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リュケイオン 「高校数学質問掲示板」





新矢（運営者）より
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★ 数列の和 / minamino ♀ [高校2年生]
こんにちは、minaminoです。宜しくお願い致します。
　早速、わからない問題ですが、数列の和の問題で、私の答えと、問題の解答と答えが違っておりました。
　そこで、どちらが正しいのか、私が間違っているのかを教えて下さい。
　問題と自分の答えを添付しますので、宜しくお願いします。
　また、添付ファイルですと、見えにくいと思いますので、下記URLにアップしました。
http://www.fastpic.jp/images.php?file=3718070312.png
　どうぞ、宜しく、お願いします。
No.9120 - 2013/07/18(Thu) 09:14:59
☆ Re: 数列の和 / londontraffic [教育関係者]
minaminoさん，こんばんは．
頑張ってますね．

添付した2式のうち，上はminaminoさんの下から6行目です．
正しいのが添付の下の式で，違いは赤と青です．

minaminoさんは，添付の2行目で
第n項1/n(n+1)を○で囲んでますよね．
下から6行目では第n項がkの式
1/k-1/(k+1)
としています．

いかがですか？
No.9121 - 2013/07/18(Thu) 18:30:04
☆ Re: 数列の和 / minamino ♀ [高校2年生]
londontraffic先生、こんばんは、ご返信有難うございます。
　今晩、ゆっくり、londontraffic先生のアドバイスをもとに、この問題を考えたいと思ういます。
　ですので、返信は明日になると思います。
　どうぞ、宜しくお願いします。　　　　minamino
No.9122 - 2013/07/18(Thu) 18:55:59
☆ Re: 数列の和 / minamino ♀ [関東] [高校2年生]
londontraffic先生、お早う、ございます。
　早速ですが、londontraffic先生の昨日のアドバイスをもとに、自分の答案をかきなおしました。ご指導ください。

自分の答案URL
http://www.fastpic.jp/images.php?file=0008305059.png
　宜しくお願い、致します。
No.9123 - 2013/07/19(Fri) 08:51:39
☆ Re: 数列の和 / londontraffic [教育関係者]
こんばんは．レスが遅くなり申し訳ございません．

基本路線は間違えていないので，問題文が「S_kを求めよ」なら
例えばΣの下は，i=1として上をkとして解答を作り直せば（Σ内の式はiの式に直すで）okです．
が，私がよく目にする問題は，
「S_nを求めよ」
や
「初項から第n項までの和を求めよ」
です．
もしこの問題が「S_nを求めよ」や「初項から第n項までの和を求めよ」なら，
「求める和をS_kとする」
は，避けた方がいいと思います．
No.9124 - 2013/07/19(Fri) 23:24:41
☆ Re: 数列の和 / minamino ♀ [関東] [高校2年生]
londontraffic 先生、お早う、ございます。返信が送れてしまった事、深くお詫び申し上げます。
　早速ですが、londontraffic 先生のアドバイスを元に、本日朝、自分の答案を改めて、直しましたので、londontraffic 先生、私の、答案を見て下さい。
　宜しく、お願いします。
以下私の答案のURLです。
http://www.fastpic.jp/images.php?file=0235191414.png
No.9125 - 2013/07/22(Mon) 09:06:40
☆ Re: 数列の和 / londontraffic [教育関係者]
minaminoさん，こんばんは．
それで間違いないです．
No.9127 - 2013/07/22(Mon) 20:48:52
☆ Re: 数列の和 / minamino ♀ [関東] [高校2年生]
londontraffic先生、おはようございます。今回も丁寧にご指導頂き、ありがとう、ございました、
　これからも、宜しく、お願い、致します。
　
　minamino
No.9128 - 2013/07/23(Tue) 06:39:26
★ Σの計算-答案の書き方 / minamino ♀ [高校2年生]
お早うございます。
宜しくお願い致します。
■問題■
http://www.fastpic.jp/images.php?file=7880479097.png
問題は、上のリンクにあるようにΣの計算です。
■質問■
問題はΣの計算です、解いてみたら自分の解答も正解でした。ただ、答案の書き方が私はまだ全然うまく書けません。いい答案の書き方を教えて下さい。
私の答案を添付しますので、ご指導の程、宜しくお願い致します。
■私の答案■
http://www.fastpic.jp/images.php?file=6828035437.png
No.9114 - 2013/07/15(Mon) 08:40:47
☆ Re: Σの計算-答案の書き方 / kinopy [塾講師]
minaminoさん，こんにちは。kinopyです^^

minaminoさんの解答で問題はないですよ。
強いて言えば，丁寧すぎますけど(^_^;)

この辺は「何をしたか，採点者に分かるような解答」という曖昧なものですので，
丁寧すぎるのは，それほど気にしなくてもよいですが…


1行目の「S_n=…　とする」　　通常S_nはn項までの和を指しますから
S=1^2+5^2+…+77^2 とする。　に変えましょう。

まず，3行目の
　　Σa_k^2=a_1^2+a_2^2+…+a_n^2　　は不要ですね。特に使ってないですから。

実際の和を求める箇所は私なら
S=Σ(4k-3)^2=Σ(16k^2-24k+9)
=16×1/6×(20)×(20+1)×(40+1)-24×1/2×(20)×(20+1)+9×20
=16×1/6×20×21×41-24×1/2×20×21+9×20
=8×20×7×41-12×20×21+9×20
=20(8×7×41-12×21+9)
（タイプミスあったらスミマセン(^_^;)）

程度ですかね。
21/3が約分できることは最初に気づきたかったです。

ここの約分に関しては，「最後に和を計算するときに約分した方が楽かしない方が楽か」
を考えた上でやりましょう。

minaminoさんの書かれた「Σの分配法則を使って」「定数を出して」「Σの公式を使って」「20でくくって」
は「式を見れば何をしたかがわかる」ので必要ありません。

