発散する"
と答えればいいのでしょうか?
No.9434 - 2014/03/08(Sat) 07:02:46
☆ Re: 極限 / kinopy ♂ [塾講師]
みやさん，おはようございます。kinopyです。

今手元に教科書がないのですが，みやさんのお持ちの教科書には右方極限と左方極限が異なるときは「極限なし」
と書いていませんか？
No.9470 - 2014/03/15(Sat) 10:48:35
☆ Re: 極限 / みや [高校１年生]
http://www.econ.kyoto-u.ac.jp/~sueishi/math/math4_2012.pdf
を見つけました。

右方極限と左方極限が異なるときは「極限なし」なのですね。
No.9476 - 2014/03/16(Sun) 12:12:32
☆ Re: 極限 / kinopy ♂ [塾講師]
そうです。

教科書はお持ちでないのかな？^^;
No.9477 - 2014/03/16(Sun) 20:44:45
★ ２変数の最大最小 / ゆう [東海] [社会人]
こばんわ！
kinopy 先生先日は操作ミスのフォローありがとうございました。

黄チャートからの質問です。
この段階では考えるよりどんどん覚えるようにとネット上ではよく見かけますが・・・

旧黄黄チャート　数?T・Aより
例題から
最初に自分でやった時の間違いの理由を教えてください。

1≦x≦5のときy＝（x^2-6x)＾2＋12（x^2-6x）＋30の最大値・最小値をもとめよ。

x^2-6x＝Xと置き換える
ここから
1次不等式の基本事項を思い出し
似たようなことをしてみました。

1≦x≦5なので　1≦x^2≦25　-30≦-6x≦-6　各辺足して
-29≦x^2-6x≦19

となってしまいました。
こんなことで10分使い

解答をようやくちらりと見たら
t=x^2-6x　　とおいて　　1≦x≦5でグラフを書くと
-9≦t（=x^2-6x）≦-5

がっくりきました。
何が違うのか10分、20分・・・
ギブアップです。

時間がもったいないでしょうか、否熟考すべきところだったでしょうか？（悩）
どうしてｔの変域を間違ったかご指導お願いいたします。
No.9460 - 2014/03/14(Fri) 23:01:39
☆ Re: ２変数の最大最小 / IT ♂ [中国] [社会人]
こんばんはITです。いっしょに考えて見ましょう。

1≦x≦5なので　1≦x^2≦25　…?@
1≦x≦5なので　-30≦-6x≦-6…?A
ここまでは、問題ありません。

各辺足して　-29≦x^2-6x≦19
ここも論理的は正しいですが、等号が成り立つようなx(1≦x≦5)が存在しません。

なぜでしょうか、下記を考えて見てください。
?@で1＝x^2となるxは？
?Aで-30＝-6xとなるxは？
No.9461 - 2014/03/14(Fri) 23:30:28
☆ Re: ２変数の最大最小 / IT ♂ [中国] [社会人]
(追伸）　「ここまでは問題ありません」というのは、「論理的に間違ってはいない。」ということであり。「この問題を解く方法として適切である。」ということではありませんので誤解のないようにお願いします。

適切な解法は、黄チャートにあるようにグラフで考える方法だと思います。
No.9463 - 2014/03/14(Fri) 23:46:23
☆ Re: ２変数の最大最小 / ゆう [東海] [高校１年生]
こんばんわ
早速にありがとうございます！！
?@ですが
x^2=±1
で　1≦x≦5　　より1
?Aですが
x=5で1≦x≦5を満たしています。

よいでしょうか？・・・不安
No.9464 - 2014/03/14(Fri) 23:50:45
☆ Re: ２変数の最大最小 / IT ♂ [中国] [社会人]
合ってます。

では、-29≦x^2-6x　の等号が成り立つようなx(1≦x≦5)があるでしょうか？
No.9465 - 2014/03/15(Sat) 00:15:43
☆ Re: ２変数の最大最小 / ゆう ♂ [東海] [社会人]
グラフで考えると1≦x≦5で
-29＜x^2-6xは常に成り立ちそうですが
等号を考えると実数解なしです。

常に成り立つのに等号が成立するxはない・・・不思議です！
No.9466 - 2014/03/15(Sat) 00:27:10
☆ Re: ２変数の最大最小 / ゆう ♂ [東海] [高校１年生]
すみません不思議ではなかったです
-29より大だけど＝の時はないんですね！
No.9467 - 2014/03/15(Sat) 00:29:22
☆ Re: ２変数の最大最小 / IT ♂ [中国] [社会人]
そうですね、-28、-10、-9.5などx＜-9の値を取ることもありません。

これで、
「1≦x≦5なので　1≦x^2≦25　-30≦-6x≦-6　各辺足して
-29≦x^2-6x≦19」　は、ある意味では正しい※が
x^2-6xが　-29から19までのすべての値をとるとは限らないことが、お分かりでしょうか？

※例えば　a=3のとき　-10≦a≦5　は正しい不等式です。
No.9469 - 2014/03/15(Sat) 05:11:50
☆ Re: ２変数の最大最小 / ゆう ♂ [東海] [社会人]
こんばんわ。

-29≦x^2-6x≦19はいわゆる必要条件というものでしょうか？

現段階のレベルではこのように解答するというやり方を素直に覚えていく
ことに徹しようと思います。時は金なりということで、なにか思いついたら
考え込まず解答をみて正しいやり方を習い吸収していきますいきます。正しいかどうかわからないこと
を続けても今は無意味だなと思いました。

