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リュケイオン 「高校数学質問掲示板」





新矢（運営者）より
　この掲示板は、「数学がもっと出来るようになりたい！」という向学心旺盛な高校生・大学受験生からの、高校数学に関する解からない問題の質問にお答えする“学習指導の場”です。高校数学で困っている人の力になりたいという，多くの指導者・社会人・大学生・院生の方々の善意により運営されています。主な回答者の皆さま

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★ 数学的帰納法 / リム ♂ [中国] [高校2年生]
こんばんわ。はじめて投稿します。出典は数学参考書の例題です。
（問題）
数列ａ［１］,ａ［２］,・・・ａ［ｎ］,・・・が関係式ａ［ｎ＋１］＝２ａ［ｎ］＾２−１（ｎ≧１）を満たしているとする。ａ［Ｎ］＝１を満たすＮ（ただし、Ｎ≧２）があるとき、次の問いに答えよ。
（１）∣ａ［１］∣≦１を証明せよ。
（２）ａ［１］＝ｃｏｓｋπ／２＾（Ｎ−２）（ｋはある整数）を証明せよ。

（解答）
（１）（２）の解答には使用しないため省略させていただきます。
（２）
　　∣ａ［１］∣≦１だからａ［１］＝ｃｏｓθとなるθが存在する。
　　このとき
　　ａ［２］＝２ａ［１］＾２−１＝２ｃｏｓ＾２θ−１＝ｃｏｓ２θ
　　さらに、ａ［ｎ］＝ｃｏｓ２＾（ｎ−１）θ・・・?@が成り立つと推定すると、ｎ＋１のときは
　　ａ［ｎ＋１］＝２ａ［ｎ］＾２−１＝２ｃｏｓ＾２　２＾（ｎ−１）θ−１＝ｃｏｓ２・２＾（ｎ−１）θ＝ｃｏｓ２＾ｎθ・・・?Aが成り立つ。
　　よって数学的帰納法によりすべてのｎについて、?@は正しい。　
　　したがって、ａ［Ｎ］＝ｃｏｓ２＾（ｎ−１）θ＝１
　　∴２＾（Ｎ−１）θ＝２ｋπ（ｋは整数）　∴θ＝ｋπ／２＾（Ｎ−２）
　　よって、ａ［１］＝ｃｏｓ{ｋπ／２＾（ｎ−２）}（ｋは整数）が成り立つ。

（質問１）
　　ａ［３］＝２ａ［２］＾２−１＝２ｃｏｓ＾２　２θ−１＝ｃｏｓ２＾２θ
　　ａ［４］＝２ａ［３］＾２−１＝２ｃｏｓ＾２　２＾２θ−１＝ｃｏｓ２＾３θと作　　ってみて、
　　ａ［ｎ］＝２ａ［ｎ−１］＾２−１＝２ｃｏｓ＾２　２＾（ｎ−２）θ−１＝ｃｏｓ２＾（ｎ−１）θを導き、?@を推定し、さらにこれから?Aを導いたとして、間違いはないでしょうか。
（質問２）
　　∴２＾（Ｎ−１）θ＝２ｋπ（ｋは整数）の右辺はどこから出てきたのでしょうか。
　　　三角関数の一般角ですか。　　
　　
No.9444 - 2014/03/12(Wed) 20:32:56
☆ Re: 数学的帰納法 / kinopy ♂ [塾講師]
リムさん，はじめまして。kinopyです^^

別の質問者の方が誤操作をしてしまっていたようで，失礼しました。

さて…
（質問１）への回答
「?@を推定し」
まではいいですよ。
この問題の場合は，a_2までで気づくかもしれませんが，a_5くらいまで求めないと分からない場合もありますから。

「?Aを導いたとして」
導き方は解答のような方法ですよね？ならばOKです。
（一部分Nとnがごっちゃになってますが，理解はされているものと判断しています）

（質問２）への回答
仰るとおり一般角です。

追加質問がありましたらご遠慮なくどうぞ。
No.9449 - 2014/03/12(Wed) 23:26:20
☆ Re: 数学的帰納法 / リム ♂ [中国] [高校2年生]
「ａ［Ｎ］＝ｃｏｓ２＾（ｎ−１）θ＝１」が

「∴２＾（Ｎ−１）θ＝２ｋπ（ｋは整数）」になる意味がいまひとつわかりません。

三角関数が苦手なものですから。

なお、問題文はａ[Ｎ]（Ｎ≧２）となっており、ａ[ｎ]（ｎ≧１）とは区別されてます。　
No.9450 - 2014/03/13(Thu) 00:06:29
☆ Re: 数学的帰納法 / kinopy ♂ [塾講師]
こんばんは。遅くまで頑張っていますね。


Nとnの区別に関しては，私の言い方が分かりにくかったですね…
＞　したがって、ａ［Ｎ］＝ｃｏｓ２＾（ｎ−１）θ＝１
＞　∴２＾（Ｎ−１）θ＝２ｋπ（ｋは整数）　∴θ＝ｋπ／２＾（Ｎ−２）
＞　よって、ａ［１］＝ｃｏｓ{ｋπ／２＾（ｎ−２）}（ｋは整数）が成り立つ。
以上のnは全てNなのは大丈夫ですよね？って言いたかったんです。


少し確認させて下さい。
0≦x≦4πの範囲で，cos x=1の解を求めることはできますか？

OKなら，xの範囲が全実数でcos x=1の解を求めるとどうなるでよう？
No.9452 - 2014/03/13(Thu) 03:49:22
☆ Re: 数学的帰納法 / リム ♂ [中国] [高校2年生]
おはようございます。
０≦ｘ≦４πの範囲で、ｃｏｓｘ＝１の解は　ｘ＝０,２π、４πです。

ｘの範囲が全実数なら　ｃｏｓｘ＝１の解は　ｘ＝２ｋπ（ｋは整数）でよいですか。
No.9453 - 2014/03/13(Thu) 07:26:58
☆ Re: 数学的帰納法 / kinopy ♂ [塾講師]
こんばんは。

ともに正解です。
疑問の箇所も大丈夫になりましたか？
No.9456 - 2014/03/13(Thu) 22:58:01
☆ Re: 数学的帰納法 / リム ♂ [中国] [高校2年生]

理解できました。

ありがとうございました。

また、何かありましたらよろしくお願いします。
No.9457 - 2014/03/13(Thu) 23:09:37
★ 不定方程式 / ゆう ♂ [東海] [社会人]
こんばんわ。
黄チャートのプラクティス65で質問です。（古い黄チャート）

1/2x＋1/2ｙ＋1/3ｚ＝4/3・・・?@ｘ、ｙ、ｚは正の整数
（1）x＝1のとき正の整数ｙ，ｚの組をすべて答えよ

上に例題39というのがあって問題は以下です。
1/3ｘ＋1/3ｙ＝1/2を満たす正の整数の組（x，ｙ）をすべてこたえよ！

例題では解法が2つ紹介されていて
1.両辺に6xyを掛け
（3x-2)（3y-2）=4と2つの括弧の積で4となる組を探す。
2.ｙ≧1より
　1/3x≧1/6(1/2-3・1)としてxを特定してｙを出す。
　(-3y≧-1/3より)