とはいえ，「わかるかどうか」は場面にもよりますし，あまり気にしなくていいです。

余談です…
解決済の前回のスレッドの，1/6でくくるお話ですが
minaminoさんの最初の答案の考え方でも問題ないですが

1/6n(n+1)(2n+1)+5/2n(n+1) 分母を6にそろえて　(5/2=15/6)
=1/6n(n+1)(2n+1)+15/6n(n+1)
=1/6n(n+1){(2n+1)+15}
=1/6n(n+1)(2n+16)
=1/3n(n+1)(n+8)
…と考えたらいかがですか？
No.9115 - 2013/07/15(Mon) 12:23:36
☆ Re: Σの計算-答案の書き方 / minamino ♀ [高校2年生]
kinopy先生、こんばんは、miniminoです。早速のご返信、有難う、ございます。kinopy先生の「答案の書き方」のアドバイスをよく読んで、理解し、もう一度、自分の答案を作ってみようと思います。返信は、明日するつもりです。宜しくお願いします。
No.9116 - 2013/07/15(Mon) 19:53:33
☆ Re: Σの計算-答案の書き方 / minamino ♀ [高校2年生]
kinopy先生、お早うございます。宜しくお願いします。
　kinopy先生のアドバイス通り、自分の答案を考え直してみました。大変勉強になりました。有難うございます。
　また、kinopy先生の

>実際の和を求める箇所は私なら
>S=Σ(4k-3)^2=Σ(16k^2-24k+9)
の計算も、勉強になりました。
本当に今回は、有難うございました。
　以下に、私のkinopy先生アドバイス後の答案(？)をアップしました。一度見て下さい。
http://www.fastpic.jp/images.php?file=1491969197.png
　何か、一言でも、返信頂ければ、幸いです。
To-kinopy先生様　
No.9117 - 2013/07/16(Tue) 07:25:50
☆ Re: Σの計算-答案の書き方 / kinopy [塾講師]
こんばんは。
OKですよ。

Σk^2は整数の和ですから，約分できますから覚えておきましょう^^
No.9118 - 2013/07/16(Tue) 21:25:42
☆ Re: Σの計算-答案の書き方 / minamino ♀ [高校１年生]
kinopy先生、お早うございます。minaminoです。今回も、最後まで、私の指導にお付き合い頂き、感謝いたします。有難うございました。
　また宜しくお願い致します。
>Σk^2は整数の和ですから，約分できますから覚えておきましょう^^
　了解です、覚えておきます。
No.9119 - 2013/07/17(Wed) 04:04:31
★ 因数分解　共通因数でくくる / minamino ♀ [高校2年生]
宜しく、お願い致します。
　問題は、Σの計算なのですが、その過程での計算で因数分解が出てきます、その因数分解がうまく出来ないのでアドバイス下さい。
■問題■
http://www.fastpic.jp/images.php?file=8938413649.png
■自分の解答及び質問■
http://www.fastpic.jp/images.php?file=2037037823.png
因数分解　共通因数でくくることができません。ご指導の程、宜しくお願い致します。
No.9107 - 2013/07/12(Fri) 14:56:41
☆ Re: 因数分解　共通因数でくくる / IT ♂ [中国] [社会人]
minaminoさん　こんにちは、ITです。

難しく考えすぎのようですね。
定数部分なしの共通因数を括りだしたらどうでしょうか？

やってみて書き込みしてください。
No.9108 - 2013/07/13(Sat) 10:47:02
☆ Re: 因数分解　共通因数でくくる / minamino ♀ [高校2年生]
IT先生、こんにちは、minaminoです。
IT先生のアドバイス通り、「定数部分なしの共通因数を括りだしたらどうでしょうか？

」で、やってみました。
IT先生のアドバイスのお蔭で正しい答えに辿り着きました。IT先生、直した答案を添付しますので、見て下さい。宜しくお願いします。
■直した答案■
http://www.fastpic.jp/images.php?file=8389623625.png
　正しいでしょうか？少し不安なので、もう一度アドバイス頂けると幸いです。
No.9109 - 2013/07/13(Sat) 18:58:26
☆ Re: 因数分解　共通因数でくくる / IT ♂ [中国] [社会人]
> 　正しいでしょうか？少し不安なので、もう一度アドバイス頂けると幸いです。
あっていると思います。
n=1などとして検算してみましょう。

計算練習をして途中もう少し暗算でできるようにする方が、転記回数が少なくなり転記ミスが防げるかもしれません。
「n(n+1)で括ると」の後の式変形が６行ありますが、３行程度にしたほうが良いと思います。徐々にやってみられることをお勧めします。

n(n+1)でくくると
=n(n+1){(2n+1)/6 + 5/2} 　5/2=15/6
=n(n+1){(2n+16)/6}
=n(n+1)(n+8)/3
No.9110 - 2013/07/13(Sat) 19:30:42
☆ Re: 因数分解　共通因数でくくる / minamino ♀ [高校１年生]
IT先生返信有難うございました。
　現在、７月１４日、朝4時40です、IT先生おはようございます。
　今回のIT先生のアドバイス「計算練習をして途中もう少し暗算でできるようにする方が、転記回数が少なくなり転記ミスが防げるかもしれません。
」を元に、再度、計算しなおしてみました。一度見て下さい。
■自分の答案■
http://www.fastpic.jp/images.php?file=3483081113.png
　一言でも、返信頂けると幸いです。
No.9111 - 2013/07/14(Sun) 04:43:24
☆ Re: 因数分解　共通因数でくくる / IT ♂ [中国] [社会人]
良いと思います。
お疲れ様でした。
No.9112 - 2013/07/14(Sun) 07:06:43
☆ Re: 因数分解　共通因数でくくる / minamino ♀ [高校１年生]
IT先生、ありがとうございました。また、宜しく、お願い致します。
No.9113 - 2013/07/14(Sun) 09:11:06
★ (No Subject) / PP ♀ [地球外] [高校3年生]
数列と帰納法の問題です

数列{an}はa1=1/3,(1-a[n+1])(1+2a[n])=1 (n=1,2,3...)を満たすとする
すべての正の整数ｎに対してa[n]≧1/3であることを数学的帰納法によって証明せよ

式変形a[n+1]=...の形に式変形して
nに順番に数字を当てはめていけば解けるかと考えたのですが
n=kで成り立つと仮定したあとにそれをどう利用すればいいのかが思いつきません

