21565

リュケイオン 「高校数学質問掲示板」





新矢(運営者)より
 この掲示板は、「数学がもっと出来るようになりたい!」という向学心旺盛な高校生・大学受験生からの、高校数学に関する解からない問題の質問にお答えする“学習指導の場”です。高校数学で困っている人の力になりたいという,多くの指導者・社会人・大学生・院生の方々の善意により運営されています。主な回答者の皆さま

★ 初めて質問される方、回答くださる方は必ず【書きこまれる方へのお願い】をお読みください。
  ルール違反された場合、予告なく削除することもありますのでご了承ください。

★ 数学学習法等のご相談に関してはリュケイオン学習相談掲示板で受付ております。

★ 質問される際,ご回答くださる際には,書き込みフォームの『学年・ご職業』欄で学年・ご職業を選択してください。(この項目に関しては以前の設定が保存されませんのでご注意ください

★ 高校生・浪人生などの大学受験生の方の回答はご遠慮いただいています。

★ 不等号 <、> は半角文字では表示されません。全角文字でお願いします。

★ 分数など数式の記入法が分からないときは次を参考にしてください。 数式の記入法 その1 その2

★ この掲示板では一部のタグが使用できます。 タグ使用例

★ 記事の編集や削除を行うには、掲示板の一番下の "編集・削除用フォーム" に、"記事No." と投稿時に入力した "編集パスワード" (半角英数字4〜16文字)を入力し、処理を選択して [ OK ] ボタンを押してください。


数列の極限って? / 数学A子 [九州] [高校3年生]
プリント配布からの問題です。

b_1≧b_2≧…≧0な数列でlim_{k→∞}b_k=bとする時,lim_{k→∞}(b_k)^(k/(k-1))=b
となる事を示したいのですが,頓挫中です。
k/(k-1)→1なのでアタリマエのような気もしますが,証明せよと言われたらどう書けばいいのでしょうか?

No.7203 - 2012/08/16(Thu) 04:24:31

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
数学A子さん、ITです。いっしょに考えて見ましょう。

対数を取ると極限の基本定理を使えるのではないでしょうか?
(b_k)^(k/(k-1))の対数を取るとどうなりますか?

No.7204 - 2012/08/16(Thu) 09:19:08

Re: 数列の極限って? / 数学A子 [九州] [高校3年生]
> (b_k)^(k/(k-1))の対数を取るとどうなりますか?

log(b_k)^(k/(k-1))=k/(k-1)log(b_k)となりますが。

No.7206 - 2012/08/16(Thu) 10:16:20

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
そうですね

b>0のとき(ごめんなさいb=0のときはこの方法はだめでした。(考えてみます)
lim_{k→∞}k/(k-1)と,lim_{k→∞}log(b_k)はどうなりますか?
するとlim_{k→∞}log(b_k)^(k/(k-1))はどうですか?

No.7207 - 2012/08/16(Thu) 10:22:05

Re: 数列の極限って? / 数学A子 [九州] [高校3年生]
lim_{k→∞}k/(k-1)=1,lim_{k→∞}log(b_k)=log(b)
lim_{k→∞}log(b_k)^(k/(k-1))=b^1となります。

No.7208 - 2012/08/16(Thu) 10:53:54

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
> lim_{k→∞}k/(k-1)=1,lim_{k→∞}log(b_k)=log(b)
あってます。それぞれ証明が必要ですが。
積の極限の公式を使うと

> lim_{k→∞}log(b_k)^(k/(k-1))=b^1となります。
少し違うと思います。
いきなりここまで行く前に単純に積をとるとどうなりますか?

No.7209 - 2012/08/16(Thu) 11:00:35

Re: 数列の極限って? / 数学A子 [九州] [高校1年生]
lim_{k→∞}log(b_k)^(k/(k-1))=log(b^1)でした。

積の極限の公式とは

lim_{k→∞}log(b_k)^(k/(k-1))=lim_{k→∞}(k/(k-1))log(b_k)=1・log(b)=log(b)

でしょうか?

No.7210 - 2012/08/16(Thu) 11:15:48

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
そうですが、間にlim_{k→∞}(k/(k-1))lim_{k→∞}log(b_k)が入ります。
lim_{k→∞}(k/(k-1))log(b_k)=lim_{k→∞}(k/(k-1))lim_{k→∞}log(b_k)=1・log(b)=log(b)

ここで
e^(log(b_k)^(k/(k-1)))を考えるとどうなりますか?

No.7211 - 2012/08/16(Thu) 11:22:16

Re: 数列の極限って? / 数学A子 [九州] [高校3年生]
> 間にlim_{k→∞}(k/(k-1))lim_{k→∞}log(b_k)が入ります。
あっそうでした。

>e^(log(b_k)^(k/(k-1)))を考えるとどうなりますか?

e^(log(b_k)^(k/(k-1)))=b_k^(k/(k-1))だと思います。

No.7212 - 2012/08/16(Thu) 11:30:20

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
> e^(log(b_k)^(k/(k-1)))=b_k^(k/(k-1))だと思います。
そうですね
lim_{k→∞} e^(log(b_k)^(k/(k-1)))=e^lim_{k→∞}(log(b_k)^(k/(k-1)))
はいいですか?右辺に前に求めた極限を入れるとどうなりますか?

No.7213 - 2012/08/16(Thu) 11:36:57

Re: 数列の極限って? / 数学A子 [九州] [高校3年生]
>lim_{k→∞} e^(log(b_k)^(k/(k-1)))=e^lim_{k→∞}(log(b_k)^(k/(k-1)))
> はいいですか?


えー!? 何でですか?

> 右辺に前に求めた極限を入れるとどうなりますか?

e^log(b^1)=e^log(b)=bとなると思います。

No.7214 - 2012/08/16(Thu) 11:43:44

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
> >lim_{k→∞} e^(log(b_k)^(k/(k-1)))=e^lim_{k→∞}(log(b_k)^(k/(k-1))) はいいですか?
> えー!? 何でですか?

e^x の連続性からいえませんか?

> e^log(b^1)=e^log(b)=bとなると思います。
今までのをつなげると

b_k^(k/(k-1))= e^(log(b_k)^(k/(k-1)))…?@

lim_{k→∞}(log(b_k)^(k/(k-1)))=lim_{k→∞}(k/(k-1))log(b_k)=lim_{k→∞}(k/(k-1))lim_{k→∞}log(b_k)=1・log(b)=log(b) …?A

?@より
lim_{k→∞}b_k^(k/(k-1))
=lim_{k→∞} e^(log(b_k)^(k/(k-1)))
関数e^xが連続なので
=e^lim_{k→∞}(log(b_k)^(k/(k-1)))
?Aを代入
=e^log(b)=b

なお?Aの証明には少し説明が必要です。

No.7215 - 2012/08/16(Thu) 12:00:47

Re: 数列の極限って? / 数学A子 [九州] [高校3年生]
> e^x の連続性からいえませんか?

つまり,数列a(n)にて,a(x)がもし連続ならlim_{n→∞}a(n)=a(lim_{n→∞}n)という公式があるのですか?