この2の方の解法で65の問題が解けない理由がわかりません。
　
x＝1のとき
1/2ｙ＋1/3ｚ＝4/3-1
1/2ｙ＋1/3ｚ＝1/3
ここで1/2ｙ＝1/3-1/3ｚとしてｙ≧1から解くとはすべての正の整数
1/2ｙを移項した形だとｚは2以上のすべての正の整数でy，zを絞れません。

で、回答を見ると()×()＝整数で解いていました。

65の（2）はxの値を求めよという問題で
　　今度は1/2x＝4/3-1/2ｙ-1/3ｚ≧4/3-1/2-1/3＝1/2
　　　　　1/2x≧1/2　　x≧1より　　1≦x≦2　　よってx=1，2

　今度はこっちかよ！となってしまいました。

使えるときと使えないときがあってだめなら違う方法でということなのでしょうか？
そうであっても、なぜ使えないのかか知りたいのですが・・
よろしくお願いいたします。
（計算自体がまちがっていたらすみません）
No.9440 - 2014/03/10(Mon) 23:46:22
☆ Re: 不定方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
ＣＯＲＮＯ と申しますが…
ちょっと自信がありません…

まず確認ですが，

例えば
「２分の１」という分数の表記は「１/２」，
「３ｘ分のｙ」という分数の表記は「ｙ/３ｘ」，より正確には，「ｙ/(３ｘ)」
ということは大丈夫ですね？

次に，問題の式は
>1/2x＋1/2ｙ＋1/3ｚ＝4/3・・・?@
であることは正しいのですね？
だとすると，
>x＝1のとき
>1/2ｙ＋1/3ｚ＝4/3-1
が，変だと思うのですが…

まずは，ここまでの確認をお願いします．
No.9441 - 2014/03/11(Tue) 20:02:18
☆ Re: 不定方程式 / ゆう ♂ [東海] [社会人]
こんばんわ。
よろしくお願いします。

すみません?@は

1/x＋1/2ｙ＋1/3ｚ＝4/3　　でした。

x＝1で/2ｙ＋1/3ｚ＝4/3-1
となります。
凡ミスでした・・・
No.9442 - 2014/03/11(Tue) 22:37:14
☆ Re: 不定方程式 / ＣＯＲＮＯ ♂ [地球外] [教育関係者]
こんばんは．つづけます．

>この2の方の解法で65の問題が解けない理由がわかりません。
係数や定数項の値によって，同じ方法で解けない場合があることを知ってください．
数学の問題では，見た目はほとんど同じだが，あるいは，数字がちょっと変わっただけで
解き方がまったく異なる場合があるのです．　

>使えるときと使えないときがあってだめなら違う方法でということなのでしょうか？
その通りだと思います．
No.9443 - 2014/03/12(Wed) 19:41:38
☆ Re: 不定方程式 / kinopy ♂ [塾講師]
ＣＯＲＮＯ先生，お世話になっております。kinopyです。

ゆうさんが操作ミスをされたようなので，コピペします。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
こんばんわ。

助言を頂きありがとうございます。
両解法でできるならまた別解で乗ってますよね。

どうもありがとうございました。
No.9447 - 2014/03/12(Wed) 22:57:46
★ どうしよう・・・ / ショーヤ ♀ [東海] [高校2年生]
こんばんは。プリントの問題で考え込みましたが、答えがなくて困っていますので教えて下さい。

x=a²+1のとき
P=√(x+4a)+√(x-6a+8)をaで表せ

です。
今日中に知りたいのでよろしくお願いします。
No.9428 - 2014/03/07(Fri) 17:53:15
☆ Re: どうしよう・・・ / kinopy ♂ [塾講師]
ショーヤさん，こんばんは。

書き込まれる方へのお願いにあるように，当掲示板は「いついつまでに…」という要望にはお応え出来かねます。ご了承下さい。

さらに「答えだけ知りたい」という質問もお断りしております。

上記をご納得いただけた場合は，ショーヤさんがどこまでできたかを書き込んで下さい。
よろしくお願いします。
No.9431 - 2014/03/08(Sat) 02:27:41
★ factorとは / Domino ♀ [関東] [高校3年生]
プリントからです。

Consider the function H(x)=|x|. Write the formula and sketch the graph of each of the following transformation of H(x).
(a) The function G(x) obtained from H(x) by first reflecting about the x-axis, then translating down three units.
(b) The fnction P(x) obtained from H(x) by first stretching the graph horizontally by a factor of 3, then translating the left by two units.

での"a factor of 3"は3倍横に伸ばすという意味でしょうか?
つまり,P(x)=3H(x).

factorって因子という意味みたいですけど。
No.9426 - 2014/03/03(Mon) 05:29:19
☆ Re: factorとは / Domino ♀ [関東] [高校１年生]
間違えました。

P(x)=1/3H(x)ですね。
No.9427 - 2014/03/03(Mon) 23:46:28
☆ Re: factorとは / kinopy ♂ [塾講師]
Domino さん，はじめまして。管理人代行のkinopyと申します^^

書き込みさせていただきましたが，私は英語が大の苦手で取り組むことすらできませんm(__)m

どなたか英語のできる回答者の方が回答されるまでお待ちください。
申し訳ありません。
No.9430 - 2014/03/08(Sat) 02:24:37
★ (No Subject) / mts ♂ [関東] [高校3年生]
はじめまして。数学の添削をお願いしたく投稿しました。
問題は2014京大文系数学第一問です。
一応証明できたとは思うのですが、予備校発表のものと解法が異なっていたので見ていただけるとありがたいです。

問題と僕の答案を添付させていただきます。
No.9419 - 2014/03/02(Sun) 11:48:49
☆ (No Subject) / mts ♂ [関東] [高校3年生]
問題です。
No.9420 - 2014/03/02(Sun) 11:52:51
☆ Re: / mts ♂ [関東] [高校3年生]
答案です。
No.9421 - 2014/03/02(Sun) 11:53:28
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
ITです拝見します。しばらくお待ちください。
No.9422 - 2014/03/02(Sun) 15:05:38
☆ Re: / IT ♂ [中国] [社会人]
mts さん、こんにちは、ITです。受験お疲れさまでした。

答案拝見しました。大筋ではいいと思いますが、記述がおかしいところがいくつかあると思います。

○大きな流れ
背理法で「与式が実数解のみを持つと仮定」して論述しておられますが、
「?Aは（θが）６０°より小さいとき実数解をもたない」で締めくくっておられ、
背理法の形式になっていません。

背理法で書くなら、下記のような流れになると思います。
「与式が実数解のみを持つ」と仮定→?@’かつ?A’
?@’→θ＜60°
?A’→60°≦θ　　（ここまでは書けていると思います）
θ＜60°かつ60°≦θ　となり矛盾する。
よって、「与式が実数解のみを持つ」ことはない。
すなわち、「与式は少なくとも１つの虚数解を持つ」

○細かい点
・「与式が実数解のみを持つと仮定すると」の直下に元の方程式が書いてありますが、仮定がここに掛かるような誤解を与えます。
・「?@の判別式」としておられますが、?@は「?@＝０」などの形になってないので、方程式ではなく、その判別式もありません。（?Aも同じ）
・同様に「?@が実数解をもつとき」という表現も不正確です。「?@＝0が・・」などとすべきです。
・「?A⇔tanθ≧√３」は「?A’⇔tanθ≧√３」の誤りですね。
・「?Aは60°より小さいとき実数解を持たない」→「θが60°より小さいとき?A＝０は実数解を持たない」