数列苦手なので詳しく解説していただけるとありがたいです
よろしくお願いします
No.9081 - 2013/06/27(Thu) 22:20:06
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
PPさん，こんにちは．
早速いきましょう．

>式変形a[n+1]=...の形に式変形して
ですが，どんな形にしましたか？
カキコしてくださいな．お願いします．
No.9082 - 2013/06/28(Fri) 17:35:46
★ 複利計算 / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。
私は、｢複利計算｣という言葉は聞いたことはありますが、実際に計算したりするのは初めてです。どうか、｢複利計算｣について、ド基礎からのご指導をお願いします。
　私なりに複利計算について調べたところWikipediaより下記のような解説が掲載されていました。
----------------------------------------------------------------------
複利法の解説[編集]

計算には次式を使う。
新元金＝元金＋元金×利率　＝元金×(1＋利率)
10,000円を元金として、月利が10％（すなわち 0.1）である場合に、複利法では以下のようになる。
10000＋1000＝11000
次の月は、この11,000円（元金と利子を合わせた額、元利合計という）を元金として計算する。
11000＋1100＝12100
次の月は、この12,100円を元金として計算する。
12100＋1210＝13310
つまり、3か月後には3,310円の利子がつく。
----------------------------------------------------------------------
その中で■自分の疑問点■が出てきましたので、添付します。
何卒、宜しくお願いします。
minamino
No.9097 - 2013/07/03(Wed) 12:18:10
☆ Re: 複利計算 / minamino [高校１年生]
■自分の疑問点■
http://www.fastpic.jp/images.php?file=1584874049.png
添付では見難いと思いますので、リンク先です、どうか宜しくお願いします。
No.9098 - 2013/07/03(Wed) 12:19:39
☆ Re: 複利計算 / kinopy [塾講師]
minaminoさん，はじめまして。kinopyです^^


最初1万円を貯金して，年利10%で計算したn年後の元利合計。
という問題として回答しますね。
複利計算は，1ヶ月後1100円，2ヶ月後12100円 と計算してしまうと，意味不明になります。

minaminoさんの行った計算を，式まで書くと

最初　　　1万
1ヶ月後　 1万×1.1 2ヶ月後はこれに1.1をかけて
2ヶ月後　 1万×1.1^2　3ヶ月後はこれに1.1をかけて
3ヶ月後　 1万×1.1^3　4ヶ月後はこれに1.1をかけて…

ですよね？
これで，n年後の式は見えますでしょうか？

分かりにくい箇所は，ご遠慮なくどうぞ。
No.9099 - 2013/07/04(Thu) 02:19:35
☆ Re: 複利計算 / minamino [高校2年生]
kinopyさん、はじめまして、minaminoのです、どうぞ宜しくお願いします。
わかりやすい解説有難う御座います。
>n年後の式は見えますでしょうか？
私なりに考えてみました。正しいかみてください。宜しくお願いします。
■自分の答案リンク先↓↓↓
http://www.fastpic.jp/images.php?file=2176188761.png
No.9100 - 2013/07/04(Thu) 11:08:22
☆ Re: 複利計算 / minamino [高校2年生]
kinopy先生、こんにちは、
質問した問題の応用問題を解いてみました。３回解いて正しい答えにたどり着いたのですが、少し不安です、どうか、見てご指導下さい、宜しくお願いします。
その問題と答案↓↓↓
http://www.fastpic.jp/images.php?file=1899010028.png
No.9101 - 2013/07/04(Thu) 14:47:16
☆ Re: 複利計算 / kinopy [塾講師]
こんばんは。

よくできています^^

ただ，一ついうと正解にたどり着いた答案で
10400(1.04^10-1)=10400×1.04^10-10400　と計算されていますが
1.04^10=1.48を先に代入して
10400(1.04^10-1)=10400(1.48-1)=10400×0.48
の方が楽ですね(^_^;)
No.9102 - 2013/07/05(Fri) 04:10:22
☆ Re: 複利計算 / minamino [高校2年生]
kinopy先生、おはよう御座います。
ご返信ありがとうございます。
>10400(1.04^10-1)=10400(1.48-1)=10400×0.48の方が楽ですね(^_^;)
私の答案の細かい計算部分までしっかり見て頂き感謝します。
kinopy先生のアドバイス通り、計算をやり直してみました。以下やり直しの答案をアップしました。見てください。
↓↓↓
http://www.fastpic.jp/images.php?file=1984595167.png
だいぶ、楽に計算できました。有難う御座いました。
No.9103 - 2013/07/05(Fri) 09:37:00
★ 等比数列の和 / minamino [高校2年生]
宜しく、お願いします。
問題を添付します。
No.9092 - 2013/07/01(Mon) 15:52:02
☆ Re: 等比数列の和 / minamino [高校１年生]
宜しくお願いします。私の答案を添付します。見て下さい。何度と自分の計算を見直したのですが、最後のrがでてきません、どこの計算が間違っているのでしょうか。教えて下さい。宜しくお願いします。
No.9093 - 2013/07/01(Mon) 15:59:48
☆ Re: 等比数列の和 / minamino [高校１年生]
自分の答案
http://www.fastpic.jp/images.php?file=3455327141.png
です。宜しくお願いします。
No.9094 - 2013/07/01(Mon) 16:04:04
☆ Re: 等比数列の和 / londontraffic [教育関係者]
minaminoさん，こんにちは．
londontrafficです．

21(r^3+1)=189までokです．次の式が違いませんか？
No.9095 - 2013/07/01(Mon) 17:31:21
☆ Re: 等比数列の和 / minamino [高校１年生]
londontraffic先生、こんにちは、返信有難うございます。londontraffic先生がご指摘くださった,21(r^3+1)=189以降の計算が間違っていました。お蔭様で正しい答えにたどりつけました。本当に有難うございました。
No.9096 - 2013/07/01(Mon) 17:50:36
★ (No Subject) / こここ ♀ [近畿] [高校2年生]
こんばんわ。
証明問題で質問です。

ｎ≧１のとき、２√ｎ＞√（ｎ＋１）＋√（ｎ−１）を証明する、という問題です。

どうといたらいいのかわかりません…
証明問題をできるようになりたいので、詳しく教えて下さい。
よろしくお願いします
No.9062 - 2013/06/16(Sun) 19:25:31
☆ Re: / DCO ♂ [関東] [大学生]
こんばんは．一緒に考えていきましょう．