関数f(x)がにて連続なら,lim_{x→∞}f(x)=f(lim_{x→∞}x)=f(∞)と意味不明になってしまうようなのですが。。。

No.7228 - 2012/08/17(Fri) 03:47:30

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
> つまり,数列a(n)にて,a(x)がもし連続ならlim_{n→∞}a(n)=a(lim_{n→∞}n)という公式があるのですか?
数列a(n)のnは自然数であり,a(x)が連続という概念はありませんので違います。
少し混乱させてしまったようですみません。今まで説明した方法でも証明できると思いますが、対数を取ったりして少し回りくどかったですね。

No.7229 - 2012/08/17(Fri) 07:39:49

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
連続関数と数列の極限の話ももういちど説明しますが、
まず、問題の証明は方針を変えて「はさみうちの原理」で証明することにしたいと思いますがよろしいですか?

bの大きさで2つの場合に分けます。

0≦b<1のとき(b^x は単調減少)
 自然数Nで「k≧Nなる自然数kについてb≦b_k<1となる」を満たすものが存在する。
  k≧Nについて 
   b^(k/(k-1)) ≦(b_k)^(k/(k-1)) ≦ b_k

1≦bのとき 任意の自然数mをとると
 k≧mについて
  b≦ b_k ≦b_m なので
  b^(k/(k-1)) ≦(b_k)^(k/(k-1)) ≦ (b_m)^(k/(k-1))

それぞれの不等式の意味と正しいことは分かりますか?、

No.7245 - 2012/08/18(Sat) 09:32:45

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
>  k≦mについて
>   b≦ b_k ≦b_m なので

ごめんなさい k≦mは、k≧mの誤りでした。訂正します。

No.7250 - 2012/08/18(Sat) 11:48:41

Re: 数列の極限って? / 数学A子 [九州] [高校3年生]
はい、不等式の意味分かりました。
No.7273 - 2012/08/18(Sat) 23:00:43

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
では、まず簡単な 0≦b<1のとき(b^x は単調減少)をやりましょう。

 b^(k/(k-1)) ≦(b_k)^(k/(k-1)) ≦ b_k で両側の

 lim_{k→∞}b^(k/(k-1))とlim_{k→∞}b_kは、それぞれどうなりますか?

No.7274 - 2012/08/19(Sun) 00:14:14

Re: 数列の極限って? / 数学A子 [九州] [高校3年生]
夫々bになります。
No.7276 - 2012/08/19(Sun) 03:39:00

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
そうですね。
よって0≦b<1のとき lim_{k→∞}(b_k)^(k/(k-1)) = b となります。「はさみうちの原理」

では次の
1≦bのとき 任意の自然数mをとると k≧mについて
   b^(k/(k-1)) ≦(b_k)^(k/(k-1)) ≦ (b_m)^(k/(k-1))
これの両側の極限を調べましょう。

左は前と同じでlim_{k→∞}(b^(k/(k-1)) = b ですね
右のlim_{k→∞}(b_m)^(k/(k-1))はどうなりますか?

No.7277 - 2012/08/19(Sun) 04:42:56

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
いまさらの確認ですが
>証明せよと言われたらどう書けばいいのでしょうか?
単独の証明問題ではなく、途中でlim_{k→∞}(b_k)^(k/(k-1)) = bを使うってことでしょうか?
できれば問題文をそのままUPしてみてください。

No.7278 - 2012/08/19(Sun) 04:58:52

Re: 数列の極限って? / 数学A子 [九州] [高校3年生]
どうも有難うございます。お陰様で漸く解決できました。

> 右のlim_{k→∞}(b_m)^(k/(k-1))はどうなりますか?

b^1になります。

> 使うってことでしょうか?

いえ,単独での証明です。

No.7304 - 2012/08/21(Tue) 23:50:33

Re: 数列の極限って? / IT [中国] [社会人]
> > 右のlim_{k→∞}(b_m)^(k/(k-1))はどうなりますか?
> b^1になります。

直接はb^1になりません。
lim_{k→∞}(b_m)^(k/(k-1))=(b_m)^1 です。
lim_{m→∞}b_m=b と2段階になります。

細かくは、もう少し説明(証明)が必要ですが、直感的には説明がついてますかね。

No.7305 - 2012/08/22(Wed) 00:19:31
(No Subject) / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
確率で分からない問題があります。

赤、青、緑の玉がそれぞれ2個ずつ入った中の見えない袋がある。2人の人がそれぞれこのような袋を持ち1回に1個ずつ玉を取り出す。ただし、取り出した玉はもとに戻さないものとする。
(1)2人の1回目に取り出した玉の色が同じであったとき、2人の2回目に取り出す玉の色がまた同じである確率を求めよ。
(2)2人の1回目に取り出した玉の色が異なっていたとき、2人の2回目に取り出す玉の色
が同じである確率を求めよ。
(3)1回目も2回目も2人の取り出した玉の色が同じであったとき、3回目もまた同じである確率を求めよ。

よろしくお願いします。

No.7198 - 2012/08/15(Wed) 22:29:40

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
シェリーメイさん、こん○○は。
農場長です、一緒に考えましょう。

この問題は、1回目は・・・、2回目は・・・というように
区切って考えると良いのではないでしょうか。

まず、(1)からいきましょう。
お互いに6個ずつの玉を袋から1つ取り出すとき、
1回目での、お互いの玉の出方は、全部で何通りあると思いますか?

No.7205 - 2012/08/16(Thu) 10:12:30

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
Aさんが袋から 1回目に赤を取り出す確率は 2C1/6C1=1/3
Bさんが袋から 1回目に赤を取り出す確率は 2C1/6C1=1/3
 1/3×1/3=1/9 
 赤・青・緑の3通りあるので  1/9×3=1/3
でいいですか?

No.7216 - 2012/08/16(Thu) 12:34:42

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
遅くなりまして、すみませんでした!
ハイ、いいと思います。

次に、2回目に行きましょう。
このとき・・・
 ア お互いに、1回目と「同じ」色を取り出す
 イ お互いに、1回目とは「違う」色を取り出す
という2つの場合について考えましょう。

それぞれの確率はいくつになるでしょうか?

No.7221 - 2012/08/16(Thu) 16:44:05

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
ア お互いに、1回目と「同じ」色を取り出す
 Aさんが袋から 2回目も赤を取り出す確率は 1/5C1=1/5
 Bさんが袋から 2回目も赤を取り出す確率は 1/5C1=1/5
 1/5×1/5=1/25
   赤・青・緑の3通りあるので  1/25×3=3/25
ィ お互いに、1回目とは「違う」色を取り出す
 Aさんが袋から 2回目に白を取り出す確率は 2C1/5C1=2/5
 Bさんが袋から 2回目に白を取り出す確率は 2C1/5C1=2/5
  青を出す場合もあるので 2/5×2/5×2=8/25
   赤・青・緑の3通りあるので  8/25×3=24/25
  でいいですか?

No.7226 - 2012/08/17(Fri) 00:03:09

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
惜しいです。3色あるから3倍する、ということを2回しているようです。

例えば、アの方ですが、1回目も2回目も「同じ」色の玉を取り出す確率ですよね。
1回目の確率が1/3、2回目の確率が3/25だとすると、
その積から、(1/3)×(3/25)=1/25ということになりますね。

焦らずに、改めて考えてみましょう。
1回目に赤を取り出す確率は、1/9でした。
2回目も赤を取り出す確率は、1/25ですね。←ここまで、合っています。
と、言うことは、連続して赤を取り出す確率は
(1/9)×(1/25)=1/225であることがわかります。

同じ色を取り出すのは、赤・青・緑の3通りある訳ですから、
(1/225)×3=1/75となりませんか?