※なお、mtsさんの答案は背理法でなく、
?@＝０が実数解を持つ（すなわち虚数解を持たない）とき、
?A＝０は実数解を持たない（すなわち虚数解を持つ）
という流れの方に近い答案になっていると思います。（これはこれで正しい論法です）
No.9423 - 2014/03/02(Sun) 15:57:14
☆ Re: / mts ♂ [関東] [高校１年生]
詳しい添削有り難うございました。
本番では確かこのように解答したと思われます。
10/30くらいでしょうね、恐らく。。。
No.9424 - 2014/03/02(Sun) 16:39:13
★ (No Subject) / たける ♂ [関東] [高校3年生]
こんばんは、はじめまして。
先日、受験した日本大学Ｎ方式数学?Aの問題でわからないところがありました。
自分なりに、検討したのですが、いまいち腑に落ちないので解説していただけるとありがたいです。

大問３　f(x)=(log₂8/x)^2log₄(x/4)^2-4について考える。
（１）　f(x)=5　をみたすxの値はx=□□、□/□
（２）　1/8<=x<=8におけるf(x)の最大値は□□、最小値は□□である。
No.9363 - 2014/02/06(Thu) 21:22:09
☆ Re: / たける ♂ [関東] [高校3年生]
計算過程を追記いたします。
No.9364 - 2014/02/06(Thu) 21:27:09
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
たけるさん，こんばんは．
私大入試，お疲れ様です．

2つの解答を見させてもらいました．残念ながら，両方ともミスがありますね．
上の方は，下から3行目までokです．
下の方は，下から5行目までokです．

上・・・log_2を取るときに，log_2だけ取って計算しています．
　たとえば，log_2 x=tとすれば，2次方程式t^2-2t=8が出来上がります．
下・・・4log_2(x/4)=4(log_2 x-log_2 4)なのに4をlog_2 4に掛けていない．
　4を掛ければ正しくなります．

ここまでどうでしょう．納得できたのなら，(2)に進んでくださいな．
No.9367 - 2014/02/07(Fri) 18:16:15
☆ Re: / たける ♂ [関東] [高校3年生]
ご回答、ありがとうごさいます。
早速、解き直してみました。
(2)まで進むことができ、直接代入してといてみたのですが数学的でなような気がします。
ご指導お願いいたします。
No.9368 - 2014/02/07(Fri) 22:17:26
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
はい．(2)の解答ですが -3≦log_2 x≦3 はokで，これを利用して求めにいきます．

私は前回のレスで，
>たとえば，log_2 x=tとすれば，
と書きました．そうすると，-3≦log_2 x≦3 から -3≦t≦3 となりますね．
またf(x)をtで表すことができますよね．
f(x)が t の関数で，定義域が -3≦t≦3 ですから，関数の最大，最小の問題に帰着できます．

頑張っていきましょう！
No.9369 - 2014/02/08(Sat) 07:43:58
☆ Re: / たける ♂ [関東] [高校3年生]
遅れて申し訳ありません。

おかげさまで理解することが出来ました。

ありがとうございました。
No.9418 - 2014/02/27(Thu) 18:06:29
★ 平均値 / Domino ♀ [関東] [高校3年生]
プリントの問題です。

Without computing ∫_0^πsin(x)dx, explain why the average of the area between sin(x) and x-axis from 1 to π is [0.5,1].

という問題なのです。
0.5≦1/(π-1)∫_1^πsin(x)dx≦1という事を積分計算なしで説明するのですがどうすればいいのでしょうか?
No.9410 - 2014/02/23(Sun) 01:38:05
☆ Re: 平均値 / IT ♂ [中国] [社会人]
Domino さん　おはようございますＩＴです。いっしょに考えて見ましょう。

y=sin(x)のグラフをx∈[1,π]で描いてください。
・∫_1^πsin(x)dxは、図の何を表していますか？
・yの最大値は？
・最大値をとる点Pと点A(1,0),B(π,0)を結んでできる三角形の面積はどうなりますか？
　(底辺ABの長さ= 高さ＝　　）
・線分AP,線分PBと曲線y=sin(x)の位置関係はどうなりますか？
No.9411 - 2014/02/23(Sun) 07:55:18
☆ Re: 平均値 / Domino ♀ [関東] [高校１年生]
sine曲線とx軸とx=1とで囲まれた部分の面積です。

yの最大値は1です。

(π-1)・1・1/2=(π-1)/2です。

線分AP,線分PBともy=sin(x)の内側にあります。
No.9412 - 2014/02/23(Sun) 10:33:57
☆ Re: 平均値 / IT ♂ [中国] [社会人]
そうですね。
３つの面積を式にし、その大小関係を不等式で表すとどうなりますか？
長方形の面積（底辺AB、高さ1）、sin曲線とx軸とx=1とで囲まれた部分の面積、三角形ABPの面積
No.9413 - 2014/02/23(Sun) 13:19:59
☆ Re: 平均値 / Domino [高校１年生]
それぞれ
長方形の面積 > sin曲線とx軸とx=1とで囲まれた部分の面積 > 三角形ABPの面積
となります。

(π-1) > sin曲線とx軸とx=1とで囲まれた部分の面積 > (π-1)/2
なので平均値は1/(π-1)を全辺に掛けて,
1 > sin曲線とx軸とx=1とで囲まれた部分の面積 > 1/2(=0.5)
となるのですね。
No.9415 - 2014/02/24(Mon) 01:28:34
☆ Re: 平均値 / IT ♂ [中国] [社会人]
その通りです。※真ん中の式に「1/(π-1)」が漏れてますけど。

よって　0.5≦1/(π-1)∫_1^πsin(x)dx≦1が成り立つわけです。
（等号が成り立つことはありませんが）

厳密にやるなら、「線分AP,線分PBともy=sin(x)の内側にあります。」を微分などを使って証明することになると思います。
No.9416 - 2014/02/24(Mon) 07:45:54
☆ Re: 平均値 / Domino [高校１年生]
有難うございます。お蔭様で解決できました。
No.9417 - 2014/02/25(Tue) 01:27:09
★ 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
プリントの問題です。
答えはありますが、略と書かれていて、まったく解けそうにありません。
少しでも、苦手な数学を克服して、得点を上げたいです！！！！

■問題■
a,b,c,dを１と異なる正の数とするとき、次の等式を証明せよ。
（１）log_{a}b・log_{b}c＝log_{a}c
（２）log_{a}b・log_{b}c・log_{c}d・log_{d}a＝１

こういう掲示板を初めて利用するので、解説の方をお願いします。
No.9386 - 2014/02/21(Fri) 17:18:19
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
ドラゴンさん　こんばんは、ITです。いっしょに考えて見ましょう。
プリントの答えは「略」以外に何か書いてありますか？。あれば書き込んで下さい。
「指数関数」、「対数関数」は習われましたよね？

指数と対数の関係
a＞０、ａ≠１でＭ＞０とするとき
　Ｍ＝a^p ⇔　log_{a}Ｍ＝p
は、分かりますか？
No.9387 - 2014/02/21(Fri) 17:37:18
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]

略以外には何も書かれていません。

指数関数・対数関数は習っています。


対数の性質も分かります！！
No.9388 - 2014/02/21(Fri) 18:50:52
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
では(1)をやってみましょう。
a^(r・s)=(a^r)^s　…?@ は、分かりますか？

a^(log_{a}b)を計算するとどうなりますか？…?A

a^{(log_{a}b)・log_{b}c}　を?@?Aを使って計算するとどうなりますか？

ここまでで、できるところまでやって書き込んで下さい。
No.9389 - 2014/02/21(Fri) 18:58:52
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
a^(r・s)=(a^r)^s　…?@
が分かりません！