不等式の証明，たとえば
A＞Bを証明したいときにはよく
A-B＞0を証明する方法が有効ですが，この場合はそれはうまくいきませんね．
なぜなら根号があるから．

根号を取っ払うためには「2乗する」が有効です．
両辺を2乗すると，意外と見通しのよい式になります．

ただし，本当に2乗してよいのかどうか考えなければなりませんが…
No.9063 - 2013/06/16(Sun) 19:59:41
☆ Re: / こここ ♀ [近畿] [高校１年生]
DCOさん、ご回答ありがとうございます。

なるほど、２乗するんですね。

つまりこの場合、

２ｎ＞（ｎ＋１）＋（ｎ−１）
になるということでしょうか？
No.9064 - 2013/06/16(Sun) 20:08:37
☆ Re: / DCO ♂ [関東] [大学生]
本当にそうなるでしょうか？
ルートは，むやみに取っ払っていいものではありません．

たとえば，9＜14＜16より3＜√14＜4です．
√4=2,√9=3ですから
√14＜√4+√9 (=5)
ですよね．

しかし，ルートを取っ払うと
14＜4+9
です．これは，もちろん正しくありませんね．

両辺を二乗するとすれば，
(2√n)^2 ＞ (√(n-1)+√(n+1))^2
とすべきです．
No.9065 - 2013/06/17(Mon) 00:16:17
★ 数列の質問です / ゆうち ♂ [東海] [再受験生]
こんばんは。再受験のものです。
古いですが　苦手だけど受験に必要な人のための・・・という参考書の数列バージョンです。絶対すべての問題を覚えたいので質問に参りました。

実戦問題64
すべての自然数ｎに対し2^(n-1)＞1/2（n^2-n）であることを示せ。（2項定理を使って）

解説・回答は大まかに
両辺に2をかけて
2^n＞n^2-n　　　これを示せばよい。

n≧2、ｎ≠4のとき

nC0＋nC1＋nC2＋・・・・＋ｎCn-1＋nCn≧nC2＋nCn-2
右辺＝n^2-n

n＝1、n＝4のときも成立するので2^n＞n^2-nは成立する
2^(n-1)＞1/2（n^2-n）も成立。

わからないところです。
?@なぜn＝1を別で確かめないといけないのか
?Aなぜn＝4を別で確かめないといけないのか
?B解説ではいきなり
nC0＋nC1＋nC2＋・・・・＋ｎCn-1＋nCn≧nC2＋nCn-2
右辺＝n^2-n

と説明されていて
nC2＋nCn-2＝n^2-nとあらかじめ知っていないとできないのではないかと思うのですが。
両辺はともに正の項の和で右辺はその一部の項を使った和なので不等式が成り立つのはわかるのですが。とき方が納得いきません。これらがわからないと覚える意味はないと思ったので質問させていただきます。よろしくお願いします。
No.9046 - 2013/06/05(Wed) 23:05:53
☆ Re: 数列の質問です / kinopy [塾講師]
ゆうちさん，はじめまして。kinopyです。

これは何か話の途中に出てきた問題なのかな？
…というのも，解法が指定されているのと式が不自然に感じます。
何か教えたいことがあって，そうしているのだと思いますが…

ともかく質問に答えましょう(^_^;)
ひとまず，右辺はおいといて

　(1+1)^n=nC0＋nC1＋nC2＋・・・・＋ｎCn-1＋nCn
はいいですね？
問題点となっている不等式はこの式の中に，nC2とnCn-2があるから成り立つのですが
n=1のとき，(1+1)^1=1C0+1C1
nC2とnCn-2は1C2と1C{-1}

n=4のとき，(1+1)^4=4C0+4C1+4C2+4C3+4C4
nC2とnCn-2は4C2と4C2
です。

これでn=1とn=4のときは除かねばならない理由はおわかりでしょうか？
nCn-2があるので，n≠1は気づきやすいですが，n≠4は見落しそうですね(^_^;)


＞nC2＋nCn-2＝n^2-n
ですが，これはどうなのかなぁ(^_^;)
与えられた式の右辺1/2(n^2-n)をわざわざこの形にして，「2項定理で」というのは
もしかすると，1/2(n^2-n)=nC2を示唆するためのものかも知れません。
それに気づいていれば，n^2-n=2×nC2=nC2+nCn-2というのはまだ自然に見えますが…

正直，私の意見では「この変形は気づかなくてもいいこと」です（汗）
この本をネットで調べてみると「センター〜中堅私大向け」とのことですが，
少なくともそのレベルを意識すれば，「全くいらない変形」だと思います。

右辺の(1+1)^nはもちろん要りますけどね…

もし，私の勘違いで「中堅私大向けでn^2-n=nC2+nCn-2は必要」なら，職員室で他の回答者の先生が教えてくれると思いますんので，その場合は改めて書き込みさせて頂くことにします(^_^;)

追加質問がありましたらご遠慮なくどうぞ。
No.9047 - 2013/06/07(Fri) 00:35:53
☆ Re: 数列の質問です / ゆうち ♂ [東海] [再受験生]
こんばんわ。解説ありがとうございます。
自分学校の勉強はほとんどしてこなかったのですが医師になりたく勉強を始めました。割り算や分数（通分や約分など）からやり直して何年もたちました。塾とかで教えてもらえればすぐ理解できるのかなとか考えますが、立場上できるスタンスでやっていきたいと・・。大学へいけるほどになったことも奇跡ですが。最終的にはこんな変形も気づくことが必要。ということになるのかなと・・

ちなみ2項定理という指定はありません。2項定理のページに入ってからの問題だったので一応指定ということで質問しました。

2項定理の問題をやるためにＣとは何かを公式として参考書をみました。nCrでｎ個のものからｒ個を選ぶ公式ですよね？

するとｎ≧ｒだし、ｎ、ｒ≧0　じゃないといけないということで
ｎ＝1はだめ。

たまたまｎ＝4では　nC2とnCn-2が一致して右辺の目標nC2＋nCn-2ができない
ということで

ｎ＝1、ｎ＝4は除外ということでよいでしょうか。

言われてみれば・・・。最低でもｎ＝1のときから順に係数をならべnC2とnCn-2は・・・と書き出して調べてみるべきでした。なぜだと思ったときも書きださなかったので。