No.7231 - 2012/08/17(Fri) 12:59:49

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
はい。1/75となります。
ィ お互いに、1回目とは「違う」色を取り出す場合も同じように考えればいいですか?

No.7234 - 2012/08/17(Fri) 17:21:32

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
そうですね。
面倒に感じるかと思いますが、焦らずに求めてみましょう。

No.7235 - 2012/08/17(Fri) 19:44:07

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
ィ お互いに、1回目とは「違う」色を取り出す場合
(1/9)×(4/25)×2×3=24/225=8/75
           ↑
        1回目が赤とすると 2回目は青・緑の2種類 
  でいいですか?

No.7237 - 2012/08/17(Fri) 22:52:18

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
はい、私も同じ答えです。

長くなりましたが、(1)は、(1/75)+(8/75)=3/25ですね。

(2)以降は、(1)での考え方を使うと、
方針が立てやすいのではないでしょうか?

No.7239 - 2012/08/17(Fri) 23:54:04

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
よくわかりました。
(2)Aさんが袋から 1回目に赤を取り出す確率は 2C1/6C1=1/3
   Bさんが袋から 1回目に青を取り出す確率は 2C1/6C1=1/3
   1/3×1/3=1/9 
  Aさんが袋から 2回目に赤を取り出す確率は 1/5C1=1/5
  Bさんが袋から 2回目に赤を取り出す確率は 2C1/5C1=2/5
   1/5×2/5=2/25
  Aさんが袋から 2回目に緑を取り出す確率は 2C1/5C1=2/5
  Bさんが袋から 2回目に緑を取り出す確率は 2C1/5C1=2/5
   2/5×2/5=4/25    
    1/9×2/25×2×3=12/225=4/75   1/9×4/25×1×3=12/225=4/75
    4/75+4/75=8/75  でいいですか? 

No.7240 - 2012/08/18(Sat) 01:38:58

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
連日、返答が遅くてすみません。さて・・・

ものすごく惜しいです!
2回目について、
「1回目のどちらかの玉で、同じ色を取り出す」
「1回目とは違う色の玉を取り出す」
と2通りに分けて考えているのは、◎です。

>1/9×2/25×2×3=12/225=4/75   1/9×4/25×1×3=12/225=4/75

最後の計算で、「×3」としているのは、
“3色の中から2色を選ぶ”ということで、3C2をしているんだと思います。
つまり、このパターンは3通りある、と考えている訳ですが・・・
(A,B)=(赤,青)←1回目にAが赤、Bが青を取り出す
(A,B)=(青,赤)←1回目にAが青、Bが赤を取り出す
は、別物ではないですか?
そう考えると、全部で3通りではなく、何通りでしょうか?
そして、求める確率は?

No.7246 - 2012/08/18(Sat) 10:34:38

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
2回目について、
「1回目のどちらかの玉で、同じ色を取り出す」
(A,B)=(赤,青)←1回目にAが赤、Bが青を取り出す
(A,B)=(青,赤)←1回目にAが青、Bが赤を取り出す
それぞれ 2通りあるので 4通り(A,B)の色の組み合わせ3C2=3より 4×3=12です。
「1回目とは違う色の玉を取り出す」
(A,B)=(赤,青)←1回目にAが赤、Bが青を取り出す
(A,B)=(青,赤)←1回目にAが青、Bが赤を取り出す
それぞれ 1通りあるので 2通り(A,B)の色の組み合わせ3C2=3より 2×3=6です。
1/9×2/25×12=24/225=8/75   1/9×4/25×6=24/225=8/75
8/75+8/75=16/75  になりました。

No.7251 - 2012/08/18(Sat) 11:51:35

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
私も同じ答えです。

さぁ、最後の(3)ですね。
今までのようにして、取り組んでみると、どうなりますか?

No.7255 - 2012/08/18(Sat) 13:11:14

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
ァ1回目も2回目も「同じ」色の玉を取り出して3回目違う色の玉を取り出すとき、
  赤・赤・青           1/9×1/25×1/4×3×2=1/150
ィ1回目と2回目と3回目がそれぞれ違う色の玉を取り出すとき、
  赤・青・緑           1/9×4/25×1/4×6=2/75 
ゥ1回目と2回目が違って3回目に同じ色の玉を取り出すとき、
  赤・青・赤           1/9×4/25×1/16×12=1/75
     1/150+2/75+1/75=7/150 となりました。

No.7263 - 2012/08/18(Sat) 17:17:59

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
やっぱり遅くなってすみません。

質問1 ア,ウのように,2回同じ色を取り出すのは,もう1パターン無いですか?

質問2 ウで,最後に12倍しているのは,どのような計算からですか?
    (1,3回目の色の選び方で3通り,2回目の色の選び方で2通りだと思うのですが)

No.7281 - 2012/08/19(Sun) 12:41:37

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
ァ1回目も2回目も「同じ」色の玉を取り出して3回目違う色の玉を取り出すとき、
  赤・赤・青           1/9×1/25×1/4×3×2=1/150
↑↑             この3は   1回目も2回目も赤・赤、青・青、緑・緑 の3通り 
 この2は   3回目が 出る玉の色が2通り

ゥ1回目と2回目が違って3回目に同じ色の玉を取り出すとき、
  赤・青・赤           1/9×4/25×1/16×12=1/75
                          ↑
 この12は 1回目と2回目が違う玉の色が 6通り
       3回目が 出る玉の色が2通り
                     6×2=12にしたのですが どうですか?

No.7283 - 2012/08/19(Sun) 13:54:31

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
アの場合については,その6通りでいいと思います。

ウの場合については,1回目で取り出した色と3回目は同じですから,
2通りにはならないと思います。どうでしょうか?

質問1 についてですが,
アの場合で,赤 赤 青
ウの場合で,赤 青 赤
もう一つ, 青 赤 赤 が考えられますよね!?

No.7284 - 2012/08/19(Sun) 16:43:23

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
ウの場合で,赤 青 赤
もう一つ, 青 赤 赤 が考えられますよね!?

はい。考えられます。
ウの場合 赤 青 赤        (1/3×1/3)×(2/5×2/5)×(1/4×1/4)
     赤 青 青                                   青 赤 赤
     青 赤 青    (赤 青)で4通り
              (赤 緑)で4通り
              (青 緑)で4通り
    と 考えるのは 間違っていますか?  よろしくお願いします。

No.7285 - 2012/08/19(Sun) 17:33:16

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
では、具体的に書き出してみましょう。
アの場合(3回目だけ違う色)は、
(赤,赤,青),(赤,赤,緑),(青,青,赤),(青,青,緑),(緑,緑,赤),(緑,緑,青)
の6通りですね。

ウの場合(2回目だけ違う色)や,エの場合(1回目だけ違う色)も,色の順番が違うだけで
6通りずつあると思うんですよ。どうでしょうか?