あと・・・「^」て何を表しているんでしょうか。
No.9390 - 2014/02/21(Fri) 19:10:04
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
a^r はaのr乗を表しています。（ネットの数学表記では良く使いますが、紙に書くときは使いません）

?@が任意の実数r,sについて成り立つことを習っておられないなら、
対数の「底の変換」を使いましょう。
底の変換　log_{a}b=(log_{c}b)/(log_{c}a)　は習われましたか？
No.9391 - 2014/02/21(Fri) 19:16:33
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
ありがとうございます。

習いました。

続きの解説をおねがいします。
No.9392 - 2014/02/21(Fri) 19:18:54
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
log_{a}b・log_{b}c について「底の変換」公式を使って底をaに揃えるとどうなりますか？
No.9393 - 2014/02/21(Fri) 19:23:31
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
log_{a}b×log_{a}c/log_{a}b

で合っていますか？
No.9394 - 2014/02/21(Fri) 19:52:21
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
合ってます。それを約分するとどうなりますか？

(2)も同じようにできると思います。やってみてください。途中(1)の結果も使えます。
No.9395 - 2014/02/21(Fri) 20:39:07
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
（１）log_{a}c

（２）（１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}c
　　　log_{a}c・log_{a}d・log_{a}a/log_{a}d
log_{a}c・log_{a}a

？？？最終的にどう終われば・・・いいのでしょうか
No.9396 - 2014/02/21(Fri) 21:10:06
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
> （１）log_{a}c
等号でつないで　log_{a}b・log_{b}c＝・・・＝log_{a}c　という形にしましょう

>
> （２）（１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}c
> 　　　log_{a}c・log_{a}d・log_{a}a/log_{a}d
　・log_{a}d　は間違い（写し間違い）では？
No.9397 - 2014/02/21(Fri) 21:47:56
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
写し間違いでした。

（２）は、これ以上解かなくていいのですか。↓
　　　（１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}c
　　　log_{a}c・log_{a}d・log_{a}a/log_{a}d
No.9398 - 2014/02/21(Fri) 22:48:41
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
>写し間違いでした
間違いを直すとどうなりますか？
>（２）は、これ以上解かなくていいのですか。↓
間違いを直した上で、約分してください。

答案は、
log_{a}b・log_{b}c・log_{c}d・log_{d}a
＝・・・・
＝・・・・
＝１
の形にします。

今夜はこれで失礼します。
No.9399 - 2014/02/21(Fri) 22:59:51
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
（１）log_{a}b・log_{b}c＝log_{a}c
log_{a}b・log_{a}c/log_{a}b＝log_{a}c
log_{a}c＝log_{a}c

（２）log_{a}b・log_{b}c・log_{c}d・log_{d}a＝１
（１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}cなので
　　　log_{a}c・log_{c}d・log_{c}a/log_{c}d＝１
　　　log_{a}c・log_{c}d＝１
　　　log_{a}c・log_{a}d/log_{a}c＝１
　　　log_{a}c＝１

でしょうか？？
　　　

No.9400 - 2014/02/22(Sat) 11:15:29
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
> （１）log_{a}b・log_{b}c＝log_{a}c
> log_{a}b・log_{a}c/log_{a}b＝log_{a}c
> log_{a}c＝log_{a}c

左辺を変形して＝で繋いでいきます。
log_{a}b・log_{b}c＝log_{a}b・log_{a}c/log_{a}b＝log_{a}c

> （２）log_{a}b・log_{b}c・log_{c}d・log_{d}a＝１
> （１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}cなので
> 　　　log_{a}c・log_{c}d・log_{c}a/log_{c}d＝１ …?@
> 　　　log_{a}c・log_{c}d＝１…?A
> 　　　log_{a}c・log_{a}d/log_{a}c＝１
> 　　　log_{a}c＝１
左辺＝１であることが分かるまで左辺＝１と書いてはだめです。
?@の左辺＝?Aの左辺　ではないですね。（?Aの左辺は間違いですね）
?@以降も底はaに統一した方が確実だと思います

log_{a}b・log_{b}c・log_{c}d・log_{d}a
（１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}cなので
＝log_{a}c・log_{c}d・log_{d}a
＝（底をａに統一してみてください）
＝
＝1
No.9401 - 2014/02/22(Sat) 17:47:25
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
（１）log_{a}b・log_{b}c
＝log_{a}b・log_{a}c/log_{a}b
＝log_{a}c

（２）（１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}cなので
＝log_{a}c・log_{c}d・log_{d}a
＝log_{a}c・log_{a}d・log_{a}a/log_{a}d　←合っていますか？
＝log_{a}c・log_{a}a
＝log_{a}c
＝１
　　　



No.9402 - 2014/02/22(Sat) 19:20:17
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
> （１）
はいいと思います。
> （２）（１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}cなので
左辺＝log_{a}c・log_{c}d・log_{d}a　とすべきですね。
> ＝log_{a}c・log_{c}d・log_{d}a
> ＝log_{a}c・log_{a}d・log_{a}a/log_{a}d　←合っていますか？
違います。　なぜlog_{c}dがlog_{a}dになるのですか？
No.9403 - 2014/02/22(Sat) 19:32:42
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
（２）（１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}cなので
＝log_{a}c・log_{c}d・log_{d}a
＝log_{a}c・log_{c}d・log_{c}a/log_{c}d　
＝log_{a}c・log_{c}a
＝log_{a}a/log_{a}c・log_{a}c
　　　＝１


これでどうでしょうか！！！！！
No.9404 - 2014/02/22(Sat) 20:30:40
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
大体良いですが、最初の式の左辺が必要ですね、
> （２）（１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}cなので
> ＝log_{a}c・log_{c}d・log_{d}a
左辺の記述が必要（等号は、両側に式が必要です）
> ＝log_{a}c・log_{c}d・log_{c}a/log_{c}d　
> ＝log_{a}c・log_{c}a
> ＝log_{a}a/log_{a}c・log_{a}c
順番を変えないで
＝log_{a}c・log_{a}a/log_{a}c　とする

※なお最初は）（１）より、・・・　とせずに、（１）の式変形を同じように書いてもいいです。
No.9405 - 2014/02/22(Sat) 21:41:04
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
（１）より、log_{a}b・log_{b}c ＝log_{a}cなので
log_{a}b・log_{b}c・log_{c}d・log_{d}a＝log_{a}c・log_{c}d・log_{d}a
＝log_{a}c・log_{c}d・log_{c}a/log_{c}d
＝log_{a}c・log_{c}a
　　　＝log_{a}c・log_{a}a/log_{a}c
　　　＝１
自分は、（１）より・・・にしておきます。

こんな感じでしょうか・・・？
　　　
No.9406 - 2014/02/22(Sat) 22:24:59
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
合ってると思います。
No.9407 - 2014/02/22(Sat) 22:40:51
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / ドラゴン ♂ [高校１年生]
ありがとうございます。