よくわからないですが、自然数の問題で組み合わせと合わさった問題を解いたことがある人ならnC2＋nCn-2＝n^2-nと気づいてもいいかもねという感じでしょうか。

別解では帰納法でした。こちらも微妙にまちがいました。
ｎ＝1は成立　ｎ＝Ｋ・・?@のとき成立と仮定するとｎ＝Ｋ＋1のときは
?@の両辺に2をかけたものの右辺と実際のｎ＝Ｋ＋1の場合の右辺の大小を比較したのですが
ここで初めて最初にＫ＝1とＫ＝2の時を成立というのをいっておかないといけなかったとわかりました。最後までいって後からＫ＝2も成り立つといっておかないととわかるのはありでしょうか。最初からＫ＝2も言っておかないとな！とわかるのが普通なのでしょうか。
No.9048 - 2013/06/07(Fri) 23:36:37
☆ Re: 数列の質問です / kinopy [塾講師]
こんばんは。

ゆうちさんの状況，よくわかりました。
これからも頑張ってくださいね。
何か勉強法で悩むことがあれば，下記での質問をお待ちしてます。↓「リュケイオン学習相談掲示板」
http://www.lykeion.info/yybbs/yybbs.cgi

さて，本題です。
n=1，4の理解についてはゆうちさんの仰るとおりです。

＞…人ならnC2＋nCn-2＝n^2-nと気づいてもいいかもねという感じでしょうか。
については…
いいえ，そもそもこの問題を2項定理で解く発想がありえません(^_^;)
普通は「帰納法」だと思います。
知り合いの先生にも確認しましたが，「著者の意図が分からん」とおっしゃってました。

整数問題で2項定理を使う問題で有名なのは，これも帰納法でできますが
「5^n-2^nは3の倍数であることを示せ」とかがありますが…（因数分解の公式を使う手もあります）

＞最後までいって後からＫ＝2も成り立つといっておかないととわかるのはありでしょうか。最初からＫ＝2も言っておかないとな！とわかるのが普通なのでしょうか。
これも，ゆうちさんの仰るとおりです。
あとづけです。
二項定理の方法と同じく，最後の式がk=2で成り立たないので最初に戻ってやっておく感じです。
No.9051 - 2013/06/09(Sun) 00:01:12
☆ Re: 数列の質問です / ゆうち ♂ [東海] [再受験生]
こんばんわ。
わかりやすく解説いただきありがとうございました。
解決というより安心感をいただきました。
学習相談も含めまたお邪魔するとおもいますのでよろしくお願いいたします。
No.9053 - 2013/06/09(Sun) 20:41:44
★ (No Subject) / さくら ♀ [中国] [高校3年生]
4ＳＴＥＰ　　数学?V　Ｐ.53　【191】で質問します。

（1）ｒ＞0のとき｛1/（２＋ｒ^ｎ｝

　?@0＜ｒ＜1　のとき　　lim（ｎ→∞）ｒ^ｎ＝0　より
　　　　　　　　　　　　lim（ｎ→∞）｛1/（２＋ｒ^ｎ｝＝1/2+0＝1/2　　1/2に収束

　?Aｒ＝1のとき　　　　　lim（ｎ→∞）ｒ^ｎ＝1　より
　　　　　　　　　　　　lim（ｎ→∞）｛1/（２＋ｒ^ｎ｝＝1/2+1＝1/3　　1/3に収束

　?Bｒ＞1のとき　　　　　lim（ｎ→∞）ｒ^ｎ＝∞　より
　　　　　　　　　　　　lim（ｎ→∞）｛1/（２＋ｒ^ｎ｝＝1/2+∞＝0　　0に収束


（2）ｒ≠±1のとき　　｛1/ｒ＾ｎ−1｝

　　?@ｒ＞1のとき　　　lim（ｎ→∞）ｒ^ｎ＝∞　より
　　　　　　　　　　　　lim（ｎ→∞）｛1/ｒ＾ｎ−1｝＝1/∞−1＝0　　0に収束

　　?A−１＜ｒ＜1のとき　lim（ｎ→∞）ｒ^ｎ＝0　より
　　　　　　　　　　　　lim（ｎ→∞）｛1/ｒ＾ｎ−1｝＝1/0−1＝−１　−1に収束

　　?Bｒ＜−1のとき　　lim（ｎ→∞）ｒ^ｎは　振動する
　　　　　　　　　　ここから　わかりません。

　（3）ｒ≠0　のとき　｛1/ｒ^ｎ｝

　　　　?@ｒ＞1のとき　lim（ｎ→∞）ｒ^ｎ＝∞　より
　　　　　　　　　　lim（ｎ→∞）｛1/ｒ^ｎ｝＝1/∞＝0　0に収束
　　　　?Aｒ＝1のとき　lim（ｎ→∞）ｒ^ｎ＝1　より
　　　　　　　　　　lim（ｎ→∞）｛1/ｒ^ｎ｝＝1/1＝1　1に収束
　　　　?B−1＜ｒ＜0，　0＜ｒ＜1のとき　　lim（ｎ→∞）ｒ^ｎ＝0　より
　　　　　　　　　　
　　　　　　　lim（ｎ→∞）｛1/ｒ^ｎ｝＝1/0＝0と考えてはいけませんか？

　　（1）と同様に　（2）（3）を解いてみたんですが　わかりません。
　　　よろしくお願いします。
No.9049 - 2013/06/08(Sat) 11:03:06
☆ Re: / kinopy [塾講師]
さくらさん，はじめまして^^kinopyです。

丁寧な書き込みありがとうございます。

さくらさんは　1/∞=0　と考えておられますね。
もちろん，これは正しいですがこの式（1/∞）は頭の中で書くべきで，解答の中に書くべきではありません。
（1/∞という数はないですから…）

同様に1/0も解答に書いてはダメです。


で，ここからが回答になりますが1/0の形の極限は，「関数の極限」の単元で出てきます。
その後なら，今回の間違いもなかったと思います。
1/0=0が間違いなんです(^_^;)