No.7287 - 2012/08/19(Sun) 18:52:35

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
ウの場合(2回目だけ違う色)
(赤・青・赤)(青・赤・青)(赤・緑・赤)
(緑・赤・緑)(青・緑・青)(緑・青・緑)
  1/9×4/25×1/16×6=1/150
エの場合(1回目だけ違う色)
(赤・青・青)(青・赤・赤)(緑・赤・赤)                   (赤・緑・緑)(青・緑・緑)(緑・青・青)
  1/9×4/25×1/16×6=1/150
 
      ゥとェ 1/75
      ァ 1/150 ィ2/75   すみませんがよろしくお願いします。 

No.7288 - 2012/08/19(Sun) 20:09:13

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
いいと思います。

求める確率は、(1/150)×3+(2/75)=7/150ですね。
私も同じ答えです。

No.7289 - 2012/08/19(Sun) 20:42:11

Re: / シェリーメイ [関東] [高校1年生]
順序よく解説していただいたので よくわかりました。
ありがとうございました。

No.7292 - 2012/08/19(Sun) 22:38:35
(No Subject) / のっち推し [関東] [高校2年生]
こんにちは。2b標準問題精講の問題について質問があります。

演習121-3
相異なる3つの実数a,b,cがこの順に等比数列となっている。さらにc,a,bの順に等差数列となっている。また、a,b,cの和が6である。a,b,cを求めよ。

答えが(a,b,c)=(2,-4,8),(2,2,2)
となっているのですが、「相異なる3つの実数」だから(2,2,2)は不適ではないのか疑問に思っています。誤植かどうか調べてみたのですが、どこにも載っていなかったので、教えてください。
あと標問の数列で今後質問したい問題が多々あるので、その時はご協力お願いします!

No.7282 - 2012/08/19(Sun) 13:20:35

Re: / CORNO [東北] [教育関係者]
こんにちは,CORNO です.

その問題集は手元にありませんが,
書き込み通りであれば,のっち推しさんの言う通りだと思います.
ミスでしょう.

No.7286 - 2012/08/19(Sun) 18:03:39
(No Subject) / コルム [四国] [高校1年生]
数学?Tの問題です。
1から50までの50枚の番号札から、1枚引くとき、その番号が次のような数である確率を求めよ。
(1)3の倍数または4の倍数
(2)3の倍数でも、4の倍数でもない数
(ちなみに、P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)を利用するそうです。)
この問題が、分からないので、教えてください。
単元は、一般の和事象の確率です。

No.7200 - 2012/08/15(Wed) 22:48:18

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
何度も私ですみません。一緒に考えましょう。

まず(1)ですが、
1〜50までの整数で、3の倍数はいくつあるでしょうか?
同様に、4の倍数はいくつあるでしょうか?

No.7232 - 2012/08/17(Fri) 13:02:16

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
いいえ。
3の倍数は、50÷3で、16、6。。。で、16個です。
4の倍数は、50÷4で、12,5で、12個です。

No.7233 - 2012/08/17(Fri) 16:52:11

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
では、続けます。

(1)の3の倍数または4の倍数について、
1〜50までの整数について、いくつあるかを考えるとき、
単純に16+12=28としてはいけません。
何故だかわかりますか?

No.7236 - 2012/08/17(Fri) 19:47:48

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
何故でしょうか?
No.7248 - 2012/08/18(Sat) 11:39:43

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
では、確認しましょう。

1〜50までの3の倍数は、
3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48
ですね。

同じように4の倍数を考えて、見比べると、その意味がわかると思いますよ。

No.7256 - 2012/08/18(Sat) 13:15:39

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
4の倍数は、4,8,16,20,24、28、32、36、40、44、48です。
No.7257 - 2012/08/18(Sat) 13:18:39

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
3の倍数と、4の倍数に共通するものがあります。
No.7258 - 2012/08/18(Sat) 13:19:51

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
そうです。そのまま足すと、ダブルカウントしてしまうんですね。

ちなみに、共通するものは
12,24,36,48 という12の倍数です。(←3と4の公倍数ですね)

これがわかれば、ゴールは近いですよ。

では、それぞれの確率を求めましょう!!

No.7260 - 2012/08/18(Sat) 14:07:49

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
3の倍数または、4の倍数は、12+26−4=34でこれが、(1)の答えで、
(2)は、50ー34=16です。

No.7266 - 2012/08/18(Sat) 18:41:52

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
惜しいっ!!求めるのは、「確率」ですよ。
No.7267 - 2012/08/18(Sat) 18:43:17

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
としたら、(1)は、50分の34で、25分の17
(2)は、50分の16で、25分の8です。

No.7269 - 2012/08/18(Sat) 19:04:48

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
正解です。お疲れ様でした!
No.7279 - 2012/08/19(Sun) 10:52:54
(No Subject) / バリさん [四国] [高校1年生]
数学Aの夏休みの宿題でわからないので お願いします。
 
1つの箱の中に1から10までの数が書かれたカードが4枚ずつ計40枚入っている。この箱からk枚(3≦K≦12)のカードを同時に取り出す。このうちの3枚のカードが同じ数で残りはこれとは違う互いに異なる数となる確率をP(K)とする。
(1)P(K)を求めよ。
(2)4≦K≦12のとき、f(K)=P(K−1)/P(K)を求めよ。
(3)P(K)を最大にするKの値を求めよ。

(1)P(K)は 40枚からK枚取り出すから 40Ck 4枚中3枚取り出すので4C3
        1から10まであるので 10通り 残りのカード37枚中に異なる数
        のカードは36枚なので 
   P(K)= 4C3×10×36Ck-3/40Ckでいいのですか?

No.7201 - 2012/08/16(Thu) 00:42:20

Re: / IT [中国] [社会人]
ITです。いっしょに考えましょう。
「残りはこれとは違う『互いに異なる』数」なので例えば3枚同じカードが1の場合
残りは、(2、3、4・・・)はokですが、2が2枚以上ある(2、2、3・・・)はNGですから36Ck-3にはならないと思います。これはいいですか?

No.7202 - 2012/08/16(Thu) 02:27:36

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
はい。そしたら、「残りはこれとは違う『互いに異なる』数」の表し方についてお願いします。
No.7217 - 2012/08/16(Thu) 12:43:35

Re: / IT [中国] [社会人]
> はい。そしたら、「残りはこれとは違う『互いに異なる』数」の表し方についてお願いします。

最初の3枚のカード以外の 残りのカードの数字の『種類』は全部でいくつありますか?
それぞれ4枚ありますが、まず数字の『種類』の組み合わせの数を数えます。
そして、同じ数字のものが4枚あるのでそれぞれ4通りの場合があります。
k-3種類(各1枚)選ぶのですから・・・
これで分かりますか?

No.7218 - 2012/08/16(Thu) 13:46:10

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
最初の3枚のカード以外の 残りのカードの数字の『種類』は全部で9つあります.
9Ck-3でいいですか?

No.7219 - 2012/08/16(Thu) 15:41:12

Re: / IT [中国] [社会人]
そうですね。同じ数字のカードがそれぞれ4枚あるので、どのカードを選ぶかは何通りですか?※同じ数字でも区別をつける(2A、2B、2C、2D)、(3A、3B、3C,3D)というふうに・・・・
(9Ck-3)× ・・・

No.7220 - 2012/08/16(Thu) 15:52:17

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
(9Ck-3)×4 でいいですか?
No.7222 - 2012/08/16(Thu) 17:43:41

Re: / IT [中国] [社会人]
おしい、もう少しです
k-3 枚それぞれ4通りの選び方がありますから・・・

No.7223 - 2012/08/16(Thu) 17:46:05

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
すみませんが、考えても分からないので もう少し解説よろしくお願いします。
No.7225 - 2012/08/16(Thu) 23:46:36

Re: / IT [中国] [社会人]
k-3 枚それぞれ4通りの選び方がありますから
4×4×・・・×4 (k-3乗)で 4^(k-3)通りです。

これまでのを全部掛け合わせるとどうなりますか?説明つきで書いて見てください。

No.7227 - 2012/08/17(Fri) 00:19:09

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
40枚からK枚取り出すから 40Ck 
最初の3枚のカードは 4枚中3枚取り出すので4C3 種類が10
残りのカードはk-3 枚で、それぞれ4通りの選び方があるので4^(k-3)種類は9Ck-3 P(K)=4C3×10×4^(k-3)×9Ck-3 / 40Ck  でいいですか?             