んー！てごわい。
No.9473 - 2014/03/15(Sat) 21:51:54
☆ Re: ２変数の最大最小 / IT ♂ [中国] [社会人]
> -29≦x^2-6x≦19はいわゆる必要条件というものでしょうか？
ある意味そういうことです。
※ただし、単語は文の中で使われて正しいかどうか判断できるものです、正確なことば使いは、「論理と集合」の単元で確認してください。
No.9474 - 2014/03/15(Sat) 22:18:10
☆ Re: ２変数の最大最小 / ゆう ♂ [東海] [社会人]
論理と集合もてごわそうですががんばって勉強します。
IT先生ご指導ありがとうございました。
No.9475 - 2014/03/15(Sat) 22:36:05
★ 置換積分 / みや ♀ [地球外] [高校3年生]
∫√(x^2-4)dxを求めよ(ヒント:x=2/cosθとおけ)。
なのですが
dx=2tanθ/cosθdθで
∫√(x^2-4)dx=∫√((2/cosθ)^2-4)2tanθ/cosθdθ
=4∫√(1/(cosθ)^2-1)tanθ/cosθdθ
=4∫√((tanθ)^2-1-1)tanθ/cosθdθ
=4∫√((tanθ)^2-2)tanθ/cosθdθ
からどうすればいいのでしょうか?
No.9429 - 2014/03/08(Sat) 00:15:35
☆ Re: 置換積分 / kinopy ♂ [塾講師]
みやさん，こんばんは。kinopyです^^

途中に公式の間違いがあります^^;
1+tan^2θ=1/cos^2θですから，1/cos^2θ-1=tan^2θ
ですね。

追加質問がありましたら，ご遠慮なくどうぞ。
No.9432 - 2014/03/08(Sat) 02:40:26
☆ Re: 置換積分 / みや ♀ [地球外] [高校１年生]
ご指摘有難うございます。

=4∫√(1/(cosθ)^2-1)tanθ/cosθdθ
=4∫√((tanθ)^2)tanθ/cosθdθ
=4∫|tanθ|tanθ/cosθdθ

とまではいけましたが、、、ここからは?
No.9433 - 2014/03/08(Sat) 05:30:15
☆ Re: 置換積分 / kinopy ♂ [塾講師]
おはようございます。

そこまではOKです。

ひとまず絶対値の処理はおいておいて，∫(tan^2θ)/cosθdθを考えましょう。

積分全般に言えることですが，基本関数しか積分できません。
・式変形　・置換積分　・部分積分のどれか（または組み合わせて）で基本関数になるはずです。

もう少し取り組んでみてください。
No.9436 - 2014/03/08(Sat) 10:01:55
☆ Re: 置換積分 / みや ♀ [地球外] [高校１年生]
∫(tan^2θ)/cosθdθ=∫(sinθ)^2/(cosθ)^3dθ
=∫(1-(cosθ)^2)/(cosθ)^3dθ
=∫1/(cosθ)^3-1/cosθdθ
だと思いますがこれからは
No.9437 - 2014/03/09(Sun) 08:12:33
☆ Re: 置換積分 / みや ♀ [地球外] [高校１年生]
どうすればいいのでしょうか?
No.9438 - 2014/03/09(Sun) 22:52:22
☆ Re: 置換積分 / kinopy ♂ [塾講師]
みやさん，こんばんは。

白状すると，最初暗算でやってまして，簡単な置換でできると思って回答を始めたらエライことになりました。
私がやった方法ではかなり大変な計算です。でも，こうなってしまうのかなぁ…^^;

言い訳はさておき，回答に入ります。

まず，∫1/cosθdθの計算は大丈夫でしょうか？
参考書なんかには載ってると思うので，経験はあると思います。
分母分子にcosθをかける方法です。

∫1/cos^3θdθも同様の方法で計算することができます。

一度チャレンジしてみてください。



他に何かいい方法がないか，職員室でも聞いてみますね。

ちなみにこの問題の出展は何でしょうか？
No.9439 - 2014/03/10(Mon) 00:11:23
☆ Re: 置換積分 / kinopy ♂ [塾講師]
みやさん，こんばんは。

職員室で，londontraffic先生にヒントを使わない解法を教えて頂きました^^

https://dl.dropboxusercontent.com/u/79247900/int.png

2行目の変形により，∫x^2/√(x^2-4)dxを処理するところと，{log(x-√(x^2-4))}'=1/√(x^2-4)
を使うところがポイントだと思います。
経験しておいて損はない計算なので，こちらもやっておきましょう。

なお，∫1/√(x^2-4)dxに関しては本問のヒントx=2/cosθを使っても計算できますし，t=x+√(x^2-4)とおいて計算することもできますが，londontraffic先生の解法が一番ラクなのは言うまでもありません。

本問自体もt=x+√(x^2-4)とおいて計算することはできると思いますが，これも結構大変な計算です。

○　londontraffic先生，お忙しい中ファイルまで作っていただきありがとうございましたm(__)m
私も勉強になりました^^;
ありがとうございますm(__)m
No.9451 - 2014/03/13(Thu) 03:43:03
☆ Re: 置換積分 / みや [高校１年生]
大変有難うございます。m(_ _)m
こんなに大変なんだ。。

因みにヒントを使うとどうなるのでしょうか?
No.9454 - 2014/03/13(Thu) 08:53:38
☆ Re: 置換積分 / kinopy ♂ [塾講師]
こんばんは。

こんな具合です^^;
http://www.fastpic.jp/images.php?file=4861285439.png

あまりにもヒントが…なのですが，この問題の出展はなんですか？
No.9455 - 2014/03/13(Thu) 22:55:25
☆ Re: 置換積分 / みや [高校１年生]
大変有難うございます。すごいですっ!!こんなにするんですね。

出展は何かの過去問(配布資料)のようです。
No.9458 - 2014/03/14(Fri) 04:01:40
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