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記事No.90746に関するスレッドです
★ (No Subject) NEW / FOX
高3です。次の問題の解答を教えてください。

p, qを実数とする。
a_(n+2) - pa_(n+1) + qa_n = 0, a_1 = 1, a_2 = pを満たす数列{a_n}の極限値が収束するとき、(p, q)の取りうる範囲をpq平面上に図示せよ。

よろしくお願いします。
No.90745 - 2026/05/23(Sat) 20:07:31
☆ Re: NEW / X
以下の命題は既知であるという前提で回答します。

命題)
数列{b[n]}に対して三項間漸化式
b[n+2]-Ab[n+1]+Bb[n]=0
(A,Bは実数の定数)
成立しているとき、この特性方程式
t^2-At+B=0
において、二つの実数解
をα、βとするとき、b[n]は
b[n]=Cα^n+Dβ^n
(C,Dは実数の定数)
の形で表される。

a[n+2]-pa[n+1]+qa[n]=0 (A)
とします。
(A)の特性方程式は
t^2-pt+q=0 (B)
∴(B)の解をα、βとし、
Dの判別式をDとすると、上記の命題から
|α|＜1 (C)
|β|＜1 (D)
D=p^2-4q≧0 (E)
∴f(t)=t^2-pt+q
と置き、横軸にt、縦軸にf(t)を取った
グラフを考えると、(C)(D)(E)を満たすためには
まずグラフの軸について
-1＜p/2＜1 (F)
更に
f(-1)=1+p+q＞0 (G)
f(1)=1-p+q＞0 (H)
∴求める条件は
q≦(1/4)p^2 (E)'
-2＜p＜2 (F)'
q＞-p-1 (G)'
q＞p-1 (H)'
図示すると下のようになります。
No.90746 - 2026/05/24(Sun) 08:49:26
☆ Re: NEW / X
＞＞ヨッシーさんへ
編集パスを設定せずに、No.90746を誤って
アップしてしまいました。
申し訳ありませんが、このレスも含めて
そちらからNo.90746の削除をお願いします。
No.90747 - 2026/05/24(Sun) 08:54:43