No.7230 - 2012/08/17(Fri) 10:35:48

Re: / IT [中国] [社会人]
式はそれでいいと思いますが、考える順番としては

最初の3枚のカードは 数の種類が10通り、4枚中3枚取り出すので4C3通り
残りのカードはk-3 枚で、数の組み合わせの数は9Ck-3通り、それぞれの数毎に4通りの選び方があるので4^(k-3)
 P(K)=10×4C3×9Ck-3×4^(k-3)/ 40Ck

の方が分かりやすいのではないでしょうか?         

No.7238 - 2012/08/17(Fri) 23:01:11

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
わかりました。P(K)の式の計算は どのようにするのですか?
このままでいいのですか?  よろしくお願いします。

No.7241 - 2012/08/18(Sat) 01:43:22

Re: / IT [中国] [社会人]
とりあえずこのままにしておいて
(2)のP(K−1)/P(K)を計算するとどうなりますか?

No.7242 - 2012/08/18(Sat) 01:57:29

Re: / バリさん [中国] [高校1年生]
P(K)=10×4C3×9Ck-3×4^(k-3)/ 40Ck
P(K−1)=10×4C3×9Ck-4×4^(k-4)/ 40Ck-1
P(K−1)/P(K)=41-K/K-3
K=12のとき  P(K)=12-3=9   最大値は9 でいいですか?

No.7243 - 2012/08/18(Sat) 08:16:10

Re: / IT [中国] [社会人]
> P(K)=10×4C3×9Ck-3×4^(k-3)/ 40Ck
> P(K−1)=10×4C3×9Ck-4×4^(k-4)/ 40Ck-1

ここまではいいと思いますが。
> P(K−1)/P(K)=41-K/K-3
(41-K)/(K-3)ですか?これは私の計算結果と合いません。
共通因数の10×4C3と4^(k-4)を消した後からの途中の式を書いてみてください。

No.7244 - 2012/08/18(Sat) 09:23:20

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
計算間違いしてました。
9Ck-3=9!/(k-3)!(12-k)!
9Ck-4=9!/(k-4)!(13-k)!
40Ck=40!/k!(40-K)!
40Ck-1=40!/(k-1)!(41-k)!
P(K−1)=9!(k-1)!(41-k)!/40!(k-4)!(13-k)!
P(K)=9!k!(40-K)!×4 / 40!(k-3)!(12-k)!
P(K−1)/P(K)=(k−3)(41−k)/4k(13-k)
これでいいですか?

No.7247 - 2012/08/18(Sat) 10:57:45

Re: / IT [中国] [社会人]
あってると思います。
No.7249 - 2012/08/18(Sat) 11:43:40

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
ありがとうございます。
(3)は      P(K)=4k(13-k)
              =-4(k-13/2)^2 + 169
        3≦K≦12より k=6・7  でいいですか?

No.7252 - 2012/08/18(Sat) 12:04:21

Re: / IT [中国] [社会人]
> (3)は      P(K)=4k(13-k)
この式は、どうやって出てきましたか?

No.7253 - 2012/08/18(Sat) 12:31:06

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
P(K−1)/P(K)=(k−3)(41−k)/4k(13-k)より
 P(K)=4k(13-k)としたら 間違いですか?

No.7254 - 2012/08/18(Sat) 13:09:41

Re: / IT [中国] [社会人]
間違いです。
例えば
A=6C^2、B=2CDのとき
A/B = 3C/D よってA =3C、B=D は誤りですよね。
p(k)はあくまでも(1)で求めた式です。

No.7259 - 2012/08/18(Sat) 13:20:00

Re: / IT [中国] [社会人]
P(K−1)/P(K) と1との比較によって P(K)の増減を調べ 最大値をとるKを調べます。

それぞれP(K−1)/P(K)がどういう場合に
P(K−1)< P(K)
P(K−1)= P(K)
P(K−1)> P(K)
であるといえるでしょうか?

No.7261 - 2012/08/18(Sat) 14:23:34

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
P(K−1)< P(K)のとき、P(K−1)− P(K)<0
                K²+32K-41<0  -16.55<K<0.55 より不適
P(K−1)= P(K)のとき、P(K−1)− P(K)=0          
                 3≦K≦12より 不適

P(K−1)> P(K)のとき、P(K−1)− P(K)>0
            -16.55>K 0.55<K  3≦K≦12より 最大値K=12でいいですか?

No.7262 - 2012/08/18(Sat) 16:35:39

Re: / IT [中国] [社会人]
K²+32K-41<0 は、どうやって出てきましたか? 途中式をお願いします。
No.7264 - 2012/08/18(Sat) 18:08:24

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
P(K−1)/P(K)<1として 両辺にP(K)をかけるとP(K−1)− P(K)<0
(k−3)(41−k)−4k(13-k)<0
展開すると K²+32K-41<0 になりました。

No.7265 - 2012/08/18(Sat) 18:24:01

Re: / IT [中国] [社会人]
> P(K−1)/P(K)<1として 両辺にP(K)をかけるとP(K−1)− P(K)<0
P(K−1)/P(K)=(k−3)(41−k)/4k(13-k)<1
方針はいいですがP(K)ではなくて 4k(13-k)(>0)を掛けてますよね。
(4k(13-k)を掛けて良いのですが「両辺にP(K)をかけると・・・」と説明するのは間違いです)

> (k−3)(41−k)−4k(13-k)<0
> 展開すると K²+32K-41<0 になりました。

計算が違うのではないですか?再確認してください。

No.7268 - 2012/08/18(Sat) 18:52:51

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
P(K−1)< P(K)のとき、P(K−1)− P(K)<0            (k−3)(41−k)−4k(13-k)<0の計算間違いしてました。
  3K²−8K−123<0   −5.2<K<7.87  K=3・4・5・6・7
P(K−1)= P(K)のとき、P(K−1)− P(K)=0
    Kは整数より 不適  
P(K−1)> P(K)のとき、P(K−1)− P(K)>0
  3K²−8K−123>0   −5.2>K  K>7.87   K=8・9・10・11・12 
これでいいですか? ここから どう求めるのですか?  

No.7270 - 2012/08/18(Sat) 21:16:31

Re: / IT [中国] [社会人]
> P(K−1)< P(K)のとき、P(K−1)− P(K)<0
P(K−1)− P(K)<0 とせずP(K−1)/P(K)<1 とすべきです。
           
P(K−1)< P(K)
⇔ f(k)=P(K−1)/P(K)<1
⇔ 3K²−8K−123<0
−5.2<K<7.87 kは4≦k≦12なる整数なので  K=4・5・6・7
よってP(4)<P(5)<P(6)<P(7)

P(K−1)= P(K)になるのは
3K²−8K−123=0のときだが  Kは整数なので 存在しない

P(K−1)> P(K)
⇔ f(k)=P(K−1)/P(K)>1
⇔ 3K²−8K−123>0  
  −5.2>K  K>7.87 
  kは4≦k≦12なる整数なので  K=8・9・10・11・12
よってP(7)>P(8)>P(9)>P(10)>P(11)>P(12)

すなわちP(4)<P(5)<P(6)<P(7)>P(8)>P(9)>P(10)>P(11)>P(12)
よってP(k)が最大になるのは、k=  のときである。 で分かりますか?