スッキリしました。

数学は、結構おもしろいですね！！
No.9408 - 2014/02/22(Sat) 22:44:03
☆ Re: 高校　【数学?U】　 / IT ♂ [中国] [社会人]
お疲れでした。
まずは、教科書例題の模範解答をしっかり真似されることからはじめられるといいと思います。
では、また。
No.9409 - 2014/02/22(Sat) 22:49:27
★ 漸化式のなぞ / Kathy ♀ [関東] [高校3年生]
a_(n+1)=pa_n+qの形の漸化式は

α=pα+qでαを求めてa_(n+1)-α=p(a_n-α)
の形に変形してから求めよ。

参考書などでよく見かけるのですが,
どうしてこのように変形していいのからαとは一体何なのか以前からずっと疑問でした。

是非,ご解説をお願い致します。
No.9383 - 2014/02/14(Fri) 23:36:04
☆ Re: 漸化式のなぞ / 河童 ♂ [中国] [塾講師]
Kathyさん、はじめまして。河童です。

＞どうしてこのように変形していいのからαとは一体何なのか

まずこの部分の前半を、「このように変形してもいいの？」という意味に解釈して回答します。

α=pα+q　……(1)

(1)式は等式ですから、漸化式の左辺と右辺から等しいものを引くことになり、
要するに同値変形ですので、当然出来上がった式

a_(n+1)-α=p(a_n-α)　……(2)

は、元の漸化式とまったく同じ式となります。
これが、このように変形してもよい理由です。

さて、Kathyさんの最大の疑問は、後半の「αとは一体何なのか」だと思います。
実はこのαは、この漸化式の『解』なんですね。
だって、漸化式の未知の部分（つまり我々が知りたいもの）である「a_(n+1)」と「a_n」に代入して成り立つんですから。

勿体ぶらずに言いますと、このαは、この漸化式を満たす「定数数列」なんです。
つまり、ずっと同じ数が並ぶ数列なんですね。
例えば、

a_(n+1)=2a_n−1　……(3)

という漸化式があるとしましょう。
この(3)の漸化式において、αに相当するのは 1 ですね。
この(3)を、a_1, a_2, a_3 あたりまで書き下してみましょう。
この場合、a_1 を 1 だとすると、

a_1 = 1
a_2 = 2 × 1 - 1 = 1
a_3 = 2 × 1 - 1 = 1

どうですか？
a_(n+1) と a_n とを同じαとおいたのですから、同じ数が続くのは当たり前ですよね。

このように、αというのは漸化式を満たす定数数列の項なんです。
漸化式には、必ず a_1 の値がおまけについてきますよね。
もし、a_1 の値が決まっていなければ、a_1 を勝手に選ぶことによって無数の解が得られます。
(3) の例で言えば、

a_1 = 2 の場合、

2, 3, 5, 9, ……

a_1 = 3 の場合、

3, 5, 9, 17, ……

といった具合です。
我々が欲しいのは、このような数列のうち、同じ数が続く数列なんです。
それがαで、これを見つけることによって、漸化式の定数の部分（q の部分です）がうまく消えてくれて、
等比数列が作れる、という次第です。

お分かりになりましたでしょうか。
No.9384 - 2014/02/15(Sat) 04:08:48
☆ Re: 漸化式のなぞ / Kathy ♀ [関東] [高校１年生]
なるほどです。
お蔭様でとても参考になりました。
No.9385 - 2014/02/21(Fri) 05:38:19
★ 証明問題 / たかよ ♀ [関東] [高校3年生]
プリントからの質問です。

[問] f(x)は[a,b]で連続で,g(x)は[a,b]でg(x)≧0とするとき,
∫_a^b f(x)g(x)dx = f(c)∫_a^b g(x)dxでa≦c≦bとなるような実数cが存在することを証明せよ。

がどうすればいいのかわかりません。
是非,ご教示くださいませ。
No.9370 - 2014/02/09(Sun) 05:59:50
☆ Re: 証明問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
たかよさん　ITです、おはようございます。いっしょに考えて見ましょう。

f(x)は[a,b]で連続なので[a,b]で最小値、最大値を持ちますよね。
その最小値をfmin,最大値をfmaxとすると（※　m,Mでもいいですが入力ミス防止のためこうしました）
tについての関数　f(t)∫_a^b g(x)dxのa≦t≦bでの最小値、最大値はどうなりますか？、

f(t)∫_a^b g(x)dxの最小値≦∫_a^b f(x)g(x)dx ≦f(t)∫_a^b g(x)dxの最大値　であることを示せば

　f(t)∫_a^b g(x)dxは[a,b]で連続なので
　∫_a^b f(x)g(x)dx = f(c)∫_a^b g(x)dxでa≦c≦bとなるような実数cが存在することを示せると思います。
No.9371 - 2014/02/09(Sun) 08:25:21
☆ Re: 証明問題 / たかよ [高校3年生]
> tについての関数　f(t)∫_a^b g(x)dxのa≦t≦bでの最小値、最大値はどうなりますか？、

fmin∫_a^b g(x)dxとfmax∫_a^b g(x)dxがそれぞれf(t)∫_a^b g(x)dxの最小・最大値となります。

> (t)∫_a^b g(x)dxの最小値≦∫_a^b f(x)g(x)dx ≦f(t)∫_a^b g(x)dxの最大値　であることを示せば

うーん,これはどうすればいいのでしょうか?
No.9372 - 2014/02/09(Sun) 13:13:55
☆ Re: 証明問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
>> fmin∫_a^b g(x)dxとfmax∫_a^b g(x)dxがそれぞれf(t)∫_a^b g(x)dxの最小・最大値となります。
そうですね。
> > (t)∫_a^b g(x)dxの最小値≦∫_a^b f(x)g(x)dx ≦f(t)∫_a^b g(x)dxの最大値　であることを示せば
>
> うーん,これはどうすればいいのでしょうか?
まず左の不等式を考えましょう。（右も同様です）
fmin∫_a^b g(x)dx＝∫_a^b (fmin)g(x)dx　ですから
∫_a^b (fmin)g(x)dx≦∫_a^b f(x)g(x)dx　が言えればよいですね。
ここで 「g(x)は[a,b]でg(x)≧0」であることを使います。　少し考えて見てください。
No.9373 - 2014/02/09(Sun) 13:35:59
☆ Re: 証明問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
一般に　A≧Bを示すには、A-B≧0を示せば良いです。
No.9374 - 2014/02/09(Sun) 14:52:04
☆ Re: 証明問題 / たかよ ♀ [関東] [高校１年生]
遅くなりまして申し訳ありません。

> fmin∫_a^b g(x)dxとfmax∫_a^b g(x)dxがそれぞれf(t)∫_a^b g(x)dxの最小・最大値となります。

がいえました。

その後,
「∫_a^b f(x)g(x)dx = f(c)∫_a^b g(x)dxでa≦c≦bとなるような実数cが存在すること」
はどうすればいえるのでしょうか?
No.9380 - 2014/02/13(Thu) 03:06:56
☆ Re: 証明問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
では続けましょう。

f(t)∫_a^b g(x)dxの最小値≦∫_a^b f(x)g(x)dx ≦f(t)∫_a^b g(x)dxの最大値　であること
（つまりfmin∫_a^b g(x)dx≦∫_a^b f(x)g(x)dx≦fmax∫_a^b g(x)dxであることを）を示します。前にも言ったように、それぞれ差をとって考えるのが分かりやすいと思います。