具体例で確認しましょうか…r=1/2のとき{1/r^n}についてn=1,2,3,10の値を代入してみて下さい。

いかがでしょうか？
追加質問がありましたらご遠慮なくどうぞ。
No.9050 - 2013/06/08(Sat) 23:47:39
☆ Re: / さくら ♀ [中国] [高校3年生]
r=1/2のとき{1/r^n}についてn=1,2,3,10の値を代入すると、　2，4，8，1024と∞

r=−1/2のとき{1/r^n}についてn=1,2,3,10の値を代入すると、　−2，4，−8，1024と振動


だから　　0＜ｒ＜1のとき　　lim（ｎ→∞）{1/r^n}＝∞

　　　　　−1＜ｒ＜0のとき　　{1/r^n}は　振動して極限なし

　　　になるのですね。　　よく分かりました。
No.9052 - 2013/06/09(Sun) 13:34:36
★ (No Subject) / けんぽん♪ ♂ [関東] [高校3年生]
次の条件を満たす円の方程式を求めよ。

２点(5,1),(-2,8)を通り、X軸に接する。

教えてください！
おねがいします！
No.9043 - 2013/05/30(Thu) 16:42:37
☆ Re: / kinopy [塾講師]
けんぽんさん，はじめまして。kinopyです^^

掲示板が運営の不手際で一時書き込みできない状態になっておりました。
回答が遅れて申し訳ありませんm(__)m


さて，円の方程式を求めるには，中心(a,b)と半径rが分かれば(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
と求められますね？

とりあえず，中心に関しては何も分からないようなので(a,b)とおきましょう。
で，問題の条件を図に直せば，半径について何かわからないでしょうか？

分かれば先に進めて詰まった所を書き込んで下さい。
No.9044 - 2013/06/04(Tue) 01:15:00
☆ Re: / けんぽん♪ ♂ [関東] [高校3年生]
できました(^○^)
ありがとうございます^ ^
No.9045 - 2013/06/04(Tue) 20:04:47
★ (No Subject) / けんぽん♪ ♂ [関東] [高校3年生]
放物線y＝3x^2を平行移動したもので、二点（1,1)(2,8)を通る。
放物線の方程式を求めよ。
よろしくお願いします^ ^
No.9026 - 2013/05/26(Sun) 03:42:02
☆ Re: / DCO ♂ [関東] [大学生]
こんにちは、DCOです。よろしくお願いします。

> 放物線y＝3x^2を平行移動したもので、二点（1,1)(2,8)を通る。
> 放物線の方程式を求めよ。

まず、放物線(というよりも二次関数)の方程式は一般に
y=ax^2+bx+cと表されます。(ただしa≠0)
条件を満たすa,b,cを求めれば、それが答えになるわけです。
ここまではいいですか。

そして、上の「平行移動」という条件から
a,b,cのうちの一つは自動的に決まってしまうのです。
どの文字か分かりますか？
No.9027 - 2013/05/26(Sun) 12:08:26
☆ Re: / けんぽん♪ ♂ [関東] [高校3年生]
わかります^ ^

aが3ですよね？
No.9029 - 2013/05/26(Sun) 16:26:28
☆ Re: / DCO ♂ [関東] [大学生]
その通りです．

すると，問題は

ある放物線がy=3x^2+bx+c という式で表されており，
その放物線が2点(1,1)と(2,8)を通るとき，bとcの値を求めよ．

と言い換えることができます．
この問題の解き方は分かりますか？
No.9034 - 2013/05/26(Sun) 19:22:40
☆ Re: / けんぽん♪ ♂ [関東] [高校3年生]
ありがとうございます！
今度また教えてください^ ^
No.9035 - 2013/05/26(Sun) 20:26:32
☆ Re: / DCO ♂ [関東] [大学生]
僕でよろしければ
いつでもどうぞ．
勉強頑張ってください．
No.9042 - 2013/05/28(Tue) 00:13:06
★ (No Subject) / まりも ♀ [北海道] [高校3年生]
体系問題集Ｐ.64　　［95］

白２枚，赤１枚のカードを袋に入れ、よく混ぜてから１枚取り出し、取り出したカードが白ならば得点はそのまま、取り出したカードが赤ならば得点を1点増やすゲームを繰り返し行う。いま、得点は４点である。これからカードをｎ回取り出したとき、得点が偶数である確率をＰｎとする。Ｐｎをｎの式で表せ。


ヒントとして、ｎ回終了後の得点が偶数のときと奇数のときに分けて考える。と書いてますが　　どうやって解いていくか分かりません。よろしくお願いします。
No.9025 - 2013/05/25(Sat) 23:34:11
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
こんにちは，ＣＯＲＮＯ です．
ちょっとたいへんかもしれませんが，いってみましょう．

>ｎ回終了後の得点が偶数のときと奇数のときに分けて考える。と書いてます
問題に，得点が偶数である確率をＰ[n]とする，とあるので，
得点が奇数である確率も考えて，Ｑ[n]としましょう．

ではまりもさん，次の３つを考えて結果を書き込んでください．
(Ａ) Ｐ[1] を求めてください．
(Ｂ) Ｑ[1] を求めてください．
(Ｃ) Ｐ[n+1] を，Ｐ[n] と Ｑ[n] で表すとどうなりますか．
３つ全部でなくとも，できたところまででもかまいません．
No.9028 - 2013/05/26(Sun) 14:29:24
☆ (No Subject) / まりも ♀ [北海道] [高校3年生]
（Ａ）偶数なので　白カードを取り出した場合　 Ｐ[1]＝2/3
（Ｂ）奇数なので　赤カードを取り出した場合　 Ｑ[1]＝1/3
（Ｃ）Ｐ[n+1]＝ 2/3Ｐ[n]+1/3 Ｑ[n]

　　これでいいですか？
No.9030 - 2013/05/26(Sun) 17:03:36
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
続けます．