No.7271 - 2012/08/18(Sat) 21:45:18

Re: / IT [中国] [社会人]
P(K−1)< P(K)⇔ P(K−1)− P(K)<0 の流れでP(K)の増減を調べても良いですが、
この問題では(2)で P(K−1)/P(K)を計算しているので、それを使うのが流れかなと思います。

流れを整理すると
P(K)>0なので
P(K−1)< P(K)(⇔ P(K−1)− P(K)<0)
⇔ P(K−1)/P(K)<1
⇔(k−3)(41−k)/4k(13-k)<1
⇔(k−3)(41−k)<4k(13-k)
⇔(k−3)(41−k)- 4k(13-k)<0
⇔ 3K²−8K−123 < 0

No.7272 - 2012/08/18(Sat) 22:34:36

Re: / バリさん [四国] [高校1年生]
よくわかりました。P(k)が最大になるのは、k= 7 のときです。丁寧に解説していただきありがとうございました。
No.7275 - 2012/08/19(Sun) 00:56:39
(No Subject) / ほ [高校1年生]
問題1 さいころ3個の出た目を 当てるくじがあります。ルール は次の通りです。 1 さいころ3個を同時に投げた ときに何と何の目が出るかを予 想する。 2 予想した3つの数字を申込書 に「1、4、2」のように書いて 申し込む。ただし「2、4、1」 「4、1、2」など数字の順序を 入れかえたものはすべて同じ種 類とする。 3 書いた3つの数字と3つのさ いころの出た目がすべて一致し ていれば当たり。 このくじで、必ず当たりを出 したいと思ったら、少なくとも 何種類の申込書を出せばよいで すか。

問題2 みかんとりんごの割合が 2:1になっているミックスジュー スAと、みかんとりんごの割合 が1:5になっているミックス ジュースBがそれぞれ420gずつ あります。このミックスジュー スAとミックスジュースBを混ぜ て、みかんをとりんごの 割合が1:4になるようにミックス ジュースCを作ります。ミック スジュースCは最も多くて何gで きますか。

解説詳しくよろしくお願いしま す(>_<)

No.7224 - 2012/08/16(Thu) 20:25:26
(No Subject) / コルム [四国] [高校1年生]
数学Aの問題です。
余事象を使うとおもうのですが、問題は、2個のさいころを同時に投げるとき、異なる目
が出る確率をもとめよ。
この問題が、わかりません。

No.7186 - 2012/08/15(Wed) 15:29:05

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
連続ですみません。一緒に考えましょう。

1 2つのさいころを同時に投げるとき、
  目の出方は全部で何通りありますか?

2 余事象を使うということですので、
  異なる目が「出ない」場合は、何通りあると思いますか?

No.7187 - 2012/08/15(Wed) 17:16:17

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
1、36通り
2、6通りです。

No.7188 - 2012/08/15(Wed) 17:33:52

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
OKです。

と言うことは、
異なる目が「出ない」確率は、いくつでしょうか。

No.7189 - 2012/08/15(Wed) 17:41:13

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
30通りです。
No.7191 - 2012/08/15(Wed) 18:32:27

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
間違えました。36分の6です。
No.7192 - 2012/08/15(Wed) 18:35:09

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
遅くなりました、すみません。

その通り、6/36です。
余事象は、1-(異なる目が「出ない」確率)ですから、
求める確率は、いくつになりますか?

No.7193 - 2012/08/15(Wed) 20:18:32

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
36分の30で、6分の5です。
No.7195 - 2012/08/15(Wed) 21:13:27

Re: / 農場長 [九州] [学校教員]
正解です!
余事象の考えを使った解き方のイメージがつかめてますね。
これにて、一件落着です。

No.7196 - 2012/08/15(Wed) 21:30:51

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
ありがとうございます。
No.7199 - 2012/08/15(Wed) 22:38:45
(No Subject) / まみたん [四国] [高校1年生]
二項定理の問題です。
 
aを実数とする。(1+ax)^5(x-2/x)^4の展開式における、X^4の係数が41となるような aの値を求めよ

(1+ax)^5の展開式の一般項は 5Cr1^5-r・(aX)^r
(x-2/x)^4の展開式の一般項は 4CsX^4-s・(-2/x)^s
(1+ax)^5(x-2/x)^4の展開式の一般項は 5Cr4Cs1^5-r・a^5(-2)^sx^r+4-2s
   r+4-s=4  より r=2s
  s=1 r=2  -80a^2=41
  s=2 r=4  120a^4=41
 aの値を どう求めたらいいのですか? よろしくお願いします。

No.7175 - 2012/08/14(Tue) 10:31:59

Re: / まみたん [四国] [高校1年生]
自分で解決しました。
No.7197 - 2012/08/15(Wed) 21:31:02
(No Subject) / コルム [四国] [高校1年生]
36分の30で、約分すると、6分の5です。
No.7194 - 2012/08/15(Wed) 21:10:45
(No Subject) / コルム [四国] [高校1年生]
30通りです。
No.7190 - 2012/08/15(Wed) 18:31:53
(No Subject) / コルム [四国] [高校1年生]
数学?Tの問題です。
√5の整数部分をa、小数部分をbとするとき次の問題に答えよ。
(1)aとbを求めよ。
(2)a分のbの整数部分をもとめよ。
この問題がわかりません。

No.7152 - 2012/08/12(Sun) 20:28:27

Re: / 農場長 [九州] [教育関係者]
コルムさん、こん○○は。農場長と申します。
よろしくお願いします。

まず、√5の整数部分aを求めましょう。
√5は、2乗すると5になる数と考えると、
だいたい、いくつくらいだと思いますか?

No.7156 - 2012/08/13(Mon) 13:55:00

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
2だと思います。
No.7163 - 2012/08/13(Mon) 19:43:14

Re: / 農場長 [九州] [教育関係者]
オッケーです。この時点で、(1)のa=2ですね。

ではbですが、
例えば、1.234という小数で考えましょう。
この場合、a=1、b=0.234ですね。
元々の数である1.234をaとbで表すと、どうなると思いますか?