∫_a^b f(x)g(x)dx-fmin∫_a^b g(x)dx=∫_a^b {f(x)-fmin}g(x)dx≧0…?@
　(任意のx(a≦x≦b)についてf(x)-fmin≧0かつg(x)≧0なので最後の不等式が成立）
fmax∫_a^b g(x)dx-∫_a^b f(x)g(x)dx=∫_a^b {fmax-f(x)}g(x)dx≧0…?A
　(任意のx(a≦x≦b)についてfmax-f(x)≧0かつg(x)≧0なので）

?@?Aよりfmin∫_a^b g(x)dx≦∫_a^b f(x)g(x)dx≦fmax∫_a^b g(x)dx
すなわちf(t)∫_a^b g(x)dxの最小値≦∫_a^b f(x)g(x)dx ≦f(t)∫_a^b g(x)dxの最大値

関数　f(t)∫_a^b g(x)dxは[a,b]で連続なので、中間値の定理により
f(c)∫_a^b g(x)dx=∫_a^b f(x)g(x)dxかつa≦c≦bとなるような実数cが存在する。

不明な点があれば質問してください。

※「∫_a^b g(x)dxも∫_a^b f(x)g(x)dxも「定数」である。」ことに注意してください。
No.9381 - 2014/02/13(Thu) 16:24:42
☆ Re: 証明問題 / たかよ [高校１年生]
納得です。
恐れ入りました。m(_ _)m
No.9382 - 2014/02/14(Fri) 11:07:28
★ (No Subject) / かっつん ♀ [沖縄] [高校3年生]
数Ｃの極方程式の質問です。

極座標の関係式ｒ＝２cosθにおいて、
θがーπ/６、−π/４、−π/３、−π/２のときの
点(ｒ、θ)を図示せよ。


この場合、cosの公式で
cosθ＝cos(ーθ)(＝ｒ/x)を使って
ｒが０以上を考えればよろしいですか？

よろしくお願いします。
No.9375 - 2014/02/09(Sun) 16:10:33
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
かっつんさん，こんばんは．

その通りですよ．受験勉強頑張ってくださいね．
No.9376 - 2014/02/09(Sun) 18:52:55
☆ Re: / かっつん ♀ [沖縄] [高校１年生]
ありがとうございます！

あと、自分で書いた図が合っているか分からないので
それもお願いします。
No.9377 - 2014/02/09(Sun) 19:39:12
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
直交座標で考えてみると
r=2cosθよりr^2=2rcosθ からx^2+y^2=2x
よって (x-1)^2+y^2=1･･･（あ）

かっつんさんの書いた通り，-π/2<θ<0では円（あ）の円周上で，x軸の下方になりますね．
No.9378 - 2014/02/09(Sun) 20:59:10
☆ Re: / かっつん ♀ [沖縄] [高校3年生]
よく理解できました。
有難うございます！
また、よろしくお願いします。
No.9379 - 2014/02/09(Sun) 22:47:42
★ (No Subject) / ちるちる [高校3年生]
出典は理系数学のプラチカ IIICの3番です
nが自然数のとき、
（１）n!≧2^(n-1)　が成り立つことを証明せよ。
載っている答えは数学的帰納法で、
(i) n=1のとき　1!=1=2^(0)=1 よって成立
(ii) n≧2のとき　n!=n(n-1)(n-2).....1≧2×2×2×2×2....=2^(n-1)
よってｎ≧2でも成立
....という風になっているのですが、
私は
(ii)n=kのとき、k!≧2^(k-1)が成立すると仮定すると、
n=k+1のとき、nは自然数より、1+k>0,2^(k)>0であるから、
(k+1)!-2^(k)=(1+k)(k!)-2×2^(2k-1)≧k!-2^(k-1)≧0
よってn=k+1のときでも成立

でも間違っていないような気がするのですが、どうでしょうか？
No.9359 - 2014/02/05(Wed) 08:23:28
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
ちるちるさん，こんばんは．
早速いきましょう．

私，プラチカを手元に持っていませんが，解答は帰納法ではないですね．
次に，ちるちるさんの解答で，
>(k+1)!-2^(k)=(1+k)(k!)-2×2^(2k-1)≧k!-2^(k-1)≧0
はタイプミスのようですね．おそらく
(k+1)!-2^(k)=(1+k)(k!)-2×2^(k-1)≧k!-2^(k-1)≧0
でしょう．で，
1+k>0,2^(k)>0
から
(1+k)(k!)-2×2^(k-1)≧k!-2^(k-1)
が成り立つ理由が，私には分かりません．

ちなみに私が帰納法で証明するなら2段目を
(k+1)!-2^{(k+1)-1}=(k+1)･k!-2^k≧(k+1)･2^{k-1}-2^k=(k-1)･2^{k-1}≧0
とします．
No.9360 - 2014/02/05(Wed) 17:58:10
☆ Re: / ちるちる [高校3年生]
回答ありがとうございます。
>(k+1)!-2^(k)=(1+k)(k!)-2×2^(2k-1)≧k!-2^(k-1)≧0
は確かに私のタイプミスです。
さらに1+k>1、2^(k)>1というのは明らかに違うと思います
でも、それを抜きにしても、確かにlondontrafficさんの回答が一番だと思いますが、
(1+k)(K!)-2×2^(k-1)≧k!-2^(k-1)は結果として間違っていない気がするのですがどうでしょうか？
No.9361 - 2014/02/06(Thu) 12:10:27
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
>(1+k)(K!)-2×2^(k-1)≧k!-2^(k-1)は結果として間違っていない気がする

(k+1)!-2^k-(k!-2^{k-1})=(k+1)k!-k!-2^k+2^{k-1}
=k･k!-2･2^{k-1}+2^{k-1}=k･k!-2^{k-1}
と変形できて，これは0以上になりますから，確かに間違っていないです．

A≧B かつ C≧Dならば　A-D≧B-C　は常に成立しますが，A-C≧B-D は常に成立するとは限りません．
つまり
(k+1)!≧k!　かつ　2^k≧2^{k-1}　から　(k+1)!-2^k≧k!-2^{k-1} が成立するのはしっかりと調べる必要があります．

そして私は上で「これは0以上になりますから」と書きましたが，それは明らかではないので，証明せねばなりません．

いかがでしょうか．
No.9362 - 2014/02/06(Thu) 17:53:27
★ (No Subject) / ココ [高校１年生]
おねがいします

k:2以上の自然数
xy平面上における2つの曲線
　C:y＝sinx　(0≦x≦π/k)
　Ck;y＝k･sinkx (0≦x≦π/k)　　を考える
曲線CとCkは，kの値によらず0<k≦π/kにおいてただ１回交わり
この交点のx座標をαkとおくと、π/(2k)<α<π/kを満たす
(１)lim[k→∞]k･αkを求めよ
(２)曲線Cの0≦x≦αkの部分および曲線Ckのαk≦x≦π/kの部分とx軸とが
囲む部分の面積をSkとする
このとき，lim[k→∞]Sk･k＾2を求めよ
No.9358 - 2014/02/03(Mon) 07:33:08
★ ベクトルの問題 / GJ [高校3年生]
学校で出された、ベクトルの問題です。
ベクトルが苦手でどうもよくくわかりません。
この問題の回答を詳しく、また、ベクトルを解く上でのコツがあれば教えて下さい。
No.9324 - 2014/01/29(Wed) 22:28:23
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校3年生]
1日中考えて見ましたが、まったくわかりません。
お願いします...
No.9332 - 2014/01/31(Fri) 18:18:41
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
GJさん　こんばんはITです。いっしょに考えて見ましょう。