>（Ａ）偶数なので　白カードを取り出した場合　 Ｐ[1]＝2/3
>（Ｂ）奇数なので　赤カードを取り出した場合　 Ｑ[1]＝1/3
>（Ｃ）Ｐ[n+1]＝ 2/3Ｐ[n]+1/3 Ｑ[n]
ここまでは ＯＫ です．
で，
　　　Ｐ[n+1]＝ 2/3Ｐ[n]+1/3 Ｑ[n]　　…?@
と同様に，Ｑ[n+1] を Ｐ[n] と Ｑ[n] で表すことができます．これを ?A とします．
?@ と ?A で連立型の漸化式ができるので，Ｐ[n]，Ｑ[n] を求めることができます．
やってみてください．

もし，連立型漸化式に慣れていないのであれば，
標準的な２項間漸化式でもできます．
漸化式はどの程度マスターしているでしょうか．
No.9031 - 2013/05/26(Sun) 17:28:47
☆ Re: / まりも ♀ [北海道] [高校3年生]
Ｐ[n+1]＝ 2/3Ｐ[n]+1/3 Ｑ[n]　　…?@
Ｑ[n+1]＝1/3Ｐ[n] +2/3 Ｑ[n]　　…?A

?@+?A　　Ｐ[n+1]+Ｑ[n+1]＝Ｐ[n] + Ｑ[n]

Ｐ[1]+Ｑ[1]＝1

　　　　　　数列｛Ｐ[n] + Ｑ[n]｝は、初項1　公比1の等比数列である。
　　　　うまくできません。よろしくお願いします。
No.9032 - 2013/05/26(Sun) 18:34:41
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
>Ｐ[1]+Ｑ[1]＝1
>数列｛Ｐ[n] + Ｑ[n]｝は、初項1　公比1の等比数列である。
というより，初項 １ の定数列，と考えた方がいいでしょう．

次にやることは，?@−?A です．
No.9033 - 2013/05/26(Sun) 18:47:40
☆ Re: / まりも ♀ [北海道] [高校3年生]
?@+?A　　Ｐ[n+1]+Ｑ[n+1]＝Ｐ[n] + Ｑ[n]　　　　　
　　　　　　初項 １ の定数列
　　　　　　数列｛Ｐ[n] + Ｑ[n]｝＝1＾ｎ　　　…?B
?@−?A 　　Ｐ[n+1]−Ｑ[n+1]＝1/3Ｐ[n] −1/3 Ｑ[n]
　　　　　　　　　　　　　＝1/3（Ｐ[n] − Ｑ[n]）
　　　　　　初項1/3　公比1/3の等比数列である
　　　　　　数列｛Ｐ[n] − Ｑ[n]｝＝　1/3・1/3＾ｎ-1＝（1/3）＾ｎ　　…?C

（?B+?C）÷2　　　Ｐ[n］＝｛1＋　（1/3）＾ｎ｝/２

　　　　　　　これでいいですか？　　
No.9036 - 2013/05/26(Sun) 20:43:29
☆ Re: / ＣＯＲＮＯ ♂ [東北] [教育関係者]
いいと思いますよ．
No.9039 - 2013/05/27(Mon) 19:07:26
☆ Re: / まりも ♀ [北海道] [高校3年生]
解答が　　Ｐ[n］＝1/6（1/3）＾ｎ-1＋1/2になってましたが　変形したら

　　　　　　Ｐ[n］＝｛1＋　（1/3）＾ｎ｝/２になりました。

　　　よくわかりました。ありがとうございました。
No.9041 - 2013/05/27(Mon) 22:23:30
★ 分数形の漸化式について / 犬 ♂ [関東] [浪人生]
初めまして。掲示板での質問は初めてなのですがよろしくおねがいします。

a{1}=5, a{n+1}=（7a{n}-9）/（a{n}+1）

で表す時一般項a{n}を求めよ。　　　　　　　　出展は1対1対応の数学Ｂです


解答のほうには

x=(7x-9)/(x+1) より　x=3であることから・・・・・・（☆）

b{n}=1/(a{n}-3)とおいて、b{n+1}=bn+1/4

と変形して等差数列にしてから答えを求めているのですがどうして（☆）をつかって変形ができるのでしょうか？



それと（☆）が二つの解を持つときはどう変形すればよいのか・・・・

よろしくおねがいします。
No.9001 - 2013/05/21(Tue) 15:33:08
☆ Re: 分数形の漸化式について / londontraffic [教育関係者]
犬さん，おはようございます．
londontrafficと申します．

このタイプの問題は，おそらく誘導付きで出題されると思います．
ただ，誘導なしでも解けるようになりたいですね．

漸化式をa_{n+1}=(a a_{n}+b)/(ca_{n}+d)としましょうか．
x=(ax+b)/(cx+d)とし，この2式を両辺それぞれ引くと

a_{n+1}-x=(a a_{n}+b)/(ca_{n}+d)-(ax+b)/(cx+d)

a_{n+1}-x=(ad-bc)(a_{n}-x)/(ca_{n}+d)(cx+d)

両辺の逆数をとれば

1/(a_{n+1}-x)=(cx+d)/(ad-bc)･(ca_{n}+d)(a_{n}-d)

1/(a_{n+1}-x)=(cx+d)/(ad-bc)･[c+{d(c+1)}/(a_{n}-d)]

1/(a_{n}-x)=b_{n}とおけば

b_{n+1}=(cx+d)/(ad-bc)･[c+{d(c+1)}b_{n}]

となり，a,b,c,d,xの値の組合せによって数列{b_{n}}は等差数列型かa_{n+1}=pa_{n}+q型に帰着できます．

後段ですが，異なる2つの実数解が出た場合は，どちらの値を使っても同じようにできると思います．
No.9009 - 2013/05/23(Thu) 06:38:23
☆ Re: 分数形の漸化式について / 犬 ♂ [関東] [浪人生]
londontrafficさん、回答ありがとうございます！
申し訳ないのですが、理解し切れなかったので補足お願いできませんでしょうか？（汗

> 両辺の逆数をとれば
>
> 1/(a_{n+1}-x)=(cx+d)/(ad-bc)･(ca_{n}+d)(a_{n}-d)

すみません、↑からわからなくなってしまいました。
xとdが入れ替わり、スラッシュが抜けただけでしょうか？それともこういう変形になったのでしょうか？ごめんなさい、自分の勉強不足でよくわかりません><


> 1/(a_{n+1}-x)=(cx+d)/(ad-bc)･[c+{d(c+1)}/(a_{n}-d)]
　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
↑部分の変形がわかりません。a{n}を何かに置き換えたのでしょうか??