No.7164 - 2012/08/13(Mon) 20:26:46

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
a+bだとおもいます。
No.7167 - 2012/08/13(Mon) 20:59:21

Re: / 農場長 [九州] [教育関係者]
その通り!いい感じです。と言うことは、√5=a+bです。
a=2ですから、√5=2+bですね。これより、b=(√5)-2です。

では、(2)に移りましょう。
この問題文は、分子がa、分母がbということでしょうか?
(ちなみに、a/bと表します)
問題文の確認をお願いします。

私のとらえ方で間違いが無ければ、コルムさんは有理化がわかっていれば解決しますよ。

No.7168 - 2012/08/13(Mon) 21:17:24

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
はい。
有理化すると、2√5+4です。

No.7170 - 2012/08/13(Mon) 21:53:09

Re: / 農場長 [九州] [教育関係者]
おぉ!バッチリじゃないですか。

ちなみに、√5の近似値をご存知ですか?
√2=1.414・・・
√3=1.732・・・
と、こんな感じのヤツですが。

知らなければ(私も√2、√3、√5しか知りません)、
(2.1)^2=?、(2.2)^2=?と計算を進めて、5に近づく数を探しましょう。
小数第一位まででOKですよ。

No.7171 - 2012/08/14(Tue) 07:16:35

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
4,84<√5<5,29です。
No.7179 - 2012/08/14(Tue) 17:34:05

Re: / 農場長 [九州] [教育関係者]
(2.2)^2=4.84、(2.3)^2=5.29ですね。
したがって、√5は2.2から2.3の間の数であることがわかります。
と、言うことは、2√5は4.4から4.6の間の数です。

最後のまとめです。(2√5)+4の整数部分は、いくつですか?

No.7180 - 2012/08/14(Tue) 17:45:43

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
あの、答えのは、4<2√5<5に、なっているのですが・・・。
整数部分は、8であっているのですが・・・。

No.7181 - 2012/08/14(Tue) 18:08:27

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
なぜ、2√5が、4と、5の間なのでしょうか?
No.7182 - 2012/08/14(Tue) 18:09:29

Re: / 農場長 [九州] [教育関係者]
> なぜ、2√5が、4と、5の間なのでしょうか?

整数の4,5をそれぞれ√を使って表すと、
4=√16
5=√25
ですね。
また、2√5=√20ですよね。(2√5=2×√5=√4×√5=√20)
これより、√16<√20<√25ですから、4<2√5<5と表せるのです。

ちなみに、4.4<2√5<4.6としているのは、
2√5をより狭い(正確な?)範囲で表現していると解釈できませんか?

No.7183 - 2012/08/14(Tue) 18:20:20

Re: / コルム [四国] [高校1年生]
はい。とてもよくわかりました。ありがとうございます。
No.7184 - 2012/08/14(Tue) 18:29:36
(No Subject) / きいちゃん [近畿] [高校1年生]

こんばんわ。確率の問題で質問があります。

<問題>
乗客定員9名の小型バスが二台あります。乗客10人が座席を区別せずに二台のバスに分乗します。

(1)人も車も区別して分乗する方法は何通りあるか。
(2)10人のうちの特定の5人が同じ車になるように分乗する方法は何通りあるか。

(1)は、車をA、Bとしたとき10人にはA、Bの二通りの選び方があるので、2^10で良いのでしょうか?

(2)は、特定の5人を選ぶ方法は10C5ですが、その後が分かりません。

よろしくお願いします。

No.7148 - 2012/08/12(Sun) 18:15:38

Re: / CORNO [東北] [教育関係者]
こんばんは,CORNO です.

>(1)は、車をA、Bとしたとき10人にはA、Bの二通りの選び方があるので、2^10で良いのでしょうか?
考え方は正しいのですが,これだと10人全員が1台のバスに乗り込む場合が出てきます.
その場合を引きましょう.

>(2)は、特定の5人を選ぶ方法は10C5ですが、
いいえ,特定の5人ということは,10人のうちの誰か5人ではありません.
確定した5人なので,1通りです.

で,きいちゃんさん,問題は確かにこの通りですか?一言一句この通りですか?
これだと問題として不完全だと思うのですが…
たとえば,(2) では車を区別するのかどうかが判然としません.
その辺のところと,(1) の続きを書き込んでください.
できればこの問題の出典(学校の課題,××大の**年の入試問題,etc.)もお願いします.

No.7149 - 2012/08/12(Sun) 18:34:28

Re: / きいちゃん [近畿] [高校1年生]
返信ありがとうございます。この問題は、学校の夏休みの宿題です。
<問題>乗客定員9名の小型バスが二台あります。乗客10人が座席を区別せずに二台のバスに分乗します。人も車も区別しないで、人数の分け方だけを考えて分乗する方法はァ□通りあり、人は区別しないが車は区別して分乗する方法はィ□通りある。更に人も車も区別して分、その中で10人のうちの特定の5人が同じ車になるように分乗する方法はェ□通りある。 
       ↑
   ァは5通り ィは9通り となったのですが、ゥ ェが分からないので質問しました。ゥは 10人全員が1台のバスに乗り込む場合2通りをひいて、2^10-2=1022でいいのですか? 乗客定員9名のバスに10人乗ると考えてもいいのですか? よろしくお願いします。

No.7153 - 2012/08/12(Sun) 23:05:25

Re: / きいちゃん [近畿] [高校1年生]
> 返信ありがとうございます。この問題は、学校の夏休みの宿題です。
> <問題>乗客定員9名の小型バスが二台あります。乗客10人が座席を区別せずに二台のバスに分乗します。人も車も区別しないで、人数の分け方だけを考えて分乗する方法はァ□通りあり、人は区別しないが車は区別して分乗する方法はィ□通りある。更に人も車も区別して分乗する方法はゥ□通りあり、その中で10人のうちの特定の5人が同じ車になるように分乗する方法はェ□通りある。 
>        ↑
>    ァは5通り ィは9通り となったのですが、ゥ ェが分からないので質問しました。ゥは 10人全員が1台のバスに乗り込む場合2通りをひいて、2^10-2=1022でいいのですか? 乗客定員9名のバスに10人乗ると考えてもいいのですか? よろしくお願いします。

No.7154 - 2012/08/12(Sun) 23:07:48

Re: / CORNO [東北] [教育関係者]
おはようございます.

ウは1022通りでしょう.

No.7155 - 2012/08/13(Mon) 11:29:07

Re: / きいちゃん [近畿] [高校1年生]
返信ありがとうございます。
いいえ,特定の5人ということは,10人のうちの誰か5人ではありません.
確定した5人なので,1通りです.
   ↑
  2^5-2=14 でいいのですか? よろしくお願いします。

No.7165 - 2012/08/13(Mon) 20:38:05

Re: / CORNO [東北] [教育関係者]
おはようございます,続けます.

>2^5-2=14 でいいのですか?
なぜ2を引くのでしょうか?
何が2通りなのでしょう?
このくらいの問題になると,機械的に考えても解けません.
しっかりと意味を考えて式を立てましょう.

でもその前に,「特定の5人」はAとBのどちらのバスに乗るのでしょうか?
まずそこからじっくりと考えましょう.

No.7172 - 2012/08/14(Tue) 08:41:19

Re: / きいちゃん [近畿] [高校1年生]
返信ありがとうございます。
「特定の5人」が AかBのどちらかのバスに乗るので 2通り、
残りの5人には A、Bの2通りの選び方があるので、2^5 でいいのですか?
よろしくお願いします。

No.7173 - 2012/08/14(Tue) 09:38:15

Re: / CORNO [東北] [教育関係者]
惜しい,あと一歩です.
それだと,やはり全員が片方のバスに乗る場合ができてしまいます.
今こそマイナス2です.

No.7174 - 2012/08/14(Tue) 09:58:32

Re: / きいちゃん [近畿] [高校1年生]
返信ありがとうございます。

2×2^5-2=62通りでいいですか?