まず、自分で手を動かして補助線などを引いて分かりやすくしましょう。
点Kと点A,B,Cを結んで、等しい角や、長さが等しい線分に同じマークをつけます。
a,b,cも記入します。

できたらUPしてください。（ごちゃごちゃするので最初の指示と少し変えました。最初の点や線を残しておかれても良いです）
No.9334 - 2014/01/31(Fri) 20:42:10
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校１年生]
遅くなりました
とりあえず、こんなかんじですかね
No.9335 - 2014/02/01(Sat) 00:05:34
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
そうですね。
CK↑がCB↑、CA↑、a,b,cで表せそうではないですか？…(ア)これがいちばん難しいので後でしましょう。

CA↑をAC↑で表すとどうなりますか？…（イ）
CB↑をAB↑、AC↑で表すとどうなりますか？…（ウ）
(ア)(イ)(ウ)を使うとCK↑がAB↑、AC↑、a,b,cで表せます。…（エ）

AK↑をCK↑とAC↑で表すとどうなりますか？…（オ）
（エ)(オ)を使うとAK↑がAB↑、AC↑、a,b,cで表せます。

(イ)(ウ)(オ)を考えてできるところまでやって見てください。　今夜はこれで失礼します。
No.9336 - 2014/02/01(Sat) 01:48:43
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校3年生]
cの使い方がわかりません...
No.9337 - 2014/02/01(Sat) 18:15:55
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校3年生]
(イ)(ウ)(オ)はわかりました。
(ア)がわかりません
No.9338 - 2014/02/01(Sat) 18:18:16
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
>(イ)(ウ)(オ)はわかりました。
確認のため書き込んで下さい。

>(ア)がわかりません
第一段階では、完全には、表せませんが　ある定数sがあって
CK↑＝s(○CB↑+△CA↑) …?@、　○、△はa,bの式　と表せます。直線CKが∠ACBの二等分線であることを使います。

同様に
AK↑＝t(△CA↑+ □AB↑)…?A、 △、□はb,cの式と表せます。

ここでCB↑,CA↑,AB↑の間になりたつ関係（等式）を使って、どれでも一つを消去できます。

できるところまでやってみてください。結果と主な途中経過を書き込んで下さい。
No.9339 - 2014/02/01(Sat) 18:58:18
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校3年生]
ここまでできました。
AKをtを用いて表すのができません。
No.9340 - 2014/02/01(Sat) 19:10:55
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
>ここまでできました。
良いようですね。

>AK↑をtを用いて表すのができません。
AK↑は、∠EABの二等分線なので、AE方向の単位ベクトルとAB方向の単位ベクトルの和の実数（t)倍と表せます。
AE方向の単位ベクトルとAB方向の単位ベクトルをそれぞれCA↑,AB↑,b,cで表してください。
※単位ベクトル：大きさ１のベクトル

※CK↑を表す式もこの考え方でも求められます。
No.9341 - 2014/02/01(Sat) 19:31:51
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校１年生]
大きさが1ってことは、こうでいいんですか？
No.9342 - 2014/02/01(Sat) 19:49:36
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
OKです。（少し画像が光って見えにくいですが）

では、AK↑は？
そして?@、?Aを並べて書いて下さい。
No.9343 - 2014/02/01(Sat) 20:02:06
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校１年生]
こうでしょうか？
No.9344 - 2014/02/01(Sat) 20:19:00
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
そうですね。
CK↑とAK↑とCA↑の関係を使ってCK↑をAK↑とCA↑で表します。?Aの左辺に代入します、

AK↑が２通りに表せます。
No.9345 - 2014/02/01(Sat) 20:58:23
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校１年生]
自分なりにここまでやってみました。
あってますか？
No.9346 - 2014/02/01(Sat) 21:07:55
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校１年生]
明日、私立の入試があるので、今日はもう寝ます。
月曜日に学校で発表しないといけないので、(2)の解き方を教えておいてくれると嬉しいです。
明日の夕方過ぎくらいに、また来ます。お願いします。
No.9347 - 2014/02/01(Sat) 22:05:23
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
> 自分なりにここまでやってみました。
> あってますか？
がんばってますね！
全体としてはあっています。記述式なら、もう少していねいに書いた方が良いと思います。
・・・(sは実数)−?@」　は,・・・(sは実数)−?@」とおける。　などとする。　
?Bへの変形で∴のところは途中式が（２つ）要りますね。
「?@?Aより」　のところは、「?@?Bより」ですよね
　それと「CA↑とCB↑は一次独立なので、?@?Bの係数を比較して」とした方が良いです。
No.9348 - 2014/02/01(Sat) 22:08:43
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
> 明日、私立の入試があるので、今日はもう寝ます。
入試たいへんでしたね。

> (2)の解き方を教えておいてくれると嬉しいです。
方針を書いておきますので出来たらUPしてください。
元の図の適当なところに点Ｏを描いてください。（後の図でもいいですがゴチャゴチャしてるので）
点Ｏ,A,Kを結んでください。

OK↑をAK↑とOA↑で表す。
その式に(1)で求めたAK↑を代入し
AB↑,AC↑をOA↑,OB↑,OC↑で表して代入する。

(1)の直しも出来たらUPしてください。
No.9349 - 2014/02/02(Sun) 08:02:06
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
(1)の　「AK↑を２通りに表して　係数比較する。」　代わりに　

CK↑-CA↑-AK↑=0↑ にCK↑＝,AK↑＝を代入して整理して
○CA↑+△CB↑=0↑　（という形にして）
CA↑とCB↑は一次独立なので○＝0かつ△＝0
これを解いてs＝ ,t＝
・・・・・

としても同じことです。好きな方を使ってください。
No.9350 - 2014/02/02(Sun) 08:19:30
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校１年生]
只今帰ってきました
とりあえず(1)をなおしてみました。
これでいいですか？
No.9351 - 2014/02/02(Sun) 18:30:43
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校１年生]
(2)もやってみました。
代入して変形して整理しただけですけど、どうでしょうか？
No.9352 - 2014/02/02(Sun) 18:52:25
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
GJさん　こんばんは、では拝見します。
どちらも良いと思います。
No.9353 - 2014/02/02(Sun) 19:07:18
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校１年生]
ということは、(2)の答えはこれでいいってことですよね？
なんか(1)はすごく難しかったのに拍子抜けです...
No.9354 - 2014/02/02(Sun) 19:53:51
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
>ということは、(2)の答えはこれでいいってことですよね？
間違いないと思うけど

>なんか(1)はすごく難しかったのに拍子抜けです...
んーむー、確かにそうですね。簡単な問題もあるからあきらめるな。ってことでしょうか？ でも、ここまでたどりつけないとダメですね。
No.9355 - 2014/02/02(Sun) 20:03:19
☆ Re: ベクトルの問題 / GJ [高校１年生]
なにがともあれ、非常に助かりました！
しっかり復習して、自力で解けるように頑張りたいと思います！
No.9356 - 2014/02/02(Sun) 20:34:26
☆ Re: ベクトルの問題 / IT ♂ [中国] [社会人]
お疲れ様でした、勉強がんばってください。ではまた。　
No.9357 - 2014/02/02(Sun) 20:41:24
★ 不等式の証明 / s [高校3年生]
こんばんは。はじめまして。
二次試験対策に問題演習を行っていて次の問題がありました。