これ以降の式の意味はわかりました。
ほんとに申し訳ないですが上の2式の補足をお願いしますorz

> 後段ですが，異なる2つの実数解が出た場合は，どちらの値を使っても同じようにできると思います．

そうなんですね！　了解しました。
No.9012 - 2013/05/24(Fri) 00:23:01
☆ Re: 分数形の漸化式について / 犬 ♂ [関東] [浪人生]
すいません、矢印がずれてました。

> 1/(a_{n+1}-x)=(cx+d)/(ad-bc)･[c+{d(c+1)}/(a_{n}-d)]

の[c+{d(c+1)}の部分の話です
No.9013 - 2013/05/24(Fri) 00:25:33
☆ Re: 分数形の漸化式について / londontraffic [教育関係者]
あースイマセンでしたm(_ _)m
>xとdが入れ替わり、スラッシュが抜けただけでしょうか？
その通りです．
式を添付してみました．おそらくこれでokだと思います．
No.9014 - 2013/05/24(Fri) 06:45:49
☆ Re: 分数形の漸化式について / 犬 ♂ [関東] [浪人生]
x,d,スラッシュの件は了解しました！

すみません、
やはり最後の
(ca_{n}+d)＝c+(cx+d)
となるところが良くわかりません・・・（上の回答の図の下から２段目の列の一番右の分子とその下段の分子です）

式を見るとa_{n}=x+1
となっているようですが、どこからこのような式が出てきたのでしょうか?

よろしくお願いします＞＜
No.9015 - 2013/05/24(Fri) 11:31:26
☆ Re: 分数形の漸化式について / londontraffic [教育関係者]
はい．添付を見てくださいな．
No.9017 - 2013/05/24(Fri) 19:33:50
☆ Re: 分数形の漸化式について / 犬 ♂ [関東] [浪人生]
こんばんは！
回答ありがとうございます！よくわかりました！

丁寧に画像もつけていただき感謝です。

また何かあったらよろしくお願いします！^^
No.9024 - 2013/05/25(Sat) 22:23:12
★ (No Subject) / メルティ ♀ [中国] [高校3年生]
数列の極限で質問します。

第ｎ項が次の式で表される数列の収束、発散について調べよ。

１−（−1）＾ｎ/ｎ

ｎ＝1，２，3と入れていくと　2，1/2，4/3，3/4，6/5，5/6…分母と分子の数字の入れかえになっていますが、　　（−1）＾ｎ/ｎ＝0に収束してるから　
１−（−1）＾ｎ/ｎは　収束　極限値＝1でいいのですか？
No.9019 - 2013/05/25(Sat) 00:10:40
☆ Re: / londontraffic [教育関係者]
メルティさん，こんばんは．

>（−1）＾ｎ/ｎ＝0に収束してるから　１−（−1）＾ｎ/ｎは　収束　極限値＝1でいいのですか？
okですよ．数式で書いてくれたら嬉しかったですね(^_^)
No.9020 - 2013/05/25(Sat) 20:56:51
☆ Re: / メルティ ♀ [中国] [高校3年生]
ありがとうございました。
No.9022 - 2013/05/25(Sat) 21:27:10
★ 数列 / りんご ♀ [外国] [高校１年生]
こんにちは。テスト10日前なのでたくさん質問すると思います。すみませんがよろしくお願いします。

The sum of the first n terms of a sequence is 3^n+2. The first two terms of the sequence are

A)2，5　B)5，9　C)5，14　　　（これも留学先の教科書の問題です。）

3^n+2 のｎに1，2を入れて計算すると5，14になるのでｃかと思ったのですが答えはBでした。こういう問題はどのように考えたらよいのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.8989 - 2013/05/18(Sat) 14:18:50
☆ Re: 数列 / 朱雀 ♂ [大学生]
りんごさん，こんにちは．朱雀です．

問題の意味はわかっていますでしょうか．

数列の最初のn項の和が3^n+2である．
最初の2項を求めよ．

ですね．

ところで，3^n+2にn=1を代入すると5になるのはあっていますが，n=2を代入すると14ではなくて，11だと思うのですが，いかがですか？問題分に間違いはないでしょうか．確認願います．
No.8991 - 2013/05/19(Sun) 14:18:13
☆ Re: 数列 / りんご ♀ [外国] [高校2年生]
こんにちは。3＾n+2　ではなく3n^2+2 でした。すみません。

でもこれでもなぜBになるのかがよくわかりません。
No.8993 - 2013/05/19(Sun) 16:18:28
☆ Re: 数列 / 朱雀 ♂ [大学生]
No.8981を確認せずに，回答してしまいました．

りんごさんへ．

ひとつの質問が解決する前に次の質問を投稿するのはルール違反です．
No.8981が解決するまでこちらは保留です．
No.8995 - 2013/05/19(Sun) 21:18:05
☆ Re: 数列 / りんご ♀ [外国] [高校2年生]
解決したと思い込んでいて次の質問をしてしまいました。すみませんでした。
No.9002 - 2013/05/21(Tue) 16:48:42
☆ Re: 数列 / 朱雀 ♂ [大学生]
そういうことでしたか．

それでは，正式にこの問題に移りましょう．

再度確認しますが，"The sum of the first n terms of a sequence is 3n^2+2."，つまり，「数列の最初のn項の和が3n^2+2である．」ということの意味は正しく理解できていますか？3n^2+2という式の計算結果は，「数列の第n項」ではなくて，「数列の第1項から第n項までの和」を表しているのです．もし，りんごさんが言うようにC)が正解，つまり第1項が5,第2項が14でしたらば，3n^2+2でn=2を代入すると5+14=19になるはずですが，そうはなりませんね．ですから，間違いなのです．

もう一度，考えてみましょう．
No.9005 - 2013/05/21(Tue) 22:54:19
☆ Re: 数列 / りんご ♀ [外国] [高校2年生]
分かりました。ありがとうございました！！！
No.9006 - 2013/05/22(Wed) 14:54:11
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