No.7176 - 2012/08/14(Tue) 10:44:32

Re: / CORNO [東北] [教育関係者]
いいと思いますよ.
No.7177 - 2012/08/14(Tue) 13:10:10

Re: / きいちゃん [近畿] [高校1年生]
丁寧に解説していただきありがとうございまいた。
No.7178 - 2012/08/14(Tue) 13:14:35
Re: / AAA [東海] [高校2年生]
こんにちわ。
存在条件の同値変形について質問があります。


a>0、b>0、z>0とする。
x^2+ax+y^2-b^2+z^2=0 …?@
x^2-a^2+y^2+by+z^2=0 …?A
について、?@、?Aを共に満たすzの存在条件を求めよ。

という問題です。
2通りの方法を考えたのですが、結果が食い違うので質問しました。

(解法1)
?@−?Aよりax-by+a^2-b^2=0 …?Bを得て、
?@かつ?A⇔?@かつ?Bから、
円?@と直線?Bが共有点を持つ条件を考えて、
z≦3ab/(2√(a^2+b^2))

(解法2)
?@、?Aのおのおのを、まずxについての2次方程式とみて
判別式が正より、yについての2次の条件式を得る。
これら2式より、yについての存在条件を考えて
z≦√((1/4)a^2+b^2) …?B
z≦√(a^2+(1/4)b^2) …?C
の?Bかつ?Cであるから、
a≧bのとき?B
a<bのとき?C

解法1の方が合理的で正確かと思いますが、解法2にも非が見つけられません。
どこに問題があるのでしょうか。

No.7146 - 2012/08/12(Sun) 12:47:34

Re: / IT [中国] [社会人]
こんにちはITです。いっしょに考えましょう。
(解法2)では、同じ(x,y,z)が、?@、?Aを共に満たすという条件を落としていませんか?

No.7147 - 2012/08/12(Sun) 15:00:58

Re: / AAA [東海] [高校1年生]
最後に、「?@での存在条件」かつ「?Aでの存在条件」を考えているので、大丈夫かと思っていましたが、やはり、?@だけ、?Aだけをそれぞれ考えてはいけないのですか?

ということは結局解法1に落ち着くのですか?

No.7166 - 2012/08/13(Mon) 20:57:05

Re: / IT [中国] [社会人]
繰り返しになりますが、?@?Aを同時に満たすx,y,zの存在確認ができていませんからダメです。もう一度よく考えてみてください。
No.7169 - 2012/08/13(Mon) 21:30:13
(No Subject) / まみたん [四国] [高校1年生]
こんばんは、初めて投稿します。
学校の夏休みの宿題で分からない問題ができたので、教えてください。

<問題>
nを3以上の自然数とする。さいころをn回投げるとき、1の目がちょうど3回出る確率をPnとする。ではn×Pnが最大になるときのnを求めよ。

Pnが最大となるnは17、18ですがどうしてn×Pnの最大値が23になるか分かりません。
よろしくお願いします。

No.7133 - 2012/08/09(Thu) 21:51:22

Re: / IT [中国] [社会人]
> Pnが最大となるnは17、18ですがどうしてn×Pnの最大値が23になるか分かりません。
> よろしくお願いします。

まみさんこんばんはITです。いっしょに考えましょう。

Pnはどんな式になりましたか?
n×Pnはどうですか?
n×Pnの最大値が23 ではなくて n×Pnが最大となるnが23ではないですか?

Pnが最大となるnはどうやって求めましたか?

No.7135 - 2012/08/10(Fri) 00:03:52

Re: / まみたん [四国] [高校1年生]
返信ありがとうございます!
こちらの間違いで、ITさんがおっしゃる通り、n×Pnが最大となるnが23でした。

Pnが最大となるnは、Pn≧Pn+1よりn=17、18になりました。
Pnの式は、Pn=nC₃(1/6)³(5/6)^n-3になりました。

ここからが分かりません。お願いします。

No.7138 - 2012/08/10(Fri) 13:43:20

Re: / IT [中国] [社会人]
「Pn≧Pn+1より」だけでは少し説明不足ですが、Pnの増減を調べるってことですよね。

n×PnもPnと同じように増減を調べれば良いのです。

(n+1)×P(n+1)とn×Pn を比較するため 差の正負を調べることにしましょう。

Pn=nC₃(1/6)³(5/6)^n-3を使って
(n+1)×P(n+1) - n×Pn を計算してください。
(計算途中も要所は書いてください。できるだけ共通因数は括って整理して下さい)

No.7139 - 2012/08/10(Fri) 18:14:41

Re: / IT [中国] [社会人]
nC₃は、このままではなく計算結果を使ってください。n(n-1)・・のように(・・も具体的な数式が入ります)
No.7140 - 2012/08/10(Fri) 20:56:04

Re: / まみたん [四国] [高校1年生]

(n+1)×P(n+1) = (n+1)×(n+1)n(n-1)/3・2・1(1/6)³(5/6)^n-2
  n×Pn  = n×n(n-1)(n-2)/3・2・1(1/6)³(5/6)^n-3
(n+1)×P(n+1) - n×Pn=n(n-1)/3・2・1(1/6)³(5/6)^n-3{(n+1)²/6・5/6-n(n-2)/6}
計算は これでよいのですか。よろしくお願いします。

No.7141 - 2012/08/10(Fri) 22:02:51

Re: / IT [中国] [社会人]
{(n+1)²/6・5/6-n(n-2)/6}は {(n+1)²・5/6 - n(n-2)}では? /6が余分なような気がしますが(後でしっかり見てみます)

1/6を{(n+1)²・5/6 - n(n-2)}の外に出して
(n+1)×P(n+1) - n×Pn =(n(n-1)/6)(1/6)³(5/6)^(n-3)(1/6){(n+1)²・5 - n(n-2)・6}とし
(n+1)²・5 - n(n-2)・6 の正負を調べましょう。展開して整理するとどうなりますか?

No.7142 - 2012/08/10(Fri) 22:36:34

Re: / まみたん [四国] [高校1年生]
 (n+1)×P(n+1) - n×Pn(n+1)²・5 - n(n-2)・6 = -n²+22n+5 より       n=22のとき (n+1)×P(n+1) - n×Pn >0                    n=23のとき (n+1)×P(n+1) - n×Pn <0
 よって n=23 のとき 最大になるのですね。 
 大変よくわかりました。 ありがとうございました。

No.7143 - 2012/08/11(Sat) 00:24:49

Re: / IT [中国] [社会人]
n=22、23 での増減を調べただけでは、最大という証明になりません。

-n²+22n+5 = -n(n-22)+5 より
  3≦n≦22のとき (n+1)×P(n+1) - n×Pn>0                     
  n≧23のとき   (n+1)×P(n+1) - n×Pn<0
よってn×Pnが最大となるのはn=23のとき。
とすべきです。

前にも少し触れたように
>Pnが最大となるnは、Pn≧Pn+1よりn=17、18になりました。
これも同様に
  3≦n<17のとき Pn<Pn+1
  n=17のとき Pn=Pn+1 (すなわちP17=P18)
  n≧18のとき Pn>Pn+1 
  よってPnが最大となるのはn=17、18のとき
とすべきです。

No.7144 - 2012/08/11(Sat) 00:38:05

Re: / まみたん [四国] [高校1年生]
よくわかりました。
ありがとうございました。

No.7145 - 2012/08/11(Sat) 08:34:27
以下のフォームに記事No.と投稿時のパスワードを入力すれば
投稿後に記事の編集や削除が行えます。
299/300件 [ ページ : << 1 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | 過去ログ | 画像リスト ]