整式f(x)は、f(0)=0，f(1)=1 を満たすとする。このとき
　不等式　￥int^1_0 {f'(x)}^2 dx >= 1
を証明せよ。

実際に多項式を代入したり、数学的帰納法を試したりしたのですがうまくいかず、回答を見ると
シュワルツの不等式を使うと書いてありました。その方法は分かったのですがこの不等式は
そうしないと証明できないのでしょうか？よろしくお願いします。
No.9318 - 2014/01/28(Tue) 20:17:31
☆ Re: 不等式の証明 / IT ♂ [中国] [社会人]
s さん、こんばんはＩＴです。いっしょに考えてみましょう。
シュワルツの不等式まで持ち出さなくても出来そうです。

{f'(x)}^2-2f'(x)+1 を　０から１まで積分するとどうなりますか？
No.9320 - 2014/01/29(Wed) 18:05:30
☆ Re: 不等式の証明 / s [高校3年生]
回答ありがとうございます。
積分すると、、、
￥int^1_0 {f'}^2 - 2[ f ]^1_0 + [ x ]^1_0
= 〃　　　 -1
でしょうか。
そして、積分の中の関数が(f' - 1)^2≧0だから積分しても0以上
っていうことであってますでしょうか？

これはどういった感じで思いつかれたのですか？
No.9321 - 2014/01/29(Wed) 20:53:24
☆ Re: 不等式の証明 / s [高校１年生]
あと、整式という条件は必要なのでしょうか？
No.9322 - 2014/01/29(Wed) 20:58:59
☆ Re: 不等式の証明 / IT ♂ [中国] [社会人]
>そして、積分の中の関数が(f' - 1)^2≧0だから積分しても0以上っていうことであってますでしょうか？
そうですね。

>これはどういった感じで思いつかれたのですか？

最初は、定積分を短冊の面積の和（の極限値）と考えて
f'(x)を１と１との差の部分(a[i])に分けて考えるとΣ[i=1..n]a[i]は相殺されて０となるので
Σ[i=1..n]{(1+a[i])^2}(1/n)=Σ[i=1..n](1+2a[i]+a[i]^2)(1/n)≧Σ[i=1..n](1+2a[i])(1/n)＝１
というような感じで証明しようと考えましたが、厳密性に疑問があったのでいったんおいて、
シュワルツの不等式の特別な場合として、スッキリした証明ができないか考えました。
g(x)=1,λ=1とおいてみて、この証明になりました。
結果を見るとシュワルツの不等式を知らなくても思いつけそうな証明ですね。

>あと、整式という条件は必要なのでしょうか？
ｆが微分可能であり、{f'(x)}^2が積分可能なら整式でなくてもOKですね。
No.9323 - 2014/01/29(Wed) 21:54:58
☆ Re: 不等式の証明 / s [高校１年生]

> 最初は、定積冊の面積の和（の極限値）と考えて
> f'(x)を１と１との差の部分(a[i])に分けて考えるとΣ[i=1..n]a[i]は相殺されて０となるので

　すいません、この部分が良くわかりません。この1はどこから来たのですか？
　また、相殺されてというのはどういうことですか？

> Σ[i=1..n]{(1+a[i])^2}(1/n)=Σ[i=1..n](1+2a[i]+a[i]^2)(1/n)≧Σ[i=1..n](1+2a[i])(1/n)＝１
> というような感じで証明しようと考えましたが、厳密性に疑問があったのでいったんおいて、

　例えば必ずしもn等分されているわけではないということでしょうか？

> シュワルツの不等式の特別な場合として、スッキリした証明ができないか考えました。
> g(x)=1,λ=1とおいてみて、この証明になりました。
> 結果を見るとシュワルツの不等式を知らなくても思いつけそうな証明ですね。

　となると、やはりシュワルツの不等式を知らないと厳しいということですか？
　2乗を作りたいからという気持ちは伝わるのですが、やはり-1の出処がしっくりと
　きません。

> >あと、整式という条件は必要なのでしょうか？
> ｆが微分可能であり、{f'(x)}^2が積分可能なら整式せなくてもOKですね。

　ここは分かりました。

　申し訳ないですが上の点いかがでしょうか？
No.9325 - 2014/01/29(Wed) 22:44:33
☆ Re: 不等式の証明 / IT ♂ [中国] [社会人]
>すいません、この部分が良くわかりません。この1はどこから来たのですか？
∫[0..1]f'(x)dx=1ですから[0,1]でのf'(x)の平均値=1という感覚からです。

>また、相殺されてというのはどういうことですか？
f'(x)が１を超える部分の面積と１に足らない部分の面積が等しくなると言う意味です。
図を描いて考えて見るとイメージが掴めるかも知れません。

>例えば必ずしもn等分されているわけではないということでしょうか？
n等分のことというよりも、うまく説明できませんが極限(値)を議論する場合は、挟み撃ちするなど気を使わなくてはいけない（高校数学の範囲で厳密性をどう保つかが難しい）
ので、いったん置いて、定積分の定義まで戻らなくても済む証明がないか考えたのです

>となると、やはりシュワルツの不等式を知らないと厳しいということですか？
どうですかね、「シュワルツの不等式」が先入観としてあったので、逆にこのような思考経路をたどったともいえます。
「シュワルツの不等式」を知らなくても思いつけることのように思いますが、初見で短時間（試験時間中に）思いつけるかは分かりません。

類題（あるかどうか分かりませんが）が出れば、Sさんも「シュワルツの不等式」なしでもう解けますよね。
No.9326 - 2014/01/29(Wed) 23:01:22
☆ Re: 不等式の証明 / IT ♂ [中国] [社会人]
（追伸）
{(1-a)^2 + (1+a)^2}(1/2)
＝{(1-2a+a^2)+(1+2a+a^2)}(1/2)
＝{2+2a^2}(1/2)≧１
をモデルにするなら

Σ[k=1..n](1/n){f'(k/n)}^2
＝Σ(1/n){1+(f'(i/n)-1)}^2
＝Σ(1/n){1+2(f'(i/n)-1)+(f'(i/n)-1)^2}
≧Σ(1/n){1+2(f'(i/n)-1)}
＝Σ(1/n){2(f'(i/n)} - 1 ※途中[k=1..n]を省略

ここで極限を考えてもいいですが、
定積分に置き換えてみると
∫[0..1][{f'(x)}^2]dx
＝∫{1+(f'(x)-1)}^2
＝∫{1+2(f'(x)-1)+(f'(x)-1)^2}
≧∫{1+2(f'(x)-1)}
＝2∫[0..1]f'(x)dx-1＝１　とする方がすっきりですね。※途中dxと積分範囲を省略
答案には、最後のブロックだけ書けばいいです。
No.9327 - 2014/01/30(Thu) 19:12:02
☆ Re: 不等式の証明 / s [高校１年生]
追伸まで回答いただいてありがとうございます。
ここまで教えていただいた中で、
条件のfの値を
　∫ f' = 1
と置き換えて考えることを学ぶことが出来ました。
その上で特に追伸にかいて頂いた式の展開はよく分かりました。
問題演習をしていると、この手の
　∫ f'^2
が何故かよく出てくるので今後教えて頂いたことを生かしたいです。
ありがとうございました。
No.9328 - 2014/01/30(Thu) 21:57:44
☆ Re: 不等式の証明 / IT ♂ [中国] [社会人]
お疲れ様でした。では、また。
No.9329 - 2014/01/30(Thu) 22:14:11
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